«Кардано формуласы: тарихы және қолданылуы» ғылыми жобасы. Кубтық теңдеулерді шешу Кардано теоремасы кубтық теңдеулерді шешу

МУНИЦИПАЛДЫҚ VII «ЖАСТАР: ШЫҒАРМАШЫЛЫҚ, ІЗДЕУ, ТАБЫС» СТУДЕНТТЕРДІҢ ҒЫЛЫМИ-ПРАКТИКАЛЫҚ КОНФЕРЕНЦИЯСЫ

Аннинск муниципалды ауданы

Воронеж облысы

Бөлім:МАТЕМАТИКА

Тақырыбы:«Кардано формуласы: тарихы және қолданылуы»

No3 МКОУ Аннинская орта мектебі, 9 «Б» сыныбы

Niccolò Fontana Tartaglia ( итал. NiccolòFontanaTartaglia , 1499-1557) - итальян математигі.

Жалпы, тарих формуланы алғаш рет Тарталья тауып, Карданоға дайын күйінде тапсырғанын айтады, бірақ Кардано формуланы жасауға Тартальяның қатысуын жоққа шығармаса да, бұл фактіні жоққа шығарды.

«Кардано формуласы» атауы оны нақты түсіндіріп, көпшілікке ұсынған ғалымның құрметіне формуланың артында берік жатыр.

1. Орта ғасырлардағы математикалық даулар.

Орта ғасырлардағы дау-дамайлар әрқашанда бос қала тұрғындарын, жас пен кәріні тарта отырып, қызықты көрініс көрсетті. Пікірталастардың тақырыптары әртүрлі болды, бірақ әрқашан ғылыми болды. Сонымен бірге, ғылым жеті гуманитарлық өнер деп аталатын тізімге енгізілген нәрсе деп түсінілді, бұл, әрине, теология болды. Теологиялық даулар ең жиі болды. Олар барлығын дауласып жатты. Мысалы, тышқанды киелі рухпен байланыстыру керек пе, егер ол қасиетті рәсімді жесе, Кумае Сибил Иса Мәсіхтің туылуын болжай алды ма, Құтқарушының бауырлары мен әпкелері неге канонизацияланбады және т.б.

Әйгілі математик пен одан кем емес атақты дәрігердің арасында болуы керек болған дау туралы тек жалпы болжамдар жасалды, өйткені ешкім ештеңе білмеді. Бірінің екіншісін алдағанын айтты (нақты кімге, кімге екені белгісіз). Алаңға жиналғандардың барлығы дерлік математикаға қатысты ең көмескі ойларға ие болды, бірақ бәрі дебаттың басталуын асыға күтті. Әрқашан қызық болды, жеңілген адамға оның дұрыс немесе бұрыстығына қарамастан күлуге болады.

Мэрия сағаты бесті көрсеткенде, қақпалар айқара ашылып, халық собордың ішіне ағылды. Құрбандық үстелінің кіреберісін қосатын орталық сызықтың екі жағында екі бүйірлік бағандардың жанында пікірсайысшыларға арналған екі биік мінбер орнатылды. Жиналғандар өздерінің шіркеуде екеніне мән бермей, қатты дауыстады. Ақырында, иконостазды орталық нефтің қалған бөлігінен бөліп тұрған темір тордың алдында қара-күлгін плащ киген қалалық айқайшы пайда болып, былай деп жариялады: «Милан қаласының атақты азаматтары! Енді сіздермен Брениядан келген атақты математик Никколо Тарталья сөйлейді. Оның қарсыласы математик және дәрігер Джеронимо Кардано болуы керек еді. Никколо Тарталья Карданоны соңғысы өзінің «Арсмагья» кітабында Тартальяға тиесілі 3-дәрежелі теңдеуді шешу әдісін жариялады деп айыптайды. Алайда Карданоның өзі дебатқа келе алмай, сол себепті шәкірті Луидж Феррариді жіберді. Сонымен, дебат ашық деп жарияланды, оған қатысушылар кафедраларға шақырылады». Кіреберістің сол жағындағы мінберге мұрынды, бұйра сақалды ыңғайсыз адам көтерілді, ал қарсы мінберге жиырмалардағы әдемі, өзіне сенімді жүзді жігіт көтерілді. Оның бүкіл жүріс-тұрысы оның әрбір ым-ишарасы мен әрбір сөзін қуанышпен қабылдайтынына толық сенімділікті көрсетті.

Тарталья бастады.

Қадірлі мырзалар! 13 жыл бұрын мен 3-дәрежелі теңдеуді шешудің жолын тауып, содан кейін осы әдісті қолдана отырып, Фиоримен дауды жеңгенімді білесіз. Менің әдісім сіздің жерлестеріңіз Карданоның назарын аударып, меннен сыр білу үшін бар қулық өнерін жұмсады. Ол алдаудан да, ашық жалғандықтан да тоқтаған жоқ. Сіз сондай-ақ 3 жыл бұрын Карданоның алгебра ережелері туралы кітабының Нюрнбергте басылып шыққанын білесіз, онда менің соншалықты ұятсыз ұрланған әдіс бәріне қол жетімді болды. Мен Кардано мен оның шәкіртін жарысқа шақырдым. Мен 31 есеп шығаруды ұсындым, дәл сондай санды қарсыластарым да ұсынды. Мәселелерді шешу мерзімі белгіленді – 15 күн. 7 күнде мен Кардано мен Феррари құрастырған есептердің көпшілігін шеше алдым. Мен оларды басып шығарып, Миланға курьермен жібердім. Алайда тапсырмаларыма жауап алғанша толық бес ай күтуге тура келді. Олар дұрыс емес шешілді. Бұл екеуін де қоғамдық пікірталасқа шақыруға негіз болды.

