იპოვნეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების გამონათქვამების მნიშვნელობა. გაკვეთილი "ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივება"

განყოფილებები: Მათემატიკა

Კლასი: 11

Გაკვეთილი 1

Თემა: მე -11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)

ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივება.

მარტივი გამოსავალი ტრიგონომეტრიული განტოლებები... (2 საათი)

მიზნები:

ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყენებასთან და უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული სტუდენტების ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაციის, განზოგადების, გაფართოების მიზნით.

გაკვეთილის აღჭურვილობა:

გაკვეთილის სტრუქტურა:

ორგანიზაციული მომენტი
ლაპტოპებზე ტესტირება. შედეგების განხილვა.
ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება
უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
დამოუკიდებელი სამუშაო.
გაკვეთილის რეზიუმე. სახლის დავალების განმარტება.

1. ორგანიზაციული მომენტი. (2 წუთი.)

მასწავლებელი მიესალმება აუდიტორიას, აცხადებს გაკვეთილის თემას, ახსენებს წინა დავალებას, რომ გაიმეორონ ტრიგონომეტრიის ფორმულები და ადგენს მოსწავლეებს ტესტირებისთვის.

2. ტესტირება. (15 წთ + 3 წთ დისკუსია)

მიზანი ცოდნის შემოწმებაა ტრიგონომეტრიული ფორმულები და მათი გამოყენების შესაძლებლობა. თითოეულ სტუდენტს სამუშაო მაგიდაზე აქვს ნოუთბუქი, სატესტო ვერსიით.

შეიძლება არსებობდეს ნებისმიერი რაოდენობის ვარიანტი, მე მოვიყვან ერთ-ერთის მაგალითს:

ვარიანტი I.

გამონათქვამების გამარტივება:

ა) ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

1. ცოდვა 2 3y + cos 2 3y + 1;

ბ) დამატების ფორმულები

3.sin5x - sin3x;

გ) პროდუქტის ჯამში გადაკეთება

6.2 სინ 8 მყუდრო;

დ) ორმაგი კუთხის ფორმულები

7.2 სინ 5 x cos5x;

ე) ნახევრადკუთხოვანი ფორმულები

ვ) სამკუთხოვანი ფორმულები

ზ) უნივერსალური ჩანაცვლება

თ) ხარისხის დაწევა

16.cos 2 (3x / 7);

სტუდენტები ლეპტოპზე ხედავენ თავიანთ პასუხებს თითოეული ფორმულის წინ.

სამუშაო მყისიერად ამოწმებს კომპიუტერს. შედეგები ნაჩვენებია დიდ ეკრანზე, რომ ყველას ნახოს.

ასევე, სამუშაოს დასრულების შემდეგ, სწორი პასუხები ჩანს მოსწავლეების ლაპტოპებზე. თითოეული მოსწავლე ხედავს, სად მოხდა შეცდომა და რა ფორმულების გამეორება სჭირდება.

3. ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივება. (25 წთ.)

მიზანი არის ძირითადი ტრიგონომეტრიის ფორმულების განხილვა, პრაქტიკა და კონსოლიდაცია. გამოცდებიდან B7 პრობლემების გადაჭრა.

ამ ეტაპზე მიზანშეწონილია, რომ კლასი იყოფა ძლიერ (დამოუკიდებლად იმუშავეთ შემდგომი შემოწმებით) და სუსტი მოსწავლეების ჯგუფებად, რომლებიც მასწავლებელთან მუშაობენ.

დავალება ძლიერი მოსწავლეებისთვის (წინასწარ მომზადებულია ბეჭდურ საფუძველზე). ძირითადი აქცენტი გაკეთებულია შემცირებისა და ორმაგი კუთხის ფორმულებზე, 2011 წლის გამოცდის მიხედვით.

გამონათქვამების გამარტივება (ძლიერი მოსწავლეებისთვის):

პარალელურად, მასწავლებელი მუშაობს სუსტ მოსწავლეებთან, განიხილავს და ამოხსნის ამოცანებს ეკრანზე, მოსწავლეების კარნახით.

გამოთვალეთ:

5) ცოდვა (270º - α) + cos (270º + α)

გამარტივება:

რიგი იყო ძლიერი ჯგუფის მუშაობის შედეგების განხილვა.

ეკრანზე გამოჩნდება პასუხები და ასევე, ვიდეოკამერის დახმარებით, ნაჩვენებია 5 სხვადასხვა სტუდენტის ნამუშევარი (თითო დავალება თითოეული).

სუსტი ჯგუფი ხედავს გადაწყვეტის მდგომარეობას და მეთოდს. განხილვა და ანალიზი მიმდინარეობს. ტექნიკური საშუალებების გამოყენებით, ეს ხდება სწრაფად.

4. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. (30 წთ.)

მიზანი არის უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის გამეორება, სისტემატიზაცია და განზოგადება, მათი ფესვების ჩაწერა. პრობლემის გადაჭრა B3.

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება, არ აქვს მნიშვნელობა როგორ მოვაგვარებთ მას, მივყავართ უმარტივესამდე.

დავალების შესრულებისას მოსწავლეები უნდა მიზიდულ იქნენ სპეციალური შემთხვევების განტოლებების ფესვებისა და ზოგადი ფორმის აღრიცხვაზე და ფუძეთა შერჩევაში ბოლო განტოლებაში.

განტოლებების ამოხსნა:

საპასუხოდ დაწერეთ ყველაზე მცირე დადებითი ფესვი.

5. დამოუკიდებელი სამუშაო (10 წთ.)

მიზანი არის შეძენილი უნარების შემოწმება, პრობლემების, შეცდომებისა და მათი აღმოფხვრის გზების გამოვლენა.

სხვადასხვა დონის სამუშაო გვთავაზობს სტუდენტის არჩევანს.

ვარიანტი "3"

1) იპოვნე გამოთქმის მნიშვნელობა

2) გაამარტივეთ გამოთქმა 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) განტოლების ამოხსნა

ვარიანტი "4"

1) იპოვნე გამოთქმის მნიშვნელობა

2) განტოლების ამოხსნა დაწერეთ პასუხში ყველაზე პატარა პოზიტიური ფესვი.

ვარიანტი "5"

1) იპოვნეთ tgα თუ

2) იპოვნეთ განტოლების ფესვი თქვენს პასუხში დაწერეთ ყველაზე მცირე პოზიტიური ფესვი.

6. გაკვეთილის რეზიუმე (5 წთ.)

მასწავლებელი აჯამებს იმ ფაქტს, რომ გაკვეთილზე მათ გაიმეორეს და აერთიანეს ტრიგონომეტრიული ფორმულები, უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

საშინაო დავალების დავალება (წინასწარ მომზადებულია ბეჭდურ საფუძველზე) შემდეგ გაკვეთილზე ადგილზე შემოწმება.

განტოლებების ამოხსნა:

10) თქვენს პასუხში მიუთითეთ ყველაზე მცირე პოზიტიური ფესვი.

სესია 2

Თემა: მე -11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. ფესვების შერჩევა. (2 საათი)

მიზნები:

სხვადასხვა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შესახებ ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია.
მოსწავლეთა მათემატიკური აზროვნების განვითარების ხელშეწყობა, დაკვირვების, შედარების, განზოგადების, კლასიფიკაციის უნარი.
წაახალისეთ მოსწავლეები, გადალახონ სირთულეები გონებრივი აქტივობის პროცესში, თვითკონტროლი, თავიანთი საქმიანობის ინტროსპექტივა.

გაკვეთილის აღჭურვილობა: KRMu, ლაპტოპები თითოეული სტუდენტისთვის.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

ორგანიზაციული მომენტი
დისკუსია d / h და samot. ბოლო გაკვეთილის ნამუშევრები
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
ფესვების შერჩევა ტრიგონომეტრიულ განტოლებებში.
დამოუკიდებელი სამუშაო.
გაკვეთილის რეზიუმე. Საშინაო დავალება.

1. ორგანიზაციული მომენტი (2 წთ)

მასწავლებელი ესალმება აუდიტორიას, აცხადებს გაკვეთილის თემას და სამუშაო გეგმას.

