გამოცდისთვის ემზადება. ლოგარითმული და ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა რაციონალიზაციის მეთოდით. მანოვის ნაშრომი "ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში" ლოგარითმული უტოლობების გამოცდის პროფილის დონის ამოხსნა
განყოფილებები: Მათემატიკა
ხშირად, გადაწყვეტილების მიღებისას ლოგარითმული უტოლობები, პრობლემებია ლოგარითმის ცვალებად ფუძესთან. ასე რომ, ფორმის უთანასწორობა
სტანდარტული სკოლის უთანასწორობაა. როგორც წესი, მისი გადასაჭრელად გამოიყენება სისტემების ექვივალენტურ კომპლექტზე გადასვლა:
ამ მეთოდის მინუსი არის შვიდი უტოლობის გადაჭრის აუცილებლობა, არ ჩავთვლით ორ სისტემას და ერთ კომპლექტს. უკვე მოცემული კვადრატული ფუნქციებით, კომპლექტის ამოხსნა შეიძლება შრომატევადი იყოს.
შეიძლება შემოთავაზდეს ამ სტანდარტული უთანასწორობის გადაჭრის ალტერნატიული, ნაკლებად შრომატევადი გზა. ამისათვის გავითვალისწინებთ შემდეგ თეორემას.
თეორემა 1. განვაგრძეთ მზარდი ფუნქცია X სიმრავლეზე. შემდეგ ამ სიმრავლეზე ფუნქციის ზრდის ნიშანი დაემთხვა არგუმენტის ზრდის მნიშვნელობას, ანუ სად 
.
შენიშვნა: თუ უწყვეტი შემცირების ფუნქციაა X სიმრავლეზე, მაშინ
დავუბრუნდეთ უთანასწორობას. მოდით წავიდეთ ათობითი ლოგარითმზე (შეგიძლიათ წასვლა ნებისმიერზე, რომელზეც მუდმივი ფუძე ერთზე მეტია).
ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ თეორემა, აღნიშნოთ მრიცხველში ფუნქციების ზრდა 
და მნიშვნელში. ასეა მართალი
შედეგად, პასუხის გაცემის გამოთვლების რაოდენობა დაახლოებით განახევრებულია, რაც არამარტო ზოგავს დროს, არამედ საშუალებას გაძლევთ უფრო ნაკლები არითმეტიკული და ”უყურადღებობის” შეცდომები დაუშვათ.
მაგალითი 1.
(1) -თან შედარებისას ვხვდებით 
, 
, .
(2) –ზე გადასვლისას გვექნება:
მაგალითი 2.
(1) -თან შედარებისას ვხვდებით ,,.
(2) –ზე გადასვლისას გვექნება:
მაგალითი 3.
ვინაიდან უთანასწორობის მარცხენა მხარე მზარდი ფუნქციაა და 
, მაშინ პასუხი დგინდება.
მაგალითების ერთობლიობა, რომელშიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას 1 თეორემა, მარტივად შეიძლება გაგრძელდეს, თუკი გათვალისწინებულია თეორემა 2.
გადავიდეთ გადასაღებ მოედანზე X ფუნქციები ,,, და ამ ნაკრებზე ნიშნები და ემთხვევა, ე.ი. , მაშინ ეს იქნება სამართლიანი.
მაგალითი 4.
მაგალითი 5.
სტანდარტული მიდგომით, მაგალითი წყდება სქემის მიხედვით: პროდუქტი ნულზე ნაკლებია, როდესაც ფაქტორები სხვადასხვა ნიშნისაა. იმ განხილულია უთანასწორობის ორი სისტემის ნაკრები, რომელშიც, როგორც დასაწყისში იყო ნაჩვენები, თითოეული უთანასწორობა კიდევ შვიდზე იყოფა.
თუ გავითვალისწინებთ თეორემას 2, მაშინ თითოეული ფაქტორი (2) -ს გათვალისწინებით შეიძლება ჩაანაცვლოს სხვა ფუნქციით, რომელსაც აქვს იგივე ნიშანი ამ მაგალითში O.D.Z.
ფუნქციის ნამატის არგუმენტის ზრდით ჩანაცვლების მეთოდი 2 თეორემის გათვალისწინებით, ძალიან მოსახერხებელი გამოდის გამოცდის C3 ტიპიური პრობლემების გადაჭრისას.
მაგალითი 6.
მაგალითი 7.
... მოდით აღვნიშნოთ. მივიღებთ
... გაითვალისწინეთ, რომ ჩანაცვლება გულისხმობს:. განტოლებას დავუბრუნდებით, მივიღებთ
.
