Үшбұрыштың медианаларының қосындысы. Медиана. Мысалдармен егжей-тегжейлі теория. abc үшбұрышының негізгі элементтері

Бұл сегментті қамтиды. Үшбұрыштың қабырғасымен медиананың қиылысу нүктесі деп аталады медиананың негізі.

• Сіз сондай-ақ тұжырымдаманы енгізе аласыз сыртқы медианаүшбұрыш.

Энциклопедиялық YouTube

1 / 3

✪ Үшбұрыштың биссектрисалары мен БИІКТЕРІНІҢ МЕДИАНАСЫ - 7-сынып

✪ Үшбұрыштың медианасы. Құрылыс. Қасиеттер.

✪ үшбұрыштың биссектрисасы, медианасы, биіктігі. Геометрия 7 сынып

Субтитрлер

Қасиеттер

Негізгі мүлік

Үшбұрыштың барлық үш медианасы бір нүктеде қиылысады, оны үшбұрыштың центриді немесе ауырлық центрі деп атайды және осы нүкте арқылы төбесінен есептегенде 2:1 қатынасында екі бөлікке бөлінеді.

Тең қабырғалы үшбұрыштың медианаларының қасиеттері

• Тең қабырғалы үшбұрышта үшбұрыштың тең қабырғаларына жүргізілген екі медиана тең, ал үшінші медиана биссектриса және биіктік болып табылады.
• Керісінше де дұрыс: егер үшбұрыштың екі медианасы тең болса, онда үшбұрыш тең ​​қабырғалы, ал үшінші медиана әрі биссектриса және оның төбесіндегі бұрыштың биіктігі болады.
• Тең бүйірлі үшбұрышта барлық үш медиана тең.

Медиандық негіздердің қасиеттері

• Тоғыз нүктеден тұратын шеңбер үшін Эйлер теоремасы: ерікті үшбұрыштың үш биіктігінің табандары, оның үш қабырғасының ортаңғы нүктелері ( оның медианаларының негіздері) және оның шыңдарын ортоцентрмен байланыстыратын үш кесіндінің ортаңғы нүктелері бір шеңберде жатыр (деп аталатын тоғыз нүктелі шеңбер).
• Сызылған сегмент негіздерүшбұрыштың кез келген екі медианасы оның ортаңғы сызық. Үшбұрыштың орта сызығы әрқашан үшбұрыштың ортақ нүктелері жоқ қабырғасына параллель болады.
  • Қорытынды (Талес теоремасы туралы параллельсегменттер). Үшбұрыштың орта сызығы үшбұрыштың параллель болатын қабырғасының ұзындығының жартысына тең.

Басқа қасиеттер

• Үшбұрыш болса жан-жақты (шкален), онда оның кез келген төбесінен алынған биссектрисасы сол төбеден жүргізілген медиана мен биіктіктің арасында жатыр.
• Медиана үшбұрышты екі тең (ауданы бойынша) үшбұрышқа бөледі.
• Үшбұрыш үш медианаға тең алты үшбұрышқа бөлінген.
• Медианаларды құрайтын кесінділерден ауданы бүкіл үшбұрыштың 3/4 бөлігіне тең болатын үшбұрыш жасауға болады. Орташа ұзындықтар үшбұрыштың теңсіздігін қанағаттандырады.
• Тік бұрышты үшбұрышта төбеден тік бұрышпен жүргізілген медиана гипотенузаның жартысына тең.
• Үшбұрыштың үлкен жағы кіші медианаға сәйкес келеді.
• Түзу сегмент, симметриялы немесе изогональды конъюгатішкі биссектрисаға қатысты ішкі медиана үшбұрыштың симмедианы деп аталады. Үш симедиялықтарбір нүктеден өту - Лемуанның ойы.
• Үшбұрыш бұрышының медианасы изотомиялық конъюгацияланғанөзіме.

Негізгі қатынастар

Атап айтқанда, ерікті үшбұрыштың медианаларының квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының квадраттарының қосындысының 3/4 бөлігін құрайды: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• Керісінше, үшбұрыштың ерікті қабырғасының ұзындығын медианалармен өрнектеуге болады:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − m a 2 (\displaystyle a=(\frac (2)(3))(\sqrt (2(m_(b)^(2)+m_(c))^ (2))-m_(a)^(2)))), Қайда m a , m b , m c (\displaystyle m_(a),m_(b),m_(c))үшбұрыштың сәйкес қабырғаларының медианалары, a , b , c (\displaystyle a,b,c)- үшбұрыштың қабырғалары.

