ინსტრუქციები

ძირში მდებარე მრავალკუთხედი შეიძლება იყოს რეგულარული, ანუ ის, რომლის გვერდები ყველა თანაბარი და არარეგულარულია. თუ პრიზმის საფუძველი რეგულარულია, მაშინ მისი ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით S = 1/2P*r, სადაც S არის ფართობი, P არის მრავალკუთხედი (მისი ყველა მხარის სიგრძის ჯამი) და r არის მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი.

თქვენ შეგიძლიათ ვიზუალურად წარმოიდგინოთ წრის რადიუსი, რომელიც ჩაწერილია ჩვეულებრივ მრავალკუთხედში მრავალკუთხედის თანაბარ ნაწილებად დაყოფით. თითოეული სამკუთხედის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე მრავალკუთხედის გვერდისკენ, რომელიც არის სამკუთხედის საფუძველი, იქნება ჩაწერილი წრის რადიუსი.

თუ მრავალკუთხედი არარეგულარულია, მაშინ პრიზმის ფართობის გამოსათვლელად აუცილებელია მისი დაყოფა სამკუთხედებად და ცალკე იპოვეთ თითოეული სამკუთხედის ფართობი. ჩვენ ვპოულობთ სამკუთხედების ფართობებს S = 1/2bh ფორმულის გამოყენებით, სადაც S არის სამკუთხედის ფართობი, b არის მისი გვერდი და h არის სიმაღლე, რომელიც დახატულია b მხარეს. მას შემდეგ რაც გამოთვლით ყველა სამკუთხედის ფართობებს, რომლებიც ქმნიან მრავალკუთხედს, უბრალოდ შეაჯამეთ ეს არეები პრიზმის ფუძის მთლიანი ფართობის მისაღებად.

ვიდეო თემაზე

წყაროები:

• პრიზმის არე

გეომეტრიაში, პარალელეპიპედი არის სამგანზომილებიანი რიცხვი, რომელიც ჩამოყალიბებულია ექვსი პარალელოგრამით (ტერმინი რომბოიდი ასევე ზოგჯერ გამოიყენება ამ მნიშვნელობით).

ინსტრუქციები

ევკლიდეს გეომეტრიაში ის მოიცავს ოთხივე ცნებას (ანუ პარალელეპიპედი, პარალელოგრამი, კუბი და კვადრატი). გეომეტრიის ამ კონტექსტში, რომელშიც კუთხეები არ არის დიფერენცირებული, მისი განმარტება საშუალებას იძლევა მხოლოდ პარალელოგრამი და პარალელეპიპედი. სამი ეკვივალენტური განმარტება:
* პოლიედონი ექვსი სახით (), რომელთაგან თითოეული პარალელოგრამია,

* ექვსკუთხედი სამი წყვილი პარალელური კიდეებით,

* პრიზმა, რომელიც პარალელოგრამია.

პარალელეპიპედის მოცულობა არის მისი ფუძის მნიშვნელობების მთლიანობა - A და მისი სიმაღლე - H. ფუძე არის პარალელეპიპედის ექვსი სახედან ერთ-ერთი. სიმაღლე არის პერპენდიკულარული მანძილი ფუძესა და მოპირდაპირე მხარეს შორის.

პარალელეპიპედის მოცულობის განსაზღვრის ალტერნატიული მეთოდი ხორციელდება მისი ვექტორების = (A1, A2, A3), b = (B1, B2, B3) გამოყენებით. ამრიგად, პარალელეპიპედის მოცულობა უდრის სამი მნიშვნელობის აბსოლუტურ მნიშვნელობას - a (b × c):
A = |b | |გ | შეცდომის ხარისხი ამ შემთხვევაში არის θ = |b × c |,

სადაც θ არის კუთხე b და c შორის და სიმაღლე

H = |a |, რადგან α,

სადაც α არის შიდა კუთხე a-სა და h-ს შორის.

ვიდეო თემაზე

ბევრ რეალურ ობიექტს აქვს პარალელეპიპედის ფორმა. მაგალითებია ოთახი და აუზი. ამ ფორმის ნაწილები არ არის იშვიათი ინდუსტრიაში. ამ მიზეზით, ხშირად ჩნდება ამოცანა მოცემული ფიგურის მოცულობის პოვნისა.

ინსტრუქციები

პარალელეპიპედი არის პრიზმა, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი. პარალელეპიპედს აქვს სახეები - ყველა სიბრტყე, რომელიც ქმნის ამ ფიგურას. მას სულ ექვსი სახე აქვს, ყველა პარალელოგრამია. მისი მოპირდაპირე მხარეები ერთმანეთის ტოლი და პარალელურია. გარდა ამისა, მას აქვს დიაგონალები, რომლებიც იკვეთება ერთ წერტილში და იკვეთება იმ წერტილში.

ორი სახის პარალელეპიპედი. პირველისთვის ყველა სახე პარალელოგრამია, მეორესთვის კი მართკუთხედები. ბოლო მათგანს მართკუთხა პარალელეპიპედი ეწოდება. მისი ყველა სახე მართკუთხაა, ხოლო გვერდითი მხარეები ფუძის პერპენდიკულარულია. თუ მართკუთხა ობიექტს აქვს კვადრატული სახეები, მაშინ მას კუბი ეწოდება. ამ შემთხვევაში მისი სახეები და . კიდე არის ნებისმიერი პოლიედრონის მხარე, რომელიც მოიცავს პარალელეპიპედს.

დავალების პირობების შესასრულებლად. ჩვეულებრივ პარალელეპიპედს ძირში აქვს პარალელოგრამი, ხოლო მართკუთხას აქვს მართკუთხედი ან კვადრატი, რომელსაც ყოველთვის აქვს მართი კუთხე. თუ პარალელოგრამი დევს პარალელეპიპედის ძირში, მაშინ მისი მოცულობა შემდეგნაირად გვხვდება:
V=S*H, სადაც S არის ფუძის ფართობი, H არის პარალელეპიპედის სიმაღლე
პარალელეპიპედის სიმაღლე ჩვეულებრივ მისი გვერდითი კიდეა. პარალელეპიპედის ძირში ასევე შეიძლება იყოს პარალელოგრამი, რომელიც არ არის მართკუთხედი. პლანიმეტრიის კურსიდან ვიცით, რომ პარალელოგრამის ფართობი უდრის:
S=a*h, სადაც h არის პარალელოგრამის სიმაღლე, a არის ფუძის სიგრძე, ე.ი. :
V=a*hp*H

