შებრუნებული ფუნქცია 10 უჯრედი Mordkovich. შებრუნებული ფუნქციის პრეზენტაცია ალგებრის გაკვეთილისთვის (მე-10 კლასი) თემაზე. გაკვეთილზე დავინტერესდი ………………………

გაკვეთილის შენიშვნები თემაზე "ფუნქციის შებრუნება"

გაკვეთილი 1. ლექცია თემაზე "შებრუნებული ფუნქცია"

სამიზნე: ჩამოაყალიბეთ თეორიული აპარატი თემაზე. შედი

შექცევადი ფუნქციის კონცეფცია;

ინვერსიული ფუნქციის კონცეფცია;

ჩამოაყალიბეთ და დაამტკიცეთ შექცევადობის საკმარისი პირობა

ფუნქციები;

ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების ძირითადი თვისებები.

ლექციის გაკვეთილის გეგმა

ორგანიზების დრო.

მოსწავლეთა ცოდნის განახლება, რომელიც აუცილებელია ახალი თემის აღქმისთვის.

ახალი მასალის პრეზენტაცია.

გაკვეთილის შეჯამება.

გაკვეთილის მიმდინარეობა-ლექცია

1. ორგანიზების დრო.

2. ცოდნის განახლება. ( ფრონტალური გამოკითხვა წინა გაკვეთილის თემაზე.)

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სტუდენტებისთვის ინტერაქტიულ დაფაზე (ნახ. 1). მასწავლებელი აყალიბებს დავალებას - განიხილეთ ფუნქციის გრაფიკი და ჩამოთვალეთ ფუნქციის შესწავლილი თვისებები. მოსწავლეები ჩამოთვლიან ფუნქციის თვისებებს კვლევის დიზაინის შესაბამისად. მასწავლებელი, ფუნქციის გრაფიკის მარჯვნივ, ინტერაქტიულ დაფაზე მარკერით წერს დასახელებულ თვისებებს.

ბრინჯი. 1

ფუნქციის თვისებები:

3. სტუდენტებისთვის მიზნების დასახვა.

სწავლის ბოლოს მასწავლებელი იტყობინება, რომ დღეს გაკვეთილზე გაეცნობიან ფუნქციის კიდევ ერთ თვისებას - შექცევადობას. ახალი მასალის არსებითად შესასწავლად მასწავლებელი იწვევს ბავშვებს გაეცნონ ძირითად კითხვებს, რომლებსაც მოსწავლეებმა გაკვეთილის ბოლოს უნდა უპასუხონ. თითოეულ მოსწავლეს აქვს კითხვები დარიგების სახით (ნაწილდება გაკვეთილის დაწყებამდე).

კითხვები:

1. რომელ ფუნქციას ეწოდება ინვერსიული?

2. რა ფუნქციას ეწოდება შებრუნებული?

3. როგორ არის დაკავშირებული ერთმანეთთან განსაზღვრების დომენები და პირდაპირი და ინვერსიული ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლეები?

4. ჩამოაყალიბეთ ფუნქციის შეუქცევადობის საკმარისი პირობა.

5. მზარდი ფუნქციის ინვერსია მცირდება თუ მზარდი?

6. კენტი ფუნქციის ინვერსია ლუწია თუ კენტი?

7. როგორ განლაგებულია ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები?

4. ახალი მასალის პრეზენტაცია.

1) ინვერსიული ფუნქციის კონცეფცია. შექცევადობის საკმარისი პირობა.

ინტერაქტიულ დაფაზე მასწავლებელი ადარებს ორი ფუნქციის გრაფიკს, რომელთა განსაზღვრების სფეროები და მნიშვნელობების სიმრავლეები ერთნაირია, მაგრამ ერთი ფუნქცია მონოტონურია, მეორე კი არა (ნახ. 2). ამრიგად, ფუნქციას აქვს თვისება, რომელიც არ არის დამახასიათებელი ფუნქციისთვის: რომელი რიცხვიც არ უნდა იყოს ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლიდანვ ( x ) რაც არ უნდა იყოს, ეს არის ფუნქციის მნიშვნელობა მხოლოდ ერთ წერტილში, რითაც მასწავლებელი მოსწავლეებს მიჰყავს შექცევადი ფუნქციის კონცეფციამდე.

ბრინჯი. 2

შემდეგ მასწავლებელი აყალიბებს შექცევადი ფუნქციის განმარტებას და ინტერაქტიულ დაფაზე მონოტონური ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით ატარებს შექცევადი ფუნქციის თეორემის დადასტურებას.

განმარტება 1. ფუნქციას ეძახიანშექცევადი , თუ იგი იღებს მის რომელიმე მნიშვნელობას ნაკრების მხოლოდ ერთ წერტილშიX .

თეორემა. თუ ფუნქცია მონოტონურია ნაკრებზეX , მაშინ ის შექცევადია.

მტკიცებულება:

დაუშვით ფუნქცია y=f(x) იზრდება კომპლექტშიXგაუშვი X 1 ≠х 2 - ნაკრების ორი წერტილიX .

კონკრეტულად რომ ვთქვათ, მოდითX 1 < X 2 . მერე იქიდან რომX 1 < X 2 ფუნქციის გაზრდის გამო გამოდის, რომf(x 1 ) < f(x 2 ) .

ამრიგად, არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, ე.ი. ფუნქცია შექცევადია.

