Түбірлері бар күрделі мысалдарды шешу жолы. Түбірлері бар мысалдарды қалай шешуге болады. Неліктен радикалды өрнектер теріс емес болуы керек

1-факт.
\(\bullet\) Кейбір теріс емес сандар \(a\) алайық (яғни, \(a\geqslant 0\) ). Содан кейін (арифметикалық) шаршы түбір\(a\) саны осындай теріс емес сан деп аталады \(b\) , квадраты болғанда \(a\) санын аламыз: \[\sqrt a=b\quad \text(бірдей)\quad a=b^2\]Анықтамадан былай шығады \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Бұл шектеулер квадрат түбірдің болуының маңызды шарты болып табылады және есте сақтау керек!
Естеріңізге сала кетейік, кез келген сан квадратқа бөлінген кезде теріс емес нәтиже береді. Яғни, \(100^2=10000\geqslant 0\) және \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\марк\) \(\sqrt(25)\) неге тең? \(5^2=25\) және \((-5)^2=25\) екенін білеміз. Анықтама бойынша біз теріс емес санды табуымыз керек болғандықтан, \(-5\) қолайлы емес, сондықтан \(\sqrt(25)=5\) (өйткені \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) мәнін табу \(a\) санының квадрат түбірін алу, ал \(a\) саны радикалды өрнек деп аталады.
\(\market\) Анықтама негізінде \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), т.б. мағынасы жоқ.

2-факт.
Жылдам есептеулер үшін \(1\)-ден \(20\) дейінгі натурал сандардың квадраттарының кестесін үйрену пайдалы болады: \[\begin(массив)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(массив)\]

3-факт.
Шаршы түбірлермен қандай амалдар жасауға болады?
\(\ маркер\) Квадрат түбірлердің қосындысы немесе айырмасы қосындының немесе айырманың квадрат түбіріне ТЕҢ ЕМЕС, яғни \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Осылайша, мысалы, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) есептеу қажет болса, бастапқыда \(\sqrt(25)\) және \(\) мәндерін табу керек. sqrt(49)\ ), содан кейін оларды бүктеңіз. Демек, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Егер \(\sqrt a+\sqrt b\) қосу кезінде \(\sqrt a\) немесе \(\sqrt b\) мәндері табылмаса, онда мұндай өрнек әрі қарай түрленбейді және сол күйінде қалады. Мысалы, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) қосындысынан \(\sqrt(49)\) is \(7\) таба аламыз, бірақ \(\sqrt 2\) түрлендіру мүмкін емес. Қалай болғанда да, сондықтан \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Өкінішке орай, бұл өрнекті одан әрі оңайлату мүмкін емес\(\bullet\) Шаршы түбірлердің көбейтіндісі/бөлшесі көбейтіндінің/бөлшектің квадрат түбіріне тең, яғни \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (теңдіктердің екі жағы да мағыналы болған жағдайда)
Мысалы: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Осы қасиеттерді пайдаланып үлкен сандардың квадрат түбірлерін көбейткіштерге бөлу арқылы табу ыңғайлы.
Бір мысалды қарастырайық. \(\sqrt(44100)\) табайық. \(44100:100=441\) болғандықтан, \(44100=100\cdot 441\) . Бөлінгіштік критерийі бойынша \(441\) саны \(9\)-ға бөлінеді (себебі оның цифрларының қосындысы 9 және 9-ға бөлінеді), сондықтан \(441:9=49\), яғни, \(441=9\ cdot 49\) .
Осылайша біз алдық: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Басқа мысалды қарастырайық: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) \(5\sqrt2\) өрнегі (\(5\cdot \sqrt2\) өрнегі үшін қысқаша белгілеу) мысалын пайдаланып квадрат түбір белгісінің астына сандарды енгізу жолын көрсетейік. \(5=\sqrt(25)\) болғандықтан, онда \ Айта кетейік, мысалы,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Неге бұлай? 1-мысал арқылы түсіндірейік. Түсінгеніңіздей, біз \(\sqrt2\) санын түрлендіру мүмкін емес. \(\sqrt2\) қандай да бір сан \(a\) деп елестетіп көрейік. Сәйкесінше, \(\sqrt2+3\sqrt2\) өрнегі \(a+3a\) (бір сан \(a\) плюс тағы үш бірдей сан \(a\)) артық емес. Және бұл төрт бірдей санға тең екенін білеміз \(a\) , яғни \(4\sqrt2\) .

4-факт.
\(\bullet\) Санның мәнін тапқанда түбірдің \(\sqrt () \ \) белгісінен (\sqrt () \ \) құтыла алмағанда, олар көбінесе “түбірді шығара алмайсың” дейді. . Мысалы, \(16\) санының түбірін алуға болады, себебі \(16=4^2\) , сондықтан \(\sqrt(16)=4\) . Бірақ \(3\) санының түбірін шығарып алу, яғни \(\sqrt3\) табу мүмкін емес, өйткені квадраты \(3\) беретін сан жоқ.
Мұндай сандар (немесе осындай сандары бар өрнектер) иррационал. Мысалы, сандар \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)және т.б. иррационалды.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) және т.б.
\(\marka\) Кез келген сан не рационал, не иррационал болатынын ескеріңіз. Барлық рационал және барлық иррационал сандар қосылып аталатын жиынды құрайды нақты сандар жиыны.Бұл жиын \(\mathbb(R)\) әрпімен белгіленеді.
Бұл біз қазір білетін барлық сандар нақты сандар деп аталады дегенді білдіреді.