Тарталья үнсіз қалды. Жас жігіт байғұс Тартальяға қарап:

Қадірлі мырзалар! Менің лайықты қарсыласым сөзінің алғашқы сөзінде-ақ маған және менің ұстазыма соншалықты көп жала жабуға мүмкіндік берді; оның дәлелі негізсіз болғаны сонша, біріншісін жоққа шығару және сізге оның сәйкессіздігін көрсету маған қиынға соғады. екінші. Біріншіден, Никколо Тарталья өз әдісін екеумізге толығымен өз еркімен бөліссе, қандай алдау туралы айтуға болады? Ал, Джеронимо Кардано менің қарсыласымның алгебралық ережені ашудағы рөлі туралы осылай жазады. Оның айтуынша, ол емес, Кардано, «бірақ менің досым Тарталья соншалықты әдемі және таңғажайып нәрсені ашу құрметіне ие болды, ол адамның тапқырлығы мен адам рухының барлық таланттарынан асып түседі. Бұл жаңалық шын мәнінде аспан сыйы, оны ұғынған ақыл-ойдың құдіреттілігінің керемет дәлелі, ол үшін қол жетпес ештеңе деуге болмайды».

Қарсыласым мені және менің мұғалімімді оның мәселелеріне дұрыс емес шешім қабылдады деп айыптады. Бірақ теңдеудің түбірі қалай қате болуы мүмкін, егер оны теңдеуге ауыстырып, осы теңдеуде қарастырылған барлық әрекеттерді орындасақ, біз сәйкестікке келеміз? Ал егер сеньор Тарталья дәйекті болғысы келсе, оның сөзімен айтқанда, өз өнертабыстарын ұрлап, оны ұсынылған мәселелерді шешу үшін пайдаланған біз неге дұрыс емес шешім қабылдадық деген ескертуге жауап беруі керек еді. Біз – менің ұстазым екеуміз – Синьор Тартальяның өнертабысы онша маңызды емес деп санамаймыз. Бұл өнертабыс керемет. Оның үстіне көбіне соған сүйене отырып, мен 4-ші дәрежелі теңдеуді шешудің жолын таптым, Арсмагьяда бұл туралы мұғалімім айтады. Сеньор Тарталья бізден не қалайды? Ол даумен нені көздеп отыр?

Мырзалар, мырзалар, - деп айқайлады Тарталья, - мені тыңдауларыңызды сұраймын! Жас қарсыласымның логикасы мен шешендігі өте мықты екенін жоққа шығармаймын. Бірақ бұл шынайы математикалық дәлелді алмастыра алмайды. Кардано мен Феррариге берген тапсырмаларым дұрыс емес шешілді, бірақ мен оны да дәлелдеймін. Шынында да, мысалы, шешілгендердің ішінен теңдеуді алайық. Танымал...

Шіркеуде ойға келмейтін шу пайда болды, ол бақытсыз математик бастаған сөйлемнің соңын толығымен сіңірді. Оған жалғастыруға рұқсат етілмеді. Көпшілік оның аузын жабуын және Ферраридің кезекпен жүруін талап етті. Тарталья дауды жалғастырудың еш пайдасы жоқ екенін көріп, мінберден асығыс түсіп, солтүстік подъезден алаңға шықты. Жиналғандар даудың «жеңімпазы» Луиджи Феррариді құшақ жая қарсы алды.

Осылайша жаңа дауларды тудыратын бұл дау аяқталды. 3-дәрежелі теңдеуді шешу әдісі кімге тиесілі? Біз қазір сөйлесіп жатырмыз - Никколо Тартагли. Ол оны ашты, ал Кардано оны жаңалық ашуға алдап жіберді. Ал енді 3-ші дәрежелі теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы көрсететін формуланы Кардано формуласы десек, бұл тарихи әділетсіздік. Дегенмен, бұл әділетсіздік пе? Әр математиктің ашуға қатысу дәрежесін қалай есептеуге болады? Бәлкім, уақыт өте біреу бұл сұраққа нақты жауап бере алатын шығар, немесе бұл жұмбақ күйінде қалатын шығар...

1. Кардано формуласы

Заманауи математикалық тіл мен заманауи символизмді пайдалана отырып, Кардано формуласының туындысын келесі өте қарапайым ойларды пайдалана отырып табуға болады:

3-дәрежелі жалпы теңдеу берейік:

x 3 + балта 2 + bx + в = 0,

(1)

Қайдаa, b, c – ерікті нақты сандар.

(1) теңдеудегі айнымалыны ауыстырайық.X жаңа айнымалыға жформула бойынша:

x 3 +балта 2 +bx+c = (ж ) 3 + а(ж ) 2 + b(ж ) + c = y 3 3ж 2 + 3ж+ а(ж 2 2ж+ арқылы = y 3 ж 3 + (б

онда (1) теңдеу пішінді аладыж 3 + ( б

Белгілеуді енгізсекб = б, q = ,

онда теңдеу пішінді аладыж 3 + py + q = 0.

Бұл әйгілі Кардано формуласы.

Кубтық теңдеудің түбіріж 3 + py + q = 0 дискриминантқа байланысты

D=

ЕгерD> 0, содан кейінтекше көпмүшенің үш түрлі нақты түбірі болады.