Аккордтардың қасиеттері

1. Хордаға перпендикуляр диаметр (радиус) осы хорданы және оған енетін екі доғаны екіге бөледі. Керісінше теорема да дұрыс: егер диаметр (радиус) хорданы екіге бөлсе, онда ол осы хордаға перпендикуляр болады.

2. Параллель хордалардың арасындағы доғалар тең.

3. Шеңбердің екі аккорды болса, ABЖәне CDнүктеде қиылысады М, онда бір хорданың кесінділерінің көбейтіндісі екінші хорданың сегменттерінің көбейтіндісіне тең болады: AM MB = CM MD.

Шеңбердің қасиеттері

1. Түзудің шеңбермен ортақ нүктелері болмауы мүмкін; шеңбермен бір ортақ нүктесі бар ( жанама); онымен екі ортақ нәрсе бар ( секант).

2. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы шеңбер салуға болады, тек біреуін салуға болады.

3. Екі шеңбердің жанасу нүктесі олардың центрлерін қосатын түзуде жатыр.

Тангенс және секант теоремасы

Егер шеңберден тыс жатқан нүктеден жанама мен секант жүргізілсе, онда жанама ұзындығының квадраты секанс пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең болады: MC 2 = MA МБ.

Секант теоремасы

Егер шеңберден тыс жатқан нүктеден екі секант жүргізілсе, онда бір секант пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісі екінші секант пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең болады. MA MB = MC MD.

Шеңбердегі бұрыштар

ОрталықШеңбердегі бұрыш деп центрінде төбесі бар жазық бұрышты айтады.

Шыңы шеңберде жатқан және қабырғалары осы шеңбермен қиылысатын бұрыш деп аталады сызылған бұрыш.

Шеңбердегі кез келген екі нүкте оны екі бөлікке бөледі. Бұл бөліктердің әрқайсысы деп аталады доғашеңберлер. Доғаның өлшемі оның сәйкес орталық бұрышының өлшемі болуы мүмкін.

Доға деп аталады жарты шеңбер,егер оның ұштарын қосатын сегмент диаметрі болса.

Шеңбермен байланысты бұрыштардың қасиеттері

1. Іштей сызылған бұрыш не өзінің сәйкес орталық бұрышының жартысына тең, не осы бұрыштың жартысын 180°-қа дейін толықтырады.

2. Бір шеңберге сызылған және бір доғаға тірелген бұрыштар тең.

3. Диаметрге сызылған бұрыш 90°.

5. Шеңберге жанама мен жанасу нүктесі арқылы жүргізілген секант жасаған бұрыш оның қабырғалары арасындағы доғаның жартысына тең.

Ұзындықтар мен аудандар

1. Шеңбер Cрадиусы Рформула бойынша есептеледі: C= 2 Р.

2. Аудан Сшеңбер радиусы Рформула бойынша есептеледі: S = R 2.

3. Шеңбер доғасының ұзындығы Лрадиусы Ррадианмен өлшенген орталық бұрышпен, формуламен есептелетін: L = R .

4. Аудан Срадиусты секторлар Ррадиандағы центрлік бұрышы мына формуламен есептеледі: S = R 2 .

Ішіне сызылған және шектелген шеңберлер

Шеңбер және үшбұрыш

· іштей сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі, оның радиусы rформула бойынша есептеледі:

r =, Қайда Сүшбұрыштың ауданы, және - жарты периметр;

· сызылған шеңбердің центрі биссектриса перпендикулярларының қиылысу нүктесі, оның R радиусы мына формуламен есептеледі:

R= , R = ;

· тікбұрышты үшбұрышқа сызылған шеңбердің центрі гипотенузаның ортасында жатыр;

· үшбұрыштың сызылған және іштей сызылған шеңберлерінің центрі осы үшбұрыш дұрыс болса ғана сәйкес келеді.

Шеңбер және төртбұрыш

· шеңберді дөңес төртбұрыштың айналасында сипаттауға болады, егер оның ішкі қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең болса ғана:

180°;

шеңберді төртбұрышқа, егер оның қарама-қарсы қабырғаларының қосындылары тең болса ғана сызуға болады a + c = b + d;

параллелограмды шеңбер ретінде сипаттауға болады, егер ол тіктөртбұрыш болса;

· шеңберді трапецияның айналасында сипаттауға болады, егер бұл трапеция тең қабырғалы болса және тек егер; шеңбердің центрі трапецияның симметрия осінің бүйірге перпендикуляр биссектрисамен қиылысында жатыр;

· шеңберді параллелограммға жазуға болады, егер ол ромб болса ғана.