მაგალითი 8.
ჩვენს მიერ გამოყენებულ თეორემებში არანაირი შეზღუდვა არ არის ფუნქციების კლასების მიმართ. მაგალითად, ამ სტატიაში გამოყენებულია თეორიები ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის დროს. შემდეგი რამდენიმე მაგალითი წარმოაჩენს მეთოდის დაპირებას სხვა სახის უთანასწორობის გადაჭრისთვის.
ლოგარითმული შესაძლებლობები გამოყენებისას
სეჩინ მიხეილ ალექსანდროვიჩი
მცირე მეცნიერებათა აკადემია ყაზახეთის რესპუბლიკის სტუდენტებისთვის "მაძიებელი"
MBOU "სოვეტსკაიას secondary1 საშუალო სკოლა", მე -11 კლასი, ქალაქი. სოვეტსკის ოლქი
გუნკო ლუდმილა დმიტრიევნა, MBOU "საბჭოთა school1 სკოლის" მასწავლებელი
საბჭოთა ოლქი
მიზანი: არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით C3 ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მექანიზმის გამოკვლევა, იდენტიფიცირება საინტერესო ფაქტები ლოგარითმი.
სასწავლო საგანი:
3) ისწავლეთ კონკრეტული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა C3 არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.
შედეგები:
შინაარსი
შესავალი ………………………………………………………………………… .4
თავი 1. ფონი ………………………………………………… ... 5
თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული ………………………… 7
2.1. ექვივალენტური გადასვლები და ინტერვალით განზოგადებული მეთოდი …………… 7
2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი ………………………………………………… 15
2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება ……………… .......................................... ..... 22
2.4. ხაფანგის მისიები 27 ფუნტი სტერლინგი
დასკვნა …………………………………………………………………… 30
ლიტერატურა. 31
შესავალი
მე -11 კლასში ვარ და ვგეგმავ უნივერსიტეტში ჩასვლას პროფილის საგანი მათემატიკაა. ამიტომ, მე ბევრს ვმუშაობ C ნაწილის პრობლემებთან დაკავშირებით. C3 ამოცანაში თქვენ უნდა მოაგვაროთ არასტანდარტული უთანასწორობა ან უთანასწორობის სისტემა, რომელიც ჩვეულებრივ ასოცირდება ლოგარითმებთან. გამოცდისთვის მომზადების დროს, მე შეექმნა პრობლემა C3– ში შემოთავაზებული საგამოცდო ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის მეთოდებისა და ტექნიკის არარსებობის პრობლემა. ნასწავლი მეთოდები სკოლის სასწავლო გეგმა ამ თემაზე, ნუ შექმნით საფუძველს C3 ამოცანების გადასაჭრელად. მათემატიკის მასწავლებელმა მიმიწვია C3 დავალებებთან სამუშაოდ, მისი ხელმძღვანელობით. გარდა ამისა, მაინტერესებდა კითხვა: არის ჩვენს ცხოვრებაში ლოგარითმები?
ამის გათვალისწინებით, თემა შეირჩა:
"ლოგარითმული უტოლობები გამოცდაში"
მიზანი: არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით C3 პრობლემების გადაჭრის მექანიზმის გამოკვლევა, ლოგარითმის საინტერესო ფაქტების გამოვლენა.
სასწავლო საგანი:
1) მოიძიეთ საჭირო ინფორმაცია ლოგარითმული უტოლობების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდების შესახებ.
2) მოიძიეთ მეტი ინფორმაცია ლოგარითმების შესახებ.
3) ისწავლეთ კონკრეტული C3 პრობლემების გადაჭრა არასტანდარტული მეთოდების გამოყენებით.
შედეგები:
პრაქტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს აპარატის გაფართოებაში C3 პრობლემების გადასაჭრელად. ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ზოგიერთ გაკვეთილზე, წრეებში, კლასგარეშე აქტივობებისთვის მათემატიკაში.
პროექტის პროდუქტი იქნება კრებული "ლოგარითმული C3 უტოლობები გადაწყვეტილებებთან".
თავი 1. ფონი
XVI საუკუნის განმავლობაში სავარაუდო გამოთვლების რაოდენობა სწრაფად გაიზარდა, პირველ რიგში, ასტრონომიაში. ინსტრუმენტების გაუმჯობესება, პლანეტარული მოძრაობების შესწავლა და სხვა სამუშაოები კოლოსალურ, ზოგჯერ მრავალწლიან გამოთვლებს მოითხოვდა. ასტრონომიას შეუსრულებელი გათვლებით დაღუპვის რეალური საფრთხე ემუქრებოდა. სხვა სფეროებში სირთულეები წარმოიშვა, მაგალითად, სადაზღვევო ბიზნესში, საინტერესო ინტერესების ცხრილები იყო საჭირო. ძირითადი სირთულე წარმოდგენილი იყო გამრავლებით, მრავალნიშნა ციფრების გაყოფით, განსაკუთრებით ტრიგონომეტრიული რაოდენობით.