2. ა) საშინაო დავალების მიმოხილვა (5 წთ.)

მიზანი არის შესრულების შემოწმება. ეკრანზე ნაჩვენებია ერთი ნამუშევარი ვიდეოკამერის დახმარებით, დანარჩენები შერჩევით გროვდება მასწავლებლის შემოწმებისთვის.

ბ) დამოუკიდებელი სამუშაოს ანალიზი (3 წთ.)

მიზანი შეცდომების გაანალიზება, მათი დაძლევის გზების მითითებაა.

ეკრანზე, პასუხებსა და ამოხსნებზე, მოსწავლეებს წინასწარ აქვთ დადგენილი სამუშაო. ანალიზი სწრაფად ვითარდება.

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება (5 წთ.)

მიზანი არის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გახსენება.

ჰკითხეთ მოსწავლეებს, რა მეთოდები იციან ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას. ხაზგასმით აღნიშნეთ, რომ არსებობს ე.წ. ძირითადი (ხშირად გამოყენებული) მეთოდები:

ცვლადი ჩანაცვლება,
ფაქტორიზაცია,
ერთგვაროვანი განტოლებები,

და არსებობს გამოყენებული მეთოდები:

თანხის პროდუქტად და პროდუქტის ჯამად გადაქცევის ფორმულების მიხედვით
ხარისხის შემცირების ფორმულების მიხედვით,
უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება
დამხმარე კუთხის დანერგვა,
გამრავლება ზოგიერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე.

ასევე უნდა გვახსოვდეს, რომ ერთი განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია სხვადასხვა გზით.

4. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა (30 წთ.)

მიზანი არის ამ თემაზე ცოდნისა და უნარების განზოგადება და კონსოლიდაცია, გამოცდისგან C1– ის გადაწყვეტილებისთვის მომზადება.

მიზანშეწონილად მიმაჩნია თითოეული მეთოდის განტოლებების ამოხსნა სტუდენტებთან ერთად.

მოსწავლე ხსნის გამოსავალს, მასწავლებელი წერს ტაბლეტზე, ეკრანზე ჩანს მთელი პროცესი. ეს საშუალებას მოგცემთ სწრაფად და ეფექტურად გაიხსენოთ ადრე დაფარული მასალა.

განტოლებების ამოხსნა:

1) ცვლადი 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) ფაქტორი 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) ერთგვაროვანი განტოლებები sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) ჯამის გარდაქმნა პროდუქტზე cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) პროდუქტის გარდაქმნა ჯამში 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) სიმძლავრის დაწევა sin2x - ცოდვა 2 2x + ცოდვა 2 3x \u003d 0.5

7) უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

ამ განტოლების ამოხსნისას უნდა აღინიშნოს, რომ ამ მეთოდის გამოყენებას მივყავართ განმარტების დომენის შევიწროებას, რადგან სინუსი და კოსინუსი იცვლება tg (x / 2). ამიტომ, პასუხის დაწერამდე უნდა შეამოწმოთ, არის π + 2πn, n Z სიმრავლის რიცხვები ამ განტოლების ცხენები.

8) დამხმარე კუთხის დანერგვა √3 სინქსი + კოსქსი - √2 \u003d 0

9) გამრავლება ზოგიერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების შერჩევა (20 წთ.)

ვინაიდან სასტიკი კონკურენციის პირობებში უნივერსიტეტებში შესვლისას, გამოცდის ერთი პირველი ნაწილის ამოხსნა საკმარისი არ არის, სტუდენტთა უმეტესობამ ყურადღება უნდა მიაქციოს მეორე ნაწილის ამოცანებს (C1, C2, C3).

ამიტომ, გაკვეთილის ამ ეტაპის მიზანია ადრე შესწავლილი მასალის გახსენება, 2011 წლის USE– დან C1 პრობლემის გადაჭრისთვის მომზადება.

არსებობს ტრიგონომეტრიული განტოლებები, რომელშიც პასუხის არჩევისას უნდა აირჩიოთ ფესვები. ეს გამოწვეულია გარკვეული შეზღუდვებით, მაგალითად: წილადის მნიშვნელი არ არის ნულოვანი, თანაბარი ფესვის ქვეშ გამოხატვა არის არაუარყოფითი, ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოხატვა დადებითია და ა.შ.

ასეთი განტოლებები განიხილება გაზრდილი სირთულის განტოლებებად და USE- ს ვერსიაში მოცემულია მეორე ნაწილში, კერძოდ C1.

ამოხსენით განტოლება:

წილადი ნულოვანია, თუ მაშინ ერთეულის წრის გამოყენებით, ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს (იხ. სურათი 1)

სურათი 1.

მივიღებთ x \u003d π + 2πn, n Z

პასუხი: π + 2πn, n Z

ეკრანზე ფესვების შერჩევა ნაჩვენებია წრეზე ფერადი გამოსახულებით.

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია, რკალი კი არ კარგავს თავის მნიშვნელობას. შემდეგ

შეარჩიეთ ფესვები ერთეულის წრის გამოყენებით (იხილეთ სურათი 2)

ვიდეო გაკვეთილი "ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება" მიზნად ისახავს მოსწავლეების უნარების განვითარებას ტრიგონომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას, ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობების გამოყენებით. ვიდეო გაკვეთილის მსვლელობისას განხილულია ტრიგონომეტრიული იდენტურობის ტიპები, მათი გამოყენებით პრობლემების გადაჭრის მაგალითები. ვიზუალური დახმარების გამოყენებით მასწავლებლისთვის უფრო ადვილია გაკვეთილის მიზნების მიღწევა. მასალის ნათელი წარმოდგენა ხელს უწყობს მნიშვნელოვანი პუნქტების დამახსოვრებას. ანიმაციური ეფექტების გამოყენება და დუბლირება საშუალებას გაძლევთ მთლიანად შეცვალოთ მასწავლებელი მასალის ახსნის ეტაპზე. ამრიგად, ამ ვიზუალური დახმარების გამოყენებით მათემატიკის გაკვეთილებზე მასწავლებელს შეუძლია გაზარდოს სწავლების ეფექტურობა.

ვიდეო გაკვეთილის დასაწყისში ცხადდება მისი თემა. შემდეგ გაიხსენება ადრე შესწავლილი ტრიგონომეტრიული იდენტობები. ეკრანზე ჩანს ტოლობები sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, სადაც t ≠ π / 2 + πk kϵZ, ctg t \u003d cos t / sin t, ძალაშია t ≠ πk, სადაც kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, t ≠ πk / 2, სადაც kϵZ, რომელსაც უწოდებენ ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტობებს. აღინიშნა, რომ ამ პირადობებს ხშირად იყენებენ პრობლემების გადასაჭრელად, როდესაც საჭიროა თანასწორობის დამტკიცება ან გამოხატვის გამარტივება.

გარდა ამისა, განხილულია ამ იდენტურობის გამოყენების მაგალითები პრობლემების გადაჭრისას. პირველ რიგში, შემოთავაზებულია პრობლემების გადაჭრის განხილვა გამონათქვამების გამარტივების მიზნით. 1 მაგალითში აუცილებელია გამოხატვის გამარტივება cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t. მაგალითის გადასაჭრელად, პირველ რიგში განათავსეთ საერთო ფაქტორი cos 2 t ფრჩხილების გარეთ. ფრჩხილებში ასეთი ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამოხატვა 1- cos 2 t, რომლის მნიშვნელობა ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტურობიდან უდრის sin 2 t. გამოხატვის გარდაქმნის შემდეგ აშკარაა, რომ კიდევ ერთი საერთო ფაქტორი sin 2 t შეიძლება ფრჩხილებში ჩაირთოს, რის შემდეგაც გამოხატვა იღებს sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) ფორმას. იგივე ძირითადი იდენტურობისგან ვიღებთ ფრჩხილებში გამოხატვის მნიშვნელობას, ტოლი 1. გამარტივების შედეგად ვიღებთ cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t.

მაგალითში 2, ასევე უნდა გამარტივდეს გამოხატვის ღირებულება / (1- სინტი) + ღირებულება / (1+ სინტი). მას შემდეგ, რაც გამოხატვის ღირებულება არის ორივე წილადის მრიცხველში, ეს შეიძლება იყოს ფრჩხილებში, როგორც საერთო ფაქტორი. შემდეგ ფრჩხილებში წილადები შემცირდება საერთო მნიშვნელობამდე გამრავლებით (1-სინტი) (1+ სინტი). მრიცხველში ასეთი ტერმინების შემოტანის შემდეგ რჩება 2, ხოლო მნიშვნელში 1 - sin 2 t. ეკრანის მარჯვენა მხარეს გაიხსენება ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა sin 2 t + cos 2 t \u003d 1. მისი გამოყენებით ვიპოვით წილადის cos 2 t მნიშვნელს. წილადის შემცირების შემდეგ ვიღებთ გამოხატვის ღირებულების გამარტივებულ ფორმას / (1- სინტი) + ღირებულება / (1+ სინტი) \u003d 2 / ღირებულება.

გარდა ამისა, განხილულია პირადობის დამადასტურებელი საბუთები, რომლებშიც გამოიყენება ცოდნა ტრიგონომეტრიის ძირითადი იდენტურობის შესახებ. მე -3 მაგალითში აუცილებელია პირადობის დადასტურება (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. ეკრანის მარჯვენა მხარეს ნაჩვენებია სამი იდენტურობა, რომლებიც დასამტკიცებლად იქნება საჭირო - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t და tg t \u003d sin t / cos t შეზღუდვებით. პირადობის დასამტკიცებლად ჯერ ფრჩხილები ფართოვდება, რის შემდეგაც წარმოიქმნება პროდუქტი, რომელიც ასახავს მაგისტრატურის გამოხატვას ტრიგონომეტრიული იდენტურობა tg t ctg t \u003d 1. შემდეგ, კოტანგენტის განმარტების იდენტურობის შესაბამისად, ctg 2 t გარდაიქმნება. გარდაქმნების შედეგად მიიღება 1-cos 2 t გამოხატვა. ძირითადი იდენტურობის გამოყენებით ვიპოვით გამოხატვის მნიშვნელობას. ამრიგად, დამტკიცებულია, რომ (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t.

მაგალითში 4, თქვენ უნდა იპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა tg 2 t + ctg 2 t, თუ tg t + ctg t \u003d 6. გამოთვლის გამოსათვლელად, პირველ რიგში მოცემულია ტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეები (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2. შემოკლებული გამრავლების ფორმულა ეკრანის მარჯვენა მხარეს წააგავს. გამოხატვის მარცხენა მხარეს ფრჩხილების გახსნის შემდეგ იქმნება ჯამი tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t, რომლის გარდაქმნისთვის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ერთ – ერთი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა tg t · ctg t \u003d 1, რომლის ფორმაც შეგახსენებთ ეკრანის მარჯვენა მხარეს. გარდაქმნის შემდეგ მივიღებთ თანასწორობას tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34. თანასწორობის მარცხენა მხარე ემთხვევა პრობლემის პირობას, ამიტომ პასუხი არის 34. პრობლემა მოგვარებულია.

ვიდეო გაკვეთილი "ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება" რეკომენდირებულია გამოიყენოს ტრადიციული სკოლის მათემატიკის გაკვეთილზე. ასევე, მასალა სასარგებლო იქნება მასწავლებლისთვის, რომელიც ახორციელებს დისტანციური სწავლებას. ტრიგონომეტრიული პრობლემების გადაჭრის უნარების განვითარების მიზნით.

ტექსტური კოდი:

"ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივება".

Თანასწორობა

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (სინუს კვადრატი te პლუს კოსინუს კვადრატი te უდრის ერთს)

2) tgt \u003d, t ≠ + πk, kϵZ (tangent te უდრის სინუსის te თანაფარდობას კოსინუსთან, როდესაც te არ არის pi ტოლი ორი პლიუს pi ka, a ეკუთვნის zet)

3) ctgt \u003d, t ≠ πk, kϵZ (კოტანგენტი te უდრის კოსინუსის te და sine te თანაფარდობას, როდესაც te ტოლი არ არის მწვერვალი, ka ეკუთვნის z).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 t ≠, kϵZ (tangent te და cotangent te პროდუქტის ტოლია ერთი თუ te ტოლი არ არის მწვერვალი, გაყოფილი ორზე, კა ეკუთვნის z)

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები ეწოდება.

ისინი ხშირად იყენებენ ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივებისა და დამტკიცების მიზნით.

მოდით ვნახოთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივების მიზნით.

მაგალითი 1: გაამარტივეთ გამოთქმა: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (გამოხატვა არის კოსინუსი კვადრატში te მინუს მეოთხე ხარისხის კოსინუსი te პლუს მეოთხე ხარისხის sine te).

გადაწყვეტილება. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d ცოდვა 2 t (cos 2 t + sin 2 ტ) \u003d ცოდვა 2 ტ 1 \u003d ცოდვა 2 ტ

(ჩვენ ამოვიღებთ საერთო კოეფიციენტის კოსინუს კვადრატს te, ფრჩხილებში ვიღებთ სხვაობას ერთიანობასა და კოსინუს კვადრატს შორის, რომელიც ტოლია სინუსის კვადრატის პირველი იდენტობით. მივიღებთ პროდუქტის კოსინუს კვადრატის te და sine კვადრატის te მეოთხე ხარისხის სინუსის ჯამს. საერთო ფაქტორი sine კვადრატი te ამოღებულია ფრჩხილებში, ფრჩხილებში მივიღებთ კოსინუსის და სინუსის კვადრატების ჯამს, რომელიც ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობით უტოლდება 1. შედეგად, მივიღებთ სინუსის კვადრატს).

მაგალითი 2: გაამარტივეთ გამოხატვა: +.

(გამოხატვა ba არის ორი წილადის ჯამი პირველი კოსინუსის te მრიცხველში მნიშვნელში ერთი minus sine te, მეორე კოსინუსის te მრიცხველში მნიშვნელში მეორე ერთეული plus sine te).

(ავიღოთ ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორი კოსინუსი და ფრჩხილებში მივუტანოთ მას საერთო მნიშვნელობამდე, რომელიც არის ერთი მინუს sine te და ერთი პლუს sine te.

მრიცხველში მივიღებთ: ერთი პლუს sine te პლუს ერთი მინუს sine te, მივცემთ მსგავსს, მრიცხველი უდრის ორს მსგავსიდან.

მნიშვნელში შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა (კვადრატების სხვაობა) და მიიღოთ განსხვავება სინუსის კვადრატსა და ერთეულს შორის, რაც ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის შესაბამისად

ტოლია კოსინუსის te კვადრატის. კოსინუსით გაუქმების შემდეგ მივიღებთ საბოლოო პასუხს: ორი გაყოფილი კოსინუსზე te).

მოდით განვიხილოთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამოთქმების დამტკიცებისას.

მაგალითი 3. დაამტკიცეთ იდენტობა (tg 2 t - sin 2 t) t ctg 2 t \u003d sin 2 t (ტანგენტის te და sine te კვადრატებსა და კოტანგანტის te კვადრატებს შორის სხვაობის პროდუქტი ტოლია sine te კვადრატისა).

მტკიცებულებები.

მოდით გარდავქმნათ თანასწორობის მარცხენა მხარე:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - კოს 2 ტ \u003d ცოდვა 2 ტ

(გავხსნათ ფრჩხილები, ადრე მიღებული მიმართულებიდან ცნობილია, რომ tangent te და cotangent te კვადრატების პროდუქტი ტოლია 1. შეგახსენებთ, რომ cotangent te უდრის კოსინუს te და sine te თანაფარდობას, რაც ნიშნავს რომ კოტანგენტის კვადრატი არის კოსინუსის კვადრატისა და სინუს te კვადრატის თანაფარდობა.