5-факт.
\(\маркета\) \(a\) нақты санның модулі деп беттегі \(a\) нүктесінен \(0\) дейінгі қашықтыққа тең \(|a|\) теріс емес санды айтады. нақты сызық. Мысалы, \(|3|\) және \(|-3|\) 3-ке тең, өйткені \(3\) және \(-3\) нүктелерінен \(0\) дейінгі қашықтық бірдей және оған тең \(3 \) .
\(\таңбалау\) Егер \(a\) теріс емес сан болса, \(|a|=a\) .
Мысал: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\таңбалау\) Егер \(a\) теріс сан болса, \(|a|=-a\) .
Мысал: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Олардың айтуынша, теріс сандар үшін модуль минусты «жейді», ал оң сандар, сондай-ақ \(0\) модулі өзгеріссіз қалады.
БІРАҚБұл ереже тек сандарға қатысты. Егер модуль белгісінің астында белгісіз \(x\) (немесе басқа белгісіз) болса, мысалы, \(|x|\) , ол туралы біз оның оң, нөл немесе теріс екенін білмейміз, онда құтылыңыз. модуль бойынша біз мүмкін емес. Бұл жағдайда бұл өрнек өзгеріссіз қалады: \(|x|\) . \(\марк\) Келесі формулалар орындалады: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( берілген ) a\geqslant 0\]Өте жиі келесі қателік жіберіледі: олар \(\sqrt(a^2)\) және \((\sqrt a)^2\) бір және бірдей екенін айтады. Бұл \(a\) оң сан немесе нөл болса ғана дұрыс болады. Бірақ егер \(a\) теріс сан болса, онда бұл жалған. Бұл мысалды қарастыру жеткілікті. \(a\) орнына \(-1\) санын алайық. Сонда \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , бірақ \((\sqrt (-1))^2\) өрнегі мүлде жоқ (ақыр соңында, теріс сандарды қою түбір белгісін қолдану мүмкін емес!).
Сондықтан \(\sqrt(a^2)\) \((\sqrt a)^2\) тең емес екеніне назар аударамыз!Мысалы: 1) \(\sqrt(\сол(-\sqrt2\оң)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), өйткені \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) болғандықтан, \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (\(2n\) өрнегі жұп санды білдіреді)
Яғни, белгілі бір дәрежеде болатын санның түбірін алған кезде бұл дәреже екі есе азаяды.
Мысалы:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (егер модуль берілмесе, санның түбірі \(-25\-ге тең болатынын ескеріңіз. ); бірақ түбір анықтамасы бойынша бұл орын алмайтынын есте ұстаймыз: түбірді шығарған кезде біз әрқашан оң сан немесе нөл алуымыз керек)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (себебі жұп дәрежеге дейінгі кез келген сан теріс емес)

