Жанама түрде көрсетілген функцияның туындысы.
Параметрлік анықталған функцияның туындысы

Бұл мақалада біз жоғары математикадағы сынақтарда жиі кездесетін тағы екі типтік тапсырманы қарастырамыз. Материалды сәтті меңгеру үшін сіз ең болмағанда орта деңгейде туындыларды таба білуіңіз керек. Сіз екі негізгі сабақта нөлден бастап туындыларды табуды үйрене аласыз және Күрделі функцияның туындысы. Егер саралау дағдыларыңыз жақсы болса, кеттік.

Жанама түрде көрсетілген функцияның туындысы

Немесе қысқаша айтқанда, жасырын функцияның туындысы. Жасырын функция дегеніміз не? Алдымен бір айнымалы функцияның анықтамасын еске түсірейік:

Бір айнымалы функциятәуелсіз айнымалының әрбір мәні функцияның бір және бір ғана мәніне сәйкес келетін ереже болып табылады.

Айнымалы деп аталады тәуелсіз айнымалынемесе аргумент.
Айнымалы деп аталады тәуелді айнымалынемесе функциясы .

Осы уақытқа дейін бізде анықталған функцияларды қарастырдық айқынпішін. Бұл нені білдіреді? Нақты мысалдарды пайдалана отырып, қорытынды шығарайық.

Функцияны қарастырыңыз

Біз сол жақта жалғыз «ойыншы» бар екенін көреміз, ал оң жақта - тек «X». Яғни, функция анықтәуелсіз айнымалы арқылы өрнектеледі.

Басқа функцияны қарастырайық:

Бұл жерде айнымалылар араласады. Оның үстіне кез келген жолмен мүмкін емес«Y»-ді тек «X» арқылы көрсетіңіз. Бұл әдістер қандай? Терминдерді таңбасын өзгерту арқылы бөліктен бөлікке көшіру, жақшаның ішінен шығару, көбейткіштерді пропорция ережесі бойынша лақтыру, т.б. Теңдікті қайта жазып, «у»-ды анық өрнектеп көріңіз: . Сіз теңдеуді бірнеше сағат бойы бұрап, бұра аласыз, бірақ сіз сәттілікке жете алмайсыз.

Сіздерді таныстырып өтейін: – мысал жасырын функция.

Математикалық талдау барысында жасырын функцияның болатыны дәлелденді бар(бірақ, әрқашан емес), оның графигі бар («қалыпты» функция сияқты). Жасырын функция дәл солай барбірінші туынды, екінші туынды т.б. Олар айтқандай, жыныстық азшылықтардың барлық құқықтары сақталады.

Ал бұл сабақта біз жанама түрде берілген функцияның туындысын табуды үйренеміз. Бұл соншалықты қиын емес! Барлық дифференциалдау ережелері және элементар функциялардың туындылары кестесі күшінде қалады. Айырмашылық бір ерекше сәтте, біз оны қазір қарастырамыз.

Иә, мен сізге жақсы жаңалықты айтамын - төменде талқыланған тапсырмалар үш жолдың алдында тассыз өте қатаң және анық алгоритм бойынша орындалады.

1-мысал

1) Бірінші кезеңде біз екі бөлікке штрихтарды бекітеміз:

2) Туындының сызықтық ережесін қолданамыз (сабақтың алғашқы екі ережесі Туындыны қалай табуға болады? Шешімдердің мысалдары):

3) Тікелей дифференциация.
Қалай ажыратуға болатыны толығымен түсінікті. Соққылардың астында «ойындар» бар жерде не істеу керек?

- масқара болғанша, функцияның туындысы оның туындысына тең: .

