Arctg ჩამოსხმული ფორმულები. ტრიგონომეტრია. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გრაფიკები

განმარტება და აღნიშვნა

Arcine (y \u003d arcsin x) ინვერსიული სინუსის ფუნქციაა (x \u003d ცოდვა y -1 ≤ x ≤ 1 და ღირებულებების ნაკრები -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
ცოდვა (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .

Arcsine ზოგჯერ აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

Arcsine ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციის გრაფიკი y \u003d arcsin x

Arcsine ნაკვეთი მიიღება sine ნაკვეთიდან აბსცისისა და საორდინატო ღერძების შეცვლით. ბუნდოვანების აღმოსაფხვრელად, მნიშვნელობების დიაპაზონი შემოიფარგლება ინტერვალით, რომელზეც ფუნქცია ერთფეროვანია. ამ განმარტებას Arcins- ის მთავარ მნიშვნელობას უწოდებენ.

Arccosine, arccos

განმარტება და აღნიშვნა

Arccosine (y \u003d arccos x) არის კოსინუსის შებრუნებული ფუნქცია (x \u003d კოს) მას აქვს მოცულობა -1 ≤ x ≤ 1 და მრავალი მნიშვნელობა 0 ≤ y ≤ π.
cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

Arccosine ზოგჯერ აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

Arccosine ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციის გრაფიკი y \u003d arccos x

Arccosine ნაკვეთი მიიღება კოსინუსური ნაკვეთიდან აბსცისისა და საორდინატო ღერძების შეცვლით. ბუნდოვანების აღმოსაფხვრელად, მნიშვნელობების დიაპაზონი შემოიფარგლება ინტერვალით, რომელზეც ფუნქცია ერთფეროვანია. ამ განმარტებას არკოზინების მთავარ მნიშვნელობას უწოდებენ.

პარიტეტი

Arcsine ფუნქცია უცნაურია:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (sin (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

შებრუნებული კოსინუსის ფუნქცია არ არის ლუწი ან უცნაური:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

თვისებები - ექსტრემა, გაზრდა, შემცირება

შებრუნებული სინუსური და შებრუნებული კოსინუსური ფუნქციები უწყვეტია მათი განსაზღვრების დონის მიხედვით (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). რკინისა და რკალის ძირითადი თვისებები მოცემულია ცხრილში.

	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x
სფერო და უწყვეტობა	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
ღირებულებების დიაპაზონი
Გაზრდა შემცირება	იზრდება ერთფეროვნად	ერთფეროვნად მცირდება
მაღალი
მინიმუმი
ნულები, y \u003d 0	x \u003d 0	x \u003d 1
Y ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x \u003d 0	y \u003d 0	y \u003d π / 2

Arcsine და Arccosine მაგიდა

ეს ცხრილი გვიჩვენებს arcsines და arcsines- ის მნიშვნელობებს გრადუსებში და რადიანებში, არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

x	arcsin x		arccos x
	სეტყვა	მიხარია.	სეტყვა	მიხარია.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

ფორმულები

Იხილეთ ასევე: შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ფორმულების წარმოება

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

ან

და

და

ან

და

და

საათზე

საათზე

საათზე

საათზე

ლოგარითმის გამონათქვამები, რთული რიცხვები

Იხილეთ ასევე: ფორმულების გამოყვანა

გამონათქვამები ჰიპერბოლური ფუნქციების თვალსაზრისით

წარმოებულები

;
.
იხილეთ arcsine და arccosine derivates \u003e\u003e\u003e წარმოებულები

უმაღლესი რიგის წარმოებულები:
,
სად არის ხარისხის პოლინომი. იგი განისაზღვრება ფორმულებით:
;
;
.

იხილეთ arcsine და arccosine უმაღლესი რიგის წარმოებულების წარმოება \u003e\u003e\u003e

ინტეგრალები

ჩანაცვლება x \u003d ცოდვა t... ჩვენ ინტეგრირდება ნაწილების მიხედვით, იმის გათვალისწინებით, რომ -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t 0:
.

მოდით გამოვხატოთ შებრუნებული კოსინუსი შებრუნებული სინუსის საშუალებით:
.

სერიის გაფართოება

იყიდება | x |< 1 ხდება შემდეგი რღვევა:
;
.

