Медианалардың түрлері. Үшбұрыштың медианасы. Үшбұрыштың медианаларына қатысты теоремалар. Медианаларды табу формулалары. Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Үшбұрыштың медианасы биіктігі сияқты бүкіл үшбұрышты, оның қабырғалары мен бұрыштарының мәнін анықтайтын графикалық параметр қызметін атқарады. Үш мән: медианалар, биіктіктер және биссектрисалар - бұл өнімдегі штрих-код сияқты, біздің міндетіміз оны санай білу.

Анықтама

Медиана - қарама-қарсы жақтың биіктігі мен ортасын қосатын кесінді. Үшбұрыштың үш төбесі бар, яғни үш медиана бар. Медиандар әрқашан биіктіктермен немесе биссектрисалармен сәйкес келе бермейді. Көбінесе бұл бөлек сегменттер.

Медианалардың қасиеттері

• Тең қабырғалы үшбұрыштың табанына түсірілген медианасы биіктік пен биссектрисаға сәйкес келеді. Тең бүйірлі үшбұрышта барлық медианалар биссектрисалармен және биіктіктермен сәйкес келеді.
• Үшбұрыштың барлық медианалары бір нүктеде қиылысады.
• Медиана үшбұрышты ауданы бірдей екі үшбұрышқа, ал үш медиана үшбұрышты ауданы бірдей 6 үшбұрышқа бөледі.

Аудандары тең үшбұрыштар тең аудан деп аталады.

Күріш. 1. Үш медиана тең 6 үшбұрыш құрайды.

• Медианалардың қиылысу нүктесі оларды төбесінен есептегенде 2:1 қатынасында бөледі.
• Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына түсірілген медиана гипотенузаның жартысына тең.

Тапсырмалар

Бұл қасиеттердің барлығын есте сақтау оңай, олар іс жүзінде оңай бекітіледі. Тақырыпты жақсырақ түсіну үшін бірнеше мәселені шешейік:

• Тікбұрышты үшбұрышта a=3 және b=4-ке тең белгілі катеттері бар. Гипотенузаға c түсірілген m медианасының мәнін табыңыз.

Күріш. 2. Есептің суреті.

Медиананың мәнін табу үшін гипотенузаны табу керек, өйткені гипотенузаға түсірілген медиана оның жартысына тең. Пифагор теоремасы арқылы гипотенуза: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Медиананың мәнін табайық: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2,5$$ - алынған сан медиананың мәні.

Үшбұрыштың медианалары тең емес. Сондықтан дәл қандай құндылықты табу керектігін елестету қажет.

• Үшбұрыштың қабырғаларының мәндері белгілі: a=7; b=8; c=9. b жағына түсірілген медиананың мәнін табыңыз.

Күріш. 3. Есептің суреті.

Бұл мәселені шешу үшін үшбұрыштың қабырғалары бойынша медиананы табу үшін үш формуланың бірін пайдалану керек:

$$m^2 =(1\2 астам)*(a^2+c^2-b^2)$$

Көріп отырғаныңыздай, мұнда ең бастысы - жақшалардың коэффициенті мен жақтардың белгілерін есте сақтау. Белгілерді есте сақтау оңай - медиана төмендетілген жағы әрқашан алынып тасталады. Біздің жағдайда бұл b, бірақ ол кез келген басқа болуы мүмкін.

Мәндерді формулаға ауыстырып, медиандық мәнді табайық: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - нәтижені түбір ретінде қалдырайық.

• Тең қабырғалы үшбұрышта табанға түсірілген медиана 8-ге, ал табанының өзі 6-ға тең. Қалған екеуімен бірге бұл медиана үшбұрышты 6 үшбұрышқа бөледі. Олардың әрқайсысының ауданын табыңыз.

Медиандар үшбұрышты алты бірдей ауданға бөледі. Бұл кіші үшбұрыштардың аудандары бір-біріне тең болады дегенді білдіреді. Үлкенінің ауданын тауып, оны 6-ға бөлу жеткілікті.

Табанға түсірілген медиана берілген болса, тең қабырғалы үшбұрышта ол биссектриса және биіктік болады. Бұл үшбұрыштың табаны мен биіктігі белгілі дегенді білдіреді. Сіз аумақты таба аласыз.

$$S=(1\2 астам)*6*8=24$$

Кішкентай үшбұрыштардың әрқайсысының ауданы: $$(24\6)=4$$

Біз не үйрендік?

Біз медиананың не екенін білдік. Медиананың қасиеттерін анықтадық және типтік есептердің шешімдерін таптық. Біз негізгі қателер туралы әңгімелестік және үшбұрыштың қабырғалары арқылы медиананы табу формуласын қалай тез және оңай есте сақтау керектігін түсіндік.