თუ მოხდა მეორე შემთხვევა, როდესაც პარალელეპიპედის ფუძე არის მართკუთხედი, მაშინ მოცულობა გამოითვლება იმავე ფორმულით, მაგრამ ფუძის ფართობი ოდნავ განსხვავებული გზით არის ნაპოვნი:
V=S*H,
S=a*b, სადაც a და b არის მართკუთხედის გვერდები და პარალელეპიპედის კიდეები, შესაბამისად.
V=a*b*H

კუბის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მარტივი ლოგიკური მეთოდები. ვინაიდან კუბის ყველა სახე და კიდე ტოლია, ხოლო კუბის საფუძველი არის კვადრატი, ზემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი ფორმულა:
V=a^3

გეომეტრიაში პარალელეპიპედი არის სამგანზომილებიანი რიცხვი, რომელიც იქმნება ექვსი პარალელოგრამით. პარალელეპიპედის ფორმა ყველგან გვხვდება; თანამედროვე ობიექტების უმეტესობას აქვს იგი. ასე, მაგალითად, სასტუმროები და საცხოვრებელი კორპუსები, ოთახები და საცურაო აუზები და ა.შ. ეს ფორმა აქვს ბევრ სამრეწველო ნაწილსაც, რის გამოც ხშირად დგება ამოცანა მოცემული ფიგურის მოცულობის პოვნისა.

ინსტრუქციები

თუმცა არის მეორე ტიპის პარალელეპიპედიც, რომელშიც ყველა სახე მართკუთხაა, გვერდითი კი ფუძის პერპენდიკულარულად განლაგებულია. ასეთ პარალელეპიპედს მართკუთხა ეწოდება. თქვენ უნდა იცოდეთ, რომ საპირისპირო მხარეები პარალელეპიპედიერთმანეთის ტოლია და ამ ფიგურას ასევე აქვს დიაგონალები, რომლებიც იკვეთება ერთ წერტილში, რაც მათ შუაზე ყოფს.

გადაწყვიტეთ რომელი პარალელეპიპედის (ჩვეულებრივი თუ მართკუთხა) მოცულობა უნდა იცოდეთ.

თუ პარალელეპიპედი ჩვეულებრივია (ძირში პარალელოგრამია). გაარკვიეთ თქვენი ფიგურის ბაზის ფართობი და სიმაღლე. გამოთვალეთ პარალელეპიპედის მოცულობა; როგორც წესი, პარალელეპიპედის სიმაღლე არის ფიგურის გვერდითი კიდე.

გარდა მითითებული მეთოდისა, შეგიძლიათ გაიგოთ პარალელეპიპედის მოცულობა შემდეგი გზით. შეიტყვეთ ტერიტორია. ამისათვის გააკეთეთ გამოთვლები ქვემოთ S=a*h ფორმულის გამოყენებით, სადაც h ამ ფორმულაში არის ფიგურის სიმაღლე და არის პარალელოგრამის ფუძის სიგრძე.

იპოვეთ პარალელეპიპედის მოცულობა V=a*hp*H ფორმულის გამოყენებით, სადაც p ფორმულაში არის ფიგურის ფუძის პერიმეტრი. თუ ამოცანაში მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედი, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ მოცულობა იგივე ფორმულით: V=S*H.

თუმცა, ფიგურის ფუძის ფართობი იქნება შემდეგი: S=a*b, სადაც a და b ფორმულაში არის მართკუთხედის გვერდები და, შესაბამისად, პარალელეპიპედის კიდეები. იპოვეთ ფიგურის მოცულობა V=a*b*H ფორმულით.

ვიდეო თემაზე

რჩევა 5: როგორ მოვძებნოთ პარალელეპიპედის მოცულობა ფუძის გავლით

პარალელეპიპედში ვგულისხმობთ სამგანზომილებიან გეომეტრიულ ფიგურას, პოლიედრონს, რომლის ფუძე და გვერდითი მხარეები პარალელოგრამებია. პარალელეპიპედის ფუძე არის ოთხკუთხედი, რომელზეც ეს პოლიედონი ვიზუალურად "დევს". პარალელეპიპედის მოცულობის პოვნა მისი ფუძის გავლით ძალიან მარტივია.

ინსტრუქციები

როგორც ზემოთ აღინიშნა, პარალელეპიპედის ფუძე. პარალელეპიპედის მოსაძებნად აუცილებელია გავარკვიოთ პარალელოგრამის ფართობი, რომელიც დევს ბაზაზე. ამისათვის, მონაცემებიდან გამომდინარე, არსებობს რამდენიმე ფორმულა:

S = a*h, სადაც a არის პარალელოგრამის გვერდი, h არის ამ მხარეს დახატული სიმაღლე; m

S = a*b*sinα, სადაც a და b არის პარალელოგრამის გვერდები, α არის კუთხე ამ გვერდებს შორის.

მაგალითი 1: პარალელოგრამის გათვალისწინებით, მისი ერთ-ერთი გვერდი არის 15 სმ, სიმაღლის სიგრძე ამ მხარეს არის 10 სმ. შემდეგ, სიბრტყეზე ამ ფიგურის ფართობის საპოვნელად, ორიდან პირველი. გამოიყენება ზემოთ მითითებული ფორმულები:

S = 10*15 = 150 სმ²

პასუხი: პარალელოგრამის ფართობია 150 სმ²

ახლა, როდესაც გაარკვიეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პარალელოგრამის ფართობი, შეგიძლიათ დაიწყოთ პარალელეპიპედის მოცულობის პოვნა. შეგიძლიათ იპოვოთ ფორმულის გამოყენებით:

V = S*h, სადაც h არის ამ პარალელეპიპედის სიმაღლე, S არის მისი ფუძის ფართობი, რომლის მდებარეობაც ზემოთ იყო განხილული.

შეგიძლიათ განიხილოთ მაგალითი, რომელიც მოიცავს ზემოთ მოგვარებულ პრობლემას:

პარალელოგრამის ბაზის ფართობია 150 სმ², მისი სიმაღლეა, ვთქვათ, 40 სმ, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ პარალელეპიპედის მოცულობა. ეს პრობლემა მოგვარებულია ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით:

V = 150*40 = 6000 სმ³

პარალელეპიპედის ერთ-ერთი სახეობაა მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის გვერდითი სახეები და ფუძე ოთხკუთხედია. ამ ფიგურის მოცულობის პოვნა კიდევ უფრო ადვილია, ვიდრე რეგულარული პარალელეპიპედის მოცულობის პოვნა, რომლის მოცულობის განსაზღვრა ზემოთ იყო განხილული:

V = a*b*c, სადაც a, b, c არის ამ პარალელეპიპედის სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე.

