Жазық материалдардың беріктігінің күйі. кернеулі және деформацияланған күй. Тік бұрышты арқалықтың бұралуы
Серпімділік теориясының негіздері
Дәріс 4
Серпімділік теориясының жазықтық мәселесі
слайд 2
Серпімділік теориясында практикалық қолдану мағынасында маңызды болып табылатын және сонымен бірге шешімнің математикалық жағын айтарлықтай жеңілдетуге мүмкіндік беретін есептердің үлкен класы бар. Жеңілдету мынада: бұл есептердегі дененің координаталық осінің бірін, мысалы, z осін алып тастауға болады және барлық құбылыстарды жүктелген дененің x0y бір координаталық жазықтықта болып жатқан деп санауға болады. Бұл жағдайда кернеулер, деформациялар және орын ауыстырулар екі координатаның – х және у функциялары болады.
Екі координатта қарастырылатын есеп деп аталады серпімділік теориясының жазықтық мәселесі.
термині бойынша серпімділік теориясының жазықтық мәселесі» екі физикалық әртүрлі есептерді біріктіріп, өте ұқсас математикалық қатынастарға әкеледі:
1) жазық деформацияланған күй (жазықтық деформация) есебі;
2) жазық кернеу күйінің мәселесі.
Бұл есептер көбінесе бір геометриялық өлшем мен қарастырылатын денелердің басқа екі өлшемі арасындағы елеулі айырмашылықпен сипатталады: бірінші жағдайда үлкен ұзындық және екінші жағдайда шағын қалыңдық.
Жазық деформация
Деформация жазық деп аталады, егер дененің барлық нүктелерінің орын ауыстырулары бір жазықтықта тек екі бағытта болуы мүмкін және осы жазықтықтың нормаль координатасына тәуелді болмаса, яғни.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)
Жазық деформация осі z осіне параллель болатын ұзын призмалық немесе цилиндрлік денелерде болады, оның бойында бүйір бетке жүк әсер етеді, осы оське перпендикуляр және оның бойында шамасы өзгермейді.
Ұзын түзу бөгет пен жер асты туннельінің ұзын доғасында болатын кернеулі деформация күйі жазық деформацияның мысалы болып табылады (4.1-сурет).
Сурет - 4.1. Жазық деформация бөгет корпусында және жер асты туннельінің қоймасында болады
слайд 3
(4.1) орын ауыстыру векторының құраушыларын Коши формулаларына (2.14), (2.15) қойып, мынаны аламыз:
(4.2)
z осі бағытында сызықтық деформациялардың болмауы қалыпты кернеулердің пайда болуына әкеледі σ z . ε z деформациясы үшін Гук заңының формуласынан (3.2) мынандай нәтиже шығады:
σ z кернеуінің өрнегі осыдан алынады:
(4.3)
Бұл қатынасты Гук заңының алғашқы екі формуласына қойып, мынаны табамыз:
(4.4)
слайд 4
(4.2) − (4.4) және (3.2) формулаларын талдаудан да мынадай қорытынды шығады:
Осылайша, жазық деформация жағдайында серпімділіктің үш өлшемді теориясының негізгі теңдеулері айтарлықтай жеңілдетілген.
Үш Навье дифференциалдық тепе-теңдік теңдеуінен (2.2) тек екі теңдеу қалды:
(4.5)
ал үшіншісі тұлғаға айналады.
Бағыт косинусы бүйір бетінің барлық жерінде n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0 болғандықтан, (2.4) бетіндегі үш шарттан тек екі теңдеу ғана қалады:
(4.6)
мұндағы l, m – сыртқы нормальдың бағыт косинустары vконтур бетіне;
X, Y, X v, Ы vдене күштерінің құрамдас бөліктері және сәйкесінше х және у осьтеріндегі сыртқы беттік жүктемелердің қарқындылығы болып табылады.
слайд 5
Алты Коши теңдеуі (2.14), (2.15) үшке азайтылды:
(4.7)
(2.17), (2.18) алты Сент-Венан деформациясының үзіліссіздігі теңдеулерінен бір теңдеу қалады:
(4.8)
ал қалғандары сәйкестендіруге айналады.
Гук заңының (3.2) алты формуласынан (4.2), (4.4) ескере отырып, үш формула қалады:
Бұл қатынастарда икемділік теориясында дәстүрлі жазба түрі үшін жаңа серпімді тұрақтылар енгізіледі:
слайд 6
Жазықтық кернеу күйі
Жазық кернеу күйі сол призмалық дененің ұзындығы қалған екі өлшеммен салыстырғанда аз болған кезде пайда болады. Бұл жағдайда ол қалыңдық деп аталады. Денедегі кернеулер xOy координаталық жазықтықта екі бағытта ғана әсер етеді және z координатасына тәуелді емес. Мұндай дененің мысалы ретінде пластина жазықтығына параллель күштермен бүйір беті (қабырға) бойымен жүктелген және оның қалыңдығына біркелкі бөлінген қалыңдығы h жұқа пластина болып табылады (4.2-сурет).
4.2-сурет - Жұқа пластина және оған түсетін жүктемелер
Бұл жағдайда жазықтық деформация мәселесіндегіге ұқсас жеңілдетулер де мүмкін. Пластинаның екі жазықтығындағы кернеу тензорының σ z , τ xz , τ yz құраушылары нөлге тең. Пластина жұқа болғандықтан, олар пластинаның ішінде де нөлге тең деп есептей аламыз. Сонда кернеу күйі тек z координатасына тәуелді емес σ x, σ y, τ xy құраушыларымен анықталады, яғни пластинаның қалыңдығы бойынша өзгермейді, тек x және y функциялары болып табылады.
Осылайша, жұқа пластинада келесі кернеу күйі пайда болады:
Слайд 7
Кернеулерге қатысты жазық кернеу күйі жазық деформациядан шарт бойынша ерекшеленеді
Сонымен қатар, Гук заңының (3.2) формуласынан (4.10) ескере отырып, ε z сызықтық деформациясы үшін оның нөлге тең еместігін аламыз:
Демек, пластинаның негіздері қисық болады, өйткені орын ауыстырулар болады 
z осі бойымен.
Бұл жорамалдар бойынша негізгі жазық деформация теңдеулері: дифференциалдық тепе-теңдік теңдеулер (4.5), беттік шарттар (4.6), Коши теңдеулері (4.7) және деформацияның үздіксіздігі теңдеулері (4.8) жазық кернеу есебінде бірдей пішінді сақтайды.
Гук заңының формулалары келесі формада болады:
(4.11) формулалары жазық деформацияға арналған Гук заңының (4.9) формулаларынан тек серпімділік константаларының мәндерімен ерекшеленеді: E және E 1 , vЖәне v 1 .
Слайд 8
Кері түрде Гук заңын келесідей жазуға болады:
(4.12)
Осылайша, осы екі есепті (жазықтық деформация және жазық кернеу күйі) шешу кезінде бірдей теңдеулерді қолдануға және есептерді икемділік теориясының бір жазық есебіне біріктіруге болады.
Серпімділік теориясының жазық есебінде сегіз белгісіз бар:
u және v орын ауыстыру векторының екі құрамдас бөлігі болып табылады;
– кернеу тензорының үш құрамдас бөлігі σ x , σ y , τ xy ;
деформация тензорының үш құрамдас бөлігі болып табылады ε x, ε y, γ xy.
Есепті шешу үшін сегіз теңдеу қолданылады:
– екі дифференциалдық тепе-теңдік теңдеуі (4.5);
– үш Коши теңдеуі (4.7);
Гук заңының үш формуласы (4.9) немесе (4.11).
Сонымен қатар, алынған деформациялар деформацияның үздіксіздігі теңдеуіне (4.8) және ішкі кернеулер мен сыртқы беттік жүктеменің X қарқындылығы арасындағы тепе-теңдік шарттарына (4.6) бағынуы керек. v, Ы v.
Кернеу және деформацияланған күй
Стресс күйінің үш түрі бар:
1) сызықтық кернеу күйі – бір бағыттағы керілу (сығу);
2) жазық кернеу күйі – екі бағытта созылу (сығу);
3) көлемдік кернеу күйі – өзара перпендикуляр үш бағытта созылу (сығу).
Шексіз аз параллелепипедті (текшені) қарастырайық. Оның беттерінде қалыпты s және тангенциалды кернеулер t болуы мүмкін. «Кубтың» орны өзгерген кезде кернеулер өзгереді. Сіз ығысу кернеулері жоқ позицияны таба аласыз, суретті қараңыз.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> элементар параллелепипедті (а-сурет) кесіп алайық. қиғаш қима.тек бір жазықтық.Элементар үшбұрышты призманы қарастырамыз (б-сурет).Көлбеу ауданның орны а бұрышымен анықталады.Егер х осінен айналу сағат тіліне қарсы болса (б-суретті қараңыз), онда a>0.
Қалыпты кернеулер олардың бағытының осіне сәйкес келетін индекске ие. ығысу кернеулері, әдетте, екі индексі бар: біріншісі учаскеге нормаль бағытына, екіншісі кернеудің өзіне сәйкес келеді (өкінішке орай, басқа белгілеулер бар және координаталық осьтердің әртүрлі таңдауы бар, бұл белгілердің өзгеруіне әкеледі. кейбір формулалар).
Қалыпты кернеу, егер ол созылу болса, оң болады, ығысу кернеуі, егер ол элементтің қарастырылатын бөлігін сағат тілімен ішкі нүктеге қарай айналдыруға бейім болса. pp (кейбір оқулықтар мен университеттерде ығысу кернеуі үшін керісінше қабылданған).
Көлбеу платформадағы кернеулер:
Ығысу кернеулерінің жұптасу заңы: учаскеге тангенциалды кернеу әсер етсе, оған перпендикуляр орналасқан учаскеге шамасы тең және таңбасы қарама-қарсы тангенциалды кернеу әсер етеді. (txz=-tzx)
Стресстік күй теориясында екі негізгі міндет бар.
Тікелей мәселе . Белгілі негізгі кернеулер негізінде: s1= smax, s2= smin, негізгі учаскелерге берілген (а) бұрышта еңіс орналасқан учаске үшін қалыпты және ығысу кернеулерін анықтау қажет:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" ені="219" биіктігі="33"> 
немесе 
.
Перпендикуляр платформа үшін:
.
Бұл жерден sa + sb = s1 + s2 - инварианттың (тәуелсіз) екі өзара перпендикуляр аймағына осы аудандардың еңісіне қатысты қалыпты кернеулерінің қосындысы екенін көруге болады.
Сызықтық кернеу күйіндегідей, максималды ығысу кернеулері a=±45o кезінде болады, яғни.gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55" src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Егер негізгі кернеулердің бірі теріс болып шықса, онда оларды s1, s3 деп белгілеу керек, егер екеуі де теріс болса. , содан кейін s2, s3.
Көлемді кернеу күйі
s1, s2, s3 негізгі кернеулері белгілі кез келген учаскедегі кернеулер:
мұндағы a1, a2, a3 - қарастырылатын ауданға нормаль мен негізгі кернеулердің бағыттары арасындағы бұрыштар.
Максималды ығысу кернеуі: 
.
Ол s2 негізгі кернеуіне параллель және s1 және s3 негізгі кернеулеріне 45o бұрышпен еңіс платформада әрекет етеді.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" ені="171" биіктігі="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (кейде негізгі ығысу кернеулері деп аталады).
Жазық кернеу күйі үш өлшемді ерекше жағдай болып табылады және оны үш Мор шеңберімен де көрсетуге болады, бұл ретте негізгі кернеулердің бірі 0-ге тең болуы керек. Ығысу кернеулері үшін, сондай-ақ жазық кернеу күйінде, жұптық заң: осы аудандардың қиылысу сызығына перпендикуляр, өзара перпендикуляр аудандар бойындағы ығысу кернеулерінің құраушылары шамасы бойынша тең және бағыты бойынша қарама-қарсы.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" ені="166" биіктігі="51 src=">;
Октаэдрлік қалыпты кернеу үш негізгі кернеудің орташа мәніне тең.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Октаэдрлік ығысу кернеуі негізгі ығысу кернеулерінің геометриялық қосындысына пропорционал. Стресс қарқындылығы:
DIV_ADBLOCK135">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" ені="177" биіктігі="49"> 
Көлемнің өзгеруі негізгі кернеулер арасындағы қатынасқа тәуелді емес, негізгі кернеулердің қосындысына байланысты. Яғни, қарапайым текше оның беттеріне бірдей орташа кернеулер қолданылса, көлемнің бірдей өзгерісін алады: 
, содан кейін 
, мұндағы K= - көлемді модуль. Материалы Пуассон қатынасы m = 0,5 (мысалы, каучук) болатын дене деформацияланған кезде дененің көлемі өзгермейді.
Потенциалды деформация энергиясы
Қарапайым керілу (сығу) кезінде потенциалдық энергия U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" ені болып табылады. ="234 "биіктігі="50 src="> немесе
Көлем бірлігіне жинақталған жалпы деформациялық энергияны екі бөліктен тұратын деп санауға болады: 1) көлемнің өзгеруіне байланысты жинақталған энергия uo (яғни текше пішінін өзгертпей текшенің барлық өлшемдерінің бірдей өзгеруі) және 2) кубтың пішінін өзгертуге байланысты энергия uf (яғни текшені параллелепипедке айналдыруға жұмсалған энергия). u = uo + uf.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" ені="389" биіктігі="50 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. Координаталар жүйесін айналдырғанда тензор коэффициенттері өзгереді, тензордың өзі қалады. тұрақты.
Үш күйзеліс инварианты:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" ені="249" биіктігі="48"> 
ea – салыстырмалы деформация, ga – ығысу бұрышы.
Дәл осындай ұқсастық жаппай күйге де қатысты. Демек, бізде деформацияланған күйдің инварианттары бар:
J1 = ex + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - деформация тензоры.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx деформацияланған күйдің құрамдас бөліктері болып табылады.
Негізгі деформациялардың e1, e2, e3 бағыттарымен сәйкес келетін осьтер үшін деформация тензоры келесі пішінді алады: 
.
Күш теориялары
Жалпы жағдайда құрылымдық элементтің қауіпті кернеу күйі үш негізгі кернеулер арасындағы қатынасқа байланысты (s1,s2,s3). Яғни, қатаң түрде айтқанда, әрбір қатынас үшін шынайы емес шекті кернеудің шамасын эксперименталды түрде анықтау қажет. Сондықтан, созылу-сығу кернеуінен кез келген кернеу күйінің қауіптілік дәрежесін бағалауға мүмкіндік беретін беріктікті есептеудің осындай әдістері қабылданды. Олар күш теориялары (шектік кернеу күйлерінің теориялары) деп аталады.
1-ші күш теориясы(ең үлкен қалыпты кернеулер теориясы): шекті кернеу күйінің басталу себебі - ең үлкен қалыпты кернеулер. smax= s1£ [с]. Негізгі кемшілігі: басқа екі негізгі кернеу ескерілмейді. Бұл өте сынғыш материалдарды (шыны, гипс) созу кезінде ғана тәжірибемен расталады. Қазіргі уақытта ол іс жүзінде қолданылмайды.
2-ші күш теориясы(ең үлкен салыстырмалы деформациялар теориясы): шекті кернеу күйінің басталу себебі ең үлкен созылу болып табылады. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, беріктік шарты: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Негізгі кемшілігі оның ескерілмеуі. s2 әсері.
Жазық кернеу күйінде: sequivIII= 
£[с]. sy=0 үшін біз аламыз 
Пластикалық материалдар үшін кеңінен қолданылады.
4-ші күш теориясы(энергия теориясы): шекті кернеу күйінің басталу себебі пішінді өзгертудің меншікті потенциалдық энергиясының мәні болып табылады. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Ол рұқсат етілген созылу және қысу кернеулері бірдей емес (шойын) сынғыш материалдарды есептеуде қолданылады.
Пластикалық материалдар үшін = Мор теориясы 3-ші теорияға айналады.
Мор шеңбері (стресс шеңбері). Шеңбер нүктелерінің координаталары әртүрлі учаскелердегі қалыпты және ығысу кернеулеріне сәйкес келеді. Біз сәулені s осінен С центрінен 2а бұрышқа (a> 0, содан кейін сағат тіліне қарсы бет) кейінге қалдырамыз, D нүктесін табамыз,
координаталары: sa, ta. Тура және кері есептерді графикалық түрде шешуге болады.
Таза ауысым
https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, мұндағы Q - бетке әсер ететін күш, F - бет аймағы ., тек қана ығысу кернеулері әсер ететін, таза ығысу аудандары деп аталады.Олардағы ығысу кернеулері ең үлкен.Таза ығысуды бір мезгілде екі өзара перпендикуляр бағытта болатын қысу мен керілу ретінде көрсетуге болады.Яғни бұл ерекше жағдай жазық кернеу күйі, онда негізгі кернеулер: s1= - s3 = t, s2= 0. Негізгі аудандар таза ығысу аудандарымен 45° бұрыш жасайды.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" ені="16" биіктігі="48 src="> - салыстырмалы жылжунемесе ығысу бұрышы.
Жылжудағы Гук заңы : g = t/G немесе t = G×g.
G- ығысу модулінемесе екінші текті серпімділік модулі [МПа] – ығысу деформацияларына қарсы тұру қабілетін сипаттайтын материал константасы. (Е – серпімділік модулі, m – Пуассон қатынасы).
Ығысудағы потенциалдық энергия: 
.
Ығысу деформациясының меншікті потенциалдық энергиясы: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.
Таза ығысудағы барлық потенциалдық энергия тек пішіннің өзгеруіне жұмсалады, ығысу деформациясы кезінде көлемнің өзгеруі нөлге тең.
Таза ауысымдағы Мор шеңбері.
Бұралу
https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Бұндай деформация түрі, онда тек бір айналу моменті - Мк. Сыртқы моменттің бағыты бойынша Mk моментінің таңбасын анықтау ыңғайлы Егер қиманың бүйірінен қараған кезде сыртқы момент сағат тіліне қарсы бағытталса, онда Mk> 0 (кері ереже де бар). бұралу, бір секция екіншісіне қатысты айналады бұралу бұрышы- j. Дөңгелек сырықты (білікті) бұрағанда таза ығысу кернеуі (қалыпты кернеулер жоқ) пайда болады, тек тангенциалды кернеулер пайда болады. Бұралғанға дейін жазық бөліктер тегіс болып қалады және бұралғаннан кейін - жазықтық қималар заңы. Қима нүктелеріндегі ығысу кернеулері нүктелердің осьтен қашықтығына пропорционал өзгереді..gif" width="103" height="57 src="> - салыстырмалы бұрылу бұрышы..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, пластмасса материалы үшін tlim ығысу беріктігі ретінде қабылданады tm, сынғыш материал үшін tv - шекті беріктік, [n] - бұл бұралу қаттылығының коэффициенті шарты: qmax£[q] – бұралудың рұқсат етілген бұрышы.
Тік бұрышты арқалықтың бұралуы
https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Тік бұрышты қиманың ығысу кернеуінің диаграммалары.
; , Jk және Wk - шартты түрде инерция моменті және бұралу кезіндегі қарсылық моменті деп аталады. Wk=ahb2,
Jk= bhb3, Максималды ығысу кернеулері tmax ұзын жақтың ортасында болады, кернеулер қысқа жақтың ортасында болады: t= g×tmax, коэффициенттер: a, b, g h қатынасына байланысты анықтамалық әдебиеттерде берілген. /b (мысалы, h/b= 2, a=0,246, b=0,229, g=0,795 болғанда.
иілу
https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" ені="270" биіктігі="45">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - бейтарап қабаттың қисықтық радиусы, y - кейбір талшықтан талшыққа дейінгі қашықтық. бейтарап қабат. Иілудегі Гук заңы: , қайдан (Навье формуласы): , Jx - иілу моменті жазықтығына перпендикуляр негізгі орталық оське қатысты қиманың инерция моменті, EJx - иілу қаттылығы, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Иілудегі Wx қимасының модулі, .
https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, мұнда Sx(y) бейтарап осіне қатысты статикалық момент болып табылады. бейтарап осьтен «y» қашықтықта орналасқан қабаттың астында немесе үстінде орналасқан аудан бөлігі; Jx - инерция моменті. Барлығыбейтарап оське қатысты көлденең қима, b(y) - ығысу кернеулері анықталатын қабаттағы қиманың ені.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, дөңгелек қима үшін:, F=p×R2 , кез келген пішіннің бөлімі үшін,
k- қиманың пішініне байланысты коэффициент (тіктөртбұрыш: k= 1,5; шеңбер - k= 1,33).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Тастаған бөліктің әрекеті ішкі күш факторларымен ауыстырылады. Тепе-теңдік теңдеулерінен анықталатын M және Q. Кейбір университеттерде момент M>0, яғни созылған талшықтарға момент диаграммасы салынған. Q= 0 болғанда, диаграмманың экстремумы болады. сәттер. М арасындағы дифференциалдық тәуелділіктер,QЖәнеq: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.
Иілу беріктігін есептеу
:
арқалықтың әртүрлі нүктелеріне байланысты екі беріктік шарты: а) қалыпты кернеулер бойынша 
, (С нүктесінен ең алыс нүктелер); б) ығысу кернеулері бойынша https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51">, олар b тармағына сәйкес тексеріледі). қалыпты және үлкен тангенциалды кернеулер табылған арқалықтардың қималары. Бұл нүктелер үшін рұқсат етілгеннен аспауы керек эквивалентті кернеулер табылады. Беріктік шарттары әртүрлі беріктік теориялары бойынша тексеріледі.
Мен: 
; II-I: (Пуассон қатынасы m=0,3); - сирек қолданылады.
III-I: 
, IV-I: 
,
Мор теориясы: , (шойын үшін пайдаланылады, онда рұқсат етілген созылу кернеуі ¹ - қысу).
Иілу кезінде арқалықтардағы орын ауыстыруларды анықтау
https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, мұндағы r(x) - иілген осьтің қисықтық радиусы. х, М (х) кесіндісіндегі арқалық – сол қимадағы иілу моменті, EJ – арқалықтың қаттылығы Жоғары математикадан белгілі: - х осі мен қисық оське жанама арасындағы бұрыштың тангенсі. Бұл мән өте аз (арқалықтың ауытқулары аз) Þ оның квадраты ескерілмейді және кесіндінің айналу бұрышы жанамаға теңестіріледі. шамамен қисық сәуле осі үшін дифференциалдық теңдеу: 
. Егер у осі жоғары бағытталған болса, онда (+) белгісі. Кейбір университеттерде у осі Þ(-) төмендейді. diff..gif" width="226" height="50 src="> біріктіру - біз аламыз ауытқу деңгейі. С және D интегралдау константалары сәулені бекіту әдістеріне тәуелді шекаралық шарттардан табылады.
a" басынан бастап, ол 1-ге тең болатын (x - a) 0 коэффициентіне көбейтіледі. Кез келген бөлінген жүктеме сәуленің соңына дейін созылады және оның орнын толтыру үшін қарама-қарсы бағытта жүктеме қолданылады. .
EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - a – b); біріктіреміз:
EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.
Бастапқы параметрлер бастапқыда бізде бар, яғни сурет үшін: M0=0, Q0=RA, ауытқу y0=0, айналу бұрышы q0¹0. q0 екінші теңдеуге ауыстырудан дұрыс тіректерді бекіту шарттарын табамыз: x=a+b+c; y(x)=0.
Иілудегі дифференциалдық тәуелділіктер :
; 
; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" ені="56" биіктігі="48 src=">.
Жалған жүктеме әдісі бойынша орын ауыстыруларды анықтау. Теңдеулерді сәйкестендіру:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> және бізде ұқсастық бар, Þ ауытқулардың анықтамасы мүмкін жалған сәуледегі қандай да бір жалған (шартты) жүктен болатын моменттердің анықтамасына келтіріледі: EJ-ге бөлгеннен кейінгі жалған жүктен Mf моменті берілген жүктемеден берілген сәуледегі «y» ауытқуына тең болады және , біз берілген сәуледегі айналу бұрышы жалған сәуледегі жалған көлденең күшке сандық түрде тең екенін аламыз.. Бұл жағдайда екі сәуленің шекаралық шарттарында толық ұқсастық болуы керек. Әрбір берілген сәуле өзінше сәйкес келеді. жалған сәуле.
Жалған арқалықтарды бекіту арқалықтың ұштарында және тіректерде берілген арқалықтағы «y» мен «q» және жалған арқалықтағы Mf және Qf арасында толық сәйкестік болған жағдайда таңдалады. Егер шын және жалған арқалықтардағы моменттердің диаграммалары созылған талшық жағынан тұрғызылса (яғни оң момент төселсе), онда берілген арқалықтағы ауытқу сызықтары моменттердің диаграммасымен сәйкес келеді. жалған сәуле.
Статикалық анықталмаған сәулелер.
Қатты дененің тепе-теңдік теңдеулері арқылы реакцияларын анықтау мүмкін болмаса, жүйелер статикалық анықталмаған деп аталады. Мұндай жүйелерде тепе-теңдік үшін қажетті байланыстар көбірек болады. Арқалықтың статикалық анықталмағандық дәрежесі(аралық топсалары жоқ - үздіксіз сәулелер) сыртқы сілтемелердің артық (артық) санына тең (үштен көп).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" ені="39" биіктігі="51 src="> + C;
EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" ені=" 39" биіктік="49 src=">+ MA=0; РА және МА.
қосымша «бекіту» деп аталады негізгі жүйе. «Артық» белгісіз үшін кез келген реакцияны қабылдауға болады. Негізгі жүйеге берілген жүктемелерді қолданып, біз берілген сәуленің сәйкес келуін қамтамасыз ететін шартты және негізгі - орын ауыстыру үйлесімділік теңдеуін қосамыз. Сурет үшін: yB=0, яғни В нүктесіндегі ауытқу = 0. Бұл теңдеуді шешу әртүрлі жолдармен мүмкін болады.
Ауыстыруларды салыстыру тәсілі
.
В нүктесінің (сурет) иілісі негізгі жүйеде берілген жүктің (q) әсерінен анықталады: yВq = «қосымша» белгісіз RB, ал RB әрекетінен ауытқуы табылады: 
. Ауыстыру үйлесімділік теңдеуінде ауыстырыңыз: yB= yВq += 0, яғни += 0, осыдан RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width="" 371" биіктігі="300 src="> Үш момент теоремасы
. Есептеуде қолданылады үздіксіз сәулелер- көптеген тіректердегі арқалықтар, олардың біреуі бекітілген, қалғандары жылжымалы. Статикалық анықталмаған арқалықтан статикалық анықталатын негізгі жүйеге өту үшін қосымша тіректердің үстіне топсалар енгізіледі. Қосымша белгісіздер: Mn моменттері қосымша тіректер үстіндегі аралықтың ұштарына қолданылады.
Әр аралықты екі тіректегі қарапайым арқалық ретінде қарастыра отырып, берілген жүктемеден әрбір арқалық аралығы үшін моменттердің сызбалары салынады. Әрбір аралық қолдау үшін «n» құрастырылады үш момент теңдеуі:
wn, wn+1 – учаскенің аудандары, an – сол диаграмманың ауырлық центрінен сол жақ тірекке дейінгі қашықтық, bn+1 – оң диаграмманың ауырлық центрінен оң тірекке дейінгі қашықтық. Момент теңдеулерінің саны аралық тіректердің санына тең. Олардың бірлескен шешімі белгісіз қолдау сәттерін табуға мүмкіндік береді. Қолдау моменттерін біле отырып, жеке аралықтар қарастырылады және статикалық теңдеулерден белгісіз қолдау реакциялары табылады. Егер тек екі аралық болса, онда сол және оң сәттер белгілі, өйткені бұлар не берілген момент, не нөлге тең. Нәтижесінде бір белгісіз М1 бар бір теңдеу аламыз.
Орын ауыстыруларды анықтаудың жалпы әдістері
m" , ол жалпыланған "n" күшінің әрекетінен туындайды. Бірнеше күш факторларының әсерінен болатын толық орын ауыстыру: DР = DРP + DРQ + DРM. Бір күштің немесе бір моменттің әсерінен болатын орын ауыстырулар: d - ерекше орын ауыстыру. Егер бір ғана күш P=1 dP орын ауыстыруын тудырса, онда Р күшінен туындаған толық орын ауыстыру: DP=P×dP болады. Егер жүйеге әсер ететін күш факторлары Х1, Х2, Х3 және т.б. белгіленсе, онда олардың әрқайсысының бағыты бойынша қозғалыс:
мұнда Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хидми=+Дми. Арнайы орын ауыстырулардың өлшемдері: 
, J - джоуль, жұмыс өлшемі 1Дж = 1Нм.
Серпімді жүйеге әсер ететін сыртқы күштердің жұмысы: 
.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" ені="307" биіктігі="57">,
k – ығысу кернеулерінің көлденең қима ауданы бойынша біркелкі таралуын ескеретін коэффициент, қиманың пішініне байланысты.
Энергияның сақталу заңына негізделген: потенциалдық энергия U=A.
D 
11 - бағыттағы қозғалыс. Р1 күшінің әрекетінен Р1 күші;
D12 - бағыттағы қозғалыс. Р2 күшінің әрекетінен Р1 күші;
D21 - бағыттағы қозғалыс. Р1 күшінің әрекетінен Р2 күші;
D22 - бағыттағы қозғалыс. Р2 күшінің әрекетінен Р2 күші.
А12=Р1×D12 – екінші күйдің Р2 күшінен туындаған бірінші күйдің Р1 күшінің оның бағыттағы қозғалыстағы жұмысы. Сол сияқты: A21=P2×D21 – екінші күйдің Р2 күшінің бірінші күйдің Р1 күші тудырған оның бағыттағы қозғалысына жұмысы. A12=A21. Күштер мен моменттердің кез келген саны үшін бірдей нәтиже алынады. Жұмыстың өзара теоремасы: Р1×D12=Р2×D21.
Бірінші күйдің күштерінің екінші күйдің күштері әсерінен болатын өз бағыттары бойынша орын ауыстырулары бойынша жұмысы екінші күйдің күштерінің бірінші күйдің күштерімен туындаған өз бағыттары бойынша орын ауыстыруларындағы жұмысына тең. .
Теорема орын ауыстырулардың өзаралығы туралы (Максвелл теоремасы)Егер P1=1 және P2=1 болса, онда P1d12=P2d21, яғни d12=d21, жалпы алғанда dmn=dnm.
Серпімді жүйенің екі бірлік күйі үшін екінші бірлік күштің әсерінен пайда болған бірінші бірлік күштің бағыты бойынша қозғалыс бірінші күш әсерінен болатын екінші бірлік күштің бағыттағы қозғалысына тең.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> бірлік күш әрекетінен; 4) табылған өрнектер келесіге ауыстырылады: Мор интегралы және берілгенге сәйкес интегралдық Егер нәтиже Dmn>0 болса, онда орын ауыстыру бірлік күштің таңдалған бағытымен сәйкес келеді, егер<0, то противоположно.
Тегіс дизайн үшін:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> берілген жүктеменің диаграммасы ерікті пішінге ие болған жағдайда және бір жүктемеден – түзу сызықты Верещагин ұсынған графиктік-аналитикалық әдіспен ыңғайлы түрде анықталады. 
, мұндағы W - сыртқы жүктемеден Мр диаграммасының ауданы, yc - Мр диаграммасының ауырлық центрінің астындағы бірлік жүктемеден алынған диаграмманың ординатасы. Диаграммаларды көбейту нәтижесі бірінші диаграмма ауданының ауырлық центрінің астына алынған диаграммалардың бірінің ауданын екінші диаграмманың ординатасына көбейтіндісіне тең. Ординатаны түзу сызбадан алу керек. Егер екі диаграмма да түзу сызықты болса, онда ординатаны кез келгенінен алуға болады.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Бұл формула бөлімдер бойынша есептеледі, олардың әрқайсысының сынықтары жоқ түзу сызықты диаграммасы бар. .Мп күрделі диаграммасы қарапайым геометриялық фигураларға бөлінеді, олар үшін ауырлық центрлерінің координаталарын анықтау оңайырақ.Трапецияға ұқсайтын екі диаграмманы көбейткенде мына формуланы қолданған ыңғайлы: 
. Дәл сол формула үшбұрышты диаграммалар үшін де қолайлы, егер сәйкес ордината = 0 орнына қойсақ.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (сур. үшін, яғни. 
, xC=L/2).
соқыр «біркелкі бөлінген жүктемемен ендіру, бізде ойыс квадраттық парабола бар, ол үшін =3L/4. Сондай-ақ, диаграмма үшбұрыштың ауданы мен дөңес квадраттық параболаның ауданы арасындағы айырмашылықпен ұсынылса, оны алуға болады: 
. «Жетіспейтін» аймақ теріс болып саналады.
Кастильано теоремасы.
– жалпыланған күштің әсер ету нүктесінің оның әсер ету бағыты бойынша орын ауыстыруы осы күшке қатысты потенциалдық энергияның жартылай туындысына тең. Қозғалыстағы осьтік және көлденең күштердің әсерін елемей, потенциалдық энергияға ие боламыз: 
, қайда 
.
Статикалық анықталмаған жүйелер- элементтеріндегі күш факторларын тек қатты дененің тепе-теңдік теңдеулері арқылы анықтауға болмайтын жүйелер. Мұндай жүйелерде байланыстар саны тепе-теңдік үшін қажеттіден көп. Статикалық анықталмағандық дәрежесі: S = 3n - m, n - құрылымдағы тұйық ілмектер саны, m - бір топсалар саны (екі шыбықты байланыстыратын топса бір деп есептеледі, үш штангаларды біріктіретін - екі және т.б.). күш әдісіКүш факторлары белгісіз ретінде қабылданады. Есептеу реті: 1) статикалық дәрежесін орнату. анықталмау; 2) қажетсіз қосылымдарды алып тастау арқылы бастапқы жүйе статикалық анықталатын жүйемен ауыстырылады - негізгі жүйе (мұндай жүйелер бірнеше болуы мүмкін, бірақ қажетсіз байланыстарды жою кезінде құрылымның геометриялық өзгермейтіндігі бұзылмауы керек); 3) негізгі жүйе берілген күштермен және қажетсіз белгісіздермен жүктеледі; 4) белгісіз күштерді бастапқы және негізгі жүйелердің деформациялары бір-бірінен айырмашылығы болмайтындай етіп таңдау керек. Яғни, қабылданбаған байланыстардың реакциялары олардың бағыттары бойынша орын ауыстырулары = 0 болатын мәндерге ие болуы керек. Күштер әдісінің канондық теңдеулері:
Бұл теңдеулер статикалық ашуға мүмкіндік беретін қосымша ur-штаммдары болып табылады. анықталмау. ur-s саны = жойылған қосылыстардың саны, яғни жүйенің анықталмағандық дәрежесі.
dik – k бағытына әсер ететін бірлік күш әсерінен туындайтын i бағыттағы қозғалыс. дии – негізгі, дик – бүйірлік қозғалыстар. Өзара теорема бойынша: dik=dki. Дип – берілген жүктің (жүк элементтері) әрекетінен туындайтын i-ші қосылыс бағыты бойынша қозғалыс. Канондық теңдеулерге енгізілген орын ауыстырулар Мор әдісімен ыңғайлы түрде анықталады.
Ол үшін негізгі жүйеге жалғыз жүктер X1=1, X2=1, Xn=1, сыртқы жүктеме түсіріліп, иілу моменттерінің қисық сызықтары салынады. Мор интегралы мыналарды табу үшін қолданылады: 
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
.
М-нің үстіндегі сызық бұл ішкі күштердің бірлік күш әрекетінен туындайтынын көрсетеді.
Түзу сызықты элементтерден тұратын жүйелер үшін Верещагин әдісімен диаграммаларды көбейту ыңғайлы. 
; 
т.б. WP - сыртқы жүктемеден алынған Mp диаграммасының ауданы, yСр - Мр диаграммасының ауырлық центрінің астындағы бір жүктемеден алынған диаграмманың ординатасы, W1 - а-дан M1 диаграммасының ауданы. жалғыз жүктеме. Диаграммаларды көбейту нәтижесі бірінші диаграмма ауданының ауырлық центрінің астына алынған диаграммалардың бірінің ауданын екінші диаграмманың ординатасына көбейтіндісіне тең.
Жазық иілген жолақтарды (шыбықтар) есептеу
Қисық арқалықтарға ілгектер, шынжырлар, доғалар және т.б. жатады.Шектеулері: көлденең қимада симметрия осі бар, арқалықтың осі тегіс қисық, жүктеме бір жазықтықта әрекет етеді. Кішкене қисықтық жолақтар бар: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,
rН – бейтарап қабаттың радиусы, e=R – rН, R – қиманың ауырлық центрлері орналасқан қабаттың радиусы. Қисық сәуленің бейтарап осі C секциясының ауырлық центрінен өтпейді. Ол әрқашан қиманың ауырлық центрінен гөрі қисықтық центріне жақынырақ орналасады. , r=rН – у. Бейтарап қабаттың радиусын біле отырып, бейтарап қабаттан ауырлық центріне дейінгі «e» қашықтығын анықтауға болады. Биіктігі h, сыртқы радиусы R2 және ішкі R1 тікбұрышты қима үшін: ; әртүрлі бөлімдер үшін формулалар анықтамалық әдебиетте келтірілген. H/R үшін<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.
Қимадағы қалыпты кернеулер гиперболалық заң бойынша таралады (қиманың сыртқы шетінде азырақ, ішкі жиекте көп). Қалыпты N күшінің әсерінен: 
(мұнда rН - бейтарап қабаттың радиусы, ол тек M моментінің әсерінен болатын еді, яғни N=0 кезінде, бірақ шын мәнінде бойлық күш болған кезде бұл қабат енді бейтарап болмайды). Күш жағдайы: 
, иілу және керілу-сығу кезіндегі жалпы кернеулер ең үлкен болатын шеткі нүктелерді қарастырғанда, яғни y= – h2 немесе y= h1. Ығыстырулар Мор әдісімен ыңғайлы түрде анықталады.
Сығылған өзекшелердің тұрақтылығы. Бойлық иілу
Штанганың бұзылуы тек беріктік бұзылғандықтан ғана емес, сонымен қатар штанга қажетті пішінді сақтамағандықтан да болуы мүмкін. Мысалы, жіңішке сызғышты бойлық сығымдау кезіндегі иілу. Орталықтан қысылған өзекшенің тепе-теңдігінің түзу сызықты түрінің орнықтылығын жоғалту деп аталады. бүгу. Эластикалық тепе-теңдік тұрақты, егер деформацияланған дене тепе-теңдік күйінен кез келген азғантай ауытқумен өзінің бастапқы күйіне оралуға бейім болса және сыртқы әсер жойылған кезде оған қайта оралса. Артық болуы тұрақтылықтың жоғалуына әкелетін жүктеме деп аталады сыни жүктеме Rcr (критикалық күш). Рұқсат етілген жүктеме [P]=Pkr/nу, nу – тұрақтылықтың нормативтік коэффициенті..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - формула топсалы ұштары бар өзек үшін критикалық күштің мәнін береді. Әртүрлі бекітпелермен: 
, m – ұзындықты азайту коэффициенті.
Өзекшенің екі ұшын топсалы бекітумен m=1; ұштары тұйық өзек үшін m=0,5; бір тұйық және басқа бос ұшы бар өзек үшін m=2; бір ұшы бекітілген, ал екінші ұшы топсалы өзек үшін m=0,7.
Сыни қысу кернеуі: 
, – шыбықтың икемділігі, 
өзекшенің көлденең қимасының ауданындағы инерцияның ең кіші негізгі радиусы болып табылады. Бұл формулалар skr £ spts кернеулері пропорционалдылық шегі болғанда ғана жарамды, яғни Гук заңының қолданылу шегінде. Эйлер формуласы таяқша икемді болған кезде қолданылады: 
, мысалы, болат үшін St3 (C235) lkr «100. Іс үшін l
Ол үшін жеткілікті қысқа таяқшалар л
(Fnet = Fgross-Fweak – Fweak секциясындағы тесіктердің ауданын ескере отырып, әлсіреген учаскенің ауданы, мысалы, тойтармалардан). \u003d scr / nу, nу - стандартты коэффициент. тұрақтылық шегі. Рұқсат етілген кернеу беріктік есептеулерінде қолданылатын негізгі рұқсат етілген кернеу [s] арқылы өрнектеледі: =j×[s], j - рұқсат етілген кернеуді төмендету коэффициентісығылған шыбықтар үшін (бүгілу коэффициенті). j мәндері кестеде берілген. оқулықтарда және стерженнің материалына және оның икемділігіне байланысты (мысалы, Ст3 болат үшін l=120 j=0,45 кезінде).
Қажетті көлденең қима ауданын жобалық есепте бірінші қадамда j1 = 0,5–0,6 алынады; табу: 
. Әрі қарай, Fgross біле отырып, бөлімді таңдаңыз, Jmin, imin және l анықтаңыз, кестеге сәйкес орнатыңыз. нақты j1I, егер ол j1-ден айтарлықтай өзгеше болса, есептеу j2= (j1+j1I)/2 орташа мәнмен қайталанады. Екінші әрекеттің нәтижесінде j2I алдыңғы мәнмен салыстырылады және жеткілікті жақын сәйкестікке қол жеткізгенше осылай жалғаса береді. Әдетте 2-3 әрекет қажет..
арасындағы қатынас осьтерді бұру кезіндегі инерция моменттері:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;
Бұрыш a>0, егер ескі координаталар жүйесінен жаңасына ауысу сағат тіліне қарсы болса. б.Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Инерция моменттерінің экстремалды (максималды және минималды) мәндері деп аталады инерцияның негізгі моменттері. Инерцияның осьтік моменттері экстремалды мәндерге ие осьтер деп аталады бас инерция осьтері. Бас инерция осьтері өзара перпендикуляр. Негізгі осьтерге қатысты центрден тепкіш инерция моменттері \u003d 0, яғни, негізгі инерция осьтері центрден тепкіш инерция моменті = 0 болатын осьтерге қатысты. Егер осьтердің бірі симметрия осімен сәйкес келсе немесе екеуі де сәйкес келсе, онда олар басты. Негізгі осьтердің орнын анықтайтын бұрыш: 
, егер a0>0 Þ осьтер сағат тіліне қарсы бұрылады. б Максимум осі әрқашан осьтердің бұрышымен кішірек бұрыш жасайды, оған қатысты инерция моменті үлкен мәнге ие. Ауырлық центрі арқылы өтетін бас осьтер деп аталады инерцияның бас орталық осьтері. Осы осьтерге қатысты инерция моменттері: 
Jmax + Jmin = Jx + Jy. Негізгі орталық инерция осьтеріне қатысты центрден тепкіш инерция моменті 0. Егер негізгі инерция моменттері белгілі болса, онда айналмалы осьтерге өту формулалары:
Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;
Қиманың геометриялық сипаттамаларын есептеудің соңғы мақсаты инерцияның негізгі орталық моменттерін және инерцияның негізгі орталық осьтерінің орнын анықтау болып табылады. 
Инерция радиусы- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. Екіден көп симметрия осі бар қималар үшін (мысалы: шеңбер, шаршы, сақина т.б.) барлық орталық осьтерге қатысты осьтік инерция моменттері бір-біріне тең, Jxy=0, инерция эллипсі инерция шеңберіне айналады.
с- қалыпты кернеу[Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м2,
106Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм2
N - бойлық (қалыпты) күш [N] (ньютон); F - қима ауданы [м2]
e - салыстырмалы деформация [өлшемсіз шама];
DL - бойлық деформация [м] (абсолюттік ұзару), L - жолақ ұзындығы [м].
Гук заңы - s = E×e
E - созылу модулі (1-ші түрдегі серпімділік модулі немесе Янг модулі) [МПа]. Болат үшін E = 2×105МПа = 2×106 кг/см2 («ескі» бірлік жүйесінде).
(Е неғұрлым көп болса, материал соғұрлым аз созылады)
; - Гук заңы
EF – тартылудағы (сығудағы) стержендік қаттылық.
Өзекше созылғанда ол «жіңішкереді», оның ені - а көлденең деформация бойынша азаяды - Да.
Салыстырмалы көлденең деформация.
 |
Материалдардың негізгі механикалық сипаттамалары
sp - пропорционалдық шегі, st - кірістілік нүктесі, sВ- күш шегінемесе уақытша кедергі, sk - үзілу сәтіндегі кернеу.
Шойын сияқты сынғыш материалдар аз ұзарту кезінде үзіледі және созылудан гөрі қысуға жақсы қарсы тұратын аққыштық үстіртке ие емес.
Рұқсат етілген кернеу https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> еңіс бойындағы кернеулер:
Тікелей тапсырма…………………………………………………..3
Кері есеп……………………………………………………3
Көлемді кернеу күйі…………………………4
Октаэдрлік учаске бойындағы кернеулер…………………..5
Көлемдік кернеу күйіндегі деформациялар.
Жалпыланған Гук заңы……………………………………6
Потенциалды деформация энергиясы…………………………7
Күш теориялары……………………………………………………………9
Мордың күш теориясы………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………
Мор шеңбері………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………
Таза ауысым……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………
Жылжудағы Гук заңы……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………
Бұралу……………………………………………………..13
Тік бұрышты сырықтың бұралуы…………………….14
Иілу……………………………………………………………15
Журавский формуласы…………………………………………………………16
Иілу беріктігін есептеу………………………………………………………………18
Иілу кезінде арқалықтардағы орын ауыстыруларды анықтау……………19
Иілудегі дифференциалдық тәуелділіктер……………….20
Орын ауыстырудың үйлесімділік теңдеуі……………………..22
Ауыстыруларды салыстыру тәсілі……………………………..22
Үш момент теоремасы……………………………………..22
Ауыстыруды анықтаудың жалпы әдістері………………….24
Жұмыстың өзара теоремасы (Бетли теоремасы)……………….25
Орын ауыстырулардың өзара теңдігі туралы теорема (Максвелл теоремасы).. 26
Мор интегралын Верещагин әдісімен есептеу……….27
Кастильано теоремасы……………………………………..28
Статикалық анықталмаған жүйелер………………………..29
Жазық иілген жолақтарды (шыбықтарды) есептеу………………...31
Сығылған өзекшелердің тұрақтылығы. Бойлық иілу………33
Жазық қималардың геометриялық сипаттамалары…………36
Қима инерция моменттері………………………………..37
Қиманың центрден тепкіш инерция моменті …………………..37
Жай пішін қималарының инерция моменттері………………..38
Параллель осьтерге қатысты инерция моменттері……..39
Бұрылу кезіндегі инерция моменттері арасындағы байланыс
осьтер………………………………………………………40
Қарсыласу сәттері………………………………….42
Кернеу және қысу…………………………………………………43
Материалдардың негізгі механикалық сипаттамалары…….45
екі осьтінемесе жазықбарлық нүктелерінде негізгі кернеулердің бірі нөлге тең болатын дененің кернеулі күйі деп аталады. Дененің бүйір бетіне оське нормаль сыртқы күштер жүйесі түсірілсе, ұштары бос және жүксіз болатын призмалық немесе цилиндрлік денеде жазық кернеу күйінің болатынын * көрсетуге болады (17.1-сурет). Озжәне байланысты өзгереді zквадраттық заң бойынша орташа қимаға қатысты симметриялы. Дененің барлық көлденең қималарында екені белгілі болды
және кернеу а х, а у, хбайланысты өзгереді zсонымен қатар квадраттық заңға сәйкес ол орташа қимаға қатысты симметриялы болады. Бұл болжамдарды енгізу икемділік теориясының (17.13) шарттарын және барлық теңдеулерін қанағаттандыратын есептің шешімін алуға мүмкіндік береді.
Кернеулер айнымалыға тәуелді болмайтын ерекше жағдай қызықтырады z‘-
Мұндай кернеулі күй тек ұзындығы бойынша біркелкі бөлінген жүктің әрекеті кезінде мүмкін болады. Гук заңының (16.3) формулаларынан e x, e y, e z , y деформациялары да тәуелді емес екендігі шығады. z,және деформациялар y және y zxескере отырып (17.13) нөлге тең. Бұл жағдайда деформацияның үздіксіздігі теңдеулерінің төртінші және бесінші (16.4), (16.5) бірдей орындалады, ал екінші, үшінші және алтыншы теңдеулер пішінді алады.
Осы теңдеулерді интегралдау және Гук заңының үшінші формуласын (16.3) ескере отырып az = 0, аламыз
См.: Тимошенко С.П., Goodyear Дж.Серпімділік теориясы. Мәскеу: Наука, 1975 ж.
Сонымен, дененің ұзындығы бойынша тұрақты беттік жүктемесі бар бос ұштары бар призмалық немесе цилиндрлік денеде жазық кернеу күйі кернеулердің қосындысы болған кезде ғана мүмкін болады. a x + a y x және айнымалыларына байланысты өзгереді сағсызықтық немесе тұрақты.
Егер дененің шеткі жазықтықтары арасындағы қашықтық (7.1-сурет) кесінділердің өлшемдерімен салыстырғанда аз болса, онда бізде сыртқы контур бойымен жүктелген жұқа пластина (17.5-сурет) салыстырмалы түрде симметриялы түрде бөлінген күштері бар. квадраттық заң бойынша пластинаның ортаңғы жазықтығы. Пластинаның қалыңдығынан бері hаз болса, онда шамалы қателікпен кез келген симметрия үшін кернеу пластинасының орташа жазықтық жүктемесіне қатысты деп болжауға болады. a x, a v, txv оның қалыңдығына біркелкі бөлінген.
Бұл жағдайда кернеулерді, мысалы, қалыңдығы бойынша олардың орташа мәндерін түсіну керек
Сондай-ақ (17.14) болжам енгізілген кезде нөлдік кернеулер шарты (17.13) болатынын ескеру қажет.
(17.13) және (17.14) болжамдары бар жұқа пластинаның кернеу күйінің қарастырылатын жағдайы жиі аталады. жалпыланған жазықтық кернеу күйі.
Бұл жағдай үшін серпімділік теориясының негізгі теңдеулерін қарастырайық.
(17.13) ескере отырып, Гук заңының формулаларын (16.3) түрінде жазуға болады.
Сәйкес кері байланыстар нысаны болады
(17.17) және (17.18) формулаларының жазық деформацияға арналған Гук заңының (17.7) және (17.9) формулаларынан тек соңғысында серпімділік модулінің орнына айырмашылығы бар. Ежәне Пуассон қатынасы v қысқартылған шамаларды қамтиды E (және vr
Тепе-теңдік теңдеулері, Коши қатынастары, деформацияның үздіксіздігі теңдеуі және статикалық шекаралық шарттар жазық деформация үшін сәйкес (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) теңдеулерінен айырмашылығы жоқ.
Жазық деформация және жалпыланған жазықтық кернеу күйі негізінен бірдей теңдеулермен сипатталады. Жалғыз айырмашылық Гук заңының формулаларындағы икемділік константаларының мәндерінде. Сондықтан екі тапсырма да ортақ атпен біріктірілген: серпімділік теориясының жазықтық мәселесі.
Жазық есептің теңдеулерінің толық жүйесі екі тепе-теңдік теңдеуінен (17.10), үш геометриялық Коши қатынасынан (17.3) және Гук заңының (17.7) немесе (17.17) үш формуласынан тұрады. Олар сегіз белгісіз функцияны қамтиды: үш кернеу a x, a y, x xy,үш штамм e x, e y, y xyжәне екі қозғалыс ЖәнеЖәне Және.
Егер есепті шешу кезінде орын ауыстыруларды анықтау қажет болмаса, онда белгісіздер саны алтыға дейін азаяды. Оларды анықтау үшін алты теңдеу бар: екі тепе-теңдік теңдеуі, Гук заңының үш формуласы және деформациялардың үздіксіздік теңдеуі (17.11).
Қарастырылатын жазықтық есептің екі түрінің негізгі айырмашылығы мынада. Жазық деформация үшін ? z = 0,ун* 0 және мән c z o x io кернеулері анықталғаннан кейін (17.6) формула бойынша табуға болады. Жалпыланған жазықтық кернеу күйі үшін а з = 0, ? z Ф 0 және деформация ? z o x және кернеулері арқылы көрсетуге болады OU(17.16) формуласы бойынша. қозғалады wКоши теңдеуін интегралдау арқылы табуға болады
ДЕФОРМАЦИЯЛАНҒАН КҮЙДЕР («ТЕГІЗ МӘСЕЛЕ»)
Жазық кернеу және жазық деформация күйлері келесі белгілермен сипатталады.
1. Барлық кернеу құраушылары барлық компоненттерге ортақ координаттардың біріне тәуелді емес, ол өзгерген кезде тұрақты болып қалады.
2. Осы координатаның осіне нормаль жазықтықтарда:
а) ығысу кернеуінің құраушылары нөлге тең;
б) қалыпты кернеу не нөлге тең (жазықтық кернеу күйі), не басқа екі қалыпты кернеулердің қосындысының жартысына тең (жазықтық деформация күйі).
Жоғарыда айтылған ось үшін у осін алайық. Жоғарыда айтылғандардан бұл ось негізгі болатыны анық, яғни оны 2 индексімен де белгілеуге болады. Оның үстіне, , және у-ға тәуелді емес; бір уақытта, және , демек, және нөлге тең.
Жазық кернеулі күй үшін = 0. Жазық деформацияланған күй үшін (жазық деформацияланған күйдің бұл қасиеті төменде дәлелденетін болады).
Жазық кернеу мен жазық деформация күйлерінің арасындағы елеулі айырмашылықты әрқашан ескеру қажет.
Біріншісінде үшінші ось бағытында қалыпты кернеу жоқ, бірақ деформация бар, екіншісінде қалыпты кернеу бар, бірақ деформация жоқ.
Жазық кернеу күйі, мысалы, оның контурына пластина жазықтығына параллель және оның қалыңдығына біркелкі таралатын күштердің әсерінен пластинада болуы мүмкін (3.16-сурет). Бұл жағдайда пластинаның қалыңдығының өзгеруі маңызды емес және оның қалыңдығын бірлік ретінде қабылдауға болады. Жеткілікті дәлдікпен парақ материалынан цилиндрлік дайындаманы тарту кезінде фланецтің кернеу күйін тегіс деп санауға болады.
Ұзындығы үлкен цилиндрлік немесе призмалық дененің ұштарынан қашық орналасқан қималары үшін жазық деформацияланған күй қабылдануы мүмкін, егер денеге оның ұзындығы бойынша өзгермейтін және генераторларға перпендикуляр бағытталған күштер жүктелсе. Тегіс деформацияланған күйде, мысалы, ұзындығы бойынша деформацияны елемеуге болатын кезде, арқалықты оның қалыңдығы бағытында бұзылуға ұшыраған деп санауға болады.
Жазық есеп үшін кернеу күйінің барлық теңдеулері айтарлықтай жеңілдетілген және айнымалылар саны азаяды.
Жазық есептің теңдеулерін мынаны ескере отырып, көлемді кернеу күйі үшін бұрын алынғандардан оңай алуға болады. 
\u003d 0 және \u003d 0 алу, өйткені көлбеу аймақтарды тек у осіне параллель деп санау керек, яғни жазық кернеу күйіндегі кернеулері жоқ немесе жазық деформацияланған күйдегі деформациялары жоқ аймақтарға қалыпты (3.17-сурет) ).
Қаралып отырған жағдайда
Нормалдан көлбеу аймақ пен ось (немесе ось, егер кернеу 1 және 2 негізгі осьтерде берілген болса) арасындағы бұрышты (3.17-суретті қараңыз) арқылы белгілей отырып, , қай жерден , аламыз.
Жоғарыда айтылғандарды ескере отырып, көлемдік кернеу күйі үшін сәйкес өрнектердегі (3.10) және (3.11) тікелей алмастырулар арқылы көлбеу аймақтағы қалыпты және ығысу кернеулерін аламыз (3.17-суретті қараңыз).
3.15-сурет. Жазық кернеу күйі (a), көлбеу платформадағы кернеу (b)
қалыпты кернеу
ығысу кернеуі
. (3.41)
(3.41) өрнектен оның sin 2 \u003d 1, яғни \u003d 45 ° кезінде максимумы бар екенін байқау оңай:
. (3.42)
Негізгі кернеулердің шамасын (3.13) теңдеуді пайдаланып, ерікті осьтердегі құрамдас бөліктер арқылы көрсетуге болады, одан біз аламыз.
. (3.43)
Бұл жағдайда жазық кернеу күйі үшін = 0; тегіс керілген күй үшін
Негізгі осьтердегі кернеу күйін біле отырып, кез келген еркін координат осіне оңай ауысуға болады (3.18-сурет). Жаңа координаталар осі х осімен бұрыш жасасын, онда оны көлбеу ауданға нормаль деп есептей отырып, соңғысы үшін (3.40) теңдеуіне сәйкес аламыз.
бірақ ось үшін кернеу кернеу болып табылады, демек
бұл өрнекті келесідей түрлендіруге болады:
(3.44)
Жаңа ось 1 осіне бұрышпен (+90°) қисайтылады; сондықтан алдыңғы теңдеуде (+ 90°) ауыстырсақ, аламыз
(3.41) өрнектен кернеуді анықтаймыз:
. (3.46)
арқылы орташа кернеуді белгілеу, яғни қабылдау
, (3.47)
және (3.42) теңдеуін ескере отырып, кернеу құраушыларын бұрыштың функциясы ретінде өрнектейтін түрлендіру формулалары деп аталатын формулаларды аламыз:
(3.48)
Мор диаграммасын құру кезінде біз у осіне параллель аудандарды қарастыратындықтан (яғни, ось 2) бағыт косинусы әрқашан нөлге тең болатынын ескереміз, яғни бұрыш = 90 °. Демек, барлық сәйкес мәндер және оған = 0 ауыстырған кезде (3.36 b) теңдеуімен анықталған шеңберде орналасады, атап айтқанда:
, (3.49)
немесе (3.47) және (3.42) өрнектерін ескере отырып
. (3,49а)
Бұл шеңбер суретте көрсетілген. 3.19 және Мор диаграммасы. Шеңберде орналасқан кейбір Р нүктесінің координаталары сәйкес мәндерді анықтайды және Р нүктесін нүктесімен байланыстырайық.Кезінділердің 0 2 P = екенін көру оңай;
Рр= , Ор= , демек, күнә 
= 
.
Алынған өрнектерді (3.48) теңдеулерімен салыстыра отырып, оны анықтауға болады
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Осылайша, бұрышпен анықталатын көлбеу аймақтың орнын біле отырып, кернеулердің мәндерін және осы аймақта әрекет етуді табуға болады.
3.17-сурет. Мор диаграммасы
,
онда OP сегменті толық кернеуді S өрнектейді.
Егер көлбеу бетінде кернеулер қарастырылатын кернеулі дененің элементі негізгі кернеу оське параллель болатындай етіп тартылса, онда осы көлбеу бетке түсірілген нормаль N, демек, кернеу бағыты, СР сегментіне параллель болады.
P0 2 сызығын шеңбермен қиылысуға дейін жалғастыра отырып, P нүктесінде «екінші мәндер жұбын аламыз және басқа көлбеу аймақ үшін, онда « = + 90 °, яғни біріншіге перпендикуляр аудан үшін , нормаль бағытымен ". N және N нормалдарының бағыттары" сәйкесінше жаңа осьтердің бағыттары ретінде қабылдануы мүмкін: және , және кернеулер және " - сәйкесінше координаталық кернеулер үшін және. Осылайша, мүмкін болады. (3.44) - (3.46) формулаларын қолданбай, ерікті осьтердегі кернеу күйін анықтаңыз.жұптасу заңы бойынша бір-біріне тең.
Кері есепті шешу қиын емес: екі өзара перпендикуляр облыстардағы берілген кернеулер үшін , және , t «(мұндағы t» = t) негізгі кернеулерді табыңыз.
n және координаталық осьтерді саламыз (3.19-сурет). Біз P және P нүктелерін «берілген кернеулерге сәйкес координаттарымен және , және ,. PP кесіндісінің осімен қиылысуы Мор шеңберінің центрін анықтайды 0 2 диаметрі PP «= 2 31. Әрі қарай, егер осьтерді N, N» (немесе, бірдей нәрсе, , ) тұрғызамыз және фигураны осы осьтердің бағыттары кернеулердің бағыттарына параллель болатындай және берілген дененің қарастырылған нүктесінде, содан кейін осьтердің бағыттарын айналдырамыз. және диаграмма негізгі осьтердің 1 және 2 бағытына параллель болады.
Жазық есептің дифференциалдық тепе-теңдік теңдеуін (3.38) теңдеулерден аламыз, у-ға қатысты барлық туындылар нөлге тең, сонымен қатар нөлге тең және:
(3.50)
Жазықтыққа қатысты кейбір есептерді шығарғанда, кейде радиус векторы мен полярлық бұрыш арқылы нүктенің орнын, яғни радиус векторының осьпен жасайтын бұрышын анықтай отырып, тікбұрышты координаталардың орнына полярлық координаталарды қолдану ыңғайлы.
Полярлық координаталардағы тепе-теңдік шарттарын цилиндрлік координаталардағы бірдей шарттардан теңдеу арқылы оңай алуға болады.
Және туындылардың тең екендігін ескерсек
(3.51)
Жазық есептің ерекше жағдайы - кернеулер координатаға да тәуелді емес (кернеулердің таралуы оське қатысты симметриялы). Бұл жағдайда және кернеулерге қатысты туындылар жойылады және тепе-теңдік шарттары бір дифференциалдық теңдеумен анықталады.
. (3.52)
Мұнда да күйзелістердің негізгі екені анық.
Мұндай кернеулі күйді дөңгелек дайындаманың фланеці үшін цилиндрлік тостағанды баспай-ақ тарту кезінде алуға болады.
Стресс күйінің түрі
Деформацияланатын дененің кез келген нүктесіндегі кернеу күйі үш негізгі қалыпты кернеулермен және негізгі осьтердің бағыттарымен сипатталады.
Кернеу күйінің үш негізгі түрі бар: көлемдік (үш осьтік), онда үш негізгі кернеу де нөлге тең емес, жазық (екі осьтік), негізгі кернеулердің біреуі нөлге тең және сызықтық (бір осьтік), онда тек бір негізгі кернеу нөлден ерекшеленеді.
Егер барлық қалыпты кернеулердің таңбалары бірдей болса, онда кернеу күйі бір атаумен аталады, ал егер таңбалары әртүрлі кернеулер қарама-қарсы болса.
Осылайша, кернеу күйінің тоғыз түрі бар: төрт көлемді, үш жазық және екі сызықтық (3.18-сурет).
Деформацияланатын дененің кез келген нүктесінде негізгі осьтердің бағыттары мен негізгі қалыпты кернеулердің шамасы өзгеріссіз қалса, кернеу күйі біртекті деп аталады.
Кернеу күйінің түрі металдың құламай пластикалық деформациялану қабілетіне және берілген шаманың деформациясына жету үшін қолданылатын сыртқы күш мөлшеріне әсер етеді.
Мәселен, мысалы, бірдей көлемдік кернеу жағдайындағы деформация қарама-қарсы кернеу күйіндегіге қарағанда көбірек күш жұмсауды қажет етеді, қалғандары тең.
тест сұрақтары
1. Кернеу дегеніміз не? Нүктенің, жалпы дененің кернеулік күйін не сипаттайды?
2. Кернеу тензоры құраушыларының белгілеулерінде индекстер нені білдіреді?
3. Кернеу тензоры құраушыларына белгі ережесін беріңіз.
4. Көлбеу платформалардағы кернеулер үшін Коши формулаларын жазыңыз. Олардың қорытындысы қандай негізге алынған?
5. Кернеу тензоры дегеніміз не? Кернеу тензорының құрамдас бөліктері қандай?
6. Кернеу тензорының меншікті векторлары мен меншікті мәндері қалай аталады?
7. Бас кернеулер дегеніміз не? Қанша?
8. Негізгі қалыпты кернеулерге индекстерді беру ережесін келтіріңіз.
9. Негізгі қалыпты кернеулер мен кернеу тензорының негізгі осьтерінің физикалық түсіндірмелерін беріңіз.
10. ОМД негізгі процестері үшін негізгі қалыпты кернеулердің диаграммаларын көрсетіңіз - илемдеу, тарту, престеу.
11. Күйзеліс тензорының инварианттары дегеніміз не? Қанша?
12. Бірінші кернеу тензорының инвариантының механикалық мағынасы қандай?
13. Ығысу кернеулерінің қарқындылығы қалай аталады?
14..Негізгі ығысу кернеулері қандай? Олардың платформаларын табыңыз
15.. Деформацияланатын дененің қандай да бір нүктесінде негізгі ығысу кернеулерінің қанша аймағын көрсетуге болады?
16. Максималды ығысу кернеуі, ол әрекет ететін учаскедегі қалыпты кернеу қандай?
17. Осьтік симметриялы кернеу күйі дегеніміз не? Мысалдар келтіріңіз.
18. Негізгі OMD процестері үшін негізгі қалыпты кернеулердің диаграммаларын көрсетіңіз - илемдеу, тарту, престеу.
19. Кернелген жазықтық пен жазық деформацияланған күйге не ортақ және олардың айырмашылығы неде? Қарапайым ауысу осы күйлердің қайсысына жатады?
20. Бас координаталар жүйесінде сізге белгілі кернеу теориясының формулаларын келтіріңіз
21. Кернеу эллипсоиды дегеніміз не? Оның теңдеуін жазып, салу ретін көрсетіңіз. Гидростатикалық қысым, жазық және сызықтық кернеу күйлері үшін кернеу эллипсоидының пішіні қандай?
22. Негізгі қалыпты кернеулерді табу теңдеуін және негізгі осьтерді табуға арналған үш теңдеулер жүйесін жазыңыз. Т а.
23..Сфералық тензор және кернеу девиаторы дегеніміз не? Кернеу девиаторының екінші және үшінші инварианттарын есептеу үшін қандай шамалар қолданылады?
24. Кернеу тензоры мен кернеу девиаторының негізгі координат жүйелері сәйкес келетінін көрсетіңіз.
25. Неліктен кернеудің қарқындылығы мен ығысу кернеуінің қарқындылығы ескеріледі? Олардың физикалық мағынасын түсіндіріңіз және геометриялық түсініктеме беріңіз.
26. Мор диаграммасы дегеніміз не? Негізгі шеңберлердің радиустары қандай?
27. Орташа кернеу өзгерген кезде Мор диаграммасы қалай өзгереді?
28. Октаэдрлік кернеулер дегеніміз не?
29. Кернеу күйіндегі дененің нүктесі арқылы қанша сипаттамалық аудан жүргізуге болады?
30. Тік бұрышты координаталардағы, цилиндрлік және сфералық координаталардағы көлемдік кернеу күйінің тепе-теңдік шарттары.
31. Жазық есептің тепе-теңдік теңдеуі.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Илюшин А.А. Икемділік. Ч.И.М.-Л., ГТИ, 1948. 346 б. (33)
2. И.М.Павлов, «Пластика теориясындағы тензорлық көріністердің физикалық табиғаты туралы», Известия вузов. Қара металлургия», 1965 ж., No 6, 2-бет. 100–104.
3. В.В.Соколовский, пластикалық теориясы. М., Жоғары мектеп, 1969. 608 б. (91)
4. М.В.Сторожев және Е.А.Попов, металды қысыммен өңдеу теориясы. М., «Инженерия», 1971. 323 б. (99)
5. С.П.Тимошенко, Серпімділік теориясы. Гостехиздат, 1934. 451 б. (104)
6. Шофман Л.А. Штамптау және престеу процесін есептеу негіздері. Мәшғиз, 1961. (68)
Қолданбалар үшін маңызды және, мысалы, жазықтықта жүзеге асырылатын жазық кернеу күйінің жағдайын қарастырайық. Ой.Бұл жағдайда кернеу тензоры пішінге ие
Геометриялық сурет 1-суретте көрсетілген. Сонымен қатар сайттар x= const сәйкес нөлдік бас кернеулері бар бас болып табылады. Кернеу тензорының инварианттары , ал сипаттамалық теңдеу пішінді қабылдайды
Бұл теңдеудің түбірлері
|
Түбірлердің нөмірленуі іс үшін жасалады 
1-сурет.Бастапқы жазықтық кернеу күйі. 
2-сурет.Негізгі кернеулердің орны
Ерікті сайт суреттегі бұрышпен сипатталады. 1, вектор болған кезде Пқұрамдас бөліктері бар: , , n x \u003d 0. Көлбеу учаскедегі қалыпты және ығысу кернеулері бұрышпен келесі түрде өрнектеледі:
(4) теңдеудің ең кіші оң түбірі арқылы белгіленеді. тг бастап( X) периоды бар периодты функция болса, онда бізде бұрыштарды құрайтын екі өзара ортогональ бағыты бар. 
осьпен OU.Бұл бағыттар өзара перпендикуляр негізгі аймақтарға сәйкес келеді (2-сурет).
Егер (2) қатынасты туындыны нөлге теңестірсек және нөлге теңестірсек, негізгі кернеулердің экстремалды екенін дәлелдейтін (4) теңдеуіне келеміз.
Төтенше ығысу кернеулері бар аймақтардың бағытын табу үшін өрнектің туындысын нөлге теңдейміз.
қайдан аламыз
|
(4) және (5) қатынастарын салыстыра отырып, біз оны табамыз
Бұл теңдік мүмкін болады, егер және бұрыштары бұрышпен ерекшеленеді. Демек, шектен тыс ығысу кернеулері бар аймақтардың бағыттары негізгі аудандардың бағыттарынан бұрышпен ерекшеленеді (3-сурет).
3-сурет.Төтенше ығысу кернеуі
Төтенше ығысу кернеулерінің мәндері формулалар арқылы (3) қатынасқа (5) ауыстырылғаннан кейін алынады.
.
Кейбір түрлендірулерден кейін біз аламыз
Бұл өрнекті негізгі кернеулердің бұрын алынған мәндерімен (2.21) салыстыра отырып, біз экстремалды ығысу кернеулерін негізгі кернеулер арқылы көрсетеміз.
(2) тармағына ұқсас ауыстыру, бар аймақтардағы қалыпты кернеулер үшін өрнекке әкеледі
Алынған қатынастар жазық кернеу күйі жағдайында құрылымдардың бағытталған беріктік талдауын жүргізуге мүмкіндік береді.
ШТРИН ТЕНЗОРЫ
Алдымен жазық деформация жағдайын қарастырайық (4-сурет). Жазық элемент болсын MNPQжазықтық ішінде қозғалады және деформацияланады (пішіні мен өлшемін өзгертеді). Элементтің деформацияға дейінгі және кейінгі нүктелерінің координаталары суретте белгіленген.
4-сурет.Тегіс деформация.
Анықтама бойынша нүктедегі салыстырмалы сызықтық деформация Мось бағытында Отең
Суреттен. 4 келесі
Мынадай жағдай болса MN=dx,Біз алып жатырмыз
Кішігірім деформациялар кезінде, қашан , , квадрат мүшелерін елемеуге болады. Болжалды қатынасты ескере отырып
әділ x<<1, окончательно для малой деформации получим
Бұрыштық деформация бұрыштардың қосындысы және (4) ретінде анықталады. Кішігірім деформациялар болған жағдайда
Бізде бұрыштық деформация үшін
Үш өлшемді деформацияның жалпы жағдайында ұқсас есептеулерді жүргізсек, бізде тоғыз қатынас бар
Бұл тензор қатты дененің деформацияланған күйін толығымен анықтайды. Ол кернеу тензоры сияқты қасиеттерге ие. Симметрия қасиеті бұрыштық деформацияларды анықтаудан тікелей шығады. Негізгі мәндер мен негізгі бағыттар, сондай-ақ бұрыштық деформациялардың экстремалды мәндері және олардың сәйкес бағыттары кернеу тензорындағы сияқты әдістермен табылады.
Деформация тензорының инварианттары ұқсас формулалар арқылы анықталады, ал кіші деформация тензорының бірінші инварианты нақты физикалық мағынаға ие. Деформацияға дейін оның көлемі тең dV 0 =dxdydz.Егер көлемді емес, пішінін өзгертетін ығысу деформацияларын елемейтін болсақ, онда деформациядан кейін қабырғалардың өлшемдері болады.
(Cурет 4) және оның көлемі тең болады
Салыстырмалы көлемнің өзгеруі
шағын деформациялар шегінде болады
ол бірінші инварианттың анықтамасымен сәйкес келеді. Көлемнің өзгеруі координаталар жүйесін таңдауға тәуелді емес физикалық шама екені анық.
Кернеу тензоры сияқты, деформация тензоры сфералық тензорға және девиаторға ыдырауы мүмкін. Бұл жағдайда девиатордың бірінші инварианты нөлге тең, яғни. девиатор дененің көлемін өзгертпей деформациясын сипаттайды.