Тақырып бойынша тест

Мақаланың рейтингі

Орташа рейтинг: 4.7. Алынған жалпы рейтингтер: 75.

Аккордтардың қасиеттері

1. Хордаға перпендикуляр диаметр (радиус) осы хорданы және оған енетін екі доғаны екіге бөледі. Керісінше теорема да дұрыс: егер диаметр (радиус) хорданы екіге бөлсе, онда ол осы хордаға перпендикуляр болады.

2. Параллель хордалардың арасындағы доғалар тең.

3. Шеңбердің екі аккорды болса, ABЖәне CDнүктеде қиылысады М, онда бір хорданың кесінділерінің көбейтіндісі екінші хорданың сегменттерінің көбейтіндісіне тең болады: AM MB = CM MD.

Шеңбердің қасиеттері

1. Түзудің шеңбермен ортақ нүктелері болмауы мүмкін; шеңбермен бір ортақ нүктесі бар ( жанама); онымен екі ортақ нәрсе бар ( секант).

2. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы шеңбер салуға болады, тек біреуін салуға болады.

3. Екі шеңбердің жанасу нүктесі олардың центрлерін қосатын түзуде жатыр.

Тангенс және секант теоремасы

Егер шеңберден тыс жатқан нүктеден жанама мен секант жүргізілсе, онда жанама ұзындығының квадраты секанс пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең болады: MC 2 = MA МБ.

Секант теоремасы

Егер шеңберден тыс жатқан нүктеден екі секант жүргізілсе, онда бір секант пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісі екінші секант пен оның сыртқы бөлігінің көбейтіндісіне тең болады. MA MB = MC MD.

Шеңбердегі бұрыштар

ОрталықШеңбердегі бұрыш деп центрінде төбесі бар жазық бұрышты айтады.

Шыңы шеңберде жатқан және қабырғалары осы шеңбермен қиылысатын бұрыш деп аталады сызылған бұрыш.

Шеңбердегі кез келген екі нүкте оны екі бөлікке бөледі. Бұл бөліктердің әрқайсысы деп аталады доғашеңберлер. Доғаның өлшемі оның сәйкес орталық бұрышының өлшемі болуы мүмкін.

Доға деп аталады жарты шеңбер,егер оның ұштарын қосатын сегмент диаметрі болса.

Шеңбермен байланысты бұрыштардың қасиеттері

1. Іштей сызылған бұрыш не өзінің сәйкес орталық бұрышының жартысына тең, не осы бұрыштың жартысын 180°-қа дейін толықтырады.

2. Бір шеңберге сызылған және бір доғаға тірелген бұрыштар тең.

3. Диаметрге сызылған бұрыш 90°.

5. Шеңберге жанама және жанасу нүктесі арқылы жүргізілген секант жасаған бұрыш оның қабырғалары арасындағы доғаның жартысына тең.

Ұзындықтар мен аудандар

1. Шеңбер Cрадиусы Рформула бойынша есептеледі: C= 2 Р.

2. Аудан Сшеңбер радиусы Рформула бойынша есептеледі: S = R 2.

3. Шеңбер доғасының ұзындығы Лрадиусы Ррадианмен өлшенген орталық бұрышпен, формуламен есептелетін: L = R .

4. Аудан Срадиусты секторлар Ррадиандағы центрлік бұрышы мына формуламен есептеледі: S = R 2 .

Ішіне сызылған және шектелген шеңберлер

Шеңбер және үшбұрыш

· іштей сызылған шеңбердің центрі үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі, оның радиусы rформула бойынша есептеледі:

r =, Қайда Сүшбұрыштың ауданы, және - жарты периметр;

· сызылған шеңбердің центрі биссектриса перпендикулярларының қиылысу нүктесі, оның R радиусы мына формуламен есептеледі:

R= , R = ;

· тікбұрышты үшбұрышқа сызылған шеңбердің центрі гипотенузаның ортасында жатыр;

· үшбұрыштың сызылған және іштей сызылған шеңберлерінің центрі осы үшбұрыш дұрыс болса ғана сәйкес келеді.

Шеңбер және төртбұрыш

· шеңберді дөңес төртбұрыштың айналасында сипаттауға болады, егер оның ішкі қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең болса ғана:

180°;

шеңберді төртбұрышқа, егер оның қарама-қарсы қабырғаларының қосындылары тең болса ғана сызуға болады a + c = b + d;

параллелограмды шеңбер ретінде сипаттауға болады, егер ол тіктөртбұрыш болса;

· шеңберді трапецияның айналасында сипаттауға болады, егер бұл трапеция тең қабырғалы болса және тек егер; шеңбердің центрі трапецияның симметрия осінің бүйірге перпендикуляр биссектрисамен қиылысында жатыр;

· шеңберді параллелограммға жазуға болады, егер ол ромб болса ғана.

