რთული წარმოებულები. ლოგარითმული წარმოებული.
ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ ჩვენი დიფერენცირების ტექნიკის გაუმჯობესებას. ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაერთიანებთ გაშუქებულ მასალას, განვიხილავთ უფრო რთულ წარმოებულებს და ასევე გავეცნობით წარმოების, კერძოდ, ლოგარითმული წარმოებულის პოვნის ახალ ტექნიკასა და ხრიკებს.

მკითხველმა, რომელსაც აქვს დაბალი დონის ტრენინგი, უნდა მიმართოს სტატიას როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? ამოხსნის მაგალითები, რაც თქვენს უნარებს თითქმის ნულიდან გაზრდის. შემდეგ, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ გვერდი რთული ფუნქციის წარმოებული, გაიგეთ და ამოხსენით ყველა ჩემს მიერ მოყვანილი მაგალითები. ეს გაკვეთილი ლოგიკურად ზედიზედ მესამეა და მისი ათვისების შემდეგ, თქვენ თამამად განასხვავებთ საკმაოდ რთულ ფუნქციებს. არასასურველია დაიცვას პოზიცია „სად სხვაგან? და ეს საკმარისია! ”იმიტომ, რომ ყველა მაგალითი და გამოსავალი მიღებულია რეალური ტესტებიდან და ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

დავიწყოთ გამეორებით. გაკვეთილზე რთული ფუნქციის წარმოებულიჩვენ განვიხილეთ უამრავი მაგალითი დეტალური კომენტარებით. დიფერენციალური გამოთვლისა და მათემატიკური ანალიზის სხვა დარგების შესწავლისას, თქვენ ხშირად მოგიწევთ დიფერენცირება და ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი (და ყოველთვის არ არის საჭირო) მაგალითების დაწვრილებით დაწერა. ამიტომ, ჩვენ ვივარჯიშებთ დერივატების ზეპირად პოვნას. ამისათვის ყველაზე შესაფერისი "კანდიდატები" არიან უმარტივესი რთული ფუნქციების წარმოებულები, მაგალითად:

რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესით :

მომავალში მატანის სხვა თემების შესწავლისას, ხშირად ასეთი დეტალური ჩანაწერის საჭიროება არ არის საჭირო, ითვლება, რომ სტუდენტს შეუძლია მსგავსი წარმოებულების პოვნა ავტომატურ ავტოპილოტზე. წარმოვიდგინოთ, რომ დილის 3 საათზე მოხდა სატელეფონო ზარი და სასიამოვნო ხმამ იკითხა: "რა არის ორი X- ის ტანგენტის წარმოებული?" ამას უნდა მოჰყვეს თითქმის მყისიერი და თავაზიანი პასუხი: .

პირველი მაგალითი დაუყოვნებლივ იქნება განკუთვნილი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

მაგალითი 1

იპოვნეთ შემდეგი დერივატები ზეპირად, ერთი ნაბიჯით, მაგალითად: დავალების შესასრულებლად საჭიროა მხოლოდ მისი გამოყენება ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილი (თუ ჯერ არ გახსენებია). თუ რაიმე სირთულე გაქვთ, გირჩევთ, გაკვეთილი თავიდან წაიკითხოთ. რთული ფუნქციის წარმოებული.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

პასუხები გაკვეთილის ბოლოს

რთული წარმოებულები

საარტილერიო წინასწარი მომზადების შემდეგ, მაგალითები 3-4-5 ფუნქციის დანართებით ნაკლებად საშინელი იქნება. შესაძლოა, შემდეგი ორი მაგალითი გაუჭირდეს ვინმეს, მაგრამ თუ გესმით ისინი (ვიღაც დაზარალდება), დიფერენციალური გამოთვლით თითქმის ყველა დანარჩენი ბავშვურ ხუმრობად მოგეჩვენებათ.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, რთული ფუნქციის დერივატის პოვნისას, უპირველეს ყოვლისა, ეს აუცილებელია მართალიგაითვალისწინეთ დანართები. იმ შემთხვევაში, თუ ეჭვები არსებობს, სასარგებლო ტექნიკას შეგახსენებთ: მაგალითად, ჩვენ ვიღებთ "X" - ის ექსპერიმენტულ მნიშვნელობას და ვცდილობთ (გონებრივად ან პროექტზე) ეს მნიშვნელობა ჩავანაცვლოთ "საშინელ გამოხატვაში".

1) პირველ რიგში უნდა გამოვთვალოთ გამოხატვა, რაც ნიშნავს, რომ თანხა ყველაზე ღრმა ინვესტიციაა.

2) შემდეგ უნდა გამოთვალოთ ლოგარითმი:

4) შემდეგ აწიეთ კოსინუსი კუბურზე:

5) მეხუთე ეტაპზე სხვაობა:

6) და ბოლოს, ყველაზე შორეული ფუნქციაა კვადრატული ფესვი:

ფუნქციის დიფერენცირების რთული ფორმულა გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით, ყველაზე შორეული ფუნქციიდან დაწყებული და შინაგანიდან. Ჩვენ ვწყვეტთ:

როგორც ჩანს შეცდომების გარეშე.

(1) მიიღეთ კვადრატული ფესვის წარმოებული.

(2) მიიღეთ განსხვავების წარმოებული წესის გამოყენებით

(3) სამეულის წარმოებული ნულოვანია. მეორე ტერმინში ვიღებთ ხარისხის (კუბი) წარმოებულს.

(4) აიღეთ კოსინუსის წარმოებული.

(5) მიიღეთ ლოგარითმის წარმოებული.

(6) დაბოლოს, ჩვენ ვიღებთ ღრმა ბუდობის წარმოებულს.

ეს შეიძლება ძალიან რთულად ჟღერდეს, მაგრამ ეს არ არის ყველაზე სასტიკი მაგალითი. ავიღოთ, მაგალითად, კუზნეცოვის კოლექცია და დააფასებთ გაანალიზებული წარმოებული პროდუქტის ყველა ხიბლს და სიმარტივეს. მე შევამჩნიე, რომ მათ მოსწონთ მსგავსი რამ მისცეს გამოცდაზე იმის შესამოწმებლად, აცნობიერებს თუ არა სტუდენტი რთული ფუნქციის წარმოებულს, თუ არ ესმის.

შემდეგი მაგალითია დამოუკიდებელი გადაწყვეტა.

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მინიშნება: პირველ რიგში, გამოიყენეთ ხაზოვანი ხაზის წესები და პროდუქტის დიფერენცირების წესი

სრული ამოხსნა და პასუხი გაეცანით სახელმძღვანელოს ბოლოს.

ახლა დროა გადავიდეთ უფრო კომპაქტურ და საყვარელ საქმეზე.
იშვიათი არ არის, მაგალითად, მოცემულია არა ორი, არამედ სამი ფუნქციის პროდუქტი. როგორ მოვძებნოთ სამი ფაქტორის პროდუქტი?