Te სინუსის მიერ კვადრატის გაუქმების შემდეგ მივიღებთ სხვაობას კვადრატის te ერთეულსა და კოსინუსზე, რომელიც უდრის te კვადრატის სინუსს). Q.E.D.

მაგალითი 4 იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა tg 2 t + ctg 2 t, თუ tgt + ctgt \u003d 6.

(tangent te და cotangent te კვადრატების ჯამი, თუ tangent და cotangent ჯამი ექვსია).

გადაწყვეტილება. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

მოდით დავუშვათ ორიგინალი თანასწორობის ორივე მხარე:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (tangent te და cotangent te ჯამის კვადრატი უდრის ექვს კვადრატს). გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა: ორი სიდიდის ჯამის კვადრატი უდრის პირველს კვადრატს პლუს ორჯერ მეორის ნამრავლის მეორეზე დამატებული მეორის კვადრატის. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 მივიღებთ tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (tangent square te plus ორმაგი პროდუქტი tangent te და cotangent te plus cotangent squared te არის ოცდათექვსმეტი) ...

მას შემდეგ, რაც tangent te და cotangent te პროდუქტის ტოლია ერთი, მაშინ tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (tan te და კოტანგანტის te და ორი კვადრატების ჯამი ოცდათექვსმეტია),

IN იდენტური გარდაქმნები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები შემდეგი ალგებრული ტექნიკის გამოყენებაა შესაძლებელი: იგივე ტერმინების შეკრება და გამოკლება; ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღება; გამრავლება და გაყოფა იმავე ოდენობით; შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება; სრული კვადრატის შერჩევა; კვადრატული ტრინიუმის ფაქტორიზაცია; გარდაქმნების გამარტივების მიზნით ახალი ცვლადების დანერგვა.

სამკუთხედის შემცველი ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გარდაქმნისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროპორციის, წილადების შემცირების ან წილადების საერთო მნიშვნელობად გადაქცევის თვისებები. გარდა ამისა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრაქციის მთელი ნაწილის შერჩევა, ნამრავლის და წილადის მნიშვნელის გამრავლებით იმავე რაოდენობით და, თუ ეს შესაძლებელია, გაითვალისწინეთ მრიცხველის ან მნიშვნელის ერთგვაროვნება. საჭიროების შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ წილადი, როგორც რამდენიმე მარტივი წილადის ჯამი ან სხვაობა.

გარდა ამისა, ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გადაკეთების ყველა საჭირო მეთოდის გამოყენებით, აუცილებელია მუდმივად გაითვალისწინოთ გარდაქმნილი გამოხატვის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი.

მოდით ვნახოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1.

გამოთვალეთ А \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ ცოდვა (3π / 2 - x) ცოდვა (2x -5π / 2)) 2

გადაწყვეტილება.

ეს გამომდინარეობს შემცირების ფორმულებიდან:

ცოდვა (2x - π) \u003d-ცოდვა 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

ცოდვა (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d-ცოდვა x;

cos (x - π / 2) \u003d ცოდვა x; cos (2x - 7π / 2) \u003d-ცოდვა 2x;

ცოდვა (3π / 2 - x) \u003d -cos x; ცოდვა (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

საიდანაც, არგუმენტების დამატების ფორმულების და ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის საფუძველზე ვიღებთ

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d ცოდვა 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d ცოდვა 2 3x + კოს 2 3x \u003d 1

პასუხი: 1.

მაგალითი 2.

გამოხატვა М \u003d cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ გადააქციეთ პროდუქტად.

გადაწყვეტილება.

არგუმენტების დამატების ფორმულებიდან და შესაბამისი დაჯგუფების შემდეგ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის პროდუქტად გარდაქმნის ფორმულებიდან, ჩვენ გვაქვს

М \u003d (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

პასუხი: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

მაგალითი 3.

აჩვენეთ, რომ გამოხატვა A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) იღებს ყველა x- ს R ერთიდან და იგივე მნიშვნელობა. იპოვნეთ ეს მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

აქ მოცემულია ამ პრობლემის გადაჭრის ორი გზა. პირველი მეთოდის გამოყენებით, სრული კვადრატის არჩევით და შესაბამისი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4 სინ 2 x სინ 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

ცოდვა 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

პრობლემის გადაჭრა მეორე გზით, განვიხილოთ A, როგორც R ფუნქციის x ფუნქცია და გამოვთვალოთ მისი წარმოებული. გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ

А´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) ცოდვა (x + π / 6)) - 2 ცალი (x - π / 6) ცოდვა (x - π / 6) \u003d

ცოდვა 2 (x + π / 6) + ცოდვა ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - ცოდვა 2 (x - π / 6) \u003d

ცოდვა 2x - (ცოდვა (2x + π / 3) + ცოდვა (2x - π / 3)) \u003d

ცოდვა 2x - 2 სინ 2x cos π / 3 \u003d ცოდვა 2x - ცოდვა 2x ≡ 0.

ამრიგად, ინტერვალის მიხედვით დიფერენცირებადი ფუნქციის მუდმივობის კრიტერიუმის შესაბამისად, ჩვენ ვასკვნით, რომ

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R

პასუხი: A \u003d 3/4 x € R- ზე

ტრიგონომეტრიული იდენტურობის დამტკიცების ძირითადი მეთოდებია:

და) იდენტურობის მარცხენა მხარის მარჯვნივ შემცირება შესაბამისი ტრანსფორმაციებით;
ბ) იდენტურობის მარჯვენა მხარის შემცირება მარცხნივ;
in) იდენტურობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეების შემცირება იმავე სახეობამდე;
დ) ნულამდე შემცირებისას იდენტურობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს შორის სხვაობა მტკიცდება.

მაგალითი 4.

შეამოწმეთ რომ cos 3x \u003d -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

გადაწყვეტილება.

ამ იდენტურობის მარჯვენა მხარეს გარდაქმნა შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფორმულების შესაბამისად, ჩვენ გვაქვს

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d Cos 3x.

პირადობის მარჯვენა მხარე შემცირებულია მარცხნივ.

მაგალითი 5.

დაამტკიცეთ, რომ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d 2 თუ α, β, γ არის ზოგიერთი სამკუთხედის შიდა კუთხე.

გადაწყვეტილება.

იმის გათვალისწინებით, რომ α, β, γ არის ზოგიერთი სამკუთხედის შიდა კუთხეები, მივიღებთ ამას

α + β + γ \u003d π და, შესაბამისად, γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

დადასტურებულია ორიგინალური თანასწორობა.

მაგალითი 6.

იმის დასამტკიცებლად, რომ სამკუთხედის α, β, γ ერთ-ერთი კუთხის 60 ° -იანი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

გადაწყვეტილება.

ამ პრობლემის მდგომარეობა გულისხმობს როგორც აუცილებლობის, ასევე საკმარისობის დადასტურებას.

პირველი, ჩვენ დავამტკიცებთ აუცილებლობა.

შეიძლება აჩვენოს, რომ

ცოდვა 3α + ცოდვა 3β + ცოდვა 3γ \u003d -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

აქედან გამომდინარე, იმის გათვალისწინებით, რომ cos (3/2 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, მივიღებთ იმას, რომ თუ α, β ან γ ერთ-ერთი კუთხე არის 60 °, მაშინ

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0 და, შესაბამისად, ცოდვა 3α + ცოდვა 3β + ცოდვა 3γ \u003d 0.

მოდით ახლა დავამტკიცოთ ადეკვატურობა მითითებული მდგომარეობა.

თუ ცოდვა 3α + ცოდვა 3β + ცოდვა 3γ \u003d 0, მაშინ cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, და შესაბამისად

ან cos (3α / 2) \u003d 0, ან cos (3β / 2) \u003d 0, ან cos (3γ / 2) \u003d 0.

აქედან,

ან 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, ე.ი. α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

ან 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, ე.ი. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

ან 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

იმ γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, სადაც k ϵ Z.