Үшбұрыштар

Үшбұрыштың медианаларының қасиеттері

1. Медиана үшбұрышты ауданы бірдей екі үшбұрышқа бөледі.

2. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, ол олардың әрқайсысын төбесінен санағанда 2:1 қатынасында бөледі. Бұл нүкте деп аталады ауырлық орталығыүшбұрыш.

3. Бүкіл үшбұрыш медианалары бойынша алты бірдей үшбұрышқа бөлінген.

Үшбұрыш биссектрисаларының қасиеттері

1. Бұрыштың биссектрисасы деп осы бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің локусын айтады.

2. Үшбұрыштың ішкі бұрышының биссектрисасы қарама-қарсы қабырғасын көрші қабырғаларына пропорционал кесінділерге бөледі: .

3. Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болады.

Үшбұрыш биіктіктерінің қасиеттері

1. Тік бұрышты үшбұрышта тік бұрыштың төбесінен түсірілген биіктік оны бастапқы үшбұрышқа ұқсас екі үшбұрышқа бөледі.

2. Сүйір үшбұрышта оның екі биіктігі одан ұқсас үшбұрыштарды кесіп тастайды.

Медиана – үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасының ортасына дейін жүргізілген кесінді, яғни оны қиылысу нүктесінде екіге бөледі. Медиана шығатын төбеге қарама-қарсы жақпен қиылысатын нүкте негіз деп аталады. Үшбұрыштың әрбір медианасы қиылысу нүктесі деп аталатын бір нүкте арқылы өтеді. Оның ұзындығының формуласын бірнеше жолмен көрсетуге болады.

Медиананың ұзындығын өрнектейтін формулалар

• Көбінесе геометриялық есептерде оқушылар үшбұрыштың медианасы сияқты кесіндімен айналысады. Оның ұзындығының формуласы қабырғалармен өрнектеледі:

мұндағы a, b және c қабырғалары. Сонымен қатар, c - медиана түсетін жағы. Ең қарапайым формула осылай көрінеді. Көмекші есептеулер үшін кейде үшбұрыштың медианалары қажет. Басқа формулалар бар.

• Егер есептеу кезінде үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасында орналасқан белгілі α бұрышы белгілі болса, онда үшбұрыштың үшінші қабырғасына түсірілген медианасының ұзындығы келесідей өрнектеледі.

Негізгі қасиеттер

• Барлық медианалардың бір ортақ қиылысу нүктесі бар O және төбесінен есептелетін болса, оған екіден бірге қатынасында бөлінеді. Бұл нүкте үшбұрыштың ауырлық центрі деп аталады.
• Медиана үшбұрышты аудандары тең басқа екіге бөледі. Мұндай үшбұрыштар тең аудан деп аталады.
• Егер сіз барлық медианаларды салсаңыз, үшбұрыш 6 бірдей фигураға бөлінеді, олар да үшбұрыштар болады.
• Егер үшбұрыштың үш қабырғасы тең болса, онда медианалардың әрқайсысы да биіктік және биссектриса болады, яғни ол жүргізілген қабырғаға перпендикуляр және ол шығатын бұрышты екіге бөледі.
• Тең қабырғалы үшбұрышта басқасына тең емес қабырғаға қарама-қарсы төбеден жүргізілген медиана да биіктік пен биссектриса болады. Басқа шыңдардан түсірілген медианалар тең. Бұл да тең қабырғалылар үшін қажетті және жеткілікті шарт.
• Егер үшбұрыш дұрыс пирамиданың табаны болса, онда осы негізге түсірілген биіктік барлық медианалардың қиылысу нүктесіне проекцияланады.

• Тікбұрышты үшбұрышта ең ұзын жағына түсірілген медиана оның ұзындығының жартысына тең.
• Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі О болсын. Төмендегі формула кез келген М нүктесі үшін дұрыс болады.

• Үшбұрыштың медианасының тағы бір қасиеті бар. Оның қабырғаларының квадраттары арқылы ұзындығының квадратының формуласы төменде келтірілген.

Медиана тартылған жақтардың қасиеттері

• Егер сіз медианалардың кез келген екі қиылысу нүктесін олар түсірілген жақтарымен байланыстырсаңыз, онда алынған кесінді үшбұрыштың орта сызығы болады және үшбұрыштың ортақ нүктелері жоқ қабырғасының жартысы болады.
• Үшбұрыштағы биіктіктер мен медианалардың табандары, сондай-ақ үшбұрыштың төбелерін биіктіктердің қиылысу нүктесімен қосатын кесінділердің ортаңғы нүктелері бір шеңберде жатыр.