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

პირველი, ვნახოთ, შესაძლებელია თუ არა სამი ფუნქციის პროდუქტის ორი ფუნქციის პროდუქტად გადაქცევა? მაგალითად, თუ პროდუქტში გვქონდა ორი მრავალხმიანობა, მაშინ შეგვეძლო ფრჩხილების გაფართოება. მაგრამ ამ მაგალითში ყველა ფუნქცია განსხვავებულია: ხარისხი, ექსპონენტი და ლოგარითმი.

ასეთ შემთხვევებში აუცილებელია თანმიმდევრულადგამოიყენოს პროდუქტის დიფერენცირების წესი ორჯერ

ხრიკი ის არის, რომ "y" - სთვის ჩვენ აღვნიშნავთ ორი ფუნქციის პროდუქტს: და "ve" - \u200b\u200bსთვის - ლოგარითმი:. რატომ შეიძლება ამის გაკეთება? Ეს არის - ეს არ არის ორი ფაქტორის პროდუქტი და წესი არ მუშაობს?! არაფერია რთული:

ახლა რჩება წესის მეორედ გამოყენება ფრჩხილებში:

თქვენ შეიძლება კვლავ გაუკუღმართებული იყოთ და ფრჩხილების გარეთ რამე დააყენოთ, მაგრამ ამ შემთხვევაში უმჯობესია პასუხის გაცემა ამ ფორმით დატოვოთ - ამის შემოწმება უფრო ადვილი იქნება.

განხილული მაგალითი შეიძლება გადაწყდეს მეორე გზით:

ორივე გამოსავალი აბსოლუტურად ეკვივალენტურია.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი ამოხსნისთვის, ნიმუში იგი გადაჭრილია პირველი გზით.

განვიხილოთ მსგავსი მაგალითები წილადებით.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ რამდენიმე გზით იაროთ:

ან მოსწონს ეს:

მაგრამ გამოსავალი უფრო კომპაქტურად დაიწერება, თუ უპირველეს ყოვლისა გამოვიყენებთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესს მთლიანი მრიცხველის აღება:

პრინციპში, მაგალითი მოგვარებულია და თუ მას ისე დატოვებთ, როგორც შეცდომაა, ეს შეცდომა არ იქნება. თუ დრო გაქვთ, ყოველთვის სასურველია შეამოწმოთ პროექტი, მაგრამ შესაძლებელია პასუხის გამარტივება? მოდით, შევამციროთ მრიცხველის გამოხატვა საერთო მნიშვნელობამდე და მოიცილეთ სამსართულიანი წილი:

დამატებითი გამარტივების მინუსი ის არის, რომ არსებობს შეცდომის დაშვების რისკი არა წარმოებული პროდუქტის პოვნაში, არამედ სკოლის ბანალურ გარდაქმნებში. მეორეს მხრივ, მასწავლებლები ხშირად უარყოფენ დავალებას და ითხოვენ წარმოებული წარმოშობის "გონებას".

მარტივი მაგალითი საკუთარი თავის გაკეთების გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვაგრძელებთ წარმოებული პროდუქტის პოვნის მეთოდებს და ახლა განვიხილავთ ტიპურ შემთხვევას, როდესაც დიფერენცირებისთვის შემოთავაზებულია "საშინელი" ლოგარითმი.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გრძელი გზა შეგიძლიათ გაიაროთ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით:

მაგრამ პირველი ნაბიჯი დაუყოვნებლივ გიბიძგებთ იმედგაცრუებაში - თქვენ უნდა აიღოთ უსიამოვნო წარმოებული ფრაქციული ხარისხით, შემდეგ კი ასევე ფრაქციიდან.

ამიტომ მანამდე როგორ მივიღოთ "ლამაზი" ლოგარითმის წარმოებული, ეს წინასწარ გამარტივებულია ცნობილი სკოლის თვისებების გამოყენებით:

! თუ თქვენ გაქვთ პრაქტიკული რვეული, დააკოპირეთ ეს ფორმულები იქ. თუ რვეული არ გაქვთ, გადაიტანეთ ისინი ფურცელზე, რადგან გაკვეთილის დანარჩენი მაგალითები ამ ფორმულების გარშემო ტრიალებს.

გამოსავალი შეიძლება სტრუქტურირებული იყოს ასე:

მოდით გადავაკეთოთ ფუნქცია:

იპოვნეთ წარმოებული:

თვითონ ფუნქციის წინასწარ კონფიგურაციამ გაცილებით გაუადვილა გამოსავალი. ამრიგად, როდესაც ასეთი ლოგარითმი შემოთავაზებულია დიფერენცირებისთვის, ყოველთვის მიზანშეწონილია მისი „დაშლა“.

ახლა კი რამდენიმე მარტივი მაგალითია დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ყველა გარდაქმნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ლოგარითმული წარმოებული

თუ ლოგარითმების წარმოებული ასეთი ტკბილი მუსიკაა, მაშინ ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა რიგ შემთხვევებში ლოგარითმის ხელოვნური ორგანიზება? შეიძლება! და კიდევ საჭირო.

მაგალითი 11

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მსგავსი მაგალითები ახლახან ვნახეთ. Რა უნდა ვქნა? თანმიმდევრულად შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი, შემდეგ კი სამუშაოს დიფერენცირების წესი. ამ მეთოდის მინუსი არის ის, რომ მიიღებთ უზარმაზარ სამსართულიან ნაწილს, რომელთან მოგვარებაც საერთოდ არ გსურთ.

თეორიასა და პრაქტიკაში არსებობს ისეთი მშვენიერი რამ, როგორიცაა ლოგარითმული წარმოებული. ლოგარითმების ორგანიზება შესაძლებელია ხელოვნურად, ორივე მხრიდან "ჩამოკიდებული" გზით:

შენიშვნა : მას შემდეგ ფუნქციამ შეიძლება მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები, შემდეგ, ზოგადად, უნდა გამოვიყენოთ მოდულები: რომელიც გაქრება დიფერენცირების შედეგად. ამასთან, მისაღებია ასევე გაკეთებული დიზაინი, სადაც გათვალისწინებულია დეფოლტის პარამეტრები რთული ღირებულებებს. თუ მთელი სიმძიმით, ორივე შემთხვევაში უნდა გაკეთდეს დათქმა.

ახლა თქვენ უნდა მაქსიმალურად "გაანადგუროთ" მარჯვენა მხარის ლოგარითმი (ფორმულები თქვენს თვალწინ?). მე აღწერს ამ პროცესს ძალიან დეტალურად:

სინამდვილეში, ჩვენ დიფერენცირებისკენ მივდივართ.
ინსულტის ქვეშ ორივე ნაწილს ვაერთებთ:

მარჯვენა მხარის წარმოებული საკმაოდ მარტივია, ამაზე კომენტარს არ გავაკეთებ, რადგან თუ ამ ტექსტს კითხულობთ, თამამად უნდა გაუმკლავდეთ მას.

რაც შეეხება მარცხენა მხარეს?

მარცხნივ გვაქვს რთული ფუნქცია... მე ვფიქრობ კითხვაზე: "რატომ არის ლოგარითმის ქვეშ ერთი ასო" იგრეკი "?"