მაგალითი: მართკუთხა პარალელეპიპედისთვის ფუძის სიგრძე და სიგანეა 12 სმ და 14 სმ, გვერდითი სახის სიგრძე (სიმაღლე) 14 სმ, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფიგურის მოცულობა. პრობლემა მოგვარებულია ამ გზით:

V = 12*14*14 = 2352 სმ³

პასუხი: მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობაა 2352 სმ³

პარალელეპიპედი არის პრიზმა (პოლიედონი), რომლის ფუძეზე პარალელოგრამია. პარალელეპიპედს აქვს ექვსი გვერდი, ასევე პარალელოგრამები. არსებობს რამდენიმე სახის პარალელეპიპედი: მართკუთხა, სწორი, დახრილი და კუბური.

ინსტრუქციები

მარჯვენა პარალელეპიპედი, რომლის ოთხი გვერდითი მხარე მართკუთხედია. გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ფუძის ფართობი სიმაღლეზე - V=Sh. დავუშვათ, წრფის საფუძველი პარალელოგრამია. მაშინ ფუძის ფართობი ტოლი იქნება მისი მხარის ნამრავლისა და ამ მხარეს დახატული სიმაღლის - S=ac. მაშინ V=აჩ.

მართკუთხა პარალელეპიპედი არის პარალელეპიპედი, რომლის ექვსი სახე ყველა მართკუთხედია. მაგალითები: ასანთის ყუთი. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ ფუძის ფართობი სიმაღლეზე - V=Sh. ფუძის ფართობი ამ შემთხვევაში არის მართკუთხედის ფართობი, ანუ მისი ორი მხარის მნიშვნელობების ნამრავლი - S=ab, სადაც a არის სიგანე, b არის სიგრძე. ასე რომ, ვიღებთ საჭირო მოცულობას - V=abh.

დახრილი პარალელეპიპედი არის პარალელეპიპედი, რომლის გვერდითი მხარეები არ არის პერპენდიკულარული ფუძეების მიმართ. ამ შემთხვევაში, მოცულობა უდრის ფუძის ფართობის და სიმაღლის ნამრავლს - V=Sh. დახრილი პარალელეპიპედის სიმაღლე არის პერპენდიკულური სეგმენტი, რომელიც ეშვება ნებისმიერი ზედა წვეროდან გვერდითი სახის ფუძის შესაბამის მხარეს (ანუ ნებისმიერი გვერდითი სახის სიმაღლეზე).

კუბი არის სწორი პარალელეპიპედი, რომელშიც ყველა კიდე ტოლია და ექვსივე სახე კვადრატია. მოცულობა უდრის ფუძისა და სიმაღლის ფართობის ნამრავლს - V=შ. ფუძე არის კვადრატი, ფუძის ფართობი უდრის მისი ორი მხარის ნამრავლს, ანუ კვადრატის ზომას. კუბის სიმაღლე იგივე მნიშვნელობაა, ამიტომ ამ შემთხვევაში მოცულობა იქნება მესამე ხარისხზე აწეული კუბის კიდის მნიშვნელობა - V=a³.

შენიშვნა

პარალელეპიპედის ფუძეები ყოველთვის ერთმანეთის პარალელურია, ეს გამომდინარეობს პრიზმის განმარტებიდან.

სასარგებლო რჩევა

პარალელეპიპედის ზომები არის მისი კიდეების სიგრძე.

მოცულობა ყოველთვის უდრის ფუძის ფართობისა და პარალელეპიპედის სიმაღლის ნამრავლს.

დახრილი პარალელეპიპედის მოცულობა შეიძლება გამოითვალოს გვერდითი კიდის ზომისა და მასზე პერპენდიკულარული მონაკვეთის ფართობის ნამრავლით.

პარალელეპიპედი არის პრიზმის განსაკუთრებული შემთხვევა. მისი გამორჩეული თვისება მდგომარეობს ყველა სახის ოთხკუთხედის ფორმაში, ასევე ერთმანეთის პირისპირ სიბრტყის თითოეული წყვილის პარალელურობაში. არსებობს ზოგადი ფორმულა ამ ფიგურის შიგნით არსებული მოცულობის გამოსათვლელად, ისევე როგორც რამდენიმე გამარტივებული ვერსია ასეთი ექვსკუთხედის განსაკუთრებული შემთხვევებისთვის.

ინსტრუქციები

დაიწყეთ პარალელეპიპედის ფუძის ფართობის (S) გამოთვლით. მოცულობითი ფიგურის ამ სიბრტყის შემქმნელი ოთხკუთხედის მოპირდაპირე მხარეები, განსაზღვრებით, უნდა იყოს პარალელური, ხოლო მათ შორის კუთხე შეიძლება იყოს ნებისმიერი. ამიტომ, დაადგინეთ სახის ფართობი მისი ორი მიმდებარე კიდეების (a და b) სიგრძის გამრავლებით მათ შორის კუთხით (?): S=a*b*sin(?).

მიღებული მნიშვნელობა გავამრავლოთ პარალელეპიპედის კიდის სიგრძეზე (c) და ქმნის საერთო სამგანზომილებიან კუთხეს a და b გვერდებთან. ვინაიდან გვერდითი სახე, რომელსაც ეს კიდე ეკუთვნის, განსაზღვრებით, არ უნდა იყოს პარალელეპიპედის პერპენდიკულარული, მაშინ გამოთვლილი მნიშვნელობა გავამრავლოთ გვერდითი სახის დახრილობის კუთხის (?) სინუსზე: V=S*c*. ცოდვა(?). ზოგადად, თვითნებური პარალელეპიპედის გამოთვლის ფორმულა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: V=a*b*c*sin(?)*sin(?). მაგალითად, პარალელეპიპედის ძირში იყოს სახე, რომლის კიდეები აქვს 15 და 25 სიგრძისა და მათ შორის კუთხე 30°, ხოლო გვერდითი მხარეები დახრილია 40°-ით და აქვს კიდე 20 სმ სიგრძით. მაშინ ეს მაჩვენებელი ტოლი იქნება 15*25*20*sin(30°)*sin(40°)? 7500*0.5*0.643 ? 2411.25 სმ?.

თუ საჭიროა მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობის გამოთვლა, მაშინ ფორმულა შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს. იმის გამო, რომ 90°-ის სინუსი ერთის ტოლია, ფორმულიდან შეიძლება ამოღებულ იქნას კუთხეების შესწორებები, რაც ნიშნავს, რომ საკმარისი იქნება პარალელეპიპედის სამი მიმდებარე კიდეების სიგრძის გამრავლება: V=a*b*. გ. მაგალითად, წინა საფეხურზე გამოყენებული მაგალითში ნაპირების სიგრძის მქონე ფიგურისთვის, მოცულობა იქნება 15 * 25 * 20 = 7500 სმ?.