ЕгерD< 0, то текше көпмүшенің бір нақты түбірі және екі күрделі түбірі бар (олар күрделі конъюгат).

ЕгерD = 0, оның еселік түбірі бар (немесе 2-көптіктің бір түбірі және 1-көптіктің бір түбірі, екеуі де нақты; немесе 3-көптіктің бір нақты түбірі).

2.4. Кубтық теңдеулерді шешудің әмбебап әдістерінің мысалдары

Кардан формуласын нақты теңдеулерді шешуге қолдануға тырысайық.

1-мысал: x 3 +15 x+124 = 0

Мұндаб = 15; q = 124.

Жауап:X

Кардано формуласы

Мостовой

Одесса

Орта ғасырлардағы дау-дамайлар әрқашанда бос қала тұрғындарын, жас пен кәріні тарта отырып, қызықты көрініс көрсетті. Пікірталастардың тақырыптары әртүрлі болды, бірақ әрқашан ғылыми болды. Сонымен бірге, ғылым жеті гуманитарлық өнер деп аталатын тізімге енгізілген нәрсе деп түсінілді, бұл, әрине, теология болды. Теологиялық даулар ең жиі болды. Олар барлығын дауласып жатты. Мысалы, тышқанды киелі рухпен байланыстыру керек пе, егер ол қасиетті рәсімді жесе, Кумае Сибил Иса Мәсіхтің туылуын болжай алды ма, Құтқарушының бауырлары мен әпкелері неге канонизацияланбады және т.б.

Әйгілі математик пен одан кем емес атақты дәрігердің арасында болуы керек болған дау туралы тек жалпы болжамдар жасалды, өйткені ешкім ештеңе білмеді. Бірінің екіншісін алдағанын айтты (нақты кімге, кімге екені белгісіз). Алаңға жиналғандардың барлығы дерлік математикаға қатысты ең көмескі ойларға ие болды, бірақ бәрі дебаттың басталуын асыға күтті. Әрқашан қызық болды, жеңілген адамға оның дұрыс немесе бұрыстығына қарамастан күлуге болады.

Мэрия сағаты бесті көрсеткенде, қақпалар айқара ашылып, халық собордың ішіне ағылды. Құрбандық үстелінің кіреберісін қосатын орталық сызықтың екі жағында екі бүйірлік бағандардың жанында пікірсайысшыларға арналған екі биік мінбер орнатылды. Жиналғандар өздерінің шіркеуде екеніне мән бермей, қатты дауыстады. Ақырында, иконостазды орталық нефтің қалған бөлігінен бөліп тұрған темір тордың алдында қара-күлгін плащ киген қалалық айқайшы пайда болып, былай деп жариялады: «Милан қаласының атақты азаматтары! Енді сіздермен Брениядан келген атақты математик Никколо Тарталья сөйлейді. Оның қарсыласы математик және дәрігер Джеронимо Кардано болуы керек еді. Никколо Тарталья Карданоны өзінің «Арс магна» кітабында 3-дәрежелі теңдеуді шешу әдісін соңғы рет жариялады деп айыптайды, оған Тарталья тиесілі. Алайда Карданоның өзі дебатқа келе алмай, сол себепті шәкірті Луидж Феррариді жіберді. Сонымен, дебат ашық деп жарияланды, оған қатысушылар кафедраларға шақырылады». Кіреберістің сол жағындағы мінберге мұрынды, бұйра сақалды ыңғайсыз адам шықты, ал қарсы мінберге жиырмалардағы әдемі, өзіне сенімді жүзді жігіт шықты. Оның бүкіл жүріс-тұрысы оның әрбір ым-ишарасы мен әрбір сөзін қуанышпен қабылдайтынына толық сенімділікті көрсетті.

Тарталья бастады.

Қадірлі мырзалар! 13 жыл бұрын мен 3-дәрежелі теңдеуді шешудің жолын тауып, содан кейін осы әдісті қолдана отырып, Фиоримен дауды жеңгенімді білесіз. Менің әдісім сіздің жерлестеріңіз Карданоның назарын аударып, меннен сыр білу үшін бар қулық өнерін жұмсады. Ол алдаудан да, ашық жалғандықтан да тоқтаған жоқ. Сіз сондай-ақ 3 жыл бұрын Карданоның алгебра ережелері туралы кітабының Нюрнбергте басылып шыққанын білесіз, онда менің соншалықты ұятсыз ұрланған әдіс бәріне қол жетімді болды. Мен Кардано мен оның шәкіртін жарысқа шақырдым. Мен 31 есеп шығаруды ұсындым, дәл сондай санды қарсыластарым да ұсынды. Мәселелерді шешу мерзімі белгіленді – 15 күн. 7 күнде мен Кардано мен Феррари құрастырған есептердің көпшілігін шеше алдым. Мен оларды басып шығарып, Миланға курьермен жібердім. Алайда тапсырмаларыма жауап алғанша толық бес ай күтуге тура келді. Олар дұрыс емес шешілді. Бұл екеуін де қоғамдық пікірталасқа шақыруға негіз болды.