Үшбұрыштар

Үшбұрыштың медианаларының қасиеттері

1. Медиана үшбұрышты ауданы бірдей екі үшбұрышқа бөледі.

2. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, ол олардың әрқайсысын төбесінен санағанда 2:1 қатынасында бөледі. Бұл нүкте деп аталады ауырлық орталығыүшбұрыш.

3. Бүкіл үшбұрыш медианалары бойынша алты бірдей үшбұрышқа бөлінген.

Үшбұрыш биссектрисаларының қасиеттері

1. Бұрыштың биссектрисасы деп осы бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің локусын айтады.

2. Үшбұрыштың ішкі бұрышының биссектрисасы қарама-қарсы қабырғасын көрші қабырғаларына пропорционал кесінділерге бөледі: .

3. Үшбұрыштың биссектрисаларының қиылысу нүктесі осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болады.

Үшбұрыш биіктіктерінің қасиеттері

1. Тік бұрышты үшбұрышта тік бұрыштың төбесінен түсірілген биіктік оны бастапқы үшбұрышқа ұқсас екі үшбұрышқа бөледі.

2. Сүйір үшбұрышта оның екі биіктігі одан ұқсас үшбұрыштарды кесіп тастайды.

Медиана – үшбұрыштың төбесінен қарама-қарсы қабырғасының ортасына дейін жүргізілген кесінді, яғни оны қиылысу нүктесінде екіге бөледі. Медиана шығатын төбеге қарама-қарсы жақпен қиылысатын нүкте негіз деп аталады. Үшбұрыштың әрбір медианасы қиылысу нүктесі деп аталатын бір нүкте арқылы өтеді. Оның ұзындығының формуласын бірнеше жолмен көрсетуге болады.

Медиананың ұзындығын өрнектейтін формулалар

• Көбінесе геометриялық есептерде оқушылар үшбұрыштың медианасы сияқты кесіндімен айналысады. Оның ұзындығының формуласы қабырғалармен өрнектеледі:

мұндағы a, b және c қабырғалары. Сонымен қатар, c - медиана түсетін жағы. Ең қарапайым формула осылай көрінеді. Көмекші есептеулер үшін кейде үшбұрыштың медианалары қажет. Басқа формулалар бар.

• Егер есептеу кезінде үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасында орналасқан белгілі α бұрышы белгілі болса, онда үшбұрыштың үшінші қабырғасына түсірілген медианасының ұзындығы келесідей өрнектеледі.

Негізгі қасиеттер

• Барлық медианалардың бір ортақ қиылысу нүктесі бар O және төбесінен есептелетін болса, оған екіден бірге қатынасында бөлінеді. Бұл нүкте үшбұрыштың ауырлық центрі деп аталады.
• Медиана үшбұрышты аудандары тең басқа екіге бөледі. Мұндай үшбұрыштар тең аудан деп аталады.
• Егер сіз барлық медианаларды салсаңыз, үшбұрыш 6 бірдей фигураға бөлінеді, олар да үшбұрыштар болады.
• Егер үшбұрыштың үш қабырғасы тең болса, онда медианалардың әрқайсысы да биіктік және биссектриса болады, яғни ол жүргізілген қабырғаға перпендикуляр және ол шығатын бұрышты екіге бөледі.
• Тең қабырғалы үшбұрышта басқасына тең емес қабырғаға қарама-қарсы төбеден жүргізілген медиана да биіктік пен биссектриса болады. Басқа шыңдардан түсірілген медианалар тең. Бұл да тең қабырғалылар үшін қажетті және жеткілікті шарт.
• Егер үшбұрыш дұрыс пирамиданың табаны болса, онда осы негізге түсірілген биіктік барлық медианалардың қиылысу нүктесіне проекцияланады.

• Тікбұрышты үшбұрышта ең ұзын жағына түсірілген медиана оның ұзындығының жартысына тең.
• Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі О болсын. Төмендегі формула кез келген М нүктесі үшін дұрыс болады.

• Үшбұрыштың медианасының тағы бір қасиеті бар. Оның қабырғаларының квадраттары арқылы ұзындығының квадратының формуласы төменде келтірілген.