ფაქტია, რომ ეს "ერთი ასო igrek" - თვითონ არის ფუნქცია (თუ ეს არ არის ძალიან მკაფიო, იხილეთ სტატია ნაგულისხმევი ფუნქციიდან გამომდინარე). მაშასადამე, ლოგარითმი გარე ფუნქციაა, ხოლო “თამაში” - შიდა ფუნქცია. და ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს :

მარცხენა მხარეს, თითქოს მაგიით, წარმოებული გვაქვს. გარდა ამისა, პროპორციის წესის თანახმად, ჩვენ "თამაშს" მარცხენა მხარის მნიშვნელიდან მარჯვენა მხარის ზემოდან ვყრით:

ახლა კი გავიხსენებთ, თუ რა სახის "თამაში" -ფუნქცია განვიხილეთ დიფერენცირებაში? ჩვენ ვუყურებთ მდგომარეობას:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 12

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გაკეთების შესახებ. გაკვეთილის ბოლოს ამ ტიპის დიზაინის ნიმუში.

ლოგარითმული დერივატის დახმარებით შესაძლებელი იყო 4-7 მაგალითის ამოხსნა, სხვა რამ არის ის, რომ იქ ფუნქციები უფრო მარტივია და, ალბათ, ლოგარითმული წარმოებულის გამოყენება არც თუ ისე გამართლებულია.

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ამ ფუნქციას ჯერ არ განვიხილავთ. ექსპონენციალური ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელშიც და ხარისხი და ფუძე დამოკიდებულია "x" - ზე... კლასიკური მაგალითი, რომელიც მოგეცემათ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ან ლექციაში:

როგორ მოვძებნოთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული?

აუცილებელია გამოყენებული ტექნიკის გამოყენება - ლოგარითმული წარმოებული. ჩვენ ორივე მხარეს ვკიდებით ლოგარითმებს:

როგორც წესი, ხარისხი ამოღებულია ლოგარითმის მარჯვენა მხრიდან:

შედეგად, მარჯვენა მხარეს გვაქვს ორი ფუნქციის პროდუქტი, რომელიც დიფერენცირდება სტანდარტული ფორმულის მიხედვით .

იპოვნეთ წარმოებული, ამისათვის ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ პარალიზის ქვეშ:

შემდგომი მოქმედებები მარტივია:

დაბოლოს:

თუ რაიმე ტრანსფორმაცია ბოლომდე არ არის ნათელი, გთხოვთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მაგალითი # 11.

პრაქტიკულ ამოცანებში, ექსპონენციალური ფუნქცია ყოველთვის უფრო რთული იქნება, ვიდრე განხილული ლექციის მაგალითზე.

მაგალითი 13

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმული წარმოებულს.

მარჯვენა მხარეს გვაქვს მუდმივი და ორი ფაქტორის პროდუქტი - "x" და "x ლოგარითმის ლოგარითმი" (ლოგარითმის ქვეშ სხვა ლოგარითმია ჩასმული). მუდმივის დიფერენცირებისას, როგორც გვახსოვს, უმჯობესია დაუყოვნებლივ ამოვიღოთ წარმოებული ნიშანი ისე, რომ იგი ფეხის ქვეშ არ აღმოჩნდეს; და რა თქმა უნდა გამოიყენეთ ნაცნობი წესი :

Თუ გ(x) და ვ(შენ) წარმოადგენს მათი არგუმენტების დიფერენცირებულ ფუნქციებს, შესაბამისად, წერტილებში x და შენ= გ(x), მაშინ რთული ფუნქცია ასევე დიფერენცირდება წერტილში xდა გვხვდება ფორმულით

წარმოებული პრობლემების გადაჭრისას ტიპიური შეცდომაა მარტივი ფუნქციების რთულ ფუნქციებზე დიფერენცირების წესების ავტომატური გადაცემა. ჩვენ ვისწავლით ამ შეცდომის თავიდან აცილებას.

მაგალითი 2.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

არასწორი გამოსავალი: გამოთვალეთ ფრჩხილებში თითოეული ტერმინის ბუნებრივი ლოგარითმი და მოძებნეთ წარმოებულების ჯამი:

სწორი გამოსავალი: ისევ განვსაზღვრავთ სად არის "ვაშლი" და სად არის "დაფქვილი ხორცი". ფრჩხილებში გამოხატვის ბუნებრივი ლოგარითმია "ვაშლი", ანუ ფუნქცია შუალედური არგუმენტის მიერ შენდა ფრჩხილებში გამოხატვა არის "mince", ანუ შუალედური არგუმენტი შენ დამოუკიდებელი ცვლადით x.

შემდეგ (ფორმულა 14-ის გამოყენებით წარმოებულთა ცხრილიდან)

ბევრ რეალურ ცხოვრებაში, ლოგარითმით გამოხატვა გარკვეულწილად უფრო რთულია, ამიტომ არსებობს გაკვეთილი

მაგალითი 3.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

არასწორი გამოსავალი:

სწორი გამოსავალი. კიდევ ერთხელ განვსაზღვრავთ სად არის "ვაშლი" და სად "დაფქული ხორცი". ფრჩხილებში გამოხატვის კოსინუსია (წარმოებულების ცხრილის ფორმულა 7) არის "ვაშლი", ის მზადდება 1 რეჟიმში, მხოლოდ მასზე მოქმედებს და ფრჩხილებში გამოხატულია გამოხატვა ის ემზადება 2 რეჟიმით, რაც მხოლოდ მასზე მოქმედებს. და, როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვუკავშირდებით ორ წარმოებულს სამუშაო ნიშანს. შედეგი:

რთული ლოგარითმული ფუნქციის დერივატივი ხშირი დავალებაა ტესტებში, ამიტომ გირჩევთ მოინახულოთ გაკვეთილი „ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული“.

პირველი მაგალითები იყო რთული ფუნქციებისათვის, რომელშიც დამოუკიდებელი ცვლადის შუალედური არგუმენტი იყო მარტივი ფუნქცია. მაგრამ პრაქტიკულ დავალებებში ხშირად მოითხოვენ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნას, სადაც შუალედური არგუმენტი ან თვითონ არის რთული ფუნქცია, ან შეიცავს ასეთ ფუნქციას. რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევებში? იპოვნეთ ასეთი ფუნქციების წარმოებულები ცხრილებისა და დიფერენცირების წესების გამოყენებით. როდესაც შუალედური არგუმენტის წარმოებული ნაპოვნია, ის უბრალოდ შეიცვლება ფორმულის სწორ ადგილზე. ქვემოთ მოცემულია ორი მაგალითი იმისა, თუ როგორ ხდება ეს.

ასევე სასარგებლოა იცოდეთ შემდეგი. თუ რთული ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სამი ფუნქციის ჯაჭვი

მაშინ მისი წარმოებული უნდა მოიძებნოს როგორც თითოეული ამ ფუნქციის წარმოებულების პროდუქტი:

ბევრ თქვენს საშინაო დავალებას შეიძლება დასჭირდეს გაკვეთილების გახსნა ახალ ფანჯარაში მოქმედებები ძალაუფლებით და ფესვებით და ფრაქციის მოქმედებები .

