Санның квадрат түбірі дәрежесі. Көбейту түбірлері: әдістері мен қолданылуы. Көбейтудің негізгі ережесі

Дәреже формулаларыкүрделі өрнектерді азайту және ықшамдау процесінде, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қолданылады.

Сан вболып табылады n-санның дәрежесі аҚашан:

Дәрежелері бар амалдар.

1. Бірдей базасы бар дәрежелерді көбейту арқылы олардың көрсеткіштері қосылады:

а м·a n = a m + n .

2. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлгенде олардың дәрежелері шегеріледі:

3. 2 немесе одан да көп факторлардың көбейтіндісінің дәрежесі осы факторлардың дәрежелерінің көбейтіндісіне тең:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Бөлшектің дәрежесі дивиденд пен бөлгіштің дәрежелерінің қатынасына тең:

(a/b) n = a n /b n .

5. Дәрежені дәрежеге көтергенде, дәрежелер көбейтіледі:

(a m) n = a m n .

Жоғарыдағы әрбір формула солдан оңға және керісінше бағытта дұрыс.

Мысалы. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Түбірлермен операциялар.

1. Бірнеше факторлардың туындысының түбірі осы факторлардың түбірлерінің көбейтіндісіне тең:

2. Қатынас түбірі дивиденд пен түбірлердің бөлгішінің қатынасына тең:

3. Түбірді дәрежеге көтергенде, радикалды санды осы дәрежеге көтеру жеткілікті:

4. Егер сіз түбірдің дәрежесін арттырсаңыз nбір уақытта және бір уақытта салу n th дәрежесі радикалды сан болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:

5. Түбірдің дәрежесін төмендетсеңіз nбір уақытта тамырды алыңыз nРадикалды санның -ші дәрежесі болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:

Теріс көрсеткіші бар дәреже.Оң емес (бүтін) дәреже көрсеткіші бар белгілі бір санның дәрежесі оң емес көрсеткіштің абсолютті мәніне тең дәреже көрсеткіші бар сол санның дәрежесіне бөлінген бір санмен анықталады:

Формула а м:a n =a m - nүшін ғана емес қолдануға болады м> n, бірақ сонымен бірге м< n.

Мысалы. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Формулаға а м:a n =a m - nқашан әділетті болды m=n, нөлдік дәреженің болуы талап етіледі.

Нөлдік индексі бар дәреже.Нөлдік көрсеткіші бар нөлге тең емес кез келген санның дәрежесі бірге тең.

Мысалы. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Бөлшек көрсеткіші бар дәреже.Нақты санды көтеру үшін Адәрежесіне дейін м/н, түбірін шығарып алу керек nші дәрежесі м-осы санның дәрежесі А.

Түбір алу операциясын тәжірибеде сәтті қолдану үшін осы операцияның қасиеттерімен танысу керек.
Барлық қасиеттер түбір белгілерінің астындағы айнымалылардың теріс емес мәндері үшін ғана тұжырымдалған және дәлелденген.

Теорема 1. Екі теріс емес чиптердің көбейтіндісінің n-ші түбірі (n=2, 3, 4,...) осы сандардың n-ші түбірлерінің көбейтіндісіне тең:

Пікір:

1. 1-теорема радикалды өрнек екі теріс емес санның көбейтіндісі болған жағдайда жарамды болып қалады.

2-теорема.Егер, және n - 1-ден үлкен натурал сан, онда теңдік ақиқат болады

Қысқаша(дәл болмаса да) тәжірбиеде қолдануға ыңғайлы тұжырым: бөлшектің түбірі түбірлердің үлесіне тең.

1-теорема t көбейтуге мүмкіндік береді тек бірдей дәрежедегі тамырлар , яғни. тек бірдей индексі бар түбірлер.

Теорема 3.Егер ,k - натурал сан және n - 1-ден үлкен натурал сан, онда теңдік ақиқат болады

Басқаша айтқанда, табиғи күшке тамырды көтеру үшін, осы күшке түбегейлі өрнекті көтеру жеткілікті.
Бұл 1-теореманың салдары. Іс жүзінде, мысалы, k = 3 үшін біз мынаны аламыз: k көрсеткішінің кез келген басқа табиғи мәні жағдайында біз дәл осылай пайымдай аламыз.

Теорема 4.Егер ,k, n - 1-ден үлкен натурал сандар, онда теңдік ақиқат болады

Басқаша айтқанда, тамырдан тамыр алу үшін тамырдың көрсеткіштерін көбейту жеткілікті.
Мысалы,

Сақ болыңыз!Түбірлерге төрт амалды орындауға болатынын білдік: көбейту, бөлу, дәрежеге шығару және түбірді алу (түбірден). Бірақ түбірлерді қосу және азайту туралы не деуге болады? Мүмкін емес.
Мысалы, шын мәнінде деп жазудың орнына, бірақ бұл анық

Теорема 5. Егер түбір мен радикалды өрнектің көрсеткіштері бірдей натурал санға көбейтіледі немесе бөлінеді, онда түбірдің мәні өзгермейді, яғни.

Есептерді шешу мысалдары

1-мысал.Есептеу

Шешім.Түбірлердің бірінші қасиетін (1-теорема) пайдаланып, мынаны аламыз:

2-мысал.Есептеу
Шешім.Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыр.
Бізде түбірлердің екінші қасиетін пайдалану ( 2-теорема ), Біз алып жатырмыз:

3-мысал.Есептеу:

Шешім.Алгебрадағы кез келген формула, өзіңіз білетіндей, «солдан оңға» ғана емес, сонымен қатар «оңнан солға» қолданылады. Сонымен, түбірлердің бірінші қасиеті олардың формада ұсынылып, керісінше өрнекпен ауыстырылуын білдіреді. Дәл осылай түбірлердің екінші қасиетіне де қатысты. Осыны ескере отырып, есептеулерді орындайық.

Иррационал өрнектер және оларды түрлендіру

Өткен жолы біз оның не екенін еске түсірдік (немесе кімге байланысты білдік). , осындай тамырларды алуды үйренді, тамырдың негізгі қасиеттерін бөлшектеп сұрыптап, түбірлері бар қарапайым мысалдарды шешті.

Бұл сабақ алдыңғы сабақтың жалғасы болады және түбірлердің барлық түрін қамтитын әртүрлі өрнектерді түрлендіруге арналады. Мұндай өрнектер деп аталады қисынсыз. Мұнда әріптері бар өрнектер, қосымша шарттар, бөлшектердегі иррационалдықтан арылу және түбірмен жұмыс істеудің кейбір озық әдістері пайда болады. Осы сабақта талқыланатын әдістер күрделіліктің кез келген дерлік деңгейіндегі USE мәселелерін (тек қана емес) шешу үшін жақсы негіз болады. Ендеше, бастайық.

Ең алдымен, мен мұнда түбірлердің негізгі формулалары мен қасиеттерін қайталаймын. Тақырыптан тақырыпқа көшіп кетпеу үшін. Міне олар:

сағ

Сіз бұл формулаларды білуіңіз керек және оларды қолдана білуіңіз керек. Және екі бағытта - солдан оңға және оңнан солға қарай. Кез келген күрделілік дәрежесіндегі түбірлері бар көптеген тапсырмалардың шешімі соларға негізделген. Әзірге ең қарапайым нәрседен бастайық - формулаларды немесе олардың комбинацияларын тікелей қолданудан.

Формулаларды оңай қолдану

Бұл бөлімде қарапайым және зиянсыз мысалдар қарастырылады - әріптерсіз, қосымша шарттарсыз және басқа да амалдарсыз. Дегенмен, тіпті оларда, әдетте, опциялар бар. Ал мысал неғұрлым күрделі болса, соғұрлым мұндай нұсқалар көп болады. Ал тәжірибесіз студент басты мәселеге тап болады – неден бастау керек? Мұнда жауап қарапайым - Егер сізге не қажет екенін білмесеңіз, қолыңыздан келгенін жасаңыз. Сіздің әрекеттеріңіз математика ережелерімен тыныштықта және үйлесімді болса және оларға қайшы келмесе.) Мысалы, бұл тапсырма:

Есептеу:

Осындай қарапайым мысалдың өзінде жауаптың бірнеше мүмкін жолдары бар.

Біріншісі - тамырларды бірінші қасиетке көбейту және нәтижеден түбірді алу:

Екінші нұсқа: біз оған қол тигізбейміз, біз онымен жұмыс істейміз. Көбейткішті түбір белгісінің астынан шығарамыз, содан кейін - бірінші қасиеті бойынша. Бұл сияқты:

Қалағаныңызша шеше аласыз. Кез келген нұсқада жауап бір - сегіз. Мысалы, мен үшін 4 пен 128-ді көбейтіп, 512-ні алу оңайырақ, бұл саннан текше түбірін оңай алуға болады. Егер біреу 512 саны 8 текше екенін есіне түсірмесе, онда бұл маңызды емес: 512-ні 2 9 деп жазуға болады (екеудің алғашқы 10 дәрежесі, есіңізде ме деп үміттенемін?) және дәреженің түбірінің формуласын қолдана аласыз. :

Тағы бір мысал.

Есептеңіз: .

Егер сіз бірінші қасиетке сәйкес жұмыс жасасаңыз (бәрін бір тамырдың астына қою), сіз үлкен сан аласыз, содан кейін тамырды алуға болады - қант емес. Оның нақты шығарылатыны шындық емес.) Сондықтан бұл жерде сандағы түбірдің астындағы факторларды алып тастау пайдалы. Және барынша пайдаланыңыз:

Ал қазір бәрі жақсы:

Бір түбір астына сегіз бен екеуін жазу ғана қалды (бірінші қасиет бойынша) және жұмыс орындалады. :)

Енді кейбір бөлшектерді қосайық.

Есептеу:

Мысал өте қарапайым, бірақ оның нұсқалары да бар. Алымды түрлендіру және оны бөлгішпен азайту үшін көбейткішті пайдалануға болады:

Немесе тамырларды бөлу формуласын дереу қолдануға болады:

Көріп отырғанымыздай, анау-мынау – бәрі дұрыс.) Егер сіз жарты жолда сүрінбей, қателессеңіз. Бұл жерде мен қай жерде қателесуім мүмкін ...

Енді өткен сабақтың үй тапсырмасынан соңғы мысалды қарастырайық:

Жеңілдету:

Тамырлардың мүлдем елестетпейтін жиынтығы, тіпті ұяшықтары да. Не істейін? Ең бастысы қорықпау керек! Мұнда біз алдымен түбірлердің астынан 2, 4 және 32 сандарын байқаймыз - екінің дәрежесі. Ең алдымен, барлық сандарды екіге дейін азайту керек: мысалдағы бірдей сандар неғұрлым көп болса және әртүрлі сандар неғұрлым аз болса, соғұрлым оңайырақ болады.) Бірінші фактордан бөлек бастайық:

Санды түбірдің астындағы екеуін түбірлік дәрежедегі төртпен азайту арқылы жеңілдетуге болады:

Енді жұмыстың түбірі бойынша:

.

Санда түбір белгісі ретінде екеуін шығарамыз:

Ал біз түбір формуласының түбірін пайдаланып өрнекпен айналысамыз:

Сонымен, бірінші фактор келесідей жазылады:

Ұяланған тамырлар жоғалып кетті, сандар азайып кетті, бұл қазірдің өзінде қуантады. Тек тамыры әртүрлі, бірақ біз оны әзірге осылай қалдырамыз. Қажет болса, біз оларды бірдей түрлендіреміз. Екінші факторды алайық.)

Көбейтіндінің түбірі мен түбірдің түбірінің формуласын қолданып, екінші көбейткішті де дәл осылай түрлендіреміз. Қажет болған жағдайда бесінші формуланы пайдаланып көрсеткіштерді төмендетеміз:

Біз барлығын бастапқы мысалға қойып, аламыз:

Біз мүлдем басқа тамырлардың тұтас шоғырының өнімін алдық. Олардың барлығын бір көрсеткішке келтірсек жақсы болар еді, сосын көреміз. Бұл әбден мүмкін. Түбір дәрежелердің ең үлкені 12, ал қалғандарының барлығы - 2, 3, 4, 6 - 12 санының бөлгіштері. Сондықтан бесінші қасиетке сәйкес барлық түбірлерді бір дәреже көрсеткішіне - 12-ге келтіреміз:

Біз санаймыз және аламыз:

Біз жақсы нөмір алмадық, бірақ бұл жақсы. Бізден сұрады жеңілдетуөрнек, емес санау. Жеңілдетілген бе? Әрине! Жауаптың түрі (бүтін сан немесе жоқ) енді мұнда ешқандай рөл атқармайды.

Кейбір қосу/азайту және қысқартылған көбейту формулалары

Өкінішке орай, жалпы формулалар түбірлерді қосу және азайтуматематикада жоқ. Дегенмен, тапсырмаларда түбірлері бар бұл әрекеттер жиі кездеседі. Мұнда кез келген түбірлер алгебрадағы әріптермен бірдей математикалық таңбалар екенін түсіну керек.) Ал, әріптерге қатысты түбірлерге де бірдей әдістер мен ережелер қолданылады - жақшаларды ашу, ұқсастарын келтіру, қысқартылған көбейту формулалары және т.б.. П.

Мысалы, бұл барлығына түсінікті. Ұқсас бірдейТүбірлерді бір-біріне оңай қосуға/алып тастауға болады:

Егер түбірлер әртүрлі болса, онда біз оларды бірдей ету жолын іздейміз – көбейткішті қосу/азайту немесе бесінші сипатты қолдану арқылы. Егер ол қандай да бір жолмен жеңілдетілмеген болса, онда түрлендірулер әлдеқайда айлакер болуы мүмкін.

Бірінші мысалды қарастырайық.

Өрнектің мағынасын табыңыз: .

Барлық үш тамыр текше болса да, қайдан әртүрлісандар. Олар таза алынбайды және бір-бірінен қосылып/алып тасталады. Сондықтан мұнда жалпы формулаларды қолдану жұмыс істемейді. Не істейін? Әрбір түбірдегі факторларды шығарайық. Қалай болғанда да, одан да жаман болмайды.) Сонымен қатар, басқа нұсқалар жоқ:

Бұл, .

Бұл шешім. Мұнда біз көмек арқылы әртүрлі тамырдан бір тамырға көштік көбейткішті түбір астынан алып тастау. Содан кейін олар жай ғана ұқсастарын әкелді.) Әрі қарай шешеміз.

Өрнектің мәнін табыңыз:

Он жетінің түбірі туралы ештеңе істей алмайтыныңыз анық. Біз бірінші қасиет бойынша жұмыс істейміз - екі тамырдың туындысынан бір тамыр жасаймыз:

Енді толығырақ қарастырайық. Біздің үлкен текше түбіріміздің астында не бар? Айырмашылық – бұл... Ал, әрине! Квадраттардың айырмашылығы:

Енді түбірін шығару ғана қалды: .

Есептеу:

Мұнда сіз математикалық тапқырлықты көрсетуіңіз керек.) Біз шамамен келесідей ойлаймыз: «Сонымен, мысалда тамырдың өнімі. Бір түбірдің астында айырма, ал екіншісінің астында қосынды жатыр. Квадраттардың айырмашылығы формуласына өте ұқсас. Бірақ... Тамырлары басқа! Біріншісі төртбұрышты, екіншісі төртінші дәрежелі... Бұларды бірдей етіп жасаса жақсы болар еді. Бесінші қасиет бойынша шаршы түбірден төртінші түбірді оңай жасауға болады. Ол үшін түбегейлі өрнекті квадраттау жеткілікті».

Егер сіз дәл осылай ойласаңыз, онда сіз жетістікке жетудің жарты жолындасыз. Өте дұрыс! Бірінші көбейткішті төртінші түбірге айналдырайық. Бұл сияқты:

Енді ештеңе істеудің қажеті жоқ, бірақ сіз айырмашылықтың квадратының формуласын есте сақтауыңыз керек. Тек тамырларға қолданғанда. Енді не? Неліктен түбірлер басқа сандардан немесе өрнектерден нашар?! Біз құрастырамыз:

«Хмм, олар оны тұрғызды, сонда не? Желкек шалғамнан тәтті емес. Тоқта! Ал түбір астындағы төртеуін шығарсаң? Сонда екінші түбірдің астындағыдай өрнек пайда болады, тек минус бар, біз дәл осы мақсатқа жетуге тырысамыз!»

Дұрыс! Төртеуін алайық:

.

Ал енді - технология мәселесі:

Күрделі мысалдар осылайша шешіледі.) Енді бөлшектермен жаттығу уақыты келді.

Есептеу:

Нөмірді түрлендіру керек екені анық. Қалай? Әрине, қосындының квадратының формуласын қолдану. Бізде басқа нұсқалар бар ма? :) Біз оны квадраттаймыз, факторларды шығарамыз, көрсеткіштерді азайтамыз (қажет болған жағдайда):

Апыр-ай! Бөлшектің бөлгішін дәл алдық.) Бұл бүтін бөлшек бірге тең екені анық:

Тағы бір мысал. Енді қысқартылған көбейтудің басқа формуласында ғана.)

Есептеу:

Айырмашылықтың квадратын іс жүзінде қолдану керек екені түсінікті. Бөлгішті бөлек жазамыз және - кеттік!

Біз факторларды тамырдың астынан алып тастаймыз:

Демек,

Енді барлық жаман нәрселер өте азайып, келесідей болды:

Ал, келесі деңгейге көшейік. :)

Хаттар және қосымша шарттар

Түбірлері бар әріптік өрнектер сандық өрнектерге қарағанда күрделірек және тітіркендіргіш және өте күрделі қателердің сарқылмас көзі болып табылады. Бұл дереккөзді жабайық.) Мұндай тапсырмаларда теріс сандар мен өрнектер жиі кездесетіндіктен қателер туындайды. Олар бізге тікелей тапсырмада беріледі немесе жасырылады хаттар және қосымша шарттар. Ал тамырлармен жұмыс істеу барысында біз тамырда екенін үнемі есте ұстауымыз керек тіпті дәрежетамырдың астында да, тамырды алу нәтижесінде де болуы керек теріс емес өрнек. Осы тармақтың тапсырмаларындағы негізгі формула төртінші формула болады:

Тақ дәрежелі түбірлері бар сұрақтар жоқ - бәрі әрқашан оң және теріс шығарылады. Ал минус, егер бірдеңе болса, алға шығарылады. Тікелей тамырларға көшейік тіптідәреже.) Мысалы, осындай қысқа тапсырма.

Жеңілдету: , Егер .

Барлығы қарапайым болып көрінетін. Бұл жай ғана X болып шығады.) Бірақ неге қосымша шарт? Мұндай жағдайларда сандармен бағалау пайдалы. Таза өзім үшін.) Егер, онда x теріс сан екені анық. Мысалы, минус үш. Немесе минус қырық. рұқсат етіңіз. Минус үштен төртінші дәрежеге дейін көтере аласыз ба? Әрине! Нәтиже 81. 81 санының төртінші түбірін шығаруға болады ма? Неге жоқ? Болады! Сіз үшеу аласыз. Енді бүкіл тізбекті талдап көрейік:

Біз не көріп тұрмыз? Кіріс теріс сан болды, ал шығыс оң болды. Минус үш болды, енді плюс үш.) Әріптерге оралайық. Күмәнсіз, модуль ол дәл X болады, бірақ тек Х-тің өзі минус (шарт бойынша!), ал шығару нәтижесі (арифметикалық түбірге байланысты!) плюс болуы керек. Плюсты қалай алуға болады? Өте оңай! Ол үшін анық теріс санның алдына минус қою жеткілікті.) Ал дұрыс шешім келесідей:

Айтпақшы, формуланы қолдансақ, модульдің анықтамасын еске түсірсек, біз бірден дұрыс жауап алар едік. Өйткені

|x| = -x x кезінде<0.

Түбір белгісінен факторды алып тастаңыз: , Қайда .

Бірінші көзқарас - түбегейлі өрнек. Мұнда бәрі жақсы. Кез келген жағдайда ол теріс емес болады. Шығаруды бастайық. Өнімнің түбірінің формуласын пайдаланып, әрбір фактордың түбірін шығарамыз:

Модульдердің қайдан шыққанын түсіндірудің қажеті жоқ деп ойлаймын.) Енді модульдердің әрқайсысын талдап көрейік.

мультипликатор | а | біз оны өзгеріссіз қалдырамыз: хатқа ешқандай шартымыз жоқа. Оның оң немесе теріс екенін білмейміз. Келесі модуль |б 2 | қауіпсіз түрде алып тастауға болады: кез келген жағдайда өрнекб 2 теріс емес. Бірақ | туралыc 3 | - бұл жерде мәселе әлдеқашан бар.) Егер, содан кейін c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть минуспен: | c 3 | = - c 3 . Жалпы алғанда, дұрыс шешім:

Ал енді – кері мәселе. Ең оңай емес, мен сізге бірден ескертемін!

Түбір белгісінің астына көбейткішті енгізіңіз: .

Шешімді бірден осылай жазып алсаңыз

сосың сен тұзаққа түсті. Бұл қате шешім! Не болды?

Түбір астындағы өрнекті толығырақ қарастырайық. Төртінші дәреженің түбірі астында, біз білетіндей, болуы керек теріс емесөрнек. Әйтпесе, түбірдің мағынасы болмайды.) Сондықтан Ал бұл өз кезегінде мынаны білдіреді және, демек, өзі де болымсыз: .

Ал мұндағы қателік – біз түбегейлі енгізіп жатырмыз оң емессаны: төртінші дәреже оны айналдырады теріс емесжәне дұрыс емес нәтиже алынады - сол жақта әдейі минус, ал оң жақта плюс бар. Және тамырға жағыңыз тіптідәрежеге ғана құқығымыз бар теріс емессандар немесе өрнектер. Ал түбірдің алдына бір болса минус қалдырыңыз.) Сандағы теріс емес көбейткішті қалай анықтаймыз, оның өзі толығымен теріс екенін біле тұра? Иә, дәл солай! Минус қойыңыз.) Және ештеңе өзгермейтіндей етіп, оны басқа минуспен толтырыңыз. Бұл сияқты:

Ал қазірдің өзінде теріс емесБіз барлық ережелерге сәйкес түбірдің астындағы (-b) санын тыныштықпен енгіземіз:

Бұл мысал математиканың басқа салаларынан айырмашылығы, түбірлерде дұрыс жауап әрқашан формулалардан автоматты түрде келе бермейтінін анық көрсетеді. Сіз ойланып, жеке дұрыс шешім қабылдауыңыз керек.) Әсіресе кіретін белгілерге мұқият болғаныңыз жөн иррационал теңдеулер мен теңсіздіктер.

Тамырлармен жұмыс істеу кезінде келесі маңызды техниканы қарастырайық - иррационалдылықтан арылу.

Бөлшектерде иррационалдықты жою

Егер өрнекте түбірлер болса, онда естеріңізге сала кетейін, мұндай өрнек аталады иррационалдықпен өрнектеу. Кейбір жағдайларда, бұл өте қисынсыздықтан (яғни, тамырлардан) құтылу пайдалы болуы мүмкін. Түбірді қалай жоюға болады? Түбіріміз... күшке көтерілгенде жойылады. Түбір көрсеткішіне тең немесе оның еселі индикаторымен. Бірақ, егер біз түбірді дәрежеге көтерсек (яғни, түбірді өзіне қажетті санға көбейтсек), онда өрнек өзгереді. Жақсы емес.) Дегенмен, математикада көбейту өте ауыртпалықсыз тақырыптар бар. Мысалы, бөлшекте. Бөлшектің негізгі қасиетіне сәйкес, алымы мен бөлімі бірдей санға көбейтілсе (бөлінсе), бөлшектің мәні өзгермейді.

Бізге осы бөлшек берілген делік:

Бөлгіштегі түбірден құтылуға бола ма? Болады! Ол үшін тамыр текше болуы керек. Толық текшенің бөлгішінде бізге не жетіспейді? Бізге мультипликатор жетіспейді, яғни.. Сонымен бөлшектің алымы мен бөлімін көбейтеміз

Бөлгіштегі түбір жойылды. Бірақ... ол санауышта пайда болды. Ештеңе істеу мүмкін емес, тағдыр солай.) Бұл енді біз үшін маңызды емес: бізден бөлгішті тамырдан босатуды сұрады. Босатылған? Сөзсіз.)

Айтпақшы, тригонометрияны жақсы білетіндер кейбір оқулықтар мен кестелерде, мысалы, олар басқаша белгілейтініне назар аударған болуы мүмкін: бір жерде және бір жерде. Сұрақ – не дұрыс? Жауап: бәрі дұрыс!) Егер сіз солай деп тапсаңыз– бұл жай бөлшектің бөлгішіндегі иррационалдықтан құтылудың нәтижесі. :)

Неліктен біз өзімізді бөлшектегі қисынсыздықтан босатуымыз керек? Оның қандай айырмашылығы бар – түбір алымда ма, әлде бөлгіште ме? Калькулятор бәрібір бәрін есептеп береді.) Калькуляторға қосылмағандар үшін іс жүзінде ешқандай айырмашылық жоқ... Бірақ калькулятормен санаса да, мынаған назар аударуға болады: бөлуқосулы тұтаснөмір әрқашан қосулыға қарағанда ыңғайлы және жылдамырақ қисынсыз. Мен бағанға бөлу туралы үндемеймін.)

Келесі мысал менің сөздерімді растайды.

Бұл жерде бөлгіштің квадрат түбірін қалай жоюға болады? Егер алым мен бөлгіш өрнекке көбейтілсе, онда бөлгіш қосындының квадраты болады. Бірінші және екінші сандардың квадраттарының қосындысы бізге түбірі жоқ жай сандарды береді, бұл өте қуантады. Дегенмен... ол пайда болады қос өнімбірінші саннан екіншісіне ауысады, мұнда үштің түбірі қалады. Ол арна бермейді. Не істейін? Қысқартылған көбейтудің тағы бір тамаша формуласын есте сақтаңыз! Қосарлы көбейтінділер жоқ, тек квадраттар бар жерде:

Белгілі бір қосындыға (немесе айырмашылыққа) көбейтілгенде пайда болатын өрнек квадраттардың айырмашылығы, деп те аталады жалғаулық өрнек. Біздің мысалда конъюгаттық өрнек айырмашылық болады. Сонымен, алым мен бөлгішті мына айырмашылыққа көбейтеміз:

Мен не айта аламын? Біздің айла-шарғыларымыздың нәтижесінде бөлгіштің түбірі жойылып қана қоймай, бөлшек мүлде жоғалып кетті! :) Калькулятор болса да, үштен үштің түбірін шегеру азайғышта түбірі бар бөлшекті есептеуге қарағанда оңайырақ. Тағы бір мысал.

Бөлшектің бөлгішіндегі иррационалдықтан босатыңыз:

Бұдан қалай шығуға болады? Квадраттармен қысқартылған көбейтуге арналған формулалар бірден жұмыс істемейді - бұл жолы біздің түбіріміз шаршы емес, өйткені түбірлерді толығымен жою мүмкін болмайды. текше. Түбір қандай да бір түрде текшеге көтерілуі керек. Сондықтан текшелері бар формулалардың бірін пайдалану керек. Қайсысы? Бұл туралы ойланайық. Бөлгіш – қосынды. Түбірдің кубына қалай қол жеткізе аламыз? Көбейту жартылай квадрат айырмасы! Сонымен, біз формуланы қолданамыз текшелердің қосындысы. Бұл:

Ретінде абізде үш және сапа ретінде б– бестің текше түбірі:

Және тағы да бөлшек жоғалып кетті.) Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан босатылған кезде, бөлшектің өзі түбірлермен бірге толығымен жойылатын жағдайлар өте жиі кездеседі. Сізге бұл мысал қалай ұнады!

Есептеу:

Осы үш бөлшекті қосып көріңіз! Қателер жоқ! :) Бір ортақ бөлгішке тұрарлық. Егер біз әрбір бөлшектің бөлгішіндегі қисынсыздықтан құтылуға тырыссақ ше? Ал, тырысайық:

Уау, қандай қызық! Барлық бөлшектер жойылды! Толығымен. Ал енді мысалды екі жолмен шешуге болады:

Қарапайым және талғампаз. Және ұзақ және жалықтыратын есептеулерсіз. :)

Сондықтан бөлшекте иррационалдықтан босату операциясын жасай білу керек. Мұндай күрделі мысалдарда бұл құтқаратын жалғыз нәрсе, иә.) Әрине, ешкім мұқияттылықты жойған жоқ. Сізге қисынсыздықтан арылу сұралатын тапсырмалар бар алым. Бұл тапсырмалар қарастырылғандардан еш айырмашылығы жоқ, тек санауыш түбірлерден тазартылады.)

Неғұрлым күрделі мысалдар

Түбірлермен жұмыс істеудің кейбір арнайы әдістерін қарастыру және қарапайым мысалдарды емес, шиеленісті шешуді үйрену қалады. Содан кейін алынған ақпарат кез келген күрделілік деңгейіндегі түбірлері бар тапсырмаларды шешу үшін жеткілікті болады. Сонымен - жалғастырыңыз.) Алдымен, түбір формуласынан алынған түбір жұмыс істемегенде, кірістірілген тамырлармен не істеу керектігін анықтайық. Мысалы, мына бір мысал.

Есептеу:

Түбір түбірдің астында... Оның үстіне түбірдің астында қосынды немесе айырма бар. Демек, түбірдің түбірінің формуласы (дәрежелерді көбейтумен) осында Жұмыс істемейді. Сондықтан бір нәрсе істеу керек радикалды өрнектер: Бізде басқа амал жоқ. Мұндай мысалдарда көбінесе үлкен түбір шифрланады тамаша шаршыкейбір сома. Немесе айырмашылықтар. Ал шаршының түбірі қазірдің өзінде керемет шығарылды! Ал енді біздің міндетіміз оның шифрын ашу.) Мұндай шифрды шешу арқылы әдемі орындалады теңдеулер жүйесі. Енді бәрін өзіңіз көресіз.)

Сонымен, бірінші түбірдің астында бізде мына өрнек бар:

Егер сіз дұрыс таппасаңыз ше? Тексерейік! Қосындының квадратының формуласын қолданып, оны квадраттаймыз:

Дұрыс.) Бірақ... Мен бұл өрнекті қайдан алдым? Аспаннан?

Жоқ.) Шынымды айтсам, сәл төменірек аламыз. Осы өрнекті қолдана отырып, мен тапсырма авторларының мұндай квадраттарды қалай шифрлайтынын нақты көрсетемін. :) 54 деген не? Бұл бірінші және екінші сандардың квадраттарының қосындысы. Ал, назар аударыңыз, қазірдің өзінде тамырсыз! Ал түбірі сонда қалады қос өнім, ол біздің жағдайда тең. Сондықтан мұндай мысалдарды ашу қос туындыны іздеуден басталады. Егер сіз әдеттегі таңдаумен шешсеңіз. Айтпақшы, белгілер туралы. Мұнда бәрі қарапайым. Қосардың алдында плюс болса, онда қосындының квадраты. Егер бұл минус болса, онда айырмашылықтар.) Бізде плюс бар – бұл қосындының квадратын білдіреді.) Ал енді – декодтаудың уәде етілген аналитикалық әдісі. Жүйе арқылы.)

Демек, біздің түбіріміздің астарында өрнек ілулі тұрғаны анық (a+b) 2, ал біздің міндетіміз – табу аЖәне б. Біздің жағдайда квадраттардың қосындысы 54 береді. Сонымен жазамыз:

Енді өнімді екі есе көбейтіңіз. Бізде бар. Сондықтан біз оны жазамыз:

Бізде бұл жүйе:

Біз әдеттегі ауыстыру әдісімен шешеміз. Мысалы, екінші теңдеуден өрнектеп, оны біріншіге ауыстырамыз:

Бірінші теңдеуді шешейік:

Түсіндім биквадраттықсалыстырмалы теңдеуа . Дискриминантты есептейміз:

білдіреді,

Біз төрт мүмкін мәнді алдықа. Біз қорықпаймыз. Енді біз барлық қажет емес нәрселерді алып тастаймыз.) Егер біз төрт табылған мәннің әрқайсысы үшін сәйкес мәндерді есептесек, жүйеміздің төрт шешімін аламыз. Міне олар:

Және бұл жерде сұрақ туындайды - біз үшін қандай шешім дұрыс? Бұл туралы ойланайық. Теріс шешімдерді дереу жоюға болады: квадраттау кезінде минустар «жанып кетеді» және тұтастай алғанда бүкіл радикалды өрнек өзгермейді.) Алғашқы екі нұсқа қалады. Сіз оларды толығымен ерікті түрде таңдай аласыз: шарттарды қайта реттеу қосындыны өзгертпейді.) Мысалы, a болсын.

Барлығы түбір астындағы келесі қосындының квадратын алдық:

Бәрі түсінікті.)

Шешім қабылдау процесін осылайша егжей-тегжейлі сипаттауым бекер емес. Шифрды шешудің қалай болатынын түсіну үшін.) Бірақ бір мәселе бар. Дешифрлеудің аналитикалық әдісі, сенімді болғанымен, өте ұзақ және қиын: сіз биквадрат теңдеуді шешуіңіз керек, жүйенің төрт шешімін алуыңыз керек, содан кейін қайсысын таңдау керектігі туралы әлі де ойлануыңыз керек... Мазасыз ба? Мен келісемін, бұл қиын. Бұл әдіс осы мысалдардың көпшілігінде мінсіз жұмыс істейді. Дегенмен, жиі сіз өзіңізді көп жұмысты үнемдей аласыз және екі нөмірді де шығармашылықпен таба аласыз. Таңдау бойынша.) Иә, иә! Енді екінші мүшенің (екінші түбір) мысалын қолдана отырып, мен түбір астындағы толық квадратты оқшаулаудың оңай және жылдам әдісін көрсетемін.

Енді бізде мына тамыр бар: .

Осылай ойланайық: «Түбірдің астында шифрланған толық шаршы болуы мүмкін. Қосардың алдында минус болса, ол айырманың квадратын білдіреді. Бірінші және екінші сандардың квадраттарының қосындысы бізге санды береді 54. Бірақ бұл қандай шаршылар? 1 және 53? 49 және 5 ? Тым көп нұсқалар бар ... Жоқ, екі еселенген өніммен шешуді бастаған дұрыс. Біздіңдеп жазуға болады. Бір рет өнім еселенген, содан кейін екеуін бірден тастаймыз. Содан кейін рөлге үміткерлер a және b 7 және қалады. 14 болса ше/2 ? Жоққа шығаруға болмайды. Бірақ біз әрқашан қарапайым нәрседен бастаймыз!»Сонымен, рұқсат етіңіз, а. Оларды квадраттардың қосындысы үшін тексерейік:

Болды! Бұл біздің радикалды өрнек шын мәнінде айырмашылықтың квадраты екенін білдіреді:

Міне, жүйемен араласпаудың жеңіл жолы. Бұл әрқашан жұмыс істемейді, бірақ осы мысалдардың көпшілігінде бұл жеткілікті. Сонымен, түбірлердің астында толық квадраттар бар. Тек тамырларды дұрыс шығарып, мысалды есептеу ғана қалады:

Енді түбірлердегі стандартты емес тапсырманы қарастырайық.)

А саны екенін дәлелдеңдер– бүтін, егер .

Тікелей ешнәрсе алынбайды, тамыры ендірілген, тіпті әртүрлі дәрежеде... Қорқыныш! Дегенмен, тапсырма мағынасы бар.) Сондықтан оны шешудің кілті бар.) Ал мұндағы кілт осы. Біздің теңдігімізді ескеріңіз

Қалай салыстырмалы теңдеу А. Иә Иә! Тамырдан құтылса жақсы болар еді. Біздің түбірлеріміз текше, сондықтан теңдеудің екі жағын да текше етіп алайық. Формула бойынша қосындының кубы:

Текшелер мен текше түбірлер бірін-бірі жоққа шығарады және әрбір үлкен түбірдің астына шаршыдан бір жақша алып, айырма мен қосындының көбейтіндісін квадраттар айырмасына жинаймыз:

Біз түбірлердің астындағы квадраттардың айырмашылығын бөлек есептейміз:

Сабақтың басында біз квадрат түбірлердің негізгі қасиеттерін қарастырамыз, содан кейін квадрат түбірлері бар өрнектерді жеңілдетудің бірнеше күрделі мысалдарын қарастырамыз.

Тақырыбы:Функция. Квадрат түбірдің қасиеттері

Сабақ:Түбірлері бар күрделі өрнектерді түрлендіру және жеңілдету

1. Шаршы түбірлердің қасиеттеріне шолу

Теорияны қысқаша қайталап, квадрат түбірлердің негізгі қасиеттерін еске түсірейік.

Квадрат түбірлердің қасиеттері:

1. сондықтан, ;

3. ;

4. .

2. Түбірлері бар өрнектерді ықшамдауға мысалдар

Осы қасиеттерді пайдалану мысалдарына көшейік.

1-мысал: Өрнекті жеңілдету .

Шешім. Жеңілдету үшін 120 санын жай көбейткіштерге бөлу керек:

Қосындының квадратын сәйкес формула арқылы ашамыз:

2-мысал: Өрнекті жеңілдету .

Шешім. Бұл өрнек айнымалының барлық мүмкін мәндері үшін мағынасы жоқ екенін ескерейік, өйткені бұл өрнекте квадрат түбірлер мен бөлшектер бар, бұл рұқсат етілген мәндер ауқымының «тарылуына» әкеледі. ODZ: ().

Жақшадағы өрнекті ортақ бөлімге келтіріп, соңғы бөлшектің алымын квадраттардың айырмасы ретінде жазайық:

Сағат.

Жауап. сағ.

3-мысал: Өрнекті жеңілдету .

Шешім. Екінші алым жақшаның сыртқы түрі ыңғайсыз және оны жеңілдету қажет екенін көруге болады, оны топтастыру әдісі арқылы көбейтіп көрейік.

Ортақ көбейткіш шығара алу үшін біз түбірлерді көбейткіштерге бөлу арқылы жеңілдеттік. Алынған өрнекті бастапқы бөлшекке ауыстырайық:

Бөлшекті азайтқаннан кейін квадраттардың айырымы формуласын қолданамыз.

3. Қисынсыздықтан арылудың мысалы

Мысал 4. Азайтқыштағы иррационалдықтан (түбірлерден) босатыңыз: а) ; б) .

Шешім. а) Бөлімдегі иррационалдықтан құтылу үшін бөлшектің алымы мен бөлімін де бөлгішке жалғаулық көбейткішке көбейтудің стандартты әдісі қолданылады (бір өрнек, бірақ таңбасы қарама-қарсы). Бұл бөлшектің бөлгішін квадраттардың айырмасына толықтыру үшін жасалады, бұл бөлгіштегі түбірлерден құтылуға мүмкіндік береді. Мұны біздің жағдайда жасайық:

б) ұқсас әрекеттерді орындау:

Жауап.; .

4. Күрделі радикалдағы толық квадратты дәлелдеуге және сәйкестендіруге мысал

Мысал 5. Теңдікті дәлелдеңдер .

Дәлелдеу. Квадрат түбір анықтамасын қолданайық, одан оң жақ өрнектің квадраты радикалды өрнекке тең болуы керек:

. Қосындының квадратының формуласын пайдаланып жақшаларды ашайық:

, біз дұрыс теңдікке ие болдық.

Дәлелденген.

Мысал 6. Өрнекті жеңілдетіңіз.

Шешім. Бұл өрнек әдетте күрделі радикал (түбір астындағы түбір) деп аталады. Бұл мысалда толық квадратты радикалды өрнектен қалай оқшаулау керектігін анықтау керек. Мұны істеу үшін, екі терминнің квадраттық айырма формуласындағы қос көбейтінді рөліне үміткер екенін ескеріңіз (айырма, өйткені минус бар). Оны келесі көбейтінді түрінде жазайық: , онда 1 толық квадраттың мүшелерінің бірі, ал 1 екіншісі екенін айтады.

Осы өрнекті түбір астына қойып көрейік.

Калькуляторлардан бұрын оқушылар мен мұғалімдер квадрат түбірлерді қолмен есептеді. Санның квадрат түбірін қолмен есептеудің бірнеше жолы бар. Олардың кейбіреулері тек шамамен шешімді ұсынса, басқалары нақты жауап береді.

Қадамдар

Жай көбейткіштерге бөлу

Радикалды санды квадрат сандар болатын көбейткіштерге көбейтіңіз.Радикалды санға байланысты сіз шамамен немесе нақты жауап аласыз. Шаршы сандар - бүтін квадрат түбірін алуға болатын сандар. Факторлар деп көбейткенде бастапқы санды беретін сандарды айтады. Мысалы, 8 санының көбейткіштері 2 және 4, өйткені 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 сандары шаршы сандар, өйткені √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Шаршы көбейткіштер факторлар болып табылады, олар квадрат сандар. Алдымен радикалды санды квадраттық көбейткіштерге көбейтіп көріңіз.

• Мысалы, 400-дің квадрат түбірін есептеңіз (қолмен). Алдымен 400-ді квадраттық көбейткіштерге бөліп көріңіз. 400 - 100-ге еселік, яғни 25-ке бөлінеді - бұл шаршы сан. 400-ді 25-ке бөлгенде 16 шығады. 16 саны да шаршы сан. Осылайша, 400-ді 25 және 16-ның квадраттық көбейткіштеріне бөлуге болады, яғни 25 x 16 = 400.
• Оны былай жазуға болады: √400 = √(25 x 16).

1. Кейбір мүшелердің көбейтіндісінің квадрат түбірі әрбір мүшенің квадрат түбірлерінің көбейтіндісіне тең, яғни √(a x b) = √a x √b. Әрбір шаршы фактордың квадрат түбірін алу үшін осы ережені пайдаланыңыз және жауапты табу үшін нәтижелерді көбейтіңіз.

   • Біздің мысалда 25 пен 16-ның түбірін алыңыз.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Егер радикалды сан екі шаршы факторға қосылмаса (және бұл көп жағдайда орын алады), сіз бүтін сан түрінде нақты жауапты таба алмайсыз. Бірақ сіз радикалды санды квадраттық көбейткішке және қарапайым көбейткішке (бүтін квадрат түбірді алуға болмайтын сан) ыдырату арқылы мәселені оңайлатуға болады. Сонда сіз квадрат көбейткіштің квадрат түбірін алып, ортақ көбейткіштің түбірін аласыз.

   • Мысалы, 147 санының квадрат түбірін есептеңіз. 147 санын екі квадрат көбейткіштерге бөлуге болмайды, бірақ оны келесі көбейткіштерге бөлуге болады: 49 және 3. Есепті келесідей шешіңіз:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Қажет болса, түбірдің мәнін бағалаңыз.Енді сіз түбірдің мәнін (шамамен мәнді табыңыз) оны түбегейлі санға ең жақын (сандар сызығының екі жағында) квадрат сандарының түбірлерінің мәндерімен салыстыру арқылы бағалай аласыз. Түбір мәнін ондық бөлшек ретінде аласыз, оны түбір белгісінің артындағы санға көбейту керек.

   • Біздің мысалға оралайық. Радикалды сан 3. Оған ең жақын квадрат сандар 1 (√1 = 1) және 4 (√4 = 2) сандары болады. Осылайша, √3 мәні 1 мен 2 арасында орналасқан. √3 мәні 1-ге қарағанда 2-ге жақынырақ болғандықтан, біздің бағалауымыз: √3 = 1,7. Бұл мәнді түбір белгісіндегі санға көбейтеміз: 7 x 1,7 = 11,9. Есепті калькуляторда жасасаңыз, сіз 12.13 аласыз, бұл біздің жауапқа өте жақын.
     • Бұл әдіс үлкен сандармен де жұмыс істейді. Мысалы, √35 қарастырайық. Радикалды сан 35. Оған ең жақын квадрат сандар 25 (√25 = 5) және 36 (√36 = 6) сандары болады. Осылайша, √35 мәні 5 пен 6 арасында орналасқан. √35 мәні 5-ке қарағанда 6-ға әлдеқайда жақын болғандықтан (өйткені 35 саны 36-дан 1 ғана кем), √35 6-дан сәл аз деп айта аламыз. Калькулятордағы тексеру бізге 5.92 жауабын береді – біз дұрыс болдық.

4. Басқа жол - радикалды санды жай көбейткіштерге көбейту . Жай көбейткіштер – 1-ге және өзіне ғана бөлінетін сандар. Жай көбейткіштерді қатарға жазыңыз және бірдей көбейткіштердің жұптарын табыңыз. Мұндай факторларды түбірлік белгіден шығаруға болады.

   • Мысалы, 45-тің квадрат түбірін есептеңіз. Радикалды санды жай көбейткіштерге бөлеміз: 45 = 9 x 5 және 9 = 3 x 3. Осылайша, √45 = √(3 x 3 x 5). Түбір белгісі ретінде 3-ті шығаруға болады: √45 = 3√5. Енді біз √5 деп есептей аламыз.
   • Тағы бір мысалды қарастырайық: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Сіз 2-нің үш көбейткішін алдыңыз; олардың бірнешеуін алып, түбір белгісінен тыс жылжытыңыз.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Енді сіз √2 және √11-ді бағалап, шамамен жауап таба аласыз.

   Квадрат түбірді қолмен есептеу

   Ұзын бөлуді қолдану

   1. Бұл әдіс ұзақ бөлуге ұқсас процесті қамтиды және нақты жауап береді.Алдымен парақты екі жартыға бөлетін тік сызық сызыңыз, содан кейін оңға және парақтың үстіңгі жиегінен сәл төмен, тік сызыққа көлденең сызық сызыңыз. Енді ондық бөлшектен кейінгі бөлшек бөлігінен бастап, радикалды санды жұп сандарға бөліңіз. Сонымен, 79520789182.47897 саны «7 95 20 78 91 82, 47 89 70» деп жазылған.

      • Мысалы, 780,14 санының квадрат түбірін есептейік. Екі жол сызыңыз (суретте көрсетілгендей) және сол жақ жоғарғы жағындағы «7 80, 14» түрінде берілген санды жазыңыз. Сол жақтағы бірінші сан жұпталмаған цифр болуы қалыпты жағдай. Жауабын (осы санның түбірін) жоғарғы оң жаққа жазасыз.

   2. Сол жақтағы сандардың бірінші жұбы (немесе жалғыз сан) үшін квадраты қарастырылып отырған сандар жұбынан (немесе жалғыз саннан) кіші немесе тең болатын ең үлкен n бүтін санын табыңыз. Басқаша айтқанда, сол жақтан бірінші сандар жұбына (немесе жалғыз санға) ең жақын, бірақ одан кіші шаршы санды тауып, сол шаршы санның квадрат түбірін алыңыз; сіз n санын аласыз. Жоғарғы оң жаққа тапқан n санын, ал төменгі оң жаққа n квадратын жазыңыз.

      • Біздің жағдайда сол жақтағы бірінші сан 7 болады. Келесі, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Сол жақтағы бірінші сандар жұбынан (немесе жалғыз саннан) жаңа ғана тапқан n санының квадратын шегеріңіз.Есептің нәтижесін шегерім астына жазыңыз (n санының квадраты).

      • Біздің мысалда 7-ден 4-ті алып, 3-ті алыңыз.

   4. Сандардың екінші жұбын түсіріп, алдыңғы қадамда алынған мәннің жанына жазыңыз.Содан кейін жоғарғы оң жақтағы санды екі есе көбейтіңіз және нәтижені төменгі оң жаққа «_×_=" қосу арқылы жазыңыз.

      • Біздің мысалда сандардың екінші жұбы «80». 3-тен кейін «80» деп жаз. Содан кейін жоғарғы оң жақтағы екі еселенген сан 4 береді. Төменгі оң жаққа «4_×_=" деп жаз.

   5. Оң жақтағы бос орындарды толтырыңыз.

      • Біздің жағдайда, егер сызықтардың орнына 8 санын қойсақ, онда 48 x 8 = 384, бұл 380-ден көп. Демек, 8 тым үлкен сан, бірақ 7 орындалады. Үзіктердің орнына 7 жазып, мынаны алыңыз: 47 x 7 = 329. Жоғарғы оң жаққа 7 деп жазыңыз - бұл 780.14 санының қажетті квадрат түбіріндегі екінші цифр.

   6. Сол жақтағы ағымдағы саннан алынған санды шегеріңіз.Алдыңғы қадамның нәтижесін сол жақтағы ағымдағы санның астына жазыңыз, айырмашылықты табыңыз және оны көбейтіндінің астына жазыңыз.

      • Біздің мысалда 380-ден 329-ды алып тастаңыз, бұл 51-ге тең.

   7. 4-қадамды қайталаңыз.Егер тасымалданатын сандар жұбы бастапқы санның бөлшек бөлігі болса, жоғарғы оң жақтағы қажетті квадрат түбірге бүтін және бөлшек бөліктерінің арасына бөлгіш (үтір) қойыңыз. Сол жақта келесі сандар жұбын түсіріңіз. Жоғарғы оң жақтағы санды екі есе көбейтіңіз және нәтижені төменгі оң жаққа «_×_=" қосу арқылы жазыңыз.

      • Біздің мысалда жойылатын сандардың келесі жұбы 780.14 санының бөлшек бөлігі болады, сондықтан бүтін және бөлшек бөліктерінің бөлгішін жоғарғы оң жақтағы қажетті квадрат түбірге қойыңыз. 14-ті түсіріп, төменгі сол жаққа жазыңыз. Жоғарғы оң жақтағы санды екі есе арттырыңыз (27) 54, сондықтан төменгі оң жаққа «54_×_=" деп жазыңыз.

   8. 5 және 6-қадамдарды қайталаңыз.Көбейтудің нәтижесі сол жақтағы ағымдағы саннан аз немесе оған тең болатындай етіп оң жақтағы сызықшалардың орнына ең үлкен санды табыңыз (сызықшалардың орнына сол санды ауыстыру керек).

      • Біздің мысалда 549 ​​x 9 = 4941, бұл сол жақтағы ағымдағы саннан (5114) аз. Жоғарғы оң жаққа 9 деп жазып, сол жақтағы ағымдағы саннан көбейту нәтижесін алып тастаңыз: 5114 - 4941 = 173.

   9. Квадрат түбір үшін қосымша ондық бөлшектерді табу қажет болса, ағымдағы санның сол жағына бірнеше нөл жазып, 4, 5 және 6-қадамдарды қайталаңыз. Жауап дәлдігін (ондық бөлшектердің саны) алғанша қадамдарды қайталаңыз. қажет.

   Процесті түсіну

   Бұл әдісті меңгеру үшін S шаршының ауданы ретінде квадрат түбірін табу керек санды елестетіңіз. Бұл жағдайда сіз осындай шаршының L қабырғасының ұзындығын іздейсіз. L мәнін L² = S болатындай етіп есептейміз.

   Жауаптағы әрбір санға әріп беріңіз. L мәніндегі бірінші цифрды А арқылы белгілейік (қажетті квадрат түбір). B екінші цифр, C үшінші цифр болады және т.б.

   Бірінші сандардың әрбір жұбы үшін әріпті көрсетіңіз. S мәніндегі цифрлардың бірінші жұбын S a арқылы, екінші цифр жұбын S b және т.б. белгілейік.

   Бұл әдіс пен ұзақ бөлу арасындағы байланысты түсініңіз.Бөлу кезіндегідей, біз әр уақытта бөлетін санның келесі цифрына ғана қызығушылық танытамыз, квадрат түбірді есептегенде, біз сандар жұбын ретімен (квадрат түбір мәніндегі келесі бір цифрды алу үшін) жұмыс істейміз. ).

   1. S санының Sa цифрларының бірінші жұбын қарастырайық (біздің мысалда Sa = 7) және оның квадрат түбірін табыңыз.Бұл жағдайда қажетті квадрат түбір мәнінің бірінші А цифры квадраты S a-дан кіші немесе оған тең цифр болады (яғни, біз A² ≤ Sa теңсіздігі болатындай A іздейміз.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • 88962 санын 7-ге бөлу керек делік; мұнда бірінші қадам ұқсас болады: бөлінетін 88962 (8) санының бірінші цифрын қарастырамыз және 7-ге көбейткенде 8-ден кем немесе оған тең мән беретін ең үлкен санды таңдаймыз. Яғни, біз іздейміз. теңсіздігі ақиқат болатын d саны: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.