Қалай ажыратуға болады
Міне бізде күрделі функция. Неліктен? Синустың астында бір ғана «Y» әрпі бар сияқты. Бірақ бұл жерде бір ғана «y» әрпі бар - ӨЗІ ФУНКЦИЯ(сабақтың басындағы анықтаманы қараңыз). Сонымен, синус сыртқы функция және ішкі функция болып табылады. Күрделі функцияны дифференциалдау үшін ережені қолданамыз :

Біз өнімді әдеттегі ереже бойынша ажыратамыз :

Назар аударыңыз – бұл да күрделі функция, кез келген «қоңырау мен ысқырық бар ойын» күрделі функция болып табылады:

Шешімнің өзі келесідей болуы керек:


Егер жақшалар болса, оларды кеңейтіңіз:

4) Сол жақта біз «Y» әрпі бар жай сандарды жинаймыз. Қалғанының барлығын оң жаққа жылжытыңыз:

5) Сол жақта жақшаның ішінен туындыны аламыз:

6) Ал пропорция ережесі бойынша мына жақшаларды оң жақтың бөлгішіне түсіреміз:

Туынды табылды. Дайын.

Бір қызығы, кез келген функцияны жасырын түрде қайта жазуға болады. Мысалы, функция келесідей қайта жазуға болады: . Және оны жаңа талқыланған алгоритм арқылы ажыратыңыз. Шын мәнінде, «жасырын функция» және «имплицитті функция» тіркестері бір мағыналық реңкпен ерекшеленеді. «Жасырын көрсетілген функция» тіркесі неғұрлым жалпы және дұрыс, – бұл функция жасырын түрде көрсетілген, бірақ мұнда сіз «ойынды» білдіріп, функцияны анық көрсете аласыз. «Жасырын функция» сөздері көбінесе «ойын» білдіру мүмкін болмаған кезде «классикалық» жасырын функцияны білдіреді.

Сондай-ақ, «жасырын теңдеу» бірден екі немесе одан да көп функцияларды жанама түрде көрсете алатынын атап өткен жөн, мысалы, шеңбердің теңдеуі жарты шеңберлерді анықтайтын , функцияларын жасырын түрде анықтайды.Бірақ осы мақаланың аясында біз терминдер мен нюанстар арасында ерекше айырмашылық жасамайды, бұл жалпы дамуға арналған ақпарат болды.

Екінші шешім

Назар аударыңыз!Сіз сенімді түрде қалай табуға болатынын білсеңіз ғана екінші әдіспен танысуға болады ішінара туындылар. Есептеуді жаңадан бастағандар мен манекендер, өтінемін оқымаңыз және бұл тармақты өткізіп алмаңыз, әйтпесе сіздің басыңыз толығымен шатасады.

Екінші әдіс арқылы жасырын функцияның туындысын табайық.

Біз барлық шарттарды сол жаққа жылжытамыз:

Және екі айнымалы функцияны қарастырыңыз:

Сонда біздің туынды формуланы пайдаланып табуға болады
Жартылай туындыларды табайық:

Осылайша:

Екінші шешім тексеруді орындауға мүмкіндік береді. Бірақ олардың тапсырманың соңғы нұсқасын жазып алғаны дұрыс емес, өйткені ішінара туындылар кейінірек игеріледі, ал «Бір айнымалы функцияның туындысы» тақырыбын оқитын студент ішінара туындыларды әлі білмеуі керек.

Тағы бірнеше мысалды қарастырайық.

2-мысал

Айқын берілген функцияның туындысын табыңыз

Екі бөлікке штрихтарды қосыңыз:

Біз сызықтық ережелерді қолданамыз:

Туындыларды табу:

Барлық жақшаларды ашу:

Біз барлық терминдерді сол жаққа, қалғандарын оң жаққа жылжытамыз:

Соңғы жауап:

3-мысал

Айқын берілген функцияның туындысын табыңыз

Толық шешім және сабақтың соңында дизайн үлгісі.

Бөлшектердің дифференциациядан кейін пайда болуы сирек емес. Мұндай жағдайларда сіз фракциялардан құтылуыңыз керек. Тағы екі мысалды қарастырайық.