6-факт.
Екі квадрат түбірді қалай салыстыруға болады?
\(\bullet\) Шаршы түбірлер үшін бұл дұрыс: егер \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aМысалы:
1) \(\sqrt(50)\) және \(6\sqrt2\) салыстырыңыз. Алдымен екінші өрнекті түрлендірейік \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Осылайша, \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) қандай бүтін сандар арасында орналасқан?
Өйткені \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) және \(49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) және \(0,5\) салыстырайық. \(\sqrt2-1>0,5\) деп есептейік: \[\бастау(тураланған) &\sqrt 2-1>0,5 \ \үлкен| +1\quad \text((екі жағына біреуін қосыңыз))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \үлкен| \ ^2 \төрттік\мәтін((екі жағын шаршылап))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \соңы(тураланған)\]Біз дұрыс емес теңсіздікті алғанымызды көреміз. Сондықтан, біздің болжам қате болды және \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Теңсіздіктің екі жағына белгілі бір санды қосу оның таңбасына әсер етпейтінін ескеріңіз. Теңсіздіктің екі жағын да оң санға көбейту/бөлу оның таңбасына әсер етпейді, бірақ теріс санға көбейту/бөлу теңсіздіктің таңбасын өзгертеді!
Теңдеудің/теңсіздіктің екі жағын да екі жағы да теріс емес болса ҒАНА квадраттай аласыз. Мысалы, алдыңғы мысалдағы теңсіздікте сіз екі жағын квадраттай аласыз, теңсіздікте \(-3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Мұны есте ұстаған жөн \[\бастау(тураланған) &\sqrt 2\шамамен 1,4\\ &\sqrt 3\шамамен 1,7 \соңы(тураланған)\]Бұл сандардың шамамен мағынасын білу сандарды салыстыру кезінде сізге көмектеседі! \(\bullet\) Квадраттар кестесінде жоқ қандай да бір үлкен саннан түбірді (егер оны шығаруға болатын болса) шығарып алу үшін алдымен оның қай «жүздіктер» арасында, содан кейін – қайсысының арасында орналасқанын анықтау керек. ондаған», содан кейін осы санның соңғы цифрын анықтаңыз. Мұның қалай жұмыс істейтінін мысалмен көрсетейік.
\(\sqrt(28224)\) алайық. Біз білеміз \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), т.б. \(28224\) \(10\,000\) мен \(40\,000\) арасында екенін ескеріңіз. Сондықтан, \(\sqrt(28224)\) \(100\) мен \(200\) арасында болады.
Енді біздің сан қай «ондықтар» арасында орналасқанын анықтайық (мысалы, \(120\) мен \(130\) арасында). Сондай-ақ квадраттар кестесінен біз \(11^2=121\) , \(12^2=144\) т.б., содан кейін \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Сонымен, біз \(28224\) \(160^2\) мен \(170^2\) арасында екенін көреміз. Демек, \(\sqrt(28224)\) саны \(160\) мен \(170\) арасында.
Соңғы санды анықтауға тырысайық. Қандай бір таңбалы сандар квадраты болғанда соңында \(4\) беретінін еске түсірейік? Бұл \(2^2\) және \(8^2\) . Сондықтан \(\sqrt(28224)\) 2 немесе 8 санымен аяқталады. Осыны тексерейік. \(162^2\) және \(168^2\) табайық:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Сондықтан, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Математикадан бірыңғай мемлекеттік емтиханды дұрыс шешу үшін алдымен көптеген теоремалар, формулалар, алгоритмдер және т. Дегенмен, математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның теориясы кез келген дайындық деңгейі бар студенттер үшін оңай және түсінікті түрде ұсынылған дереккөзді табу - бұл өте қиын мәселе. Мектеп оқулықтары әрқашан қол астында болуы мүмкін емес. Ал математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханның негізгі формулаларын табу тіпті Интернетте де қиын болуы мүмкін.

Бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсыратындар үшін ғана емес, математикадағы теорияны оқу неге сонша маңызды?

1. Өйткені бұл сіздің ой-өрісіңізді кеңейтеді. Математикадағы теориялық материалды оқып-үйрену қоршаған әлемді білуге ​​қатысты кең ауқымды сұрақтарға жауап алғысы келетін кез келген адамға пайдалы. Табиғаттағы барлық нәрсе реттелген және айқын логикаға ие. Дәл осы ғылымда көрініс табады, ол арқылы дүниені тануға болады.
2. Өйткені ол интеллектті дамытады. Математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханға анықтамалық материалдарды зерделеу, сондай-ақ әртүрлі есептерді шешу арқылы адам логикалық ойлауға және ойлауға, ойын сауатты және нақты тұжырымдауға үйренеді. Талдау, жалпылау, қорытынды жасау қабілеттерін дамытады.

Біз сіздерді оқу материалдарын жүйелеу және ұсыну бойынша біздің көзқарасымыздың барлық артықшылықтарын жеке бағалауға шақырамыз.

Күштері мен түбірлері бар операциялар. Теріспен дәреже ,

нөл және бөлшек көрсеткіш. Мағынасы жоқ өрнектер туралы.

Дәрежелері бар амалдар.

1. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде олардың дәрежелері қосылады:

а м · a n = a m + n .

2. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлгенде, олардың дәрежелері шегеріледі .

3. Екі немесе одан да көп факторлардың көбейтіндісінің дәрежесі осы факторлардың дәрежелерінің көбейтіндісіне тең.

(abc… ) n = a n· б н · c n…

4. Қатынас (бөлшек) дәрежесі дивиденд (алым) және бөлгіш (бөлгіш) дәрежелерінің қатынасына тең:

(а/б ) n = a n / b n.

5. Дәрежені дәрежеге көтергенде олардың дәрежелері көбейтіледі:

(а м ) n = a m n.

Жоғарыда аталған формулалардың барлығы екі бағытта солдан оңға және керісінше оқылады және орындалады.

МЫСАЛ (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Түбірлермен операциялар. Төмендегі барлық формулаларда таңба білдіреді арифметикалық түбір(радикалды өрнек оң).

1. Бірнеше факторлардың туындысының түбірі туындыға тең Бұл факторлардың тамыры:

2. Қатынастың түбірі дивиденд пен бөлгіш түбірлерінің қатынасына тең:

3. Түбірді күшке көтергенде, осы күшке көтеру жеткілікті радикалды саны:

4. Түбірдің дәрежесін арттырсақм дейін көтерум ші дәреже радикалды сан болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:

5. Түбірдің дәрежесін төмендетсекм тамырды бір уақытта және бір уақытта шығарып алыңызм радикалды санның th дәрежесі болса, онда түбірдің мәні болмайдыөзгереді:

Дәреже туралы түсініктерін кеңейту. Осы уақытқа дейін дәрежелерді тек натурал дәрежелермен қарастырдық;бірақ әрекеттерімен дәрежелер мен тамырлар да әкелуі мүмкін теріс, нөлЖәне бөлшеккөрсеткіштер. Бұл көрсеткіштің барлығы қосымша анықтаманы қажет етеді.

