Қиылысатын қиылысқан жұп сызықтар. Теңдеудің канондық түрі дегеніміз не? Эллипс және оның канондық теңдеуі

8.3.15. А нүктесі түзудің бойында жатыр. А нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтық

8.3.16. Түзуге симметриялы түзу теңдеуін жаз

ұшаққа қатысты .

8.3.17. Жазықтықтағы проекциялардың теңдеулерін құрастыру келесі жолдар:

а) ;

б)

в) .

8.3.18. Жазықтық пен түзудің арасындағы бұрышты табыңыз:

а) ;

б) .

8.3.19. Нүкте табыңыз симметриялы нүкте түзулері арқылы өтетін жазықтыққа қатысты:

және

8.3.20. А нүктесі түзудің бойында жатыр

А нүктесінен түзу сызыққа дейінгі қашықтық тең. А нүктесінің координаталарын табыңыз.

§ 8.4. ЕКІНШІ ТӘРТІПТІ ҚИСЫҚТАР

Жазықтықта тік бұрышты координаталар жүйесін орнатып, екінші дәрежелі жалпы теңдеуді қарастырайық

онда .

Координаталары (8.4.1) теңдеуді қанағаттандыратын жазықтықтағы барлық нүктелердің жиыны деп аталады. қисық (түзу) екінші ретті.

Екінші ретті кез келген қисық үшін канондық деп аталатын тікбұрышты координаталар жүйесі бар, онда бұл қисық теңдеуі келесі формалардың біріне ие:

1) (эллипс);

2) (ойдан алынған эллипс);

3) (қиылысатын қиылысқан жұп сызықтар);

4) (гипербола);

5) (қиылысатын сызықтар жұбы);

6) (парабола);

7) (параллель түзулер жұбы);

8) (жұп қиялдағы параллель түзулер);

9) (сәйкес келетін жұп сызықтар).

1) - 9) теңдеулер шақырылады екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулері.

Екінші ретті қисық теңдеуін қысқарту есебін шешу канондық пішінтабуды қамтиды канондық теңдеуқисық және канондық координаттар жүйесі. Канондық түрге келтіру қисық сызықтың параметрлерін есептеуге және бастапқы координаталар жүйесіне қатысты оның орнын анықтауға мүмкіндік береді. Түпнұсқадан көшу тікбұрышты жүйекоординаттар канондық бастапқы координаталар жүйесінің осьтерін О нүктесінің айналасында қандай да бір j бұрышына айналдыру және координаталар жүйесін кейіннен параллель тасымалдау арқылы жүзеге асырылады.

Екінші ретті қисық инварианттар(8.4.1) бір тікбұрышты координаталар жүйесінен сол жүйенің екіншісіне ауысқанда мәндері өзгермейтін оның теңдеуінің коэффициенттерінің функциялары деп аталады.

Екінші ретті (8.4.1) қисық үшін квадрат координаталардағы коэффициенттердің қосындысы

,

жетекші мүшелердің коэффициенттерінен құралған анықтауыш

және үшінші ретті анықтауыш

инварианттар болып табылады.

s, d, D инварианттарының мәнін типті анықтау және екінші ретті қисықтың канондық теңдеуін құру үшін пайдалануға болады.

8.1-кесте.

Инварианттар негізінде екінші ретті қисықтардың жіктелуі

Эллиптикалық қисық		SD<0. Эллипс
		SD>0. елестетілген эллипс
		Нақты нүктеде қиылысатын ойша түзулер жұбы
Гиперболалық типті қисық		Гипербола
		Қиылысатын сызықтар жұбы
Параболалық қисық		Парабола
		Параллель сызықтар жұбы (әртүрлі, елестетілген немесе сәйкес келетін)

Эллипсті, гиперболаны және параболаны толығырақ қарастырайық.

Эллипс(8.1-сурет) - екі бекітілген нүктеге дейінгі қашықтықтардың қосындысы болатын жазықтықтағы нүктелердің орналасуы деп аталатын бұл ұшақ эллипс трюктері, тұрақты шама (фокустар арасындағы қашықтықтан үлкен). Бұл эллипс ошақтарының сәйкес келуін жоққа шығармайды. Егер фокустар бірдей болса, онда эллипс шеңбер болады.