Тарталья үнсіз қалды. Жас жігіт байғұс Тартальяға қарап:

Қадірлі мырзалар! Менің лайықты қарсыласым сөзінің алғашқы сөзінде-ақ маған және менің ұстазыма соншалықты көп жала жабуға мүмкіндік берді; оның дәлелі негізсіз болғаны сонша, біріншісін жоққа шығару және сізге оның сәйкессіздігін көрсету маған қиынға соғады. екінші. Біріншіден, Никколо Тарталья өз әдісін екеумізге толығымен өз еркімен бөліссе, қандай алдау туралы айтуға болады? Ал, Джеронимо Кардано менің қарсыласымның алгебралық ережені ашудағы рөлі туралы осылай жазады. Оның айтуынша, ол емес, Кардано, «бірақ менің досым Тарталья соншалықты әдемі және таңғажайып нәрсені ашу құрметіне ие болды, ол адамның тапқырлығы мен адам рухының барлық таланттарынан асып түседі. Бұл жаңалық шын мәнінде аспан сыйы, оны ұғынған ақыл қуатының керемет дәлелі, ол үшін қол жетпес ешнәрсе жоқ деп санауға болмайды».

Қарсыласым мені және менің мұғалімімді оның мәселелеріне дұрыс емес шешім қабылдады деп айыптады. Бірақ теңдеудің түбірі қалай қате болуы мүмкін, егер оны теңдеуге ауыстырып, осы теңдеуде қарастырылған барлық әрекеттерді орындасақ, біз сәйкестікке келеміз? Ал егер сеньор Тарталья дәйекті болғысы келсе, онда ол біз ұрлаған, бірақ оның сөзімен айтқанда, оның өнертабысы және оны ұсынылған мәселелерді шешу үшін пайдаланған, неге дұрыс емес шешім қабылдадық деген ескертуге жауап беруі керек еді. Біз - менің мұғалімім және мен - Синьор Тартальяның өнертабысы маңызды емес деп санамаймыз. Бұл өнертабыс керемет. Оның үстіне, көбіне соған сүйене отырып, мен 4-ші дәрежелі теңдеуді шешудің жолын таптым, ал Арс-Магнада мұғалімім бұл туралы айтады. Сеньор Тарталья бізден не қалайды? Ол даумен нені көздеп отыр?

Мырзалар, мырзалар, - деп айқайлады Тарталья, - мені тыңдауларыңызды сұраймын! Жас қарсыласымның логикасы мен шешендігі өте мықты екенін жоққа шығармаймын. Бірақ бұл шынайы математикалық дәлелді алмастыра алмайды. Кардано мен Феррариге берген тапсырмаларым дұрыс шешілмеді, бірақ мен мұны да дәлелдеймін. Шынында да, мысалы, шешілгендердің ішінен теңдеуді алайық. Танымал...

Шіркеуде ойға келмейтін шу пайда болды, ол бақытсыз математик бастаған сөйлемнің соңын толығымен сіңірді. Оған жалғастыруға рұқсат етілмеді. Көпшілік оның аузын жабуын және Ферраридің кезекпен жүруін талап етті. Тарталья дауды жалғастырудың еш пайдасы жоқ екенін көріп, мінберден асығыс түсіп, солтүстік подъезден алаңға шықты. Жиналғандар даудың «жеңімпазы» Луиджи Феррариді құшақ жая қарсы алды.

...Жаңа дау-дамайларды тудыратын бұл даудың соңы осылай аяқталды. 3-дәрежелі теңдеуді шешу әдісі кімге тиесілі? Біз қазір сөйлесіп жатырмыз - Никколо Тартагли. Ол оны ашты, ал Кардано оны жаңалық ашуға алдап жіберді. Ал енді 3-ші дәрежелі теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы көрсететін формуланы Кардано формуласы десек, бұл тарихи әділетсіздік. Дегенмен, бұл әділетсіздік пе? Әр математиктің ашуға қатысу дәрежесін қалай есептеуге болады? Бәлкім, уақыт өте біреу бұл сұраққа нақты жауап бере алатын шығар, немесе бұл жұмбақ күйінде қалатын шығар...

Кардано формуласы

Заманауи математикалық тіл мен заманауи символизмді пайдалана отырып, Кардано формуласының туындысын келесі өте қарапайым ойларды пайдалана отырып табуға болады:

3-дәрежелі жалпы теңдеу берейік:

балта 3 +3бх 2 +3cx+d=0 (1)

қойсаңыз

, онда теңдеуді береміз (1) ойға

(2) , .

Жаңа белгісізді енгізейік Утеңдікті пайдаланады

.

Осы өрнекті енгізу арқылы (2) , Біз алып жатырмыз

(3) ,

демек

Екінші мүшенің алымы мен бөлімі өрнекке көбейтілсе

үшін алынған өрнекті ескеріңіз u«+» және «-» белгілеріне қатысты симметриялы болып шығады, содан кейін біз ең соңында аламыз.

(Соңғы теңдіктегі текше радикалдардың көбейтіндісі тең болуы керек б).

Бұл әйгілі Кардано формуласы. Егер сіз одан кетсеңіз ждегенге оралу x,онда 3-ші дәрежелі жалпы теңдеудің түбірін анықтайтын формуланы аламыз.

Тартальяға аяусыз қараған жас жігіт математиканы қарапайым құпияның құқықтарын түсінгендей оңай түсінді. Феррари 4-дәрежелі теңдеуді шешудің жолын табады. Кардано бұл әдісті өз кітабына енгізді. Бұл қандай әдіс?

(1)

– 4-дәрежелі жалпы теңдеу.(2)

Қайда p,q,r– байланысты кейбір коэффициенттер a,b,c,d,e. Бұл теңдеуді келесідей жазуға болатынын көру оңай:

(3)

Шындығында, жақшаларды ашу жеткілікті, содан кейін барлық терминдер бар т, күшін жояды және біз теңдеуге ораламыз (2) .

Параметрді таңдайық ттеңдеудің оң жағы болатындай (3) қатысты тамаша шаршы болды ж. Белгілі болғандай, бұл үшін қажетті және жеткілікті шарт үшмүшелік коэффициенттерінің дискриминантының жойылуы болып табылады (қатысты ж) оң жақта тұру.

Дау

Кардано формуласы

Орта ғасырлардағы дау-дамайлар әрқашанда бос қала тұрғындарын, жас пен кәріні тарта отырып, қызықты көрініс көрсетті. Пікірталастардың тақырыптары әртүрлі болды, бірақ әрқашан ғылыми болды. Сонымен бірге, ғылым жеті гуманитарлық өнер деп аталатын тізімге енгізілген нәрсе деп түсінілді, бұл, әрине, теология болды. Теологиялық даулар ең жиі болды. Олар барлығын дауласып жатты. Мысалы, тышқанды киелі рухпен байланыстыру керек пе, егер ол қасиетті рәсімді жесе, Кумае Сибил Иса Мәсіхтің туылуын болжай алды ма, Құтқарушының бауырлары мен әпкелері неге канонизацияланбады және т.б.
Әйгілі математик пен одан кем емес атақты дәрігердің арасында болуы керек болған дау туралы тек жалпы болжамдар жасалды, өйткені ешкім ештеңе білмеді. Бірінің екіншісін алдағанын айтты (нақты кімге, кімге екені белгісіз). Алаңға жиналғандардың барлығы дерлік математикаға қатысты ең көмескі ойларға ие болды, бірақ бәрі дебаттың басталуын асыға күтті. Әрқашан қызық болды, жеңілген адамға оның дұрыс немесе бұрыстығына қарамастан күлуге болады.
Мэрия сағаты бесті көрсеткенде, қақпалар айқара ашылып, халық собордың ішіне ағылды. Құрбандық үстелінің кіреберісін қосатын орталық сызықтың екі жағында екі бүйірлік бағандардың жанында пікірсайысшыларға арналған екі биік мінбер орнатылды. Жиналғандар өздерінің шіркеуде екеніне мән бермей, қатты дауыстады. Ақырында, иконостазды орталық нефтің қалған бөлігінен бөліп тұрған темір тордың алдында қара-күлгін плащ киген қалалық айқайшы пайда болып, былай деп жариялады: «Милан қаласының атақты азаматтары! Енді сіздермен Брениядан келген атақты математик Никколо Тарталья сөйлейді. Оның қарсыласы математик және дәрігер Джеронимо Кардано болуы керек еді. Никколо Тарталья Карданоны өзінің «Арс магна» кітабында өзіне тиесілі Тартальяға тиесілі үшінші дәрежелі теңдеуді шешу әдісін соңғы жариялаған деп айыптайды. Алайда Карданоның өзі дебатқа келе алмай, сол себепті шәкірті Луидж Феррариді жіберді. Сонымен, дебат ашық деп жарияланды, оған қатысушылар кафедраларға шақырылады». Кіреберістің сол жағындағы мінберге мұрынды, бұйра сақалды ыңғайсыз адам көтерілді, ал қарсы мінберге жиырмалардағы әдемі, өзіне сенімді жүзді жігіт көтерілді. Оның бүкіл жүріс-тұрысы оның әрбір ым-ишарасы мен әрбір сөзін қуанышпен қабылдайтынына толық сенімділікті көрсетті.
Тарталья бастады.

• Қадірлі мырзалар! 13 жыл бұрын мен 3-дәрежелі теңдеуді шешудің жолын тауып, содан кейін осы әдісті қолдана отырып, Фиоримен дауды жеңгенімді білесіз. Менің әдісім сіздің жерлестеріңіз Карданоның назарын аударып, меннен сыр білу үшін бар қулық өнерін жұмсады. Ол алдаудан да, ашық жалғандықтан да тоқтаған жоқ. Сіз сондай-ақ 3 жыл бұрын Карданоның алгебра ережелері туралы кітабының Нюрнбергте басылып шыққанын білесіз, онда менің соншалықты ұятсыз ұрланған әдіс бәріне қол жетімді болды. Мен Кардано мен оның шәкіртін жарысқа шақырдым. Мен 31 есеп шығаруды ұсындым, дәл сондай санды қарсыластарым да ұсынды. Мәселелерді шешу мерзімі белгіленді – 15 күн. 7 күнде мен Кардано мен Феррари құрастырған есептердің көпшілігін шеше алдым. Мен оларды басып шығарып, Миланға курьермен жібердім. Алайда тапсырмаларыма жауап алғанша толық бес ай күтуге тура келді. Олар дұрыс емес шешілді. Бұл екеуін де қоғамдық пікірталасқа шақыруға негіз болды.

Тарталья үнсіз қалды. Жас жігіт байғұс Тартальяға қарап:

• Қадірлі мырзалар! Менің лайықты қарсыласым сөзінің алғашқы сөзінде-ақ маған және менің ұстазыма соншалықты көп жала жабуға мүмкіндік берді; оның дәлелі негізсіз болғаны сонша, біріншісін жоққа шығару және сізге оның сәйкессіздігін көрсету маған қиынға соғады. екінші. Біріншіден, Никколо Тарталья өз әдісін екеумізге толығымен өз еркімен бөліссе, қандай алдау туралы айтуға болады? Ал, Джеронимо Кардано менің қарсыласымның алгебралық ережені ашудағы рөлі туралы осылай жазады. Оның айтуынша, ол емес, Кардано, «бірақ менің досым Тарталья соншалықты әдемі және таңғажайып нәрсені ашу құрметіне ие болды, ол адамның тапқырлығы мен адам рухының барлық таланттарынан асып түседі. Бұл жаңалық шын мәнінде аспан сыйы, оны түсінген ақыл-ойдың құдіреттілігінің керемет дәлелі, ол үшін қол жетпес ештеңе деуге болмайды».
• Қарсыласым мені және менің мұғалімімді оның мәселелеріне дұрыс емес шешім қабылдады деп айыптады. Бірақ теңдеудің түбірі қалай қате болуы мүмкін, егер оны теңдеуге ауыстырып, осы теңдеуде қарастырылған барлық әрекеттерді орындасақ, біз сәйкестікке келеміз? Ал егер сеньор Тарталья дәйекті болғысы келсе, онда ол біз ұрлаған, бірақ оның сөзімен айтқанда, оның өнертабысы және оны ұсынылған мәселелерді шешу үшін пайдаланған, неге дұрыс емес шешім қабылдадық деген ескертуге жауап беруі керек еді. Біз – менің ұстазым екеуміз – Синьор Тартальяның өнертабысы онша маңызды емес деп санамаймыз. Бұл өнертабыс керемет. Оның үстіне, көбіне соған сүйене отырып, мен 4-ші дәрежелі теңдеуді шешудің жолын таптым, ал Арс-Магнада мұғалімім бұл туралы айтады. Сеньор Тарталья бізден не қалайды? Ол даумен нені көздеп отыр?
• Мырзалар, мырзалар, - деп айқайлады Тарталья, - мені тыңдауларыңызды сұраймын! Жас қарсыласымның логикасы мен шешендігі өте мықты екенін жоққа шығармаймын. Бірақ бұл шынайы математикалық дәлелді алмастыра алмайды. Кардано мен Феррариге берген тапсырмаларым дұрыс шешілмеді, бірақ мен мұны да дәлелдеймін. Шынында да, мысалы, шешілгендердің ішінен теңдеуді алайық. Танымал...

Шіркеуде ойға келмейтін шу пайда болды, ол бақытсыз математик бастаған сөйлемнің соңын толығымен сіңірді. Оған жалғастыруға рұқсат етілмеді. Көпшілік оның аузын жабуын және Ферраридің кезекпен жүруін талап етті. Тарталья дауды жалғастырудың еш пайдасы жоқ екенін көріп, мінберден асығыс түсіп, солтүстік подъезден алаңға шықты. Жиналғандар даудың «жеңімпазы» Луиджи Феррариді құшақ жая қарсы алды.
Осылайша жаңа дауларды тудыратын бұл дау аяқталды. 3-дәрежелі теңдеуді шешу әдісі кімге тиесілі? Біз қазір сөйлесіп жатырмыз - Никколо Тартагли. Ол оны ашты, ал Кардано оны жаңалық ашуға алдап жіберді. Ал енді 3-ші дәрежелі теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы көрсететін формуланы Кардано формуласы десек, бұл тарихи әділетсіздік. Дегенмен, бұл әділетсіздік пе? Әр математиктің ашуға қатысу дәрежесін қалай есептеуге болады? Бәлкім, уақыт өте біреу бұл сұраққа нақты жауап бере алатын шығар, немесе бұл жұмбақ күйінде қалатын шығар...

Кардано формуласы

Заманауи математикалық тіл мен заманауи символизмді пайдалана отырып, Кардано формуласының туындысын келесі өте қарапайым ойларды пайдалана отырып табуға болады:
3-дәрежелі жалпы теңдеу берейік:

қойсақ, (1) теңдеуді түрге келтіреміз

, (2)

Қайда, .
Теңдік арқылы жаңа белгісізді енгізейік .
Бұл өрнекті (2) тармағына енгізіп, аламыз

. (3)

Осы жерден
,

демек,
.

Екінші мүшенің алымы мен бөлімі өрнекке көбейтілсе және нәтижелі өрнек «» және «» белгілеріне қатысты симметриялы болатынын ескерсек, онда біз ақырында аламыз

.

(Соңғы теңдіктегі текше радикалдардың көбейтіндісі -ге тең болуы керек).
Бұл әйгілі Кардано формуласы. Қайтадан -ға өтсек, 3-ші дәрежелі жалпы теңдеудің түбірін анықтайтын формуланы аламыз.
Тартальяға аяусыз қараған жас жігіт математиканы қарапайым құпияның құқықтарын түсінгендей оңай түсінді. Феррари 4-дәрежелі теңдеуді шешудің жолын табады. Кардано бұл әдісті өз кітабына енгізді. Бұл қандай әдіс?
Болсын
- (1)

4-дәрежелі жалпы теңдеу.
Егер орнатсақ, онда (1) теңдеуді түрге келтіруге болады

, (2)

мұндағы , , , , , , -ға тәуелді кейбір коэффициенттер. Бұл теңдеуді келесідей жазуға болатынын көру оңай:

. (3)

Шындығында, жақшаларды ашу жеткілікті, содан кейін құрамындағы барлық терминдер бірін-бірі жоққа шығарады және біз (2) теңдеуіне ораламыз.
(3) теңдеудің оң жағы -ға қатысты толық квадрат болатындай параметр таңдайық. Белгілі болғандай, бұл үшін қажетті және жеткілікті шарт оң жақтағы үшмүшелік коэффициенттерінің дискриминантының жойылуы (-ға қатысты):
. (4)

Біз толық текше теңдеуді алдық, оны қазір шеше аламыз. Оның кез келген түбірін тауып, (3) теңдеуіне енгізейік, енді ол пішінді алады

.