Теріс көрсеткіші бар дәреже. Кейбір санның дәрежесі c теріс (бүтін) көрсеткіш бір бөлінген ретінде анықталады көрсеткіші абсолютті мәнге тең бірдей санның дәрежесіментеріс көрсеткіш:

Тенді формула а м: а н= а м - n үшін ғана емес қолдануға боладым, гөрі көбірек n, бірақ сонымен бірге м, азырақ n .

МЫСАЛ а 4 :а 7 = а 4 - 7 =a - 3 .

Егер біз формуланы алғымыз келсеа м : а н= а м - nқашан әділ болдыm = n, бізге нөлдік дәреженің анықтамасы қажет.

Нөлдік индексі бар дәреже. Көрсеткіш нөлге тең кез келген нөлдік емес санның дәрежесі 1-ге тең.

МЫСАЛДАР. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Бөлшек көрсеткіші бар дәреже. Нақты санды көтеру үшінжәне қуатқа м/н , түбірін шығарып алу керекм-нің n-ші дәрежесі -осы санның дәрежесі A :

Мағынасы жоқ өрнектер туралы. Мұндай бірнеше өрнектер бар.кез келген сан.

Шын мәнінде, егер бұл өрнек қандай да бір санға тең деп есептесек x, онда бөлу операциясының анықтамасы бойынша бізде: 0 = 0 · x. Бірақ бұл теңдік қашан болады кез келген х саны, бұл дәлелдеуді қажет етті.

3-жағдай.

0 0 - кез келген сан.

Шынымен,

Шешімі.Үш негізгі жағдайды қарастырайық:

1) x = 0 – бұл мән бұл теңдеуді қанағаттандырмайды

(Неге?).

2) қашан x> 0 аламыз: x/x = 1, яғни. 1 = 1, яғни

Не x- кез келген сан; бірақ оны ескере отырып

Біздің жағдайда x> 0, жауапx > 0 ;

3) қашан x < 0 получаем: – x/x= 1, яғни e . –1 = 1, демек,

Бұл жағдайда шешім жоқ.

Осылайша, x > 0.

Сабақтың басында біз квадрат түбірлердің негізгі қасиеттерін қарастырамыз, содан кейін квадрат түбірлері бар өрнектерді жеңілдетудің бірнеше күрделі мысалдарын қарастырамыз.

Тақырыбы:Функция. Квадрат түбірдің қасиеттері

Сабақ:Түбірлері бар күрделі өрнектерді түрлендіру және жеңілдету

1. Шаршы түбірлердің қасиеттеріне шолу

Теорияны қысқаша қайталап, квадрат түбірлердің негізгі қасиеттерін еске түсірейік.

Квадрат түбірлердің қасиеттері:

1. сондықтан, ;

3. ;

4. .

2. Түбірлері бар өрнектерді ықшамдауға мысалдар

Осы қасиеттерді пайдалану мысалдарына көшейік.

1-мысал: Өрнекті жеңілдету .

Шешім. Жеңілдету үшін 120 санын жай көбейткіштерге бөлу керек:

Қосындының квадратын сәйкес формула арқылы ашамыз:

2-мысал: Өрнекті жеңілдету .

Шешім. Бұл өрнек айнымалының барлық мүмкін мәндері үшін мағынасы жоқ екенін ескерейік, өйткені бұл өрнекте квадрат түбірлер мен бөлшектер бар, бұл рұқсат етілген мәндер ауқымының «тарылуына» әкеледі. ODZ: ().

Жақшадағы өрнекті ортақ бөлімге келтіріп, соңғы бөлшектің алымын квадраттардың айырмасы ретінде жазайық:

Сағат.

Жауап. сағ.

3-мысал: Өрнекті жеңілдету .

Шешім. Екінші алым жақшаның сыртқы түрі ыңғайсыз және оны жеңілдету қажет екенін көруге болады, оны топтастыру әдісі арқылы көбейтіп көрейік.

Ортақ көбейткіш шығара алу үшін біз түбірлерді көбейткіштерге бөлу арқылы жеңілдеттік. Алынған өрнекті бастапқы бөлшекке ауыстырайық:

Бөлшекті азайтқаннан кейін квадраттардың айырымы формуласын қолданамыз.

3. Қисынсыздықтан арылудың мысалы

Мысал 4. Азайтқыштағы иррационалдықтан (түбірлерден) босатыңыз: а) ; б) .

Шешім. а) Бөлімдегі иррационалдықтан құтылу үшін бөлшектің алымы мен бөлімін де бөлгішке жалғаулық көбейткішке көбейтудің стандартты әдісі қолданылады (бір өрнек, бірақ таңбасы қарама-қарсы). Бұл бөлшектің бөлгішін квадраттардың айырмасына толықтыру үшін жасалады, бұл бөлгіштегі түбірлерден құтылуға мүмкіндік береді. Мұны біздің жағдайда жасайық:

б) ұқсас әрекеттерді орындау:

Жауап.; .