თეორემა ანალოგიურად მტკიცდება კლებადი ფუნქციის შემთხვევაში.

(როდესაც თეორემის მტკიცებულება პროგრესირებს, მასწავლებელი იყენებს მარკერს ნახაზზე ყველა საჭირო ახსნა-განმარტების გასაკეთებლად)

შებრუნებული ფუნქციის განმარტების ჩამოყალიბებამდე მასწავლებელი სთხოვს მოსწავლეებს დაადგინონ შემოთავაზებული ფუნქციებიდან რომელია შექცევადი? ინტერაქტიული დაფა აჩვენებს ფუნქციების გრაფიკებს (ნახ. 3, 4) და წერს რამდენიმე ანალიტიკურად განსაზღვრულ ფუნქციას:

ა ) ბ )

ბრინჯი. 3 ნახ. 4

ვ ) y = 2x + 5; გ ) y = - + 7.

კომენტარი. ფუნქციის ერთფეროვნება არისსაკმარისი ინვერსიული ფუნქციის არსებობის პირობა. Მაგრამ ესარ არის აუცილებელი პირობა.

მასწავლებელი მოჰყავს სხვადასხვა სიტუაციების მაგალითებს, როდესაც ფუნქცია არ არის მონოტონური, მაგრამ შექცევადი, როდესაც ფუნქცია არ არის ერთფეროვანი და შექცევადი, როდესაც ის ერთფეროვანი და შექცევადია.

2) შებრუნებული ფუნქციის ცნება. ინვერსიული ფუნქციის შედგენის ალგორითმი.

განმარტება 2. დაე, ინვერსიულმა ფუნქციონირება მოახდინოსy=f(x) კომპლექტზე განსაზღვრულიX და მისი ღირებულებების დიაპაზონიE(f)=Y . მოდით დავამთხვიოთ თითოეულიწსაწყისი ი ეს არის ერთადერთი მნიშვნელობაX, რომელიც f(x)=y. შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას, რომელიც განსაზღვრულიაი, ა X - ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი. ეს ფუნქცია დანიშნულიაx=f -1 (y),და დარეკე საპირისპირო ფუნქციასთან დაკავშირებითy=f(x), .

შემდეგ მასწავლებელი აცნობს მოსწავლეებს ანალიტიკურად მოცემულ ინვერსიული ფუნქციის პოვნის მეთოდს.

ფუნქციისთვის შებრუნებული ფუნქციის შედგენის ალგორითმი წ = ვ ( x ), .

დარწმუნდით, რომ ფუნქციაy=f(x) შექცევადია ინტერვალზეX .

გამოხატვის ცვლადიXმეშვეობით ზეგანტოლებიდან y=f(x), იმის გათვალისწინებით, რომ.

შედეგად თანასწორობაში, შეცვალეთ ადგილებიXდა ზე. Იმის მაგივრად x=f -1 (y)დაწერე y=f -1 (x).

კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით მასწავლებელი გვიჩვენებს, როგორ გამოიყენოს ეს ალგორითმი.

მაგალითი 1. აჩვენე ეს ფუნქციისთვისy=2x-5

გამოსავალი . ხაზოვანი ფუნქციაy=2x-5განსაზღვრული რ, იზრდება რ და მისი ღირებულებების დიაპაზონი არისრ. ეს ნიშნავს, რომ ინვერსიული ფუნქცია არსებობსრ . მისი ანალიტიკური გამოხატვის საპოვნელად ვხსნით განტოლებასy=2x-5შედარებით X ; ჩვენ მივიღებთ მას. მოდით გადავაყენოთ ცვლადები და მივიღოთ სასურველი ინვერსიული ფუნქცია. იგი განისაზღვრება და იზრდება რ.

მაგალითი 2. აჩვენე ეს ფუნქციისთვისy=x 2 , x ≤ 0 არსებობს შებრუნებული ფუნქცია და იპოვნეთ მისი ანალიტიკური გამოხატულება.

გამოსავალი . ფუნქცია არის უწყვეტი, მონოტონური მისი განმარტების დომენში, შესაბამისად, ის შექცევადია. ფუნქციის განსაზღვრების დომენებისა და მნიშვნელობების სიმრავლების გაანალიზების შემდეგ, კეთდება შესაბამისი დასკვნა შებრუნებული ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატვის შესახებ, რომელსაც აქვს ფორმა.

3) ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების თვისებები.

საკუთრება 1.თუ გ - ფუნქცია შებრუნებული ვ , მაშინ ვ - ფუნქცია შებრუნებული გ (ფუნქციები ურთიერთშებრუნებულია), ხოლოდ ( გ )= ე ( ვ ), ე ( გ )= დ ( ვ ) .

საკუთრება 2. თუ ფუნქცია იზრდება (მცირდება) X სიმრავლეზე, ხოლო Y არის ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი, მაშინ ინვერსიული ფუნქცია იზრდება (მცირდება) Y-ზე.

საკუთრება 3. ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად, თქვენ უნდა გადააქციოთ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულად სწორი ხაზის მიმართ.y=x .

საკუთრება 4. თუ კენტი ფუნქცია შექცევადია, მაშინ მისი ინვერსიაც კენტია.

საკუთრება 5.თუ ფუნქციები ვ ( x ) და ურთიერთსაპირისპირო, მაშინ ეს მართალია ყველასთვის და ასეა ყველასთვის.