კიდევ უფრო მარტივი ფორმულა არის კუბის მოცულობის გამოთვლა - მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ყველა კიდე ერთი და იგივე სიგრძეა. კუბიკით ამ კიდის სიგრძე (a) სასურველი მნიშვნელობის მისაღებად: V=a?. მაგალითად, მართკუთხა პარალელეპიპედს, რომლის ყველა კიდეების სიგრძე უდრის 15 სმ, ექნება მოცულობა 153 = 3375 სმ?.

ვიდეო თემაზე

მართკუთხა პარალელეპიპედი არის პრიზმა, რომლის ყველა სახე იქმნება მართკუთხედებით. მისი საპირისპირო სახეები ტოლია და პარალელური, ხოლო ორი სახის გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი კუთხეები მართია. მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობის პოვნა ძალიან მარტივია.

დაგჭირდებათ

• მართკუთხა პარალელეპიპედის სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე.

ინსტრუქციები

უპირველეს ყოვლისა, უნდა აღინიშნოს, რომ სახეები, რომლებიც ქმნიან ამ ტიპს, არის მართკუთხედები. მისი ფართობი გვხვდება მისი წყვილი გვერდის ერთმანეთზე გამრავლებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით იყოს a მართკუთხედის სიგრძე და b მისი სიგანე. მაშინ მისი ფართობი გამოითვლება როგორც a*b.

ამის საფუძველზე ცხადი ხდება, რომ ყველა საპირისპირო სახე ერთმანეთის ტოლია. ეს ასევე ეხება ფუძეს - სახეს, რომელზეც ფიგურა "ეყრდნობა".

მართკუთხა პარალელეპიპედის სიმაღლე არის გვერდითი პარალელეპიპედის სიგრძე. სიმაღლე რჩება მუდმივ მნიშვნელობად, ეს ნათელია მართკუთხა პარალელეპიპედის განმარტებიდან. ახლა, ფორმულის გამოსაყენებლად, ეს შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:
V = a*b*c = S*c, სადაც c არის სიმაღლე.

მიუხედავად გაანგარიშების სიმარტივისა, ჩვენ უნდა განვიხილოთ მაგალითი:
დავუშვათ, მოგეცემათ მართკუთხა პარალელეპიპედი, ფუძის სიგრძე და სიგანე 9 და 7 სმ, სიმაღლე კი 17 სმ, თქვენ უნდა იპოვოთ ფიგურის მოცულობა. პირველი ნაბიჯი არის ამ პარალელეპიპედის ბაზის ფართობის გარკვევა: 9*7 = 63 კვ.სმ.
შემდეგი, გამოთვლილი მნიშვნელობა მრავლდება სიმაღლეზე: 63*17 = 1071 cc
პასუხი: მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობაა 1071 კუბ

ვიდეო თემაზე

შენიშვნა

მართკუთხა პარალელეპიპედის სიგრძეს, სიგანეს და სიმაღლეს პარამეტრებს უწოდებენ. თუ მართკუთხა პარალელეპიპედში ყველა პარამეტრი ტოლია, მაშინ ფიგურა იქნება კუბი. განმარტებიდან გამომდინარე, კუბში თითოეული სახე არის კვადრატი. მაშასადამე, ასეთი პარალელეპიპედის მოცულობა განისაზღვრება სახის მნიშვნელობის მესამე ხარისხზე ამაღლებით:
S = a³

განმარტება 1. პრიზმული ზედაპირი
თეორემა 1. პრიზმული ზედაპირის პარალელურ მონაკვეთებზე
განმარტება 2. პრიზმული ზედაპირის პერპენდიკულარული მონაკვეთი
განმარტება 3. პრიზმა
განმარტება 4. პრიზმის სიმაღლე
განმარტება 5. მარჯვენა პრიზმა
თეორემა 2. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი

პარალელეპიპედი:
განმარტება 6. პარალელეპიპედი
თეორემა 3. პარალელეპიპედის დიაგონალების გადაკვეთაზე
განმარტება 7. მარჯვენა პარალელეპიპედი
განმარტება 8. მართკუთხა პარალელეპიპედი
განმარტება 9. პარალელეპიპედის გაზომვები
განმარტება 10. კუბი
განმარტება 11. რომბოედონი
თეორემა 4. მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალებზე
თეორემა 5. პრიზმის მოცულობა
თეორემა 6. სწორი პრიზმის მოცულობა
თეორემა 7. მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობა

პრიზმაარის პოლიედონი, რომლის ორი სახე (ფუძე) დევს პარალელურ სიბრტყეში, ხოლო კიდეები, რომლებიც არ დევს ამ სახეებზე, ერთმანეთის პარალელურია.
ბაზების გარდა სხვა სახეებს ეძახიან გვერდითი.
გვერდითი სახეებისა და ბაზების გვერდები ე.წ პრიზმის ნეკნები, კიდეების ბოლოები ე.წ პრიზმის წვეროები. გვერდითი ნეკნებიკიდეები, რომლებიც არ ეკუთვნის ფუძეებს, ეწოდება. გვერდითი სახეების გაერთიანებას ე.წ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი, და ყველა სახის გაერთიანება ჰქვია პრიზმის სრული ზედაპირი. პრიზმის სიმაღლეზედა ფუძის წერტილიდან ქვედა ფუძის სიბრტყემდე ჩამოვარდნილ პერპენდიკულას უწოდებენ ან ამ პერპენდიკულურის სიგრძეს. პირდაპირი პრიზმაეწოდება პრიზმა, რომლის გვერდითი ნეკნები პერპენდიკულარულია ფუძეების სიბრტყეზე. სწორიუწოდეს სწორი პრიზმა (ნახ. 3), რომლის ძირში დევს რეგულარული მრავალკუთხედი.

