განტოლებები. იდენტობის გარდაქმნები გამონათქვამების ტრანსფორმაცია. შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულები

„იდენტობები. გამონათქვამების იდენტობის ტრანსფორმაცია“.

გაკვეთილის მიზნები

საგანმანათლებლო:

„იდენტური თანაბარი გამონათქვამების“, „იდენტურობის“, „იდენტური გარდაქმნების“ ცნებების გაცნობა და თავიდან კონსოლიდაცია;

განიხილოს ვინაობის დადასტურების გზები, ხელი შეუწყოს იდენტობის დადასტურების უნარების განვითარებას;

მოსწავლეთა მიერ შესწავლილი მასალის ათვისების შემოწმება, ახლის აღქმისთვის შესწავლილის გამოყენების უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება.

საგანმანათლებლო : განავითარეთ მოსწავლეთა აზროვნება, მეტყველება.

საგანმანათლებლო : შრომისმოყვარეობის, სიზუსტის, სავარჯიშოების ამოხსნის ჩაწერის სისწორის გამომუშავება.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის სწავლა

აღჭურვილობა : მულტიმედიური დაფა, დაფა, სახელმძღვანელო, სამუშაო წიგნი.

პ ლან გაკვეთილი

საორგანიზაციო მომენტი (გაკვეთილზე მოსწავლეების დამიზნება)

საშინაო დავალების შემოწმება (შეცდომის გამოსწორება)

ზეპირი ვარჯიშები

ახალი მასალის შესწავლა („იდენტობის“, „იდენტური გარდაქმნების“ ცნებების შესავალი და პირველადი კონსოლიდაცია).

სავარჯიშო სავარჯიშოები(„იდენტობის“, „იდენტური გარდაქმნების“ ცნებების ფორმირება).

გაკვეთილის შეჯამება (შეაჯამეთ გაკვეთილზე მიღებული თეორიული ინფორმაცია).

საშინაო დავალების შეტყობინება (განმარტეთ საშინაო დავალების შინაარსი)

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

საშინაო დავალების შემოწმება.

კითხვები საშინაო დავალების შესახებ.

დებრიფინგი დაფაზე.

მათემატიკა საჭიროა
მის გარეშე შეუძლებელია
ჩვენ ვასწავლით, ვასწავლით, მეგობრებო,
რა გვახსოვს დილით?

II . ზეპირი ვარჯიშები.

მოდი ვივარჯიშოთ.

დამატების შედეგი. (ჯამობა)

რამდენი რიცხვი იცით? (ათი)

რიცხვის მეასედი. (პროცენტი)

გაყოფის შედეგი? (პირადი)

ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი? (ერთი)

შესაძლებელია თუ არა გაყოფისას ნატურალური რიცხვებიმიიღეთ ნული? (არა)

რა არის რიცხვების ჯამი -200-დან 200-მდე? (0)

რა არის ყველაზე დიდი უარყოფითი რიცხვი. (-ერთი)

რა რიცხვზე არ შეიძლება დაიყოს? (0)

გამრავლების შედეგი? (სამუშაო)

ყველაზე დიდი ორნიშნა რიცხვი? (99)

რა არის პროდუქტი -200-დან 200-მდე? (0)

გამოკლების შედეგი. (განსხვავება)

რამდენი გრამია კილოგრამში? (1000)

მიმატების კომუტაციური თვისება. (ვადების ადგილების გადალაგებიდან თანხა არ იცვლება)

გამრავლების კომუტაციური თვისება. (პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების ადგილების პერმუტაციიდან)

დამატების ასოციაციური თვისება. (ორი რიცხვის ჯამს რომ დაუმატოთ რიცხვი, შეგიძლიათ პირველ რიცხვს დაუმატოთ მეორე და მესამეს ჯამი)

გამრავლების ასოციაციური თვისება. (ორი რიცხვის ნამრავლის მესამე რიცხვზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ გაამრავლოთ პირველი რიცხვი მეორე და მესამეს ნამრავლზე)

სადისტრიბუციო ქონება. (რათა გავამრავლოთ რიცხვი ორი რიცხვის ჯამზე, შეგიძლიათ ეს რიცხვი გაამრავლოთ თითოეულ წევრზე და დაამატოთ შედეგები)

III . ახალი მასალის სწავლა .

მასწავლებელი. იპოვეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა x=5 და y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

იგივე შედეგი მივიღეთ. გამანაწილებელი თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ზოგადად, ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, 3(x + y) და 3x + 3y გამონათქვამების მნიშვნელობები ტოლია.

ახლა განვიხილოთ გამონათქვამები 2x + y და 2xy. x=1-ისთვის და y=2-ისთვის ისინი იღებენ ტოლ მნიშვნელობებს:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

თუმცა, შეგიძლიათ მიუთითოთ x და y მნიშვნელობები ისე, რომ ამ გამონათქვამების მნიშვნელობები არ იყოს ტოლი. მაგალითად, თუ x=3, y=4, მაშინ

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

განმარტება: ორი გამონათქვამი, რომელთა მნიშვნელობები ტოლია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ამბობენ, რომ იდენტური ტოლია.

გამოსახულებები 3(x+y) და 3x+3y იდენტურად ტოლია, მაგრამ გამოსახულებები 2x+y და 2xy იდენტურად ტოლი არ არის.

ტოლობა 3(x + y) და 3x + 3y მართალია x და y-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ასეთ თანასწორობას იდენტობა ეწოდება.

განმარტება: თანასწორობას, რომელიც მართალია ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ეწოდება იდენტობა.

ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობები ასევე განიხილება იდენტობად. ჩვენ უკვე შევხვდით ვინაობას. იდენტობები არის ტოლობები, რომლებიც გამოხატავს რიცხვებზე მოქმედებების ძირითად თვისებებს (მოსწავლეები კომენტარს აკეთებენ თითოეულ თვისებაზე მისი გამოთქმით).

a + b = b + a აბ=ბა (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

იდენტურობის სხვა მაგალითების მოყვანა შეიძლება (მოსწავლეები კომენტარს აკეთებენ თითოეულ თვისებაზე, გამოთქმით).

a + 0 = a

a * 1 = a

a + (-a) = 0

a * (- ბ ) = - აბ

ა - ბ = ა + (- ბ )

(- ა ) * (- ბ ) = აბ

განმარტება: ერთი გამონათქვამის შეცვლას მეორით, მისი იდენტურად ტოლი, ეწოდება იდენტური ტრანსფორმაცია ან უბრალოდ გამოხატვის გარდაქმნა.

მასწავლებელი:

იდენტობის გარდაქმნებიცვლადებით გამოსახულებები შესრულებულია რიცხვებზე მოქმედებების თვისებებზე დაყრდნობით.