მაგალითი 3. დახატეთ შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი, თუ ეს შესაძლებელია.

გამოსავალი. მისი განმარტების მთელი დომენის განმავლობაში, ამ ფუნქციას არ აქვს ინვერსიული, რადგან ის არ არის მონოტონური. მაშასადამე, განვიხილოთ ინტერვალი, რომელზედაც ფუნქცია ერთფეროვანია: ეს ნიშნავს, რომ ინვერსია არსებობს. ჩვენ ვიპოვითმისი . ამისათვის ჩვენ გამოვხატავთx მეშვეობითწ : . მოდით გადავაყენოთ ის, როგორც შებრუნებული ფუნქცია. დავხატოთ ფუნქციები (ნახ. 5) და დავრწმუნდეთ, რომ ისინი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ.წ = x .

ბრინჯი. 5

მაგალითი 4. იპოვეთ თითოეული საპასუხო ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე, თუ ცნობილია, რომ.

გამოსავალი. ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების თვის 1-ის მიხედვით გვაქვს.

5 . შეჯამება

დიაგნოსტიკური სამუშაოს ჩატარება. ამ ნაშრომის მიზანია ლექციაზე განხილული სასწავლო მასალის ოსტატობის დონის განსაზღვრა. სტუდენტებს სთხოვენ უპასუხონ ლექციის დასაწყისში ჩამოყალიბებულ კითხვებს.

6 . საშინაო დავალების დაყენება.

1. სალექციო მასალის გააზრება, თეორემების ძირითადი განმარტებები და დებულებები.

2. დაამტკიცეთ ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების თვისებები.

გაკვეთილი 2. სემინარი თემაზე „შებრუნებული ფუნქციის განმარტება. საკმარისი პირობა ფუნქციის შეუქცევადობისთვის"

სამიზნე: ამოცანების ამოხსნისას თემაზე თეორიული ცოდნის გამოყენების უნარის განვითარება, შექცევადობისთვის ფუნქციის შესასწავლად ამოცანების ძირითადი ტიპების განხილვა, შებრუნებული ფუნქციის ასაგებად.

სემინარის გაკვეთილის გეგმა:

1. საორგანიზაციო მომენტი.

2. ცოდნის განახლება (მოსწავლეთა წინა სამუშაო).

3. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია (პრობლემების გადაჭრა).

4. გაკვეთილის შეჯამება.

5. საშინაო დავალების დადგენა.

გაკვეთილების დროს.

1. ორგანიზების დრო.

მასწავლებელს მისალმება, მოსწავლეების მზადყოფნის შემოწმება გაკვეთილისთვის.

2. ცოდნის განახლება. ( სტუდენტების ფრონტალური მუშაობა).

მოსწავლეებს სთხოვენ ზეპირად შეასრულონ შემდეგი დავალებები:

1. ჩამოაყალიბეთ ფუნქციის შეუქცევადობის საკმარისი პირობა.

2. ფუნქციებს შორის, რომელთა გრაფიკები ნაჩვენებია ნახატზე, მიუთითეთ ისინი, რომლებიც შექცევადია.

3. ჩამოაყალიბეთ ალგორითმი მოცემული ფუნქციის შებრუნებისთვის.

4. არსებობს თუ არა მონაცემთა შებრუნებული ფუნქციები? თუ პასუხი დადებითია, იპოვეთ ისინი:

ა) ; ბ ) ; გ ) .

5. ფუნქციები, რომელთა გრაფიკები ნაჩვენებია ნახატზე, ურთიერთშებრუნებულია (ნახ. 6)? დაასაბუთეთ თქვენი პასუხი.

ბრინჯი. 6

3. ნასწავლი მასალის კონსოლიდაცია (პრობლემის გადაჭრა).

შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია შედგება ორი ეტაპისგან:

სტუდენტების ინდივიდუალური დამოუკიდებელი მუშაობა;

ინდივიდუალური მუშაობის შედეგების შეჯამება.

პირველ ეტაპზე მოსწავლეებს სთავაზობენ ბარათებს დავალებებით, რომლებსაც ისინი დამოუკიდებლად ასრულებენ.

სავარჯიშო 1.

ფუნქციები შექცევადია მთელ მათ დომენზე? თუ კი, მაშინ იპოვნეთ მისი საპირისპირო.

ა) ; ბ) ; გ) .

დავალება 2.

არის თუ არა ფუნქციები ურთიერთშებრუნებული?

ა) ;

ბ ) .

დავალება 3.

განვიხილოთ ფუნქცია თითოეულ მითითებულ ინტერვალზე; თუ ამ ინტერვალზე ფუნქცია შექცევადია, მაშინ განვსაზღვროთ მისი ინვერსიული ანალიტიკურად, მიუთითეთ განსაზღვრების დომენი და მნიშვნელობების დიაპაზონი:

ა ) რ ; ბ ) ; დ ) [-2;0].

დავალება 4.

დაამტკიცეთ, რომ ფუნქცია შეუქცევადია. იპოვეთ შებრუნებული ფუნქცია ინტერვალზე და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

დავალება 5.

დახაზეთ ფუნქცია და დაადგინეთ არის თუ არა მისთვის შებრუნებული ფუნქცია. თუ კი, მაშინ შებრუნებული ფუნქცია იმავე ნახაზზე დახაზეთ და ანალიტიკურად განსაზღვრეთ:

ა ) ; ბ ) .

