Канондық квадраттық форма. Квадраттық форманың канондық түрі. Квадрат форманы канондық формаға келтіру

Квадраттық форма берілген (2) A(х, х) \u003d, қайда х = (х 1 , х 2 , …, х n). Кеңістіктегі квадрат түрін қарастырайық R 3, яғни х = (х 1 , х 2 , х 3), A(х, х) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(біз пішіннің симметрия шартын қолдандық, атап айтқанда және 12 = және 21 , және 13 = және 31 , және 23 = және 32) Квадрат түрінің матрицасын жазайық A негізінде ( e}, A(e) =
... Негізі өзгерген кезде квадраттық форманың матрицасы формула бойынша өзгереді A(f) = C т A(e)Cқайда C - негізден өту матрицасы ( e) негізге ( f), және C т - ауыстырылған матрица C.

Анықтама11.12. Матрицасы диагоналі бар квадраттық форманың түрі деп аталады канондық.

Сондықтан рұқсат етіңіз A(f) =
содан кейін A"(х, х) =
+
+
қайда х" 1 , х" 2 , х«3 - векторлық координаттар х жаңа негізде ( f}.

Анықтама11.13. Кіріңіз n V осындай негіз таңдалады f = {f 1 , f 2 , …, f n ), онда квадраттық форма формаға ие болады

A(х, х) =
+
+ … +
, (3)

Қайда ж 1 , ж 2 , …, ж n - векторлық координаттар х негізінде ( f). Өрнек (3) деп аталады канондық көрініс квадраттық форма. Коэффициенттер  1, λ 2,…, λ n деп аталады канондық; квадраттық форма канондық формаға ие болатын негіз деп аталады канондық негіз.

Түсініктеме... Егер квадраттық форма болса A(х, х) канондық түрге дейін азаяды, демек, барлық коэффициенттер not емес мен нөлге тең емес. Квадрат форманың дәрежесі оның кез-келген негіздегі матрицасының дәрежесіне тең.

Квадрат түрінің дәрежесі болсын A(х, х) тең рқайда р ≤ n... Канондық формадағы квадрат матрицаның қиғаш формасы болады. A(f) =
оның дәрежесі болғандықтан р, содан кейін коэффициенттердің арасында among мен болу керек рнөлге тең емес. Демек, нөлдік канондық коэффициенттер саны квадраттық форманың дәрежесіне тең болады.

Түсініктеме... Координаталардың сызықтық түрлендіруі дегеніміз - айнымалылардан ауысу х 1 , х 2 , …, х n айнымалыларға ж 1 , ж 2 , …, ж n , онда ескі айнымалылар кейбір коэффициенттері бар жаңа айнымалылармен өрнектеледі.

х 1 \u003d α 11 ж 1 + α 12 ж 2 + ... + α 1 n ж n ,

х 2 \u003d α 2 1 ж 1 + α 2 2 ж 2 + ... + α 2 n ж n ,

………………………………

х 1 \u003d α n 1 ж 1 + α n 2 ж 2 + ... + α nn ж n .

Негіздің әр түрлендіруі координаталардың анықталмаған сызықтық түрленуіне сәйкес келетіндіктен, квадрат түрін канондық түрге келтіру туралы мәселені координаталардың сәйкес емес өзгермейтін түрленуін таңдау арқылы шешуге болады.

Теорема 11.2 (квадраттық формалар туралы негізгі теорема). Кез-келген квадраттық форма A(х, х) берілген n-өлшемді векторлық кеңістік V, координаталардың анық емес сызықтық түрленуін қолданып канондық түрге келтіруге болады.

Дәлелдемелер... (Лагранж әдісі) Бұл әдістің идеясы әр айнымалыдағы квадрат триномиясын толық квадратқа дейін дәйекті түрде толықтыру болып табылады. Біз мұны болжаймыз A(х, х) ≠ 0 және негізде e = {e 1 , e 2 , …, e n ) (2) нысаны бар:

A(х, х) =
.

Егер а A(х, х) \u003d 0, содан кейін ( а иж) \u003d 0, яғни форма канондық болып табылады. Формула A(х, х) коэффициент болатындай етіп түрлендіруге болады а 11 ≠ 0. Егер а 11 \u003d 0, онда басқа айнымалының квадрат коэффициенті нөлге тең емес, содан кейін айнымалыларды қайта санау арқылы оған қол жеткізуге болады а 11 ≠ 0. Айнымалыларды қайта санау дегенеративті емес сызықтық түрлендіру болып табылады. Егер айнымалылар квадраттарының барлық коэффициенттері нөлге тең болса, онда келесі түрдегі қажетті түрлендірулер алынады. Мысалы, а 12 ≠ 0 (A(х, х) ≠ 0, сондықтан кем дегенде бір коэффициент а иж ≠ 0). Трансформацияны қарастырайық

х 1 = ж 1 – ж 2 ,

х 2 = ж 1 + ж 2 ,

х мен = ж мен , at мен = 3, 4, …, n.

Бұл түрлену деградациялық емес, өйткені оның матрицасының детерминанты нөлге тең емес
= = 2 ≠ 0.

Содан кейін 2 а 12 х 1 х 2 = 2 а 12 (ж 1 – ж 2)(ж 1 + ж 2) = 2
– 2
, яғни формада A(х, х) екі айнымалының квадраттары пайда болады.

A(х, х) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Біз бөлінген соманы формаға ауыстырамыз:

A(х, х) = а 11
, (5)

ал коэффициенттер а иж өзгерту ... Деградациялық емес түрлендіруді қарастырайық

ж 1 = х 1 + + … + ,

ж 2 = х 2 ,

ж n = х n .

Содан кейін біз аламыз

A(х, х) =
. (6).

Егер квадраттық форма болса
\u003d 0, онда қысқарту туралы сұрақ A(х, х) канондық формаға шешілді.

Егер бұл форма нөлге тең болмаса, онда координаталардың түрленуін ескере отырып, пайымдауды қайталаймыз ж 2 , …, ж n және координатаны өзгертпестен ж 1. Бұл түрленулер деградацияланбайтыны анық. Соңғы қадамдарда квадраттық форма A(х, х) канондық формаға дейін азаяды (3).

Түсініктеме1. Бастапқы координаталарды қажет түрлендіру х 1 , х 2 , …, х n ойлау барысында табылған деградациялық емес түрлендірулерді көбейту арқылы алуға болады: [ х] = A[ж], [ж] = B[з], [з] = C[т], содан кейін [ х] = AB[з] = ABC[т], яғни [ х] = М[т], қайда М = ABC.

Түсініктеме 2. Келіңіздер A(х, х) = A(х, х) =
+
+ …+
, қайда  мен ≠ 0, мен = 1, 2, …, р, мұндағы  1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ р < 0.

Деградациялық емес түрлендіруді қарастырайық

ж 1 = з 1 , ж 2 = з 2 , …, ж q = з q , ж q +1 =
з q +1 , …, ж р = з р , ж р +1 = з р +1 , …, ж n = з n ... Нәтижесінде A(х, х) келесі формада болады: A(х, х) = + + … + – – … – деп аталады квадраттық форманың қалыпты түрі.

Мысал11.1. Квадрат форманы канонизациялау A(х, х) = 2х 1 х 2 – 6х 2 х 3 + 2х 3 х 1 .

Шешім... Сол сияқты а 11 \u003d 0, біз трансформацияны қолданамыз

х 1 = ж 1 – ж 2 ,

х 2 = ж 1 + ж 2 ,

х 3 = ж 3 .

Бұл трансформацияның матрицасы бар A =
, яғни [ х] = A[ж] Біз алып жатырмыз A(х, х) = 2(ж 1 – ж 2)(ж 1 + ж 2) – 6(ж 1 + ж 2)ж 3 + 2ж 3 (ж 1 – ж 2) =

2– 2– 6ж 1 ж 3 – 6ж 2 ж 3 + 2ж 3 ж 1 – 2ж 3 ж 2 = 2– 2– 4ж 1 ж 3 – 8ж 3 ж 2 .

Коэффициенті бастап нөлге тең емес, бір белгісіздің квадратын таңдауға болады, солай болсын ж 1. Құрамындағы барлық мүшелерді таңдап алайық ж 1 .

A(х, х) = 2(– 2 ж 1 ж 3) – 2– 8ж 3 ж 2 = 2(– 2 ж 1 ж 3 + ) – 2– 2– 8ж 3 ж 2 = 2(ж 1 – ж 3) 2 – 2– 2– 8ж 3 ж 2 .

Матрицасы тең болатын түрлендіруді жүргізейік B.

з 1 = ж 1 – ж 3 ,  ж 1 = з 1 + з 3 ,

з 2 = ж 2 ,  ж 2 = з 2 ,

з 3 = ж 3 ;  ж 3 = з 3 .

B =
, [ж] = B[з].

Біз алып жатырмыз A(х, х) = 2– 2–– 8з 2 з 3. Құрамындағы мүшелерді таңдап алайық з 2018-04-21 121 2. Бізде бар A(х, х) = 2– 2(+ 4з 2 з 3) – 2= 2– 2(+ 4з 2 з 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(з 2 + 2з 3) 2 + 6.

Матрицалық түрлендіруді орындау C:

т 1 = з 1 ,  з 1 = т 1 ,

т 2 = з 2 + 2з 3 ,  з 2 = т 2 – 2т 3 ,

т 3 = з 3 ;  з 3 = т 3 .

C =
, [з] = C[т].

Алдым: A(х, х) = 2– 2+ 6 квадраттық форманың канондық түрі, ал [ х] = A[ж], [ж] = B[з], [з] = C[т], осы жерден [ х] = ABC[т];

ABC =


=
... Трансформация формулалары келесідей

х 1 = т 1 – т 2 + т 3 ,

х 2 = т 1 + т 2 – т 3 ,

Квадраттық форма каноникалық деп аталады, егер бәрі, яғни.

Кез-келген квадраттық форманы сызықтық түрлендірулер көмегімен канондық түрге келтіруге болады. Тәжірибеде әдетте келесі әдістер қолданылады.

1. Кеңістіктің ортогоналды түрленуі:

Қайда - матрицаның меншікті мәндері A.

2. Лагранж әдісі - мінсіз квадраттарды дәйекті таңдау. Мысалы, егер

Содан кейін ұқсас процедура квадраттық формамен орындалады Егер квадрат түрінде болса, бәрі болады содан кейін алдын-ала трансформациядан кейін іс қаралған процедураға дейін азаяды. Мәселен, егер, мысалы, біз қоямыз

3. Якоби әдісі (барлық үлкен кәмелетке толмағандар жағдайында нөлге тең емес):

Жазықтықтағы кез-келген түзу сызықты бірінші ретті теңдеу арқылы беруге болады

Ax + Wu + C \u003d 0,

және A, B тұрақтылары бір уақытта нөлге тең болмайды. Бұл бірінші ретті теңдеу деп аталады түзудің жалпы теңдеуі.A, B және C тұрақтыларының мәндеріне байланысты келесі ерекше жағдайлар мүмкін:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - түзу басынан өтеді

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - түзу сызық Ох осіне параллель

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - түзу Oy өсіне параллель

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - түзу сызығы Oy осімен сәйкес келеді

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - түзу сызығы Ox осімен сәйкес келеді

Түзудің теңдеуі берілген бастапқы шарттарға байланысты әр түрлі формада ұсынылуы мүмкін.

Кеңістіктегі түзу сызықты көрсетуге болады:

1) екі жазықтықтың қиылысу сызығы ретінде, яғни. теңдеулер жүйесі:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) оның екі нүктесі бойынша M 1 (x 1, y 1, z 1) және M 2 (x 2, y 2, z 2), содан кейін олар арқылы өтетін түзу теңдеулермен беріледі:

= ; (3.3)

3) оған жататын M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесі және векторы а(m, n, p), оған коллинеар. Содан кейін түзу теңдеулермен анықталады:

. (3.4)

(3.4) теңдеулер деп аталады түзудің канондық теңдеулері.

Векторлық а деп аталады түзудің бағыттаушы векторы.

Тікелей сызықтың параметрлік теңдеулерін (3.4) қатынастардың әрқайсысын t параметріне теңдеу арқылы аламыз:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

(3.2) жүйесін белгісіздерге қатысты сызықтық теңдеулер жүйесі ретінде шешу х және ж, біз жолдың теңдеулеріне келеміз проекциялар немесе түзудің қысқартылған теңдеулері:

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3.6)

(3.6) теңдеулерден канондық теңдеулерге табу арқылы өтуге болады з әрбір теңдеуден және алынған мәндерді теңестіруден:

.

Жалпы теңдеулерден (3.2) канондыққа өтуге болады, егер осы түзудің кейбір нүктесін және оның бағыт векторын тапсақ n= [n 1 , n 2], қайда n 1 (A 1, B 1, C 1) және n 2 (A 2, B 2, C 2) - берілген жазықтықтардың қалыпты векторлары. Егер бөлгіштердің бірі болса м, п немесе r теңдеулерде (3.4) нөлге тең болып шығады, содан кейін сәйкес бөлшектің нумераторын нөлге тең етіп қою керек, яғни. жүйе

жүйеге балама ; мұндай түзу Ох осіне перпендикуляр.

Жүйе x \u003d x 1, y \u003d y 1 жүйесіне эквивалентті; түзу Oz осіне параллель орналасқан.

Координаталарға қатысты бірінші дәрежелі кез-келген теңдеу x, y, z

Ax + By + Cz + D \u003d 0 (3.1)

жазықтықты анықтайды, және керісінше: кез келген жазықтықты (3.1) теңдеуімен көрсетуге болады, ол деп аталады жазықтық теңдеуі.

Векторлық n (A, B, C) жазықтыққа ортогональ деп аталады қалыпты вектор ұшақ. (3.1) теңдеуде A, B, C коэффициенттері бір уақытта 0-ге тең болмайды.

(3.1) теңдеудің ерекше жағдайлары:

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - жазықтық бастама арқылы өтеді.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - жазықтық Oz осіне параллель.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - жазықтық Oz осінен өтеді.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - жазықтық Ойз жазықтығына параллель.

Координата жазықтықтарының теңдеулері: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Сызық ұшаққа тиесілі болуы немесе болмауы мүмкін. Ол жазықтыққа жатады, егер оның кем дегенде екі нүктесі жазықтықта жатса.

Егер түзу жазықтыққа жатпаса, онда оған параллель немесе қиылысуы мүмкін.

Түзу жазықтыққа параллель болса, егер ол осы жазықтықта жатқан басқа түзуге параллель болса.

Түзу жазықтықты әр түрлі бұрыштармен қиып өтіп, атап айтқанда, оған перпендикуляр бола алады.

Жазықтыққа қатысты нүктені келесідей орналастыруға болады: оған тиесілі немесе тиесілі емес. Нүкте жазықтыққа жатады, егер ол осы жазықтықта орналасқан түзу сызықта орналасса.

Кеңістікте екі сызық не қиылысуы, не параллель болуы, не қиылысуы мүмкін.

Проекцияларда сызық кесінділерінің параллельдігі сақталады.

Егер түзулер қиылысатын болса, онда олардың аттас проекцияларының қиылысу нүктелері бірдей байланыс жолында болады.

Айқасқан сызықтар бір жазықтыққа жатпайды, яғни. қиылыспаңыз немесе параллель болмаңыз.

сызбада бөлек алынған аттас сызықтардың проекцияларында қиылысатын немесе параллель түзулердің белгілері болады.

Эллипс. Эллипс - бұл екі тұрақты нүктеге (фокусқа) дейінгі қашықтықтың қосындысы эллипстің барлық нүктелері үшін бірдей тұрақты мәнге тең болатын нүктелер локусы (бұл тұрақты мән фокустың арақашықтығынан үлкен болуы керек).

Қарапайым эллипс теңдеуі

Қайда а - эллипстің жартылай ірі осі, б - эллипстің жартылай минор осі. Егер 2 c - бұл ошақтар арасындағы қашықтық, содан кейін а, б және c (егер а а > б) қатынас бар

а 2 - б 2 = c 2 .

Эллипстің эксцентриситеті - бұл эллипс фокустары арасындағы қашықтықтың оның үлкен осінің ұзындығына қатынасы.

Эллипстің эксцентриситеті бар e < 1 (так как c < а), ал оның фокустары үлкен осьте орналасқан.

Суретте көрсетілген гиперболаның теңдеуі.

Параметрлер:
a, b - жартылай осьтер;
- ошақтар арасындағы қашықтық,
- эксцентриситет;
- асимптоталар;
- режиссерлер.
Суреттің центрінде көрсетілген тіктөртбұрыш негізгі тіктөртбұрыш, оның диагональдары асимптоталар.