მას შემდეგ, რაც α, β, γ არის სამკუთხედის კუთხეები, ჩვენ გვაქვს

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

ამიტომ, α \u003d π / 3 + 2πk / 3 ან β \u003d π / 3 + 2πk / 3 ან

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 kϵZ მხოლოდ k \u003d 0 შეესაბამება.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ან α \u003d π / 3 \u003d 60 °, ან β \u003d π / 3 \u003d 60 °, ან γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

განცხადება დადასტურებულია.

კიდევ გაქვთ შეკითხვები? არ იცით როგორ გაამარტივოთ ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

განყოფილებები: Მათემატიკა

Კლასი: 11

Გაკვეთილი 1

Თემა: მე -11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)

ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივება.

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. (2 საათი)

მიზნები:

ტრიგონომეტრიის ფორმულების გამოყენებასთან და უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული სტუდენტების ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაციის, განზოგადების, გაფართოების მიზნით.

გაკვეთილის აღჭურვილობა:

გაკვეთილის სტრუქტურა:

ორგანიზაციული მომენტი
ლაპტოპებზე ტესტირება. შედეგების განხილვა.
ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება
უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
დამოუკიდებელი სამუშაო.
გაკვეთილის რეზიუმე. სახლის დავალების განმარტება.

1. ორგანიზაციული მომენტი. (2 წუთი.)

2. ტესტირება. (15 წთ + 3 წთ დისკუსია)

მიზანი არის ტრიგონომეტრიული ფორმულების ცოდნისა და მათი გამოყენების შესაძლებლობის შემოწმება. თითოეულ სტუდენტს სამუშაო მაგიდაზე აქვს ნოუთბუქი, სატესტო ვერსიით.

ვარიანტი I.

გამონათქვამების გამარტივება:

ა) ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები

1. ცოდვა 2 3y + cos 2 3y + 1;

ბ) დამატების ფორმულები

3.sin5x - sin3x;

გ) პროდუქტის ჯამში გადაკეთება

6.2 სინ 8 მყუდრო;

დ) ორმაგი კუთხის ფორმულები

7.2 სინ 5 x cos5x;

ე) ნახევრადკუთხოვანი ფორმულები

ვ) სამკუთხოვანი ფორმულები

ზ) უნივერსალური ჩანაცვლება

თ) ხარისხის დაწევა

16.cos 2 (3x / 7);

სტუდენტები ლეპტოპზე ხედავენ თავიანთ პასუხებს თითოეული ფორმულის წინ.

3. ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივება. (25 წთ.)

გამონათქვამების გამარტივება (ძლიერი მოსწავლეებისთვის):

გამოთვალეთ:

5) ცოდვა (270º - α) + cos (270º + α)

გამარტივება:

რიგი იყო ძლიერი ჯგუფის მუშაობის შედეგების განხილვა.

4. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. (30 წთ.)

განტოლებების ამოხსნა:

საპასუხოდ დაწერეთ ყველაზე მცირე დადებითი ფესვი.

5. დამოუკიდებელი სამუშაო (10 წთ.)

სხვადასხვა დონის სამუშაო გვთავაზობს სტუდენტის არჩევანს.

ვარიანტი "3"

1) იპოვნე გამოთქმის მნიშვნელობა

2) გაამარტივეთ გამოთქმა 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) განტოლების ამოხსნა

ვარიანტი "4"

1) იპოვნე გამოთქმის მნიშვნელობა

2) განტოლების ამოხსნა დაწერეთ პასუხში ყველაზე პატარა პოზიტიური ფესვი.

ვარიანტი "5"

1) იპოვნეთ tgα თუ

6. გაკვეთილის რეზიუმე (5 წთ.)

განტოლებების ამოხსნა:

10) თქვენს პასუხში მიუთითეთ ყველაზე მცირე პოზიტიური ფესვი.

სესია 2

Თემა: მე -11 კლასი (გამოცდისთვის მზადება)

ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები. ფესვების შერჩევა. (2 საათი)

მიზნები:

სხვადასხვა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შესახებ ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია.
მოსწავლეთა მათემატიკური აზროვნების განვითარების ხელშეწყობა, დაკვირვების, შედარების, განზოგადების, კლასიფიკაციის უნარი.
წაახალისეთ მოსწავლეები, გადალახონ სირთულეები გონებრივი აქტივობის პროცესში, თვითკონტროლი, თავიანთი საქმიანობის ინტროსპექტივა.

გაკვეთილის აღჭურვილობა: KRMu, ლაპტოპები თითოეული სტუდენტისთვის.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

ორგანიზაციული მომენტი
დისკუსია d / h და samot. ბოლო გაკვეთილის ნამუშევრები
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა
ფესვების შერჩევა ტრიგონომეტრიულ განტოლებებში.
დამოუკიდებელი სამუშაო.
გაკვეთილის რეზიუმე. Საშინაო დავალება.

1. ორგანიზაციული მომენტი (2 წთ)

2. ა) საშინაო დავალების მიმოხილვა (5 წთ.)

ბ) დამოუკიდებელი სამუშაოს ანალიზი (3 წთ.)

მიზანი შეცდომების გაანალიზება, მათი დაძლევის გზების მითითებაა.

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გამეორება (5 წთ.)

მიზანი არის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდების გახსენება.

ცვლადი ჩანაცვლება,
ფაქტორიზაცია,
ერთგვაროვანი განტოლებები,

და არსებობს გამოყენებული მეთოდები:

თანხის პროდუქტად და პროდუქტის ჯამად გადაქცევის ფორმულების მიხედვით
ხარისხის შემცირების ფორმულების მიხედვით,
უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება
დამხმარე კუთხის დანერგვა,
გამრავლება ზოგიერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე.

4. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა (30 წთ.)

განტოლებების ამოხსნა:

1) ცვლადი 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) ფაქტორი 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) ერთგვაროვანი განტოლებები sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) ჯამის გარდაქმნა პროდუქტზე cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) პროდუქტის გარდაქმნა ჯამში 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) სიმძლავრის დაწევა sin2x - ცოდვა 2 2x + ცოდვა 2 3x \u003d 0.5

7) უნივერსალური ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლება sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

8) დამხმარე კუთხის დანერგვა √3 სინქსი + კოსქსი - √2 \u003d 0

9) გამრავლება ზოგიერთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციაზე cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების შერჩევა (20 წთ.)

ამოხსენით განტოლება:

სურათი 1.

მივიღებთ x \u003d π + 2πn, n Z

პასუხი: π + 2πn, n Z

ეკრანზე ფესვების შერჩევა ნაჩვენებია წრეზე ფერადი გამოსახულებით.

შეარჩიეთ ფესვები ერთეულის წრის გამოყენებით (იხილეთ სურათი 2)

სურათი 2

მოდით სისტემაში გადასვლა:

სისტემის პირველ განტოლებაში ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილების ჟურნალს 2 (sinx) \u003d y, მივიღებთ შემდეგ განტოლებას , სისტემაში დაბრუნება

შეარჩიეთ ფესვები ერთეულის წრის გამოყენებით (იხ. სურათი 5),

სურათი 5

6. დამოუკიდებელი სამუშაო (15 წთ.)

მიზანი არის მასალის ათვისების კონსოლიდაცია და შემოწმება, შეცდომების იდენტიფიცირება, მათი გამოსწორების გზების დასახვა.

ნამუშევარი შემოთავაზებულია სამ ვარიანტში, წინასწარ მომზადებული ბეჭდური ფორმით, სტუდენტების არჩევანისთვის.

განტოლებების ამოხსნა შეგიძლიათ ნებისმიერი ფორმით.

ვარიანტი "3"

განტოლებების ამოხსნა:

1) 2 სინ 2 x + სინქსი - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3cosx

ვარიანტი "4"

განტოლებების ამოხსნა:

1) cos2x \u003d 11 სინქსი - 5

2) (2sinx + √3) ჟურნალი 8 (cosx) \u003d 0

ვარიანტი "5"

განტოლებების ამოხსნა:

1) 2 სინქსი - 3 კოსოსი \u003d 2

7. გაკვეთილის რეზიუმე, საშინაო დავალება (5 წთ.)