მოსწავლეთა ინდივიდუალური მუშაობის შედეგების შეჯამების ეტაპზე დავალებების შემოწმება ხდება მხოლოდ შუალედური შედეგების ჩაწერით. პრობლემები, რომლებმაც ყველაზე მეტი სირთულე გამოიწვია, განიხილება დაფაზე, ან გამოავლენს გადაწყვეტილებების ძიებას, ან ჩაწერს მთლიან გადაწყვეტას.

4. გაკვეთილის შეჯამება (რეფლექსია).

სტუდენტებს სთავაზობენ მინი კითხვარს:

რა მომეწონა გაკვეთილზე?

რა არ მომეწონა გაკვეთილზე?

_________________________________________________________________

გთხოვთ მიუთითოთ ერთი განცხადება, რომელიც საუკეთესოდ შეესაბამება თქვენ:

1) შემიძლია დამოუკიდებლად შევისწავლო ფუნქცია შექცევადობისთვის, ავაშენო მისი ინვერსიული და დარწმუნებული ვარ შედეგის სისწორეში.

2) შემიძლია შევამოწმო ფუნქცია შეუქცევადობისთვის, ავაშენო მისი ინვერსია, მაგრამ ყოველთვის არ ვარ დარწმუნებული შედეგის სისწორეში, მჭირდება ჩემი მეგობრების დახმარება.

3) შექცევადობის ფუნქციის შესწავლა, ინვერსიის აგება პრაქტიკულად არ შემიძლია, მჭირდება დამატებითი რჩევა მასწავლებლისგან.

სად შემიძლია გამოვიყენო მიღებული ცოდნა? _________________________________________________________________________________

5. საშინაო დავალების დაყენება.

№ 10.3, 10.6 (c, d), 10.7 (c, d), 10.9 (c, d), 10.13 (c, d), 10.18.(მორდკოვიჩი, ა.გ. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასი. 2 საათზე, ნაწილი 2. პრობლემური წიგნი ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / ა.გ. მორდკოვიჩი, პ.ვ. სემენოვი. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384 გვ.)

თემა: „ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები“.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

გაიმეორეთ და შეაჯამეთ მოსწავლეთა ცოდნა მე-9 კლასში შესწავლილ თემაზე „ფუნქცია“. გაეცანით ურთიერთშებრუნებულ ფუნქციებს, შეისწავლეთ შებრუნებული ფუნქციის არსებობის პირობები და მისი თვისებები, ისწავლეთ შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკების აგება.

საგანმანათლებლო:

მოსწავლეთა შემოქმედებითი და გონებრივი აქტივობის განვითარება, მათი ინტელექტუალური თვისებები: პრობლემის „დანახვის“ უნარი.

განავითარეთ თქვენი აზრების მკაფიოდ და მკაფიოდ გამოხატვის, კვლევის, ანალიზის, შედარებისა და დასკვნების გამოტანის უნარი.

მოსწავლეებში დამოუკიდებელი შემოქმედებისადმი ინტერესის განვითარება.

განავითარეთ მოსწავლეთა სივრცითი წარმოსახვა.

საგანმანათლებლო:

უჩვეულო სიტუაციაში ხელმისაწვდომ ინფორმაციასთან მუშაობის უნარის გამომუშავება.

განავითარეთ სიზუსტე და კეთილსინდისიერება.

უზრუნველყოს ესთეტიკური განათლება.

გაკვეთილის ტიპი:კომბინირებული.

აღჭურვილობა:

მულტიმედიური პროექტორი;
გაკვეთილის ჩანართი: (პრეზენტაცია) – ელექტრონულ მედიაზე;

განათლების საშუალებები: კომპიუტერები, პროგრამაExcel, მედია პროექტორი, სლაიდ პრეზენტაცია.

დემოები: ერთ კოორდინატულ სისტემაში აგებული ფუნქციების გრაფიკები.

საგანმანათლებლო საქმიანობის ორგანიზების ფორმები: ინდივიდუალური, დიალოგი, სლაიდ ტექსტთან მუშაობა, კვლევითი სამუშაო რვეულში.

მეთოდები: ვიზუალური, სიტყვიერი,გრაფიკა, კვლევა.

გაკვეთილების დროს.

1. მასწავლებლის შესავალი სიტყვა. შესავალი საუბარი. სტუდენტების ფსიქოლოგიური განწყობა.

გაკვეთილზე მე და თქვენ უნდა გავიმეოროთ და განვაზოგადოთ ცოდნა მე-9 კლასში შესწავლილი თემაზე „ფუნქცია“, გავეცნოთ ურთიერთშებრუნებულ ფუნქციებს, შევისწავლოთ შებრუნებული ფუნქციის არსებობის პირობები და მისი თვისებები, ვისწავლოთ გრაფიკების აგება. შებრუნებული ფუნქციების. ვუსურვოთ ერთმანეთს წარმატებები და ნაყოფიერი მუშაობა.

2. თემაზე „ფუნქციები და მათი გრაფიკები“ განხილული მასალის გამეორება. პრეზენტაცია.

სლაიდები 2-10. ფრონტალური მუშაობა კლასთან.

