ШАШЫРУ СИПАТТАМАСЫ

Позиция сипаттамаларынан – математикалық күту, медиана, режим – кездейсоқ шаманың таралу сипаттамаларына көшейік. x.дисперсия D(X)= a 2 , стандартты ауытқу a және өзгеру коэффициенті v. Дискретті кездейсоқ шамалардың дисперсиясының анықтамасы мен қасиеттері алдыңғы тарауда қарастырылған болатын. Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін

Стандартты ауытқу дисперсияның квадрат түбірінің теріс емес мәні болып табылады:

Вариация коэффициенті стандартты ауытқудың математикалық күтуге қатынасы:

Вариация коэффициенті – қашан қолданылады M(X)> O – салыстырмалы бірліктермен таралуды өлшейді, ал стандартты ауытқу – абсолютті түрде.

Мысал 6. Біркелкі таралған кездейсоқ шама үшін Xдисперсияны, стандартты ауытқуды және вариация коэффициентін табыңыз. Дисперсия дегеніміз:

Айнымалы алмастыру жазуға мүмкіндік береді:

қайда бастап = f - aU2.

Демек, стандартты ауытқу және вариация коэффициенті:

КЕЗДЕСУ МӘНДЕРДІҢ ТРАНСФОРМАЦИЯЛАРЫ

Әрбір кездейсоқ шама үшін Xтағы үш шаманы анықтаңыз – центрленген Y,нормаланған Вжәне берілді У.Орталықтандырылған кездейсоқ шама Ыберілген кездейсоқ шама арасындағы айырмашылық болып табылады Xжәне оның математикалық күтуі M(X),анау. Y=X - M(X).Орталықтандырылған кездейсоқ шаманың математикалық күтуі Ы 0-ге тең, ал дисперсия берілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы:

бөлу функциясы Fy(x)орталықтандырылған кездейсоқ шама Ыбөлу функциясымен байланысты F(x) бастапқы кездейсоқ шаманың Xарақатынас:

Бұл кездейсоқ шамалардың тығыздықтары үшін теңдік

Нормалданған кездейсоқ шама Вберілген кездейсоқ шаманың қатынасы болып табылады Xоның стандартты ауытқуына a, яғни. V = XIo.Нормалданған кездейсоқ шаманың математикалық күтуі және дисперсиясы Вбелгілері арқылы көрсетіледі XСонымен:

мұндағы v – бастапқы кездейсоқ шаманың өзгеру коэффициенті x.Бөлу функциясы үшін Fv(x)және тығыздығы fv(x)нормаланған кездейсоқ шама ВБізде бар:

қайда F(x)- бастапқы кездейсоқ шаманың таралу функциясы x; түзету)оның ықтималдық тығыздығы.

Қысқартылған кездейсоқ шама Уцентрленген және нормаланған кездейсоқ шама:

Қысқартылған кездейсоқ шама үшін

Нормаланған, центрленген және қысқартылған кездейсоқ шамалар теориялық зерттеулерде де, алгоритмдерде де, бағдарламалық өнімдерде де, нормативтік-техникалық және нұсқаулық-әдістемелік құжаттамада үнемі қолданылады. Атап айтқанда, теңдіктер болғандықтан M(U) = 0, D(lf) = 1 әдістерді негіздеуді, теоремаларды тұжырымдауды және есептеу формулаларын жеңілдетуге мүмкіндік береді.

Кездейсоқ шамалардың түрлендірулері және жалпы жоспары қолданылады. Сонымен, егер У = aX + б,қайда бірақЖәне бонда кейбір сандар

Мысал 7. Егер бірақ= 1/Г, б = -M(X)/G,онда Y қысқартылған кездейсоқ шама, ал (8) формулалар (7) формулаларға түрлендіріледі.

Әрбір кездейсоқ шамамен X Y = формуласымен берілген кездейсоқ шамалардың Y жиынын қосуға болады О + бәртүрлі a > 0 және б.Бұл жиын деп аталады масштабты кесу отбасы,кездейсоқ шама арқылы құрылған x.Бөлу функциялары Fy(x) таралу функциясы арқылы жасалған таралулардың масштабты ауысым тобын құрайды F(x). Y= орнына aX + bжиі қолданылатын белгілер

Сан бастапауысым параметрі және сан деп аталады г- масштаб параметрі. Формула (9) мұны көрсетеді X- белгілі бір шаманы өлшеу нәтижесі - K-ке өтеді - өлшеудің басы нүктеге жылжытылса, бірдей шаманы өлшеу нәтижесі бастап,содан кейін жаңа өлшем бірлігін пайдаланыңыз гбұрынғысынан есе көп.

Масштабты ауыстыру отбасы үшін (9), бөлу Xстандартты деп аталады. Ықтималдық-статистикалық шешім қабылдау әдістерінде және басқа қолданбалы зерттеулерде стандартты қалыпты үлестірім, стандартты Вейбулл-Гнеденко үлестірімі, стандартты гамма-таралу қолданылады.

тарату және т.б. (төменде қараңыз).

Кездейсоқ шамалардың басқа түрлендірулері де қолданылады. Мысалы, оң кездейсоқ шама үшін Xқарастыру Y = IgX,қайда IgX- санның ондық логарифмі x.Теңдіктер тізбегі

бөлу функцияларын байланыстырады XЖәне Ы.

Жоғарыда біз кездейсоқ шамалардың таралу заңдарымен таныстық. Әрбір таралу заңы кездейсоқ шаманың ықтималдық қасиеттерін толық сипаттайды және кездейсоқ шамамен байланысты кез келген оқиғалардың ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді. Дегенмен, тәжірибенің көптеген сұрақтарында мұндай толық сипаттаудың қажеті жоқ және көбінесе таралудың маңызды белгілерін сипаттайтын жеке сандық параметрлерді көрсету жеткілікті. Мысалы, кездейсоқ шаманың мәндері шашыраңқы орташа мән осы таралу шамасын сипаттайтын қандай да бір сан болып табылады. Бұл сандар таралудың ең маңызды белгілерін қысқаша түрде көрсетуге арналған және деп аталады кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары.

Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларының ішінде, ең алдымен, олар кездейсоқ шаманың сандар осіндегі орнын бекітетін сипаттамаларды қарастырады, яғни. кездейсоқ шаманың кейбір орташа мәні, оның айналасында оның мүмкін мәндері топтастырылған. Ықтималдық теориясындағы позицияның сипаттамаларының ішінде ең үлкен рөл атқарады күтілетін мән, ол кейде жай ғана кездейсоқ шаманың орташа мәні деп аталады.

Дискретті SW?, мәндерді қабылдайды деп есептейік x ( , x 2 ,..., x pықтималдықтармен Р j, p 2 ,...y Ptvанау. таралу қатарымен берілген

Бұл тәжірибелерде мән болуы мүмкін x xбайқалды N(уақыт, құндылық x 2 - N 2рет,..., мән x n - N nбір рет. Сонымен бірге + N 2 +... + N n =N.

Бақылау нәтижелерінің орташа арифметикалық мәні

Егер Нүлкен, яғни. Н- «Олай болса

тарату орталығын сипаттайды. Осылайша алынған кездейсоқ шаманың орташа мәні математикалық күту деп аталады. Анықтаманың сөздік тұжырымын берейік.

Анықтама 3.8. математикалық күту (MO) дискретті SV% - оның барлық мүмкін мәндері мен осы мәндердің ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысына тең сан (М белгісі;):

Енді дискретті түйіндеменің мүмкін мәндерінің саны есептелетін жағдайды қарастырыңыз, яғни. бізде RR бар

Математикалық күтудің формуласы қосындының жоғарғы шегінде ғана өзгеріссіз қалады П oo ауыстырылады, яғни.

Бұл жағдайда біз қазірдің өзінде ауытқуы мүмкін серияларды аламыз, яғни. сәйкес түйіндеме ^ математикалық күтуге ие болмауы мүмкін.

3.8-мысал. CB?, тарату қатарымен берілген

Осы БҚ-ның МО-ын табайық.

Шешім.Анықтамасы бойынша. анау. тау,жоқ.

Осылайша, SW мәндерінің есептелетін саны жағдайында келесі анықтаманы аламыз.

Анықтама 3.9. математикалық күту, немесе орташа мән, дискретті БҚ,мәндердің есептелетін саны бар, оның барлық мүмкін мәндерінің және сәйкес ықтималдықтардың көбейтінділерінің қатарының қосындысына тең сан деп аталады, бұл қатар абсолютті жинақталған жағдайда, яғни.

Егер бұл қатар шартты түрде алшақтайтын немесе жинақталса, онда CV ^ математикалық үміті жоқ деп айтылады.

Тығыздығы бар дискреттіден үздіксіз БҚ-ға көшейік p(x).

Анықтама 3.10. математикалық күту, немесе орташа мән, үздіксіз БҚтең санды атайды

егер бұл интеграл абсолютті жинақталса.

Егер бұл интеграл шартты түрде ажыратылса немесе жинақталса, онда олар үздіксіз СВ?-де математикалық күту жоқ дейді.

Ескертпе 3.8. J кездейсоқ шамасының барлық мүмкін мәндері болса;

аралығына ғана жатады ( бірақ; б)содан кейін

Математикалық күту ықтималдықтар теориясында қолданылатын жалғыз позиция сипаттамасы емес. Кейде режим және медиана сияқты қолданылады.

Анықтама 3.11. Сән CB ^ (белгіленуі Мот,)оның ең ықтимал мәні деп аталады, яғни. ықтималдығы бар біреуі пинемесе ықтималдық тығыздығы p(x)ең жоғары мәніне жетеді.

Анықтама 3.12. Медиана SV?, (белгілеу кездесті)ол үшін осындай мән деп аталады P(t> Met) = P(? > кездесті) = 1/2.

Геометриялық түрде үздіксіз БҚ үшін медиана осьтегі сол нүктенің абсциссасы болып табылады О,ол үшін оның сол жағында және оң жағында жатқан аудандар бірдей және 1/2-ге тең.

3.9-мысал. SWт,тарату нөмірі бар

БҚ-ның математикалық күтуін, режимін және медианасын табайық

Шешім. Мб,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Мен(?) жоқ.

3.10-мысал. Үздіксіз CB % тығыздығы бар

Математикалық күтуді, медиананы және режимді табайық.

Шешім.

p(x)максимумға жетеді, сонда нүкте арқылы өтетін түзудің оң және сол жағындағы аудандар тең болғандықтан, медиана да тең болады.

Ықтималдық теориясында позицияның сипаттамаларынан басқа, әртүрлі мақсаттарға арналған бірқатар сандық сипаттамалар да қолданылады. Олардың ішінде бастапқы және орталық сәттердің маңызы ерекше.

Анықтама 3.13. k-ші реттің бастапқы моменті БҚ?, математикалық күту деп аталады к-шіосы мәннің дәрежесі: =M(t > k).

Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың математикалық күту анықтамаларынан мыналар шығады

Ескерту 3.9.Әлбетте, 1-ші реттің бастапқы сәті математикалық күту болып табылады.

Орталық моментті анықтамас бұрын біз центрленген кездейсоқ шаманың жаңа түсінігін енгіземіз.

Анықтама 3.14. Орталықтандырылған CV – кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен ауытқуы, яғни.

Мұны тексеру оңай

Кездейсоқ шаманы центрлеу, анық, басын М нүктесіне көшірумен бірдей. Центрленген кездейсоқ шаманың моменттері деп аталады орталық нүктелер.

Анықтама 3.15. k-ші реттің орталық моменті SW % математикалық күту деп аталады к-шіцентрленген кездейсоқ шаманың дәрежелері:

Математикалық күтудің анықтамасынан шығатыны

Кез келген кездейсоқ шама үшін ^ 1-ші ретті орталық моменті нөлге тең болатыны анық: x-пен= M(? 0) = 0.

Тәжірибе үшін ерекше маңызды екінші орталық нүкте болып табылады 2-ден.Бұл дисперсия деп аталады.

Анықтама 3.16. дисперсия CB?, сәйкес центрленген мәннің квадратының математикалық күтуі деп аталады (белгілеу D?)

Дисперсияны есептеу үшін анықтамадан тікелей келесі формулаларды алуға болады:

(3.4) формуласын түрлендіре отырып, есептеу үшін келесі формуланы аламыз Д.Л.

БҚ дисперсиясы сипаттама болып табылады шашырау, кездейсоқ шама мәндерінің оның математикалық күтуінің айналасында таралуы.

Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратының өлшеміне ие, бұл әрқашан қолайлы емес. Демек, анық болу үшін дисперсияның сипаттамасы ретінде өлшемі кездейсоқ шаманың өлшеміне сәйкес келетін санды қолданған ыңғайлы. Ол үшін дисперсияның квадрат түбірін алыңыз. Алынған мән деп аталады стандартты ауытқукездейсоқ шама. Біз оны былай белгілейміз: a = l / w.

Теріс емес КБ? үшін кейде ол сипаттама ретінде қолданылады вариация коэффициенті, стандартты ауытқудың математикалық күтуге қатынасына тең:

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және стандартты ауытқуын біле отырып, оның мүмкін болатын мәндерінің диапазоны туралы шамамен түсінік алуға болады. Көптеген жағдайларда кездейсоқ шаманың % мәндері кейде M интервалынан асып кетеді деп болжауға болады; ± үшін. Қалыпты таралудың бұл ережесін кейінірек негіздейтін боламыз үш сигма ережесі.

Математикалық күту және дисперсия кездейсоқ шаманың ең жиі қолданылатын сандық сипаттамалары болып табылады. Математикалық күту мен дисперсияның анықтамасынан осы сандық сипаттамалардың кейбір қарапайым және жеткілікті айқын қасиеттері шығады.

Қарапайымдыларматематикалық күту және дисперсия қасиеттері.

1. Кездейсоқ емес шаманың математикалық күтуі бастап c мәніне тең: M(s) = с.

Шынында да, құндылықтан бері бастап 1 ықтималдығы бар бір ғана мән қабылдайды, онда М(с) = бастап 1 = с.

2. Кездейсоқ емес c шамасының дисперсиясы нөлге тең, яғни. D(c) = 0.

Шынымен, Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- в) 2 = М( 0) = 0.

3. Кездейсоқ емес көбейткішті күту белгісінен шығаруға болады: M(c^) = cМ(?,).

Бұл қасиеттің жарамдылығын дискретті RV мысалында көрсетейік.

RV таралу қатарымен берілсін

Содан кейін

Демек,

Қасиет үздіксіз кездейсоқ шама үшін де дәл осылай дәлелденеді.

4. Кездейсоқ емес көбейткішті квадрат дисперсия белгісінен шығаруға болады:

Кездейсоқ шаманың моменттері неғұрлым көп белгілі болса, бізде таралу заңы туралы толығырақ түсінік болады.

Ықтималдықтар теориясында және оны қолдануда 3-ші және 4-ші реттердің орталық моменттеріне, асимметрия коэффициентіне немесе m x негізінде кездейсоқ шаманың тағы екі сандық сипаттамасы қолданылады.

Дискретті кездейсоқ шамалар үшін күтілетін мән :

Кездейсоқ шамалардың ықтималдығы бойынша сәйкес мән мәндерінің қосындысы.

Сән Х кездейсоқ шамасының (Mod) ең ықтимал мәні деп аталады.

Дискретті кездейсоқ шама үшін. Үздіксіз кездейсоқ шама үшін.

Бірмодальды таралу

Көп модальды тарату

Жалпы, Mod және күтілетін мән емес

сәйкестік.

Медиана X кездейсоқ шамасының (Med) P(X) ықтималдығы болатын шама Мед). Кез келген Med дистрибутивінің тек біреуі болуы мүмкін.

Мед қисық астындағы аумақты 2 тең бөлікке бөледі. Бірмодальды және симметриялы таралу жағдайында

Сәттер.

Көбінесе тәжірибеде сәттердің екі түрі қолданылады: бастапқы және орталық.

Бастау сәті. Х дискретті кездейсоқ шамасының реті мына форманың қосындысы болып табылады:

Үздіксіз X кездейсоқ шама үшін реттің бастапқы моменті интеграл болып табылады , кездейсоқ шаманың математикалық күтуі бірінші бастапқы момент екені анық.

M белгісін (оператор) пайдаланып, -ші ретті бастапқы моментті мат түрінде көрсетуге болады. кейбір кездейсоқ шаманың ші дәрежесін күту.

Орталықтандырылған Сәйкес X кездейсоқ шамасының кездейсоқ шамасы X кездейсоқ шамасының оның математикалық күтуінен ауытқуы болып табылады:

Орталықтандырылған кездейсоқ шаманың математикалық күтуі 0-ге тең.

Дискретті кездейсоқ айнымалылар үшін бізде:

Центрленген кездейсоқ шаманың моменттері деп аталады Орталық сәттер

Тапсырыс берудің орталық сәті кездейсоқ шама X сәйкес центрленген кездейсоқ шаманың th дәрежесінің математикалық күтуі деп аталады.

Дискретті кездейсоқ айнымалылар үшін:

Үздіксіз кездейсоқ айнымалылар үшін:

Әртүрлі реттердің орталық және бастапқы моменттерінің арақатынасы

Кездейсоқ шаманың сипаттамасы ретінде барлық моменттердің ішінде бірінші момент (математикалық күту) және екінші орталық момент жиі қолданылады.

Екінші орталық сәт деп аталады дисперсия кездейсоқ шама. Оның белгісі бар:

Анықтамасы бойынша

Дискретті кездейсоқ шама үшін:

Үздіксіз кездейсоқ шама үшін:

Кездейсоқ шаманың дисперсиясы X кездейсоқ шамаларының оның математикалық күтуінің айналасында дисперсиясының (шашырауының) сипаттамасы болып табылады.

Дисперсияшашылу дегенді білдіреді. Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратының өлшеміне ие.

Дисперсияны визуалды сипаттау үшін кездейсоқ шаманың өлшемімен бірдей m y мәнін пайдалану ыңғайлырақ. Осы мақсатта дисперсиядан түбір алынады және - деп аталатын мән алынады. стандартты ауытқу (RMS) кездейсоқ шама X, белгілеуді енгізу кезінде:

Стандартты ауытқу кейде Х кездейсоқ шамасының «стандарты» деп аталады.