Эллипс нүктесінен оның ошақтарына дейінгі қашықтықтардың жарты қосындысы а, ошақтар арасындағы қашықтықтың жартысы - с деп белгіленеді. Жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесі эллипстің фокустары координаталар басына қатысты Ох осінде симметриялы орналасатындай таңдалса, онда бұл координаталар жүйесінде эллипс теңдеу арқылы беріледі.

, (8.4.2)

шақырды эллипстің канондық теңдеуі, қайда .

Күріш. 8.1

Тіктөртбұрышты координаталар жүйесін таңдау кезінде эллипс координаталар осьтері мен координаталар басы бойынша симметриялы болады. Эллипстің симметрия осьтері оны атайды осьтер, ал симметрия центрі эллипстің ортасы. Сонымен бірге 2а және 2б сандары көбіне эллипс осі деп, ал а және b сандары деп аталады. үлкенжәне жартылай кіші осьтиісінше.

Эллипстің осьтерімен қиылысу нүктелері деп аталады эллипстің төбелері. Эллипстің төбелерінің координаталары (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b) болады.

Эллипс эксцентриситетнөмірді шақырды

0£c бастап

.

Бұл эксцентриситет эллипстің пішінін сипаттайтынын көрсетеді: е нөлге жақын болған сайын, эллипс соғұрлым шеңберге ұқсайды; e ұлғайған сайын эллипс ұзарады.

Енді біз екінші ретті қисықтардың аффиндік жіктелуі қисықтардың атаулары арқылы берілетінін, яғни екінші ретті қисықтардың аффиндік кластары кластар екенін көрсетеміз:

нақты эллипстер;

ойдан шығарылған эллипстер;

гипербола;

нақты қиылысатын түзулердің жұптары;

қиылысатын қиялдағы (конъюгаттық) жұптар;

параллель нақты түзулердің жұптары;

параллельді қиялдағы конъюгаттық сызықтардың жұптары;

сәйкес келетін нақты сызықтардың жұптары.

Біз екі тұжырымды дәлелдеуіміз керек:

A. Бір аттас барлық қисық сызықтар (яғни, барлық эллипстер, барлық гиперболалар және т.б.) бір-біріне аффинді эквивалентті.

B. Әртүрлі атаудағы екі қисық ешқашан аффинді эквивалент болмайды.

XV тарауда § 3 барлық эллипстердің олардың біріне аффинді эквивалентті екендігі дәлелденді, яғни шеңберлер және барлық гиперболалар гиперболалар.Демек, барлық эллипстер, сәйкесінше, барлық гиперболалар, аффинді эквивалентті. бір-бірін. Барлық елестетілген эллипс радиусы - - 1 шеңберге аффинді эквивалентті бола отырып, бір-біріне аффинді эквивалентті.

Барлық параболалардың аффинді эквиваленттілігін дәлелдейік. Біз одан да көп дәлелдейтін боламыз, атап айтқанда, барлық параболалар бір-біріне ұқсас. Кейбір координаталар жүйесінде берілген параболаның канондық теңдеуі арқылы берілгенін дәлелдеу жеткілікті

парабола сияқты

Ол үшін жазықтықты - коэффициенті бар ұқсастық түрлендіруге жатқызамыз:

Содан кейін біздің трансформация астында қисық

қисыққа түседі

яғни параболаға

Q.E.D.

Шіріген қисықтарға көшейік. § (9) және (11) формулаларында, 401 және 402 беттерінде кейбір (жұп тікбұрышты) координаталар жүйесінде қиылысатын түзулер жұбына ыдырайтын қисық теңдеуі бар екені дәлелденді.

Қосымша координаталық түрлендіруді орындау

Біз кез келген қиылысатын нақты, сәйкесінше жорамал конъюгат, түзулер жұбына ыдырайтын қисық кейбір аффинді координаталар жүйесінде теңдеу болатынын көреміз.

Параллель түзулердің жұбына бөлінетін қисықтарға келетін болсақ, олардың әрқайсысын (тіпті кейбір тікбұрышты координаталар жүйесінде де) теңдеу арқылы беруге болады.

сәйкесінше нақты

ойдан шығарылған, тікелей үшін. Координаталарды түрлендіру бізге осы теңдеулерді (немесе сәйкес сызықтар үшін) қоюға мүмкіндік береді.Бұл аттас барлық ыдырайтын екінші ретті қисықтардың аффинді эквиваленттілігін білдіреді.

Біз В тұжырымының дәлеліне жүгінеміз.