გამონათქვამების იდენტობის გარდაქმნები ფართოდ გამოიყენება გამონათქვამების მნიშვნელობების გამოთვლასა და სხვა პრობლემების გადაჭრისას. თქვენ უკვე მოგიწიათ რამდენიმე იდენტური ტრანსფორმაციის განხორციელება, მაგალითად, მსგავსი ტერმინების შემცირება, ფრჩხილების გაფართოება. გაიხსენეთ ამ გარდაქმნების წესები:

სტუდენტები:

მსგავსი ტერმინების მოსაყვანად აუცილებელია მათი კოეფიციენტების დამატება და შედეგის გამრავლება საერთო ასო ნაწილზე;

თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილები შეიძლება გამოტოვოთ, შეინარჩუნოთ ფრჩხილებში ჩასმული თითოეული ტერმინის ნიშანი;

თუ ფრჩხილების წინ არის მინუს ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების გამოტოვება შესაძლებელია ფრჩხილებში ჩასმული თითოეული ტერმინის ნიშნის შეცვლით.

მასწავლებელი:

მაგალითი 1. წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს

5x + 2x-3x=x(5+2-3)=4x

რა წესი გამოვიყენეთ?

Სტუდენტი:

ჩვენ გამოვიყენეთ მსგავსი ტერმინების შემცირების წესი. ეს ტრანსფორმაცია ემყარება გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას.

მასწავლებელი:

მაგალითი 2. გააფართოვეთ ფრჩხილები გამოსახულებაში 2a + (ბ-3 გ) = 2 ა + ბ – 3 გ

ჩვენ გამოვიყენეთ ფრჩხილების გახსნის წესი, რომელსაც წინ უძღვის პლუს ნიშანი.

Სტუდენტი:

შესრულებული ტრანსფორმაცია ემყარება დამატების ასოციაციურ თვისებას.

მასწავლებელი:

მაგალითი 3. გავხსნათ ფრჩხილები გამონათქვამში a - (4ბ- გ) =ა – 4 ბ + გ

გამოვიყენეთ ფრჩხილების გახსნის წესი, რომელსაც წინ უძღვის მინუს ნიშანი.

რა თვისებას ეფუძნება ეს ტრანსფორმაცია?

Სტუდენტი:

შესრულებული ტრანსფორმაცია ეფუძნება გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას და შეკრების ასოციაციურ თვისებას.

IV . სავარჯიშო სავარჯიშოები

(დაწყებამდე ვაკეთებთ ფიზიკურ აქტივობას

სწრაფად წამოდგნენ და გაიცინეს.

მაღლა და მაღლა იწევა.

მოდი, გაისწორე მხრები

აწევა, დაწევა.

მოუხვიეთ მარჯვნივ, მოუხვიეთ მარცხნივ

დაჯექი, ადექი. დაჯექი, ადექი.

და ადგილზე გაიქცნენ.

(კარგად, დაჯექი).

მოდი მივიღოთ მინი დამოუკიდებელი მუშაობა- შესაბამისობა, ხოლო ვისაც სჯერა, რომ თემა კარგად არის გასაგები - წყვეტს ონლაინ ტესტირებას.

1) 5 (3x -2) - (4x + 9) ა) 5-10: x

2) 5x-4 (2x-5) + 5 B) 11x -19

3) (5x-10): x B) 3x + 25

4) 11x-4 (x - 3) + 5x დ) -3x + 25

ე) 12x +12

ვ . გაკვეთილის შეჯამება .

მასწავლებელი სვამს კითხვებს, მოსწავლეები პასუხობენ მათ როგორც სურთ.

რომელ ორ გამონათქვამს ეწოდება იდენტური თანაბარი? მიეცით მაგალითები.

რა თანასწორობას ჰქვია იდენტობა? მიეცი მაგალითი.

რა იდენტური გარდაქმნები იცით?

VI . Საშინაო დავალება . გვ.5, იპოვნეთ ძველი იდენტური გამონათქვამები ინტერნეტის გამოყენებით

იდენტურობის კონვერტაციები არის სამუშაო, რომელსაც ვაკეთებთ რიცხვით და ანბანურ გამოსახულებებთან, ასევე გამონათქვამებთან, რომლებიც შეიცავს ცვლადებს. ჩვენ ვახორციელებთ ყველა ამ ტრანსფორმაციას, რათა ორიგინალური გამოხატულება მივიყვანოთ პრობლემის გადასაჭრელად მოსახერხებელ ფორმამდე. ამ თემაში განვიხილავთ იდენტური გარდაქმნების ძირითად ტიპებს.

გამოხატვის იდენტობის ტრანსფორმაცია. რა არის ეს?

პირველად ვხვდებით იდენტური გარდაქმნის კონცეფციას ალგებრის გაკვეთილებზე მე-7 კლასში. შემდეგ ჯერ ვეცნობით იდენტური თანაბარი გამონათქვამების ცნებას. მოდით გავუმკლავდეთ ცნებებსა და განმარტებებს, რათა ხელი შევუწყოთ თემის ასიმილაციას.

განმარტება 1

გამოხატვის იდენტობის ტრანსფორმაციაარის მოქმედებები, რომლებიც შესრულებულია ორიგინალური გამონათქვამით შესაცვლელად, რომელიც იდენტურად იქნება ორიგინალის ტოლი.

ხშირად ეს განმარტება გამოიყენება შემოკლებული ფორმით, რომელშიც სიტყვა "იდენტური" გამოტოვებულია. ვარაუდობენ, რომ ნებისმიერ შემთხვევაში ჩვენ ვახორციელებთ გამოხატვის ტრანსფორმაციას ისე, რომ მივიღოთ ორიგინალის იდენტური გამონათქვამი და ამას ცალკე ხაზგასმა არ სჭირდება.

ილუსტრაცია ამ განმარტებასმაგალითები.

მაგალითი 1

თუ გამონათქვამს შევცვლით x + 3 - 2იდენტურ თანაბარ გამოხატულებამდე x+1, შემდეგ ვახორციელებთ გამოხატვის იდენტურ ტრანსფორმაციას x + 3 - 2.

მაგალითი 2

გამოხატვის 2 a 6 ჩანაცვლება გამოსახულებით a 3არის იდენტობის ტრანსფორმაცია, ხოლო გამოხატვის ჩანაცვლება xგამოხატვისადმი x2არ არის იდენტური ტრანსფორმაცია, რადგან გამონათქვამები xდა x2არ არის იდენტური თანაბარი.

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ გამონათქვამების წერის ფორმას იდენტური გარდაქმნების განხორციელებისას. ჩვენ ჩვეულებრივ ვწერთ ორიგინალურ გამოსახულებას და მიღებულ გამონათქვამს, როგორც თანასწორობას. ასე რომ, x + 1 + 2 = x + 3 ჩაწერა ნიშნავს, რომ გამოხატულება x + 1 + 2 შემცირდა x + 3 ფორმამდე.