შებრუნებული ფუნქციები

Arcsine და arccosine– ის საპირისპიროა სინუსი და კოსინუსი.

შემდეგი ფორმულები მოქმედებს მთელ დომენში:
ცოდვა (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .

შემდეგი ფორმულები მოქმედებს მხოლოდ arcsine და arcsine მნიშვნელობებისთვის:
arcsin (sin x) \u003d x საათზე
arccos (cos x) \u003d x საათზე

გამოყენებული ლიტერატურა:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო ინჟინრებისა და ტექნიკური ინსტიტუტების სტუდენტებისათვის, "ლანი", 2009 წ.

Იხილეთ ასევე:

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები არის მათემატიკური ფუნქციები, რომლებიც შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებია.

ფუნქცია y \u003d arcsin (x)

Α რიცხვის arcsine არის α რიცხვი [-π / 2; π / 2] ინტერვალიდან, რომლის სინუსი ტოლია α- ს.
ფუნქციის გრაფიკი
ფუნქცია y \u003d sin\u2061 (x) სეგმენტზე [-π / 2; π / 2] მკაცრად იზრდება და უწყვეტი; ამიტომ მას აქვს უკუპროპესიული ფუნქცია, მკაცრად მზარდი და უწყვეტი.
Y \u003d sin\u2061 (x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია, სადაც x ∈ [-π / 2; π / 2] ეწოდება arcsine და აღინიშნება y \u003d arcsin (x), სადაც x ∈ [-1; 1].
შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრის თანახმად, arcsine- ის განმარტების დომენში არის სეგმენტი [-1; 1], ხოლო მნიშვნელობთა სიმრავლე არის სეგმენტი [-π / 2; π / 2].
გაითვალისწინეთ, რომ y \u003d arcsin (x) ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x ∈ [-1; 1]. სიმეტრიულია ფუნქციის y \u003d sin (\u2061x) გრაფიკთან, სადაც x ∈ [-π / 2; π / 2], საკოორდინატო კუთხეების ბისეტერთან შედარებით პირველი და მესამე კვარტლები.

ფუნქციის დიაპაზონი y \u003d arcsin (x).

მაგალითი # 1.

იპოვნეთ arcsin (1/2)?

რადგან arcsin (x) ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი [-π / 2; π / 2] ინტერვალს მიეკუთვნება, მაშინ მხოლოდ π / 6-ის მნიშვნელობაა შესაფერისი. Arcsin (1/2) \u003d π / 6.
პასუხი: π / 6

მაგალითი # 2.
იპოვნეთ arcsin (- (√3) / 2)?

ვინაიდან arcsin (x) x ar [-π / 2; π / 2] მნიშვნელობების დიაპაზონი შესაფერისია მხოლოდ მნიშვნელობა –π / 3. ამიტომ arcsin (- (√3) / 2) \u003d - π / 3.

ფუნქცია y \u003d arccos (x)

Α რიცხვის შებრუნებული კოსინუსი არის α რიცხვი ინტერვალიდან, რომლის კოსინუსი ტოლია α.

ფუნქციის გრაფიკი

Y \u003d cos (\u2061x) ფუნქცია სეგმენტზე მკაცრად იკლებს და უწყვეტია; ამრიგად, მას აქვს შებრუნებული ფუნქცია, მკაცრად შემცირებადი და უწყვეტი.
შებრუნებული ფუნქცია y \u003d cos\u2061x ფუნქციისთვის, სადაც x ∈ ეწოდება შებრუნებული კოსინუსი და აღინიშნება y \u003d arccos (x), სადაც х ∈ [-1; 1].
შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრის თანახმად, arccosine- ის განსაზღვრის დომენში არის სეგმენტი [-1; 1], ხოლო მნიშვნელობების სიმრავლე არის სეგმენტი.
გაითვალისწინეთ, რომ y \u003d arccos (x) ფუნქციის გრაფიკი, სადაც x ∈ [-1; 1], სიმეტრიულია y \u003d cos (\u2061x) ფუნქციის გრაფიკისა, სადაც x ∈, პირველი და მესამე კვარტლების კოორდინაციული კუთხეების ბისექტრის მიმართ.

Y \u003d arccos (x) ფუნქციის დომენი.

მაგალითი No3.

იპოვნეთ arccos (1/2)?

რადგან მნიშვნელობების დიაპაზონი არის arccos (x) х∈, მხოლოდ π / 3 მნიშვნელობა არის შესაფერისი; შესაბამისად, arccos (1/2) \u003d π / 3.
მაგალითი No4.
იპოვნეთ arccos (- (√2) / 2)?

რადგან arccos (x) ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი ინტერვალს მიეკუთვნება, მხოლოდ 3π / 4 მნიშვნელობა არის შესაფერისი; შესაბამისად, arccos (- (√2) / 2) \u003d 3π / 4.

პასუხი: 3π / 4

ფუნქცია y \u003d არქტანი (x)

Α რიცხვის არქტანგენტი არის α რიცხვი [-π / 2; π / 2] ინტერვალიდან, რომლის tangent ტოლია α.

ფუნქციის გრაფიკი

ტანგენციის ფუნქცია არის უწყვეტი და მკაცრად იზრდება ინტერვალზე (-π / 2; π / 2); ამრიგად, მას აქვს შებრუნებული ფუნქცია, რომელიც უწყვეტი და მკაცრად იზრდება.
შებრუნებული ფუნქცია y \u003d tg\u2061 (x) ფუნქციისთვის, სადაც х∈ (-π / 2; π / 2); არქტანგენტად იწოდება და აღინიშნება y \u003d arctan (x), სადაც х∈R.
შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრის თანახმად, არქტანგენტის განსაზღვრის დომენია ინტერვალი (-∞; + ∞), ხოლო მნიშვნელობთა სიმრავლე არის ინტერვალი
(-π / 2; π / 2).
გაითვალისწინეთ, რომ y \u003d arctan (x) ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y \u003d tg\u2061x ფუნქციის გრაფიკისთვის, სადაც х ∈ (-π / 2; π / 2), პირველი და მესამე კვარტლების საკოორდინატო კუთხეების ბისექტორთან შედარებით.

ფუნქციის დიაპაზონი y \u003d არქტანი (x).

მაგალითი # 5?

იპოვნეთ arctan ((√3) / 3).

ვინაიდან arctan (x) х values \u200b\u200b(-π / 2; π / 2) მნიშვნელობების დიაპაზონი შესაფერისია მხოლოდ π / 6 მნიშვნელობა, შესაბამისად, arctg ((√3) / 3) \u003d π / 6.
მაგალითი # 6.
იპოვნეთ arctg (-1)?

მას შემდეგ, რაც მნიშვნელობების დიაპაზონი arctan (x) x ∈ (-π / 2; π / 2), მხოლოდ მნიშვნელობაა -π / 4. შესაფერისია arctg (-1) \u003d - π / 4.

ფუნქცია y \u003d arcctg (x)

Α რიცხვის arcotangent არის a ნომერი ინტერვალიდან (0; π), რომლის კოტანგენტი ტოლია α.

ფუნქციის გრაფიკი

ინტერვალზე (0; π), კოტანგენტის ფუნქცია მკაცრად იკლებს; უფრო მეტიც, იგი უწყვეტია ამ ინტერვალის ყველა წერტილში; ამიტომ, ინტერვალზე (0; π), ამ ფუნქციას აქვს შებრუნებული ფუნქცია, რომელიც მკაცრად იკლებს და უწყვეტია.
Y \u003d ctg (x) ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია, სადაც х ∈ (0; π) ეწოდება რკალის კოტანგენტს და აღინიშნება y \u003d arcctg (x), სადაც х∈R.
შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრის თანახმად, რკალის კოტანგენტის განსაზღვრის დომენი არის R, ხოლო მნიშვნელობთა სიმრავლე არის ინტერვალი (0; π). ფუნქციის გრაფიკი y \u003d arcctg (x), სადაც х∈R სიმეტრიულია y \u003d ctg (x) х∈ (0) ფუნქციის გრაფიკისთვის ; π), პირველი და მესამე კვარტლების კოორდინატების კუთხეების ბისექტორთან შედარებით.

ფუნქციის დიაპაზონი y \u003d arcctg (x).

მაგალითი # 7.
იპოვნეთ arcctg ((√3) / 3)?

რადგან მნიშვნელობების დიაპაზონი არის arcctg (x) х ∈ (0; π), მხოლოდ π / 3 მნიშვნელობა არის შესაფერისი; შესაბამისად, arccos ((√3) / 3) \u003d π / 3.

მაგალითი # 8.
იპოვნეთ arcctg (- (√3) / 3)?

რადგან მნიშვნელობების დიაპაზონი არის arcctg (x) х∈ (0; π), მხოლოდ მნიშვნელობა 2π / 3 არის შესაფერისი; შესაბამისად, arccos (- (√3) / 3) \u003d 2π / 3.

რედაქტორები: აგეევა ლიუბოვი ალექსანდროვნა, გავრილინა ანა ვიქტოროვნა

ამ გაკვეთილზე გავეცნობით მახასიათებლებს შებრუნებული ფუნქციები და გაიმეორეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები... ყველა ძირითადი ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის თვისებები განვიხილავთ ცალკე: arcsine, arccosine, arctangent და arccotangent.

ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ დავალებების ერთ-ერთი სახეობისთვის მომზადებაში 7-ში და C1.

გამოცდისთვის მზადება მათემატიკაში

Ექსპერიმენტი

გაკვეთილი 9. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

თეორია

გაკვეთილის რეზიუმე

გავიხსენოთ, როდესაც შეგვხვდება ასეთი ცნება, როგორც შებრუნებული ფუნქცია. მაგალითად, გაითვალისწინეთ კვადრატის ფუნქცია. დავუშვათ, რომ გვაქვს კვადრატული ოთახი, რომლის მხარეც 2 მეტრია და მისი ფართობის გამოთვლა გვინდა. ამისათვის, კვადრატის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ორს მივდივართ კვადრატზე და შედეგად მივიღებთ 4 მ 2. ახლა წარმოიდგინეთ შებრუნებული პრობლემა: ჩვენ ვიცით კვადრატული ოთახის ფართობი და გვინდა ვიპოვოთ მისი გვერდების სიგრძე. თუ ვიცით, რომ ფართობი ისევ იგივეა 4 მ 2, მაშინ ჩვენ შევასრულებთ კვადრატის საპირისპირო მოქმედებას - არითმეტიკის მოპოვებას კვადრატული ფესვი, რაც მოგვცემს 2 მ მნიშვნელობას.

ამრიგად, რიცხვის კვადრატის ფუნქციისთვის შებრუნებული ფუნქციაა არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ამოღება.

კერძოდ, ზემოთ მოყვანილ მაგალითში, ოთახის გვერდის გაანგარიშების პრობლემა არ შეგვქმნია გვესმის, რომ ეს დადებითი რიცხვია. ამასთან, თუ ამ საქმეს ჩამოვშორდებით და პრობლემას უფრო ზოგადი მეთოდით განვიხილავთ: ”გამოთვალეთ რიცხვი, რომლის კვადრატი ოთხია”, პრობლემას წავაწყდებით - ასეთი ორი რიცხვია ორი. ეს არის 2 და -2 იმიტომ ასევე უდრის ოთხს. გამოდის, რომ შებრუნებული პრობლემა ზოგადად წყდება ორაზროვნად და კვადრატში რიცხვის დადგენის მოქმედებამ მოგვცა ჩვენთვის ცნობილი რიცხვი? აქვს ორი შედეგი. მოსახერხებელია ამის ჩვენება დიაგრამაზე:

ეს ნიშნავს, რომ ციფრების შესაბამისობის კანონს არ შეგვიძლია ვუწოდოთ ფუნქცია, რადგან ფუნქციისთვის არგუმენტის ერთი მნიშვნელობა შეესაბამება მკაცრად ერთი ფუნქციის მნიშვნელობა.

კვადრატში შებრუნებული ფუნქციის ზუსტად შესაცვლელად შემოთავაზებულია არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ცნება, რომელიც მხოლოდ არაუარყოფით მნიშვნელობებს იძლევა იმ ფუნქციისთვის გათვალისწინებულია შებრუნებული ფუნქცია.