Ең алдымен, жазықтықтың аффинді түрлендіруі кезінде алгебралық қисық сызықтың реті өзгермейтінін ескереміз. Әрі қарай: кез келген екінші ретті ыдырайтын қисық жұп түзу болып табылады, ал аффинді түрлендіру кезінде түзу сызыққа, қиылысатын жұп қиылысатын жұпқа, параллель түзулер жұбына өтеді. параллельдер; сонымен қатар нақты сызықтар шындыққа айналады, ал елестетілген сызықтар қиялға айналады. Бұл аффинді түрлендіруді анықтайтын (3) формулалардағы (XI тарау, § 3) барлық коэффициенттердің нақты сандар болатынынан туындайды.

Берілген ыдырайтын екінші ретті қисыққа аффинді эквивалентті сызық бір аттас ыдырайтын қисық екені айтылғандардан шығады.

Біз ыдырамайтын қисықтарға өтеміз. Қайтадан, аффинді түрлендіру кезінде нақты қисық ойдан шығарылған қисыққа кіре алмайды және керісінше. Демек, елестетілген эллипс класы аффинді инвариантты.

Нақты ыдырамайтын қисықтардың кластарын қарастырайық: эллипс, гипербола, парабола.

Екінші ретті барлық қисықтардың ішінде әрбір эллипс және тек эллипс қандай да бір тіктөртбұрышта жатыр, ал параболалар мен гиперболалар (сонымен қатар барлық ыдырайтын қисықтар) шексіздікке дейін созылады.

Аффинді түрлендіру кезінде берілген эллипс бар ABCD тіктөртбұрышы түрлендірілген қисығы бар параллелограмға өтеді, сондықтан ол шексіздікке бара алмайды, демек эллипс болады.

Осылайша, эллипске аффинді эквивалентті қисық міндетті түрде эллипс болып табылады. Гиперболаға немесе параболаға аффинді эквивалентті қисық эллипс бола алмайды (және біз білетіндей ол да ыдырайтын қисық бола алмайды. Сондықтан аффиннің астында болатынын дәлелдеу ғана қалады) дәлелденгеннен шығады. Жазықтықты түрлендіру кезінде гипербола параболаға өте алмайды, және керісінше, бұл параболаның симметрия центрі болмайтындығынан, ал гиперболаның симметрия центрінің болмауынан туындаса керек.Бірақ симметрия центрі болмағандықтан парабола келесі тарауда ғана дәлелденетін болады, енді гипербола мен параболаның аффиндік эквивалентсіздігінің екінші, өте қарапайым дәлелін береміз.

Лемма. Егер параболаның берілген d түзуінің жазықтығында анықталған екі жарты жазықтықтың әрқайсысымен ортақ нүктелері болса, онда оның түзуімен кем дегенде бір ортақ нүктесі болады.

Шынында да, берілген параболаның теңдеуі бар координаталар жүйесі бар екенін көрдік

Осы координаталар жүйесіне қатысты d түзуінің теңдеуі болсын

Болжам бойынша, параболада екі нүкте бар, олардың бірі (1) теңдеуіне қатысты оң, ал екіншісі теріс жарты жазықтықта жатыр деп есептейміз. Сондықтан, біз жаза алатынымызды есте сақтаймыз

Мұны нақты мысалмен көрсету үшін мен сізге осы түсіндірмедегі келесі мәлімдемеге сәйкес келетінін көрсетемін: (нақты немесе ойдан шығарылған) P нүктесі (нақты немесе елестетілген) g түзуінде жатыр. Бұл жағдайда, әрине, келесі жағдайларды ажырату қажет:

1) нақты нүкте және нақты түзу,

2) нақты нүкте және жорамал түзу,

1-жағдай) бізден арнайы түсініктеме талап етпейді; мұнда кәдімгі геометрияның негізгі қатынастарының бірі бар.

2) жағдайда берілген жорамал түзумен қатар оған түзу комплексі конъюгаты міндетті түрде берілген нақты нүкте арқылы өтуі керек; демек, бұл нүкте біз ойша сызықты бейнелеу үшін қолданатын сәулелер шоғырының шыңымен сәйкес келуі керек.

Сол сияқты, 3) жағдайда нақты сызық берілген елестетілген нүктенің өкілі қызметін атқаратын нүктелердің сол түзу сызықты инволюциясының тірегімен бірдей болуы керек.