4-мысал

Айқын берілген функцияның туындысын табыңыз

Біз екі бөлікті штрихтардың астына қосамыз және сызықтық ережесін қолданамыз:

Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі арқылы дифференциалдау және бөлгіштерді дифференциалдау ережесі :

Жақшаларды кеңейту:

Енді біз бөлшектен құтылуымыз керек. Мұны кейінірек жасауға болады, бірақ оны бірден жасау ұтымдырақ. Бөлшектің бөлгішінде бар. Көбейту бойынша. Егжей-тегжейлі, ол келесідей болады:

Кейде дифференциациядан кейін 2-3 фракция пайда болады. Егер бізде басқа бөлшек болса, мысалы, операцияны қайталау керек еді - көбейту әр бөліктің әрбір мүшесіқосулы

Сол жақта біз оны жақшадан шығарамыз:

Соңғы жауап:

5-мысал

Айқын берілген функцияның туындысын табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Жалғыз нәрсе, бөлшектен құтылмас бұрын, алдымен бөлшектің үш қабатты құрылымынан құтылу керек. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Параметрлік анықталған функцияның туындысы

Сынбай-ақ қояйық, бұл тармақта бәрі де қарапайым. Параметрлік анықталған функцияның жалпы формуласын жазуға болады, бірақ түсінікті болу үшін мен бірден нақты мысал жазамын. Параметрлік түрде функция екі теңдеу арқылы беріледі: . Көбінесе теңдеулер қисық жақшаның астына емес, ретімен жазылады: , .

Айнымалы параметр деп аталадыжәне «минус шексіздіктен» «плюс шексіздікке» дейінгі мәндерді қабылдай алады. Мысалы, мәнді қарастырып, оны екі теңдеуге де ауыстырыңыз: . Немесе адам тілінде: «егер x төртке тең болса, онда у бірге тең». Координаталық жазықтықта нүктені белгілеуге болады және бұл нүкте параметрдің мәніне сәйкес келеді. Сол сияқты «te» параметрінің кез келген мәні үшін нүктені табуға болады. «Тұрақты» функцияға келетін болсақ, параметрлік анықталған функцияның американдық үндістері үшін барлық құқықтар да сақталады: графикті құруға, туындыларды табуға және т.б. Айтпақшы, параметрлік анықталған функцияның графигін салу қажет болса, менің бағдарламамды пайдалануға болады.

Ең қарапайым жағдайларда функцияны анық көрсетуге болады. Бірінші теңдеудегі параметрді өрнектеп көрейік: – және оны екінші теңдеумен ауыстырыңыз: . Нәтижесі кәдімгі текшелік функция.

Неғұрлым «ауыр» жағдайларда бұл трюк жұмыс істемейді. Бірақ бұл маңызды емес, өйткені параметрлік функцияның туындысын табудың формуласы бар:

«Те айнымалысына қатысты ойынның» туындысын табамыз:

Барлық дифференциалдау ережелері мен туындылар кестесі, әрине, әрпі үшін жарамды, осылайша, туынды табу процесінде жаңалық жоқ. Кестедегі барлық «X» әрпін «Te» әрпімен ауыстырыңыз.

«te» айнымалысына қатысты «х» туындысын табамыз:

Енді табылған туындыларды формуламызға ауыстыру ғана қалады:

Дайын. Туынды функцияның өзі сияқты параметрге де тәуелді.

Белгілеуге келетін болсақ, оны формулада жазудың орнына оны жай жазылусыз жазуға болады, өйткені бұл «Х-ке қатысты» «тұрақты» туынды. Бірақ әдебиетте әрқашан нұсқа бар, сондықтан мен стандарттан ауытқымаймын.

6-мысал

Біз формуланы қолданамыз

Бұл жағдайда:

Осылайша:

Параметрлік функцияның туындысын табудың ерекше ерекшелігі мынада әрбір қадамда нәтижені мүмкіндігінше жеңілдету тиімді. Сонымен, қарастырылған мысалда, мен оны тапқан кезде, мен түбірдің астындағы жақшаларды аштым (бірақ мен мұны істемеген шығармын). Формулаға ауыстырған кезде көптеген нәрселердің жақсы азаюына жақсы мүмкіндік бар. Дегенмен, әрине, ыңғайсыз жауаптары бар мысалдар бар.