მაგალითი 4.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ წარმოებულ პროდუქტში, შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელ ცვლადთან დაკავშირებით x არ იცვლება:

ჩვენ ვამზადებთ პროდუქტის მეორე ფაქტორს და ვიყენებთ თანხის დიფერენცირების წესს:

ამიტომ, მეორე ტერმინი ფესვია

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ, რომ შუალედური არგუმენტი, რომელიც ჯამია, რადგან ერთ-ერთი ტერმინი შეიცავს რთულ ფუნქციას: დენის ამაღლება არის რთული ფუნქცია, ხოლო ის, რაც დგება დენისკენ, არის შუალედური არგუმენტი დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში. x.

ამიტომ, ჩვენ კვლავ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს:

ჩვენ ვაქცევთ პირველი ფაქტორის ხარისხს ძირში და განვასხვავებთ მეორე ფაქტორს, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ მუდმივის წარმოებული ნულის ტოლია:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ შუალედური არგუმენტის დერივატი, რომელიც საჭიროა პრობლემურ პირობებში საჭირო რთული ფუნქციის დერივატის გამოსათვლელად. y:

მაგალითი 5.იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

პირველ რიგში, გამოვიყენოთ ჯამის დიფერენცირების წესი:

მიიღო ორი რთული ფუნქციის წარმოებულთა ჯამი. ჩვენ მათგან პირველს ვხვდებით:

აქ სინუსის ძალაზე ამაღლება რთული ფუნქციაა, სინუსი კი შუალედური არგუმენტია დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში. x... ამიტომ, გზაში გამოვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს ფაქტორის ფაქტორირება :

ახლა ჩვენ ვხვდებით მეორე ტერმინს ფუნქციის წარმოებულის გენერატორებისგან y:

აქ კოსინუსის ძალაუფლების ამაღლება რთული ფუნქციაა ვდა თვით კოსინუსი შუალედური არგუმენტია დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში x... კვლავ გამოვიყენოთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი:

შედეგი არის საჭირო წარმოებული:

რამდენიმე რთული ფუნქციის წარმოებული ცხრილი

რთული ფუნქციებისათვის, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის საფუძველზე, მარტივი ფუნქციის წარმოებული ფორმულა განსხვავებულ ფორმას იღებს.

1. რთული ენერგიის ფუნქციის წარმოებული, სადაც შენ x
2. გამოხატვის ფუძის წარმოებული
3. ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული
4. ექსპონენციალური ფუნქციის განსაკუთრებული შემთხვევა
5. თვითნებური პოზიტიური ბაზის მქონე ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული და
6. რთული ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული, სადაც შენ - დიფერენცირებადი არგუმენტის ფუნქცია x
7. სინუსის წარმოებული
8. კოსინუსის წარმოება
9. ტანგენტის წარმოებული
10. კოტანგენტის წარმოებული პროდუქტი
11. რკალის წარმოებული
12. arccosine წარმოებული
13. არქტანგენტის წარმოებული
14. რკალის კოტანგენტის წარმოებული საშუალება

თუ ჩვენ დეფინიციას მივყვებით, მაშინ ფუნქციის წარმოებული წერტილი არის Δ ფუნქციის ზრდის ზრდის თანაფარდობის ზღვარი. y არგუმენტის ზრდაზე Δ x:

ყველაფერი გასაგებია. მაგრამ შეეცადეთ გამოთვალოთ ამ ფორმულის გამოყენებით, ვთქვათ, ფუნქციის წარმოებული ვ(x) = x 2 + (2x + 3) ე x ცოდვა x... თუ ყველაფერს აკეთებთ განმარტებით, ორიოდე გვერდის გამოთვლის შემდეგ უბრალოდ დაიძინებთ. ამიტომ, არსებობს უფრო მარტივი და ეფექტური გზები.

დასაწყისისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ ე.წ. ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება განასხვავონ ფუნქციების მთელი მრავალფეროვნებისაგან. ეს შედარებით მარტივი გამონათქვამებია, რომელთა წარმოებულები უკვე დიდი ხანია გათვლილია და შევიდა ცხრილში. ასეთი ფუნქციების დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია - მათ წარმოებულებთან ერთად.

ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

ელემენტარული ფუნქციები არის ყველაფერი ქვემოთ ჩამოთვლილი. ამ ფუნქციების წარმოებულები ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. უფრო მეტიც, მათი დამახსოვრება სულაც არ არის რთული - ამიტომ ისინი ელემენტარულია.

ასე რომ, ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები:

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
მუდმივი	ვ(x) = გ, გ ∈ რ	0 (დიახ, ნულოვანი!)
რაციონალური შეფასება	ვ(x) = x ნ	ნ · x ნ − 1
სინუსი	ვ(x) \u003d ცოდვა x	კოს x
კოსინუსი	ვ(x) \u003d კოს x	- ცოდვა x (მინუს სინუსი)
ტანგენსი	ვ(x) \u003d გ x	1 / კოს 2 x
კოტანგენტი	ვ(x) \u003d ctg x	- 1 / ცოდვა 2 x
ბუნებრივი ლოგარითმი	ვ(x) \u003d ln x	1/x
თვითნებური ლოგარითმი	ვ(x) \u003d ჟურნალი ა x	1/(x ლნ ა)
ექსპონენციალური ფუნქცია	ვ(x) = ე x	ე x (არაფერი შეცვლილა)

თუ ელემენტარული ფუნქცია გამრავლებულია თვითნებური მუდმივით, მაშინ ადვილად გამოითვლება ახალი ფუნქციის წარმოებული:

(გ · ვ)’ = გ · ვ ’.

ზოგადად, მუდმივები შეიძლება გადაადგილდეს წარმოებული ნიშნის გარეთ. Მაგალითად:

(2x 3) ”\u003d 2 · ( x 3) '\u003d 2 3 x 2 = 6x 2 .

ცხადია, ელემენტარული ფუნქციები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, გამრავლებული, გაყოფილი - და მრავალი სხვა. ასე გამოჩნდება ახალი ფუნქციები, რომლებიც აღარ არის განსაკუთრებით ელემენტარული, არამედ დიფერენცირებადია გარკვეული წესების შესაბამისად. ქვემოთ მოცემულია ეს წესები.

თანხისა და სხვაობის წარმოებული

მოდით ფუნქციები ვ(x) და გ(x), რომლის წარმოებულები ჩვენთვის ცნობილია. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ზემოთ განხილული ელემენტარული ფუნქციები. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ ფუნქციების ჯამისა და განსხვავების წარმოებული:

1. (ვ + გ)’ = ვ ’ + გ ’
2. (ვ − გ)’ = ვ ’ − გ ’

ასე რომ, ორი ფუნქციის ჯამის (სხვაობის) წარმოებული ტოლია წარმოებულთა ჯამის (სხვაობის). შეიძლება უფრო მეტი ტერმინი იყოს. Მაგალითად, ( ვ + გ + თ)’ = ვ ’ + გ ’ + თ ’.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ალგებრაში არ არსებობს ”გამოკლების” ცნება. არსებობს ცნება "უარყოფითი ელემენტი". ამიტომ განსხვავება ვ − გ შეიძლება დაიწეროს როგორც ჯამი ვ + (−1) გდა შემდეგ მხოლოდ ერთი ფორმულა რჩება - ჯამის წარმოებული.