აღნიშვნები:
ლ - გვერდითი ნეკნი;
P - ბაზის პერიმეტრი;
S o - ბაზის ფართობი;
H - სიმაღლე;
P^ - პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრი;
S b - გვერდითი ზედაპირის ფართობი;
V - მოცულობა;
S p არის პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

განმარტება 1 . პრიზმული ზედაპირი არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი სწორი ხაზის პარალელურად რამდენიმე სიბრტყის ნაწილებით, შემოიფარგლება იმ სწორი ხაზებით, რომლებზეც ეს სიბრტყეები თანმიმდევრულად კვეთენ ერთმანეთს*; ეს ხაზები ერთმანეთის პარალელურია და ე.წ პრიზმული ზედაპირის კიდეები.
*ვარაუდობენ, რომ ყოველი ორი თანმიმდევრული სიბრტყე იკვეთება და რომ ბოლო სიბრტყე კვეთს პირველს

თეორემა 1 . პრიზმული ზედაპირის მონაკვეთები ერთმანეთის პარალელურად (მაგრამ არა მისი კიდეების პარალელურად) სიბრტყეებით არის თანაბარი მრავალკუთხედები.
მოდით ABCDE და A"B"C"D"E" იყოს პრიზმული ზედაპირის მონაკვეთები ორი პარალელური სიბრტყით. იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ ეს ორი მრავალკუთხედი ტოლია, საკმარისია აჩვენოთ, რომ სამკუთხედები ABC და A"B"C არიან. ტოლია და აქვს ბრუნვის მიმართულება და იგივე ეხება სამკუთხედებს ABD და A"B"D", ABE და A"B"E. მაგრამ ამ სამკუთხედების შესაბამისი გვერდები პარალელურია (მაგალითად, AC არის AC-ის პარალელურად), როგორც გარკვეული სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი ორ პარალელურ სიბრტყესთან; აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს გვერდები ტოლია (მაგალითად, AC ტოლია A"C"), ისევე როგორც პარალელოგრამის საპირისპირო მხარეები და რომ ამ გვერდების მიერ წარმოქმნილი კუთხეები ტოლია და აქვთ ერთი და იგივე მიმართულება.

განმარტება 2 . პრიზმული ზედაპირის პერპენდიკულარული მონაკვეთი არის ამ ზედაპირის მონაკვეთი მისი კიდეების პერპენდიკულარული სიბრტყით. წინა თეორემიდან გამომდინარე, ერთი და იგივე პრიზმული ზედაპირის ყველა პერპენდიკულარული მონაკვეთი იქნება თანაბარი მრავალკუთხედები.

განმარტება 3 . პრიზმა არის პოლიედონი, რომელიც შემოსაზღვრულია პრიზმული ზედაპირით და ერთმანეთის პარალელურად ორი სიბრტყით (მაგრამ არა პრიზმული ზედაპირის კიდეების პარალელურად)
ამ უკანასკნელ თვითმფრინავებში დაწოლილ სახეებს ეძახიან პრიზმის ბაზები; სახეები, რომლებიც მიეკუთვნება პრიზმულ ზედაპირს - გვერდითი სახეები; პრიზმული ზედაპირის კიდეები - პრიზმის გვერდითი ნეკნები. წინა თეორემის ძალით პრიზმის საფუძველია თანაბარი მრავალკუთხედები. პრიზმის ყველა გვერდითი სახე - პარალელოგრამები; ყველა გვერდითი ნეკნი ერთმანეთის ტოლია.
ცხადია, თუ მოცემულია ABCDE პრიზმის ფუძე და ერთ-ერთი კიდე AA" ზომით და მიმართულებით, მაშინ შესაძლებელია პრიზმის აგება BB", CC" კიდეების დახატვით, ... ტოლი და AA კიდეების პარალელურად" .

განმარტება 4 . პრიზმის სიმაღლე არის მანძილი მისი ფუძეების სიბრტყეებს შორის (HH").

განმარტება 5 . პრიზმას ეწოდება სწორი, თუ მისი ფუძეები პრიზმული ზედაპირის პერპენდიკულარული მონაკვეთებია. ამ შემთხვევაში, პრიზმის სიმაღლე, რა თქმა უნდა, მისია გვერდითი ნეკნი; გვერდითი კიდეები იქნება მართკუთხედები.
პრიზმები შეიძლება კლასიფიცირდეს გვერდითი სახეების რაოდენობის მიხედვით, რომელიც უდრის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას, რომელიც ემსახურება მის ფუძეს. ამრიგად, პრიზები შეიძლება იყოს სამკუთხა, ოთხკუთხა, ხუთკუთხა და ა.შ.

თეორემა 2 . პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ტოლია გვერდითი კიდის ნამრავლისა და პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრის.
ABCDEA"B"C"D"E" იყოს მოცემული პრიზმა და abcde მისი პერპენდიკულარული მონაკვეთი ისე, რომ ab, bc, .. მონაკვეთები პერპენდიკულარული იყოს მის გვერდით კიდეებზე. სახე ABA"B" არის პარალელოგრამი; მისი ფართობი. უდრის AA ფუძის ნამრავლს იმ სიმაღლეზე, რომელიც ემთხვევა ab; სახის ფართობი ВСВ „С“ უდრის ВВ ფუძის ნამრავლს bc სიმაღლით და ა.შ. შესაბამისად, გვერდითი ზედაპირი (ე.ი. გვერდითი მხარეების ფართობების ჯამი) ტოლია ნამრავლის. გვერდითი კიდის, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სეგმენტების საერთო სიგრძე AA", ВВ", .., ab+bc+cd+de+ea ოდენობით.

სტერეომეტრიის კურსის სასკოლო სასწავლო გეგმაში სამგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლა ჩვეულებრივ იწყება მარტივი გეომეტრიული სხეულით - პრიზმის პოლიედრონით. მისი ფუძეების როლს ასრულებს 2 თანაბარი მრავალკუთხედი, რომლებიც მდებარეობს პარალელურ სიბრტყეში. განსაკუთრებული შემთხვევაა რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა. მისი ფუძეები არის 2 იდენტური რეგულარული ოთხკუთხედი, რომელთა გვერდები პერპენდიკულარულია, პარალელოგრამების (ან მართკუთხედების, თუ პრიზმა არ არის დახრილი) ფორმის მქონე.

რას ჰგავს პრიზმა?

რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა არის ექვსკუთხედი, რომლის ფუძეები არის 2 კვადრატი, ხოლო გვერდითი სახეები წარმოდგენილია მართკუთხედებით. ამ გეომეტრიული ფიგურის კიდევ ერთი სახელია სწორი პარალელეპიპედი.

ნახატი, რომელიც გვიჩვენებს ოთხკუთხა პრიზმას, ნაჩვენებია ქვემოთ.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ სურათზე ყველაზე მნიშვნელოვანი ელემენტები, რომლებიც ქმნიან გეომეტრიულ სხეულს. Ესენი მოიცავს:

ზოგჯერ გეომეტრიის ამოცანებში შეიძლება წააწყდეთ მონაკვეთის ცნებას. განმარტება ასე ჟღერს: მონაკვეთი არის მოცულობითი სხეულის ყველა წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ჭრის სიბრტყეს. მონაკვეთი შეიძლება იყოს პერპენდიკულარული (იკვეთება ფიგურის კიდეებს 90 გრადუსიანი კუთხით). მართკუთხა პრიზმისთვის ასევე განიხილება დიაგონალური მონაკვეთი (სექციების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც შეიძლება აშენდეს არის 2), რომელიც გადის 2 კიდეზე და ფუძის დიაგონალებზე.