Қорытындылай келе, ең маңызды сегменттердің бірі үшбұрыштың медианасы деп айту қисынды. Оның формуласын оның басқа қабырғаларының ұзындықтарын табу үшін пайдалануға болады.

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Медиана үшбұрыштың бірегей сегменттерінің бірі болып табылады. Медиана есептерді шешуге пайдалы бірқатар қасиеттерге ие, ал медианалардың қиылысу нүктесі осы қасиеттер тізімін одан әрі кеңейтеді. Медианалардың қиылысу нүктесі және оның қасиеттері бүгін талқыланады.

Медиана

Медиана – үшбұрыштың төбесін қарама-қарсы жағындағы кесіндінің ортасымен қосатын кесінді. Үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады, оны медиананың қиылысу нүктесі деп атайды.

Медиандар биіктіктерден айырмашылығы әрқашан үшбұрыштың ішінде жатады. Бұл қисынды, өйткені медиана сегменті шыңы мен жағының ортасын байланыстырады. Ал қабырғасының ортасы әрқашан үшбұрыштың ішінде болады.

Күріш. 1. Доғал үшбұрыштағы медианалар.

Егер медианалардың кез келген екі табанын кесіндімен қоссаңыз, үшбұрыштың ортаңғы сызығын аласыз. Үшбұрыштың үш ортаңғы сызығы ұқсастық қатынасы 1:2 болатын түпнұсқаға ұқсас үшбұрышты құрайды.

Үшбұрыштың алтын қатынасын құру кезінде шатастырмауға көмектесетін медианалардың тағы бір қызықты қасиеті бар. Үшбұрыштың медианасы әрқашан биіктік пен биссектрисаның арасында орналасады.

Күріш. 2. Ерікті үшбұрыштың алтын қатынасы.

Үш жақтағы медиананың ұзындығын есептеу формуласын да береміз. Бұл формула есептерді шешуде жиі қолданылады, сондықтан оны есте ұстаған жөн.

$$m_c=((\sqrt(2a^2+2b^2-c^2))\(2))$$

Оқушыларға формуланы есте сақтаудан гөрі ауызша тұжырымды есте сақтау жиі оңайырақ. Үш қабырға бойындағы медиананы табу үшін қабырғалардың екі еселенген квадраттарының қосындысынан медиана жүргізілген қабырғаның квадратын шегеріп алу керек. Алынған тамырды жартысына бөлу керек.

Медиананың қиылысу нүктесі

Медианалардың қиылысу нүктесі үшбұрыштың алтын қатынасын құрайтын үшбұрыштың керемет 3 нүктесінің бірі болып табылады.

Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі есептерді шешуге пайдалы бірқатар қасиеттерге ие:

• Медиана қиылысу нүктесі арқылы шыңнан есептегенде 1:2 пропорционалдық коэффициенті бар кесінділерге бөлінеді.
• Үшбұрышқа сызылған үш медиана оны 6 бірдей үшбұрышқа бөледі. Ауданы тең үшбұрыштар тең аудан деп аталады. Бұл фигуралардың өздеріне ортақ ұқсастықтары шамалы, бірақ олардың аймақтың сандық сипаттамалары сәйкес келеді.
• Үшбұрыштың медианалары қиылысатын нүкте центроид деп аталады және үшбұрыштың ауырлық центрі болып табылады.

Медианалардың қиылысу нүктесі үшбұрыштың алтын кесіндісінен нақты физикалық мағынаға ие жалғыз нүкте болып табылады. Егер сіз картоннан үшбұрышты кесіп, оған жұқа қарындашпен медианаларды салсаңыз, онда олардың қиылысу нүктесі жазық фигураның ауырлық центрі болады.

Күріш. 3. Үшбұрыштың ауырлық центрі.

Бұл дегеніміз, егер сіз осы нүктеге инені қойсаңыз, фигура тепе-теңдікке байланысты тесілмей қалады.

Біз не үйрендік?

Үшбұрыштың 3 қабырғасының медианасын есептеу формуласын бердік. Үшбұрыштағы медианалардың қиылысу нүктесінің бірнеше қасиеттері берілген. Біз үшбұрыштың центроидінің нақты физикалық мағынасы туралы айттық.

Тақырып бойынша тест

Мақала рейтингі

Орташа рейтинг: 4.1. Алынған жалпы рейтингтер: 255.