Көпмүшенің азайтылмайтын көбейткіштерін бөлу. Факторизация зертханасының опциялары
Бұл онлайн калькулятор функцияны көбейткіштерге бөлуге арналған.
Мысалы, көбейткіштерге жіктеу: x 2 /3-3x+12. Оны x^2/3-3*x+12 деп жазайық. Сондай-ақ, барлық есептеулер Word пішімінде сақталатын бұл қызметті пайдалануға болады.
Мысалы, терминдерге бөліңіз. Оны (1-x^2)/(x^3+x) түрінде жазайық. Шешімнің орындалу барысын көру үшін Қадамдарды көрсету түймешігін басыңыз. Нәтижені Word форматында алу қажет болса, осы қызметті пайдаланыңыз.
Ескерту: «pi» (π) саны пи түрінде жазылады; квадрат түбірі sqrt ретінде, мысалы sqrt(3) , тангенс tg деп жазылады tan . Жауапты көру үшін Балама бөлімін қараңыз.
- Егер қарапайым өрнек берілсе, мысалы, 8*d+12*c*d, онда өрнекті көбейткіштерге бөлу өрнекті көбейткіштер түрінде көрсетуді білдіреді. Ол үшін жалпы факторларды табу керек. Бұл өрнекті былай жазайық: 4*d*(2+3*c) .
- Көбейтіндіні екі бином түрінде көрсетіңіз: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Мұнда сіз бірнеше жалпы факторларды табуыңыз керек: x(x+7z) + 3y(x + 7z). (x+7z) шығарып, мынаны аламыз: (x+7z)(x + 3y) .
Сондай-ақ қараңыз көпмүшелерді бұрышпен бөлу (бағанмен бөлудің барлық қадамдары көрсетілген)
Факторизация ережелерін зерделеу кезінде пайдалы болады қысқартылған көбейту формулалары, оның көмегімен жақшаларды шаршымен қалай ашу керектігі анық болады:
- (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
- (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
- (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
- a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
- a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
- (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
- (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3
Факторизация әдістері
Бірнеше амалдарды үйренгеннен кейін факторизацияШешімдердің келесі классификациясын жасауға болады:- Қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.
- Ортақ факторды табу.
Анықтама 1.Егер c саны белгісіздің орнына қойылғанда f(x) көпмүшесі жойылып кетсе, онда c f(x) көпмүшесінің түбірі деп аталады (немесе f(x)=0 теңдеуі).
1-мысал. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.
f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, және f(2) болғандықтан 1 саны f(x) түбірі, ал 2 саны f(x түбірі емес. )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Көпмүшенің түбірлері оның бөлгіштерімен байланысады екен.
c саны f(x) көпмүшесінің түбірі, егер f(x) x-c-ке бөлінетін болса ғана.
Анықтама 2.Егер c f(x) көпмүшесінің түбірі болса, f(x) х-c-ке бөлінеді. Сонда f(x) (x-c) k-ке бөлінетін, бірақ (x-c) k+1-ге бөлінбейтін k натурал саны бар. Бұл k саны f(x) көпмүшесінің с түбірінің еселігі деп аталады, ал с түбірінің өзі осы көпмүшенің k еселенген түбірі. Егер k=1 болса, онда с түбірі жай деп аталады.
f(x) көпмүшесінің түбірінің k еселігін табу үшін теореманы пайдаланыңыз:
Егер c саны f(x) көпмүшесінің k еселенген түбірі болса, k>1 үшін бұл көпмүшенің бірінші туындысының (k-1) еселенген түбірі болады; егер k=1 болса, онда c f "(x) үшін түбір қызметін атқармайды.
Салдары.Бірінші рет f(x) көпмүшесінің k еселенген түбірі k-ші туынды үшін түбір қызметін атқармайды.
2-мысал. 2 саны f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 көпмүшесінің түбірі екеніне көз жеткізіңіз. Оның көптігін анықтаңыз.
Шешім. 2 саны f(x) түбірі, өйткені 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
2 саны f"""(x) бірінші рет түбірі емес, сондықтан 2 саны f(x) көпмүшесінің үштік түбірі.
Жетекші коэффициенті 1 болатын n≥1 дәрежелі f(x) полиномы берілсін: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n және α 1 ,... ,α n – оның түбірлері. Көпмүшенің түбірлері мен оның коэффициенттері Vieta формулалары деп аталатын формулалар арқылы байланысады:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Виетаның формулалары көпмүшені түбірлерін ескере отырып жазуды жеңілдетеді.
3-мысал.Түбірлері 2 болатын көпмүшені табыңыз; 3 және қос түбір –1.
Шешім.Көпмүшенің коэффициенттерін табайық:
және 1 =– (2+3–1–1)=-3,
a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,
және 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Қажетті көпмүше x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.
Анықтама 3. n дәрежелі f(x)ÌP[x] көпмүшесі Р өрісі бойынша қысқартылады, егер ол екі φ(x) және ψ(x) факторларының P[x] көбейтіндісіне ыдыраса, оның градустары одан кіші. n:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ОP[x] P өрісі бойынша азайтылмайтын деп аталады, егер оның P[x] көбейткіштерінің кез келгенінде факторлардың біреуінің 0 дәрежесі, екіншісінің дәрежесі n болса.
Келесі теоремалар орындалады:
P[x] сақинасынан кез келген нөлдік емес дәрежелі f(x) көпмүшені P[x]-тен нөлдік дәрежелі көбейткіштерге дейін қайталанбайтын факторлардың көбейтіндісіне ыдыра алады.
Бұдан оңай шығатыны, n, n≥1 дәрежелі кез келген f(х)ОР[x] көпмүшесі үшін төмендетілмейтін көбейткіштерге келесідей ыдырау болады:
мұндағы жетекші коэффициенттері бірге тең P[x]-дегі азайтылмайтын көпмүшелер. Көпмүше үшін бұл кеңейту бірегей болып табылады.
Мұндай кеңеюге кіретін азайтылмайтын факторлардың барлығы әртүрлі болуы міндетті емес. Егер қысқартылмайтын көпмүше (2) кеңеюде дәл k рет кездессе, онда оны f(x) көпмүшесінің k еселік көбейткіші деп атайды.Егер P(x) көбейткіш осы кеңеюде тек бір рет пайда болса, онда оны а деп атайды. f(x) үшін қарапайым коэффициент.
Егер кеңейтімде (2) бірдей факторлар біріктірілсе, онда бұл кеңейтуді келесі түрде жазуға болады:
, (3)
мұндағы Р 1 (x),…, Р r (x) факторлары қазірдің өзінде әртүрлі. Мұндағы k 1 ,…,k r көрсеткіштері сәйкес факторлардың еселігіне тең. Кеңейту (3) келесі түрде жазылуы мүмкін:
мұндағы F 1 (x) барлық қарапайым азайтылмайтын факторлардың көбейтіндісі, барлық қос азайтылмайтын факторлардың көбейтіндісі және т.б. кеңейтуде (3). Егер кеңеюде (3) m еселік факторлар болмаса, онда коэффициент бірге тең деп есептеледі.
Сандық өрістердің үстіндегі f(x) көпмүшесінің F 1 (x),…,F s (x) көпмүшеліктерін туынды ұғымын, бұрын тұжырымдалған теоремадан Евклид алгоритмін (туындымен байланыс туралы) пайдалана отырып табуға болады. келесідей:
Сондықтан аламыз
Осылайша, f(x) көпмүшесі үшін көбейткіштерді табуға болады 
.
Егер f(x) көпмүшесі үшін оның кеңеюінің (4) F 1 (x),...,F s (x) көбейткіштерін табу керек болса, онда оның еселік көбейткіштерін бөлу қажет дейді.
4-мысал. f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4 бірнеше көбейткіштерді бөліңіз.
Шешім. f(x) және f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 gcd табыңыз.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Енді d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 "(x)) табамыз.
v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x) өрнектерін көрсетеміз.
(бөлу жасаймыз).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(бөлу жасаймыз).
Сондықтан F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 аламыз, 
Сонымен, f(x) көпмүшесінің f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 кеңеюі бар. f(x) көпмүшесінің кеңеюінде (3) жай көбейткіштер жоқ, қос көбейткіш x-2, үш еселік x+1.
Ескертпе 1.Бұл әдіс f(x) көпмүшесінің барлық азайтылмайтын көбейткіштері қарапайым болса (f(x)=F 1 (x) сәйкестігін аламыз) ештеңе бермейді.
Ескерту 2.Бұл әдіс ерікті көпмүшенің барлық түбірлерінің еселіктерін анықтауға мүмкіндік береді.
ЛАБОРАТОРИЯЛЫҚ ЖҰМЫС ОПЕРАЦИЯЛАРЫ
1 нұсқа
1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 көпмүшесінің 1+i түбірі бар екеніне көз жеткізіңіз. Көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 еселіктерін ажырат.
3. Түбірлері: 5, i, i+3 болатын ең кіші дәрежелі көпмүшені табыңыз.
2-нұсқа
1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 көпмүшесінің х 0 = 2 түбірінің еселігі неге тең? Оның қалған тамырларын табыңыз.
2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 көбейткіштерін бөліңіз.
3. x 3 +px+q=0 теңдеуінің коэффициенттері арасындағы байланысты анықтаңыз, егер оның түбірлері x 1, x 2, x 3 қатынасты қанағаттандыратын болса.
3-нұсқа
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 көпмүшесінің х 0 = 4 түбірінің еселігі неге тең? Қалған түбірлерді табыңыз.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 еселіктерін ажырат.
3. Теңдеудің түбірлерінің бірі екіншісінің екі еселенгеніне тең болатындай λ-ті анықтаңыз: x 3 -7x+λ=0.
4-нұсқа
1. f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 көпмүшесінің түбірі x=3 екенін көрсетіңіз. Оның еселігін анықтап, қалған түбірлерін табыңдар.
2. x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 теңдеуінің екі түбірінің қосындысы 1-ге тең. λ-ті табыңыз.
5-нұсқа
1. x 0 = -2 көпмүшесінің x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 түбірі екенін көрсетіңіз. Оның еселігін анықтап, қалған түбірлерін табыңдар.
2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажыратыңыз.
3. 1, 2, 3, 1+i түбірлері берілген ең кіші дәрежелі көпмүшені табыңыз.
6-нұсқа
1. x 5 + ax 4 + b көпмүшесінің нөлден өзгеше қос түбірі болатын шартты табыңыз.
2. x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n көпмүшесінің x 1, x 2,…, x n түбірлері бар. Көпмүшелердің қандай түбірлері бар: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
7-нұсқа
1. 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 көпмүшесінің түбірі х=-2 екенін көрсетіңіз. Түбірдің еселігін табыңыз және көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
3. 2х 3 -2х 2 -4х-1 теңдеуінің түбірлерінің квадраттарының қосындысын табыңыз.
8-нұсқа
1. x=1 көпмүшесінің x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 түбірі екенін дәлелдеңдер. Оның көптігін анықтаңыз. Көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
3. Көпмүшенің бір түбірі екіншісінен екі есе үлкен. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ көпмүшесінің түбірлерін табыңыз.
9-нұсқа
1. x 5 +10ax 3 +5bx+c көпмүшесінің нөлден өзгеше үштік түбірі болатын шартты табыңыз.
2. x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. Егер оның түбірлері арифметикалық прогрессия құрайтыны белгілі болса, x 3 -6x 2 +qx+2=0 теңдеуін шешіңіз.
10-нұсқа
1. f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 көпмүшесінің түбірі x=3 екенін көрсетіңіз. Түбірдің еселігін анықтаңыз, көпмүшенің басқа түбірлерін табыңыз.
2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. 1, 2+i, 3 түбірлері берілген ең кіші дәрежелі нақты коэффициенттері бар көпмүшені табыңыз.
11 нұсқа
1. x=2 көпмүшесінің x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 түбірі екенін көрсетіңіз. Оның көптігін және басқа түбірлерін табыңыз.
2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. Ең кіші дәрежелі көпмүшені құру, егер оның түбірлері x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 белгілі болса.
12 нұсқа
1. x = -1 көпмүшесінің x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 түбірі екенін көрсетіңіз. Оның еселігін және көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. Ең кіші дәрежелі көпмүшені құру, егер оның түбірлері x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 белгілі болса.
13 нұсқа
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 көпмүшесінің х 0 = 4 түбірінің еселігі неге тең? Көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. x 3 -7x+λ=0 теңдеуінің түбірлерінің бірі екіншісінің екі еселенгеніне тең болатындай λ-ті анықтаңдар.
Қатысты ақпарат.
Анықтама 1.Егер c саны белгісіздің орнына қойылғанда f(x) көпмүшесі жойылып кетсе, онда c f(x) көпмүшесінің түбірі деп аталады (немесе f(x)=0 теңдеуі).
1-мысал. f(x)=x 5 +2x 3 -3x.
f(1)=1 5 +2∙1 3 -3∙1=0, және f(2) болғандықтан 1 саны f(x) түбірі, ал 2 саны f(x түбірі емес. )=2 5 + 2∙2 3 -3∙2=42≠0.
Көпмүшенің түбірлері оның бөлгіштерімен байланысады екен.
c саны f(x) көпмүшесінің түбірі, егер f(x) x-c-ке бөлінетін болса ғана.
Анықтама 2.Егер c f(x) көпмүшесінің түбірі болса, f(x) х-c-ке бөлінеді. Сонда f(x) (x-c) k-ке бөлінетін, бірақ (x-c) k+1-ге бөлінбейтін k натурал саны бар. Бұл k саны f(x) көпмүшесінің с түбірінің еселігі деп аталады, ал с түбірінің өзі осы көпмүшенің k еселенген түбірі. Егер k=1 болса, онда с түбірі жай деп аталады.
f(x) көпмүшесінің түбірінің k еселігін табу үшін теореманы пайдаланыңыз:
Егер c саны f(x) көпмүшесінің k еселенген түбірі болса, k>1 үшін бұл көпмүшенің бірінші туындысының (k-1) еселенген түбірі болады; егер k=1 болса, онда c f "(x) үшін түбір қызметін атқармайды.
Салдары.Бірінші рет f(x) көпмүшесінің k еселенген түбірі k-ші туынды үшін түбір қызметін атқармайды.
2-мысал. 2 саны f(x)=x 4 -4x 3 +16x-16 көпмүшесінің түбірі екеніне көз жеткізіңіз. Оның көптігін анықтаңыз.
Шешім. 2 саны f(x) түбірі, өйткені 2 4 -4∙2 3 +16∙2-16=0.
f "(x)=4x 3 -12x 2 +16, f "(2)=4∙2 3 -12∙2 2 +16=0;
f ""(x)=12x 2 -24x, f ""(2)=12∙2 2 -24∙2=0;
f """(x)=24x-24, f """(2)=24∙2-24≠0.
2 саны f"""(x) бірінші рет түбірі емес, сондықтан 2 саны f(x) көпмүшесінің үштік түбірі.
Жетекші коэффициенті 1 болатын n≥1 дәрежелі f(x) полиномы берілсін: f(x)=x n +a 1 x n -1 +...+a n -1 x+a n және α 1 ,... ,α n – оның түбірлері. Көпмүшенің түбірлері мен оның коэффициенттері Vieta формулалары деп аталатын формулалар арқылы байланысады:
a 1 = -(α 1 +...+α n),
a 2 =α 1 α 2 +...+α n-1 α n ,
a 3 = -(α 1 α 2 α 3 +...+α n-2 α n-1 α n),
...........................
a n =(-1) n α 1 α 2 ...α n .
Виетаның формулалары көпмүшені түбірлерін ескере отырып жазуды жеңілдетеді.
3-мысал.Түбірлері 2 болатын көпмүшені табыңыз; 3 және қос түбір –1.
Шешім.Көпмүшенің коэффициенттерін табайық:
және 1 =– (2+3–1–1)=-3,
a 2 =2·3+2·(–1)+2·(–1)+3·(–1)+3·(–1)+(–1)·(–1)= –3,
a 3 =– (2·(–1)·(–1)+3·(–1)·(–1)+3·2·(–1)+3·2·(–1))= –7 ,
және 4 =3·2·(–1)·(–1)=6.
Қажетті көпмүше x 4 –3x 3 –3x 2 –7x+6.
Анықтама 3. n дәрежелі f(x)ÌP[x] көпмүшесі Р өрісі бойынша қысқартылады, егер ол екі φ(x) және ψ(x) факторларының P[x] көбейтіндісіне ыдыраса, оның градустары одан кіші. n:
f(x)=φ(x)ψ(x). (1)
f(x)ОP[x] P өрісі бойынша азайтылмайтын деп аталады, егер оның P[x] көбейткіштерінің кез келгенінде факторлардың біреуінің 0 дәрежесі, екіншісінің дәрежесі n болса.
Келесі теоремалар орындалады:
P[x] сақинасынан кез келген нөлдік емес дәрежелі f(x) көпмүшені P[x]-тен нөлдік дәрежелі көбейткіштерге дейін қайталанбайтын факторлардың көбейтіндісіне ыдыра алады.
Бұдан оңай шығатыны, n, n≥1 дәрежелі кез келген f(х)ОР[x] көпмүшесі үшін төмендетілмейтін көбейткіштерге келесідей ыдырау болады:
мұндағы жетекші коэффициенттері бірге тең P[x]-дегі азайтылмайтын көпмүшелер. Көпмүше үшін бұл кеңейту бірегей болып табылады.
Мұндай кеңеюге кіретін азайтылмайтын факторлардың барлығы әртүрлі болуы міндетті емес. Егер қысқартылмайтын көпмүше (2) кеңеюде дәл k рет кездессе, онда оны f(x) көпмүшесінің k еселік көбейткіші деп атайды.Егер P(x) көбейткіш осы кеңеюде тек бір рет пайда болса, онда оны а деп атайды. f(x) үшін қарапайым коэффициент.
Егер кеңейтімде (2) бірдей факторлар біріктірілсе, онда бұл кеңейтуді келесі түрде жазуға болады:
, (3)
мұндағы Р 1 (x),…, Р r (x) факторлары қазірдің өзінде әртүрлі. Мұндағы k 1 ,…,k r көрсеткіштері сәйкес факторлардың еселігіне тең. Кеңейту (3) келесі түрде жазылуы мүмкін:
мұндағы F 1 (x) барлық қарапайым азайтылмайтын факторлардың көбейтіндісі, барлық қос азайтылмайтын факторлардың көбейтіндісі және т.б. кеңейтуде (3). Егер кеңеюде (3) m еселік факторлар болмаса, онда коэффициент бірге тең деп есептеледі.
Сандық өрістердің үстіндегі f(x) көпмүшесінің F 1 (x),…,F s (x) көпмүшеліктерін туынды ұғымын, бұрын тұжырымдалған теоремадан Евклид алгоритмін (туындымен байланыс туралы) пайдалана отырып табуға болады. келесідей:
Сондықтан аламыз
Осылайша, f(x) көпмүшесі үшін көбейткіштерді табуға болады 
.
Егер f(x) көпмүшесі үшін оның кеңеюінің (4) F 1 (x),...,F s (x) көбейткіштерін табу керек болса, онда оның еселік көбейткіштерін бөлу қажет дейді.
4-мысал. f(x)=x 5 -x 4 -5x 3 +x 2 +8x+4 бірнеше көбейткіштерді бөліңіз.
Шешім. f(x) және f "(x)=5x 4 -4x 3 -15x 2 +2x+8 gcd табыңыз.
d 1 (x)=[ f(x), f "(x)]=x 3 -3x-2.
Енді d 2 (x)=(d 1 (x), d 1 "(x)) табамыз.
v 1 (x), v 2 (x), v 3 (x) өрнектерін көрсетеміз.
(бөлу жасаймыз).
v 1 (x)=x 2 -x-2.
(бөлу жасаймыз).
Сондықтан F 3 (x)=v 3 (x)=x+1 аламыз, 
Сонымен, f(x) көпмүшесінің f(x)=(x-2) 2 (x+1) 3 кеңеюі бар. f(x) көпмүшесінің кеңеюінде (3) жай көбейткіштер жоқ, қос көбейткіш x-2, үш еселік x+1.
Ескертпе 1.Бұл әдіс f(x) көпмүшесінің барлық азайтылмайтын көбейткіштері қарапайым болса (f(x)=F 1 (x) сәйкестігін аламыз) ештеңе бермейді.
Ескерту 2.Бұл әдіс ерікті көпмүшенің барлық түбірлерінің еселіктерін анықтауға мүмкіндік береді.
ЛАБОРАТОРИЯЛЫҚ ЖҰМЫС ОПЕРАЦИЯЛАРЫ
1 нұсқа
1. 3x 4 -5x 3 +3x 2 +4x-2 көпмүшесінің 1+i түбірі бар екеніне көз жеткізіңіз. Көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
2. x 5 +5x 4 -5x 3 -45x 2 +108 еселіктерін ажырат.
3. Түбірлері: 5, i, i+3 болатын ең кіші дәрежелі көпмүшені табыңыз.
2-нұсқа
1. f(x) = x 5 -7x 4 +12x 3 +16x 2 -64x+48 көпмүшесінің х 0 = 2 түбірінің еселігі неге тең? Оның қалған тамырларын табыңыз.
2. x 5 -6x 4 +16x 3 -24x 2 +20x-8 көбейткіштерін бөліңіз.
3. x 3 +px+q=0 теңдеуінің коэффициенттері арасындағы байланысты анықтаңыз, егер оның түбірлері x 1, x 2, x 3 қатынасты қанағаттандыратын болса.
3-нұсқа
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 көпмүшесінің х 0 = 4 түбірінің еселігі неге тең? Қалған түбірлерді табыңыз.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 еселіктерін ажырат.
3. Теңдеудің түбірлерінің бірі екіншісінің екі еселенгеніне тең болатындай λ-ті анықтаңыз: x 3 -7x+λ=0.
4-нұсқа
1. f(x)=x 4 -6x 3 +10x 2 -6x+9 көпмүшесінің түбірі x=3 екенін көрсетіңіз. Оның еселігін анықтап, қалған түбірлерін табыңдар.
2. x 5 +6x 4 +13x 3 +14x 2 +12x+8 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. 2x 3 -x 2 -7x+λ=0 теңдеуінің екі түбірінің қосындысы 1-ге тең. λ-ті табыңыз.
5-нұсқа
1. x 0 = -2 көпмүшесінің x 4 + x 3 -18x 2 -52x-40 түбірі екенін көрсетіңіз. Оның еселігін анықтап, қалған түбірлерін табыңдар.
2. f(x) = x 5 -5x 4 -5x 3 +45x 2 -108 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажыратыңыз.
3. 1, 2, 3, 1+i түбірлері берілген ең кіші дәрежелі көпмүшені табыңыз.
6-нұсқа
1. x 5 + ax 4 + b көпмүшесінің нөлден өзгеше қос түбірі болатын шартты табыңыз.
2. x 6 +15x 4 -8x 3 +51x 2 -72x+27 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n көпмүшесінің x 1, x 2,…, x n түбірлері бар. Көпмүшелердің қандай түбірлері бар: 1) a 0 x n -a 1 x n -1 +a 2 x n -2 +…+(-1) n a n ;
2) a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 0 ?
7-нұсқа
1. 4x 5 +24x 4 +47x 3 +26x 2 -12x-8 көпмүшесінің түбірі х=-2 екенін көрсетіңіз. Түбірдің еселігін табыңыз және көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
3. 2х 3 -2х 2 -4х-1 теңдеуінің түбірлерінің квадраттарының қосындысын табыңыз.
8-нұсқа
1. x=1 көпмүшесінің x 6 -x 5 -4x 4 +6x 3 +x 2 -5x+2 түбірі екенін дәлелдеңдер. Оның көптігін анықтаңыз. Көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
3. Көпмүшенің бір түбірі екіншісінен екі есе үлкен. f(x)=x 3 -7x 2 +14x+λ көпмүшесінің түбірлерін табыңыз.
9-нұсқа
1. x 5 +10ax 3 +5bx+c көпмүшесінің нөлден өзгеше үштік түбірі болатын шартты табыңыз.
2. x 7 -3x 6 +5x 5 -7x 4 +7x 3 -5x 2 +3x-1 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. Егер оның түбірлері арифметикалық прогрессия құрайтыны белгілі болса, x 3 -6x 2 +qx+2=0 теңдеуін шешіңіз.
10-нұсқа
1. f(x)=x 4 -12x 3 +53x 2 -102x+72 көпмүшесінің түбірі x=3 екенін көрсетіңіз. Түбірдің еселігін анықтаңыз, көпмүшенің басқа түбірлерін табыңыз.
2. x 6 -4x 4 -16x 2 +16 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. 1, 2+i, 3 түбірлері берілген ең кіші дәрежелі нақты коэффициенттері бар көпмүшені табыңыз.
11 нұсқа
1. x=2 көпмүшесінің x 5 -6x 4 +13x 3 -14x 2 +12x-8 түбірі екенін көрсетіңіз. Оның көптігін және басқа түбірлерін табыңыз.
2. x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. Ең кіші дәрежелі көпмүшені құру, егер оның түбірлері x 1 =2, x 2 =1-i, x 3 =3 белгілі болса.
12 нұсқа
1. x = -1 көпмүшесінің x 4 + x 3 -3x 2 -5x-2 түбірі екенін көрсетіңіз. Оның еселігін және көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
2. x 5 -3x 4 +4x 3 -4x 2 +3x-1 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. Ең кіші дәрежелі көпмүшені құру, егер оның түбірлері x 1 =i, x 2 =2+i, x 3 =x 4 =2 белгілі болса.
13 нұсқа
1. x 4 -7x 3 +9x 2 +8x+16 көпмүшесінің х 0 = 4 түбірінің еселігі неге тең? Көпмүшенің қалған түбірлерін табыңыз.
2. x 6 -2x 5 -x 4 -2x 3 +5x 2 +4x+4 көпмүшесінің еселік көбейткіштерін ажырат.
3. x 3 -7x+λ=0 теңдеуінің түбірлерінің бірі екіншісінің екі еселенгеніне тең болатындай λ-ті анықтаңдар.
Берілген көпмүшенің бірнеше көбейткіштері бар-жоғын анықтауға мүмкіндік беретін әдістер бар, ал егер жауап оң болса, олар бұл көпмүшені зерттеуді енді бірнеше көбейткіштерді қамтитын көпмүшелерді зерттеуге дейін қысқартуға мүмкіндік береді.
Теорема. Егер көпмүшенің еселік азайтылмайтын көбейткіші болса, онда ол осы көпмүшенің туындысының еселік көбейткіші болады. Атап айтқанда, көпмүшенің жай көбейткіші. Туынды экспансияға кірмейді.
Шындығында, рұқсат етіңіз
және енді оған бөлінбейді. Дифференциалды теңдік (5.1), біз аламыз:
Жақшадағы терминдердің екіншісіне бөлінбейді. Шынында да, ол шарт бойынша бөлінбейді, оның дәрежесі төмен, яғни. бойынша да бөлінбейді. Екінші жағынан, квадрат жақшадағы қосындының бірінші мүшесі бөлінеді, яғни. көбейткіш іс жүзінде еселікпен ойнайды.
Осы теоремадан және екі көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін табудың жоғарыдағы әдісінен шығатыны, егер көпмүшенің азайтылмайтын көбейткіштерге ыдырауы берілсе:
онда көпмүшенің және оның туындысының ең үлкен ортақ бөлгішінің келтірілмейтін көбейткіштерге ыдырауы келесідей болады:
мұндағы көбейткішті біреуге ауыстыру керек. Атап айтқанда, көпмүше оның туындысына қос жай болса ғана, бірнеше көбейткіштерді қамтымайды.
Көбейткіштерді оқшаулау
Егер (5.2) кеңеюі бар көпмүше берілсе және ең үлкен ортақ бөлгіш пен оның туындысын белгілесек, онда (5.3) үшін кеңейтім болады. (5.2)-ні (5.3) бөлсек, мынаны аламыз:
анау. біз көпмүшені аламыз, оның құрамында бірнеше көбейткіштер жоқ және әрбір азайтылмайтын фактор үшін, жалпы айтқанда, төмен дәрежелі және кез келген жағдайда тек жай көбейткіштерден тұрады. Егер бұл мәселе шешілсе, онда тек бөлу алгоритмін қолдану арқылы қол жеткізілетін табылған азайтылмайтын факторлардың көптігін анықтау ғана қалады.
Қазір көрсетілген әдісті күрделендіре отырып, біз бірден бірнеше көпмүшелерді бірнеше көбейткішсіз қарастыруға көшеміз және осы көпмүшелердің келтірілмейтін көбейткіштерін тапқаннан кейін, біз барлық азайтылмайтын көбейткіштерді тауып қана қоймай, олардың еселігін де білетін боламыз.
(5.2) азайтылмайтын факторларға ыдырау болсын, ал факторлардың ең көп еселігі, . Көпмүшенің барлық жалғыз көбейткіштерінің көбейтіндісі арқылы, барлық қос көбейткіштердің көбейтіндісі арқылы, бірақ тек бір рет алынған және т.б., ең соңында, барлық -көп көбейткіштердің көбейтіндісі арқылы, сондай-ақ тек бір рет алынған деп белгілейік; егер кейбіреулер үшін -бірнеше факторлар жоқ болса, онда біз қабылдаймыз. Содан кейін ол көпмүше дәрежесіне бөлінеді және кеңейту (5.2) пішінін алады
және кеңейту (5.3) пішінде қайта жазылады
көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгіші және оның туындысы арқылы және жалпы көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгіші арқылы белгілей отырып, осылайша аламыз:
……………………………
……………………………
Соңында
Осылайша, көпмүшенің келтірілмейтін факторларын білуді қажет етпейтін әдістерді, атап айтқанда туындыны, Евклид алгоритмін және бөлу алгоритмін алуды қолдана отырып, біз көпмүшеліктерді көп көбейткіштерсіз таба аламыз және көпмүшенің әрбір азайтылмайтын көбейткіші - еселік болады. үшін.
Мысал.Көпмүшені көбейткіштерге көбейту.
Көпмүше түрінде кеңеюі бар.
Көпмүшені көбейткіштерге көбейтетін бағдарлама жасадым.
Windows, хабарлар, SysUtils, нұсқалар, сыныптар, графика, басқару элементтері, пішіндер,
Диалогтар, StdCtrls, Торлар;
TForm1 = сынып (TForm)
SGd1: TStringGrid;
1 түймесі: TB түймесі;
SGd2: TStringGrid;
SGd3: TStringGrid;
SGd4: TStringGrid;
процедура Button1Click(Жіберуші: TObject);
(Жеке декларациялар)
(Қоғамдық мәлімдемелер)
c,i,st1,st2,stiz,n_iz,n_nod,n,m,d_st,step,f:бүтін;
kof1,kof2,k1,k2,izubst,a,b,a2,b2,buf,est,fxst:бүтін сан массиві;
izub,e,fx:бүтін сан массиві;
процедура TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var i,j,k_1,st3,l:integer;
k2_2,k1_1:бүтін сан массиві;
st1:=StrToInt(Edit1.Text);
i:=0 және st1 үшін басталады
SGd4.Cells:=SGd1.Cells;
i:=0 және st1 үшін басталады
егер SGd1.Cells<>содан кейін ""
kof1:=StrToInt(SGd1.Cells)
else MessageDlg("Назар аударыңыз! Коэффициент мәндері енгізілмеген!",mtWarning,,0);
i:=st1 үшін 0-ге дейін басталады
егер kof1[i]<>0 содан кейін бастаңыз
егер(kof1<0)or(i=0) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
kof2:=kof1[i]*i;
//Edit2.Text:=s;
i:=st2 үшін 0-ге дейін басталады
SGd2.Cells:=inttostr(kof2[i]);
егер kof2[i]<>0 содан кейін бастаңыз
егер(kof2<0)or(i=1) then begin
s:=s+d+"x^"+k+"+";
//Edit3.Text:=s;
i:=0 және st1 үшін басталады
kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells);
i:=0 және st2 үшін басталады
kof2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
k2[i]:=StrToInt(SGd2.Cells);
kof2 кезінде<>0 басталады
//Edit4.Text:="";
егер k1<>kof2 содан кейін бастаңыз
егер (k1 mod kof2)=0 болса, бастаңыз
j:=0 және st2 үшін орындаңыз
k2[j]:=(k1 div kof2)*kof2[j];
егер k2<>1 сонда
j:=0 және st1 үшін орындаңыз
k1[j]:=kof2*k1[j];
егер k_1<>1 содан кейін бастаңыз
j:=0 және st2 үшін орындаңыз
k2[j]:=k_1*kof2[j];
i:=1 - st1 үшін басталады
k1:=k1[i]-k2[i];
1-ге дейін егер k1<>0, содан кейін басталады //Аббревиатура i:=1 үшін st1 істеу егер k1[i]<>0 содан кейін бастаңыз егер (k1[i] mod k1)<>0 содан кейін sokr:=false; егер sokr=шын болса, онда i:=0 үшін st1 істеу k1[i]:=k1[i] div k_1; for i:=0 to st2 do //Көпмүшелерді ауыстыру k2_2[i]:=kof2[i]; i:=0 үшін st1 істеу i:=0-ден 10-ға дейін басталады SGd3.Cells:=""; SGd1.Cells:=""; izub:=0; izubst:=st2; i:=0 және st2 үшін басталады SGd1.Cells:=inttostr(k1[i]); izub:=k1[i]; егер k1[i]<>0 содан кейін бастаңыз //Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+"x^"+IntToStr(st2-i); егер (k2_2>0)және(i i:=0 және st1 үшін басталады kof2[i]:=k1_1[i]; d_st:=StrToInt(Edit1.Text); i:=d_st+1 үшін 1-ге дейін басталады kof1[i]:=StrToInt(SGd4.Cells); //Табу Е n_nod:=1 үшін n_iz басталады m:=izubst; i:=n+1-ден 1-ге дейін басталады i:=m+1-ден 1-ге дейін басталады b[i]:=izub; i:=n+1-ден 1-ге дейін басталады егер a[i]<>0 содан кейін бастаңыз егер (а<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit3.Text:=s; i:=m+1-ден 1-ге дейін басталады егер b[i]<>0 содан кейін бастаңыз егер(б<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit4.Text:=s; j:=n+1-ден 1-ге дейін басталады j:=m+1-ден 1-ге дейін басталады b2[j]:=buf[i]*b[j]; j:=f үшін 1-ге дейін басталады a2[j]:=a2[j]*b; j:=f үшін 1-ге дейін басталады a2[j]:=a2[j]-b2; i:=f+1 үшін 1-ге дейін басталады e:=buf[i]; егер buf[i]<>0 содан кейін бастаңыз егер (буф<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit5.Text:=s; i:=n үшін 0-ге дейін басталады егер a2[i]<>0 содан кейін бастаңыз егер(a2<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; n_nod:=1 үшін n_iz-1 басталады m:=est; i:=n+1-ден 1-ге дейін басталады a[i]:=e; i:=m+1-ден 1-ге дейін басталады b[i]:=e; егер n_nod=n_iz-1 болса, fx:=b[i]; i:=n+1-ден 1-ге дейін басталады егер a[i]<>0 бастаңыз, егер(а<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit3.Text:=s; i:=m+1-ден 1-ге дейін басталады егер b[i]<>0, содан кейін егер(б<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit4.Text:=s; j:=n+1-ден 1-ге дейін басталады i:=қадам+1-ден 1-ге дейін басталады j:=m+1-ден 1-ге дейін басталады b2[j]:=buf[i]*b[j]; j:=f үшін 1-ге дейін басталады a2[j]:=a2[j]*b; j:=f үшін 1-ге дейін басталады a2[j]:=a2[j]-b2; i:=f+1 үшін 1-ге дейін басталады fx:=buf[i]; егер buf[i]<>0, содан кейін if(buf<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; //Edit5.Text:=s; i:=n үшін 0-ге дейін басталады егер a2[i]<>0, содан кейін егер (a2<0)or(i=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; fxst:=est+1; i:=1 үшін n_iz басталады j:=fxst[i] үшін 0-ге дейін басталады егер fx<>0 содан кейін бастаңыз егер(fx<0)or(j=1) then begin s:=s+d+"x^"+k+"+"; s:=s+")^"+IntToStr(i)+" "; Edit6.Text:=Edit6.Text+s; i:=0-ден 10-ға дейін басталады SGd1.Cells:=SGd4.Cells; Бірнеше көпмүшелердің ең үлкен ортақ бөлгіші олардың кез келген ортақ бөлгіштерінің еселігі болатын ортақ бөлгіші болып табылады. Егер г= GCD(f 1 , … ,f n), онда мұндай көпмүшелер бар u 1 ,
… ,u n, Не г
= u 1
f 1
+… + u n
f n . Бұл өрнек сызықтық GCD көрінісі деп аталады. gcd табу үшін( f,
g) және оның сызықтық көрінісі, Евклид алгоритмі қолданылады. Ол бірінші көпмүшенің қалдығын екіншісіне, содан кейін екіншісін қалдыққа және т.б. Соңғы нөл емес қалдық GCD( f,
g). Алынған бөлу тізбегін пайдаланып, сызықтық кескінді табады. 2.1-мысал. GCD табу( f,
g f=X 4 + 2X 3
–X 2 +x
+ 1; g= 2X 3 –X
– 1. Шешім. Қалдықпен бөлу тізбегін орындаймыз: Р f = g
(1/2 x+ 1) – ½ r 1 ,
r 1
= x 2
– 5x +
4; g = r 1
(2x + 10)
+ 41r 2 ,
r 2
= x –
1; (*) r 1 =
r 2
(x –
4). Соңғы нөл емес қалдық r 2 =x– 1 – gcd( f,
g). Оның сызықтық көрінісін (*) формулалар арқылы табамыз: r 1
= 2f–
2g
(1/2 x +
1) = 2f –
g
(x + 2); 41r 2
= g –
r 1
(2x + 10)
= g –
(2f – g
(x + 2))
(2x + 10)
= = g– 2(2x+ 10)f+ (x+ 2)(2x+ 10)g= (4x+ 20)f+ (2x 2 + 14x+ 21)g; GCD( f, g) = x
– 1= r 2
=
Ескерту: GCD сызықтық көрінісін табудың қажеті болмаса, онда есептеулер кезінде алынған қалдықтардың сандық коэффициенттерін есепке алудың қажеті жоқ және оларды алып тастауға болады. Есептеулерде бөлшектердің пайда болуын болдырмау үшін бөлуді орындамас бұрын дивидендті қолайлы бүтін санға көбейтуге болады. 2.1-жаттығу. GCD табу( f,
g) және оның сызықтық көрінісі: A) f=X 6 – 4X 5 + 11X 4 – 27X 3 + 37X 2
– 35x
+ 35; g=X 5 – 3X 4 + 7X 3
– 20X 2 + 10x
– 25. б) f
= 4X 4 –
2X 3 – 16X 2 + 5x
+ 9; g= 2X 3 –X 2 – 5X
+ 4. Көпмүшенің формальды туындысы f
=
а 0 +
а 1 x
+ … +
а n x n F өрісінің үстіндегі көпмүше деп аталады f
=
а 1 +
2а 2 x 2
+ … +
на n x n-1 , қайда арналған кН,аБізде бар Көпмүшеліктер fЖәне gегер олар бір-біріне еселік болса, байланыстырылған деп аталады. Көпмүшелік fСақина үстіндегі K, егер ол нөлден басқа болса және екі қайтымсыз көпмүшелердің көбейтіндісі ретінде ұсынылса, К-ге қарай қысқартылатын деп аталады. Көпмүшелік fегер ол K бойынша азайтылмайтын болса және оның кез келген бөлгіші байланысты болса fнемесе 1. Өріс бойынша оң дәрежелі көпмүшелер ғана қысқартылмайтын болады. Өріс үстіндегі көпмүше азайтылмайтындардың көбейтіндісіне ыдырайды және бұл ыдырау тәртіп пен ассоциацияға дейін бірегей. Көпмүшелік fазайтылмайтын факторы бар бкөптік к, Егер fб к ,fб к+1. Көбейткіштің еселігі 1-ден үлкен болса, көбейткіш еселік деп аталады. Теорема 3.1.
Көпмүше болса fөрісте азайтылмайтын факторы бар бкөптік к, Бұл б– азайтылмайтын еселік фактор к–1 үшін f
. Бұл теорема көпмүшенің еселіктерін бөлу мәселесін шешуге көмектеседі f
және осы көпмүшені пайдаланып факторинг. Ол үшін біз GCD( f,
f
)
=г. Көпмүшелік гкөпмүшенің бірнеше көбейткіштерінен тұрады f, олардың әрқайсысы кіреді геселігі 1-ге кем f. Егер сіз ыдырай алсаңыз гкөбейткіштерге бөлінеді, содан кейін көпмүшенің барлық еселік көбейткіштері анықталады f,
және факторингтік тапсырма жеңілдей түседі. Әйтпесе, көпмүшені қарастыра аламыз 3.1-мысал. Көпмүшені көбейту f = x 5 – 15x 3 – 10x 2 + 60x+
72. Шешім. Біз есептейміз f
=
5x 4 – 45x 2 – 20x+ 60 = 5(x 4 – 9x 2 – 4x+ 12). GCD сызықтық көрінісін іздеудің қажеті жоқ болғандықтан, көпмүшенің коэффициенттерінен алынған нөлдік емес сандық коэффициенттерді алып тастауға болады. Сондықтан, орнына f
алайық g
=x 4 – 9x 2 – 4x+ 12. Қалдықпен бөлу тізбегін аяқтау f
қосулы
gЕвклид алгоритмі бойынша аламыз f = xg
– 6r 1 , r 1
=
x 3
+ x 2
– 8x–
12; g = (x– 1)r 1 . Демек, г =
GCD( f,
f
)
=r 1 =
x 3 +x 2 – 8x
– 12. gcd дәрежесі 2-ден үлкен және оны көбейткіштерге бөлу өте қиын болғандықтан, көпмүшені қарастырамыз. Жауап: f= (x+ 2) 3 (x– 3) 2 . Түсініктеме. Өйткені шешу процесінде біз көпмүшенің барлық жай көбейткіштерін толық анықтадық f,
содан кейін фактордың еселігін анықтаңыз ( x– 3) Хорнер схемасы бойынша бұл қажет емес еді: көпмүшенің дәрежесі 5 және бірінші дәрежелі бірінші көбейткіштің еселігі 3 болғандықтан, екінші көбейткіштің еселігі 2-ге тең болуы керек. Жаттығулар. 3.1. Көпмүшені көбейткіштер: А)
f
=
x 6
– 6x 4
– 4x 3 +
9x 2
+ 12x + 4; б)
f
=
x 5
– 6x 4
+ 16x 3 –
24x 2
+ 20x – 4. 3.2. Көпмүше екенін дәлелдеңдер x 2 n
–
nx n +1 +nx n –1
–
1 саны үш түбір ретінде 1 санына ие.
Бөлу нәтижелері келесі түрде жазылады:
f
+
g.3. Көбейткіштер
.
. Ол көпмүшенің барлық жай көбейткіштерінен тұрады f,
1 еселігімен алынған. Егер бұл көпмүшені кеңейту мүмкін болмаса, онда сіз, мысалы, gcd( таба аласыз. f 1 ,
г), немесе сипатталған алгоритмді көпмүшеге қолданыңыз г.
=x 2 –x
– 6 = (x– 3)(x+ 2). Өйткені f 1-де 2 дәреже бар және оны көбейткіштерге бөлуге болады, содан кейін көпмүшенің барлық азайтылмайтын көбейткіштері анықталады. f, ал олардың көптігін анықтау ғана қалады. Мұны Хорнер схемасын қолданып көрейік.