ვ(x) = x 2 + ცოდვა x; გ(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

ფუნქცია ვ(x) არის ორი ელემენტარული ფუნქციის ჯამი, შესაბამისად:

ვ ’(x) = (x 2 + ცოდვა x)’ = (x 2) ’+ (ცოდვა x)’ = 2x + cos x;

ანალოგიურად ვმსჯელობთ ფუნქციისთვის გ(x) მხოლოდ სამი ტერმინი არსებობს უკვე (ალგებრის თვალსაზრისით):

გ ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

პასუხი:
ვ ’(x) = 2x + cos x;
გ ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ნაწარმოების წარმოებული

მათემატიკა ლოგიკური მეცნიერებაა, ამიტომ ბევრი მიიჩნევს, რომ თუ ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს, მაშინ პროდუქტის წარმოებული გაფიცვა"\u003e უდრის წარმოებულების პროდუქტს. მაგრამ ლეღვი თქვენ! პროდუქტის წარმოებული გამოითვლება აბსოლუტურად განსხვავებული ფორმულის გამოყენებით. კერძოდ:

(ვ · გ) ’ = ვ ’ · გ + ვ · გ ’

ფორმულა მარტივია, მაგრამ ხშირად უგულებელყოფილია. და არა მხოლოდ სკოლის მოსწავლეები, არამედ სტუდენტებიც. შედეგი არის არასწორად გადაჭრილი პრობლემები.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = x 3 cos x; გ(x) = (x 2 + 7x - 7) ე x .

ფუნქცია ვ(x) ორი ელემენტარული ფუნქციის პროდუქტია, ასე რომ ყველაფერი მარტივია:

ვ ’(x) = (x 3 კოს x)’ = (x 3) ’კოს x + x 3 (კოსზ x)’ = 3x 2 კოს x + x 3 (- ცოდვა x) = x 2 (3 ცალი) x − x ცოდვა x)

Ფუნქცია გ(x) პირველი ფაქტორი ცოტა უფრო რთულია, მაგრამ ზოგადი სქემა არ იცვლება ამით. ცხადია, ფუნქციის პირველი ფაქტორი გ(x) არის მრავალწევრი, ხოლო მისი წარმოებული არის ჯამის წარმოებული. Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = ((x 2 + 7x - 7) ე x)’ = (x 2 + 7x - 7) ” ე x + (x 2 + 7x - 7) ( ე x)’ = (2x + 7) ე x + (x 2 + 7x - 7) ე x = ე x · (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · ე x = x(x + 9) ე x .

პასუხი:
ვ ’(x) = x 2 (3 ცალი) x − x ცოდვა x);
გ ’(x) = x(x + 9) ე x .

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო ეტაპზე წარმოებული ხდება ფაქტორიზებული. ფორმალურად, ეს არ არის საჭირო, მაგრამ წარმოებულთა უმეტესობა არ არის გათვლილი თავისთავად, არამედ ფუნქციის გამოსაკვლევად. ეს ნიშნავს, რომ შემდგომი წარმოებული ნულის ტოლფასი იქნება, მისი ნიშნები გაირკვევა და ა.შ. ასეთი შემთხვევისთვის უკეთესია ფაქტორიზებული გამოხატვა.

თუ არსებობს ორი ფუნქცია ვ(x) და გ(x), და გ(x) ≠ 0 ჩვენთვის საინტერესო ნაკრებზე, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ფუნქცია თ(x) = ვ(x)/გ(x) ასეთი ფუნქციისთვის ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებული:

არ არის სუსტი, ჰა? საიდან გაჩნდა მინუსი? რატომ გ 2? და ასე! ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ფორმულა - ბოთლის გარეშე ვერ გაიგებთ. ამიტომ უმჯობესია შეისწავლოთ იგი კონკრეტული მაგალითებით.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ელემენტარულ ფუნქციებს, ამიტომ ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ კოეფიციენტის წარმოებული ფორმულა:

ტრადიციის მიხედვით, მრიცხველის ფაქტორებად დაყოფა მნიშვნელოვნად გაამარტივებს პასუხს:

რთული ფუნქცია სულაც არ არის ნახევარი კილომეტრის სიგრძის ფორმულა. მაგალითად, საკმარისია ფუნქციის აღება ვ(x) \u003d ცოდვა x და შეცვალოს ცვლადი xმოდით ვთქვათ x 2 + ln x... აღმოჩნდება ვ(x) \u003d ცოდვა ( x 2 + ln x) რთული ფუნქციაა. მას ასევე აქვს წარმოებული, მაგრამ ის არ იმუშავებს მის ზემოთ განხილული წესების შესაბამისად.

Როგორ უნდა იყოს? ასეთ შემთხვევებში, ცვლადი ჩანაცვლება და რთული ფუნქციის წარმოებული ფორმულა ეხმარება:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ', თუ x იცვლება ტ(x).

როგორც წესი, ამ ფორმულის გაგებით, სიტუაცია კიდევ უფრო სამწუხაროა, ვიდრე კოეფიციენტის წარმოებული. ამიტომ, უმჯობესია მისი ახსნა კონკრეტული მაგალითებით, თითოეული საფეხურის დეტალური აღწერით.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები: ვ(x) = ე 2x + 3 ; გ(x) \u003d ცოდვა ( x 2 + ln x)

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქცია ვ(x) გამოხატვის 2-ის ნაცვლად x + 3 ადვილი იქნება x, მაშინ მივიღებთ ელემენტარულ ფუნქციას ვ(x) = ე x ... ამიტომ, ჩვენ ჩავანაცვლებთ: მოდით 2 x + 3 = ტ, ვ(x) = ვ(ტ) = ე ტ ... ჩვენ ვეძებთ რთული ფუნქციის წარმოებულს ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ე ტ)’ · ტ ’ = ე ტ · ტ ’

ახლა კი - ყურადღება! ჩვენ ვაწარმოებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = 2x + 3. ჩვენ ვიღებთ:

ვ ’(x) = ე ტ · ტ ’ = ე 2x + 3 (2 x + 3)’ = ე 2x + 3 2 \u003d 2 ე 2x + 3

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ფუნქციას გ(x) ცხადია, საჭიროა ჩანაცვლება x 2 + ln x = ტ... Ჩვენ გვაქვს:

გ ’(x) = გ ’(ტ) · ტ ’\u003d (ცოდვა ტ)’ · ტ ’\u003d კოს ტ · ტ ’

უკუ ჩანაცვლება: ტ = x 2 + ln x... შემდეგ:

გ ’(x) \u003d cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x) '\u003d კოს ( x 2 + ln x) (2 x + 1/x).

Სულ ეს არის! როგორც ბოლო გამონათქვამიდან ჩანს, მთელი პრობლემა შემცირდა მიღებული თანხის გამოთვლამდე.