მასწავლებელი აჯამებს გაკვეთილს, კიდევ ერთხელ ამახვილებს ყურადღებას იმ ფაქტზე, რომ ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია რამდენიმე გზით. სწრაფი შედეგის მისაღწევად საუკეთესო გზაა ის, რომელიც საუკეთესოდ შეისწავლის ინდივიდუალურმა სტუდენტმა.

გამოცდისთვის მომზადებისას სისტემატიურად უნდა გაიმეოროთ ფორმულები და განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

ნაწილდება საშინაო დავალება (წინასწარ მომზადებულია ბეჭდურ საფუძველზე) და გაკეთებულია კომენტარები, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ზოგიერთი განტოლება.

განტოლებების ამოხსნა:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5 სინ (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4 სინ 2 x + sin2x \u003d 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - ცოდვა 2 4x \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4 სინქსი - 6 კოსოსი \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)

ვორონკოვა ოლგა ივანოვნა

MBOU "საშუალო სკოლა

No 18 "

ენგელსი, სარატოვის მხარე.

მათემატიკის მასწავლებელი.

"ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები და მათი გარდაქმნები"

შესავალი ……………………………………………………………………… .... 3

თავი 1 დავალებების კლასიფიკაცია ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გარდაქმნების გამოყენებისთვის …………………………. …………………… ... 5

1.1. გაანგარიშების ამოცანები ტრიგონომეტრიული გამოთქმების მნიშვნელობები ……… .5

1.2. ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივების ამოცანები ... 7

1.3. ამოცანები რიცხვითი ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გარდაქმნისთვის ... ..7

1.4 შერეული დავალებები ………………………………………………… ..... 9

თავი 2. თემის საბოლოო გამეორების ორგანიზაციული მეთოდოლოგიური ასპექტები "ტრიგონომეტრიული გამოთქმების ტრანსფორმაცია" …………………………… 11

2.1 თემატური გამეორება მე –10 კლასში ……………………………………… 11

ტესტი 1 …………………………………………………………………………… ..12

ტესტი 2 …………………………………………………………………………… ..13

ტესტი 3 …………………………………………………………………………… ..14

2.2 საბოლოო გამეორება მე –11 კლასში ... 15

ტესტი 1 …………………………………………………………………………… ..17

ტესტი 2 …………………………………………………………………………… ..17

ტესტი 3 …………………………………………………………………………… ..18

დასკვნა. …………………………………………………………………… ....... 19

გამოყენებული ლიტერატურის ჩამონათვალი ……………………………………… .. …… .20

შესავალი

დღევანდელ პირობებში ყველაზე მნიშვნელოვანი კითხვაა: "როგორ შეგვიძლია დავეხმაროთ სტუდენტების ცოდნის გარკვეული ხარვეზების აღმოფხვრას და მათ გამოცდაზე შესაძლო შეცდომების თავიდან ასაცილებლად?" ამ საკითხის გადასაჭრელად საჭიროა სტუდენტებისგან მოძებნოთ არა პროგრამული მასალის ფორმალური ათვისება, არამედ მისი ღრმა და შეგნებული გაგება, ზეპირი გამოთვლებისა და გარდაქმნების სიჩქარის განვითარება, ისევე როგორც ”გონებაში” მარტივი პრობლემების გადაჭრის უნარების განვითარება. აუცილებელია დაარწმუნოთ სტუდენტები, რომ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ არსებობს აქტიური პოზიცია, მათემატიკის შესწავლაში, ექვემდებარება პრაქტიკული უნარ-ჩვევების, უნარ-ჩვევების შეძენას და მათ გამოყენებას, შეგიძლიათ ენდოთ ნამდვილ წარმატებას. აუცილებელია გამოიყენოს ყველა შესაძლებლობა ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მოსამზადებლად, მათ შორის, არჩევითი საგნები 10-11 კლასებში, რეგულარულად გაანალიზოს რთული დავალებები მოსწავლეებთან, აირჩიოს გაკვეთილებსა და დამატებით კლასებში გადაჭრის ყველაზე რაციონალური გზა.დადებითი შედეგიტიპური პრობლემების გადაჭრის სფეროების მიღწევა შესაძლებელია, თუ მათემატიკის მასწავლებლები შეძლებენ, შექმნიან კარგი საბაზისო ტრენინგი სტუდენტებისთვის, მოძებნეთ ჩვენს წინაშე გახსნილი პრობლემების გადაჭრის ახალი გზები, აქტიურად ექსპერიმენტები, გამოიყენეთ თანამედროვე პედაგოგიური ტექნოლოგიები, მეთოდები, ტექნიკა, რომელიც ქმნის ხელსაყრელ პირობებს სტუდენტების ეფექტური თვითრეალიზაციისა და თვითგამორკვევისთვის ახალ სოციალურ პირობებში.

ტრიგონომეტრია სკოლის მათემატიკის კურსის განუყოფელი ნაწილია. კარგი ცოდნა და ძლიერი უნარები ტრიგონომეტრიაში არის მათემატიკური კულტურის საკმარისი დონის მტკიცებულება, შეუცვლელი პირობაა მათემატიკის, ფიზიკის, მთელი რიგი ტექნიკური წარმატებული შესწავლისთვის.დისციპლინები.

სამუშაოს შესაბამისობა. სკოლის კურსდამთავრებულთა მნიშვნელოვანი ნაწილი წლიდან წლამდე ძალიან ცუდად ემზადება მათემატიკის ამ მნიშვნელოვან განყოფილებაში, რასაც მოწმობს გასული წლების შედეგები (დასრულების პროცენტული მაჩვენებელი 2011 წელს - 48,41%, 2012 - 51,05%), რადგან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების ანალიზმა აჩვენა რომ ამ შეცდომების შესრულებისას სტუდენტები ბევრ შეცდომას უშვებენ, ან საერთოდ არ იღებენ ასეთ დავალებებს. Ერთში სახელმწიფო გამოცდაზე ტრიგონომეტრიის კითხვები გვხვდება თითქმის სამი ტიპის დავალებებში. ეს არის ამოცანა B5 ამოცანაში მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა და B7 დავალებაში ტრიგონომეტრიულ გამოთქმებთან მუშაობა, და B14 ამოცანებში ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესწავლა, და B12 ამოცანა, რომლებსაც აქვთ ფორმულები, რომლებიც აღწერს ფიზიკურ მოვლენებს და შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს. და ეს მხოლოდ B- ს ამოცანების ნაწილია! ასევე არსებობს საყვარელი ტრიგონომეტრიული განტოლებები C1 ფესვების არჩევისას და "არც თუ ისე საყვარელი" გეომეტრიული ამოცანები C2 და C4.

ობიექტური. გააანალიზეთ საგამოცდო მასალა ამოცანები B7, რომელიც ეძღვნება ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გარდაქმნებს და ამოცანების კლასიფიკაცია ტესტებში მათი პრეზენტაციის ფორმის მიხედვით.

სამუშაო შედგება ორი თავისგან, შესავალი და დასკვნა. შესავალი ხაზს უსვამს ნაწარმოების შესაბამისობას. პირველ თავში მოცემულია ამოცანების კლასიფიკაცია ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ტესტში გარდაქმნების გამოყენებისათვის გამოცდის ამოცანები (2012).

მეორე თავში განხილულია თემის „ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გარდაქმნა“ განმეორების ორგანიზაცია 10, 11 კლასებში და შემუშავებულია ამ თემაზე ტესტები.

ლიტერატურული სია მოიცავს 17 წყაროს.

თავი 1. ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გარდაქმნების გამოყენების ამოცანების კლასიფიკაცია.

საშუალო (სრული) განათლების სტანდარტისა და სტუდენტთა მომზადების დონის მოთხოვნების შესაბამისად, ტრიგონომეტრიის საფუძვლების ცოდნის შესახებ დავალებები შედის მოთხოვნების კოდიფიკატორში.

ტრიგონომეტრიის საფუძვლების შესწავლა ყველაზე ეფექტური იქნება, როდესაც:

უზრუნველყოფილი იქნება სტუდენტების პოზიტიური მოტივაცია, რომ გაიმეორონ ადრე შესწავლილი მასალა;

პირადობაზე ორიენტირებული მიდგომა განხორციელდება სასწავლო პროცესში;

გამოყენებული იქნება დავალებების სისტემა, რომელიც ხელს უწყობს სტუდენტების ცოდნის გაფართოებას, გაღრმავებას, სისტემატიზაციას;

გამოყენებული იქნება სწავლების მოწინავე ტექნოლოგიები.

გამოცდისთვის მომზადების შესახებ ლიტერატურისა და ინტერნეტ რესურსების ანალიზის შემდეგ, ჩვენ შემოგვთავაზეთ ამოცანების B7 (KIM USE 2012-ტრიგონომეტრია) ერთ-ერთი შესაძლო კლასიფიკაცია: ამოცანები გამოსათვლელად ტრიგონომეტრიული გამოთქმების მნიშვნელობები; დავალებებირიცხვითი ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გარდაქმნა; ანბანური ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გარდაქმნის ამოცანები; შერეული ამოცანები.

1.1. გაანგარიშების ამოცანები ტრიგონომეტრიული გამოთქმების მნიშვნელობები.

მარტივი ტრიგონომეტრიის პრობლემების ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული ტიპია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების გაანგარიშება ერთ-ერთი მათგანის მნიშვნელობით:

ა) ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის და მისი შედეგების გამოყენება.

მაგალითი 1 ... იპოვნე თუ
და
.

გადაწყვეტილება.
,
,

რადგან შემდეგ
.

პასუხი

მაგალითი 2 ... იპოვნე
, თუ
და

გადაწყვეტილება.
,
,
.

რადგან შემდეგ
.

პასუხი ...

ბ) ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენება.

მაგალითი 3 ... იპოვნე
, თუ
.

გადაწყვეტილება. , .

პასუხი
.

მაგალითი 4 ... იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა
.

გადაწყვეტილება. ...

პასუხი
.

1. იპოვნე , თუ

და

... პასუხი -0.2

2. იპოვნე , თუ
და
... პასუხი 0,4

3. იპოვნე

, თუ . პასუხი -12.884. იპოვნე

, თუ

... პასუხი -0,845. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

... პასუხი 66. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა

. პასუხი -ცხრამეტი

1.2. ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივების ამოცანები. კასტინგის ფორმულები კარგად უნდა აითვისონ სტუდენტებმა, რადგან ისინი შემდგომ გამოყენებას ნახავენ გეომეტრიის, ფიზიკის და მასთან დაკავშირებული სხვა დისციპლინების გაკვეთილებზე.

მაგალითი 5 . გამონათქვამების გამარტივება
.

გადაწყვეტილება. ...

პასუხი
.

თვითდახმარების ამოცანები:

1. გამოხატვის გამარტივება

. პასუხი 0.62. იპოვნე

, თუ

და ... პასუხი 10.563. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა

, თუ

. პასუხი 2

1.3. ამოცანები რიცხვითი ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გარდაქმნისთვის.

რიცხვითი ტრიგონომეტრიული გამოთქმების ტრანსფორმაციისას ამოცანების ცოდნისა და უნარების პრაქტიკისას ყურადღება უნდა მიაქციოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის ცოდნას, პარიტეტის თვისებებს და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობას.

ა) ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზუსტი მნიშვნელობების გამოყენება ზოგიერთი კუთხისთვის.

მაგალითი 6 ... გამოთვალეთ
.

გადაწყვეტილება.
.

პასუხი
.

ბ) პარიტეტული თვისებების გამოყენება ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მაგალითი 7 ... გამოთვალეთ
.

გადაწყვეტილება. .

პასუხი

in) პერიოდულობის თვისებების გამოყენებატრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მაგალითი 8 . იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა
.

გადაწყვეტილება. ...

პასუხი
.

თვითდახმარების ამოცანები:

1. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა

. პასუხი -40,52. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა

. პასუხი 17

3. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა
. პასუხი 6

. პასუხი -24

პასუხი -64

1.4 შერეული დავალებები.

სერტიფიკაციის ტესტის ფორმას აქვს ძალიან მნიშვნელოვანი მახასიათებლები, ამიტომ მნიშვნელოვანია, რომ ყურადღება მივაქციოთ იმ დავალებებს, რომლებიც ერთდროულად რამდენიმე ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებას უკავშირდება.

მაგალითი 9. იპოვნე
, თუ
.

გადაწყვეტილება.
.

პასუხი
.

მაგალითი 10 ... იპოვნე
, თუ
და
.

გადაწყვეტილება. .

რადგან შემდეგ
.

პასუხი
.

მაგალითი 11. იპოვნე
, თუ .

გადაწყვეტილება. , ,
,
,
,
,
.

პასუხი

მაგალითი 12. გამოთვალეთ
.

გადაწყვეტილება. .

პასუხი
.

მაგალითი 13. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა
, თუ
.

გადაწყვეტილება. .

პასუხი
.

თვითდახმარების ამოცანები:

1. იპოვნე

, თუ

. პასუხი -1.75
2. იპოვნე

, თუ

. პასუხი 33. იპოვნე

, თუ . პასუხი 0,254. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა

, თუ

. პასუხი 0.35. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა

, თუ

. პასუხი ხუთი

თავი 2. თემის საბოლოო გამეორების ორგანიზაციის მეთოდოლოგიური ასპექტები "ტრიგონომეტრიული გამოთქმების ტრანსფორმაცია".

ერთ – ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი საკითხი, რომელიც ხელს უწყობს აკადემიური მოსწრების შემდგომ ზრდას, ღრმა და ხანგრძლივი ცოდნის მიღწევას სტუდენტებში, არის ადრე გაცემული მასალის გამეორების საკითხი. პრაქტიკა აჩვენებს, რომ მეტისმეტად მიზანშეწონილია თემატური გამეორების ორგანიზება მე -10 კლასში; მე -11 კლასში - საბოლოო გამეორება.

2.1. თემატური გამეორება მე -10 კლასში.

მათემატიკურ მასალაზე მუშაობის პროცესში განსაკუთრებით მნიშვნელოვანი ხდება თითოეული დასრულებული თემის ან კურსის მთელი მონაკვეთის გამეორება.

თემატური გამეორებით, სტუდენტთა ცოდნა ამ თემაზე სისტემატიზირებულია მისი გავლის ბოლო ეტაპზე ან შესვენების შემდეგ.

თემატური გამეორებისთვის გამოიყოფა სპეციალური გაკვეთილები, რომლებზეც კონცენტრირებულია და განზოგადებულია ერთი თემის მასალა.

გაკვეთილზე გამეორება ტარდება საუბრის საშუალებით, ამ საუბარში სტუდენტების ფართო მონაწილეობით. ამის შემდეგ მოსწავლეებს სთხოვენ გაიმეორონ კონკრეტული თემა და აფრთხილებენ, რომ ჩატარდება ტესტური სამუშაოები.

ტესტი თემაზე უნდა შეიცავდეს ყველა მის ძირითად კითხვას. სამუშაოს დასრულების შემდეგ ხდება ანალიზისთვის დამახასიათებელი შეცდომებისა და მათი აღმოფხვრის ორგანიზება განმეორებით.

თემატური განმეორების გაკვეთილებისთვის გთავაზობთ განვითარებულს ტესტებითემაზე "ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გადაქცევა".

ტესტი No1

ტესტი ნომერი 2

ტესტი ნომერი 3

პასუხის ცხრილი

ტესტი

2.2. საბოლოო გამეორება მე -11 კლასში.

საბოლოო გამეორება ხორციელდება მათემატიკის კურსის ძირითადი საკითხების შესწავლის ბოლო ეტაპზე და ტარდება ლოგიკურ კავშირში ამ განყოფილების ან მთლიანად კურსის სასწავლო მასალის შესწავლასთან.