3. ახალი მასალის შესწავლა. საგანმანათლებლო საუბარი კვლევისა და დემონსტრირების ელემენტებთან (სლაიდები 11-24)

დამოკიდებულების მაგალითი. თითოეული ფუნქციის მნიშვნელობა შეესაბამება ერთი არგუმენტის მნიშვნელობას.

ასეთი ფუნქციებისთვის შესაძლებელია არგუმენტის მნიშვნელობების შებრუნებული დამოკიდებულების გამოხატვა ფუნქციის მნიშვნელობებზე.

ვარჯიში.

იპოვნეთ ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების განსაზღვრის დომენი და მნიშვნელობების დიაპაზონი.

4. ცოდნის კონსოლიდაცია.

ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები და მათი გრაფიკები

(ფარული მასალის ზოგადი გამეორება)

რომელი გრაფიკი შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკს y=x 3 აქვს პირიქით?

რომელი გრაფიკი შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკს და აქვს თუ არა მას შებრუნებული?

გრაფიკებიდან რომელი ემთხვევა გრაფიკს?

აქვს ინვერსიული ფუნქცია?

რომელი გრაფიკი შეესაბამება ფუნქციას?

ჯგუფი 1: უპასუხეთ ა) ახსენი რატომ

რა ფუნქციას შეესაბამება გრაფიკი? 1 . y = x 3 2. 3. y = x 4 4 . y = x -2 5 . 6. y = x -1

ფუნქციის გრაფიკზე

D(y)=(-:0) U(0;+)

მიუთითეთ ამ განმარტების ფარგლები

ფუნქციის გრაფიკზე

ამისათვის მიუთითეთ მნიშვნელობების დიაპაზონი ფუნქციის გრაფიკზე

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

იპოვეთ მოცემულის შებრუნებული ფუნქცია ზე = გ ( x )

თუ ფუნქცია (2) შებრუნებულია ფუნქციაზე (1), მაშინ ასეთ ფუნქციებს ურთიერთშებრუნებული ეწოდება.

იპოვეთ განსაზღვრების დომენი და ამ ფუნქციების მნიშვნელობების ნაკრები.

D (y)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

D (y)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

ინვერსიული ფუნქციის დომენი g(x) ემთხვევა ორიგინალის მნიშვნელობების ერთობლიობას ფუნქციები ვ ( x ), და შებრუნებული ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე g(x) ემთხვევა ორიგინალური ფუნქციის განსაზღვრის დომენს f(x) :

დ( g(x) ) = E( f(x )), ე ( გ(x )) = დ( f(x )).

მონოტონური ფუნქცია შექცევადია:

თუ ფუნქცია ვ (x) იზრდება, შემდეგ მისი შებრუნებული ფუნქცია გ (x) ასევე იზრდება;
თუ ფუნქცია ვ (x) მცირდება, შემდეგ მისი შებრუნებული ფუნქცია გ (x) ასევე მცირდება.

მოცემულია: y = x 3

ააგეთ მოცემული ფუნქციის გრაფიკი, გამოთქვით მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის ფორმულა და ააგეთ მისი გრაფიკი.

3. თუ ფუნქციას აქვს შებრუნებული, მაშინ შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ამ ფუნქციის გრაფიკის მიმართ სწორი ხაზის მიმართ y = x.

ააგეთ მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი.

საგანმანათლებლო დამოუკიდებელი მუშაობა

ვარიანტი II

ვარიანტი I

იპოვეთ მოცემული ფუნქციის ინვერსია:

2. იპოვეთ განსაზღვრების დომენი და ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე მოცემულზე შებრუნებული:

3. ააგეთ მოცემულის ფუნქციის შებრუნებული გრაფიკი:

ვარიანტი II

ვარიანტი I

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Საშინაო დავალება:

ამოხსნა No579, No576(c,d

სურვილისამებრ No. 581 (1,2)

გაკვეთილზე ვისწავლე ………………………………………
გაკვეთილზე დავინტერესდი …………………………
Ძნელი იყო………………………………………….
შემიძლია გამოვიყენო გაკვეთილზე მიღებული ცოდნა …………………………………………………

ანარეკლები:

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

განავითაროს ცოდნა ახალ თემაზე პროგრამული მასალის შესაბამისად;
შეისწავლოს ფუნქციის შექცევადობის თვისება და ასწავლოს მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის პოვნა;

განმავითარებელი:

განუვითარდებათ თვითკონტროლის უნარი, შინაარსობრივი მეტყველება;
დაეუფლოს ინვერსიული ფუნქციის ცნებას და ისწავლოს შებრუნებული ფუნქციის პოვნის მეთოდები;

საგანმანათლებლო: კომუნიკაციური კომპეტენციის განვითარება.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი, ინტერაქტიული დაფა SMART Board, მასალა (დამოუკიდებელი სამუშაო) ჯგუფური მუშაობისთვის.

გაკვეთილების დროს.

1. საორგანიზაციო მომენტი.

სამიზნე – სტუდენტების მომზადება კლასში სამუშაოდ:

დაუსწრებელთა განმარტება,

მოსწავლეების მუშაობის გუნებაზე მოყვანა, ყურადღების ორგანიზება;

დაასახელეთ გაკვეთილის თემა და მიზანი.

2. მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნის განახლება.ფრონტალური გამოკვლევა.