პასუხი:
ვ ’(x) \u003d 2 ე 2x + 3 ;
გ ’(x) = (2x + 1/x) კოს ( x 2 + ln x).

გაკვეთილებზე ხშირად ვიყენებ სიტყვას ”ინსულტი” ტერმინის ”წარმოებული” ნაცვლად. მაგალითად, ჯამიდან ჯამი უდრის დარტყმების ჯამს. უფრო გასაგებია? კარგი, კარგია.

ამრიგად, დერივატივის გაანგარიშება მცირდება ზემოთ მოყვანილი წესების შესაბამისად, იგივე დარტყმებისგან თავის დაღწევაზე. როგორც საბოლოო მაგალითი, მოდით დავუბრუნდეთ რაციონალური ექსპონენტის მქონე ექსპონენტის წარმოებულს:

(x ნ)’ = ნ · x ნ − 1

ცოტამ თუ იცის როლი ნ შეიძლება იყოს ფრაქციული რიცხვი. მაგალითად, ფესვი არის x 0,5 რა მოხდება, თუ ფესვის ქვეშ რაიმე ლამაზია? ისევ რთული ფუნქცია გამოვა - მათ მოსწონთ ასეთი კონსტრუქციების მიცემა ტესტებსა და გამოცდებზე.

Დავალება. იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

პირველ რიგში, მოდით გადავწეროთ ფესვი, როგორც ძალა რაციონალური მაჩვენებლით:

ვ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ახლა ჩვენ ჩანაცვლებას ვაკეთებთ: მოდით x 2 + 8x − 7 = ტ... წარმოებულს ვხვდებით ფორმულით:

ვ ’(x) = ვ ’(ტ) · ტ ’ = (ტ 0.5) ” ტ '\u003d 0,5 ტ −0.5 ტ ’.

ჩვენ ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას: ტ = x 2 + 8x - 7. ჩვენ გვაქვს:

ვ ’(x) \u003d 0,5 ( x 2 + 8x - 7) .50.5 ( x 2 + 8x - 7) ’\u003d 0,5 · (2 x + 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

დაბოლოს, დავუბრუნდეთ ფესვებს:

რთული ფუნქციები ყოველთვის არ შეესაბამება რთული ფუნქციის განმარტებას. თუ არსებობს y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის რთულად ვერ ჩაითვლება, y \u003d sin 2 x- სგან განსხვავებით.

ამ სტატიაში ნაჩვენებია რთული ფუნქციის ცნება და მისი იდენტიფიკაცია. მოდით ვიმუშაოთ დერივატის პოვნის ფორმულებზე დასკვნის ამოხსნის მაგალითებით. წარმოებულთა ცხრილის გამოყენება და დიფერენცირების წესი მნიშვნელოვნად ამცირებს წარმოებული პროდუქტის პოვნის დროს.

ძირითადი განმარტებები

განმარტება 1

რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტიც ფუნქციაა.

იგი აღნიშნულია ამ გზით: f (g (x)). გვაქვს, რომ ფუნქცია g (x) ითვლება f (g (x)) არგუმენტად.

განმარტება 2

თუ არსებობს f ფუნქცია და არის კოტანგენტის ფუნქცია, მაშინ g (x) \u003d ln x არის ბუნებრივი ლოგარითმის ფუნქცია. მივიღებთ, რომ რთული ფუნქცია f (g (x)) დაიწერება arctan (lnx) სახით. ან f ფუნქცია, რომელიც არის მე -4 დონემდე აყვანილი ფუნქცია, სადაც g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ითვლება მთლიან რაციონალურ ფუნქციად, მივიღებთ რომ f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

ცხადია, g (x) შეიძლება სახიფათო იყოს. Y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 მაგალითიდან ხედავთ, რომ გ-ს მნიშვნელობას აქვს კუბის ფესვი ფრაქციით. დასაშვებია ეს გამოთქმა აღინიშნოს, როგორც y \u003d f (f 1 (f 2 (x))). საიდან გვაქვს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია და f 1 არის ფუნქცია, რომელიც მდებარეობს ქვეშ კვადრატული ფესვი, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 არის ფრაქციული რაციონალური ფუნქცია.

განმარტება 3

ბუდობის ხარისხი განისაზღვრება ნებისმიერით ბუნებრივი რიცხვი და იწერება y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))).

განმარტება 4

ფუნქციის შემადგენლობის ცნება გულისხმობს წყობილი ფუნქციების რაოდენობას პრობლემის პირობების მიხედვით. ამოხსნისთვის, ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებულების პოვნის ფორმულა

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

მაგალითები

მაგალითი 1

იპოვნეთ y \u003d (2 x + 1) ფორმის რთული ფუნქციის წარმოებული.

გადაწყვეტილება

პირობით, ხედავთ, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია, ხოლო g (x) \u003d 2 x + 1 ხაზოვან ფუნქციად ითვლება.

მოდით გამოვიყენოთ წარმოებული ფორმულა რთული ფუნქციისთვის და დავწეროთ:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 * (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 * g (x) \u003d 2 * (2 x + 1); გ "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2" (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

აუცილებელია ფუნქციის გამარტივებული ორიგინალური ფორმის წარმოებული პროდუქტის პოვნა. მივიღებთ:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

აქედან ჩვენ გვაქვს ეს

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

შედეგები ემთხვევა.

ამ ტიპის პრობლემების გადაჭრისას მნიშვნელოვანია იმის გაგება, თუ სად განთავსდება f და g (x) ფორმის ფუნქცია.

მაგალითი 2

თქვენ უნდა იპოვოთ რთული ფუნქციების წარმოებულები y \u003d sin 2 x და y \u003d sin x 2 ფორმის.

გადაწყვეტილება

ფუნქციის პირველი აღნიშვნა ამბობს, რომ f არის კვადრატის ფუნქცია და g (x) არის სინუსური ფუნქცია. შემდეგ მივიღებთ იმას

y "\u003d (sin 2 x)" \u003d 2 sin 2 - 1 x (sin x) "\u003d 2 sin x cos x

მეორე ჩანაწერი გვიჩვენებს, რომ f არის სინუსური ფუნქცია და g (x) \u003d x 2 აღვნიშნავთ ენერგიის ფუნქციას. აქედან გამომდინარეობს, რომ რთული ფუნქციის პროდუქტი შეიძლება დაიწეროს როგორც

y "\u003d (sin x 2)" \u003d cos (x 2) (x 2) "\u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

წარმოებული ფორმულა y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))))) შეიძლება დაიწეროს როგორც y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (.. ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x)))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) · ... ... · F n "(x)

მაგალითი 3

იპოვნეთ y \u003d sin ფუნქციის წარმოებული (ln 3 a r c t g (2 x)).

გადაწყვეტილება

ეს მაგალითი გვიჩვენებს წერისა და ფუნქციების ადგილმდებარეობის სირთულეს. მაშინ y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) აღნიშნავს, სადაც f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) არის სინუსური ფუნქცია, 3-ის აწევის ფუნქცია ხარისხი, ფუნქცია ლოგარითმითა და ფუძით e, არქტანგენტული ფუნქცია და წრფივი.

რთული ფუნქციის განსაზღვრის ფორმულადან ის გვაქვს

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

ჩვენ ვიღებთ რა ვიპოვოთ

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) როგორც სინუსური წარმოებული წარმოებულების ცხრილის შესაბამისად, შემდეგ f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) როგორც დენის ფუნქციის წარმოებული, შემდეგ f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 ln 3 - 1 arctan (2 x) \u003d 3 ln 2 arctan (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) როგორც ლოგარითმული წარმოებული, შემდეგ f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)), როგორც არქტანგენტის წარმოებული, შემდეგ f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. F 4 (x) \u003d 2 x წარმოებული პროდუქტის პოვნისას, გამოაქვეყნეთ 2 წარმოებული ნიშნის გარეთ, დენის ფუნქციის წარმოებული ფორმულის ფორმულის გამოყენებით, რომლის ექსპონენტია 1-ის ტოლი, შემდეგ f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2.

ჩვენ ვაერთიანებთ შუალედურ შედეგებს და მივიღებთ ამას

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 არქტანი (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 \u003d \u003d 6 cos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

ასეთი ფუნქციების ანალიზი მატრიოშკას თოჯინებს წააგავს. დიფერენცირების წესები ყოველთვის ვერ გამოიყენება მკაფიოდ წარმოებული ცხრილის გამოყენებით. ხშირად საჭიროა რთული ფუნქციების წარმოებულების მოსაძებნად ფორმულის გამოყენება.

რთულ და რთულ ფუნქციებს შორის არსებობს გარკვეული განსხვავებები. ამის გარჩევის აშკარა შესაძლებლობით, წარმოებულების მოძებნა განსაკუთრებით ადვილი იქნება.

მაგალითი 4

აუცილებელია განვიხილოთ მსგავსი მაგალითის მოყვანა. თუ არსებობს y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია, მაშინ ის შეიძლება ჩაითვალოს როგორც რთული ფორმა g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. ცხადია, აუცილებელია ფორმულის გამოყენება რთული წარმოებული პროდუქტისთვის:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 · გ 2 - 1 (x) + 3 გ "(x) + 0 \u003d 2 გ (x) + 3 1 გ 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 გ (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 cos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x \u003d 2 tgx + 3 cos 2 x

Y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 ფორმის ფუნქცია რთულად არ ითვლება, რადგან მას აქვს t g x 2, 3 t g x და 1 ჯამი. ამასთან, t g x 2 ითვლება რთულ ფუნქციად, მაშინ მივიღებთ g (x) \u003d x 2 და f ფორმის ძალაუფლების ფუნქციას, რომელიც არის ტანგენტის ფუნქცია. ამისათვის თქვენ უნდა განასხვავოთ თანხის მიხედვით. ჩვენ ამას ვიღებთ

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 კოს 2 x

ჩვენ მივდივართ რთული ფუნქციის დერივატის მოძიებაში (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" "\u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g" (x) \u003d (x 2) "\u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

მივიღებთ რომ y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

რთული ფუნქციები შეიძლება შევიდეს კომპლექსურ ფუნქციებში, ხოლო რთული ფუნქციები თავად შეიძლება იყოს რთული ფუნქციები.

მაგალითი 5

მაგალითად, განვიხილოთ ფორმის რთული ფუნქცია y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

ეს ფუნქცია შეიძლება წარმოდგენილ იქნას, როგორც y \u003d f (g (x)), სადაც f არის ლოგარითმის ფუნქცია 3 ფუძემდე და g (x) ითვლება h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 ფორმის 2 ფუნქციის ჯამად. x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 და k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). ცხადია, y \u003d f (h (x) + k (x)).

განვიხილოთ ფუნქცია h (x). ეს არის თანაფარდობა l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 m (x) \u003d e x 2 + 3 3

გვაქვს რომ l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი n (x) \u003d x 2 + 7 და p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), სადაც p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) არის რთული ფუნქცია რიცხვითი კოეფიციენტით 3, p 1 კი კუბური ფუნქცია, p 2 როგორც კოსინუსური ფუნქცია, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - წრფივი ფუნქცია.

მივიღეთ, რომ m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) არის ორი ფუნქციის ჯამი q (x) \u003d ex 2 და r (x) \u003d 3 3, სადაც q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) რთული ფუნქციაა, q 1 არის ექსპონენციალური ფუნქციის ფუნქცია, q 2 (x) \u003d x 2 არის ენერგიის ფუნქცია.

ეს გვიჩვენებს, რომ h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

K (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ფორმის გამოხატვაზე გადასვლისას ჩანს, რომ ფუნქცია წარმოდგენილია როგორც რთული ფუნქცია s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) რაციონალური მთელი რიცხვით t (x) \u003d x 2 + 1, სადაც s 1 არის კვადრატის ფუნქცია და s 2 (x) \u003d ln x არის ლოგარითმული ფუძით e.

აქედან გამომდინარეობს, რომ გამოხატვა იღებს ფორმას k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x).

შემდეგ მივიღებთ იმას

y \u003d შესვლა 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

ფუნქციური სტრუქტურების მიხედვით გაირკვა, თუ როგორ და რა ფორმულები უნდა იქნას გამოყენებული გამოხატვის გამარტივებისას მისი დიფერენცირებისას. ამგვარი პრობლემების გასაცნობად და მათი გადაჭრის კონცეფციისთვის საჭიროა გადავდგათ ფუნქციის დიფერენცირების, ანუ მისი წარმოებული პროდუქტის პოვნის წერტილამდე.

თუ ტექსტში შეცდომა შენიშნეთ, გთხოვთ, აირჩიოთ იგი და დააჭირეთ Ctrl + Enter

რომელზეც გავაანალიზეთ უმარტივესი წარმოებულები და ასევე გავეცანით დიფერენცირების წესებს და წარმოებულების მოძიების ზოგიერთ ტექნიკას. ამრიგად, თუ თქვენ კარგად ვერ ფლობთ ფუნქციების წარმოებულებს, ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის ბოლომდე გასაგები, ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ სერიოზული განწყობა - მასალა არ არის მარტივი, მაგრამ შევეცდები წარმოვადგინო იგი მარტივად და მარტივად.

პრაქტიკაში, ხშირად რთულია რთული ფუნქციის წარმოებულთან გამკლავება, მე კი ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როდესაც დავალებების მიცემა გიჩნდება.

ჩვენ ვხედავთ ცხრილში წესს (No5) რთული ფუნქციის დიფერენცირებისთვის:

გაგება. პირველ რიგში, ყურადღება მივაქციოთ ჩანაწერს. აქ ორი ფუნქცია გვაქვს - და, უფრო მეტიც, ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ფუნქციაშია ჩასმული. ამ ტიპის ფუნქციებს (როდესაც ერთი ფუნქცია სხვაშია ჩასმული) უწოდებენ რთულ ფუნქციას.