სასწავლო მასალის საბოლოო გამეორებას აქვს შემდეგი მიზნები:

1. მთელი სასწავლო კურსის მასალის გააქტიურება მისი ლოგიკური სტრუქტურის გასარკვევად და საგნისა და საგნობრივ კავშირებში სისტემის შესაქმნელად.

2. გამეორების პროცესში კურსის ძირითადი საკითხების შესახებ სტუდენტების ცოდნის გაღრმავება და, თუ ეს შესაძლებელია.

ყველა კურსდამთავრებულის სავალდებულო მათემატიკის გამოცდის გათვალისწინებით, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის თანდათანობითი დანერგვა მასწავლებლებს აიძულებს ახალი მიდგომა მიიღონ გაკვეთილების მომზადებისა და მიწოდების საკითხში, იმის გათვალისწინებით, რომ ყველა მოსწავლე დაეუფლება სასწავლო მასალას საბაზო დონეზე, აგრეთვე მოტივირებული სტუდენტებისათვის, რომლებიც დაინტერესებულნი არიან მაღალი ქულების მიღებით უნივერსიტეტში მიღება, დინამიური პროგრესი მასალის ათვისებაში მოწინავე და მაღალ დონეზე.

საბოლოო გამეორების გაკვეთილებზე შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ შემდეგი ამოცანები:

მაგალითი 1 . გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.გადაწყვეტილება. \u003d

= =

=0,5. პასუხი 0,5 მაგალითი 2. მიუთითეთ უდიდესი რიცხვი, რომლის მნიშვნელობასაც გამოხატავს გამოთქმა

გადაწყვეტილება. როგორც
შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, სეგმენტი [-1; 1], შემდეგ
იღებს სეგმენტის ნებისმიერ მნიშვნელობას [–0.4; 0.4], შესაბამისად. გამოხატვის მთელი რიცხვი ერთია - რიცხვი 4.

პასუხი: 4 მაგალითი 3 . გამოხატვის გამარტივება

გამოსავალი: გამოვიყენოთ კუბურების ჯამის ფაქტორირების ფორმულა:. Ჩვენ გვაქვს

Ჩვენ გვაქვს:
.

პასუხი: 1

მაგალითი 4. გამოთვალეთ
.

გადაწყვეტილება. ...

პასუხი: 0.28

საბოლოო გამეორების გაკვეთილებისთვის გთავაზობთ შემუშავებულ ტესტებს თემაზე ”ტრიგონომეტრიული გამოთქმების ტრანსფორმაცია”.

გთხოვთ, შეიყვანოთ უდიდესი რიცხვი, რომელიც არ აღემატება 1-ს

დასკვნა.

ამ თემაზე შესაბამისი მეთოდოლოგიური ლიტერატურის შემუშავების შედეგად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სკოლის მათემატიკის კურსში ტრიგონომეტრიულ გარდაქმნებთან დაკავშირებული ამოცანების გადაჭრის უნარი და უნარები ძალიან მნიშვნელოვანია.

შესრულებული სამუშაოს განმავლობაში განხორციელდა B7 დავალებების კლასიფიკაცია. განხილულია ტრიგონომეტრიული ფორმულები, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება 2012 წლის CMM– ში. მოცემულია ამოცანების მაგალითები გადაწყვეტილებებით. შემუშავებულია დიფერენცირებადი ტესტები ცოდნის გამეორებისა და სისტემატიზაციის მიზნით, გამოცდისთვის მოსამზადებლად.

მიზანშეწონილია განაგრძოთ დაწყებული სამუშაო განხილვის გზით ამოცანა B5 ამოცანაში მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შესწავლა დავალება B14, დავალება B12, რომლებიც შეიცავს ფორმულებს, რომლებიც აღწერენ ფიზიკურ მოვლენებს და შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს.

დასასრულს, მინდა აღვნიშნო, რომ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების ეფექტურობა ძირითადად განისაზღვრება იმით, თუ რამდენად ეფექტურად არის ორგანიზებული მომზადების პროცესი განათლების ყველა საფეხურზე, ყველა კატეგორიის სტუდენტებთან ერთად. და თუ ჩვენ შევძლებთ ჩამოვაყალიბოთ სტუდენტების დამოუკიდებლობა, პასუხისმგებლობა და მზადყოფნა, რომ გააგრძელონ სწავლა მათი შემდგომი ცხოვრების განმავლობაში, მაშინ ჩვენ არა მხოლოდ შევასრულებთ სახელმწიფოს და საზოგადოების წესრიგს, არამედ გავაუმჯობესებთ საკუთარ თვითშეფასებას.

სასწავლო მასალის გამეორება მოითხოვს მასწავლებელს შემოქმედებითი სამუშაო... მან უნდა უზრუნველყოს მკაფიო კავშირი გამეორების ტიპებს შორის, დანერგოს ღრმად გააზრებული გამეორების სისტემა. განმეორების ორგანიზების ხელოვნების დაუფლება მასწავლებლის ამოცანაა. სტუდენტების ცოდნის სიძლიერე დიდწილად დამოკიდებულია მის ამოხსნაზე.

ლიტერატურა.

Vygodsky Ya.Ya., დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო. -მ .: ნაუკა, 1970 წ.

ალგებრაში გაზრდილი სირთულის პრობლემები და ანალიზის პრინციპები: სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასისთვის / ბ.მ. ივლევი, ა.მ. აბრამოვი, იუ.პ. დუდნიცინი, ს.ი. შვარცბურდი. - მ .: განათლება, 1990 წ.

ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენება გამონათქვამების ტრანსფორმაციისთვის (მე -10 კლასი) // პედაგოგიური იდეების ფესტივალი. 2012-2013 წწ.

ა.გ. კორიანოვი , პროკოფიევი ა.ა. გამოცდისთვის ვამზადებთ კარგ სტუდენტებს და წარჩინებულ სტუდენტებს. - მ.: პედაგოგიური უნივერსიტეტი "პირველი სექტემბერი", 2012. - 103 გვ.

კუზნეცოვა ე.ნ. ტრიგონომეტრიული გამოთქმების გამარტივება. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა მეთოდით (გამოცდისთვის მომზადება). მე -11 კლასი. 2012-2013 წწ.

Kulanin E. D. 3000 კონკურენციის პრობლემები მათემატიკაში. მეოთხე მათ., Rev. და დაამატე. - მ .: როლფი, 2000 წ.

მორდკოვიჩი ა.გ. საშუალო სკოლაში ტრიგონომეტრიის შესწავლის მეთოდური პრობლემები // მათემატიკა სკოლაში. 2002. No6.

პიჩურინი ლ.ფ. ტრიგონომეტრიის შესახებ და არამარტო ამის შესახებ: -M. განათლება, 1985 წ

რეშეტნიკოვი ნ.ნ. ტრიგონომეტრია სკოლაში: -M. პედაგოგიური უნივერსიტეტი "პირველი სექტემბერი", 2006 წ.

შაბუნინი მ.ი., პროკოფიევი ა.ა. Მათემატიკა. Ალგებრა. მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. პროფილის დონე: სახელმძღვანელო 10 კლასისთვის - მ.: BINOM. ცოდნის ლაბორატორია, 2007 წ.

გამოცდისთვის მომზადების საგანმანათლებლო პორტალი.

მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება "ოჰ, ეს ტრიგონომეტრია! http://festival.1september.ru/articles/621971/

პროექტი "მათემატიკა? მარტივი !!!"http://www.resolventa.ru/

Გაკვეთილი 1

სესია 2

Გაკვეთილი 1

სესია 2

გსურთ დაბრუნდეთ სსრკ?

მკვლელი ტალღები: ყველაზე დიდი ტალღის შესახებ

რატომ ულიანოვი. რატომ არის ლენინი ლენინი. და სტალინი - სტალინი? ნიკოლაი პეტროვიჩი და ადვოკატი ულიანოვი

რამდენი ადამიანი დაიღუპა დეკაბრისტის აჯანყების დროს & nbsp

რა ხალხები არიან პოლოვციელების შთამომავლები & nbsp

Გაკვეთილი 1

სესია 2

Გაკვეთილი 1

სესია 2

მსგავსი სტატიები