სამიზნე - შესწავლილი თეორიული მასალის სისწორის და ცნობადობის დადგენა, დაფარული მასალის გამეორება.<Приложение 1 >

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სტუდენტებისთვის ინტერაქტიულ დაფაზე. მასწავლებელი აყალიბებს დავალებას - განიხილეთ ფუნქციის გრაფიკი და ჩამოთვალეთ ფუნქციის შესწავლილი თვისებები. მოსწავლეები ჩამოთვლიან ფუნქციის თვისებებს კვლევის დიზაინის შესაბამისად. მასწავლებელი, ფუნქციის გრაფიკის მარჯვნივ, ინტერაქტიულ დაფაზე მარკერით წერს დასახელებულ თვისებებს.

ფუნქციის თვისებები:

სწავლის ბოლოს მასწავლებელი იტყობინება, რომ დღეს გაკვეთილზე გაეცნობიან ფუნქციის კიდევ ერთ თვისებას - შექცევადობას. ახალი მასალის არსებითად შესასწავლად მასწავლებელი იწვევს ბავშვებს გაეცნონ ძირითად კითხვებს, რომლებსაც მოსწავლეებმა გაკვეთილის ბოლოს უნდა უპასუხონ. კითხვები იწერება რეგულარულ დაფაზე და თითოეულ მოსწავლეს აქვს დარიგების სახით (ნაწილდება გაკვეთილის წინ)

რომელ ფუნქციას ეწოდება ინვერსიული?
რაიმე ფუნქცია ინვერსიულია?
რომელ ფუნქციას ეწოდება მონაცემების შებრუნებული?
როგორ არის დაკავშირებული განსაზღვრების დომენი და ფუნქციის და მისი შებრუნებული მნიშვნელობების სიმრავლე?
თუ ფუნქცია მოცემულია ანალიტიკურად, როგორ შეიძლება განვსაზღვროთ შებრუნებული ფუნქცია ფორმულით?
თუ ფუნქცია მოცემულია გრაფიკულად, როგორ გამოვსახოთ მისი შებრუნებული ფუნქცია?

3. ახალი მასალის ახსნა.

სამიზნე - პროგრამული მასალის შესაბამისად ახალ თემაზე ცოდნის გამომუშავება; შეისწავლოს ფუნქციის შექცევადობის თვისება და ასწავლოს მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის პოვნა; განავითარეთ შინაარსობრივი მეტყველება.

მასწავლებელი წარმოადგენს მასალას აბზაცში მოცემული მასალის შესაბამისად. ინტერაქტიულ დაფაზე მასწავლებელი ადარებს ორი ფუნქციის გრაფიკს, რომელთა განსაზღვრების სფეროები და მნიშვნელობების სიმრავლე ერთნაირია, მაგრამ ერთი ფუნქცია მონოტონურია და მეორე არა, რითაც მოსწავლეებს აცნობს შექცევადი ფუნქციის კონცეფციას. .

განმარტება 1: ფუნქციას y=f(x), x X ეწოდება შექცევადითუ იგი იღებს მის რომელიმე მნიშვნელობას X სიმრავლის მხოლოდ ერთ წერტილში.

თეორემა: თუ ფუნქცია y=f(x) მონოტონურია X სიმრავლეზე, მაშინ ის შეუქცევადია.

მტკიცებულება:

დაუშვით ფუნქცია y=f(x)იზრდება Xგაუშვი x 1 ≠x 2- ნაკრების ორი ქულა X.
კონკრეტულად რომ ვთქვათ, მოდით x 1< x 2.
მერე იქიდან რომ x 1< x 2ამას მოჰყვება f(x 1) < f(x 2).
ამრიგად, არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის სხვადასხვა მნიშვნელობებს, ე.ი. ფუნქცია შექცევადია.

შებრუნებული ფუნქციის განმარტების ჩამოყალიბებამდე მასწავლებელი სთხოვს მოსწავლეებს დაადგინონ შემოთავაზებული ფუნქციებიდან რომელია შექცევადი? ინტერაქტიული დაფა აჩვენებს ფუნქციების გრაფიკებს და წერს რამდენიმე ანალიტიკურად განსაზღვრულ ფუნქციას:

ბ)

გ) y = 2x + 5

დ) y = -x 2 + 7

მასწავლებელი აცნობს შებრუნებული ფუნქციის განმარტებას.

განმარტება 2: ნება მიეცით ინვერსიულმა ფუნქციონირებას y=f(x)კომპლექტზე განსაზღვრული Xდა E(f)=Y. მოდით დავამთხვიოთ თითოეული წსაწყისი იეს არის ერთადერთი მნიშვნელობა X, რომელიც f(x)=y.შემდეგ ვიღებთ ფუნქციას, რომელიც განსაზღვრულია ი, ა X- ფუნქციის დიაპაზონი

ეს ფუნქცია დანიშნულია x=f -1 (y)და ეწოდება ფუნქციის შებრუნებული y=f(x).

მოსწავლეებს სთხოვენ გამოიტანონ დასკვნა განმარტების დომენსა და შებრუნებული ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლეს შორის კავშირის შესახებ.

კითხვაზე, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის ინვერსია, მასწავლებელმა მიიზიდა ორი მოსწავლე. წინა დღეს ბავშვებმა მასწავლებლისგან მიიღეს დავალება, დამოუკიდებლად გაეანალიზებინათ მოცემული ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის პოვნის ანალიტიკური და გრაფიკული მეთოდები. მასწავლებელი ასრულებდა კონსულტანტს მოსწავლეების გაკვეთილისთვის მომზადებაში.