მოქმედებების თანმიმდევრული შესრულება მიგვიყვანს თანასწორობის ჯაჭვამდე, რომელიც არის რამდენიმე თანმიმდევრული იდენტური ტრანსფორმაცია. ამრიგად, ჩვენ გვესმის აღნიშვნა x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x, როგორც ორი ტრანსფორმაციის თანმიმდევრული განხორციელება: პირველი, გამოხატულება x + 1 + 2 შემცირდა x + 3 ფორმამდე და შემცირდა ფორმა 3 + x.

იდენტობის გარდაქმნები და ODZ

რიგი გამონათქვამები, რომელთა შესწავლას ვიწყებთ მე-8 კლასში, აზრი არ აქვს ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობისთვის. ამ შემთხვევებში იდენტური ტრანსფორმაციების განხორციელება მოითხოვს, ყურადღება მივაქციოთ ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს (ODV). იდენტური გარდაქმნების შესრულებამ შეიძლება დატოვოს ODZ უცვლელი ან შეამციროს იგი.

მაგალითი 3

გამოთქმიდან გადასვლის შესრულებისას a + (−b)გამოხატვისადმი ა-ბცვლადების დაშვებული მნიშვნელობების დიაპაზონი ადა ბიგივე რჩება.

მაგალითი 4

x გამოსახულებიდან გამოხატვაზე გადასვლა x 2 xიწვევს x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროებას ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლიდან ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლემდე, საიდანაც გამორიცხულია ნული.

მაგალითი 5

გამოხატვის იდენტობის ტრანსფორმაცია x 2 xგამოხატულება x იწვევს x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოებას ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლიდან ნულის გარდა ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლემდე.

ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის შევიწროება ან გაფართოება იდენტური გარდაქმნების განხორციელებისას მნიშვნელოვანია პრობლემების გადაჭრაში, რადგან ამან შეიძლება გავლენა მოახდინოს გამოთვლების სიზუსტეზე და გამოიწვიოს შეცდომები.

იდენტობის ძირითადი ტრანსფორმაციები

ახლა ვნახოთ, რა არის იდენტური გარდაქმნები და როგორ ხდება ისინი. მოდით გამოვყოთ იდენტური გარდაქმნების ის ტიპები, რომლებსაც ყველაზე ხშირად გვიწევს საქმე მთავარ ჯგუფში.

იდენტობის ძირითადი გარდაქმნების გარდა, არსებობს მთელი რიგი ტრანსფორმაციები, რომლებიც დაკავშირებულია კონკრეტული ტიპის გამონათქვამებთან. წილადებისთვის ეს არის შემცირების და ახალ მნიშვნელამდე შემცირების მეთოდები. ფესვებისა და ძალების მქონე გამონათქვამებისთვის, ყველა მოქმედება, რომელიც შესრულებულია ფესვებისა და ძალების თვისებებზე დაყრდნობით. ლოგარითმული გამონათქვამებისთვის, მოქმედებები, რომლებიც შესრულებულია ლოგარითმების თვისებებზე დაყრდნობით. ამისთვის ტრიგონომეტრიული გამონათქვამებიყველა ქმედება გამოყენებით ტრიგონომეტრიული ფორმულები. ყველა ეს კონკრეტული ტრანსფორმაცია დეტალურად არის განხილული ცალკეულ თემებში, რომლებიც შეგიძლიათ იხილოთ ჩვენს რესურსზე. ამ მიზეზით, ამ სტატიაში მათზე არ ვისაუბრებთ.

მოდით გადავიდეთ ძირითადი იდენტური გარდაქმნების განხილვაზე.

ტერმინების, ფაქტორების გადაწყობა

დავიწყოთ პირობების გადალაგებით. ამ იდენტურ ტრანსფორმაციასთან გვაქვს საქმე ყველაზე ხშირად. და აქ მთავარ წესად შეიძლება ჩაითვალოს შემდეგი განცხადება: ნებისმიერი ჯამით, ტერმინების ადგილებზე გადალაგება არ მოქმედებს შედეგზე.

ეს წესი ეფუძნება მიმატების კომუტატიურ და ასოციაციურ თვისებებს. ეს თვისებები საშუალებას გვაძლევს გადავაწყოთ ტერმინები ადგილებზე და ამავე დროს მივიღოთ გამონათქვამები, რომლებიც იდენტურია ორიგინალის ტოლი. ამიტომ ჯამის ადგილებზე ტერმინების გადაწყობა იდენტური ტრანსფორმაციაა.

მაგალითი 6

გვაქვს სამი წევრის ჯამი 3 + 5 + 7 . თუ შევცვლით ტერმინებს 3 და 5, მაშინ გამონათქვამი მიიღებს 5 + 3 + 7 ფორმას. ამ შემთხვევაში პირობების გადაწყობის რამდენიმე ვარიანტი არსებობს. ყველა მათგანი იწვევს გამონათქვამების მიღებას, რომლებიც იდენტურია ორიგინალის ტოლი.

ჯამში ტერმინების როლიც შეიძლება იყოს არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ გამონათქვამებიც. ისინი, ისევე როგორც რიცხვები, შეიძლება განლაგდეს გამოთვლების საბოლოო შედეგზე გავლენის გარეშე.

მაგალითი 7

სამი წევრის ჯამში 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 და - 12 a ფორმის 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) ტერმინების გადაწყობა შეიძლება, მაგალითად, ასე (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . თავის მხრივ, თქვენ შეგიძლიათ გადააწყოთ ტერმინები წილადის მნიშვნელში 1 a + b, ხოლო წილადი მიიღებს 1 b + a ფორმას. და გამოხატულება ძირეული ნიშნის ქვეშ a 2 + 2 a + 5ასევე არის თანხა, რომელშიც ტერმინების გაცვლა შესაძლებელია.

ისევე, როგორც ტერმინები, ორიგინალურ გამონათქვამებში შეიძლება ფაქტორების გაცვლა და იდენტური სწორი განტოლებების მიღება. ეს მოქმედება რეგულირდება შემდეგი წესით:

განმარტება 2

პროდუქტში ფაქტორების ადგილებზე გადაწყობა გავლენას არ ახდენს გაანგარიშების შედეგზე.

ეს წესი ეფუძნება გამრავლების კომუტატიურ და ასოციაციურ თვისებებს, რომლებიც ადასტურებენ იდენტური ტრანსფორმაციის სისწორეს.

მაგალითი 8

მუშაობა 3 5 7ფაქტორების პერმუტაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ერთ-ერთი შემდეგი ფორმით: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 ან 3 7 5.

მაგალითი 9

x + 1 x 2 - x + 1 x ნამრავლში ფაქტორების შეცვლა მივიღებთ x 2 - x + 1 x x + 1

სამაგრის გაფართოება

ფრჩხილებში შეიძლება შეიცავდეს რიცხვითი გამონათქვამებისა და გამონათქვამების ჩანაწერები ცვლადებით. ეს გამონათქვამები შეიძლება გარდაიქმნას იდენტურ თანაბარ გამონათქვამებად, რომლებშიც საერთოდ არ იქნება ფრჩხილები ან იქნება ნაკლები, ვიდრე ორიგინალურ გამონათქვამებში. გამონათქვამების კონვერტაციის ამ ხერხს ეწოდება ფრჩხილების გაფართოება.