თუ მონაკვეთი ისეა დახატული, რომ ჭრის სიბრტყე არ იყოს პარალელურად არც ფუძეებთან და არც გვერდით გვერდებთან, შედეგი არის შეკვეცილი პრიზმა.

შემცირებული პრიზმული ელემენტების საპოვნელად გამოიყენება სხვადასხვა მიმართებები და ფორმულები. ზოგიერთი მათგანი ცნობილია პლანიმეტრიის კურსიდან (მაგალითად, პრიზმის ფუძის ფართობის მოსაძებნად, საკმარისია გავიხსენოთ კვადრატის ფართობის ფორმულა).

ზედაპირის ფართობი და მოცულობა

ფორმულის გამოყენებით პრიზმის მოცულობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძის ფართობი და სიმაღლე:

V = სბას ჰ

ვინაიდან რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმის ფუძე არის კვადრატი გვერდით ა,თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ფორმულა უფრო დეტალური ფორმით:

V = a²·h

თუ ვსაუბრობთ კუბზე - ჩვეულებრივ პრიზმაზე თანაბარი სიგრძით, სიგანე და სიმაღლე, მოცულობა გამოითვლება შემდეგნაირად:

იმის გასაგებად, თუ როგორ უნდა იპოვოთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი, თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ მისი განვითარება.

ნახატიდან ჩანს, რომ გვერდითი ზედაპირი შედგება 4 თანაბარი ოთხკუთხედისგან. მისი ფართობი გამოითვლება ფუძის პერიმეტრისა და ფიგურის სიმაღლის ნამრავლით:

Sside = Posn h

იმის გათვალისწინებით, რომ კვადრატის პერიმეტრი ტოლია P = 4a,ფორმულა იღებს ფორმას:

გვერდი = 4ა სთ

კუბისთვის:

გვერდი = 4a²

პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა დაამატოთ 2 ბაზის ფართობი გვერდითი ფართობისთვის:

Sfull = გვერდითი + 2 Smain

ოთხკუთხა რეგულარულ პრიზმასთან დაკავშირებით, ფორმულა ასე გამოიყურება:

ტოტალი = 4a h + 2a²

კუბის ზედაპირის ფართობისთვის:

სავსე = 6a²

მოცულობის ან ზედაპირის ფართობის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ გეომეტრიული სხეულის ცალკეული ელემენტები.

პრიზმის ელემენტების მოძიება

ხშირად არის პრობლემები, რომლებშიც მოცემულია მოცულობა ან ცნობილია გვერდითი ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობა, სადაც აუცილებელია ფუძის მხარის სიგრძის ან სიმაღლის დადგენა. ასეთ შემთხვევებში, ფორმულები შეიძლება გამოვიდეს:

• ბაზის მხარის სიგრძე: a = გვერდითი / 4სთ = √(V / სთ);
• სიმაღლე ან გვერდითი ნეკნის სიგრძე: h = გვერდი / 4a = V / a²;
• ბაზის ფართობი: Sbas = V / სთ;
• გვერდითი სახის ფართობი: მხარე გრ = გვერდი / 4.

იმის დასადგენად, თუ რამდენი ფართობი აქვს დიაგონალურ მონაკვეთს, უნდა იცოდეთ დიაგონალის სიგრძე და ფიგურის სიმაღლე. კვადრატისთვის d = a√2.ამიტომ:

Sdiag = ah√2

პრიზმის დიაგონალის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ფორმულა:

dპრიზი = √(2a² + h²)

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყენოთ მოცემული ურთიერთობები, შეგიძლიათ ივარჯიშოთ და ამოხსნათ რამდენიმე მარტივი ამოცანა.

პრობლემების მაგალითები გადაწყვეტილებებით

აქ მოცემულია რამდენიმე დავალება მათემატიკაში სახელმწიფო ფინალურ გამოცდებზე.

სავარჯიშო 1.

ქვიშა შეედინება ჩვეულებრივი ოთხკუთხა პრიზმის ფორმის ყუთში. მისი დონის სიმაღლეა 10 სმ. როგორი იქნება ქვიშის დონე, თუ მას იმავე ფორმის, მაგრამ ორჯერ გრძელი ფუძის მქონე ჭურჭელში გადაიტანეთ?

ეს უნდა იყოს დასაბუთებული შემდეგნაირად. პირველ და მეორე კონტეინერებში ქვიშის რაოდენობა არ შეცვლილა, ანუ მათი მოცულობა ერთნაირია. შეგიძლიათ ფუძის სიგრძე აღვნიშნოთ ა. ამ შემთხვევაში, პირველი ყუთისთვის ნივთიერების მოცულობა იქნება:

V1 = ჰა² = 10 ა²

მეორე ყუთისთვის ბაზის სიგრძეა 2ა, მაგრამ ქვიშის დონის სიმაღლე უცნობია:

V₂ = h (2a)² = 4ჰა²

Იმიტომ რომ V1 = V2, შეგვიძლია გავაიგივოთ გამოთქმები:

10a² = 4ჰა²

განტოლების ორივე მხარის a²-ით შემცირების შემდეგ მივიღებთ:

შედეგად, ქვიშის ახალი დონე იქნება სთ = 10 / 4 = 2.5სმ.

დავალება 2.

ABCDA1B1C1D1 არის სწორი პრიზმა. ცნობილია, რომ BD = AB₁ = 6√2. იპოვნეთ სხეულის მთლიანი ზედაპირი.

იმისათვის, რომ გაადვილოთ იმის გაგება, თუ რომელი ელემენტებია ცნობილი, შეგიძლიათ დახაზოთ ფიგურა.

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ რეგულარულ პრიზმაზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ძირში არის კვადრატი დიაგონალით 6√2. გვერდითი სახის დიაგონალს აქვს იგივე ზომა, შესაბამისად, გვერდით სახეს ასევე აქვს კვადრატის ფორმა ფუძის ტოლი. გამოდის, რომ სამივე განზომილება - სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე - თანაბარია. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ABCDA1B1C1D1 არის კუბი.

ნებისმიერი კიდის სიგრძე განისაზღვრება ცნობილი დიაგონალის საშუალებით:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

მთლიანი ზედაპირის ფართობი გვხვდება კუბის ფორმულის გამოყენებით:

სავსე = 6a² = 6 6² = 216

დავალება 3.

ოთახის რემონტი მიმდინარეობს. ცნობილია, რომ მის იატაკს აქვს კვადრატის ფორმა, რომლის ფართობია 9 მ². ოთახის სიმაღლეა 2,5 მ. რა ღირს ოთახის შპალერის დახატვა, თუ 1 მ² ღირს 50 მანეთი?

ვინაიდან იატაკი და ჭერი არის კვადრატები, ანუ რეგულარული ოთხკუთხედები და მისი კედლები პერპენდიკულარულია ჰორიზონტალურ ზედაპირებზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ეს არის რეგულარული პრიზმა. აუცილებელია განისაზღვროს მისი გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ოთახის სიგრძე არის a = √9 = 3მ.

ტერიტორია გადაიფარება შპალერით გვერდი = 4 3 2.5 = 30 მ².

ამ ოთახისთვის ფონის ყველაზე დაბალი ღირებულება იქნება 50·30 = 1500რუბლი

ამრიგად, მართკუთხა პრიზმასთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად საკმარისია კვადრატისა და მართკუთხედის ფართობისა და პერიმეტრის გამოთვლა, აგრეთვე მოცულობისა და ზედაპირის ფართობის პოვნის ფორმულების ცოდნა.

როგორ მოვძებნოთ კუბის ფართობი

ზოგადი ინფორმაცია სწორი პრიზმის შესახებ

პრიზმის გვერდითი ზედაპირი (უფრო ზუსტად, გვერდითი ზედაპირის ფართობი) ე.წ ჯამიგვერდითი სახეების უბნები. პრიზმის მთლიანი ზედაპირი ტოლია გვერდითი ზედაპირისა და ფუძეების ფართობების ჯამის.

თეორემა 19.1. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლს, ანუ გვერდითი კიდის სიგრძეს.

მტკიცებულება. სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები მართკუთხედებია. ამ მართკუთხედების ფუძეები არის პრიზმის ძირში მდებარე მრავალკუთხედის გვერდები, ხოლო სიმაღლეები ტოლია გვერდითი კიდეების სიგრძისა. აქედან გამომდინარეობს, რომ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

სადაც a 1 და n არის ფუძის კიდეების სიგრძე, p არის პრიზმის ფუძის პერიმეტრი, ხოლო I არის გვერდითი კიდეების სიგრძე. თეორემა დადასტურდა.

პრაქტიკული დავალება

პრობლემა (22) . დახრილ პრიზმაში იგი ხორციელდება განყოფილებაგვერდითი ნეკნების პერპენდიკულარული და ყველა გვერდითი ნეკნების გადაკვეთა. იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი, თუ განივი პერიმეტრი უდრის p-ს, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია l-ის.

გამოსავალი. დახატული მონაკვეთის სიბრტყე ყოფს პრიზმას ორ ნაწილად (სურ. 411). მოდით, ერთ-ერთ მათგანს დავუმორჩილოთ პარალელურად თარგმნას, პრიზმის საფუძვლების გაერთიანებით. ამ შემთხვევაში ვიღებთ სწორ პრიზმას, რომლის ფუძეა თავდაპირველი პრიზმის განივი კვეთა, ხოლო გვერდითი კიდეები ლ-ის ტოლია. ამ პრიზმას აქვს იგივე გვერდითი ზედაპირი, როგორც თავდაპირველი. ამრიგად, თავდაპირველი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია pl.

განხილული თემის შეჯამება

ახლა შევეცადოთ შევაჯამოთ პრიზმების შესახებ განხილული თემა და გავიხსენოთ რა თვისებები აქვს პრიზმას.

პრიზმის თვისებები

ჯერ ერთი, პრიზმას აქვს ყველა მისი ფუძე, როგორც თანაბარი მრავალკუთხედი;
მეორეც, პრიზმაში მისი ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამებია;
მესამე, ისეთ მრავალმხრივ ფიგურაში, როგორიცაა პრიზმა, ყველა გვერდითი კიდე თანაბარია;

ასევე, უნდა გვახსოვდეს, რომ პოლიედრები, როგორიცაა პრიზები, შეიძლება იყოს სწორი ან დახრილი.

რომელ პრიზმას ეწოდება სწორი პრიზმა?

თუ პრიზმის გვერდითი კიდე მდებარეობს მისი ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, მაშინ ასეთ პრიზმას სწორი ეწოდება.

არ იქნება ზედმეტი გავიხსენოთ, რომ სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები მართკუთხედებია.

რა ტიპის პრიზმას ეწოდება ირიბი?

მაგრამ თუ პრიზმის გვერდითი კიდე არ არის განლაგებული მისი ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, მაშინ თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის დახრილი პრიზმა.

რომელ პრიზმას ეწოდება სწორი?

თუ რეგულარული მრავალკუთხედი დევს სწორი პრიზმის ძირში, მაშინ ასეთი პრიზმა რეგულარულია.

ახლა გავიხსენოთ ის თვისებები, რაც აქვს ჩვეულებრივ პრიზმას.

რეგულარული პრიზმის თვისებები

ჯერ ერთი, რეგულარული მრავალკუთხედები ყოველთვის ემსახურება როგორც რეგულარული პრიზმის საფუძველს;
მეორეც, თუ გავითვალისწინებთ რეგულარული პრიზმის გვერდით სახეებს, ისინი ყოველთვის თანაბარი მართკუთხედებია;
მესამე, თუ შევადარებთ გვერდითი ნეკნების ზომებს, მაშინ ჩვეულებრივ პრიზმაში ისინი ყოველთვის თანაბარია.
მეოთხე, სწორი პრიზმა ყოველთვის სწორია;
მეხუთე, თუ რეგულარულ პრიზმაში გვერდითი სახეები აქვს კვადრატის ფორმას, მაშინ ასეთ ფიგურას ჩვეულებრივ უწოდებენ ნახევრადრეგულარულ მრავალკუთხედს.

პრიზმის კვეთა

ახლა მოდით შევხედოთ პრიზმის განივი მონაკვეთს:

Საშინაო დავალება

ახლა შევეცადოთ გავაერთიანოთ ის თემა, რომელიც ვისწავლეთ პრობლემების გადაჭრით.

დავხატოთ დახრილი სამკუთხა პრიზმა, მის კიდეებს შორის მანძილი ტოლი იქნება: 3 სმ, 4 სმ და 5 სმ, ხოლო ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი 60 სმ2-ის ტოლი იქნება. ამ პარამეტრების გათვალისწინებით, იპოვეთ ამ პრიზმის გვერდითი კიდე.