Ең қызықты жағдай 4) (96-сурет): мұнда, анық, күрделі конъюгаттық нүкте де күрделі конъюгаттық түзуде жатуы керек және осыдан Р нүктесін бейнелейтін нүктелердің инволюциясының әрбір жұп нүктелері жатуы керек деген қорытынды шығады. g түзуін бейнелейтін сызықтардың инволюциясының кейбір жұбында, яғни бұл инволюциялардың екеуі де бір-біріне қатысты перспективті орналасуы керек; оның үстіне екі инволюцияның да көрсеткілері перспективада орналасқан екен.

Жалпы алғанда, күрделі облысқа да назар аударатын жазықтықтың аналитикалық геометриясында оның барлық нақты нүктелері мен түзулерінің жиынына жаңа элементтер ретінде инволюциялық нүктелер жиынын қоссақ, бұл жазықтықтың толық нақты бейнесін аламыз. жоғарыда қарастырылған сандар олардың бағыттарының көрсеткілерімен бірге. Күрделі геометрияның мұндай нақты бейнесін салу қандай формада болатынын жалпы сипаттайтын болсам, бұл жерде жеткілікті болады. Бұл ретте мен қарапайым геометрияның алғашқы ұсыныстары әдетте ұсынылатын тәртіпті ұстанамын.

1) Олар болмыстың аксиомаларынан басталады, олардың мақсаты қарапайым геометриямен салыстырғанда кеңейтілген аймақта жаңа аталған элементтердің болуының нақты тұжырымын беру.

2) Содан кейін 1) тармақта анықталған кеңейтілген аймақта екенін көрсететін байланыс аксиомалары! (әрбір) екі нүкте арқылы бір және бір ғана түзу өтеді және бұл (кез келген) екі түзудің бір және бір ғана ортақ нүктесі бар.

Сонымен қатар, біз жоғарыда айтқанымыздай, берілген элементтердің нақты болуына байланысты әр уақытта төрт жағдайды ажыратуға тура келеді және нүктелер мен түзулердің инволюциялары бар нақты қандай конструкциялар кескін ретінде қызмет ететінін ойлау өте қызықты сияқты. осы күрделі қатынастардан.

3) Орналасу (тәртіп) аксиомаларына келетін болсақ, мұнда нақты қатынастармен салыстырғанда мүлде жаңа жағдайлар орын алады; атап айтқанда, бір қозғалмайтын түзуде жатқан барлық нақты және күрделі нүктелер, сондай-ақ бір қозғалмайтын нүкте арқылы өтетін барлық сәулелер екі өлшемді континуумды құрайды. Өйткені, әрқайсымыз функциялар теориясын зерттеуден күрделі айнымалы мәндердің жиынтығын жазықтықтың барлық нүктелерімен көрсету әдетін үйрендік.

4) Соңында, сабақтастық аксиомаларына қатысты мен мұнда қандай да бір нақты нүктеге қалағаныңызша жақын жатқан күрделі нүктелерді қалай көрсету керектігін ғана көрсетемін. Мұны істеу үшін алынған нақты Р нүктесі арқылы (немесе оған жақын басқа нақты нүкте арқылы) қандай да бір түзу сызып, онда бір-бірін ажырататын екі жұп нүктелерді қарастыру керек (яғни, қиылысатын жолмен жатыр). «) әр түрлі жұптардан алынған екі нүкте бір-біріне жақын және Р нүктесіне жақын болатындай жұп нүктелер (97-сурет); егер енді нүктелерді шексіз жақындастырсақ, онда аталған нүктелер жұптарымен анықталған инволюция деградацияланады, яғни оның осы уақытқа дейінгі күрделі қос нүктелерінің екеуі де нүктемен сәйкес келеді.Осы инволюциямен бейнеленген екі елестетілген нүктенің әрқайсысы (бір немесе бірге басқа көрсеткі) өтеді, демек P-ге жақын бір нүктеге дейін немесе тіпті тікелей P-ге дейін үздіксіз. Әрине, бұл үздіксіздік ұғымдарын жақсы пайдалану үшін пайдалана алу үшін олармен егжей-тегжейлі жұмыс істеу керек.

Бұл құрылыстың бәрі кәдімгі нақты геометриямен салыстырғанда біршама ауыр және жалықтыратын болса да, ол салыстыруға келмейтін көп нәрсені бере алады. Атап айтқанда, ол олардың нақты және күрделі элементтерінің жиыны ретінде түсінілетін алгебралық кескіндерді толық геометриялық айқындық деңгейіне көтеруге қабілетті және оның көмегімен фигуралардың өздеріне алгебраның негізгі теоремасы сияқты теоремаларды анық түсінуге болады. немесе Безут теоремасы екі қисық ретінің, жалпы айтқанда, дәл ортақ нүктелері бар. Бұл үшін, әрине, негізгі ережелерді осы уақытқа дейін жасалғаннан әлдеқайда нақты және көрнекі түрде түсіну қажет; дегенмен әдебиетте мұндай зерттеулерге қажетті барлық материалдар бар.

Бірақ көп жағдайда бұл геометриялық интерпретацияны қолдану, оның барлық теориялық артықшылықтарымен бірге, соған қарамастан, оның іргелі мүмкіндігіне қанағаттануға және іс жүзінде неғұрлым аңғал көзқарасқа оралуға тура келетін қиындықтарға әкеледі, ол келесідей: күрделі нүкте үш күрделі координаталар жиынтығы болып табылады және онымен нақты нүктелермен бірдей жұмыс істеуге болады. Шынында да, кез келген іргелі пайымдаудан бас тарта отырып, ойдан шығарылған элементтерді осылайша енгізу, біз ойдан шығарылған циклдік нүктелермен немесе сфералар шеңберімен айналысуға тура келетін жағдайларда әрқашан жемісті болды. Жоғарыда айтылғандай, Понселе бұл мағынада алғаш рет ойдан шығарылған элементтерді қолдана бастады; осыған байланысты оның ізбасарлары басқа француз геометрлері болды, негізінен Чалл және Дарбу; Германияда бірқатар геометрлер, әсіресе Ли, ойдан шығарылған элементтерді түсінуді үлкен табыспен қолданды.

Қиял әлеміне осылайша шегініс жасай отырып, мен курсымның екінші бөлімін аяқтаймын және жаңа тарауға көшемін,

Екінші ретті сызықтар

Декарттық тікбұрышты координаталары 2-дәрежелі алгебралық теңдеуді қанағаттандыратын жазық түзулер

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

(*) теңдеу нақты геометриялық кескінді анықтамауы мүмкін, бірақ жалпылық үшін мұндай жағдайларда елестетілген сызықтық бейнені анықтайды деп айтылады. n. Жалпы теңдеудің (*) коэффициенттерінің мәндеріне байланысты оны координаталар жүйесінің координат жүйесінің басы мен айналуын кейбір бұрышпен төмендегі 9 канондық форманың біріне параллель аудару арқылы түрлендіруге болады, олардың әрқайсысы сызықтардың белгілі бір класына сәйкес келеді. Дәл,

үзілмейтін сызықтар:

y 2 = 2px - параболалар,

үзу сызықтары:

x 2 - a 2 \u003d 0 - параллель түзулердің жұптары,

x 2 + a 2 \u003d 0 - қиялдағы параллель сызықтардың жұптары,

x 2 = 0 - сәйкес келетін параллель түзулердің жұптары.

Л.-ға көзқарасты зерттеу. жалпы теңдеуді канондық түрге келтірмей жүзеге асыруға болады. Бұл деп аталатын құндылықтарды бірлесіп қарастыру арқылы қол жеткізіледі. негізгі инварианттары L.v. n. - координаталар жүйесін параллель аудару және айналдыру кезінде мәндері өзгермейтін (*) теңдеуінің коэффициенттерінен тұратын өрнектер:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Сонымен, мысалы, эллипс ыдырамайтын сызықтар ретінде олар үшін Δ ≠ 0 болатындығымен сипатталады; δ инвариантының оң мәні эллипстерді ыдырамайтын сызықтардың басқа түрлерінен ажыратады (гиперболалар үшін δ

Үш негізгі инварианттар Δ, δ және S LV анықтайды. (параллель түзулерден басқа) Евклид жазықтығының қозғалысына дейін (Қозғалыс бөлімін қараңыз): егер екі түзудің сәйкес инварианттары Δ, δ және S тең болса, онда мұндай түзулерді қозғалыс арқылы қоюға болады. Басқаша айтқанда, бұл түзулер жазықтықтың қозғалыстар тобына қатысты эквивалентті (метрикалық эквивалентті).

Л. классификациялары бар. түрлендірулердің басқа топтары тұрғысынан. Осылайша, қозғалыстар тобына қарағанда салыстырмалы түрде жалпылама - аффиндік түрлендірулер тобы (Аффиндік түрлендірулерді қараңыз) - бірдей канондық түрдегі теңдеулер арқылы анықталған кез келген екі сызық эквивалентті болып табылады. Мысалы, екі ұқсас Л. в. n. (ұқсастықты қараңыз) эквивалент болып саналады. Сызықтық c.v әртүрлі аффиндік кластар арасындағы байланыстар. проекциялық геометрия тұрғысынан классификацияны орнатуға мүмкіндік береді (проекциялық геометрияны қараңыз), онда шексіздіктегі элементтер ерекше рөл атқармайды. Нағыз ыдырамайтын Л. т.б.: эллипстер, гиперболалар және параболалар бір проекциялық класты құрайды – нақты сопақ сызықтар класы (сопақшалар). Шынайы сопақ сызығы шексіздіктегі түзуге қатысты орналасуына байланысты эллипс, гипербола немесе парабола болып табылады: эллипс дұрыс емес түзуді екі елестетілген нүктеде, гипербола екі түрлі нақты нүктеде, парабола дұрыс емес түзуге тиеді. ; бұл сызықтарды бір-біріне қабылдайтын проекциялық түрлендірулер бар. L.v.-тің тек 5 проекциялық эквиваленттік класы бар. Н.Дәлірек айтқанда,

бұзылмаған сызықтар

(x 1 , x 2 , x 3- біртекті координаттар):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - нақты сопақ,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - ойдан шығарылған сопақ,

бұзылған сызықтар:

x 1 2 - x 2 2= 0 - нақты сызықтар жұбы,

x 1 2 + x 2 2= 0 - ойдан шығарылған сызықтар жұбы,

x 1 2= 0 - сәйкес келетін нақты сызықтар жұбы.

Иванов А.Б.

Ұлы Совет энциклопедиясы. - М.: Совет энциклопедиясы. 1969-1978 .

Басқа сөздіктерде «Екінші ретті жолдардың» не екенін қараңыз:

Тік бұрышты нүкте координаталары 2-дәрежелі алгебралық теңдеуді қанағаттандыратын жазық түзулер. Екінші ретті сызықтардың арасында эллипс (атап айтқанда, шеңберлер), гиперболалар, параболалар ... Үлкен энциклопедиялық сөздік

Тік бұрышты нүкте координаталары 2-дәрежелі алгебралық теңдеуді қанағаттандыратын жазық түзулер. Екінші ретті сызықтардың арасында эллипс (атап айтқанда, шеңберлер), гиперболалар, параболалар бар. * * * ЕКІНШІ ТӘРТІПТІ ЖОЛДАР ЕКІНШІ ТӘРТІПТІ ЖОЛДАР,… … энциклопедиялық сөздік

Жазық сызықтар, тікбұрышты k px нүктелерінің координаталары алгебраларды қанағаттандырады. 2-дәрежелі урний. ішінде Л. в. эллипстер (әсіресе шеңберлер), гиперболалар, параболалар... Жаратылыстану. энциклопедиялық сөздік

Жазық сызық, алгебраны қанағаттандыру үшін декарттық тікбұрышты координаталар. 2-дәрежелі теңдеу (*) теңдеу нақты геометриялық мәнді анықтамауы мүмкін. сурет, бірақ мұндай жағдайларда жалпылықты сақтау үшін олар ... ... анықтайды дейді. Математикалық энциклопедия

Декарттық жүйедегі координаталары алгебраны қанағаттандыратын 3 өлшемді нақты (немесе күрделі) кеңістіктің нүктелерінің жиыны. 2-дәрежелі теңдеу (*) (*) теңдеу нақты геометриялық мәнді анықтамауы мүмкін. суреттер, осындай ...... Математикалық энциклопедия

Қисық сызықтардың геометриясында жиі қолданылатын бұл сөздің нақты мағынасы жоқ. Бұл сөз тұйық емес және тармақталмаған қисық сызықтарға қолданылғанда, қисық тармақ әрбір үздіксіз жеке ... ... білдіреді. Энциклопедиялық сөздік Ф.А. Брокхаус және И.А. Эфрон

Екінші ретті сызықтар, екі диаметрлі, әрқайсысы осы қисықтың хордаларын екіге бөлетін, екіншісіне параллель. SD екінші ретті сызықтардың жалпы теориясында маңызды рөл атқарады. Эллипстің оның S. д. шеңберіне параллель проекциясымен ... ...