მაგალითი 10

განვახორციელოთ მოქმედებები ფრჩხილებით ფორმის გამოხატვით 3 + x − 1 xრათა მივიღოთ იდენტური ჭეშმარიტი გამოხატულება 3 + x − 1 x.

გამონათქვამი 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x შეიძლება გარდაიქმნას იდენტურ თანაბარ გამოსახულებაში 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x ფრჩხილების გარეშე.

ჩვენ დეტალურად განვიხილეთ ფრჩხილებით გამონათქვამების კონვერტაციის წესები თემაში „ბრეკეტის გაფართოება“, რომელიც განთავსებულია ჩვენს რესურსზე.

დაჯგუფების ტერმინები, ფაქტორები

იმ შემთხვევებში, როდესაც საქმე გვაქვს სამ ან მეტ ტერმინთან, შეგვიძლია მივმართოთ ისეთ იდენტურ გარდაქმნებს, როგორიცაა ტერმინების დაჯგუფება. ტრანსფორმაციის ამ მეთოდში იგულისხმება რამდენიმე ტერმინის ჯგუფში გაერთიანება მათი გადალაგებით და ფრჩხილებში მოთავსებით.

დაჯგუფებისას ტერმინები იცვლებიან ისე, რომ დაჯგუფებული ტერმინები ერთმანეთის გვერდით არის გამოხატვის ჩანაწერში. ამის შემდეგ, ისინი შეიძლება იყოს ჩასმული ფრჩხილებში.

მაგალითი 11

მიიღეთ გამოხატულება 5 + 7 + 1 . თუ პირველ წევრს დავაჯგუფებთ მესამეს, მივიღებთ (5 + 1) + 7 .

ფაქტორების დაჯგუფება ხორციელდება ტერმინების დაჯგუფების მსგავსად.

მაგალითი 12

ნაწარმოებში 2 3 4 5შესაძლებელია პირველი ფაქტორის დაჯგუფება მესამესთან, ხოლო მეორე ფაქტორი მეოთხესთან, ამ შემთხვევაში მივდივართ გამოთქმამდე (2 4) (3 5). და თუ დავაჯგუფებთ პირველ, მეორე და მეოთხე ფაქტორებს, მივიღებთ გამოთქმას (2 3 5) 4.

ტერმინები და ფაქტორები, რომლებიც დაჯგუფებულია, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მარტივი რიცხვებით, ასევე გამოსახულებებით. დაჯგუფების წესები დეტალურად იყო განხილული თემაში „დაჯგუფების პირობები და ფაქტორები“.

განსხვავებების ჩანაცვლება ჯამებით, ნაწილობრივი პროდუქტებით და პირიქით

სხვაობების ჯამებით ჩანაცვლება შესაძლებელი გახდა ჩვენი საპირისპირო რიცხვების გაცნობის წყალობით. ახლა გამოკლება რიცხვიდან ანომრები ბშეიძლება ჩაითვალოს რიცხვის დამატებად ანომრები −ბ. Თანასწორობა a − b = a + (− b)შეიძლება ჩაითვალოს სამართლიანად და მის საფუძველზე განახორციელოს სხვაობების ჩანაცვლება ჯამებით.

მაგალითი 13

მიიღეთ გამოხატულება 4 + 3 − 2 , რომელშიც რიცხვთა სხვაობაა 3 − 2 შეგვიძლია დავწეროთ ჯამის სახით 3 + (− 2) . მიიღეთ 4 + 3 + (− 2) .

მაგალითი 14

გამოხატვის ყველა განსხვავება 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2შეიძლება შეიცვალოს თანხებით, როგორიცაა 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ თანხები ნებისმიერი განსხვავებიდან. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

გაყოფის გამრავლებით ჩანაცვლება გამყოფის საპასუხო მნიშვნელობით შესაძლებელია საპასუხო რიცხვების ცნებით. ეს ტრანსფორმაცია შეიძლება დაიწეროს როგორც a: b = a (b − 1).

ეს წესი იყო ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის წესის საფუძველი.

მაგალითი 15

კერძო 1 2: 3 5 შეიძლება შეიცვალოს ფორმის პროდუქტით 1 2 5 3.

ანალოგიურად, ანალოგიით, გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს გამრავლებით.

მაგალითი 16

გამოხატვის შემთხვევაში 1+5:x:(x+3)შეცვალეთ გაყოფა xშეიძლება გამრავლდეს 1 x. გაყოფა მიერ x + 3შეგვიძლია შევცვალოთ გამრავლებით 1 x + 3. ტრანსფორმაცია საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ გამონათქვამი, რომელიც ორიგინალის იდენტურია: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

გაყოფით გამრავლების შეცვლა ხორციელდება სქემის მიხედვით a b = a: (b − 1).

მაგალითი 17

გამოხატულებაში 5 x x 2 + 1 - 3, გამრავლება შეიძლება შეიცვალოს გაყოფით 5: x 2 + 1 x - 3.

მოქმედებების შესრულება რიცხვებით

რიცხვებით ოპერაციების შესრულება ექვემდებარება ოპერაციების თანმიმდევრობის წესს. პირველი, ოპერაციები შესრულებულია რიცხვების სიმძლავრით და რიცხვების ფესვებით. ამის შემდეგ ვცვლით ლოგარითმებს, ტრიგონომეტრიულ და სხვა ფუნქციებს მათი მნიშვნელობებით. შემდეგ შესრულებულია ფრჩხილებში მოცემული მოქმედებები. და შემდეგ უკვე შეგიძლიათ განახორციელოთ ყველა სხვა მოქმედება მარცხნიდან მარჯვნივ. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ გამრავლება და გაყოფა ხორციელდება შეკრებამდე და გამოკლებამდე.

რიცხვებით ოპერაციები საშუალებას გაძლევთ გადააქციოთ ორიგინალური გამონათქვამი მის ტოლად.

მაგალითი 18

გადავცვალოთ გამონათქვამი 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x რიცხვებით ყველა შესაძლო მოქმედების შესრულებით.

გამოსავალი

პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ხარისხს 2 3 და ფესვი 4 და გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები: 2 3 = 8 და 4 = 2 2 = 2 .

მიღებული მნიშვნელობები ჩაანაცვლეთ თავდაპირველ გამოსახულებაში და მიიღეთ: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

ახლა გავაკეთოთ ფრჩხილები: 8 − 1 = 7 . და გადავიდეთ გამოთქმაზე 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

ჩვენ უბრალოდ უნდა გავაკეთოთ გამრავლება 3 და 7 . ჩვენ ვიღებთ: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

პასუხი: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

რიცხვებთან ოპერაციებს შეიძლება წინ უსწრებდეს სხვა სახის იდენტურობის გარდაქმნები, როგორიცაა რიცხვების დაჯგუფება ან ფრჩხილების გაფართოება.