ლოგარითმების აღმოჩენას საფუძვლად დაედო პროგრესების ცნობილი თვისებები XVI საუკუნის ბოლოს. არქიმედემ ისაუბრა ფსალმუნში გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა q, q2, q3, ... და მათი 1, 2, 3, ... არითმეტიკული პროგრესიის შესახებ. კიდევ ერთი წინაპირობა იყო ხარისხის ცნების გაფართოება ნეგატიურ და ფრაქციულ მაჩვენებლებზე. ბევრმა ავტორმა აღნიშნა, რომ გამრავლება, გაყოფა, გამოხატვა და ფესვების ამოღება ექსპონენციალურად შეესაბამება არითმეტიკას - იმავე თანმიმდევრობით - გარდა ამისა, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა.
ეს იყო ლოგარითმის, როგორც ექსპონენტის, იდეა.
ლოგარითმების დოქტრინის განვითარების ისტორიაში რამდენიმე ეტაპი გავიდა.
ეტაპი 1
ლოგარითმები გამოიგონა არა უგვიანეს 1594 წლისა დამოუკიდებლად შოტლანდიელმა ბარონმა ნაპიერმა (1550-1617) და ათი წლის შემდეგ შვეიცარიელმა მექანიკოსმა ბურგიმ (1552-1632). ორივეს სურდა არითმეტიკული გამოთვლების ახალი მოსახერხებელი საშუალების მიცემა, თუმცა ამ ამოცანას ისინი სხვადასხვა გზით მიუდგნენ. ნეპერმა კინემატიკური თვალსაზრისით გამოხატა ლოგარითმული ფუნქცია და ამით შევიდა ფუნქციის თეორიის ახალ სფეროში. ბურღი დარჩა დისკრეტული პროგრესიების განხილვის საფუძველზე. ამასთან, ლოგარითმის განმარტება ორივესთვის არ ჰგავს თანამედროვეს. ტერმინი "ლოგარითმი" (logarithmus) ეკუთვნის ნაპიერს. ეს წარმოიშვა ბერძნული სიტყვების კომბინაციისგან: ლოგოსი - „მიმართება“ და არიქმო - „რიცხვი“, რაც ნიშნავდა „ურთიერთობათა რიცხვს“. თავდაპირველად, ნაპიერმა სხვა ტერმინი გამოიყენა: numeri artificialiales - "ხელოვნური რიცხვები", განსხვავებით რიცხვითი ნატურალტებისგან - "ბუნებრივი რიცხვები".
1615 წელს ლონდონში, გრეშის კოლეჯის მათემატიკის პროფესორ ჰენრი ბრიგსთან (1561-1631) საუბრისას, ნაპიერმა შემოგვთავაზა ნულის მიღება ერთიანობის ლოგარითმისთვის და 100 – ის ათი ლოგარითმისთვის, ანუ იგივე იგივე, რაც უბრალოდ 1. ასე გამოჩნდა ათობითი ლოგარითმები და დაიბეჭდა პირველი ლოგარითმული მაგიდები. მოგვიანებით, ბრიგსის ცხრილებს ავსებს ჰოლანდიელი წიგნის გამყიდველი და მათემატიკის მოყვარული ანდრიან ფლეკი (1600-1667). ნაპიერმა და ბრიგსმა, მართალია, ისინი ლოგარითმებზე უფრო ადრე მოვიდნენ, ვიდრე სხვები, მაგრამ მათი მაგიდები სხვაზე გვიან გამოაქვეყნეს - 1620 წელს. ჟურნალი და ჟურნალი ნიშნები შემოიღო 1624 წელს ი. კეპლერმა. ტერმინი "ბუნებრივი ლოგარითმი" შემოიღო მენგოლმა 1659 წელს, შემდეგ მოჰყვა ნ. მერკატორს 1668 წელს და ლონდონის მასწავლებელმა ჯონ სფეიდელმა გამოაქვეყნა 1-დან 1000-მდე რიცხვი ბუნებრივი ლოგარითმების ცხრილები სათაურით "ახალი ლოგარითმები".