შეტყობინება პირველი სტუდენტისგან.

შენიშვნა: ფუნქციის ერთფეროვნება არის საკმარისიინვერსიული ფუნქციის არსებობის პირობა. Მაგრამ ეს არ არისაუცილებელი პირობა.

მოსწავლემ მოიყვანა სხვადასხვა სიტუაციების მაგალითები, როდესაც ფუნქცია არ არის მონოტონური, მაგრამ შექცევადი, როდესაც ფუნქცია არ არის მონოტონური და შეუქცევადი, როდესაც ის ერთფეროვანი და შექცევადია.

შემდეგ მოსწავლე აცნობს მოსწავლეებს ანალიტიკურად მოცემულ ინვერსიული ფუნქციის პოვნის მეთოდს.

ალგორითმის პოვნა

დარწმუნდით, რომ ფუნქცია მონოტონურია.
გამოხატეთ x ცვლადი y-ით.
ცვლადების გადარქმევა. x=f -1 (y) ნაცვლად ჩაწერეთ y=f -1 (x)

შემდეგ ის ხსნის ორ მაგალითს მოცემულის შებრუნებული ფუნქციის საპოვნელად.

მაგალითი 1:აჩვენეთ, რომ y=5x-3 ფუნქციისთვის არის შებრუნებული ფუნქცია და იპოვეთ მისი ანალიტიკური გამოხატულება.

გამოსავალი. წრფივი ფუნქცია y=5x-3 განისაზღვრება R-ზე, იზრდება R-ზე და მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი არის R. ეს ნიშნავს, რომ შებრუნებული ფუნქცია არსებობს R-ზე. მისი ანალიტიკური გამოხატვის საპოვნელად ამოხსენით განტოლება y=5x-. 3 x-ისთვის; ვიღებთ ეს არის საჭირო ინვერსიული ფუნქცია. იგი განისაზღვრება და იზრდება რ.

მაგალითი 2:აჩვენეთ, რომ y=x 2, x≤0 ფუნქციისთვის არის შებრუნებული ფუნქცია და იპოვეთ მისი ანალიტიკური გამოხატულება.

ფუნქცია არის უწყვეტი, მონოტონური მისი განმარტების დომენში, შესაბამისად, ის შექცევადია. ფუნქციის განსაზღვრების დომენებისა და მნიშვნელობების სიმრავლების გაანალიზების შემდეგ, კეთდება შესაბამისი დასკვნა ინვერსიული ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატვის შესახებ.

მეორე მოსწავლე აკეთებს პრეზენტაციას გრაფიკულიინვერსიული ფუნქციის პოვნის მეთოდი. ახსნის დროს მოსწავლე იყენებს ინტერაქტიული დაფის შესაძლებლობებს.

y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად y=f(x) ფუნქციის შებრუნებული y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის სიმეტრიულად გარდაქმნა სწორი ხაზის მიმართ. y=x.

ინტერაქტიულ დაფაზე ახსნის დროს სრულდება შემდეგი დავალება:

ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი და მისი შებრუნებული ფუნქციის გრაფიკი იმავე კოორდინატულ სისტემაში. ჩაწერეთ შებრუნებული ფუნქციის ანალიტიკური გამოხატულება.

4. ახალი მასალის პირველადი კონსოლიდაცია.

სამიზნე - შესწავლილი მასალის გაგების სისწორის და ცნობადობის დადგენა, მასალის პირველადი გაგების ხარვეზების იდენტიფიცირება და მათი გამოსწორება.

მოსწავლეები იყოფიან წყვილებად. მათ ეძლევათ დავალებების ფურცლები, რომლებშიც წყვილებში ასრულებენ სამუშაოს. სამუშაოს შესრულების დრო შეზღუდულია (5-7 წუთი). მოსწავლის ერთი წყვილი მუშაობს კომპიუტერზე, ამ დროს პროექტორი ითიშება და დანარჩენი ბავშვები ვერ ხედავენ როგორ მუშაობენ მოსწავლეები კომპიუტერზე.

დროის ბოლოს (ვარაუდობენ, რომ მოსწავლეთა უმრავლესობამ დაასრულა სამუშაო) მოსწავლეთა ნამუშევარი ნაჩვენებია ინტერაქტიულ დაფაზე (პროექტორი ისევ ჩართულია), სადაც შემოწმებისას დგინდება, არის თუ არა დავალება სწორად შესრულდა წყვილებში. საჭიროების შემთხვევაში მასწავლებელი ახორციელებს მაკორექტირებელ და ახსნა-განმარტებით მუშაობას.

დამოუკიდებელი მუშაობა წყვილებში<დანართი 2 >

5. გაკვეთილის შეჯამება.ლექციის წინ დასმულ კითხვებზე. გაკვეთილის შეფასებების გამოცხადება.

საშინაო დავალება §10. No 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)

ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. მე-10 კლასი 2 ნაწილად ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის (პროფილის დონე) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova და ა.შ.; რედაქტორი A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007 წ

დაასრულა მოჰენშილდტ ი.კ. ჯგუფი 1.45.36 ფრუნზენსკის რაიონის სკოლა No. 314 მასწავლებელი O.P. Koroleva სანქტ-პეტერბურგი 2006 წ * სანქტ-პეტერბურგის საინფორმაციო ტექნოლოგიებისა და ტელეკომუნიკაციების ცენტრი ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ძირითადი განმარტებები განტოლებების მაგალითი შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები სინუსის და რკოსინის ფუნქციები კოსინუსების და რკოზინების ფუნქციები ტანგენტისა და რკოტანგენტის ფუნქციები კოტანგენტისა და რკოტანგენტის ფუნქციები ტესტის წყაროები შინაარსი დასრულება

ინვერსიული ფუნქცია თუ ფუნქცია y=f (x) იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას მხოლოდ x-ის ერთი მნიშვნელობისთვის, მაშინ ამ ფუნქციას ეწოდება ინვერსიული. ასეთი ფუნქციისთვის შეიძლება გამოვხატოთ არგუმენტის მნიშვნელობების საპირისპირო დამოკიდებულება ფუნქციის მნიშვნელობებზე.

მოცემული ფუნქციის შებრუნებული ფუნქციის აგების მაგალითი.სპეციალური შემთხვევა მოცემულია y=3x+5 ფუნქციის განტოლება x-ისთვის ჩანაცვლება x y-ით ფუნქციები (1) და (2) ურთიერთშებრუნებულია ზოგადი შემთხვევა y=f (x) არის შექცევადი ფუნქცია ფუნქცია x= g (y) განსაზღვრულია ) ჩაანაცვლეთ x y y= g(x) ფუნქციები y=f (x) და y= g(x) ურთიერთშებრუნებულია

შებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები OOF OPF OOF OOF X Y X Y

ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციები y=log a x y=a x y=x a>1

ფუნქციები sin x და arcsin x განვიხილოთ ფუნქცია y=sin x სეგმენტზე ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. OPF [-1;1]. ფუნქცია y= arcsin x არის y=sinx ფუნქციის შებრუნებული. [ -  ;  ] 2 2

ფუნქციები cos x და arccos x განვიხილოთ ფუნქცია y=co s x სეგმენტზე ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. OPF [-1;1]. ფუნქცია y=arccos x არის y=co sx ფუნქციის შებრუნებული.

ფუნქციები tg x და arctg x ინტერვალზე განვიხილოთ ფუნქცია y= tg x ფუნქცია მონოტონურად იზრდება. OZF – კომპლექტი R. ფუნქცია y= arctan x არის y= tan x ფუნქციის შებრუნებული. (-  ; ) 2 2

ფუნქციები ctg x და arcctg x განვიხილოთ ფუნქცია y= ctg x ინტერვალზე (0; ). ფუნქცია მონოტონურად მცირდება. OSF კომპლექტი R. შებრუნებული ფუნქცია არის y = arcctg x.

ტესტი თემაზე „ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები“ კითხვა No1 კითხვა No2 კითხვა No3 კითხვა No4 კითხვა No5 დასრულება დასრულება

კითხვა No1 ურთიერთშებრუნებული ფუნქციების გრაფიკები განლაგებულია კოორდინატთა სისტემაში სიმეტრიულად: კოორდინატების წარმოშობა სწორი ხაზი y=x ღერძები OY ცულები OX.

კითხვა No2 როგორ არის დაკავშირებული ორიგინალის განსაზღვრის დომენი და შებრუნებული ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი? იგივე დამოუკიდებელი

კითხვა No3 რომელი ფუნქციაა ლოგარითმული ფუნქციის შებრუნებული? სიმძლავრის ხაზოვანი კვადრატული ექსპონენციალური

კითხვა No4 ფუნქცია y=arcctg x არის y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x ფუნქციის შებრუნებული

კითხვა No5 თემა „ურთიერთშებრუნებული ფუნქციები“ ელემენტარულია ჩემი საყვარელი ადვილად გასაგები

ჰოო! ჰოო! ჰოო! კარგად გააკეთე, მეცნიერო!

პასუხი არასწორია, გაიმეორეთ თავიდან!

არასწორია! აღშფოთებული ვარ შენი პასუხით!

წყაროები ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / შ.ა. ალიმოვი, იუ.მ. კოლიაგინი, იუ.ვ. სიდოროვი და სხვები – მე-12 გამოცემა. – მ.: განათლება, 2004. – 384გვ. ალგებრის შესწავლა და ანალიზის დასაწყისი 10-11 კლასებში: წიგნი. მასწავლებლებისთვის / N.E. ფედოროვა, მ.ვ. ტკაჩევი. - მე-2 გამოცემა. – მ.: განათლება, 2004. – 205გვ. დიდაქტიკური მასალები ალგებრაზე და ანალიზის დასაწყისი მე-10 კლასისთვის: სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის / ბ.მ. ივლევი, ს.მ. საჰაკიანი, ს.ი. შვარცბურდი. – მე-2 გამოცემა, შესწორებული. – მ.: განათლება, 1998. -143გვ. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გრაფიკები http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

გაკვეთილების დროს.

ბუნება, საზოგადოება, ადამიანი სოციალური კვლევის გაკვეთილის მონახაზი (მე-8 კლასი) თემაზე

ნახეთ, რა არის „პროფესორ დოუელის თავი“ სხვა ლექსიკონებში

როცა გემები ნავსადგურში ბრუნდებიან

გაკვეთილების დროს.

მსგავსი სტატიები