7-мысал

Параметрлік берілген функцияның туындысын табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал.

Мақалада Туындылармен ең қарапайым типтік есептерфункцияның екінші туындысын табу қажет болатын мысалдарды қарастырдық. Параметрлік анықталған функция үшін екінші туындыны да табуға болады және ол келесі формула арқылы табылады: . Екінші туындыны табу үшін алдымен бірінші туындыны табу керек екені анық.

8-мысал

Параметрлік берілген функцияның бірінші және екінші туындыларын табыңыз

Алдымен бірінші туындыны табайық.
Біз формуланы қолданамыз

Бұл жағдайда:

Көбінесе практикалық есептерді шешу кезінде (мысалы, жоғары геодезияда немесе аналитикалық фотограмметрияда) бірнеше айнымалылардың күрделі функциялары пайда болады, яғни аргументтер. x, y, z бір функция f(x,y,z) ) өздері жаңа айнымалылардың функциялары болып табылады У, В, В ).

Бұл, мысалы, тіркелген координаттар жүйесінен жылжу кезінде орын алады Oxyz мобильді жүйеге О 0 UVW және кері. Сонымен бірге, «тұрақты» - «ескі» және «жылжымалы» - «жаңа» айнымалыларға қатысты барлық ішінара туындыларды білу маңызды, өйткені бұл ішінара туындылар әдетте осы координат жүйелеріндегі объектінің орнын сипаттайды. , және, атап айтқанда, аэрофотосуреттердің нақты нысанға сәйкестігіне әсер етеді. Мұндай жағдайларда келесі формулалар қолданылады:

Яғни, күрделі функция берілген Т үш «жаңа» айнымалы У, В, В үш «ескі» айнымалы арқылы x, y, z, Содан кейін:

Түсініктеме. Айнымалылар санында ауытқулар болуы мүмкін. Мысалы: егер

Атап айтқанда, егер z = f(xy), y = y(x) , онда біз «жалпы туынды» деп аталатын формуланы аламыз:

«Жалпы туынды» үшін бірдей формула:

нысанда болады:

(1.27) - (1.32) формулаларының басқа нұсқалары да мүмкін.

Ескерту: «жалпы туынды» формуласы физика курсының «Гидродинамика» тарауында сұйықтық қозғалысының негізгі теңдеулер жүйесін шығару кезінде қолданылады.

1.10-мысал. Берілген:

(1.31) сәйкес:

§7 Бірнеше айнымалының жасырын берілген функциясының жартылай туындылары

Белгілі болғандай, бір айнымалының жасырын көрсетілген функциясы келесідей анықталады: тәуелсіз айнымалының функциясы x қатысты шешілмеген теңдеу арқылы берілсе, жасырын деп аталады ж :

1.11-мысал.

теңдеу

жанама түрде екі функцияны көрсетеді:

Және теңдеу

ешқандай функцияны көрсетпейді.

1.2 теорема (жасырын функцияның болуы).

Функция болсын z =f(x,y) және оның жартылай туындылары f" x Және f" ж кейбір маңайда анықталған және үздіксіз У M0 ұпай М 0 (x 0 ж 0 ) . Сонымен қатар, f(x 0 , ж 0 )=0 Және f"(x 0 , ж 0 )≠0 , онда (1.33) теңдеу маңайда анықталады У M0 жасырын функция y=y(x) , үздіксіз және белгілі бір интервалда дифференциалданатын D нүктесінде орталықтандырылған x 0 , және y(x 0 )=y 0 .

Дәлел жоқ.

1.2 теоремасынан осы аралықта болатыны шығады D :

яғни жеке басы бар

мұндағы «жалпы» туынды (1.31) сәйкес табылады.

Яғни, (1.35) бір айнымалының жасырын берілген функциясының туындысын табу формуласын береді. x .