პირველი ლოგარითმული ცხრილები რუსულ ენაზე გამოქვეყნდა 1703 წელს. ყველა ლოგარითმული ცხრილში შეცდომები დაშვებულია გაანგარიშებისას. პირველი უშეცდომო ცხრილი გამოიცა ბერლინში 1857 წელს, რედაქტირებულია გერმანელი მათემატიკოსის კ. ბრემიკერის მიერ (1804-1877).
ეტაპი 2
ლოგარითმების თეორიის შემდგომი განვითარება ასოცირდება ანალიტიკური გეომეტრიისა და უსასრულოდ მცირე ქვის უფრო ფართო გამოყენებასთან. ტოლობის ჰიპერბოლის კვადრატურასა და ბუნებრივ ლოგარითმს შორის კავშირის დამყარება იმ დროიდან იწყება. ამ პერიოდის ლოგარითმების თეორია უკავშირდება არაერთი მათემატიკოსის სახელს.
გერმანელი მათემატიკოსი, ასტრონომი და ინჟინერი ნიკოლაუს მერკატორი კომპოზიციაში
"ლოგარითმული ტექნიკა" (1668) იძლევა სერიას, რომელიც იძლევა ln (x + 1) გაფართოებას
x ძალა:
ეს გამონათქვამი ზუსტად შეესაბამება მისი აზრის მსვლელობას, თუმცა, რა თქმა უნდა, მან არ გამოიყენა ნიშნები d, ..., მაგრამ უფრო რთული სამუშაო სიმბოლოები. ლოგარითმული სერიის აღმოჩენისთანავე შეიცვალა ლოგარითმების გაანგარიშების ტექნიკა: მათი დადგენა დაიწყო უსასრულო სერიების გამოყენებით. 1907-1908 წლებში წაკითხულ ლექციებში "დაწყებითი მათემატიკა უმაღლესი თვალსაზრისით", ფ. კლეინმა შემოგვთავაზა ფორმულის გამოყენება, როგორც ლოგარითმების თეორიის აგების საწყისი წერტილი.
ეტაპი 3
განმარტება ლოგარითმული ფუნქცია შებრუნებული ფუნქციის სახით
ექსპონენციალური, ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის ხარისხის მაჩვენებელი
დაუყოვნებლივ არ იქნა ჩამოყალიბებული. ლეონარდ ეილერის კომპოზიცია (1707-1783)
შესავალი ანალიზის Infinitesimal (1748) მსახურობდა შემდგომი
ლოგარითმული ფუნქციის თეორიის განვითარება. ამრიგად,
ლოგარითმების პირველად შემოღებიდან 134 წელი გავიდა
(ითვლიან 1614 წლიდან) სანამ მათემატიკოსები დადგებოდნენ
ლოგარითმის კონცეფცია, რომელიც ახლა სკოლის კურსის საფუძველია.
თავი 2. ლოგარითმული უტოლობების კრებული
2.1. ეკვივალენტური გადასვლები და განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი.
ეკვივალენტური გადასვლები
თუ a\u003e 1
თუ 0 <
а <
1
განზოგადებული ინტერვალის მეთოდი
ეს მეთოდი ყველაზე მრავალფეროვანია თითქმის ნებისმიერი ტიპის უტოლობების გადასაჭრელად. გამოსავალი სქემა ასე გამოიყურება:
1. შეამცირეთ უთანასწორობა იმ ფორმისა, სადაც ფუნქციაა 
, და მარჯვნივ 0.
2. იპოვნეთ ფუნქციის დომენი .
3. იპოვნეთ ფუნქციის ნულები , ანუ განტოლების ამოხსნა 
(და განტოლების ამოხსნა, როგორც წესი, უფრო ადვილია, ვიდრე უთანასწორობის ამოხსნა).
4. დახაზეთ ფუნქციის დომენი და ნულები რიცხვით წრფეზე.
5. განსაზღვრეთ ფუნქციის ნიშნები მიღებული ინტერვალებით.
6. აირჩიეთ ინტერვალი, სადაც ფუნქცია იღებს საჭირო მნიშვნელობებს და დაწერეთ პასუხი.
მაგალითი 1.
გადაწყვეტილება:
მოდით გამოვიყენოთ დაშორების მეთოდი
საიდან
ამ მნიშვნელობებისთვის, ლოგარითმების ნიშნის ქვეშ მყოფი ყველა გამოთქმა დადებითია.
პასუხი:
მაგალითი 2.
გადაწყვეტილება:
1-ლი გზა . ODZ განისაზღვრება უთანასწორობით x \u003e 3. ლოგარითმის აღება ასეთი x ბაზა 10, მივიღებთ
ბოლო უტოლობის მოგვარება შეიძლება დაშლის წესების გამოყენებით, ე.ი. ფაქტორების ნულის შედარება. ამასთან, ამ შემთხვევაში მარტივია ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალების დადგენა
ამიტომ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ინტერვალის მეთოდი.
ფუნქცია ვ(x) = 2x(x- 3,5) გგǀ x- 3ǀ უწყვეტია x \u003e 3 და ქრება წერტილებში x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. ამრიგად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის მუდმივობის ინტერვალებს ვ(x):
პასუხი:
მე -2 გზა . მოდით, ინტერვალის მეთოდის იდეები პირდაპირ თავდაპირველ უთანასწორობას გამოვიყენოთ.
ამისათვის გაიხსენეთ გამონათქვამები ა ბ - ა გ და ( ა - 1)(ბ - 1) აქვს ერთი ნიშანი. მაშინ ჩვენი უთანასწორობა x \u003e 3 უტოლობის ტოლფასია
ან
ბოლო უტოლობა წყდება ინტერვალების მეთოდით
პასუხი:
მაგალითი 3.
გადაწყვეტილება:
მოდით გამოვიყენოთ დაშორების მეთოდი
პასუხი:
მაგალითი 4.
გადაწყვეტილება:
2 წლიდან x 2 - 3x + 3\u003e 0 ყველასათვის რეალური xშემდეგ
მეორე უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ ვიყენებთ ინტერვალების მეთოდს
პირველ უთანასწორობაში, ჩვენ ვიცავთ ჩანაცვლებას
შემდეგ მივაღწევთ უთანასწორობას 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yრომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას -0.5< y < 1.
საიდან, მას შემდეგ
ჩვენ ვიღებთ უთანასწორობას
რომელიც ხორციელდება მათთან xრისთვისაც 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
ახლა, სისტემის მეორე უთანასწორობის ამოხსნის გათვალისწინებით, საბოლოოდ მივიღებთ
პასუხი:
მაგალითი 5.
გადაწყვეტილება:
უთანასწორობა უდრის სისტემების ერთობლიობას
ან
მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალების მეთოდი ან
პასუხი:
მაგალითი 6.
გადაწყვეტილება:
უთანასწორობა სისტემის ეკვივალენტურია
დაე
შემდეგ y > 0,
და პირველი უთანასწორობა
სისტემა იღებს ფორმას
ან გაფართოებით
კვადრატული ტრინიუმი ფაქტორების მიხედვით,
ინტერვალის მეთოდის გამოყენება ბოლო უთანასწორობამდე,
ჩვენ ვხედავთ, რომ მისი გადაწყვეტილებები აკმაყოფილებს პირობას y \u003e 0 იქნება ყველაფერი y > 4.
ამრიგად, ორიგინალური უთანასწორობა სისტემის ეკვივალენტურია:
ასე რომ, უთანასწორობის გადაჭრა ყველაა
2.2. რაციონალიზაციის მეთოდი.
ადრე არ იყო გადაჭრილი უთანასწორობის რაციონალიზაციის მეთოდი, ეს არ იყო ცნობილი. ეს არის "ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების გადაჭრის ახალი თანამედროვე ეფექტური მეთოდი" (ციტატა ს. ი. კოლესნიკოვას წიგნიდან)
მაშინაც კი, თუ მასწავლებელმა იგი იცოდა, იყო შიში - იცნობს მას გამომცდელი და რატომ არ აძლევენ მას სკოლაში? იყო სიტუაციები, როდესაც მასწავლებელმა უთხრა სტუდენტს: "საიდან მოიტანე? დაჯექი - 2."
ახლა მეთოდი ფართოდ არის დაწინაურებული. ექსპერტებისთვის მოცემულია ამ სახელმძღვანელოსთან დაკავშირებული სახელმძღვანელო მითითებები და C3 ხსნარში "მოდელის ვარიანტების ყველაზე სრულყოფილი გამოცემებში ..." ეს მეთოდი გამოიყენება.
მშვენიერი მეთოდი!
"ჯადოსნური მაგიდა"
სხვა წყაროებში
თუ a\u003e 1 და b\u003e 1, შემდეგ შედით a b\u003e 0 და (a -1) (b -1)\u003e 0;
თუ a\u003e 1 და 0 თუ 0<ა<1 и b
>1, შემდეგ შედით a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
თუ 0<ა<1 и 00 და (a -1) (b -1)\u003e 0. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მარტივია, მაგრამ ის მნიშვნელოვნად ამარტივებს ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნას. მაგალითი 4.
ჟურნალი x (x 2 -3)<0
გადაწყვეტილება:
მაგალითი 5.
ჟურნალი 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) გადაწყვეტილება: მაგალითი 6.
ამ უტოლობის გადასაჭრელად მნიშვნელის ნაცვლად ვწერთ (x-1-1) (x-1), ხოლო მრიცხველის ნაცვლად - პროდუქტს (x-1) (x-3-9 + x). მაგალითი 7.
მაგალითი 8.
2.3. არასტანდარტული ჩანაცვლება. მაგალითი 1.
მაგალითი 2.
მაგალითი 3.
მაგალითი 4.
მაგალითი 5.
მაგალითი 6.
მაგალითი 7.
ჟურნალი 4 (3 x -1) ჟურნალი 0.25 მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება y \u003d 3 x -1; მაშინ ეს უთანასწორობა ფორმას იღებს შესვლა 4 ჟურნალი 0.25 როგორც ჟურნალი 0,25 ჩვენ ვაკეთებთ ცვლილებას t \u003d log 4 y და ვიღებთ უტოლობას t 2 -2t + ≥0, რომლის ამოხსნაა ინტერვალი - ამრიგად, y- ის მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ გვაქვს ორი უმარტივესი უტოლობების ნაკრები აქედან გამომდინარე, ორიგინალური უთანასწორობა უდრის ორი ექსპონენციალური უტოლობების სიმრავლეს, ამ სიმრავლის პირველი უტოლობის ამოხსნა არის ინტერვალი 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ მაგალითი 8.
გადაწყვეტილება:
უთანასწორობა სისტემის ეკვივალენტურია მეორე უთანასწორობის ამოხსნა, რომელიც განსაზღვრავს DHS, არის ამ ნაკრებების ერთობლიობა x,
ვისთვის x > 0.
პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, ჩვენ შევიტანთ ცვლილებას შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას ან ბოლო უთანასწორობის ამოხსნების კომპლექტი მოცემულია მეთოდით ინტერვალით: -1< ტ < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, ჩვენ ვიღებთ ან ბევრი მათგანი xრომლებიც აკმაყოფილებენ ბოლო უთანასწორობას ეკუთვნის ODZ- ს ( x \u003e 0), შესაბამისად, ეს არის სისტემის გამოსავალი და აქედან ორიგინალური უთანასწორობა. პასუხი: 2.4. ხაფანგის სტუმარი. მაგალითი 1.
გადაწყვეტილება. ODZ უტოლობები x აკმაყოფილებს 0 პირობას მაგალითი 2.
ჟურნალი 2 (2 x + 1-x 2)\u003e ჟურნალი 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
პასუხი... (0; 0,5) უ.
პასუხი :
(3;6)
.
\u003d -ლოგი 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, შემდეგ გადაწერე ბოლო უტოლობა 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
ამ ნაკრების ამოხსნა არის ინტერვალი 0<у≤2 и 8≤у<+.
ანუ მთლიანობა 
... ამრიგად, ორიგინალური უთანასწორობა იკავებს x ყველა მნიშვნელობას 0 ინტერვალიდან<х≤1 и 2≤х<+.
.
... ამიტომ, ყველა x ინტერვალიდან 0
დასკვნა
ადვილი არ იყო C3 პრობლემების გადაჭრის სპეციალური მეთოდების პოვნა სხვადასხვა საგანმანათლებლო წყაროების დიდი სიმრავლიდან. შესრულებული სამუშაოს განმავლობაში მე შემეძლო რთული ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდების შესწავლა. ესენია: ექვივალენტური გადასვლები და ინტერვალების განზოგადებული მეთოდი, რაციონალიზაციის მეთოდი , არასტანდარტული ჩანაცვლება , ამოცანები ხაფანგებით ODZ- ზე. ეს მეთოდები არ არსებობს სკოლის სასწავლო გეგმაში.
სხვადასხვა მეთოდების გამოყენებით გადავწყვიტე გამოცდაზე შემოთავაზებული 27 უტოლობა C ნაწილში, კერძოდ C3. ეს უტოლობები მეთოდებით ამოხსნებთან ერთად საფუძვლად დაედო კრებულს "ლოგარითმული C3 უტოლობები ამოხსნებთან", რომელიც გახდა ჩემი ნამუშევრის საპროექტო პროდუქტი. დადასტურდა ჰიპოთეზა, რომელიც მე წამოვაყენე პროექტის დასაწყისში: C3 ამოცანების ეფექტურად გადაჭრა შესაძლებელია ამ მეთოდების ცოდნით.
გარდა ამისა, მე აღმოვაჩინე საინტერესო ფაქტები ლოგარითმების შესახებ. ჩემთვის საინტერესო იყო ამის გაკეთება. ჩემი დიზაინის პროდუქტები გამოდგება როგორც სტუდენტებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის.
დასკვნები:
ამრიგად, პროექტის დასახული მიზანი მიღწეულია, პრობლემა მოგვარებულია. მე მივიღე ყველაზე სრულყოფილი და მრავალმხრივი გამოცდილება პროექტის საქმიანობაში მუშაობის ყველა ეტაპზე. პროექტზე მუშაობის პროცესში, ჩემი განვითარების მთავარი გავლენა იყო გონებრივ კომპეტენციაზე, ლოგიკურ გონებრივ ოპერაციებთან დაკავშირებული საქმიანობა, შემოქმედებითი კომპეტენციის განვითარება, პირადი ინიციატივა, პასუხისმგებლობა, დაჟინება, აქტიურობა.
წარმატების გარანტია კვლევითი პროექტის შექმნისას გავხდი: სასკოლო მნიშვნელოვანი გამოცდილება, ინფორმაციის სხვადასხვა წყაროდან მოპოვების, მისი საიმედოობის შემოწმების, მნიშვნელობის მიხედვით შეფასების შესაძლებლობა.
მათემატიკაში უშუალო საგნობრივი ცოდნის გარდა, მან გააფართოვა პრაქტიკული უნარ-ჩვევები კომპიუტერულ მეცნიერებაში, მიიღო ახალი ცოდნა და გამოცდილება ფსიქოლოგიის სფეროში, დაამყარა კონტაქტები თანაკლასელებთან და შეისწავლა მოზრდილებთან თანამშრომლობა. პროექტის საქმიანობის განმავლობაში ჩამოყალიბდა ორგანიზაციული, ინტელექტუალური და კომუნიკაციური ზოგადი საგანმანათლებლო უნარები და შესაძლებლობები.
ლიტერატურა
1. კორიანოვი ა. გ., პროკოფიევი ა. უტოლობების სისტემები ერთ ცვლადთან (ტიპიური დავალებები C3).
2. Malkova AG მოსამზადებელი გამოცდისთვის მათემატიკაში.
3. სამაროვა SS ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა.
4. მათემატიკა. A.L.- ს რედაქტირებული სასწავლო სამუშაოების კრებული. სემიონოვი და ი.ვ. იაშჩენკო. -მ .: MTsNMO, 2009 წ. - 72 გვ. -
სტატია ეძღვნება 15 ამოცანის ანალიზს პროფილში USE მათემატიკაში 2017 წლისთვის. ამ დავალების შესრულებისას, სტუდენტებს სთავაზობენ უტოლობების ამოხსნას, ყველაზე ხშირად ლოგარითმული. მიუხედავად იმისა, რომ შეიძლება იყოს მითითებითი. ამ სტატიაში მოცემულია ლოგარითმული უტოლობების მაგალითების ანალიზი, მათ შორის, ლოგარითმის ფუძეზე ცვლადი. ყველა მაგალითი აღებულია მათემატიკის USE ამოცანების ღია ბანკიდან (პროფილი), ამიტომ ამ უთანასწორობას ალბათ გამოცდაზე წააწყდებით, როგორც ამოცანა 15. იდეალურია მათთვის, ვისაც სურს ისწავლოს, თუ როგორ უნდა გადაჭრას მე –15 დავალება მომხმარებლის პროფილის მეორე ნაწილიდან მოკლე დროში მათემატიკაში, რომ მეტი ქულა მიიღონ გამოცდაზე.
მათემატიკაში პროფილის გამოცდის 15 დავალების ანალიზი
| მაგალითი 1. გადაჭერი უთანასწორობა: |
მათემატიკის (პროფილის) მე –15 გამოცდის დავალებებში ხშირად გვხვდება ლოგარითმული უტოლობები. ლოგარითმული უტოლობების ამოხსნა იწყება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. ამ შემთხვევაში ორივე ლოგარითმის ბაზაზე ცვლადი არ არის, არსებობს მხოლოდ რიცხვი 11, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს დავალებას. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი შეზღუდვა, რაც აქ გვაქვს არის ის, რომ ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ორივე გამონათქვამი დადებითია:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
პირველი უთანასწორობა სისტემაში არის კვადრატული უთანასწორობა. მისი გადასაჭრელად ნამდვილად არ დაუშავებს მარცხენა მხარის ფაქტორებად დაყოფას. მე ვფიქრობ, რომ თქვენ იცით, რომ ფორმის ნებისმიერი კვადრატული ტრინომია 
ფაქტორიზებულია შემდეგნაირად:
სად და სად არის განტოლების ფესვები. ამ შემთხვევაში, კოეფიციენტია 1 (ეს არის რიცხვითი კოეფიციენტი წინ). კოეფიციენტი ასევე 1, და კოეფიციენტი არის intercept, ეს არის -20. ტრინომის ფესვებს ყველაზე ადვილად განსაზღვრავს ვიეტას თეორემა. ჩვენს მიერ მოცემული განტოლება, მაშინ ფესვების ჯამი ტოლი იქნება კოეფიციენტის საპირისპირო ნიშნით, ანუ -1, და ამ ფესვების პროდუქტი ტოლია კოეფიციენტის, ანუ -20. ადვილი მისახვედრია, რომ ფესვები იქნება -5 და 4.
ახლა შესაძლებელია უთანასწორობის მარცხენა მხარის ფაქტორიზაცია: title \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com– ის მიერ" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X -5 და 4. წერტილებში. აქედან გამომდინარე, უტოლობის სასურველი გადაწყვეტა არის ინტერვალი. მათთვის, ვისაც არ ესმის, რა წერია აქ, დეტალებს იხილავთ ვიდეოში, ამ მომენტიდან. იქ ასევე ნახავთ დეტალურ განმარტებას, თუ როგორ მოგვარდება სისტემის მეორე უთანასწორობა. ის წყდება. უფრო მეტიც, პასუხი ზუსტად იგივეა, რაც სისტემის პირველი უთანასწორობისთვის. ანუ, ზემოთ დაწერილი სიმრავლე არის უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონი.
ფაქტორიზაციის გათვალისწინებით, თავდაპირველი უთანასწორობა ფორმას იღებს:
ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ 11-ს მივუტანთ გამოხატვის ძალას პირველი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ხოლო მეორე ლოგარითმი გადავდეთ უთანასწორობის მარცხენა მხარეს, ხოლო მისი ნიშანი საპირისპიროდ შევცვალოთ:
შემცირების შემდეგ მივიღებთ:
ბოლო უთანასწორობა, მზარდი ფუნქციის გამო, უთანასწორობის ტოლფასია 
, რომლის ამოხსნაა ინტერვალი 
... მისი გადაკვეთა რჩება უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონთან და ეს იქნება პასუხი მთელ დავალებაზე.
ამრიგად, დავალების სასურველი პასუხია:
ჩვენ მივხვდით ამ დავალებას, ახლა მივმართავთ 15 USE ამოცანის შემდეგ მაგალითს მათემატიკაში (პროფილი).
| მაგალითი 2. უთანასწორობის ამოხსნა:
|
გამოსავალს ვიწყებთ ამ უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონის განსაზღვრით. თითოეული ლოგარითმის ძირში უნდა იყოს დადებითი რიცხვი, რომელიც არ არის ტოლი 1. ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ყველა გამონათქვამი უნდა იყოს დადებითი. ნულოვანი არ უნდა იყოს წილადის მნიშვნელში. ბოლო პირობა ამის ექვივალენტურია, ვინაიდან მხოლოდ სხვა შემთხვევაში ქრება მნიშვნელში ორივე ლოგარითმი. ყველა ეს პირობა განსაზღვრავს ამ უთანასწორობის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს, რომელიც განისაზღვრება შემდეგი უთანასწორობის სისტემით:
სათაური \u003d "(! LANG: გაცემულია QuickLaTeX.com- ის მიერ">!}
მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლოგარითმის ტრანსფორმაციის ფორმულები, რომ გავამარტივოთ უტოლობის მარცხენა მხარე. ფორმულის გამოყენება 
მოიცილეთ მნიშვნელი:
ახლა ჩვენ მხოლოდ ბაზის ლოგარითმები გვაქვს. ეს უკვე უფრო მოსახერხებელია. შემდეგ, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას და აგრეთვე ფორმულას, რათა გამოვიტანოთ დიდება ღირსეული გამოთქმა შემდეგ ფორმაში:
გამოთვლებში ჩვენ გამოვიყენეთ ის, რაც მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონშია. ჩანაცვლების გამოყენებით მივიღებთ გამოთქმას:
ჩვენ ვიყენებთ კიდევ ერთ ჩანაცვლებას:. შედეგად, მივდივართ შემდეგ შედეგამდე:
ასე რომ, ჩვენ თანდათან ვუბრუნდებით თავდაპირველ ცვლადებს. პირველი ცვლადი:
