Ортақ бөлгішке келтіру деген нені білдіреді? Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру. «Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру» бейне сабағын жүктеп алыңыз

Бөлшектердің әртүрлі немесе бірдей бөлгіштері болады. Бірдей бөлгіш немесе басқаша аталады ортақ бөлгішбөлшек бойынша. Ортақ бөлгіштің мысалы:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Бөлшектердің әртүрлі бөлгіштерінің мысалы:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Бөлшекті ортақ бөлімге қалай келтіруге болады?

Бірінші бөлшектің бөлімі 3-ке, екіншісінің бөлімі 13-ке тең. 3-ке де, 13-ке де бөлінетін санды табу керек. Бұл сан 39-ға тең.

Бірінші бөлшекті көбейту керек қосымша көбейткіш 13. Бөлшектің өзгермейтініне көз жеткізу үшін алымды да 13-ке көбейту керек.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \рет \түс(қызыл) (13))(3 \рет \түс(қызыл) (13)) = \frac(104)(39)\)

Екінші бөлшекті қосымша 3-ке көбейтеміз.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \рет \түс(қызыл) (3))(13 \рет \түс(қызыл) (3)) = \frac(6)(39)\)

Бөлшекті ортақ бөлімге келтірдік:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Ең кіші ортақ бөлгіш.

Басқа мысалды қарастырайық:

\(\frac(5)(8)\) және \(\frac(7)(12)\) бөлшектерді ортақ бөлгішке келтірейік.

8 және 12 сандарының ортақ бөлгіші 24, 48, 96, 120, ... сандары болуы мүмкін, таңдау әдетке айналған. ең кіші ортақ бөлгішбіздің жағдайда бұл 24 саны.

Ең кіші ортақ бөлгішбірінші және екінші бөлшектердің бөлгішін бөлуге болатын ең кіші сан.

Ең кіші ортақ бөлгішті қалай табуға болады?
Бірінші және екінші бөлшектің бөлгішін бөлу және ең кішісін таңдау үшін сандарды санау әдісі.

Бөлгіші 8 болатын бөлшекті 3-ке, ал 12-сі бар бөлшекті 2-ге көбейтуіміз керек.

\(\бастау(туралау)&\frac(5)(8) = \frac(5 \рет \түс(қызыл) (3))(8 \рет \түс(қызыл) (3)) = \frac(15) )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \рет \түс(қызыл) (2))(12 \рет \түс(қызыл) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\соңы(туралау)\)

Бөлшектерді ең төменгі ортақ бөлгішке дейін бірден азайта алмасаңыз, алаңдайтын ештеңе жоқ, болашақта мысалды шешу кезінде сіз алған жауапты алуыңыз керек болуы мүмкін.

Ортақ бөлгішті кез келген екі бөлшек үшін табуға болады, ол осы бөлшектердің бөлгіштерінің көбейтіндісі болуы мүмкін.

Мысалы:
\(\frac(1)(4)\) және \(\frac(9)(16)\) бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке дейін азайтыңыз.

Ортақ бөлгішті табудың ең оңай жолы - бөлгіштерді 4⋅16=64 көбейту. 64 саны ең төменгі ортақ бөлгіш емес. Тапсырма ең кіші ортақ бөлгішті табуды талап етеді. Сондықтан біз одан әрі қараймыз. Бізге 4-ке де, 16-ға да бөлінетін сан керек, бұл 16 саны. Бөлшекті ортақ бөлімге келтірейік, 4-ке бөлінетін бөлшекті 4-ке, ал 16-ға бөлінетін бөлшекті бір-бірге көбейтейік. Біз алып жатырмыз:

\(\бастау(туралау)&\frac(1)(4) = \frac(1 \рет \түс(қызыл) (4))(4 \рет \түс(қызыл) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \рет \түс(қызыл) (1))(16 \рет \түс(қызыл) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \соңы(туралау)\)

Бұл мақала түсіндіреді ең кіші ортақ бөлгішті қалай табуға боладыЖәне бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру әдісі. Алдымен бөлшектердің ортақ бөлімі мен ең кіші ортақ бөліміне анықтамалар беріліп, бөлшектердің ортақ бөлімін қалай табуға болатыны көрсетіледі. Төменде бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіру ережесі берілген және осы ережені қолдану мысалдары қарастырылған. Қорытындылай келе, үш немесе одан да көп бөлшекті ортақ бөлгішке келтіру мысалдары талқыланады.

Бетті шарлау.

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру қалай аталады?

Енді бөлшектерді ортақ бөлімге келтірудің не екенін айта аламыз. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру- Бұл берілген бөлшектердің алымдары мен бөлгіштерін осындай қосымша көбейткіштерге көбейту, нәтижесінде бөлгіштері бірдей бөлшектер шығады.

Ортақ бөлгіш, анықтама, мысалдар

Енді бөлшектердің ортақ бөлгішін анықтау уақыты келді.

Басқаша айтқанда, жай бөлшектердің белгілі бір жиынының ортақ бөлімі осы бөлшектердің барлық бөлгіштеріне бөлінетін кез келген натурал сан болып табылады.

Берілген анықтамадан бөлшектердің берілген жиынының шексіз көп ортақ бөлгіштері бар екендігі шығады, өйткені бөлшектердің бастапқы жиынының барлық бөлгіштерінің шексіз саны бар ортақ көбейткіштері бар.

Бөлшектердің ортақ бөлімін анықтау берілген бөлшектердің ортақ бөлімін табуға мүмкіндік береді. Мысалы, 1/4 және 5/6 бөлшектерін ескере отырып, олардың бөлгіштері сәйкесінше 4 және 6 болсын. 4 және 6 сандарының оң ортақ еселіктері 12, 24, 36, 48, ... сандары. Бұл сандардың кез келгені 1/4 және 5/6 бөлшектерінің ортақ бөлімі болып табылады.

Материалды бекіту үшін келесі мысалдың шешімін қарастырыңыз.

Мысал.

2/3, 23/6 және 7/12 бөлшектерін 150-нің ортақ бөліміне келтіруге бола ма?

Шешім.

Сұраққа жауап беру үшін 150 саны 3, 6 және 12 бөлгіштерінің ортақ еселігі екенін анықтауымыз керек. Ол үшін 150 саны осы сандардың әрқайсысына бөлінетінін тексеріп көрейік (қажет болса, натурал сандарды бөлу ережелері мен мысалдарын, сондай-ақ натурал сандарды қалдықпен бөлу ережелері мен мысалдарын қараңыз): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (қалған 6) .

Сонымен, 150 саны 12-ге біркелкі бөлінбейді, сондықтан 150 саны 3, 6 және 12 санының ортақ еселігі емес. Сондықтан 150 саны бастапқы бөлшектердің ортақ бөлімі бола алмайды.

Жауап:

Ол тыйым салынған.

Ең кіші ортақ бөлгіш, оны қалай табуға болады?

Берілген бөлшектердің ортақ бөлімі болатын сандар жиынында ең кіші натурал сан бар, ол ең кіші ортақ бөлгіш деп аталады. Осы бөлшектердің ең кіші ортақ бөлгішінің анықтамасын тұжырымдап көрейік.

Анықтама.

Ең кіші ортақ бөлгішосы бөлшектердің барлық ортақ бөлгіштерінің ең кіші саны.

Ең кіші ортақ бөлгішті қалай табуға болады деген сұрақпен айналысу керек.

Берілген сандар жиынының ең аз оң ортақ бөлгіші болғандықтан, берілген бөлшектердің бөлгіштерінің LCM берілген бөлшектердің ең кіші ортақ бөлгішін білдіреді.

Осылайша, бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімін табу сол бөлшектердің бөліміне түседі. Мысалдың шешімін қарастырайық.

Мысал.

3/10 және 277/28 бөлшектерінің ең кіші ортақ бөлімін табыңыз.

Шешім.

Бұл бөлшектердің бөлгіштері 10 және 28. Қажетті ең төменгі ортақ бөлгіш 10 және 28 сандарының LCM ретінде табылады. Біздің жағдайда бұл оңай: 10=2·5 және 28=2·2·7 болғандықтан, LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Жауап:

140 .

Бөлшектерді ортақ бөлімге қалай келтіруге болады? Ереже, мысалдар, шешімдер

Жай бөлшектер әдетте ең төменгі ортақ бөлгішке әкеледі. Біз енді бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке келтіру жолын түсіндіретін ережені жазамыз.

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке келтіру ережесіүш кезеңнен тұрады:

• Алдымен бөлшектердің ең кіші ортақ бөлімін табыңыз.
• Екіншіден, әрбір бөлшек үшін ең кіші ортақ бөлгішті әрбір бөлшектің бөлгішіне бөлу арқылы қосымша көбейткіш есептеледі.
• Үшіншіден, әрбір бөлшектің алымы мен бөлімі оның қосымша көбейткішіне көбейтіледі.

Келесі мысалды шешу үшін берілген ережені қолданайық.

Мысал.

5/14 және 7/18 бөлшектерін ең кіші ортақ бөліміне келтіріңіз.

Шешім.

Бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке келтіру алгоритмінің барлық қадамдарын орындайық.

Алдымен 14 және 18 сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең ең кіші ортақ бөлгішті табамыз. 14=2·7 және 18=2·3·3 болғандықтан, LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Енді біз қосымша көбейткіштерді есептейміз, олардың көмегімен 5/14 және 7/18 бөлшектері 126 бөліміне дейін азайтылады. 5/14 бөлімі үшін қосымша көбейткіш 126:14=9, ал 7/18 бөлімі үшін қосымша көбейткіш 126:18=7.

5/14 және 7/18 бөлшектерінің алымдары мен бөлгіштерін сәйкесінше 9 және 7 қосымша көбейткіштеріне көбейту қалады. Бізде және .

Сонымен, 5/14 және 7/18 бөлшектерін ең кіші ортақ бөлгішке келтіру аяқталды. Алынған бөлшектер 45/126 және 49/126 болды.

Мен бастапқыда Бөлшектерді қосу және азайту бөлімінде ортақ бөлгіш әдістерін қосқым келді. Бірақ ақпараттың көптігі және оның маңыздылығы соншалықты үлкен (сандық бөлшектердің ортақ бөлгіштері ғана емес), бұл мәселені бөлек зерттеген дұрыс.

Сонымен, бөлгіштері әртүрлі екі бөлшек бар делік. Ал біз бөлгіштердің бірдей болатынына көз жеткізгіміз келеді. Бөлшектің негізгі қасиеті көмекке келеді, еске салайын, ол келесідей естіледі:

Бөлшектің алымы мен бөлімі нөлден басқа бірдей санға көбейтілсе, бөлшек өзгермейді.

Осылайша, көбейткіштерді дұрыс таңдасаңыз, бөлшектердің бөлгіштері тең болады - бұл процесс ортақ бөлімге келтіру деп аталады. Ал қажетті сандар, бөлгіштерді «түстеу» қосымша факторлар деп аталады.

Неліктен бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру керек? Мұнда тек бірнеше себептер бар:

1. Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу және азайту. Бұл операцияны орындаудың басқа жолы жоқ;
2. Бөлшектерді салыстыру. Кейде ортақ бөлгішке келтіру бұл тапсырманы айтарлықтай жеңілдетеді;
3. Бөлшектерге және проценттерге есептер шығару. Проценттер негізінен бөлшектерден тұратын қарапайым өрнектер.

Сандарды табудың көптеген жолдары бар, оларды көбейткенде бөлшектердің бөлгіштері тең болады. Біз олардың үшеуін ғана қарастырамыз - күрделілік пен белгілі бір мағынада тиімділігін арттыру тәртібімен.

Айқаспалы көбейту

Бөлгіштерді теңестіруге кепілдік беретін ең қарапайым және сенімді әдіс. Біз «басты түрде» әрекет етеміз: біз бірінші бөлшекті екінші бөлшектің бөліміне, ал екіншісін біріншінің бөліміне көбейтеміз. Нәтижесінде екі бөлшектің де бөлгіштері бастапқы бөлгіштердің көбейтіндісіне тең болады. Қара:

Қосымша факторлар ретінде көршілес бөлшектердің бөлгіштерін қарастырыңыз. Біз алып жатырмыз:

Иә, бұл қарапайым. Бөлшектерді енді ғана зерттей бастасаңыз, осы әдісті қолданып жұмыс істеген дұрыс – осылайша сіз өзіңізді көптеген қателіктерден сақтандырасыз және нәтиже алуға кепілдік бересіз.

Бұл әдістің жалғыз кемшілігі - сіз көп санауыңыз керек, өйткені бөлгіштер «барлық жолмен» көбейтіледі және нәтиже өте үлкен сандар болуы мүмкін. Бұл сенімділік үшін төленетін баға.

Ортақ бөлгіш әдісі

Бұл әдіс есептеулерді айтарлықтай азайтуға көмектеседі, бірақ, өкінішке орай, ол өте сирек қолданылады. Әдіс келесідей:

1. Тікелей алға бармас бұрын (яғни, крест әдісін қолдану) бөлгіштерге назар аударыңыз. Мүмкін олардың біреуі (үлкенірек) екіншісіне бөлінген.
2. Бұл бөлу нәтижесінде пайда болатын сан бөлгіші кішірек бөлшек үшін қосымша көбейткіш болады.
3. Бұл жағдайда үлкен бөлгіші бар бөлшекті ешнәрсеге көбейтудің қажеті жоқ - жинақ осы жерде жатыр. Бұл ретте қателік ықтималдығы күрт төмендейді.

Тапсырма. Сөздердің мағыналарын табыңыз:

84 екенін ескеріңіз: 21 = 4; 72: 12 = 6. Екі жағдайда да бір бөлгіш екіншісіне қалдықсыз бөлінетіндіктен, ортақ көбейткіштер әдісін қолданамыз. Бізде бар:

Назар аударыңыз, екінші бөлшек мүлде ештеңеге көбейтілмеген. Шындығында, біз есептеу көлемін екі есе қысқарттық!

Айтпақшы, мен бұл мысалдағы бөлшектерді кездейсоқ алған жоқпын. Егер сізді қызықтырса, оларды крест әдісі арқылы санап көріңіз. Қысқартқаннан кейін жауаптар бірдей болады, бірақ жұмыс әлдеқайда көп болады.

Бұл ортақ бөлгіштер әдісінің күші, бірақ, қайталаймын, ол бөлгіштердің бірі екіншісіне қалдықсыз бөлінетін кезде ғана қолданылады. Бұл өте сирек кездеседі.

Ең аз таралған еселік әдіс

Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіргенде, біз әрбір бөлгішке бөлінетін санды табуға тырысамыз. Содан кейін екі бөлшектің де бөлімін осы санға келтіреміз.

Мұндай сандар өте көп және олардың ең кішісі «айқас» әдісінде қабылданғандай, бастапқы бөлшектердің бөлгіштерінің тікелей көбейтіндісіне тең болуы міндетті емес.

Мысалы, 8 және 12 бөлгіштер үшін 24 саны өте қолайлы, өйткені 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Бұл сан 8 · 12 = 96 көбейтіндісінен әлдеқайда аз.

Бөлгіштердің әрқайсысына бөлінетін ең кіші сан олардың ең кіші ортақ еселігі (LCM) деп аталады.

Белгі: a және b санының ең кіші ортақ еселігі LCM(a ; b) арқылы белгіленеді. Мысалы, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Егер сіз осындай санды таба алсаңыз, есептеулердің жалпы сомасы минималды болады. Мысалдарды қараңыз:

Тапсырма. Сөздердің мағыналарын табыңыз:

234 = 117 2 екенін ескеріңіз; 351 = 117 3. 2 және 3 факторлар қос жай (1-ден басқа ортақ көбейткіштері жоқ) және 117 фактор ортақ. Сондықтан LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Сол сияқты, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-ші және 4-ші факторлар ортақ, ал 5-ші факторлар ортақ. Сондықтан LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Енді бөлшектерді ортақ бөлгіштерге келтірейік:

Бастапқы бөлгіштерді көбейткіштерге бөлу қаншалықты пайдалы болғанына назар аударыңыз:

1. Бірдей факторларды анықтай отырып, біз бірден ең кіші ортақ еселікке жеттік, бұл жалпы айтқанда, тривиальды емес мәселе;
2. Алынған кеңейтімнен сіз әрбір бөлшекте қандай факторлардың «жетпегенін» біле аласыз. Мысалы, 234 · 3 = 702, сондықтан бірінші бөлшек үшін қосымша көбейткіш 3-ке тең.

Ең аз ортақ еселік әдіс қанша айырмашылық тудыратынын түсіну үшін айқас әдісі арқылы дәл осы мысалдарды есептеп көріңіз. Әрине, калькуляторсыз. Менің ойымша, осыдан кейін түсініктемелер қажет емес болады.

Нақты мысалдарда мұндай күрделі бөлшектер болмайды деп ойламаңыз. Олар үнемі кездеседі, және жоғарыда аталған міндеттер шек емес!

Жалғыз мәселе - дәл осы ҰОК қалай табуға болады. Кейде бәрі бірнеше секундта, сөзбе-сөз «көзбен» табылады, бірақ тұтастай алғанда бұл жеке қарастыруды қажет ететін күрделі есептеу тапсырмасы. Біз бұл жерде оған тоқталмаймыз.

• Бөлгіштері ұқсас бөлшектерді қосу және азайту
• Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу және азайту
• ҰОК туралы түсінік
• Бөлшектерді бірдей бөлгішке келтіру
• Бүтін санды және бөлшекті қалай қосуға болады

1 Бөлгіштері ұқсас бөлшектерді қосу және азайту

Бөлгіштері бірдей бөлшектерді қосу үшін олардың алымдарын қосу керек, бірақ бөлгішті сол күйінде қалдыру керек, мысалы:

Бөлінгіштері бірдей бөлшектерді алу үшін бірінші бөлшектің алымынан екінші бөлшектің алымын алып, ал бөлгішті сол күйінде қалдыру керек, мысалы:

Аралас бөлшектерді қосу үшін олардың бүтін бөліктерін бөлек қосу керек, содан кейін олардың бөлшек бөліктерін қосып, нәтижені аралас бөлшек түрінде жазу керек,

1-мысал:

2-мысал:

Бөлшек бөлшектерді қосқанда, сіз бұрыс бөлшек алсаңыз, одан бүтін бөлікті таңдап, оны бүтін бөлікке қосыңыз, мысалы:

2 Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу және азайту.

Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосу немесе азайту үшін алдымен оларды бір бөлгішке дейін азайту керек, содан кейін осы мақаланың басында көрсетілгендей әрекет ету керек. Бірнеше бөлшектің ортақ бөлімі LCM (ең кіші ортақ еселік) болып табылады. Әрбір бөлшектің алымы үшін LCM-ді осы бөлшектің бөліміне бөлу арқылы қосымша көбейткіштер табылады. ҰОК дегеннің не екенін түсінгеннен кейін біз мысалды кейінірек қарастырамыз.

3 Ең кіші ортақ еселік (LCM)

Екі санның ең кіші ортақ еселігі (LCM) екі санға қалдық қалдырмай бөлінетін ең кіші натурал сан. Кейде LCM-ді ауызша табуға болады, бірақ көбінесе, әсіресе үлкен сандармен жұмыс істегенде, келесі алгоритмді қолдана отырып, жазбаша түрде LCM табу керек:

Бірнеше санның LCM-ін табу үшін сізге қажет:

1. Осы сандарды жай көбейткіштерге көбейтіңіз
2. Ең үлкен кеңейтуді алыңыз және осы сандарды өнім ретінде жазыңыз
3. Басқа декомпозицияларда ең үлкен ыдырауда кездеспейтін сандарды таңдап алыңыз (немесе онда азырақ кездеседі) және оларды өнімге қосыңыз.
4. Өнімдегі барлық сандарды көбейтіңіз, бұл LCM болады.

Мысалы, 28 және 21 сандарының LCM-ін табайық:

4 Бөлшектерді бірдей бөлгішке келтіру

Бөлгіштері әртүрлі бөлшектерді қосуға оралайық.

Бөлшектерді екі азайғыштың LCM-іне тең бір бөлгішке келтіргенде, біз осы бөлшектердің алымдарын көбейтуіміз керек. қосымша көбейткіштер. Оларды LCM-ді сәйкес бөлшектің бөлгішіне бөлу арқылы табуға болады, мысалы:

Осылайша, бөлшектерді бірдей дәрежеге келтіру үшін алдымен осы бөлшектердің бөлгіштерінің LCM (яғни екі бөліміне де бөлінетін ең кіші сан) табу керек, содан кейін бөлшектердің алымдарына қосымша көбейткіштерді қою керек. Оларды ортақ бөлгішті (CLD) сәйкес бөлшектің бөлгішіне бөлу арқылы табуға болады. Содан кейін әрбір бөлшектің алымын қосымша көбейткішке көбейтіп, LCM-ді бөлгіш ретінде қою керек.

5 Натурал сан мен бөлшекті қосу әдісі

Бүтін санды және бөлшекті қосу үшін аралас бөлшек құру үшін жай бөлшектің алдына сол санды қосыңыз, мысалы:

Егер бүтін сан мен аралас бөлшекті қоссақ, ол санды бөлшектің бүтін сан бөлігіне қосамыз, мысалы:

Жаттықтырушы 1

Бөлгіштері ұқсас бөлшектерді қосу және азайту.

Уақыт шегі: 0

Навигация (тек жұмыс нөмірлері)

20 тапсырманың 0 орындалды

ақпарат

Бұл тест ұқсас бөлгіштері бар бөлшектерді қосу қабілетіңізді тексереді. Бұл жағдайда екі ережені сақтау керек:

• Егер нәтиже бұрыс бөлшек болса, оны аралас санға түрлендіру керек.
• Егер бөлшекті қысқартуға болатын болса, оны қысқартуды ұмытпаңыз, әйтпесе дұрыс емес жауап есептеледі.

Сіз бұрын сынақтан өткенсіз. Сіз оны қайта бастай алмайсыз.

Сынақ жүктелуде...

Сынақты бастау үшін жүйеге кіру немесе тіркелу қажет.

Мұны бастау үшін келесі сынақтарды орындау керек:

нәтижелер

Дұрыс жауаптар: 20-дан 0

Сіздің уақытыңыз:

Уақыт бітті

Сіз 0 ұпайдан 0 ұпай жинадыңыз (0)

1. Жауаппен
2. Қарау белгісімен