4. Күрделі радикалдағы толық квадратты дәлелдеуге және сәйкестендіруге мысал

Мысал 5. Теңдікті дәлелдеңдер .

Дәлелдеу. Квадрат түбір анықтамасын қолданайық, одан оң жақ өрнектің квадраты радикалды өрнекке тең болуы керек:

. Қосындының квадратының формуласын пайдаланып жақшаларды ашайық:

, біз дұрыс теңдікке ие болдық.

Дәлелденген.

Мысал 6. Өрнекті жеңілдетіңіз.

Шешім. Бұл өрнек әдетте күрделі радикал (түбір астындағы түбір) деп аталады. Бұл мысалда толық квадратты радикалды өрнектен қалай оқшаулау керектігін анықтау керек. Мұны істеу үшін, екі терминнің квадраттық айырма формуласындағы қос көбейтінді рөліне үміткер екенін ескеріңіз (айырма, өйткені минус бар). Оны келесі көбейтінді түрінде жазайық: , онда 1 толық квадраттың мүшелерінің бірі, ал 1 екіншісі екенін айтады.

Осы өрнекті түбір астына қойып көрейік.

Бұл мақала тамырлардың қасиеттері тақырыбына қатысты толық ақпарат жинағы. Тақырыпты қарастыра отырып, біз қасиеттерден бастаймыз, барлық тұжырымдарды зерттеп, дәлелдер келтіреміз. Тақырыпты бекіту үшін n-ші дәрежелі қасиеттерді қарастырамыз.

Тамырлардың қасиеттері

Біз қасиеттер туралы сөйлесеміз.

1. Меншік көбейтілген сандар аЖәне б, ол a · b = a · b теңдігі ретінде көрсетіледі. Оны оң немесе нөлге тең факторлар түрінде көрсетуге болады a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ретінде;
2. a бөлшегінен: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, оны а b = a b түрінде де жазуға болады;
3. Санның дәрежесінен алынатын қасиет акез келген сан үшін жұп дәрежелі a 2 m = a m а, мысалы, a 2 = a санының квадратының қасиеті.

Ұсынылған теңдеулердің кез келгенінде сызықшаның алдындағы және кейінгі бөліктерді ауыстыруға болады, мысалы, a · b = a · b теңдігі a · b = a · b түрінде түрлендіріледі. Күрделі теңдеулерді жеңілдету үшін теңдік қасиеттері жиі қолданылады.

Бірінші қасиеттерді дәлелдеу квадрат түбір мен натурал көрсеткішті дәрежелердің қасиеттерін анықтауға негізделген. Үшінші қасиетті негіздеу үшін санның модулінің анықтамасына жүгіну керек.

Ең алдымен a · b = a · b квадрат түбірінің қасиеттерін дәлелдеу керек. Анықтамаға сәйкес, a b - оң немесе нөлге тең сан екенін ескеру қажет, ол тең болады а бқұрылыс кезінде шаршыға айналдырады. a · b өрнегінің мәні оң немесе теріс емес сандардың көбейтіндісі ретінде нөлге тең. Көбейтілген сандардың дәрежелерінің қасиеті теңдікті (a · b) 2 = a 2 · b 2 түрінде көрсетуге мүмкіндік береді. Квадрат түбірдің анықтамасы бойынша a 2 = a және b 2 = b, онда a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

Осыған ұқсас жолмен оны өнімнен дәлелдеуге болады ккөбейткіштер a 1 , a 2 , … , a kосы факторлардың квадрат түбірлерінің көбейтіндісіне тең болады. Шынында да, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k.

Бұл теңдіктен a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k болатыны шығады.

Тақырыпты бекіту үшін бірнеше мысал қарастырайық.

1-мысал

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 және 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Бөлімнің арифметикалық квадрат түбірінің қасиетін дәлелдеу керек: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Сипат a: b 2 = a 2: b 2 және a 2: b 2 = a: b теңдігін жазуға мүмкіндік береді, ал a: b оң сан немесе нөлге тең. Бұл өрнек дәлел болады.

Мысалы, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 және 30,121 = 30,121.

Санның квадратының квадрат түбірінің қасиетін қарастырайық. Оны теңдік ретінде 2 = a түрінде жазуға болады Бұл сипатты дәлелдеу үшін бірнеше теңдіктерді егжей-тегжейлі қарастыру керек. a ≥ 0және сағат а< 0 .

Әлбетте, a ≥ 0 үшін a 2 = a теңдігі ақиқат. Сағат а< 0 a 2 = - a теңдігі ақиқат болады. Шын мәнінде, бұл жағдайда − a > 0және (− a) 2 = a 2 . Қорытындылай аламыз, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Бірнеше мысалды қарастырайық.

2-мысал

5 2 = 5 = 5 және - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Дәлелденген қасиет 2 м = а м ақтауға көмектеседі, мұнда а– нақты, және м-натурал сан. Шынында да, қуатты көтеру қасиеті бізге қуатты ауыстыруға мүмкіндік береді а 2 мөрнек (а м) 2, онда a 2 m = (a m) 2 = a m.

3-мысал

3 8 = 3 4 = 3 4 және (- 8 , 3) ​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​7 .

n-ші түбірдің қасиеттері

Біріншіден, n-ші түбірлердің негізгі қасиеттерін қарастыру керек:

1. Сандардың көбейтіндісінің қасиеті аЖәне б, оң немесе нөлге тең, a · b n = a n · b n теңдігі ретінде көрсетілуі мүмкін, бұл қасиет өнім үшін жарамды ксандар a 1 , a 2 , … , a k a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ретінде;
2. бөлшек саннан a b n = a n b n қасиеті бар, мұндағы аоң немесе нөлге тең кез келген нақты сан, және б– оң нақты сан;
3. Кез келген үшін ажәне тіпті көрсеткіштер n = 2 м a 2 · m 2 · m = a - ақиқат, ал тақ үшін n = 2 м − 1 a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a теңдігі орындалады.
4. a m n = a n m -дан алу қасиеті, мұндағы а– оң немесе нөлге тең кез келген сан, nЖәне мнатурал сандар болса, бұл сипатты пішінде де көрсетуге болады. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. Кез келген теріс емес а және ерікті үшін nЖәне м, бұл табиғи, біз әділ теңдікті де анықтай аламыз a m n · m = a n ;
6. Дәреженің қасиеті nсанның дәрежесінен а, ол оң немесе нөлге тең, табиғи қуатқа м, a m n = a n m теңдігімен анықталады;
7. Дәрежелері бірдей салыстыру қасиеті: кез келген оң сандар үшін аЖәне бсолай а< b , a n теңсіздігі< b n ;
8. Түбір астында бірдей сандар болатын салыстыру қасиеті: егер мЖәне n –натурал сандар m > n, содан кейін 0 < a < 1 a m > a n теңсіздігі ақиқат және қашан a > 1м орындалды< a n .

Жоғарыда келтірілген теңдіктер теңдік белгісінің алдындағы және кейінгі бөліктер ауыстырылса жарамды болады. Оларды осы пішінде де қолдануға болады. Бұл көбінесе өрнектерді жеңілдету немесе түрлендіру кезінде қолданылады.

Түбірдің жоғарыдағы қасиеттерін дәлелдеу дәреженің анықтамасына, қасиеттеріне және санның модулін анықтауға негізделген. Бұл қасиеттер дәлелденуі керек. Бірақ бәрі тәртіппен.

1. Ең алдымен a · b n = a n · b n көбейтіндісінің n-ші түбірінің қасиеттерін дәлелдеп көрейік. Үшін аЖәне b , бұлболып табылады оң немесе нөлге тең , a n · b n мәні де оң немесе нөлге тең, өйткені ол теріс емес сандарды көбейтудің салдары. Өнімнің табиғи қуатқа қасиеті a n · b n n = a n n · b n n теңдігін жазуға мүмкіндік береді. Түбірдің анықтамасы бойынша n-ші дәрежелі a n n = a және b n n = b , демек, a n · b n n = a · b . Нәтижесінде алынған теңдік дәл дәлелдеуді қажет етеді.

Бұл қасиет өнім үшін де дәл осылай дәлелденуі мүмкін ккөбейткіштер: теріс емес сандар үшін a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Мұнда түбірлік сипатты пайдалану мысалдары берілген n-өнімнен шығатын қуат: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 және 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. a b n = a n b n бөлігінің түбірінің қасиетін дәлелдеп көрейік. Сағат a ≥ 0Және b > 0 a n b n ≥ 0 шарты орындалады, ал a n b n n = a n n b n n = a b .

Мысалдарды көрсетейік:

4-мысал

8 27 3 = 8 3 27 3 және 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Келесі қадам үшін саннан дәрежеге дейінгі n-ші дәреженің қасиеттерін дәлелдеу керек n. Мұны кез келген нақты үшін a 2 m 2 m = a және a 2 m - 1 2 m - 1 = a теңдігі ретінде елестетейік. ажәне табиғи м. Сағат a ≥ 0 a = a және a 2 m = a 2 m аламыз, бұл a 2 m 2 m = a теңдігін дәлелдейді, ал a 2 m - 1 2 m - 1 = a теңдігі анық. Сағат а< 0 сәйкесінше a = - a және a 2 m = (- a) 2 m = a 2 м аламыз. Санның соңғы түрлендіруі қуат қасиетіне сәйкес жарамды. Дәл осы нәрсе a 2 m 2 m = a теңдігін дәлелдейді және a 2 m - 1 2 m - 1 = a ақиқат болады, өйткені тақ дәреже - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 деп есептеледі. кез келген сан үшін c,оң немесе нөлге тең.

Алынған ақпаратты біріктіру үшін сипатты пайдаланудың бірнеше мысалдарын қарастырайық:

5-мысал

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 және (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Келесі a m n = a n m теңдігін дәлелдеп көрейік. Ол үшін a n · m = a m n теңдік белгісінің алдындағы және кейінгі сандарды ауыстыру керек. Бұл жазба дұрыс екенін білдіреді. Үшін а,бұл оң немесе нөлге тең , a m n түріндегі оң сан немесе нөлге тең. Күшті күшке көтеру қасиетіне және оның анықтамасына тоқталайық. Олардың көмегімен теңдіктерді a m n n · m = a m n n m = a m m = a түрінде түрлендіруге болады. Бұл қарастырылып отырған түбір түбірінің қасиетін дәлелдейді.

Басқа қасиеттер дәл осылай дәлелденген. Шынымен, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k =. . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k =. . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k =. . . = a n k n k = a .

Мысалы, 7 3 5 = 7 5 3 және 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Келесі a m n · m = a n қасиетін дәлелдеп көрейік. Ол үшін n оң немесе нөлге тең сан екенін көрсету керек. Қуаттылыққа көтерілгенде n m тең болады а м. Егер нөмір аоң немесе нөлге тең болса, онда n-ші дәрежелі аоң сан немесе нөлге тең.Бұл жағдайда a n · m n = a n n m , бұл дәлелдеуді қажет етеді.

Алған білімді бекіту үшін бірнеше мысал келтірейік.

1. Келесі қасиет – a m n = a n m түріндегі дәреженің түбір қасиетін дәлелдеп көрейік. Қашан екені анық a ≥ 0 a n m дәрежесі теріс емес сан. Оның үстіне, оның nші дәрежесі тең а м, шын мәнінде, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Бұл қарастырылып отырған дәреженің қасиетін дәлелдейді.

Мысалы, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Кез келген оң сандар үшін дәлелдеу керек ажәне b шарты орындалады а< b . a n теңсіздігін қарастырайық< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Сондықтан, а н< b n при а< b .

Мысалы, 12 4 берейік< 15 2 3 4 .

1. Түбірдің қасиетін қарастырайық n-ші дәреже. Алдымен теңсіздіктің бірінші бөлігін қарастыру керек. Сағат m > nЖәне 0 < a < 1 ақиқат a m > a n. a m ≤ a n деп есептейік. Қасиеттер өрнекті a n m · n ≤ a m m · n етіп жеңілдетуге мүмкіндік береді. Сонда натурал көрсеткішті дәреженің қасиеттеріне сәйкес a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n теңсіздігі орындалады, яғни, a n ≤ a m. Алынған мән m > nЖәне 0 < a < 1 жоғарыда келтірілген қасиеттерге сәйкес келмейді.

Дәл осылай қашан екенін дәлелдеуге болады m > nЖәне a > 1 a m шарты ақиқат< a n .

Жоғарыда аталған қасиеттерді біріктіру үшін бірнеше нақты мысалдарды қарастырайық. Нақты сандарды пайдаланып теңсіздіктерді қарастырайық.

6-мысал

0, 7 3 > 0, 7 5 және 12 > 12 7.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Көбінесе мәселелерді шешу кезінде біз алуымыз керек үлкен сандарға тап боламыз Шаршы түбір. Көптеген студенттер бұл қате деп шешіп, бүкіл мысалды қайта шеше бастайды. Ешбір жағдайда мұны істеуге болмайды! Мұның екі себебі бар:

1. Мәселелерде үлкен сандардың түбірлері пайда болады. Әсіресе мәтіндерде;
2. Бұл түбірлерді ауызша дерлік есептейтін алгоритм бар.

Біз бүгін осы алгоритмді қарастырамыз. Мүмкін кейбір нәрселер сізге түсініксіз болып көрінуі мүмкін. Бірақ егер сіз осы сабаққа назар аударсаңыз, сіз қарсы күшті қару аласыз шаршы түбірлер.

Сонымен, алгоритм:

1. Жоғарыдағы және астындағы қажетті түбірді 10-ға еселік сандармен шектеңіз. Осылайша, іздеу ауқымын 10 санға дейін азайтамыз;
2. Осы 10 санның ішінен түбір бола алмайтындарды алып тастаңыз. Нәтижесінде 1-2 сан қалады;
3. Осы 1-2 сандарды квадратпен белгілеңіз. Квадраты бастапқы санға тең болса, сол түбір болады.

Бұл алгоритмді іс жүзінде қолданбас бұрын, әрбір жеке қадамды қарастырайық.

Түбірлік шектеу

Ең алдымен түбіріміздің қай сандар арасында орналасқанын анықтау керек. Сандардың онға еселік болуы өте қажет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Біз сандар қатарын аламыз:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Бұл сандар бізге не айтады? Бұл қарапайым: біз шекараларды аламыз. Мысалы, 1296 санын алайық. Ол 900 мен 1600 арасында жатыр. Сондықтан оның түбірі 30-дан кіші және 40-тан үлкен болмауы керек:

[Суреттің жазуы]

Дәл осы нәрсе квадрат түбірін табуға болатын кез келген басқа санға қатысты. Мысалы, 3364:

[Суреттің жазуы]

Осылайша, түсініксіз санның орнына біз бастапқы түбір жататын өте нақты диапазон аламыз. Іздеу аймағын одан әрі тарылту үшін екінші қадамға өтіңіз.

Керексіз сандарды жою

Сонымен, бізде 10 сан бар - түбірге үміткерлер. Біз оларды күрделі ойлаусыз және бағанға көбейтусіз өте тез алдық. Жол жүретін уақыт келді.

Сенесіз бе, сенбейсіз бе, біз енді кандидаттар санын екіге дейін азайтамыз - қайтадан күрделі есептеулерсіз! Арнайы ережені білу жеткілікті. Міне ол:

Квадраттың соңғы цифры тек соңғы цифрға байланысты бастапқы нөмір.

Басқаша айтқанда, шаршының соңғы цифрын қараңыз және біз бастапқы санның қайда аяқталатынын бірден түсінеміз.

Соңғы орында келе алатын тек 10 цифр бар. Квадрат болған кезде олардың неге айналатынын анықтауға тырысайық. Кестеге қараңыз:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Бұл кесте түбірді есептеудің тағы бір қадамы. Көріп отырғаныңыздай, екінші жолдағы сандар беске қатысты симметриялы болып шықты. Мысалы:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Көріп отырғаныңыздай, соңғы сан екі жағдайда да бірдей. Бұл, мысалы, 3364 түбірі 2 немесе 8-мен аяқталуы керек дегенді білдіреді. Екінші жағынан, біз алдыңғы абзацтағы шектеуді есте сақтаймыз. Біз алып жатырмыз:

[Суреттің жазуы]

Қызыл шаршылар бұл көрсеткішті әлі білмегенімізді көрсетеді. Бірақ түбір 50-ден 60-қа дейінгі аралықта жатыр, онда 2 және 8-мен аяқталатын екі ғана сан бар:

[Суреттің жазуы]

Осымен болды! Барлық ықтимал тамырлардың ішінен біз тек екі нұсқаны қалдырдық! Және бұл ең қиын жағдайда, өйткені соңғы сан 5 немесе 0 болуы мүмкін. Содан кейін түбірлерге бір ғана үміткер болады!

Қорытынды есептеулер

Сонымен, бізде 2 үміткер нөмір қалды. Қайсысының түбір екенін қайдан білуге ​​болады? Жауап анық: екі санның да квадраты. Квадраты бастапқы санды береді, сол түбір болады.

Мысалы, 3364 саны үшін біз екі үміткер санын таптық: 52 және 58. Оларды квадраттайық:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Осымен болды! Түбір 58 болып шықты! Бұл ретте есептеулерді жеңілдету үшін қосынды мен айырманың квадраттарының формуласын қолдандым. Осының арқасында мен сандарды бағанға көбейтудің қажеті болмады! Бұл есептеуді оңтайландырудың басқа деңгейі, бірақ, әрине, бұл толығымен міндетті емес :)

Түбірлерді есептеу мысалдары

Теория, әрине, жақсы. Бірақ оны іс жүзінде тексеріп көрейік.

[Суреттің жазуы]

Алдымен 576 саны қай сандардың арасында жатқанын анықтайық:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Енді соңғы санға назар аударайық. Ол 6-ға тең. Бұл қашан болады? Түбір 4 немесе 6-мен аяқталса ғана. Біз екі сан аламыз:

Әр санның квадратын алу және оны түпнұсқамен салыстыру ғана қалады:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Тамаша! Бірінші шаршы бастапқы санға тең болып шықты. Демек, бұл тамыр.

Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:

[Суреттің жазуы]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Соңғы санды қарастырайық:

1369 → 9;
33; 37.

Шаршы:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Міне, жауап: 37.

Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:

[Суреттің жазуы]

Біз санды шектейміз:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Соңғы санды қарастырайық:

2704 → 4;
52; 58.

Шаршы:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Біз жауап алдық: 52. Екінші санды енді квадраттау қажет емес.

Тапсырма. Квадрат түбірін есептеңіз:

[Суреттің жазуы]

Біз санды шектейміз:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Соңғы санды қарастырайық:

4225 → 5;
65.

Көріп отырғаныңыздай, екінші қадамнан кейін бір ғана нұсқа қалды: 65. Бұл қажетті түбір. Бірақ оны әлі де квадраттап, тексерейік:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Барлығы дұрыс. Жауабын жазамыз.

Қорытынды

Әттең, жақсы емес. Оның себептерін қарастырайық. Олардың екеуі бар:

• Кез келген қалыпты математика емтиханында, ол Мемлекеттік емтихан немесе Бірыңғай мемлекеттік емтихан болсын, калькуляторды пайдалануға тыйым салынады. Ал егер сіз сабаққа калькулятор әкелсеңіз, емтиханнан оңай қуылуыңыз мүмкін.
• Ақымақ американдықтар сияқты болмаңыз. Түбірлер сияқты емес - олар екі жай санды қоса алмайды. Ал фракцияларды көргенде, олар әдетте истерияға айналады.