ფუნქციას დავურეკავ გარე ფუნქციადა ფუნქცია - შინაგანი (ან ჩასმული) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა ჩანდეს დავალებების დასრულებისას. მე ვიყენებ არაფორმალურ გამონათქვამებს "გარე ფუნქცია", "შიდა" ფუნქცია მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად გაითვალისწინეთ:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "X", არამედ მთელი გამოსახულება, ამიტომ ის არ იმუშავებს ცხრილიდან დაუყოვნებლივ წარმოებული პროდუქტის პოვნას. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ შეუძლებელია პირველი ოთხი წესის გამოყენება, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ სინუსის ”გაწყვეტა” არ შეიძლება:

ამ მაგალითში, უკვე ჩემი განმარტებებიდან, ინტუიციურად ნათელია, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო პოლინომი - შიდა ფუნქცია (დანართი) და გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯი, რომელიც უნდა შესრულდეს რთული ფუნქციის დერივატის პოვნისას გაერკვნენ, რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

Როდესაც მარტივი მაგალითები აშკარად ჩანს, რომ პოლინომილი სინუსშია ჩასმული. მაგრამ რა მოხდება, თუ ყველაფერი აშკარა არ არის? როგორ ზუსტად განვსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელია შინაგანი? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რაც შეიძლება გაკეთდეს გონებრივად ან პროექტზე.

წარმოიდგინეთ, რომ უნდა გამოვთვალოთ გამოთვლის მნიშვნელობა at კალკულატორზე (ერთის ნაცვლად, შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

რას გამოვთვლით პირველ რიგში? პირველ რიგში თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება :, ასე რომ მრავალწევრი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეც საჭირო იქნება მოძიება, ამიტომ სინუსი იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ Გამოირკვა შიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოიყენოს რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი .

ჩვენ ვიწყებთ გადაწყვეტილების მიღებას. გაკვეთილიდან როგორ ვიპოვო წარმოებული? ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის ასე იწყება - ჩვენ ფრჩხილებში ვამაგრებთ გამონათქვამს და ვაყენებთ ინსულტს ზედა მარჯვენა მხარეს:

Პირველი იპოვნეთ გარე ფუნქციის წარმომქმნელი (სინუსი), გადახედეთ ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილს და შეამჩნიეთ რომ. ყველა ცხრილის ფორმულა ასევე გამოიყენება, თუ "x" შეიცვალა რთული გამოხატულებით, ამ შემთხვევაში:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, ჩვენ მას არ ვეხებით.

ეს აშკარად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების შედეგი საბოლოო დიზაინში ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ იდება გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობა მოხდა, დაწერეთ გამოსავალი და კვლავ წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ჩამოვწერთ:

მოდით გაერკვნენ, თუ სად გვაქვს გარე ფუნქცია და სად არის შიდა. ამისათვის შეეცადეთ (გონებრივად ან მონახაზზე) გამოთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა at. რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ, თუ რას უდრის ფუძე: რაც ნიშნავს, რომ პოლინომი არის შიდა ფუნქცია:

და მხოლოდ ამის შემდეგ ხდება ექსპონენტაცია, ამიტომ ენერგიის ფუნქცია არის გარე ფუნქცია:

ფორმულის მიხედვით პირველ რიგში, თქვენ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში, ხარისხიდან. ცხრილში ვეძებთ საჭირო ფორმულას: კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილი ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "x" - ისთვის, არამედ რთული გამოხატვისთვისაც... ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ იმას, რომ როდესაც გარე ფუნქციის წარმოებულს ვიღებთ, შინაგანი ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება შინაგანი ფუნქციის ძალიან მარტივი დერივატის პოვნა და შედეგის ოდნავ "კომბინირება":

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი ცალკე გადაწყვეტილებისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულობის გაგების გასაზრდელად მე მოვიყვან მაგალითს კომენტარების გარეშე, შეეცადე თვითონ გაარკვიო, იფიქრე სად არის გარე და სად არის შიდა ფუნქცია, რატომ არის გადაჭრილი ამოცანები ამ გზით?

მაგალითი 5

ა) იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ ჩვენ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირების მიზნით ის უნდა იყოს წარმოდგენილი ხარისხად. ამრიგად, პირველ რიგში, ჩვენ მივიღეთ ფუნქცია დიფერენცირებისთვის შესაფერისი ფორმით:

ფუნქციის გაანალიზებით მივალთ დასკვნამდე, რომ სამი ტერმინის ჯამი შინაგანი ფუნქციაა, ხოლო გამოხატვა - გარე ფუნქცია. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესს :

ხარისხი კვლავ წარმოდგენილია როგორც რადიკალი (ფესვი), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულისთვის ჩვენ ვიყენებთ მარტივ წესს ჯამის დიფერენცირებისთვის:

Შესრულებულია. ასევე შეგიძლიათ გამოხატოთ ფრჩხილებში საერთო მნიშვნელი და ჩამოწეროთ ყველაფერი ერთ წილადში. რა თქმა უნდა, სასიამოვნოა, მაგრამ როდესაც გრძელი რთული წარმოებულები მიიღება, უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, ზედმეტი შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის არასასიამოვნო იქნება ამის შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი ცალკე გადაწყვეტილებისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა ის ფაქტი, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად, შეიძლება გამოყენებულ იქნას კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი არაჩვეულებრივად გამოიყურება, როგორც პერვერსია. აი ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია რთული წარმოქმნის დიფერენცირების წესით წარმოებული პროდუქტის პოვნა:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენცირებისთვის - მინუსს ვდებთ დერივატის ნიშნის უკან და ვამაღლებთ კოსინუსს მრიცხველამდე:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, გამოსახულება არის გარე ფუნქცია.
ჩვენ ვიყენებთ ჩვენს წესს :

იპოვნეთ შიდა ფუნქციის დერივატი, შეცვალეთ კოსინუსი უკან:

Შესრულებულია. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ არ შეიშალოთ ნიშნები. სხვათა შორის, შეეცადეთ მისი მოგვარება წესით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი ცალკე გადაწყვეტილებისთვის (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე გადავხედეთ შემთხვევებს, როდესაც კომპლექსურ ფუნქციაში მხოლოდ ერთი დანართი გვქონდა. პრაქტიკულ დავალებებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც, ისევე როგორც მობუდარი თოჯინები, ერთმანეთში იდება 3, ან თუნდაც 4-5 ფუნქცია.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მოდით გავიგოთ ამ ფუნქციის დანართები. ტესტის მნიშვნელობის გამოყენებით გამოხატვის შეფასება. როგორ ვიანგარიშებთ კალკულატორს?

პირველი თქვენ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ arcsine არის ყველაზე ღრმა ბუდე:

შემდეგ ეს ერთ-ერთი arcsine უნდა იყოს კვადრატში:

დაბოლოს, 7-ს აწევა ძალაში:

ანუ, ამ მაგალითში ჩვენ გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი მიმაგრება, ხოლო შინაგანი ფუნქცია არის arcsine, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციური ფუნქცია.

ჩვენ ვიწყებთ გადაჭრას

წესის მიხედვით პირველი თქვენ უნდა მიიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვათვალიერებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვიპოვით ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: განსხვავება მხოლოდ იმაშია, რომ "x" - ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რაც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგს.