Тік бұрышты координаталар жүйесі. Декарттық координаталар жүйесі: негізгі түсініктер және мысалдар Координаталық жазықтықпен жұмыс

Жазықтықтағы тікбұрышты координаталар жүйесі өзара перпендикуляр екі түзу арқылы берілген. Түзулер координат осьтері (немесе координат осьтері) деп аталады. Бұл түзулердің қиылысу нүктесі координат басы деп аталады және О әрпімен белгіленеді.

Әдетте сызықтардың бірі көлденең, екіншісі тік. Көлденең сызық x (немесе Ox) осі ретінде белгіленеді және абсцисса осі деп аталады, тік сызық у (Oy) осі, у осі деп аталады. Бүкіл координаталар жүйесі xOy арқылы белгіленеді.

О нүктесі осьтердің әрқайсысын екі жарты оське бөледі, олардың бірі оң деп саналады (ол стрелкамен белгіленеді), екіншісі теріс болып саналады.

Жазықтықтың әрбір F нүктесіне (x;y) сандар жұбы — оның координаттары тағайындалады.

х-координатасы абсцисса деп аталады. Ол сәйкес белгісімен алынған Өгізге тең.

y координатасы ордината деп аталады және F нүктесінен Oy осіне дейінгі қашықтыққа тең (тиісті белгісі бар).

Осьтердің қашықтығы әдетте (бірақ әрқашан емес) бірдей ұзындық бірлігінде өлшенеді.

У осінің оң жағындағы нүктелерде оң абциссалар бар. У осінің сол жағында жатқан нүктелер үшін абсциссалар теріс болады. Oy осінде жатқан кез келген нүкте үшін оның х координатасы нөлге тең.

Оң ординатасы бар нүктелер х осінен жоғары, теріс ординатасы төмен нүктелер жатады. Егер нүкте х осінде жатса, оның у координатасы нөлге тең болады.

Координаталық осьтер жазықтықты төрт бөлікке бөледі, олар координаталық ширектер (немесе координаталық бұрыштар немесе квадранттар) деп аталады.

1 координаталық квартал xOy координаталық жазықтықтың жоғарғы оң жақ бұрышында орналасқан. I кварталда орналасқан нүктелердің екі координатасы да оң.

Бір тоқсаннан екіншісіне көшу сағат тіліне қарсы жүзеге асырылады.

2-тоқсанжоғарғы сол жақ бұрышта орналасқан. Екінші ширекте жатқан нүктелердің абсциссасы теріс және ординатасы оң болады.

3-тоқсан xOy жазықтығының төменгі сол жақ квадрантында жатыр. III координаталық бұрышқа жататын нүктелердің екі координатасы да теріс.

4-координаталық кварталкоординаталық жазықтықтың төменгі оң жақ бұрышы болып табылады. IV тоқсанның кез келген нүктесі оң бірінші координатқа және теріс екінші координатаға ие.

Тік бұрышты координаталар жүйесіндегі нүктелердің орналасуына мысал:

Математика өте күрделі ғылым. Оны зерттей отырып, мысалдар мен есептерді шығарып қана қоймай, әртүрлі фигуралармен, тіпті ұшақтармен де жұмыс істеу керек. Математикада ең көп қолданылатындардың бірі – жазықтықтағы координаталар жүйесі. Балаларды онымен қалай дұрыс жұмыс істеу керектігін бір жылдан астам уақыт бойы үйретті. Сондықтан оның не екенін және онымен қалай дұрыс жұмыс істеу керектігін білу маңызды.

Бұл жүйенің не екенін, онымен қандай әрекеттерді орындауға болатындығын, сондай-ақ оның негізгі сипаттамалары мен ерекшеліктерін білейік.

Ұғымды анықтау

Координаталық жазықтық деп белгілі бір координаталар жүйесі анықталған жазықтықты айтады. Мұндай жазықтық тік бұрыш жасап қиылысатын екі түзу арқылы анықталады. Бұл түзулердің қиылысу нүктесі координаталар басы болып табылады. Координаталық жазықтықтағы әрбір нүкте координаталар деп аталатын жұп сандар арқылы беріледі.

Мектептегі математика курсында оқушылар координаталар жүйесімен өте тығыз жұмыс істеуі керек - оған фигуралар мен нүктелер салу, белгілі бір координатаның қай жазықтыққа жататынын анықтау, сонымен қатар нүктенің координаталарын анықтау және оларды жазу немесе атау. Сондықтан координаттардың барлық ерекшеліктері туралы толығырақ сөйлесейік. Бірақ алдымен жаратылу тарихына тоқталайық, содан кейін координаталық жазықтықта қалай жұмыс істеу керектігі туралы сөйлесеміз.

Тарих анықтамасы

Координаталар жүйесін құру туралы идеялар Птолемей заманында болды. Сол кездің өзінде астрономдар мен математиктер жазықтықтағы нүктенің орнын қалай орнатуға болатынын қалай білуге ​​болатынын ойлады. Өкінішке орай, ол кезде бізге белгілі координаттар жүйесі болмағандықтан, ғалымдар басқа жүйелерді қолдануға мәжбүр болды.

Бастапқыда олар ендік пен бойлықты көрсету арқылы нүктелерді белгілейді. Ұзақ уақыт бойы бұл немесе басқа ақпаратты картаға түсірудің ең көп қолданылатын әдістерінің бірі болды. Бірақ 1637 жылы Рене Декарт өзінің координат жүйесін құрды, кейінірек оны «декарттық» деп атады.

Қазірдің өзінде XVII ғасырдың аяғында. «координаталық жазықтық» ұғымы математика әлемінде кеңінен қолданыла бастады. Бұл жүйенің жасалғанына бірнеше ғасырлар өтсе де, ол әлі күнге дейін математикада, тіпті өмірде кеңінен қолданылады.

Координаталық жазықтыққа мысалдар

Теория туралы айтпас бұрын, сіз оны елестете алуыңыз үшін координаталық жазықтықтың бірнеше көрнекі мысалдарын келтіреміз. Координаталар жүйесі негізінен шахматта қолданылады. Тақтада әр шаршының өз координаттары бар – бір әріптік координат, екіншісі – цифрлық. Оның көмегімен тақтадағы белгілі бір бөліктің орнын анықтауға болады.

Екінші ең жарқын мысал - сүйікті ойын «Батыл кемесі». Ойнаған кезде координатаны қалай атайтыныңызды есте сақтаңыз, мысалы, B3, осылайша дәл қай жерде көздегеніңізді көрсетеді. Сонымен қатар, кемелерді орналастыру кезінде сіз координаталық жазықтықта нүктелерді орнатасыз.

Бұл координаттар жүйесі тек математикада, логикалық ойындарда ғана емес, сонымен қатар әскери істерде, астрономияда, физикада және басқа да көптеген ғылымдарда кеңінен қолданылады.

Координаталық осьтер

Жоғарыда айтылғандай, координаттар жүйесінде екі ось ажыратылады. Олар туралы аздап сөйлесейік, өйткені олар айтарлықтай маңызды.

Бірінші ось – абсцисса – көлденең. Ол ретінде белгіленеді ( Өгіз). Екінші ось – ордината, ол тірек нүктесі арқылы тігінен өтеді және ( деп белгіленеді. Ой). Дәл осы екі ось жазықтықты төрттен төртке бөлетін координаталар жүйесін құрайды. Бастауыш осы екі осьтің қиылысу нүктесінде орналасқан және мәнді қабылдайды 0 . Жазықтық перпендикуляр қиылысатын және тірек нүктесі бар екі осьтен құрылған жағдайда ғана, ол координаталық жазықтық болып табылады.

Сондай-ақ осьтердің әрқайсысының өз бағыты бар екенін ескеріңіз. Әдетте координаталар жүйесін құру кезінде осьтің бағытын көрсеткі түрінде көрсету әдетке айналған. Сонымен қатар, координаталық жазықтықты құру кезінде осьтердің әрқайсысына қол қойылады.

кварталдар

Енді координаталық жазықтықтың төрттен бір бөлігі сияқты ұғым туралы бірнеше сөз айтайық. Ұшақ екі ось арқылы төрт ширекке бөлінген. Олардың әрқайсысының өз нөмірі бар, ал ұшақтардың нөмірленуі сағат тіліне қарсы.

Әр кварталдың өзіндік ерекшеліктері бар. Сонымен, бірінші ширекте абсцисса мен ордината оң, екінші ширекте абсцисса теріс, ордината оң, үшіншіде абсцисса да, ордината да теріс, төртіншіде абсцисса да, ордината да теріс болады. оң, ал ордината теріс.

Осы мүмкіндіктерді есте сақтау арқылы белгілі бір нүктенің қай тоқсанға жататынын оңай анықтауға болады. Бұған қоса, бұл ақпарат сізге декарттық жүйені пайдаланып есептеулер жүргізу қажет болса, пайдалы болуы мүмкін.

Координаталық жазықтықпен жұмыс

Біз ұшақ түсінігімен айналысып, оның кварталдары туралы сөйлескен кезде, біз осы жүйемен жұмыс істеу сияқты мәселеге көшуге болады, сонымен қатар оған нүктелерді, фигуралардың координаттарын қалай қою керектігі туралы айтуға болады. Координаталық жазықтықта бұл бірінші көзқараста көрінетіндей қиын емес.

Ең алдымен, жүйенің өзі салынған, оған барлық маңызды белгілер қолданылады. Содан кейін нүктелермен немесе фигуралармен тікелей жұмыс бар. Бұл жағдайда фигураларды тұрғызған кезде де алдымен нүктелер жазықтыққа қолданылады, содан кейін фигуралар сызылады.

Ұшақты құрастыру ережелері

Қағаздағы пішіндер мен нүктелерді белгілеуді бастауды шешсеңіз, сізге координаталық жазықтық қажет болады. Онда нүктелердің координаталары бейнеленген. Координаталық жазықтықты салу үшін сізге тек сызғыш пен қалам немесе қарындаш қажет. Алдымен горизонталь абсцисса, сосын вертикаль – ордината сызылады. Осьтер тік бұрышпен қиылысатынын есте ұстаған жөн.

Келесі міндетті тармақ - таңбалау. Бірліктер-сегменттер екі бағыттағы осьтердің әрқайсысында белгіленеді және қол қойылады. Бұл ұшақпен барынша ыңғайлы жұмыс істеу үшін жасалады.

Нүкте белгілеу

Енді координаталық жазықтықтағы нүктелердің координаталарын қалай салуға болатынын айтайық. Бұл әртүрлі фигураларды жазықтықта сәтті орналастыру, тіпті теңдеулерді белгілеу үшін білуіңіз керек негіз.

Нүктелерді салу кезінде олардың координаталары қалай дұрыс жазылғанын есте сақтау керек. Сонымен, әдетте нүктені орнату, жақшаға екі сан жазылады. Бірінші цифр абсцисса осі бойындағы нүктенің координатасын, екіншісі ордината осі бойымен көрсетеді.

Нүкте осылай салынуы керек. Алдымен осьте белгілеңіз Өгізберілген нүктені, содан кейін осьте нүктені белгілеңіз Ой. Әрі қарай, осы белгілерден қиял сызықтарын сызыңыз және олардың қиылысу орнын табыңыз - бұл берілген нүкте болады.

Бар болғаны белгілеп, қол қою керек. Көріп отырғаныңыздай, бәрі өте қарапайым және арнайы дағдыларды қажет етпейді.

Пішінді орналастыру

Енді фигураларды координаталық жазықтықта салу сияқты сұраққа көшейік. Координаталық жазықтықта кез келген фигураны тұрғызу үшін оған нүктелерді қоюды білу керек. Егер сіз мұны қалай жасау керектігін білсеңіз, онда фигураны ұшақта орналастыру соншалықты қиын емес.

Ең алдымен сізге фигураның нүктелерінің координаталары қажет болады. Дәл солар бойынша біз таңдағандарды координаталар жүйемізге қолданамыз.Тіктөртбұрыш, үшбұрыш және шеңбер салуды қарастырайық.

Тіктөртбұрыштан бастайық. Оны қолдану өте оңай. Алдымен тіктөртбұрыштың бұрыштарын көрсететін төрт нүкте жазықтыққа қолданылады. Содан кейін барлық нүктелер бір-бірімен дәйекті түрде қосылады.

Үшбұрышты салу да басқаша емес. Жалғыз нәрсе - оның үш бұрышы бар, яғни жазықтыққа оның шыңдарын белгілейтін үш нүкте қолданылады.

Шеңберге келетін болсақ, мұнда сіз екі нүктенің координаталарын білуіңіз керек. Бірінші нүкте - шеңбердің центрі, екіншісі - оның радиусын белгілейтін нүкте. Бұл екі нүкте жазықтықта сызылған. Содан кейін компас алынады, екі нүктенің арақашықтығы өлшенеді. Циркульдің нүктесі центрді белгілейтін нүктеге қойылып, шеңбер суреттеледі.

Көріп отырғаныңыздай, мұнда күрделі ештеңе жоқ, ең бастысы, әрқашан қолыңызда сызғыш пен циркуль бар.

Енді сіз пішіннің координаттарын қалай салу керектігін білесіз. Координаталық жазықтықта мұны істеу соншалықты қиын емес, өйткені бұл бір қарағанда көрінуі мүмкін.

қорытындылар

Сонымен, біз сіздермен әр оқушы айналысатын математикаға арналған ең қызықты және негізгі ұғымдардың бірін қарастырдық.

Координаталық жазықтық екі осьтің қиылысуынан пайда болған жазықтық екенін білдік. Оның көмегімен нүктелердің координаталарын орнатуға, оған фигураларды қоюға болады. Ұшақ кварталдарға бөлінген, олардың әрқайсысының өзіндік сипаттамалары бар.

Координаталық жазықтықпен жұмыс істеу кезінде қалыптасу керек негізгі дағды – оған берілген нүктелерді дұрыс сала білу. Ол үшін осьтердің дұрыс орналасуын, кварталдардың ерекшеліктерін, сондай-ақ нүктелердің координаталары орнатылатын ережелерді білу керек.

Біз ұсынған ақпарат қолжетімді және түсінікті болды, сонымен қатар сіз үшін пайдалы болды және осы тақырыпты жақсырақ түсінуге көмектесті деп үміттенеміз.

• О нүктесінде қиылысатын екі өзара перпендикуляр координаталық түзулер – координаталар басы, пішіні тікбұрышты координаталар жүйесі, декарттық координаталар жүйесі деп те аталады.
• Координаталар жүйесі таңдалған жазықтық деп аталады координаталық жазықтық.Координаталық түзулер деп аталады координаталық осьтер. Горизонталь – абсцисса осі (Ox), вертикаль – ордината осі (Ой).
• Координаталық осьтер координаталық жазықтықты төрт бөлікке – ширектерге бөледі. Тоқсандардың реттік нөмірлері әдетте сағат тіліне қарсы бағытта есептеледі.
• Координаталық жазықтықтағы кез келген нүкте оның координаталарымен беріледі - абсцисса және ордината. Мысалы, A(3; 4). Олар оқиды: координаталары 3 және 4 болатын А нүктесі. Мұндағы 3 - абсцисса, 4 - ордината.

I. А(3; 4) нүктесін салу.

Абсцисса 3 басынан – О нүктесін оңға жылжыту керектігін көрсетеді 3 бір сегментті, содан кейін бөлек қойыңыз 4 бір кесінді және нүкте қойыңыз.

Мәселе мынада A(3; 4).

В нүктесін салу (-2; 5).

Нөлден солға қарай шетке қойыңыз 2 бір рет кесу, содан кейін жоғары 5 жалғыз кесу.

Біз нүкте қойдық В.

Әдетте бір сегмент ретінде қабылданады 1 ұяшық.

II. xOy координаталық жазықтықта нүктелерді салыңыз:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Салынған нүктелердің координаталарын анықтаңыз: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);IN 20);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2).

Бір-біріне перпендикуляр болатын екі немесе үш қиылысатын осьтердің реттелген жүйесі (бастауы) және ұзындығының ортақ бірлігі деп аталады. тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі .

Жалпы декарттық координаталар жүйесі (аффиндік координаталар жүйесі) міндетті түрде перпендикуляр осьтерді де қамтуы мүмкін. Француз математигі Рене Декарттың (1596-1662) құрметіне мұндай координаталар жүйесі аталды, онда ұзындықтың ортақ бірлігі барлық осьтерде есептеледі және осьтер түзу болады.

Жазықтықтағы тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі екі осі бар кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі - үш ось. Жазықтықтағы немесе кеңістіктегі әрбір нүкте координаттардың реттелген жиынтығымен – координаталар жүйесінің бірлік ұзындығына сәйкес сандармен анықталады.

Анықтамадан келесідей түзу сызықта, яғни бір өлшемде декарттық координаталар жүйесі бар екенін ескеріңіз. Түзуге декарттық координаталарды енгізу түзудің кез келген нүктесіне нақты анықталған нақты санды, яғни координатаны тағайындау тәсілдерінің бірі болып табылады.

Рене Декарттың еңбектерінде пайда болған координаталар әдісі барлық математиканың революциялық қайта құрылуын белгіледі. Алгебралық теңдеулерді (немесе теңсіздіктерді) геометриялық кескіндер (график) түрінде түсіндіру және керісінше, аналитикалық формулаларды, теңдеулер жүйесін пайдалана отырып, геометриялық есептердің шешімін іздеу мүмкін болды. Иә, теңсіздік z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyжәне осы жазықтықтың үстінде 3 бірлікке орналасқан.

Декарттық координаталар жүйесінің көмегімен нүктенің берілген қисыққа тиесілігі сандарға сәйкес келеді. xжәне жкейбір теңдеуді қанағаттандырыңыз. Сонымен, центрі берілген нүктеде орналасқан шеңбер нүктесінің координаталары ( а; б) теңдеуін орындаңыз (x - а)² + ( ж - б)² = Р² .

Жазықтықтағы тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі

Бастауы ортақ және масштаб бірлігі бірдей жазықтықтағы екі перпендикуляр ось құрайды Жазықтықтағы декарттық координаталар жүйесі . Осы осьтердің бірі ось деп аталады Өгіз, немесе x осі , екіншісі - ось Ой, немесе у осі . Бұл осьтерді координаталық осьтер деп те атайды. арқылы белгілеңіз Мxжәне Мжсәйкесінше ерікті нүктенің проекциясы Мосьте Өгізжәне Ой. Проекцияларды қалай алуға болады? Нүкте арқылы өтіңіз М Өгіз. Бұл сызық осьпен қиылысады Өгізнүктесінде Мx. Нүкте арқылы өтіңіз Мосіне перпендикуляр түзу Ой. Бұл сызық осьпен қиылысады Ойнүктесінде Мж. Бұл төмендегі суретте көрсетілген.

xжәне жұпай Мтиісінше бағытталған кесінділердің шамаларын атаймыз ОМxжәне ОМж. Бұл бағытталған сегменттердің мәндері сәйкесінше есептеледі x = x0 - 0 және ж = ж0 - 0 . Декарттық координаттар xжәне жұпай М абсцисса және ордината . Бұл нүкте Мкоординаттары бар xжәне ж, келесідей белгіленеді: М(x, ж) .

Координаталық осьтер жазықтықты төртке бөледі квадрант , оның нөмірленуі төмендегі суретте көрсетілген. Ол сондай-ақ олардың сол немесе басқа квадрантта орналасуына байланысты нүктелердің координаталары үшін белгілердің орналасуын көрсетеді.

Жазықтықтағы декарттық тікбұрышты координаталардан басқа полярлық координаттар жүйесі де жиі қарастырылады. Бір координат жүйесінен екіншісіне көшу әдісі туралы – сабақта полярлық координаталар жүйесі .

Кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі

Кеңістіктегі декарттық координаталар жазықтықтағы декарттық координаттармен толық ұқсастықта енгізіледі.

Кеңістіктегі өзара перпендикуляр үш ось (координаталық осьтер) басы ортақ Ожәне бірдей масштаб бірлігінің пішіні Кеңістіктегі декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі .

Осы осьтердің бірі ось деп аталады Өгіз, немесе x осі , екіншісі - ось Ой, немесе у осі , үшінші – ось Оз, немесе осьті қолданыңыз . Болсын Мx, Мж Мz- ерікті нүктенің проекциялары Мосьтегі бос орындар Өгіз , Ойжәне Озтиісінше.

Нүкте арқылы өтіңіз М ӨгізӨгізнүктесінде Мx. Нүкте арқылы өтіңіз Мосіне перпендикуляр жазықтық Ой. Бұл жазықтық осьті қиып өтеді Ойнүктесінде Мж. Нүкте арқылы өтіңіз Мосіне перпендикуляр жазықтық Оз. Бұл жазықтық осьті қиып өтеді Ознүктесінде Мz.

Декарттық тікбұрышты координаталар x , жжәне zұпай Мтиісінше бағытталған кесінділердің шамаларын атаймыз ОМx, ОМжжәне ОМz. Бұл бағытталған сегменттердің мәндері сәйкесінше есептеледі x = x0 - 0 , ж = ж0 - 0 және z = z0 - 0 .

Декарттық координаттар x , жжәне zұпай Мсәйкес аталды абсцисса , ордината және аппликация .

Жұппен алынған координат осьтері координаталық жазықтықтарда орналасқан xOy , yOzжәне zOx .

Декарттық координаталар жүйесіндегі нүктелерге есептер

1-мысал

А(2; -3) ;

Б(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Осы нүктелердің х осіндегі проекцияларының координаталарын табыңыз.

Шешім. Осы сабақтың теориялық бөлігінен шығатындай, нүктенің х осіне проекциясы х осінің өзінде, яғни осінде орналасқан. Өгіз, сондықтан нүктенің абсциссасына тең абсциссасы және ординатасы (осьтегі координатасы) бар Ой, х осі 0 нүктесінде қиылысатын), нөлге тең. Сонымен, біз x осіндегі осы нүктелердің келесі координаталарын аламыз:

Аx(2;0);

Бx(3;0);

Cx(-5;0).

2-мысалНүктелер жазықтықта декарттық координаталар жүйесінде берілген

А(-3; 2) ;

Б(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Осы нүктелердің у осіндегі проекцияларының координаталарын табыңыз.

Шешім. Осы сабақтың теориялық бөлігінен шығатындай, нүктенің у осіне проекциясы у осінің өзінде, яғни осьте орналасқан. Ой, сондықтан нүктенің өзінің ординатасына тең ординатасы және абсциссасы (осьтегі координатасы) бар Өгіз, y осі 0 нүктесінде қиылысатын), нөлге тең. Осылайша, біз у осіндегі осы нүктелердің келесі координаталарын аламыз:

Аy(0; 2);

Бy (0; 1);

Cy(0;-2).

3-мысалНүктелер жазықтықта декарттық координаталар жүйесінде берілген

А(2; 3) ;

Б(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Өгіз .

Өгіз Өгіз Өгіз, берілген нүкте сияқты абсциссасы болады, ал ордината абсолютті мәні бойынша берілген нүктенің ординатасына тең, ал таңбасы бойынша оған қарама-қарсы болады. Сонымен оське қатысты осы нүктелерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз Өгіз :

A"(2; -3) ;

B»(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Декарттық координаталар жүйесіндегі есептерді өзіңіз шешіңіз, содан кейін шешімдерді қараңыз

4-мысалНүкте қандай ширектерде (ширектер, ширектері бар сурет – «Жазықтықтағы тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі» абзацының соңында) орналасуы мүмкін екенін анықтаңыз. М(x; ж) , егер

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − ж = 0 ;

4) x + ж = 0 ;

5) x + ж > 0 ;

6) x + ж < 0 ;

7) x − ж > 0 ;

8) x − ж < 0 .

5-мысалНүктелер жазықтықта декарттық координаталар жүйесінде берілген

А(-2; 5) ;

Б(3; -5) ;

C(а; б) .

Осы нүктелерге оське қатысты симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз Ой .

Біз проблемаларды бірге шешуді жалғастырамыз

6-мысалНүктелер жазықтықта декарттық координаталар жүйесінде берілген

А(-1; 2) ;

Б(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Осы нүктелерге оське қатысты симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз Ой .

Шешім. Осьтің айналасында 180 градусқа бұрыңыз Ойосьтен бағытталған сызық сегменті Ойосы уақытқа дейін. Жазықтықтың төртбұрыштары көрсетілген суретте оське қатысты берілген нүктеге симметриялы нүкте екенін көреміз. Ой, берілген нүктемен бірдей ордината және абсцисса абсолютті мәні бойынша берілген нүктенің абсциссасына тең, ал таңбасы бойынша оған қарама-қарсы болады. Сонымен оське қатысты осы нүктелерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз Ой :

A"(1; 2) ;

B»(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

7-мысалНүктелер жазықтықта декарттық координаталар жүйесінде берілген

А(3; 3) ;

Б(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Бас нүктесіне қатысты осы нүктелерге симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз.

Шешім. Бастауыштан берілген нүктеге өтетін бағытталған кесіндінің координатасын 180 градусқа бұрамыз. Жазықтықтың ширектері көрсетілген суретте координаталар басына қатысты берілген нүктеге симметриялы нүктенің абсциссасы және абсолюттік мәні бойынша берілген нүктенің абсциссасы мен ординатасына тең ордината болатынын көреміз. , бірақ оларға қарама-қарсы. Сонымен, басына қатысты осы нүктелерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз:

A"(-3; -3) ;

B»(-2; 4) ;

C(2; -1) .

8-мысал

А(4; 3; 5) ;

Б(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Мына нүктелердің проекцияларының координаталарын табыңдар:

1) ұшақта Окси ;

2) ұшаққа Oxz ;

3) ұшаққа Ой ;

4) абсцисса осі бойынша;

5) у осі бойынша;

6) аппликация осінде.

1) Нүктенің жазықтыққа проекциясы Оксиосы жазықтықтың өзінде орналасқан, сондықтан берілген нүктенің абсциссасы мен ординатасына тең абсциссасы мен ординатасы және нөлге тең қосымшасы бар. Сонымен, біз осы нүктелердің проекцияларының келесі координаталарын аламыз Окси :

Аxy(4;3;0);

Бxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Нүктенің жазықтыққа проекциясы Oxzосы жазықтықтың өзінде орналасқан, сондықтан берілген нүктенің абсциссасы мен аппликациясына тең абсциссасы мен аппликациясы және нөлге тең ординатасы бар. Сонымен, біз осы нүктелердің проекцияларының келесі координаталарын аламыз Oxz :

Аxz (4; 0; 5);

Бxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Нүктенің жазықтыққа проекциясы Ойосы жазықтықтың өзінде орналасқан, сондықтан берілген нүктенің ординатасы мен аппликациясына тең ординатасы мен аппликасы, ал абсциссасы нөлге тең. Сонымен, біз осы нүктелердің проекцияларының келесі координаталарын аламыз Ой :

Аyz (0; 3; 5);

Бyz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Осы сабақтың теориялық бөлімінен шығатындай, нүктенің х осіне проекциясы х осінің өзінде, яғни осінде орналасқан. Өгіз, сондықтан нүктенің абсциссасына тең абсциссасы бар, ал проекцияның ординатасы мен аппликациясы нөлге тең (себебі ордината мен қолданбалы ось абсциссаны 0 нүктесінде қиып өтеді). Осы нүктелердің х осіндегі проекцияларының келесі координаталарын аламыз:

Аx(4;0;0);

Бx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) У осіндегі нүктенің проекциясы у осінің өзінде орналасқан, яғни ось Ой, сондықтан нүктенің өзінің ординатасына тең ординатасы бар, ал проекцияның абсциссасы мен аппликациясы нөлге тең (себебі абсцисса және қолданбалы осьтер ордината осін 0 нүктесінде қиып өтеді). Осы нүктелердің у осіндегі проекцияларының келесі координаталарын аламыз:

Аy(0;3;0);

Бy(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Қолданбалы осьтегі нүктенің проекциясы қолданба осінің өзінде, яғни осьте орналасқан. Оз, сондықтан нүктенің аппликациясына тең қосымшасы бар, ал проекцияның абсциссасы мен ординатасы нөлге тең (себебі абсцисса және ордината осьтері қосымша осін 0 нүктесінде қиып өтеді). Осы нүктелердің қолданбалы осьтегі проекцияларының келесі координаталарын аламыз:

Аz(0; 0; 5);

Бz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

9-мысалНүктелер кеңістіктегі декарттық координаталар жүйесінде берілген

А(2; 3; 1) ;

Б(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Осы нүктелерге қатысты симметриялы нүктелердің координаталарын табыңыз:

1) жазықтық Окси ;

2) жазықтық Oxz ;

3) жазықтық Ой ;

4) абсцисса осі;

5) у осі;

6) аппликация осі;

7) координаталардың басы.

1) осьтің екінші жағындағы нүктені «алға жылжытыңыз». Окси Окси, берілген нүктенің абсциссасы мен ординатасына тең абсциссасы мен ординатасы және берілген нүктенің аппликациясына шамасы бойынша тең, бірақ таңбасына қарама-қарсы қосымшасы болады. Сонымен, жазықтыққа қатысты деректерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз Окси :

A"(2; 3; -1) ;

B»(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) осьтің екінші жағындағы нүктені «алға жылжыту». Oxzбірдей қашықтыққа. Координаталық кеңістікті бейнелейтін фигура бойынша біз нүктенің осіне қатысты берілген нүктеге симметриялы екенін көреміз. Oxz, абсциссасы және берілген нүктенің абсциссасы мен аппликациясына тең, ал ординатасы берілген нүктенің ординатасына шамасы бойынша тең, бірақ таңбасына қарама-қарсы болады. Сонымен, жазықтыққа қатысты деректерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B»(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) осьтің екінші жағындағы нүктені «алға жылжыту». Ойбірдей қашықтыққа. Координаталық кеңістікті бейнелейтін фигура бойынша біз нүктенің осіне қатысты берілген нүктеге симметриялы екенін көреміз. Ой, берілген нүктенің ординатасы мен аппликациясына тең ординатасы мен аппликациясы, ал абсциссасы шамасы бойынша берілген нүктенің абсциссасына тең, бірақ таңбасына қарама-қарсы болады. Сонымен, жазықтыққа қатысты деректерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз Ой :

A"(-2; 3; 1) ;

B»(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Жазықтықтағы симметриялы нүктелерге және жазықтықтарға қатысты деректерге симметриялы кеңістіктегі нүктелерге ұқсастық бойынша біз кеңістіктегі декарттық координаталар жүйесінің кейбір осіне симметрия болған жағдайда симметрия орнатылатын осьтегі координата болатынын ескереміз. оның таңбасын сақтайды, ал қалған екі осьтегі координаталар абсолютті мәнде берілген нүктенің координаталарымен бірдей, бірақ таңбасына қарама-қарсы болады.

4) Абцисса таңбасын сақтайды, ал ордината мен аппликация таңбаларын өзгертеді. Сонымен, біз x осі туралы деректерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз:

A"(2; -3; -1) ;

B»(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ординат таңбасын сақтайды, ал абсцисса мен аппликация таңбаларын өзгертеді. Сонымен, у осі туралы деректерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз:

A"(-2; 3; -1) ;

B»(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Өтініш өз белгісін сақтайды, ал абсцисса мен ордината таңбасын өзгертеді. Сонымен, қолданбалы осі туралы деректерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз:

A"(-2; -3; 1) ;

B»(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Жазықтықтағы нүктелердегі симметрияға ұқсастық бойынша, координаталар басы туралы симметрия жағдайында, берілген нүктеге симметриялы нүктенің барлық координаталары абсолютті мәнде берілген нүктенің координаталарына тең болады, бірақ оларға қарама-қарсы. Сонымен, басына қатысты деректерге симметриялы нүктелердің келесі координаталарын аламыз.

Берсін екі айнымалысы бар теңдеу F(x; y). Сіз мұндай теңдеулерді аналитикалық жолмен шешуді үйрендіңіз. Мұндай теңдеулердің шешімдер жиынын график түрінде де көрсетуге болады.

F(x; y) теңдеуінің графигі – координаталары теңдеуді қанағаттандыратын xOy координаталық жазықтықтың нүктелерінің жиыны.

Екі айнымалы теңдеуді құру үшін алдымен у айнымалысын теңдеудегі х айнымалысы арқылы өрнектеңіз.

Сіз екі айнымалысы бар теңдеулердің әртүрлі графиктерін қалай құру керектігін білесіз: ax + b \u003d c - түзу, yx \u003d k - гипербола, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 - радиусы R, ал центрі O(a; b) нүктесінде орналасқан шеңбер.

1-мысал

x 2 - 9y 2 = 0 теңдеуін сызыңыз.

Шешім.

Теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктейік.

(x - 3y)(x+ 3y) = 0, яғни y = x/3 немесе y = -x/3.

Жауабы: 1-сурет.

Жазықтықта абсолютті шаманың белгісі бар теңдеулер арқылы фигураларды тағайындау ерекше орын алады, біз оған егжей-тегжейлі тоқталамыз. |у| түріндегі теңдеулерді құру кезеңдерін қарастырайық = f(x) және |y| = |f(x)|.

Бірінші теңдеу жүйеге эквивалентті

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) немесе y = -f(x).

Яғни, оның графигі екі функцияның графиктерінен тұрады: y = f(x) және y = -f(x), мұндағы f(x) ≥ 0.

Екінші теңдеудің графигін салу үшін екі функцияның графиктері салынады: y = f(x) және y = -f(x).

2-мысал

|у| теңдеуін салыңыз = 2 + x.

Шешім.

Берілген теңдеу жүйеге эквивалентті

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 немесе y = -x - 2.

Біз нүктелер жинағын құрастырамыз.

Жауабы: 2-сурет.

3-мысал

|y – x| теңдеуін салыңыз = 1.

Шешім.

Егер y ≥ x болса, онда y = x + 1, егер y ≤ x болса, онда у = x - 1.

Жауабы: 3-сурет.

Модуль белгісінің астындағы айнымалысы бар теңдеулердің графиктерін құру кезінде қолдану ыңғайлы және ұтымды. аумақ әдісі, координаталық жазықтықты әрбір ішкі модуль өрнегі өз белгісін сақтайтын бөліктерге бөлуге негізделген.

4-мысал

x + |x| теңдеуін салыңыз + y + |y| = 2.

Шешім.

Бұл мысалда әрбір ішкі модуль өрнектерінің таңбасы координаталық квадрантқа байланысты.

1) Бірінші координаталық кварталда x ≥ 0 және y ≥ 0. Модульді кеңейткеннен кейін берілген теңдеу келесідей болады:

2x + 2y = 2, ал жеңілдетілгеннен кейін x + y = 1.

2) Екінші тоқсанда, мұндағы x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Үшінші тоқсанда x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Төртінші тоқсанда x ≥ 0 және у үшін< 0 получим, что x = 1.

Біз бұл теңдеуді тоқсандар бойынша саламыз.

Жауабы: 4-сурет.

5-мысал

Координаталары |x – 1| теңдігін қанағаттандыратын нүктелер жиынын салыңыз + |y – 1| = 1.

Шешім.

x = 1 және y = 1 ішкі модуль өрнектерінің нөлдері координаталық жазықтықты төрт аймаққа бөледі. Аймақ бойынша модульдерді бөліп көрейік. Мұны кесте түрінде көрсетейік.

Аймақ	Ішкі модуль өрнек белгісі	Модульді кеңейткеннен кейін алынған теңдеу
I	x ≥ 1 және y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 және y< 1	x – y = 1

Жауабы: 5-сурет.

Координаталық жазықтықта фигураларды көрсетуге болады және теңсіздіктер.

Теңсіздік графигіекі айнымалысы бар координаталары осы теңсіздіктің шешімі болатын координаталық жазықтықтың барлық нүктелерінің жиыны.

Қарастырыңыз екі айнымалысы бар теңсіздікті шешу моделін құру алгоритмі:

1. Теңсіздікке сәйкес теңдеуді жаз.
2. 1-қадамдағы теңдеуді сызыңыз.
3. Жартылай жазықтықтардың біріндегі ерікті нүктені таңдаңыз. Таңдалған нүктенің координаталары берілген теңсіздікті қанағаттандыратынын тексеріңіз.
4. Теңсіздіктің барлық шешімдерінің жиынын графикалық түрде сызыңыз.

Ең алдымен, ax + bx + c > 0 теңсіздігін қарастырайық. ax + bx + c = 0 теңдеуі жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөлетін түзуді анықтайды. Олардың әрқайсысында f(x) = ax + bx + c функциясы белгіні сақтайды. Бұл белгіні анықтау үшін жарты жазықтыққа жататын кез келген нүктені алып, осы нүктедегі функцияның мәнін есептеу жеткілікті. Егер функцияның таңбасы теңсіздіктің таңбасымен сәйкес келсе, онда бұл жарты жазықтық теңсіздіктің шешімі болады.

Екі айнымалысы бар ең көп таралған теңсіздіктердің графикалық шешімдерінің мысалдарын қарастырыңыз.

1) ax + bx + c ≥ 0. 6-сурет.

2) |x| ≤ a, a > 0. 7-сурет.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. 8-сурет.

4) y ≥ x2. 9-сурет

5) xy ≤ 1. 10-сурет.

Егер сізде сұрақтар туындаса немесе математикалық модельдеуді пайдаланып екі айнымалы теңсіздіктердің барлық шешімдерінің жиындарын модельдеуге жаттығыңыз келсе, онлайн оқытушымен 25 минуттық тегін сабақкейін. Оқытушымен әрі қарай жұмыс істеу үшін сізге ең қолайлысын таңдау мүмкіндігі болады.

Сұрақтарыңыз бар ма? Координаталық жазықтықта фигураны салуды білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін -.
Бірінші сабақ тегін!

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.