Оң жақ дөңгелек Конусты оның төбесінен өтпейтін жазықтықтармен кесу арқылы алынған түзулер. Қ.с. үш түрлі болуы мүмкін: 1) кесу жазықтығы конустың барлық генераторларын оның бір қуысының нүктелерінде қиып өтеді; түзу… … Ұлы Совет энциклопедиясы

Оң жақ дөңгелек конусты оның төбесінен өтпейтін жазықтықтармен кесу арқылы алынған түзулер. Қ.с. үш түрлі болуы мүмкін: 1) кесу жазықтығы конустың барлық генераторларын оның бір қуысының нүктелерінде қиып өтеді (сурет, а): қиылысу сызығы ... ... Математикалық энциклопедия

Геометрия бөлімі. Алгебралық геометрияның негізгі ұғымдары қарапайым геометриялық кескіндер (нүктелер, түзулер, жазықтықтар, қисықтар және екінші ретті беттер) болып табылады. A. g. зерттеудің негізгі құралдары координаттар әдісі (төменде қараңыз) және әдістері болып табылады ... ... Ұлы Совет энциклопедиясы

Кітаптар

• Аналитикалық геометриядан қысқаша курс, Ефимов Николай Владимирович. Аналитикалық геометрияның зерттеу пәні декарттық координаталар бойынша бірінші немесе екінші дәрежелі теңдеулер арқылы берілген фигуралар болып табылады. Жазықтықта бұл түзу сызықтар мен екінші ретті сызықтар. ...

Бұл теңдеудің жалпы қабылданған стандартты түрі, ол бірнеше секунд ішінде қандай геометриялық объектіні анықтайтыны белгілі болады. Сонымен қатар, канондық пішін көптеген практикалық есептерді шешуге өте ыңғайлы. Мәселен, мысалы, канондық теңдеу бойынша «жалпақ» түзу, біріншіден, бұл түзу екені бірден түсінікті, екіншіден, оған жататын нүкте мен бағыт векторы жай ғана көрінеді.

Әлбетте, кез келген 1 реттік жолтүзу сызықты бейнелейді. Екінші қабатта енді бізді күтуші емес, тоғыз мүсіннен тұратын алуан түрлі компания күтіп тұр:

Екінші ретті жолдардың классификациясы

Арнайы әрекеттер жиынтығының көмегімен кез келген екінші ретті сызықтық теңдеу келесі түрлердің біріне келтіріледі:

(және оң нақты сандар)

1) эллипстің канондық теңдеуі болып табылады;

2) гиперболаның канондық теңдеуі болып табылады;

3) параболаның канондық теңдеуі болып табылады;

4) – ойдан шығарылғанэллипс;

5) - қиылысатын сызықтар жұбы;

6) - жұп ойдан шығарылғанқиылысатын түзулер (бастапқыда жалғыз нақты қиылысу нүктесімен);

7) - параллель түзулер жұбы;

8) - жұп ойдан шығарылғанпараллель түзулер;

9) сәйкес келетін жұп сызықтар.

Кейбір оқырмандар тізім толық емес сияқты әсер қалдыруы мүмкін. Мысалы, №7 тармақта теңдеу жұпты орнатады тікелей, осіне параллель және сұрақ туындайды: у осіне параллель түзулерді анықтайтын теңдеу қайда? Жауап: ол канон деп саналмайды. Түзу сызықтар 90 градусқа бұрылған бірдей стандартты жағдайды білдіреді және классификациядағы қосымша жазба артық, өйткені ол түбегейлі жаңа ештеңені алып жүрмейді.

Осылайша, 2-ші ретті жолдардың тоғыз және тек тоғыз түрлі түрі бар, бірақ іс жүзінде ең көп таралғандары эллипс, гипербола және парабола.

Алдымен эллипсті қарастырайық. Әдеттегідей, мен есептерді шешу үшін үлкен маңызы бар нүктелерге назар аударамын, ал егер сізге формулаларды егжей-тегжейлі шығару, теоремаларды дәлелдеу қажет болса, мысалы, Базылев / Атанасян немесе Александровтың оқулығына жүгініңіз.

Эллипс және оның канондық теңдеуі

Орфография ... «эллипсті қалай салуға болады», «эллипс пен сопақ арасындағы айырмашылық» және «элебс эксцентриктігі» қызықтыратын кейбір Яндекс қолданушыларының қателерін қайталамауыңызды сұраймыз.

Эллипстің канондық теңдеуінің пішіні бар, мұндағы оң нақты сандар және . Мен эллипстің анықтамасын кейінірек тұжырымдаймын, бірақ қазір сөйлесуден үзіліс жасап, ортақ мәселені шешудің уақыты келді:

Эллипсті қалай салуға болады?

Иә, оны алыңыз да, оны сызыңыз. Тапсырма жалпыға ортақ, ал оқушылардың едәуір бөлігі сызбаны сауатты түрде орындай алмайды:

1-мысал

Теңдеу арқылы берілген эллипсті тұрғызыңыз

Шешім: алдымен теңдеуді канондық түрге келтіреміз:

Неге әкеледі? Канондық теңдеудің бір артықшылығы – ол бірден анықтауға мүмкіндік береді эллипс төбелерінүктелерінде орналасқан. Бұл нүктелердің әрқайсысының координаталары теңдеуді қанағаттандыратынын көру оңай .

Бұл жағдайда :


Сызық сегментішақырды негізгі осьэллипс;
сызық сегменті – кіші ось;
саны шақырды жартылай негізгі осьэллипс;
саны – жартылай кіші ось.
біздің мысалда: .

Осы немесе басқа эллипстің қалай көрінетінін жылдам елестету үшін оның канондық теңдеуінің «a» және «be» мәндерін қараңыз.

Барлығы жақсы, ұқыпты және әдемі, бірақ бір ескерту бар: мен суретті бағдарлама арқылы жасадым. Және кез келген қосымшамен сурет салуға болады. Алайда, қатал шындықта үстелдің үстінде дойбы қағаз жатыр, ал тышқандар қолымызды айнала билейді. Әртістік қабілеті бар адамдар, әрине, таласуы мүмкін, бірақ сізде де тышқандар бар (кішкентай болса да). Адамзаттың сызғышты, циркульді, транспортирді және басқа да сурет салуға арналған қарапайым құрылғыларды ойлап табуы бекер емес.

Осы себепті біз тек төбелерді біле отырып, эллипсті дәл сыза алуымыз екіталай. Әлі де жақсы, егер эллипс кішкентай болса, мысалы, жарты осьтермен. Немесе масштабты және сәйкесінше сызбаның өлшемдерін азайтуға болады. Бірақ жалпы жағдайда қосымша ұпайларды табу өте қажет.

Эллипсті салудың екі тәсілі бар - геометриялық және алгебралық. Маған циркуль мен сызғыштың көмегімен салу ұнамайды, өйткені қысқа алгоритм мен сызбаның маңызды ретсіздігі. Төтенше жағдайда оқулыққа жүгініңіз, бірақ шын мәнінде алгебра құралдарын пайдалану әлдеқайда ұтымды. Жобадағы эллипс теңдеуінен біз жылдам өрнектейміз:

Содан кейін теңдеу екі функцияға бөлінеді:
– эллипстің жоғарғы доғасын анықтайды;
– эллипстің төменгі доғасын анықтайды.

Кез келген эллипс координат осьтеріне қатысты да, координаталар координаталары бойынша да симметриялы болады. Және бұл тамаша - симметрия әрқашан дерлік тегін хабаршысы болып табылады. Әлбетте, 1-ші координаталық тоқсанмен айналысу жеткілікті, сондықтан бізге функция қажет . Ол абсциссалармен қосымша нүктелерді табуды ұсынады . Біз калькуляторда үш SMS алдық:

Әрине, егер есептеулерде өрескел қателік жіберілсе, бұл құрылыс кезінде бірден белгілі болатыны қуантады.

Сызбадағы нүктелерді (қызыл түс), басқа доғалардағы симметриялы нүктелерді (көк түс) белгілеп, бүкіл компанияны сызықпен мұқият байланыстырыңыз:


Бастапқы эскизді жіңішке және жіңішке етіп салған дұрыс, содан кейін ғана қарындашқа қысым түсіріңіз. Нәтиже өте лайықты эллипс болуы керек. Айтпақшы, бұл қисықтың не екенін білгіңіз келе ме?