თუ რიცხვი იყოფა უსასრულობაზე, იქნება თუ არა კოეფიციენტი ნულისკენ? განაგრძო შიგნით და მიიღო საუკეთესო პასუხი

პასუხი ოლენკა-ისგან [ახალბედი]
ყველა 0
Krab Wark
Oracle
(56636)
არა. ზუსტი ნული. რადგან გამყოფი მიისწრაფვის უსასრულობისკენ, კოეფიციენტი ნულისკენ მიისწრაფვის. და თუ გავყოფთ არა უსასრულობისკენ მიდრეკილ რიცხვზე, არამედ თავად უსასრულობაზე (სხვათა შორის, უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, ის ოფიციალურად საერთოდ არ ითვლება რიცხვად, მაგრამ განიხილება სპეციალურ სიმბოლოდ, რომელიც ავსებს რიცხვების აღნიშვნას) - ზუსტად ნული.

პასუხი ეხლა იუგეუს ვლადიმერ[გურუ]
ნულის გაყოფაც კი, ნებისმიერ რიცხვზე რომც გაამრავლო, მაინც ნული იქნება!

პასუხი ეხლა 1 23 [გურუ]
თუ რაიმე სისულელე ნულისკენ მიისწრაფვის, მაშინ მისი გამრავლება რაღაც სასრულზე (რიცხვი ან შეზღუდული ფუნქცია) უაზროა, რადგან ყველაფერი ნულისკენ მიისწრაფვის.
მაგრამ თუ მას გაამრავლებთ რაიმე ნივთზე, რომელიც მიდრეკილია უსასრულობისკენ, შეიძლება არსებობდეს ვარიანტები.

პასუხი ეხლა Krab Wark[გურუ]
როდესაც ნებისმიერი რიცხვი იყოფა უსასრულობაზე, შედეგი არის ნული. ზუსტი ნული, არა "ნულისკენ სწრაფვა". და მერე, რა რიცხვზეც არ უნდა გაამრავლო, ნულზე. და ნულის გაყოფის შედეგი ნებისმიერ სხვა რიცხვზე ნულის გარდა იქნება ნული, მხოლოდ ნულის ნულზე გაყოფისას შედეგი არ არის განსაზღვრული, რადგან ნებისმიერი რიცხვი შესაფერისი იქნება კოეფიციენტად.

ლიმიტების ამოხსნის მეთოდები. გაურკვევლობები.
ფუნქციის ზრდის თანმიმდევრობა. ჩანაცვლების მეთოდი

მაგალითი 4

იპოვეთ ლიმიტი

ეს უფრო მარტივი მაგალითია საკუთარი თავის მოსაგვარებლად. შემოთავაზებულ მაგალითში კვლავ არის გაურკვევლობა (უფრო მაღალი რიგის ზრდა ვიდრე ფესვი).

თუ "x" მიდრეკილია "მინუს უსასრულობისკენ"

"მინუს უსასრულობის" აჩრდილი ამ სტატიაში დიდი ხანია ტრიალებს. განვიხილოთ ლიმიტები მრავალწევრებით, რომლებშიც . გადაწყვეტის პრინციპები და მეთოდები ზუსტად იგივე იქნება, რაც გაკვეთილის პირველ ნაწილში, მთელი რიგი ნიუანსების გამოკლებით.

მოდით გადავხედოთ 4 ხრიკს, რომელიც საჭირო იქნება პრაქტიკული ამოცანების გადასაჭრელად:

1) გამოთვალეთ ლიმიტი

ლიმიტის ღირებულება დამოკიდებულია მხოლოდ ტერმინზე, რადგან მას აქვს ზრდის უმაღლესი რიგი. თუ, მაშინ უსასრულოდ დიდი მოდულითუარყოფითი რიცხვი EVEN ხარისხზე, ამ შემთხვევაში – მეოთხეში უდრის „პლუს უსასრულობას“: . მუდმივი ("ორი") დადებითი, Ამიტომაც:

2) გამოთვალეთ ლიმიტი

აი ისევ უმაღლესი ხარისხი თუნდაც, Ამიტომაც: . მაგრამ მის წინ არის "მინუსი" ( უარყოფითიმუდმივი –1), შესაბამისად:

3) გამოთვალეთ ლიმიტი

ლიმიტის მნიშვნელობა დამოკიდებულია მხოლოდ. როგორც სკოლიდან გახსოვთ, "მინუსი" "ხტება" კენტი ხარისხის ქვეშ, ასე რომ უსასრულოდ დიდი მოდულითუარყოფითი რიცხვი კენტ ხარისხზეუდრის "მინუს უსასრულობას", ამ შემთხვევაში: .
მუდმივი ("ოთხი") დადებითი, ნიშნავს:

4) გამოთვალეთ ლიმიტი

სოფელში პირველი ბიჭი ისევ ჰყავს უცნაურიხარისხი, გარდა ამისა, წიაღში უარყოფითიმუდმივი, რაც ნიშნავს: ამგვარად:
.

მაგალითი 5

იპოვეთ ლიმიტი

ზემოაღნიშნული პუნქტების გამოყენებით მივდივართ დასკვნამდე, რომ აქ არის გაურკვევლობა. მრიცხველი და მნიშვნელი ზრდის ერთნაირი რიგისაა, რაც ნიშნავს, რომ ლიმიტში შედეგი იქნება სასრული რიცხვი. მოდით გავიგოთ პასუხი ყველა ფრაის გადაგდებით:

გამოსავალი ტრივიალურია:

მაგალითი 6

იპოვეთ ლიმიტი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კი, ალბათ, ყველაზე დახვეწილი შემთხვევები:

მაგალითი 7

იპოვეთ ლიმიტი

წამყვანი ტერმინების გათვალისწინებით, მივდივართ დასკვნამდე, რომ აქ არის გაურკვევლობა. მრიცხველი ზრდის უფრო მაღალი რიგისაა, ვიდრე მნიშვნელი, ამიტომ დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ზღვარი უსასრულობის ტოლია. მაგრამ რა სახის უსასრულობა, „პლუს“ თუ „მინუს“? ტექნიკა იგივეა - მოდით, თავი დავაღწიოთ წვრილმანებს მრიცხველში და მნიშვნელში:

Ჩვენ ვწყვეტთ:

გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი

მაგალითი 15

იპოვეთ ლიმიტი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. საბოლოო დიზაინის სავარაუდო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

კიდევ რამდენიმე საინტერესო მაგალითი ცვლადის ჩანაცვლების თემაზე:

მაგალითი 16

იპოვეთ ლიმიტი

ერთიანობის ლიმიტში ჩანაცვლებისას მიიღება გაურკვევლობა. ცვლადის შეცვლა უკვე თავისთავად გვთავაზობს, მაგრამ ჯერ ტანგენტს გარდაქმნით ფორმულის გამოყენებით. მართლაც, რატომ გვჭირდება ტანგენსი?

გაითვალისწინეთ, რომ ამიტომ. თუ მთლად ნათელი არ არის, შეხედეთ სინუსურ მნიშვნელობებს ტრიგონომეტრიული ცხრილი. ამრიგად, ჩვენ მაშინვე ვიშორებთ მულტიპლიკატორს, გარდა ამისა, ვიღებთ უფრო ნაცნობ გაურკვევლობას 0:0. კარგი იქნება, თუ ჩვენი ლიმიტი ნულისკენ მიისწრაფვის.

შევცვალოთ:

თუ, მაშინ

კოსინუსის ქვეშ გვაქვს „x“, რომელიც ასევე უნდა გამოვხატოთ „ტე“-ით.
ჩანაცვლებიდან გამოვხატავთ: .

ჩვენ ვასრულებთ გამოსავალს:

(1) ჩვენ ვახორციელებთ ჩანაცვლებას

(2) გახსენით ფრჩხილები კოსინუსის ქვეშ.

(4) ორგანიზება პირველი მშვენიერი ლიმიტი, ხელოვნურად გავამრავლოთ მრიცხველი და საპასუხო რიცხვი.

ამოცანა დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 17

იპოვეთ ლიმიტი

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ეს იყო მარტივი დავალებები მათ კლასში, პრაქტიკაში ყველაფერი შეიძლება იყოს უარესი და, გარდა ამისა შემცირების ფორმულები, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მრავალფეროვანი ტრიგონომეტრიული ფორმულები, ისევე როგორც სხვა ხრიკები. სტატიაში რთული ლიმიტები მე გადავხედე რამდენიმე რეალურ მაგალითს =)

დღესასწაულის წინა დღეს, ჩვენ საბოლოოდ განვმარტავთ სიტუაციას კიდევ ერთი საერთო გაურკვევლობით:

გაურკვევლობის აღმოფხვრა "ერთი უსასრულობის ძალამდე"

ეს გაურკვევლობა "ემსახურება" მეორე მშვენიერი ლიმიტიდა ამ გაკვეთილის მეორე ნაწილში ჩვენ დეტალურად განვიხილეთ გადაწყვეტილებების სტანდარტული მაგალითები, რომლებიც უმეტეს შემთხვევაში გვხვდება პრაქტიკაში. ახლა სრულდება სურათი ექსპონენტებთან ერთად, გარდა ამისა, გაკვეთილის საბოლოო დავალებები დაეთმობა „ცრუ“ საზღვრებს, რომლებშიც ჩანს, რომ აუცილებელია მე-2 მშვენიერი ლიმიტის გამოყენება, თუმცა ეს საერთოდ არ არის საქმე.

მე-2 ღირსშესანიშნავი ლიმიტის ორი სამუშაო ფორმულის მინუსი არის ის, რომ არგუმენტი უნდა იყოს მიდრეკილი „პლუს უსასრულობისკენ“ ან ნულისკენ. მაგრამ რა მოხდება, თუ არგუმენტი მიდრეკილია სხვა რიცხვისკენ?

სამაშველოში მოდის უნივერსალური ფორმულა (რაც რეალურად მეორე მნიშვნელოვანი ლიმიტის შედეგია):

გაურკვევლობა შეიძლება აღმოიფხვრას ფორმულის გამოყენებით:

სადღაც მგონი უკვე ავხსენი, რას ნიშნავს კვადრატული ფრჩხილები. არაფერი განსაკუთრებული, ბრეკეტები მხოლოდ ფრჩხილებია. ისინი ჩვეულებრივ გამოიყენება მათემატიკური აღნიშვნის უფრო მკაფიოდ ხაზგასასმელად.

მოდით გამოვყოთ ფორმულის ძირითადი პუნქტები:

1) ეს დაახლოებით მხოლოდ გაურკვევლობაზე და სხვა არაფერი.

2) "x" არგუმენტი შეიძლება მიდრეკილი იყოს თვითნებური მნიშვნელობა(და არა მხოლოდ ნულამდე ან, კერძოდ, "მინუს უსასრულობამდე" ან მდე ვინმესსასრული რიცხვი.

ამ ფორმულის გამოყენებით შეგიძლიათ ამოხსნათ გაკვეთილის ყველა მაგალითი. მშვენიერი საზღვრები, რომლებიც მიეკუთვნება მე-2 ღირსშესანიშნავ ზღვარს. მაგალითად, გამოვთვალოთ ლიმიტი:

Ამ შემთხვევაში და ფორმულის მიხედვით :

მართალია, მე არ გირჩევთ ამის გაკეთებას; ტრადიცია არის გადაწყვეტის "ჩვეულებრივი" დიზაინის გამოყენება, თუ მისი გამოყენება შესაძლებელია. თუმცა ფორმულის გამოყენებით მისი შემოწმება ძალიან მოსახერხებელია"კლასიკური" მაგალითები მე-2 ღირსშესანიშნავ ზღვარამდე.

ძალიან ხშირად, ბევრ ადამიანს აინტერესებს, რატომ არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნულზე გაყოფა? ამ სტატიაში ჩვენ დეტალურად ვისაუბრებთ იმაზე, თუ საიდან გაჩნდა ეს წესი, ასევე რა ქმედებები შეიძლება შესრულდეს ნულით.

კონტაქტში

ნულს შეიძლება ეწოდოს ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო რიცხვი. ამ რიცხვს აზრი არ აქვს, ეს ნიშნავს სიცარიელეს ამ სიტყვის სრული გაგებით. თუმცა, თუ რაიმე რიცხვის გვერდით არის ნული, მაშინ ამ რიცხვის მნიშვნელობა რამდენჯერმე დიდი გახდება.

თავად რიცხვი ძალიან იდუმალია. მას იყენებდნენ უძველესი მაიას ხალხი. მაიასთვის ნული ნიშნავდა "დაწყებას" და კალენდარული დღეებიც ნულიდან იწყებოდა.

ძალიან საინტერესო ფაქტია, რომ ნულის ნიშანი და გაურკვევლობის ნიშანი მსგავსი იყო. ამით მაიას სურდათ ეჩვენებინათ, რომ ნული იგივე ნიშანია, როგორც გაურკვევლობა. ევროპაში აღნიშვნა ნულოვანი შედარებით ცოტა ხნის წინ გამოჩნდა.

ბევრმა ასევე იცის ნულთან დაკავშირებული აკრძალვა. ამას ნებისმიერი იტყვის ნულზე ვერ გაყოფ. ამას სკოლაში მასწავლებლები ამბობენ და ბავშვები, როგორც წესი, თავიანთ სიტყვას ემორჩილებიან. ჩვეულებრივ, ბავშვებს ან უბრალოდ არ აინტერესებთ ამის ცოდნა, ან იციან, რა მოხდება, თუ მნიშვნელოვანი აკრძალვის მოსმენის შემდეგ დაუყოვნებლივ ჰკითხავენ: "რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?" მაგრამ როცა დაბერდები, შენი ინტერესი იღვიძებს და გსურს მეტი იცოდე ამ აკრძალვის მიზეზების შესახებ. თუმცა, არსებობს გონივრული მტკიცებულება.

მოქმედებები ნულით

ჯერ უნდა დაადგინოთ, რა მოქმედებები შეიძლება შესრულდეს ნულით. არსებობს რამდენიმე სახის მოქმედება:

• დამატება;
• გამრავლება;
• გამოკლება;
• გაყოფა (ნული რიცხვით);
• ექსპონენტაცია.

Მნიშვნელოვანი!თუ შეკრების დროს ნებისმიერ რიცხვს დაუმატებთ ნულს, მაშინ ეს რიცხვი იგივე დარჩება და არ შეცვლის მის რიცხვობრივ მნიშვნელობას. იგივე ხდება, თუ რომელიმე რიცხვს გამოაკლებ ნულს.

როდესაც გამრავლება და გაყოფა, ყველაფერი ცოტა განსხვავებულია. თუ გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ნულზე, მაშინ პროდუქტიც გახდება ნული.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

მოდით დავწეროთ ეს, როგორც დამატება:

სულ ხუთი ნულია, ასე გამოდის

შევეცადოთ გავამრავლოთ ერთი ნულზე. შედეგი ასევე იქნება ნული.

ნული ასევე შეიძლება დაიყოს ნებისმიერ სხვა რიცხვზე, რომელიც არ არის მისი ტოლი. ამ შემთხვევაში, შედეგი იქნება , რომლის ღირებულებაც იქნება ნული. იგივე წესი მოქმედებს უარყოფით რიცხვებზე. თუ ნული იყოფა უარყოფით რიცხვზე, შედეგი არის ნული.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ააწყოთ ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით. ამ შემთხვევაში შედეგი იქნება 1. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ გამოთქმა „ნული ნულის ხარისხზე“ აბსოლუტურად უაზროა. თუ თქვენ ცდილობთ ნულის ამაღლებას ნებისმიერ სიმძლავრემდე, მიიღებთ ნულს. მაგალითი:

ვიყენებთ გამრავლების წესს და ვიღებთ 0-ს.

ანუ შესაძლებელია ნულზე გაყოფა?

ასე რომ, აქ მივედით მთავარ კითხვამდე. შესაძლებელია თუ არა გაყოფა ნულზე?საერთოდ? და რატომ არ შეგვიძლია რიცხვის ნულზე გაყოფა, თუ გავითვალისწინებთ, რომ ყველა სხვა ქმედება ნულთან ერთად არსებობს და გამოიყენება? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია მივმართოთ უმაღლეს მათემატიკას.

დავიწყოთ ცნების განმარტებით, რა არის ნული? სკოლის მასწავლებლები ამბობენ, რომ ნული არაფერია. Სიცარიელე. ანუ როცა ამბობ, რომ 0 სახელური გაქვს, ეს ნიშნავს, რომ სახელურები საერთოდ არ გაქვს.

უმაღლეს მათემატიკაში „ნულის“ ცნება უფრო ფართოა. ეს სულაც არ ნიშნავს სიცარიელეს. აქ ნულს გაურკვევლობა ჰქვია, რადგან თუ მცირე კვლევას ჩავატარებთ, აღმოჩნდება, რომ როდესაც ნულს გავყოფთ ნულზე, შეიძლება მივიღოთ ნებისმიერი სხვა რიცხვი, რომელიც შეიძლება სულაც არ იყოს ნული.

იცოდით, რომ ის მარტივი არითმეტიკული მოქმედებები, რომლებიც სკოლაში სწავლობდით, არც ისე ტოლია ერთმანეთის? ყველაზე ძირითადი მოქმედებებია შეკრება და გამრავლება.

მათემატიკოსებისთვის "" და "გამოკლების" ცნებები არ არსებობს. ვთქვათ: თუ სამს გამოაკლებ ხუთს, დარჩება ორი. ასე გამოიყურება გამოკლება. თუმცა მათემატიკოსები ამას ასე დაწერენ:

ამრიგად, გამოდის, რომ უცნობი სხვაობა არის გარკვეული რიცხვი, რომელიც უნდა დაემატოს 3-ს, რომ მიიღოთ 5. ანუ, თქვენ არ გჭირდებათ არაფრის გამოკლება, თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ შესაბამისი რიცხვი. ეს წესი ვრცელდება დამატებით.

საქმეები ცოტა განსხვავებულია გამრავლებისა და გაყოფის წესები.ცნობილია, რომ ნულზე გამრავლება იწვევს ნულოვან შედეგს. მაგალითად, თუ 3:0=x, მაშინ თუ შეცვლით ჩანაწერს, მიიღებთ 3*x=0. და რიცხვი, რომელიც გამრავლდა 0-ზე, მისცემს ნულს ნამრავლში. გამოდის, რომ არ არსებობს რიცხვი, რომელიც მისცემს რაიმე სხვა მნიშვნელობას ნულის გარდა ნულის ნამრავლში. ეს ნიშნავს, რომ ნულზე გაყოფა უაზროა, ანუ ერგება ჩვენს წესს.

მაგრამ რა მოხდება, თუ ცდილობთ ნულის თავისთავად გაყოფას? ავიღოთ რაღაც განუსაზღვრელი რიცხვი, როგორც x. შედეგად მიღებული განტოლებაა 0*x=0. მისი მოგვარება შესაძლებელია.

თუ x-ის ნაცვლად ნულის აღებას ვცდილობთ, მივიღებთ 0:0=0. ლოგიკური ჩანდეს? მაგრამ თუ ვცდილობთ ავიღოთ ნებისმიერი სხვა რიცხვი, მაგალითად, 1, x-ის ნაცვლად, მივიღებთ 0:0=1. იგივე სიტუაცია იქნება, თუ ავიღებთ სხვა რიცხვს და შეაერთეთ იგი განტოლებაში.

ამ შემთხვევაში გამოდის, რომ ფაქტორად ნებისმიერი სხვა რიცხვი შეგვიძლია ავიღოთ. შედეგი იქნება სხვადასხვა რიცხვების უსასრულო რაოდენობა. ხანდახან უმაღლეს მათემატიკაში 0-ზე გაყოფა მაინც აზრი აქვს, მაგრამ შემდეგ ჩვეულებრივ ჩნდება გარკვეული პირობა, რომლის წყალობით მაინც შეგვიძლია ავირჩიოთ ერთი შესაფერისი რიცხვი. ამ მოქმედებას ეწოდება "გაურკვევლობის გამჟღავნება". ჩვეულებრივ არითმეტიკაში, ნულზე გაყოფა კვლავ დაკარგავს თავის მნიშვნელობას, რადგან ჩვენ ვერ შევძლებთ ავირჩიოთ ერთი რიცხვი სიმრავლიდან.

Მნიშვნელოვანი!ნულს ნულზე ვერ გაყოფ.

ნული და უსასრულობა

უსასრულობა ძალიან ხშირად გვხვდება უმაღლეს მათემატიკაში. ვინაიდან სკოლის მოსწავლეებისთვის უბრალოდ არ არის მნიშვნელოვანი იმის ცოდნა, რომ მათემატიკური მოქმედებებიც არსებობს უსასრულობასთან, მასწავლებლებს არ შეუძლიათ სწორად აუხსნან ბავშვებს, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა.

სტუდენტები იწყებენ ძირითადი მათემატიკური საიდუმლოებების შესწავლას მხოლოდ ინსტიტუტის პირველ წელს. უმაღლესი მათემატიკა იძლევა ამოცანების დიდ კომპლექსს, რომლებსაც არ აქვთ გადაწყვეტა. ყველაზე ცნობილი პრობლემებია უსასრულობის პრობლემები. მათი გადაჭრა შესაძლებელია გამოყენებით მათემატიკური ანალიზი.

ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას უსასრულობაზე ელემენტარული მათემატიკური ოპერაციები:შეკრება, რიცხვით გამრავლება. როგორც წესი, ისინი ასევე იყენებენ გამოკლებას და გაყოფას, მაგრამ საბოლოოდ მაინც ორ მარტივ ოპერაციამდე ჩამოდიან.

მაგრამ რა მოხდება თუ ცდები:

• უსასრულობა გამრავლებული ნულზე. თეორიულად, თუ რომელიმე რიცხვის ნულზე გამრავლებას ვცდილობთ, მივიღებთ ნულს. მაგრამ უსასრულობა არის რიცხვების განუსაზღვრელი ნაკრები. ვინაიდან ამ სიმრავლიდან ერთ რიცხვს ვერ ავირჩევთ, გამონათქვამს ∞*0 არ აქვს ამოხსნა და აბსოლუტურად უაზროა.
• ნული გაყოფილი უსასრულობაზე. აქაც იგივე ამბავი ხდება, რაც ზემოთ იყო. ჩვენ არ შეგვიძლია ავირჩიოთ ერთი რიცხვი, რაც იმას ნიშნავს, რომ არ ვიცით რაზე გავყოთ. გამოთქმას აზრი არ აქვს.

Მნიშვნელოვანი!უსასრულობა ცოტათი განსხვავდება გაურკვევლობისგან! უსასრულობა გაურკვევლობის ერთ-ერთი სახეობაა.

ახლა ვცადოთ უსასრულობის გაყოფა ნულზე. როგორც ჩანს, გაურკვევლობა უნდა იყოს. მაგრამ თუ ჩვენ ვცდილობთ ჩავანაცვლოთ გაყოფა გამრავლებით, მივიღებთ ძალიან გარკვეულ პასუხს.

მაგალითად: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

გამოდის ასე მათემატიკური პარადოქსი.

პასუხი იმაზე, თუ რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა

სააზროვნო ექსპერიმენტი, ცდილობს გაყოს ნულზე

დასკვნა

ასე რომ, ახლა ჩვენ ვიცით, რომ ნული ექვემდებარება თითქმის ყველა ოპერაციას, რომელიც შესრულებულია, გარდა ერთისა. ნულზე ვერ გაყოფთ მხოლოდ იმიტომ, რომ შედეგი არის გაურკვევლობა. ჩვენ ასევე ვისწავლეთ მოქმედებების შესრულება ნულთან და უსასრულობასთან. ასეთი ქმედებების შედეგი იქნება გაურკვევლობა.

ჩვენ გავარკვიეთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები.

უფრო რთული ტიპის ფუნქციებზე გადასვლისას აუცილებლად შეგვხვდება გამონათქვამები, რომელთა მნიშვნელობა არ არის განსაზღვრული. ასეთ გამონათქვამებს ე.წ გაურკვევლობები.

ჩამოვთვალოთ ყველაფერი გაურკვევლობის ძირითადი ტიპები: ნული გაყოფილი ნულზე (0-ზე), უსასრულობა გაყოფილი უსასრულობაზე, ნული გამრავლებული უსასრულობაზე, უსასრულობა მინუს უსასრულობა, ერთი უსასრულობის ხარისხზე, ნული ნულის ხარისხზე, უსასრულობა ნულის ხარისხზე.

გაურკვევლობის ყველა სხვა გამოხატულება არ არის და იღებს სრულიად სპეციფიკურ სასრულ ან უსასრულო მნიშვნელობას.

გაურკვევლობის გამოვლენასაშუალებას იძლევა:

• ფუნქციის ტიპის გამარტივება (გამოსახულებების ტრანსფორმაცია შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენებით, ტრიგონომეტრიული ფორმულები, გამრავლება კონიუგატურ გამოსახულებებზე, რასაც მოჰყვება შემცირება და ა.შ.);
• ღირსშესანიშნავი ლიმიტების გამოყენება;
• განაცხადი L'Hopital-ის წესები ;
• გამოყენება უსასრულოდ მცირე გამოხატვის ჩანაცვლება მისი ეკვივალენტით(ეკვივალენტური უსასრულოების ცხრილის გამოყენებით).

მოდით დავაჯგუფოთ გაურკვევლობები გაურკვევლობის ცხრილი. თითოეული ტიპის გაურკვევლობისთვის ჩვენ ვუკავშირებთ მეთოდს მისი გამჟღავნებისთვის (ლიმიტის პოვნის მეთოდი).

ამ მაგიდასთან ერთად ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების ლიმიტების ცხრილიიქნება თქვენი მთავარი ინსტრუმენტები ნებისმიერი ლიმიტის პოვნისას.

მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი, როდესაც ყველაფერი გამოდგება მნიშვნელობის ჩანაცვლებისთანავე და გაურკვევლობა არ წარმოიქმნება.

მაგალითი.

ლიმიტის გამოთვლა

გამოსავალი.

შეცვალეთ მნიშვნელობა:

და მაშინვე მივიღეთ პასუხი.

პასუხი:

მაგალითი.

ლიმიტის გამოთვლა

გამოსავალი.

ჩვენ ვცვლით x=0 მნიშვნელობას ჩვენი ექსპონენციალური სიმძლავრის ფუნქციის საფუძველში:

ანუ ლიმიტი შეიძლება გადაიწეროს როგორც

ახლა მოდით შევხედოთ ინდიკატორს. ეს არის დენის ფუნქცია. მივმართოთ ლიმიტების ცხრილიუარყოფითი მაჩვენებლის მქონე დენის ფუნქციებისთვის. იქიდან გვაქვს და მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ .

ამის საფუძველზე ჩვენი ლიმიტი დაიწერება შემდეგნაირად:

ჩვენ კვლავ მივმართავთ ლიმიტების ცხრილს, მაგრამ ერთზე მეტი ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციებისთვის, საიდანაც გვაქვს:

პასუხი:

მოდით შევხედოთ მაგალითებს დეტალური გადაწყვეტილებებით გაურკვევლობების გამოვლენა გამონათქვამების გარდაქმნით.

ძალიან ხშირად, ზღვრული ნიშნის ქვეშ გამოთქმა საჭიროებს ოდნავ ტრანსფორმაციას, რათა თავიდან აიცილოს გაურკვევლობა.

მაგალითი.

ლიმიტის გამოთვლა

გამოსავალი.

შეცვალეთ მნიშვნელობა:

გაურკვევლობაში მივედით. ჩვენ ვუყურებთ გაურკვევლობის ცხრილს გადაწყვეტის მეთოდის შესარჩევად. ვცადოთ გამოთქმის გამარტივება.

პასუხი:

მაგალითი.

ლიმიტის გამოთვლა

გამოსავალი.

შეცვალეთ მნიშვნელობა:

გაურკვევლობამდე მივედით (0-0). ჩვენ ვუყურებთ გაურკვევლობის ცხრილს, რათა ავირჩიოთ ამოხსნის მეთოდი და ვცდილობთ გავამარტივოთ გამოხატულება. გავამრავლოთ მრიცხველიც და მნიშვნელიც მნიშვნელთან კონიუგატში.

მნიშვნელისთვის კონიუგატური გამოხატულება იქნება

ჩვენ გავამრავლეთ მნიშვნელი ისე, რომ შეგვეძლო გამოვიყენოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულა - კვადრატების განსხვავება და შემდეგ შევამციროთ მიღებული გამოსახულება.

მთელი რიგი გარდაქმნების შემდეგ გაურკვევლობა გაქრა.

პასუხი:

კომენტარი:ამ ტიპის საზღვრებისთვის დამახასიათებელია კონიუგატური გამონათქვამებით გამრავლების მეთოდი, ამიტომ თავისუფლად გამოიყენეთ იგი.

მაგალითი.

ლიმიტის გამოთვლა

გამოსავალი.

შეცვალეთ მნიშვნელობა:

გაურკვევლობაში მივედით. ჩვენ ვუყურებთ გაურკვევლობის ცხრილს, რათა ავირჩიოთ ამოხსნის მეთოდი და ვცდილობთ გავამარტივოთ გამოხატულება. ვინაიდან მრიცხველიც და მნიშვნელიც ქრება x = 1-ზე, მაშინ თუ ეს გამონათქვამები შეიძლება შემცირდეს (x-1) და გაურკვევლობა გაქრება.

მოდით, მრიცხველის ფაქტორიზირება:

მოდით, მნიშვნელი გავამრავლოთ:

ჩვენი ლიმიტი მიიღებს ფორმას:

ტრანსფორმაციის შემდეგ გაურკვევლობა გამოვლინდა.

პასუხი:

მოდით განვიხილოთ უსასრულობის ლიმიტები ძალის გამონათქვამებიდან. თუ სიმძლავრის გამოხატვის მაჩვენებლები დადებითია, მაშინ უსასრულობის ზღვარი უსასრულოა. უფრო მეტიც, უდიდეს ხარისხს უპირველესი მნიშვნელობა აქვს, დანარჩენი შეიძლება გაუქმდეს.

მაგალითი.

მაგალითი.

თუ ზღვრული ნიშნის ქვეშ გამოსახვა არის წილადი, და მრიცხველიც და მნიშვნელიც არის სიძლიერის გამოსახულებები (m არის მრიცხველის სიმძლავრე, ხოლო n არის მნიშვნელის სიძლიერე), მაშინ როდესაც ფორმის გაურკვევლობაა უსასრულობა უსასრულობამდე. წარმოიქმნება, ამ შემთხვევაში გაურკვევლობა ვლინდებამრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფაც

მაგალითი.

ლიმიტის გამოთვლა