Медиана тартылған жақтардың қасиеттері

• Егер сіз медианалардың кез келген екі қиылысу нүктесін олар түсірілген жақтарымен байланыстырсаңыз, онда алынған кесінді үшбұрыштың орта сызығы болады және үшбұрыштың ортақ нүктелері жоқ қабырғасының жартысы болады.
• Үшбұрыштағы биіктіктер мен медианалардың табандары, сондай-ақ үшбұрыштың төбелерін биіктіктердің қиылысу нүктесімен қосатын кесінділердің ортаңғы нүктелері бір шеңберде жатыр.

Қорытындылай келе, ең маңызды сегменттердің бірі үшбұрыштың медианасы деп айту қисынды. Оның формуласын оның басқа қабырғаларының ұзындықтарын табу үшін пайдалануға болады.

Үшбұрыштың медианасы- бұл үшбұрыштың төбесін осы үшбұрыштың қарама-қарсы қабырғасының ортасымен қосатын кесінді.

Үшбұрыштың медианаларының қасиеттері

1. Медиана үшбұрышты ауданы бірдей екі үшбұрышқа бөледі.

2. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, ол олардың әрқайсысын төбесінен санағанда 2:1 қатынасында бөледі. Бұл нүкте үшбұрыштың ауырлық центрі (центроид) деп аталады.

3. Бүкіл үшбұрыш медианалары бойынша алты бірдей үшбұрышқа бөлінген.

Бүйірге түсірілген медиананың ұзындығы: (параллелограммға дейін салу арқылы дәлелдеу және параллелограмдағы қабырғалардың квадраттарының қосындысы мен диагональдардың квадраттарының қосындысының екі еселенген теңдігін пайдалану )

T1.Үшбұрыштың үш медианасы олардың әрқайсысын үшбұрыштың төбелерінен бастап санайтын 2:1 қатынасында бөлетін бір М нүктесінде қиылысады. Берілген: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 – медианалар
∆ABC. Дәлелдеу: және

D-vo: ABC үшбұрышының CC 1, AA 1 медианаларының қиылысу нүктесі M болсын. А 2 - AM кесіндісінің ортасы және С 2 - СМ кесіндісінің ортасын белгілейік. Сонда A 2 C 2 үшбұрыштың орта сызығы болады AMS.білдіреді, A 2 C 2|| AC

және A 2 C 2 = 0,5*AC. МЕН 1 А 1 - ABC үшбұрышының орта сызығы. Сонымен А 1 МЕН 1 || AC және А 1 МЕН 1 = 0,5*AC.

Төртбұрыш A 2 C 1 A 1 C 2- параллелограмм, өйткені оның қарама-қарсы қабырғалары А 1 МЕН 1 Және A 2 C 2тең және параллель. Демек, A 2 M =М.А 1 Және C 2 M = MC 1 . Бұл ұпай дегенді білдіреді А 2Және Ммедиананы бөліңіз AA 2үш тең ​​бөлікке, яғни AM = 2MA 2. CM = 2MC сияқты 1 . Сонымен, екі медиананың қиылысуының М нүктесі AA 2Және CC 2 ABC үшбұрышы олардың әрқайсысын үшбұрыштың төбелерінен бастап санайтын 2:1 қатынасында бөледі. AA 1 және BB 1 медианаларының қиылысу нүктесі олардың әрқайсысын үшбұрыштың төбелерінен бастап есептегенде 2:1 қатынасында бөлетіні толығымен ұқсас түрде дәлелденді.

AA 1 медианасында мұндай нүкте М нүктесі, демек, нүкте Мжәне AA 1 және BB 1 медианаларының қиылысу нүктесі бар.

Осылайша, n

T2.Центроидты үшбұрыштың төбелерімен қосатын кесінділер оны тең үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңдер. Берілген: ∆ABC, - оның медианасы.

Дәлелдеу: S AMB =S BMC =S AMC.Дәлелдеу. IN,олардың ортақ бір қасиеті бар. өйткені олардың негіздері тең және шыңнан түсірілген биіктік М,олардың ортақ бір қасиеті бар. Содан кейін

Дәл осылай дәлелденген S AMB = S AMC.Осылайша, S AMB = S AMC = S CMB.n

Үшбұрыш биссектрисасына байланысты теоремалар. Биссектрисаларды табу формулалары

Бұрыш биссектрисасы- бұрышты екі тең бұрышқа бөлетін бұрыштың төбесінде басы бар сәуле.

Бұрыштың биссектрисасы деп бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан бұрыштың ішіндегі нүктелердің локусын айтады.