ანალოგიურად, არსებობს ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შებრუნებული ფუნქციები, მათ უწოდებენ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები... ჩვენს მიერ განხილულ თითოეულ ფუნქციას აქვს თავისი უკუგანვითარება, მათ ეწოდება: arcsine, arccosine, arctangent და arccotangent.

ეს ფუნქციები აგვარებს კუთხეების გამოთვლის პრობლემას ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცნობილი მნიშვნელობიდან. მაგალითად, ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ სინუსი, რომელი კუთხეა. ამ მნიშვნელობას სინუსების სტრიქონში ვხვდებით და განვსაზღვრავთ, თუ რომელ კუთხეს შეესაბამება იგი. პირველი, რაზეც პასუხის გაცემა მსურს არის ის, რომ ეს არის კუთხე ან, მაგრამ თუ მანამდე გაქვთ მნიშვნელობების ცხრილი, მაშინვე შეამჩნევთ პასუხის სხვა პრეტენდენტს - ეს არის კუთხე ან. და თუ მახსოვს სინუსის პერიოდი, მაშინ გვესმის, რომ სინუსი არის უსასრულო კუთხეები. და კუთხის მნიშვნელობების ასეთი ნაკრები, რომელიც შეესაბამება ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მოცემულ მნიშვნელობას, დაფიქსირდება კოსინუსებისთვის, ტანგენტებისთვის და კოტანგენტებისთვის მათ ყველას პერიოდულობა აქვს.

იმ იგივე პრობლემის წინაშე ვდგავართ, რომელიც კვადრატული მოქმედების ფუნქციის მნიშვნელობიდან არგუმენტის მნიშვნელობის გამოსათვლელად გვქონდა. ამ შემთხვევაში, ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისათვის დაწესდა შეზღუდვა მნიშვნელობების დიაპაზონში, რომლებიც მათ გაანგარიშებისას მისცეს. ასეთი ინვერსიული ფუნქციების ამ თვისებას ეწოდება დიაპაზონის შევიწროება, და აუცილებელია მათ ფუნქციები ეწოდოს.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თითოეული ნაწილისთვის, კუთხის დიაპაზონი განსხვავებულია და მათ ცალკე განვიხილავთ. მაგალითად, arcsine აბრუნებს კუთხის მნიშვნელობებს დიაპაზონში.

ინვერსიულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან მუშაობის უნარი გამოსადეგი იქნება ამოხსნისას ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ახლა ჩვენ მივუთითებთ თითოეული შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ძირითად თვისებებს. თუ გსურთ მათ უფრო დეტალურად გაეცნოთ, იხილეთ მე -10 კლასის პროგრამის თავი "ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა".

გაითვალისწინეთ arcsine ფუნქციის თვისებები და ააშენეთ მისი გრაფიკი.

განმარტებარიცხვი Arcsinex

მშვილდოსნის ძირითადი თვისებები:

1) ზე,

2) საათზე

Arcsine ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) სფერო ;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია უცნაურია. სასურველია ეს ფორმულა ცალკე გავიხსენოთ, ვინაიდან ეს სასარგებლოა გარდაქმნებისათვის. ასევე გაითვალისწინეთ, რომ უცნაურობა გულისხმობს ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიას წარმოშობასთან მიმართებაში;

მოდით შევადგინოთ ფუნქცია:

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის დიაგრამის არცერთი მონაკვეთი არ მეორდება, რაც ნიშნავს, რომ arcsine არ არის პერიოდული ფუნქცია, სინუსისგან განსხვავებით. იგივე შეეხება რკალის ყველა სხვა ფუნქციას.

გაითვალისწინეთ შებრუნებული კოსინუსური ფუნქციის თვისებები და ააშენეთ მისი გრაფიკი.

განმარტებაArccosine ნომერიx ეწოდება y კუთხის მნიშვნელობა, რისთვისაც. უფრო მეტიც, როგორც სინუსის მნიშვნელობების შეზღუდვა, არამედ როგორც კუთხეების შერჩეული დიაპაზონი.

Arccosine- ის ძირითადი თვისებები:

1) ზე,

2) საათზე

შებრუნებული კოსინუსის ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) სფერო ;

2) ღირებულებების დიაპაზონი;

3) ფუნქცია არ არის არც ლუწი და არც კენტი, ე.ი. ზოგადი შეხედულება ... ასევე სასურველია ამ ფორმულის დამახსოვრება, ის მოგვიანებით გამოგვადგება;

4) ფუნქცია ერთფეროვნად იკლებს.

მოდით შევადგინოთ ფუნქცია:

განვიხილოთ არქტანგენტის ფუნქციის თვისებები და ავაშენოთ მისი გრაფიკი.

განმარტებარიცხვის არქიტანგენტიx ეწოდება y კუთხის მნიშვნელობა, რისთვისაც. უფრო მეტიც, მას შემდეგ აქ არ არის შეზღუდვები სატანკო მნიშვნელობებზე, მაგრამ როგორც კუთხეების შერჩეული დიაპაზონი.

არქანგანტის ძირითადი თვისებები:

1) ზე,

2) საათზე

არქანტანტული ფუნქციის ძირითადი თვისებები:

1) განსაზღვრის სფერო;

2) ღირებულებების დიაპაზონი ;

3) ფუნქცია კენტია ... ეს ფორმულა სასარგებლოა, ისევე როგორც მსგავსი. როგორც arcsine– ს შემთხვევაში, უცნაურობა გულისხმობს ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიას წარმოშობასთან მიმართებაში;

4) ფუნქცია იზრდება ერთფეროვნად.

მოდით შევადგინოთ ფუნქცია:

32-33 გაკვეთილები. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

09.07.2015 8936 0

მიზანი: გაითვალისწინეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი გამოყენება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნების დასაწერად.

I. გაკვეთილების თემისა და მიზნის კომუნიკაცია

II ახალი მასალის სწავლა

1. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ამ თემის განხილვა დავიწყოთ შემდეგი მაგალითით.

მაგალითი 1

მოდით ამოვხსნათ განტოლება:ა) ცოდვა x \u003d 1/2; ბ) ცოდვა x \u003d ა.

ა) კოორდინატზე გადავდოთ 1/2 მნიშვნელობა და დავხატოთ კუთხეებიx 1 და x2, რისთვისაცცოდვა x \u003d 1/2. უფრო მეტიც, x1 + x2 \u003d π, საიდანაც x2 \u003d π -x 1 ... ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილის მიხედვით, ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობას x1 \u003d π / 6, შემდეგგავითვალისწინოთ სინუსის ფუნქციის პერიოდულობა და ჩამოვწეროთ ამ განტოლების ამონახსნები:სადაც k ∈ Z.

ბ) ცხადია, განტოლების ამოხსნის ალგორითმიცოდვა x \u003d a იგივეა, რაც წინა აბზაცში. რა თქმა უნდა, ახლა მნიშვნელობა აისახება კოორდინატის გასწვრივ. საჭიროა x1 კუთხის გარკვეულწილად დანიშვნა. ჩვენ შევთანხმდით სიმბოლოთი ასეთი კუთხის აღნიშვნაზეarcsin და შემდეგ ამ განტოლების ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს ფორმითეს ორი ფორმულა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში:სადაც

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დანარჩენი ნაწილი შემოტანილია ანალოგიურად.

ძალიან ხშირად საჭიროა კუთხის მნიშვნელობის დადგენა მისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცნობილი მნიშვნელობიდან. ეს პრობლემა მრავალფასოვანია - უამრავი კუთხე არსებობს, რომელთა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები იგივე მნიშვნელობის ტოლია. ამიტომ, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ერთფეროვნებიდან გამომდინარე, შემდეგი ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შემოდის, რომ კუთხეები ცალსახად განსაზღვრონ.

Arcine ნომერი a (arcsin) , რომლის სინუსი უდრის a- ს, ე.ი.

Arccosine ნომერიa (arccos) ა) არის ასეთი კუთხე a ინტერვალიდან, რომლის კოსინუსი ტოლია a, ე.ი.

რიცხვის რკალის tangenta (arctg) ა) - ასეთი კუთხე a ინტერვალიდანრომლის tangent ტოლია a, ე.ი.tg a \u003d a.

რიცხვის Arccotangenta (arcctg) ა) არის კუთხე a ინტერვალიდან (0; π), რომლის კოტანგენტი ტოლია a, ე.ი.ctg a \u003d a

მაგალითი 2

მოდით ვიპოვოთ:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

მაგალითი 3

ჩვენ გამოვთვლით

მოდით კუთხე a \u003d arcsin 3/5, შემდეგ განმარტებითცოდვა a \u003d 3/5 და ... ამიტომ, აუცილებელია იპოვოთკოს და იყენებენ მთავარს ტრიგონომეტრიული იდენტურობა, ჩვენ ვიღებთ:გაითვალისწინეს, რომ cos a ≥ 0. ასე რომ,

ფუნქციის თვისებები	ფუნქცია
	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x	y \u003d არქტანი x	y \u003d arcctg x
დომენის	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; + ∞)	x ∈ (-∞ + ∞)
ღირებულებების დიაპაზონი	y ∈ [-π / 2; π / 2]	y	y ∈ (-π / 2; π / 2)	y ∈ (0; π)
პარიტეტი	უცნაური	არც კი და არც უცნაური	უცნაური	არც კი და არც უცნაური
ფუნქციის ნულები (y \u003d 0)	X \u003d 0-ისთვის	X \u003d 1-ისთვის	X \u003d 0-ისთვის	y ≠ 0
მუდმივობის შუალედები	y\u003e 0 x ∈ (0; 1], საათზე< 0 при х ∈ [-1; 0)	y\u003e 0 x ∈ [-1; 1)	y\u003e 0 х ∈ (0; + ∞), საათზე< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y\u003e 0 x ∈ (-∞; + ∞)
ერთფეროვანი	იზრდება	მცირდება	იზრდება	მცირდება
ურთიერთობა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციასთან	ცოდვა y \u003d x	cos y \u003d x	tg y \u003d x	ctg y \u003d x
განრიგი

აქ არის კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი, რომლებიც უკავშირდება შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებსა და ძირითად თვისებებს.

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

Y ფუნქციის დასადგენად, უტოლობარაც უთანასწორობის სისტემის ტოლფასიაპირველი უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი x∈ (-∞; + ∞), მეორე -ეს უფსკრული და არის გამოსავალი უტოლობების სისტემისა და, შესაბამისად, ფუნქციის განსაზღვრის სფერო

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის შეცვლის არე

გაითვალისწინეთ ფუნქციის ქცევაზ \u003d 2x - x2 (იხ. სურათი).

ჩანს, რომ z (-∞; 1]. ამ არგუმენტის გათვალისწინებითზ რკალის კოტანგენტის ფუნქცია იცვლება მითითებულ საზღვრებში, ცხრილის მონაცემებიდან, რომელსაც ვიღებთცვლილების არეალი

მაგალითი 6

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია y \u003dარქტგ x არის უცნაური. დაეშემდეგ tan a \u003d -x ან x \u003d - tan a \u003d tan (- a) და ამიტომ, - a \u003d arctan x ან a \u003d - arctan x ამრიგად, ჩვენ ამას ვხედავთანუ y (x) არის უცნაური ფუნქცია.

მაგალითი 7

მოდით გამოვხატოთ ყველა ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის თვალსაზრისით

დაე აშკარაა რომ შემდეგ მას შემდეგ

გავაცნოთ კუთხე როგორც შემდეგ

ანალოგიურად, ამიტომ და

Ისე,

მაგალითი 8

მოდით განვახორციელოთ y \u003d ფუნქციაკოს (arcsin x).

ჩვენ აღვნიშნავთ a \u003d arcsin x, მაშინ გავითვალისწინებთ, რომ x \u003d sin a და y \u003d cos a, ანუ x 2 + y2 \u003d 1 და შეზღუდვები x- ზე (x∈ [-1; 1]) და y (y ≥ 0). შემდეგ y \u003d ფუნქციის გრაფიკიკოს (arcsin) x) ნახევარწრია.

მაგალითი 9

მოდით განვახორციელოთ y \u003d ფუნქციაarccos (cos x).

მას შემდეგ, რაც ფუნქცია cos x ცვლილებები სეგმენტზე [-1; 1], მაშინ y ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხობრივ ღერძზე და იცვლება სეგმენტზე. გავითვალისწინებთ, რომ y \u003darccos (cos x) \u003d x სეგმენტზე; ფუნქცია y არის ლუწი და პერიოდული 2π პერიოდის მქონე. იმის გათვალისწინებით, რომ ამ თვისებებს ფუნქცია ფლობსcos x, ახლა მარტივი გეგმაა.