იცით თუ არა, რომ გეომეტრიული ფიგურები მუდმივად გვახვევენ გარშემო, არა მხოლოდ გეომეტრიის გაკვეთილებზე, არამედ ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც არის საგნები, რომლებიც ამა თუ იმ გეომეტრიულ ფიგურას წააგავს.

ყველა სახლს, სკოლას ან სამსახურს აქვს კომპიუტერი, რომლის სისტემის ერთეული სწორი პრიზმის ფორმისაა.

თუ უბრალო ფანქარს აიღებთ, ნახავთ, რომ ფანქრის ძირითადი ნაწილი პრიზმაა.

ქალაქის ცენტრალურ ქუჩაზე სეირნობისას ვხედავთ, რომ ჩვენს ფეხქვეშ დევს ფილა, რომელსაც აქვს ექვსკუთხა პრიზმის ფორმა.

A.V. Pogorelov, გეომეტრია 7-11 კლასებისთვის, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. გამარჯობა! ამ პუბლიკაციაში ჩვენ გავაანალიზებთ სტერეომეტრიის პრობლემათა ჯგუფს. განვიხილოთ სხეულების კომბინაცია - პრიზმა და ცილინდრი. ამ დროისთვის, ეს სტატია ავსებს სტატიების მთელ სერიას, რომლებიც დაკავშირებულია სტერეომეტრიაში დავალებების ტიპების განხილვასთან.

თუ ამოცანების ბანკში ახლები გამოჩნდება, მაშინ, რა თქმა უნდა, მომავალში ბლოგზე დამატებები იქნება. მაგრამ ის, რაც უკვე არსებობს, სავსებით საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, როგორ მოაგვაროთ ყველა პრობლემა მოკლე პასუხით, როგორც გამოცდის ნაწილი. საკმარისი მასალა იქნება წლების განმავლობაში (მათემატიკის პროგრამა სტატიკურია).

წარმოდგენილი ამოცანები მოიცავს პრიზმის ფართობის გამოთვლას. მე აღვნიშნავ, რომ ქვემოთ განვიხილავთ სწორ პრიზმას (და, შესაბამისად, სწორ ცილინდრის).

რაიმე ფორმულის ცოდნის გარეშე, ჩვენ გვესმის, რომ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი მისი ყველა გვერდითი სახეა. სწორ პრიზმას აქვს მართკუთხა გვერდითი სახეები.

ასეთი პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის მისი ყველა გვერდითი სახის (ანუ მართკუთხედების) ფართობების ჯამს. თუ ვსაუბრობთ ჩვეულებრივ პრიზმაზე, რომელშიც ცილინდრია ჩაწერილი, მაშინ ცხადია, რომ ამ პრიზმის ყველა სახე თანაბარი მართკუთხედია.

ფორმალურად, რეგულარული პრიზმის გვერდითი ზედაპირი შეიძლება აისახოს შემდეგნაირად:

27064. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შემოხაზულია ცილინდრის გარშემო, რომლის ფუძის რადიუსი და სიმაღლე უდრის 1-ს. იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი შედგება თანაბარი ფართობის ოთხი ოთხკუთხედისგან. სახის სიმაღლეა 1, პრიზმის ფუძის კიდე 2 (ეს არის ცილინდრის ორი რადიუსი), ამიტომ გვერდითი სახის ფართობი უდრის:

გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

73023. იპოვეთ ცილინდრის გარშემო შემოხაზული რეგულარული სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის რადიუსი არის √0,12 და სიმაღლე 3.

მოცემული პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის სამი გვერდითი სახის (მართკუთხედების) ფართობების ჯამს. გვერდითი სახის ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სიმაღლე და ბაზის კიდეების სიგრძე. სიმაღლე სამია. მოდით ვიპოვოთ ფუძის კიდის სიგრძე. განიხილეთ პროექცია (ზედა ხედი):

გვაქვს რეგულარული სამკუთხედი, რომელშიც ჩაწერილია წრე √0,12 რადიუსით. მარჯვენა სამკუთხედიდან AOC შეგვიძლია ვიპოვოთ AC. და შემდეგ AD (AD=2AC). ტანგენტის განმარტებით:

ეს ნიშნავს AD = 2AC = 1.2. ამრიგად, გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის:

27066. იპოვეთ ცილინდრის გარშემო შემოხაზული რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის რადიუსი არის √75 და სიმაღლე 1.

საჭირო ფართობი უდრის ყველა გვერდითი სახის ფართობების ჯამს. რეგულარულ ექვსკუთხა პრიზმას აქვს გვერდითი სახეები, რომლებიც თანაბარი ოთხკუთხედია.

სახის ფართობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი სიმაღლე და ბაზის კიდეების სიგრძე. სიმაღლე ცნობილია, ის უდრის 1-ს.

მოდით ვიპოვოთ ფუძის კიდის სიგრძე. განიხილეთ პროექცია (ზედა ხედი):

ჩვენ გვაქვს რეგულარული ექვსკუთხედი, რომელშიც ჩაწერილია √75 რადიუსის წრე.

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABO. ჩვენ ვიცით ფეხი OB (ეს არის ცილინდრის რადიუსი). ასევე შეგვიძლია განვსაზღვროთ AOB კუთხე, ის უდრის 300-ს (სამკუთხედი AOC ტოლგვერდაა, OB ბისექტრია).

მოდით გამოვიყენოთ ტანგენტის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედში:

AC = 2AB, რადგან OB არის მედიანა, ანუ ის ყოფს AC-ს შუაზე, რაც ნიშნავს AC = 10-ს.

ამრიგად, გვერდითი სახის ფართობი არის 1∙10=10 და გვერდითი ზედაპირის ფართობია:

76485. იპოვეთ ცილინდრში ჩაწერილი რეგულარული სამკუთხა პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, რომლის ფუძის რადიუსი არის 8√3 და სიმაღლე 6.

სამი თანაბარი ზომის სამი სახის (მართკუთხედები) მითითებული პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ფართობის საპოვნელად საჭიროა იცოდეთ პრიზმის ფუძის კიდის სიგრძე (სიმაღლე ვიცით). თუ გავითვალისწინებთ პროექციას (ზედა ხედი), გვაქვს წრეში ჩაწერილი რეგულარული სამკუთხედი. ამ სამკუთხედის გვერდი გამოიხატება რადიუსის მიხედვით:

ამ ურთიერთობის დეტალები. ასე რომ თანაბარი იქნება

მაშინ გვერდითი სახის ფართობია: 24∙6=144. და საჭირო ფართობი:

245354. რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა შემოიფარგლება ცილინდრით, რომლის ფუძის რადიუსი არის 2. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 48. იპოვეთ ცილინდრის სიმაღლე.