Қасиеттер

1. Биссектриса теоремасы: Үшбұрыштың ішкі бұрышының биссектрисасы қарама-қарсы қабырғасын көршілес екі қабырғасының қатынасына тең қатынасқа бөледі.

2. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисалары бір нүктеде – центр – осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрінде қиылысады.

3. Егер үшбұрыштың екі биссектрисасы тең болса, онда үшбұрыш тең ​​қабырғалы болады (Штайнер-Лемус теоремасы).

Биссектриса ұзындығын есептеу

l c - c жағына жүргізілген биссектрисаның ұзындығы,

a,b,c - сәйкесінше A,B,C төбелеріне қарама-қарсы үшбұрыштың қабырғалары,

p - үшбұрыштың жарты периметрі,

a l , b l - l c биссектрисасы c қабырғасын бөлетін кесінділердің ұзындықтары,

α, β, γ – сәйкесінше А, В, С төбелеріндегі үшбұрыштың ішкі бұрыштары,

h c - үшбұрыштың c жағына түсірілген биіктігі.

Аудан әдісі.

Әдістің сипаттамасы.Аты айтып тұрғандай, бұл әдістің негізгі объектісі аумақ болып табылады. Бірқатар фигуралар үшін, мысалы, үшбұрыш үшін аудан фигураның (үшбұрыш) элементтерінің әртүрлі комбинациялары арқылы қарапайым түрде көрсетіледі. Сондықтан, берілген фигураның ауданы үшін әртүрлі өрнектерді салыстыру өте тиімді әдіс болып табылады. Бұл жағдайда фигураның белгілі және қажетті элементтерін қамтитын теңдеу пайда болады, оны шешу арқылы белгісізді анықтаймыз. Міне, аудан әдісінің негізгі ерекшелігі осы жерде көрінеді - ол теңдеуді (кейде теңдеулер жүйесін) шешуге дейін барлығын қысқартып, геометриялық есептен алгебралық есепті «жасады».

1) Салыстыру әдісі: бірдей фигуралардың S формулаларының көп санымен байланысты

2) S қатынас әдісі: бақылауды қолдау мәселелеріне негізделген:

Цева теоремасы

Үшбұрыштың BC, CA, AB түзулерінде A", B", C" нүктелері жатсын. AA", BB", CC" түзулері бір нүктеде қиылысады, егер және тек

Дәлелдеу.

және кесінділерінің қиылысу нүктесі арқылы белгілейік. С және А нүктелерінен перпендикулярларды BB 1 түзуіне олар онымен сәйкесінше K және L нүктелерінде қиылысатынша түсірейік (суретті қараңыз).

Үшбұрыштардың ортақ қабырғасы болғандықтан, олардың аудандары осы жаққа сызылған биіктіктермен байланысты, яғни. AL және CK:

Соңғы теңдік дұрыс, өйткені тікбұрышты үшбұрыштар сүйір бұрыштары бойынша ұқсас.

Дәл солай аламыз Және

Осы үш теңдікті көбейтейік:

Q.E.D.

Түсініктеме. Үшбұрыштың төбесін қарама-қарсы жағында жатқан нүктемен немесе оның жалғасын қосатын кесінді (немесе кесіндінің жалғасы) цевиана деп аталады.

Теорема (Цева теоремасына кері). A, B, C" нүктелері сәйкесінше ABC үшбұрышының ВС, СА және АВ қабырғаларында жатсын. Қатынас қанағаттандырылсын.

Сонда AA,BB,CC» кесінділері бір нүктеде қиылысады.

Менелай теоремасы

Менелай теоремасы. Түзу ABC үшбұрышын қиылсын, С 1 оның АВ қабырғасымен қиылысу нүктесі, А 1 оның ВС қабырғасымен қиылысу нүктесі және В 1 оның АС қабырғасының созылуымен қиылысу нүктесі болсын. Содан кейін

Дәлелдеу . С нүктесі арқылы АВ-ға параллель түзу жүргізейік. Оның В 1 С 1 түзуімен қиылысу нүктесін K арқылы белгілейік.

AC 1 B 1 және CKB 1 үшбұрыштары ұқсас (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Демек,

BC 1 A 1 және CKA 1 үшбұрыштары да ұқсас (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). білдіреді,

Әрбір теңдіктен CK көрсетеміз:

Қайда Q.E.D.

Теорема (Менелайдың кері теоремасы). ABC үшбұрышы берілсін. С 1 нүктесі АВ қабырғасында, А 1 нүктесі ВС жағында, ал В 1 нүктесі АС қабырғасының жалғасында болсын және келесі қатынас орындалсын:

Сонда А 1, В 1 және С 1 нүктелері бір түзудің бойында жатыр.