Осы жерден
.

Бұл квадрат теңдеу. Оны шешу арқылы (2) теңдеудің түбірін табуға болады, демек, (1).
Өлімінен 4 ай бұрын Кардано өмірбаянын аяқтады, ол өткен жыл бойы қарқынды жазған және оның қиын өмірін қорытындылауы керек еді. Ол өлімнің жақындап келе жатқанын сезді. Кейбір мәліметтерге сәйкес, оның жеке жұлдыз жорамалы оның өлімін 75 жасқа толуымен байланыстырды. Мерейтойға 2 күн қалғанда 1576 жылы 21 қыркүйекте қайтыс болды. Ол жақын арада өлімді күтіп немесе тіпті жұлдыз жорамалын растау үшін өз-өзіне қол жұмсады деген нұсқа бар. Қалай болғанда да астролог Кардано жұлдыз жорамалын байыппен қабылдады.

Кардано формуласы туралы ескерту

Теңдеуді шешу формуласын талдап көрейік нақты аймақта. Сонымен,
.

Кубтық теңдеутүрінің теңдеуі деп аталады

• ax 3 + bx 2 + cx +d = 0, (1)
• мұндағы a, b,c,d - тұрақты коэффициенттер, ал х - айнымалы.

Біз коэффициенттер нақты сандар болған жағдайды қарастырамыз.

Кубтық теңдеудің түбірлері. Кубтық теңдеудің түбірін (шешуін) табу.

х саны деп аталады куб теңдеуінің түбірі(1), егер оны ауыстырған кезде (1) теңдеу шын теңдікке айналады.

Текше теңдеудің ең көбі үш түбірі болады (күрделі өрісте көптікті ескере отырып, әрқашан үш түбір болады). Және әрқашан кем дегенде 1 болады (шынайы)тамыр. Түбір құрамының барлық ықтимал жағдайларын белгі арқылы оңай анықтауға болады куб теңдеуінің дискриминанты , яғни:

Δ= -4 б 3 d + б 2 в 2 - 4ак 3 + 18а б С Д - 27а 2 d 2 (Иә, бұл текше теңдеудің дискриминанты)

Осылайша, келесі 3 жағдай ғана мүмкін:

• Δ > 0 - онда теңдеудің 3 түрлі түбірі болады. (Жетілдірілгендер үшін - үш түрлі нақты түбір)
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 нақты және жұп күрделі конъюгаттық түбір)
• Δ = 0 – теңдеудің кем дегенде 2 түбірі сәйкес келеді. Анау. біз не сәйкес келетін 2 түбірі бар теңдеумен және олардан басқа 1 түбірмен немесе сәйкес келетін 3 түбірі бар теңдеумен айналысамыз. (Кез келген жағдайда, барлық түбірлер нақты. Ал теңдеудің 3 сәйкес түбірі болады, егер оның және оның екінші туындысы нөлге тең болса ғана)

Кубтық теңдеулерді шешуге арналған Кардано формуласы (түбірлерін табу).

Бұл текше теңдеудің канондық түрінің түбірлерін табуға арналған формула. (Күрделі сандар өрісінің үстінде).

Канондық пішінтекше теңдеу – түрдегі теңдеу

ж 3 + py + q = 0 (2)

(1) түрінің кез келген текше теңдеуін келесі ауыстыру арқылы осы түрге келтіруге болады:

Сонымен, түбірлерді есептеуді бастайық. Мына шамаларды табайық:

Бұл жағдайда (2) теңдеудің дискриминанты тең

Бастапқы (1) теңдеуінің дискриминанты жоғарыдағы дискриминант сияқты таңбаға ие болады. (2) теңдеудің түбірлері келесі түрде өрнектеледі:

Сәйкесінше, егер Q>0 болса, онда (2) және (1) теңдеулерде тек 1 болады (шынайы)түбір, y 1 . Оны (3) орнына қойып, (1) теңдеуіне х-ті табайық. (егер сізді ойдан шығарылған түбірлер де қызықтырса, y 2 , y 3 сандарын есептеп, оларды (3) орнына қойыңыз..

Егер Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Егер Q =0 болса, онда (1) және (2) теңдеулердің барлық түбірлері нақты болады және әрбір теңдеудің кемінде 2 түбірі сәйкес келеді. Бұл жағдайда бізде бар

• α = β, және
• y 1 =2α,
• y 2 = y 3 = - α.

Сол сияқты (3) орнына қойып, жауабын аламыз.

Кубтық теңдеулерді шешуге арналған Виетаның тригонометриялық формуласы (түбірлерін табу).

Бұл формула шешімдерді табады келтірілген текше теңдеуі, яғни түрдегі теңдеулер

x 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Әлбетте, (1) түріндегі кез келген теңдеуді а коэффициентіне бөлу арқылы (4) түрге келтіруге болады.

Сонымен, бұл формуланы қолдану алгоритмі:

1. Есептеңіз

2. Есептеңіз

3. а) S>0 болса, онда есептеңіз

φ=(arccos(R/Q 3/2))/3

Ал біздің теңдеуіміздің 3 түбірі бар (шынайы):

б) Егер С<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Біз есептейміз

φ=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3

Сонда жалғыз тамыр (шынайы): x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3

Сондай-ақ ойдан шығарылған тамырларға қызығушылық танытатындар үшін:

• x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
• x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

ҚАЙДА:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• sh(x)=(e x -e -x)/2
• sgn(x) - х белгісі

в) S=0 болса, теңдеудің үш түрлі шешімінен кем болады:

Қосынды текше формуласын қайта қарастырайық, бірақ оны басқаша жазыңыз:

Бұл жазбаны (13) теңдеумен салыстырыңыз және олардың арасында байланыс орнатуға тырысыңыз. Тіпті, бұл оңай емес. Алфавиттік символизмді білмей текше теңдеуді шешкен Қайта өрлеу дәуірінің математиктеріне құрмет көрсетуіміз керек. Формуламызға ауыстырайық:

Енді түсінікті: (13) теңдеудің түбірін табу үшін теңдеулер жүйесін шешу жеткілікті.

немесе

және сома ретінде және . ауыстыру арқылы бұл жүйе өте қарапайым пішінге қысқарады:

Сонда сіз әртүрлі тәсілдермен әрекет ете аласыз, бірақ барлық «жолдар» бірдей квадрат теңдеуге әкеледі. Мысалы, Виетаның теоремасы бойынша келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы минус таңбасы бар коэффициентке, ал көбейтіндісі бос мүшеге тең. Бұдан шығады және теңдеудің түбірлері болып табылады

Мына түбірлерді жазайық:

және айнымалылары және текше түбірлеріне тең, ал кубтық теңдеудің (13) қажетті шешімі осы түбірлердің қосындысы болады:

.

Бұл формула ретінде белгілі Кардано формуласы.

Тригонометриялық шешім

ауыстыру арқылы ол «толық емес» түрге қысқарады

, , . (14)

(14) «толық емес» текше теңдеудің , , түбірлері тең

, ,

, ,

.

«Толық емес» текше теңдеу (14) жарамды болсын.

а) Егер («төмендетілмейтін» жағдай), онда

,

,

.

ә) , болса, онда

, .

(c) Егер , болса, онда

, ,

, .

Барлық жағдайларда текше түбірінің нақты мәні алынады.

Биквадрат теңдеу

Төртінші дәрежелі алгебралық теңдеу.

мұндағы a, b, c - кейбір нақты сандар, деп аталады биквадрат теңдеу. Ауыстыру арқылы теңдеу квадрат теңдеуге келтіріледі содан кейін екі биномдық теңдеуді шешу және (және сәйкес квадрат теңдеудің түбірлері).

Егер және болса, онда биквадрат теңдеудің төрт нақты түбірі болады:

Егер, ), онда биквадрат теңдеудің екі нақты түбірі және жорамал түбірлері болады:

.

Егер және болса, онда биквадрат теңдеудің төрт таза ойдан шығарылған жұптық конъюгаттық түбірі болады:

, .

Төртінші дәрежелі теңдеулер

Төртінші дәрежелі теңдеулерді шешу әдісі 16 ғасырда табылды. Людовико Феррари, Джероламо Карданоның шәкірті. Бұл әдіс деп аталады. Ferrari.

Төртінші дәрежелі теңдеудегі текше және квадрат теңдеулерді шешудегі сияқты

ауыстыру арқылы терминнен құтылуға болады. Сондықтан белгісіз текшенің коэффициенті нөлге тең деп есептейміз:

Феррари идеясы теңдеуді формада көрсету болды, мұнда сол жағы өрнектің квадраты, ал оң жағы - коэффициенттері тәуелді болатын сызықтық теңдеудің квадраты. Осыдан кейін екі квадрат теңдеуді шешу қалады: және . Әрине, мұндай ұсыну параметрді арнайы таңдау арқылы ғана мүмкін болады. Оны түрінде қабылдау ыңғайлы, содан кейін теңдеу келесі түрде қайта жазылады:

Бұл теңдеудің оң жағы - -ның квадрат үшмүшесі. Оның дискриминанты нөлге тең болғанда, ол толық квадрат болады, яғни.

, немесе

Бұл теңдеу деп аталады шешуші (яғни, «рұқсат етуші»). Бұл салыстырмалы түрде текше және Кардано формуласы оның кейбір тамырларын табуға мүмкіндік береді. (15) теңдеудің оң жағы пішінді алғанда

,

және теңдеудің өзі екі квадратқа келтірілген:

.

Олардың түбірлері бастапқы теңдеудің барлық шешімдерін береді.

Мысалы, теңдеуді шешейік

Мұнда дайын формулаларды емес, шешімнің идеясын пайдалану ыңғайлы болады. Теңдеуді формада қайта жазайық

және сол жағында толық квадрат пайда болатындай етіп екі жағына өрнекті қосыңыз:

Енді теңдеудің оң жақ бөлігінің дискриминантын нөлге теңестірейік:

немесе жеңілдетілгеннен кейін,

Алынған теңдеудің бір түбірін еркін мүшенің бөлгіштерін сұрыптау арқылы табуға болады: . Осы мәнді ауыстырғаннан кейін теңдеуді аламыз

қайда. Алынған квадрат теңдеулердің түбірлері Және . Әрине, жалпы жағдайда күрделі түбірлерді де алуға болады.