მაგალითი 19

მიიღეთ გამოხატულება 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11.

გამოსავალი

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ შევცვლით ფრჩხილებში მოცემულ კოეფიციენტს 6: 3 მის მნიშვნელობაზე 2 . ვიღებთ: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

მოდით დავაჯგუფოთ რიცხვითი ფაქტორები ნამრავლში, ასევე ტერმინები, რომლებიც რიცხვებია: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

მოდით გავაკეთოთ ფრჩხილები: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

პასუხი:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) - 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

თუ ჩვენ ვიმუშავებთ რიცხვით გამოსახულებებთან, მაშინ ჩვენი სამუშაოს მიზანი იქნება გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნა. თუ გამონათქვამებს გარდაქმნით ცვლადებით, მაშინ ჩვენი მოქმედებების მიზანი იქნება გამოხატვის გამარტივება.

საერთო ფაქტორის ბრეკეტინგი

იმ შემთხვევებში, როდესაც გამოხატვის ტერმინებს აქვთ ერთი და იგივე ფაქტორი, მაშინ შეგვიძლია ამ საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან. ამისათვის ჩვენ ჯერ უნდა წარმოვადგინოთ ორიგინალური გამოხატულება, როგორც საერთო ფაქტორის ნამრავლი და ფრჩხილებში გამოსახული, რომელიც შედგება ორიგინალური ტერმინებისგან საერთო ფაქტორის გარეშე.

მაგალითი 20

რიცხობრივად 2 7 + 2 3ჩვენ შეგვიძლია გამოვრიცხოთ საერთო ფაქტორი 2 ფრჩხილების გარეთ და მიიღეთ ფორმის იდენტური სწორი გამოხატულება 2 (7 + 3).

თქვენ შეგიძლიათ განაახლოთ ჩვენი რესურსის შესაბამის განყოფილებაში საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან გამოტანის წესების მეხსიერება. მასალაში დეტალურადაა განხილული საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღების წესები და მოყვანილია უამრავი მაგალითი.

მსგავსი ტერმინების შემცირება

ახლა მოდით გადავიდეთ ჯამებზე, რომლებიც შეიცავს მსგავს ტერმინებს. აქ შესაძლებელია ორი ვარიანტი: ჯამები, რომლებიც შეიცავს ერთსა და იმავე ტერმინებს და ჯამები, რომელთა წევრები განსხვავდება რიცხვითი კოეფიციენტით. მსგავსი ტერმინების შემცველი ჯამებით ოპერაციებს მსგავსი ტერმინების შემცირება ეწოდება. იგი ხორციელდება შემდეგნაირად: ვდებთ საერთო ასოს ნაწილს ფრჩხილებიდან და ვიანგარიშებთ რიცხვითი კოეფიციენტების ჯამს ფრჩხილებში.

მაგალითი 21

განიხილეთ გამოხატულება 1 + 4 x − 2 x. შეგვიძლია x-ის პირდაპირი ნაწილი ამოვიღოთ ფრჩხილებიდან და მივიღოთ გამოხატულება 1 + x (4 − 2). გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა ფრჩხილებში და მივიღოთ ფორმის ჯამი 1 + x · 2 .

რიცხვებისა და გამონათქვამების ჩანაცვლება იდენტური თანაბარი გამოსახულებებით

რიცხვები და გამონათქვამები, რომლებიც ქმნიან თავდაპირველ გამოსახულებას, შეიძლება შეიცვალოს გამონათქვამებით, რომლებიც იდენტურია მათთან. ორიგინალური გამოხატვის ასეთი ტრანსფორმაცია იწვევს მის იდენტურად ტოლ გამონათქვამს.

მაგალითი 22 მაგალითი 23

განიხილეთ გამოხატულება 1 + a5, რომელშიც შეგვიძლია შევცვალოთ a 5 ხარისხი მის იდენტური ტოლი პროდუქტით, მაგალითად, ფორმის a 4. ეს მოგვცემს გამოხატულებას 1 + ა 4.

შესრულებული ტრანსფორმაცია ხელოვნურია. აზრი აქვს მხოლოდ სხვა გარდაქმნების მომზადებას.

მაგალითი 24

განვიხილოთ ჯამის ტრანსფორმაცია 4 x 3 + 2 x 2. აი ტერმინი 4x3ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ როგორც პროდუქტი 2 x 2 x 2 x. შედეგად, ორიგინალური გამოხატულება იღებს ფორმას 2 x 2 2 x + 2 x 2. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ საერთო ფაქტორი 2x2და ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან: 2 x 2 (2 x + 1).

ერთი და იგივე რიცხვის შეკრება და გამოკლება

ერთიდაიგივე რიცხვის ან გამოხატვის ერთდროულად დამატება და გამოკლება ხელოვნური გამოხატვის ტრანსფორმაციის ტექნიკაა.

მაგალითი 25

განიხილეთ გამოხატულება x 2 + 2 x. ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ ან გამოვაკლოთ ერთი, რაც საშუალებას მოგვცემს შემდგომ განვახორციელოთ კიდევ ერთი იდენტური ტრანსფორმაცია - ავირჩიოთ ბინომის კვადრატი: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ორი ალგებრული გამოთქმა იყოს მოცემული:

მოდით გავაკეთოთ ცხრილი თითოეული ამ გამონათქვამის მნიშვნელობების ასოს x-ის სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობებისთვის.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა იმ მნიშვნელობისთვის, რომელიც მიენიჭა ასო x-ს, ორივე გამონათქვამის მნიშვნელობები ტოლი აღმოჩნდა. იგივე იქნება x-ის ნებისმიერ სხვა მნიშვნელობაზე.

ამის შესამოწმებლად, ჩვენ გარდაქმნით პირველ გამონათქვამს. განაწილების კანონის საფუძველზე, ჩვენ ვწერთ:

ნომრებზე მითითებული ოპერაციების შესრულების შემდეგ ვიღებთ:

ასე რომ, პირველი გამოთქმა, მისი გამარტივების შემდეგ, ზუსტად იგივე აღმოჩნდა, რაც მეორე გამოთქმა.

ახლა გასაგებია, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ორივე გამონათქვამის მნიშვნელობები ტოლია.

გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობები ტოლია მათში შეტანილი ასოების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ეწოდება იდენტურად თანაბარი ან იდენტური.

აქედან გამომდინარე, ისინი იდენტური გამონათქვამებია.

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა გავაკეთოთ. ავიღოთ გამონათქვამები:

წინა ცხრილის მსგავსი ცხრილის შედგენის შემდეგ, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ორივე გამონათქვამს, x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, გარდა იმისა, აქვს თანაბარი რიცხვითი მნიშვნელობები. მხოლოდ მაშინ, როდესაც მეორე გამოხატულება უდრის 6-ს ​​და პირველი კარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან მნიშვნელი არის ნული. (შეგახსენებთ, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.) შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს გამონათქვამები იდენტურია?

ადრე შევთანხმდით, რომ თითოეული გამოთქმა განიხილება მხოლოდ ასოების დასაშვებ მნიშვნელობებზე, ანუ იმ მნიშვნელობებზე, რომლებისთვისაც გამოთქმა არ კარგავს თავის მნიშვნელობას. ეს ნიშნავს, რომ აქ, ორი გამონათქვამის შედარებისას, მხედველობაში მივიღებთ მხოლოდ ასოების მნიშვნელობებს, რომლებიც მოქმედებს ორივე გამონათქვამისთვის. ამიტომ, ჩვენ უნდა გამოვრიცხოთ ღირებულება. და რადგან x-ის ყველა სხვა მნიშვნელობისთვის ორივე გამონათქვამს აქვს ერთი და იგივე რიცხვითი მნიშვნელობა, ჩვენ გვაქვს უფლება მივიჩნიოთ ისინი იდენტურად.

ნათქვამიდან გამომდინარე, ჩვენ ვაძლევთ იდენტური გამონათქვამების შემდეგ განმარტებას:

1. გამონათქვამები იდენტურია, თუ მათში შეტანილი ასოების ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის აქვთ იგივე რიცხვითი მნიშვნელობები.

თუ ორ იდენტურ გამონათქვამს დავაკავშირებთ ტოლობის ნიშნით, მაშინ მივიღებთ იდენტობას. ნიშნავს:

2. იდენტურობა არის თანასწორობა, რომელიც ჭეშმარიტია მასში შემავალი ასოების ყველა დასაშვები მნიშვნელობისთვის.

ჩვენ უკვე შეგვხვდა ვინაობა. ასე, მაგალითად, ყველა თანასწორობა არის იდენტობა, რომლითაც ჩვენ გამოვთქვით შეკრების და გამრავლების ძირითადი კანონები.

მაგალითად, ტოლობები, რომლებიც გამოხატავს მიმატების შემცვლელ კანონს

და გამრავლების ასოციაციური კანონი

მოქმედებს ასოების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაშასადამე, ეს თანასწორობები იდენტობებია.

ყველა ჭეშმარიტი არითმეტიკული თანასწორობა ასევე განიხილება იდენტობად, მაგალითად:

ალგებრაში ხშირად უწევთ გამონათქვამის შეცვლა სხვათ, რომელიც იდენტურია. მოდით, მაგალითად, საჭიროა გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა

ჩვენ დიდად გავამარტივებთ გამოთვლებს, თუ მოცემულ გამონათქვამს შევცვლით მის იდენტური გამონათქვამით. განაწილების კანონის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ:

მაგრამ ფრჩხილებში რიცხვები 100-მდეა. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს იდენტურობა:

მის მარჯვენა მხარეს a-ის ნაცვლად 6.53-ის ჩანაცვლებით, ჩვენ მაშინვე (გონებაში) ვპოულობთ ამ გამონათქვამის რიცხვით მნიშვნელობას (653).

ერთი გამონათქვამის შეცვლა მეორით, მისი იდენტურია, ამ გამონათქვამის იდენტური ტრანსფორმაცია ეწოდება.

შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი ალგებრული გამოხატულება ასოების ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობისთვის არის გარკვეული

ნომერი. აქედან გამომდინარეობს, რომ არითმეტიკული მოქმედებების ყველა კანონი და თვისება, რომლებიც მოცემულია წინა თავში, გამოიყენება ალგებრული გამონათქვამებისთვის. ასე რომ, არითმეტიკული მოქმედებების კანონებისა და თვისებების გამოყენება აქცევს მოცემულ ალგებრულ გამოსახულებას მის იდენტურ გამოსახულებად.

ალგებრაში მოქმედებების და მათი თვისებების შესწავლასთან ერთად სწავლობენ ისეთ ცნებებს, როგორიცაა გამოხატულება, განტოლება, უტოლობა . მათთან თავდაპირველი გაცნობა ხდება მათემატიკის საწყის კურსზე. ისინი, როგორც წესი, შემოღებულია მკაცრი განმარტებების გარეშე, ყველაზე ხშირად მოჩვენებითად, რაც მოითხოვს მასწავლებელს არა მხოლოდ ძალიან ფრთხილად გამოიყენოს ამ ცნებების აღმნიშვნელი ტერმინები, არამედ იცოდეს მათი რიგი თვისებები. აქედან გამომდინარე, მთავარი ამოცანა, რომელიც დავსვათ ამ პუნქტის მასალის შესწავლის დაწყებისას არის ცოდნის გარკვევა და გაღრმავება გამონათქვამების (რიცხობრივი და ცვლადებით), რიცხვითი ტოლობებისა და რიცხვითი უტოლობების, განტოლებებისა და უტოლობების შესახებ.

ამ ცნებების შესწავლა დაკავშირებულია მათემატიკური ენის გამოყენებასთან, ეს ეხება ხელოვნურ ენებს, რომლებიც იქმნება და ვითარდება კონკრეტულ მეცნიერებასთან ერთად. ნებისმიერი სხვა მათემატიკური ენის მსგავსად, მას აქვს საკუთარი ანბანი. ჩვენს კურსში ის ნაწილობრივ იქნება წარმოდგენილი, ალგებრასა და არითმეტიკას შორის ურთიერთობისადმი მეტი ყურადღების მიქცევის აუცილებლობის გამო. ეს ანბანი მოიცავს:

1) ნომრები 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; მათი დახმარებით ნომრები იწერება სპეციალური წესების მიხედვით;

2) ოპერაციების ნიშნები +, -, , :;

3) ურთიერთობის ნიშნები<, >, =, M;

4) ლათინური ანბანის მცირე ასოები, ისინი გამოიყენება რიცხვების აღსანიშნავად;

5) ბრეკეტები (მრგვალი, ხვეული და ა.შ.), მათ ტექნიკურ ნიშნებს უწოდებენ.

ამ ანბანის გამოყენებით ალგებრაში სიტყვები ყალიბდება, მათ გამონათქვამებს უწოდებს, სიტყვებიდან კი მიიღება წინადადებები - რიცხვითი ტოლობები, რიცხვითი უტოლობები, განტოლებები, უტოლობები ცვლადებთან.

მოგეხსენებათ, ჩანაწერები 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 ე.წ რიცხვითი გამონათქვამები. ისინი იქმნება რიცხვებიდან, მოქმედების ნიშნებიდან, ფრჩხილებიდან. თუ ჩვენ შევასრულებთ გამონათქვამში მითითებულ ყველა მოქმედებას, მივიღებთ გამოძახებულ რიცხვს რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა . ასე რომ, რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობა არის 3 × 2 - 4 უდრის 2-ს.

არის რიცხვითი გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობების პოვნა შეუძლებელია. ასეთი გამონათქვამები ამბობენ აზრი არ აქვს .

მაგალითად, გამოთქმა 8: (4 - 4) აზრი არ აქვს, რადგან მისი მნიშვნელობა ვერ მოიძებნება: 4 - 4 = 0 და ნულზე გაყოფა შეუძლებელია. გამოხატვას 7-9 ასევე არ აქვს აზრი, თუ მას განვიხილავთ ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე, რადგან 7-9 გამოხატვის მნიშვნელობები ამ სიმრავლეში ვერ მოიძებნება.

განვიხილოთ აღნიშვნა 2a + 3. იგი იქმნება რიცხვებიდან, მოქმედების ნიშნებიდან და ასო ა. თუ a-ს ნაცვლად შევცვლით რიცხვებს, მაშინ მიიღება სხვადასხვა რიცხვითი გამონათქვამები:

თუ a = 7, მაშინ 2 × 7 + 3;

თუ a = 0, მაშინ 2 × 0 + 3;

თუ a = - 4, მაშინ 2 × (- 4) + 3.

აღნიშვნაში 2a + 3, ასეთი ასო a ეწოდება ცვლადი და თავად ჩანაწერი 2a + 3 - ცვლადი გამოხატულება.

მათემატიკაში ცვლადი, როგორც წესი, აღინიშნება ლათინური ანბანის ნებისმიერი მცირე ასოებით. ვ დაწყებითი სკოლაცვლადის აღსანიშნავად, ასოების გარდა, გამოიყენება სხვა ნიშნები, მაგალითად, œ. შემდეგ ცვლადის მქონე გამოსახულებას აქვს ფორმა: 2ל + 3.

ცვლადის მქონე თითოეული გამოხატულება შეესაბამება რიცხვების ერთობლიობას, რომლის ჩანაცვლება იწვევს რიცხვით გამოსახულებას, რომელიც აზრიანია. ეს ნაკრები ე.წ გამოხატვის ფარგლები .

Მაგალითად,გამოთქმის 5: (x - 7) დომენი შედგება ყველა რეალური რიცხვისაგან, გარდა 7 რიცხვისა, რადგან x = 7-ისთვის გამოთქმას 5: (7 - 7) მნიშვნელობა არ აქვს.

მათემატიკაში განიხილება გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ერთ, ორ ან მეტ ცვლადს.

Მაგალითად, 2a + 3 არის ერთცვლადიანი გამოხატულება და (3x + 8y) × 2 არის გამოხატულება სამი ცვლადით. იმისათვის, რომ მიიღოთ რიცხვითი გამოხატულება სამი ცვლადის მქონე გამოსახულებიდან, თითოეული ცვლადის ნაცვლად, ჩაანაცვლეთ რიცხვები, რომლებიც მიეკუთვნება გამოხატვის სფეროს.

ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ, თუ როგორ იქმნება რიცხვითი გამონათქვამები და გამონათქვამები ცვლადებით მათემატიკური ენის ანბანიდან. თუ ანალოგს გამოვხატავთ რუსულ ენასთან, მაშინ გამონათქვამები მათემატიკური ენის სიტყვებია.

მაგრამ, მათემატიკური ენის ანბანის გამოყენებით, შესაძლებელია ასეთი, მაგალითად, ჩანაწერების ჩამოყალიბება: (3 + 2)) - × 12 ან 3x - y: +) 8, რომელსაც არ შეიძლება ეწოდოს არც რიცხვითი გამოხატულება და არც ცვლადის მქონე გამოსახულება. ეს მაგალითები მიუთითებს იმაზე, რომ აღწერა - საიდანაც ყალიბდება მათემატიკური ენის გამონათქვამების ანბანის სიმბოლოები, რიცხვითი და ცვლადები, არ არის ამ ცნებების განმარტება. მოდით მივცეთ რიცხვითი გამონათქვამის განმარტება (გამოხატვა ცვლადებით განისაზღვრება ანალოგიურად).

განმარტება.თუ f და q რიცხვითი გამოსახულებებია, მაშინ (ვ) + (ქ), (ვ) - (ქ), (ვ) × (ქ), (ვ) (ქ) რიცხვითი გამოსახულებებია. თითოეული რიცხვი ითვლება ციფრულ გამოსახულებად.

თუ ამ განმარტებას ზუსტად მიჰყვებოდა, მაშინ ძალიან ბევრი ფრჩხილის დაწერა მოგიწევდა, მაგალითად, (7) + (5) ან (6): (2). აღნიშვნის შესამცირებლად, ჩვენ შევთანხმდით, რომ არ დავწეროთ ფრჩხილები, თუ რამდენიმე გამონათქვამი დაემატება ან გამოკლდება და ეს ოპერაციები შესრულებულია მარცხნიდან მარჯვნივ. ანალოგიურად, რამდენიმე რიცხვის გამრავლების ან გაყოფისას ფრჩხილები არ იწერება და ეს ოპერაციები შესრულებულია თანმიმდევრობით მარცხნიდან მარჯვნივ.

მაგალითად, წერენ ასე: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 ან 120:15-7:12.

გარდა ამისა, შევთანხმდით, რომ ჯერ შევასრულოთ მეორე ეტაპის (გამრავლება და გაყოფა), შემდეგ კი პირველი ეტაპის (შეკრება და გამოკლება) მოქმედებები. ამიტომ გამოთქმა (12-4:3) + (5-8:2-7) ასე იწერება: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

დავალება.იპოვეთ 3x (x - 2) + 4(x - 2) გამოხატვის მნიშვნელობა x = 6-ისთვის.

გამოსავალი

1 გზა. ამ გამოსახულებაში ცვლადის ნაცვლად ჩაანაცვლეთ რიცხვი 6: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). მიღებული რიცხვითი გამოხატვის მნიშვნელობის საპოვნელად ვასრულებთ ყველა მითითებულ მოქმედებას: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. ამიტომ , როდესაც X= 6 3x(x-2) + 4(x-2) გამოხატვის მნიშვნელობა არის 88.

2 გზა. ამ გამოსახულებაში 6 რიცხვის ჩანაცვლებამდე გავამარტივოთ: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2) (3x + 4). და შემდეგ, ჩანაცვლება შედეგად გამოსახულებაში ნაცვლად Xნომერი 6, გააკეთეთ შემდეგი: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

ყურადღება მივაქციოთ შემდეგს: როგორც პრობლემის გადაჭრის პირველ მეთოდში, ასევე მეორეში ერთი გამონათქვამი მეორეთი შევცვალეთ.

მაგალითად, გამოხატულება 18 × 4 + 4 × 4 შეიცვალა გამოსახულებით 72 + 16, ხოლო გამოხატულება 3x (x - 2) + 4(x - 2) - გამოსახულებით (X - 2)(3x + 4) და ეს ჩანაცვლებები იწვევს იგივე შედეგს. მათემატიკაში, ამ პრობლემის გადაწყვეტის აღწერისას, ისინი ამბობენ, რომ ჩვენ შევასრულეთ იდენტური გარდაქმნები გამონათქვამები.

განმარტება.ნათქვამია, რომ ორი გამონათქვამი იდენტურია ტოლია, თუ გამონათქვამების დომენიდან ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მათი შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია.

იდენტური თანაბარი გამონათქვამების მაგალითებია გამონათქვამები 5(x + 2) და 5x+ 10, რადგან ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის Xმათი ღირებულებები თანაბარია.

თუ ორ გამონათქვამს, რომლებიც ერთნაირად ტოლია გარკვეულ სიმრავლეზე, გაერთიანებულია ტოლობის ნიშანი, მაშინ მივიღებთ წინადადებას ე.წ. ვინაობა ამ კომპლექტზე.

მაგალითად, 5(x + 2) = 5x + 10 არის ნამდვილი რიცხვების სიმრავლის იდენტურობა, რადგან ყველა რეალური რიცხვისთვის გამოთქმის მნიშვნელობები 5(x + 2) და 5x + 10 ერთნაირია. ზოგადი რაოდენობრივი აღნიშვნის გამოყენებით, ეს იდენტურობა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობები ასევე განიხილება იდენტობად.

გამონათქვამის შეცვლა სხვა სიმრავლით, რომელიც მის იდენტურად ტოლია ზოგიერთ კომპლექტში, ეწოდება მოცემული გამოხატვის იდენტური ტრანსფორმაცია ამ ნაკრებზე.

ასე რომ, გამოსახულების 5(x + 2) ჩანაცვლებით გამოსახულებით 5x + 10, რომელიც მისი იდენტურად ტოლია, ჩვენ შევასრულეთ პირველი გამოსახულების იდენტური ტრანსფორმაცია. მაგრამ როგორ გავარკვიოთ, ორი გამონათქვამის გათვალისწინებით, ტოლია თუ არა ისინი? იპოვეთ გამონათქვამების შესაბამისი მნიშვნელობები ცვლადების კონკრეტული რიცხვების ჩანაცვლებით? გრძელი და ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. მაგრამ მაშინ რა წესები უნდა დაიცვან გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნების შესრულებისას? ამ წესებიდან ბევრია, მათ შორისაა ალგებრული მოქმედებების თვისებები.

დავალება.გამოთქმის ფაქტორზე ax - bx + ab - b 2 .

გამოსავალი.მოდით დავაჯგუფოთ ამ გამონათქვამის წევრები ორად (პირველი მეორესთან, მესამე მეოთხესთან): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). ეს ტრანსფორმაცია შესაძლებელია რეალური რიცხვების შეკრების ასოციაციურობის თვისების საფუძველზე.

ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს მიღებულ გამოხატულებაში თითოეული ფრჩხილიდან: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - ეს ტრანსფორმაცია შესაძლებელია განაწილების საფუძველზე გამრავლების თვისება რეალური რიცხვების გამოკლების მიმართ.

შედეგად გამოსახულებაში, ტერმინებს აქვთ საერთო ფაქტორი, ჩვენ ამოვიღებთ მას ფრჩხილებიდან: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). შესრულებული ტრანსფორმაციის საფუძველია შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება.

ასე რომ, ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

მათემატიკის საწყის კურსში, როგორც წესი, ხდება მხოლოდ რიცხვითი გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები. თეორიული საფუძველიასეთი გარდაქმნებია შეკრებისა და გამრავლების თვისებები, სხვადასხვა წესები: რიცხვისთვის ჯამის მიმატება, ჯამისთვის რიცხვის, ჯამიდან რიცხვის გამოკლება და ა.შ.

მაგალითად, 35 × 4 ნამრავლის საპოვნელად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გარდაქმნები: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. შესრულებული გარდაქმნები ეფუძნება: შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელ თვისებას; ათობითი რიცხვების სისტემაში რიცხვების ჩაწერის პრინციპი (35 = 30 + 5); ნატურალური რიცხვების გამრავლებისა და შეკრების წესები.

რიცხვები და გამონათქვამები, რომლებიც ქმნიან თავდაპირველ გამოსახულებას, შეიძლება შეიცვალოს გამონათქვამებით, რომლებიც იდენტურია მათთან. ორიგინალური გამოხატვის ასეთი ტრანსფორმაცია იწვევს მის იდენტურად ტოლ გამონათქვამს.

მაგალითად, გამონათქვამში 3+x რიცხვი 3 შეიძლება შეიცვალოს ჯამით 1+2, რის შედეგადაც მიიღება გამოთქმა (1+2)+x, რომელიც იდენტურად უდრის თავდაპირველ გამოსახულებას. კიდევ ერთი მაგალითი: გამონათქვამში 1+a 5 a 5-ის ხარისხი შეიძლება შეიცვალოს მის იდენტურად ტოლი ნამრავლით, მაგალითად, a·a 4 ფორმის. ეს მოგვცემს გამოთქმას 1+a·a 4 .

ეს ტრანსფორმაცია უდავოდ ხელოვნურია და, როგორც წესი, მზადებაა შემდგომი ტრანსფორმაციისთვის. მაგალითად, ჯამში 4·x 3 +2·x 2, ხარისხის თვისებების გათვალისწინებით, ტერმინი 4·x 3 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ნამრავლი 2·x 2 ·2·x. ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს 2·x 2 ·2·x+2·x 2 ფორმას. ცხადია, მიღებულ ჯამში მოცემულ ტერმინებს აქვთ საერთო კოეფიციენტი 2 x 2, ამიტომ შეგვიძლია შევასრულოთ შემდეგი ტრანსფორმაცია - ფრჩხილები. ამის შემდეგ მივალთ გამოთქმამდე: 2 x 2 (2 x+1) .

ერთი და იგივე რიცხვის შეკრება და გამოკლება

სხვა ხელოვნური ტრანსფორმაციაგამოხატულება არის ერთი და იგივე რიცხვის ან გამონათქვამის შეკრება და გამოკლება. ასეთი ტრანსფორმაცია იდენტურია, რადგან ის, ფაქტობრივად, უდრის ნულის დამატებას, ხოლო ნულის დამატება მნიშვნელობას არ ცვლის.

განვიხილოთ მაგალითი. ავიღოთ გამოხატულება x 2 +2 x . თუ მას ერთს დაუმატებთ და ერთს გამოაკლებთ, ეს საშუალებას მოგცემთ განახორციელოთ კიდევ ერთი იდენტური ტრანსფორმაცია მომავალში - აირჩიეთ ბინომის კვადრატი: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-17 გამოცემა, დამატება. - მ.: მნემოზინა, 2013. - 175გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-02432-3.