აქ მოცემულია რამდენიმე სასარგებლო ტოლობა:

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის ყველაზე პატარა და უდიდესი მნიშვნელობებიჩვენ აღვნიშნავთ შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას ამ ფუნქციას მინიმალური აქვს წერტილიz \u003d π / 4, და ის ტოლია ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა წერტილშიz \u003d -π / 2, და ის ტოლია ამრიგად, და

მაგალითი 11

მოდით ამოვხსნათ განტოლება

გავითვალისწინოთ ეს შემდეგ განტოლებას აქვს ფორმა: ან საიდან არქტანგენტის განმარტებით, მივიღებთ:

2. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა

1 მაგალითის მსგავსად, შეგიძლიათ მიიღოთ ამოხსნები უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებებისთვის.

განტოლება	გადაწყვეტილება
tgx \u003d ა
ctg x \u003d ა

მაგალითი 12

მოდით ამოვხსნათ განტოლება

რადგან სინუსის ფუნქცია უცნაურია, ჩვენ განტოლებას ვწერთ ფორმითამ განტოლების ამოხსნები:სად ვიპოვნოთ

მაგალითი 13

მოდით ამოვხსნათ განტოლება

ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ჩამოვწერთ განტოლების ამონახსნებს:და იპოვნე

გაითვალისწინეთ, რომ კონკრეტულ შემთხვევებში (a \u003d 0; ± 1), განტოლებების ამოხსნისასცოდვა x \u003d a და კოს x \u003d და უფრო ადვილი და მოსახერხებელია არა ზოგადი ფორმულების გამოყენება, არამედ ამონაწერების ჩამოწერა ერთეულის წრეზე დაყრდნობით:

განტოლების sin х \u003d 1 ამონახსნისთვის

განტოლებისთვის sin х \u003d 0 ამოხსნა х \u003d π k;

განტოლების ცოდვა x \u003d -1 ამონახსნებისთვის

განტოლებისთვის cos x \u003d 1 ამოხსნა x \u003d 2πკ;

განტოლებისთვის cos x \u003d 0 ამოხსნა

განტოლებისთვის cos x \u003d -1 ამონახსნები

მაგალითი 14

მოდით ამოვხსნათ განტოლება

რადგან ამ მაგალითში არის განტოლების განსაკუთრებული შემთხვევა, შესაბამისი ფორმულის გამოყენებით ვწერთ გამოსავალს:სად ვიპოვით

III ტესტის კითხვები (შუბლის გამოკითხვა)

1. მიეცით განმარტება და ჩამოთვალეთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

2. მიეცი შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები.

3. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

IV დავალება საკლასო ოთახში

§15, No3 (ა, ბ); 4 (გ, დ); 7 (ა); 8 (ა); 12 (ბ); 13 (ა); 15 (გ); 16 (ა); 18 (ა, ბ); 19 (გ); 21;

§ 16, No4 (ა, ბ); 7 (ა); 8 (ბ); 16 (ა, ბ); 18 (ა); 19 (გ, დ);

§ 17, No3 (ა, ბ); 4 (გ, დ); 5 (ა, ბ); 7 (გ, დ); 9 (ბ); 10 (ა, გ).

V. საშინაო დავალება

§15, No3 (გ, დ); 4 (ა, ბ); 7 (გ); 8 (ბ); 12 (ა); 13 (ბ); 15 (დ); 16 (ბ); 18 (გ, დ); 19 (დ) 22;

§ 16, No4 (გ, დ); 7 (ბ); 8 (ა); 16 (გ, დ); 18 (ბ); 19 (ა, ბ);

§ 17, No3 (გ, დ); 4 (ა, ბ); 5 (გ, დ); 7 (ა, ბ); 9 (დ); 10 (ბ, დ).

ვი. შემოქმედებითი ამოცანები

1. იპოვნეთ ფუნქციის დომენი:

პასუხები:

2. იპოვნეთ ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი:

პასუხები:

3. დახაზეთ ფუნქცია:

ვიი გაკვეთილების შეჯამება