Екі немесе одан да көп айнымалылардың жасырын функциясы ұқсас анықталады.

Мысалы, егер кейбір аймақта болса В ғарыш Oxyz келесі теңдеу орындалады:

содан кейін функциядағы кейбір шарттарда Ф ол функцияны жасырын түрде анықтайды

Сонымен қатар, (1.35) ұқсастығы бойынша оның ішінара туындылары келесідей табылады:

1.12-мысал. теңдеу деп есептесек

функцияны жасырын түрде анықтайды

табу z" x , z" ж .

сондықтан (1.37) сәйкес жауап аламыз.

§8 Екінші және жоғары ретті жартылай туындылар

Анықтама 1.9 Функцияның екінші ретті дербес туындылары z=z(x,y) келесідей анықталады:

Олардың төртеуі болды. Сонымен қатар, функциялар бойынша белгілі бір жағдайларда z(x,y) теңдік сақталады:

Түсініктеме. Екінші ретті жартылай туындыларды келесідей белгілеуге болады:

Анықтама 1.10 Үшінші ретті жартылай туындылар сегіз (2 3).

Айнымалыларды байланыстыратын белгілі бір теңдеулер арқылы нақты көрсетілген функциялардың туындыларын табуды үйренеміз. xЖәне ж. Жанама түрде көрсетілген функциялардың мысалдары:

,

,

Жанама түрде көрсетілген функциялардың туындылары немесе жасырын функциялардың туындылары өте қарапайым түрде табылады. Енді сәйкес ереже мен мысалды қарастырайық, содан кейін бұл не үшін қажет екенін білейік.

Жанама түрде берілген функцияның туындысын табу үшін теңдеудің екі жағын х-ке қатысты дифференциалдау керек. Тек Х бар терминдер функцияның Х-дан әдеттегі туындысына айналады. Ал ойынмен терминдерді күрделі функцияны саралау ережесі арқылы саралау керек, өйткені ойын Х-тің функциясы. Қарапайым тілмен айтсақ, х-пен терминнің нәтижелі туындысы мынадай нәтижеге жетуі керек: функцияның у-дан туындысы у-дан туындыға көбейтілген. Мысалы, терминнің туындысы ретінде жазылады, терминнің туындысы ретінде жазылады. Әрі қарай, осының барлығынан сіз осы «ойын соққысын» білдіруіңіз керек және жанама түрде көрсетілген функцияның қажетті туындысы алынады. Мұны мысалмен қарастырайық.

1-мысал.

Шешім. i х-тің функциясы деп есептей отырып, х-ке қатысты теңдеудің екі жағын да ажыратамыз:

Осы жерден тапсырмада талап етілетін туындыны аламыз:

Енді жанама түрде көрсетілген функциялардың анық емес қасиеті және оларды дифференциациялаудың арнайы ережелері не үшін қажет екендігі туралы бір нәрсе. Кейбір жағдайларда ойынның орнына берілген теңдеуге x түріндегі өрнекті (жоғарыдағы мысалдарды қараңыз) ауыстыру бұл теңдеудің сәйкестікке айналуына әкелетініне көз жеткізуге болады. Сонымен. Жоғарыдағы теңдеу келесі функцияларды жасырын түрде анықтайды:

Бастапқы теңдеуге x арқылы квадраттық ойынның өрнекін ауыстырғаннан кейін, сәйкестікті аламыз:

.

Біз ауыстырған өрнектер ойынның теңдеуін шешу арқылы алынды.

Егер сәйкес айқын функцияны ажырататын болсақ

онда біз 1-мысалдағыдай жауапты аламыз - жанама түрде көрсетілген функциядан:

Бірақ жанама түрде көрсетілген әрбір функция пішінде ұсынылмайды ж = f(x) . Мәселен, мысалы, жасырын түрде көрсетілген функциялар

элементар функциялар арқылы өрнектелмейді, яғни бұл теңдеулерді ойынға қатысты шешу мүмкін емес. Демек, жасырын түрде көрсетілген функцияны дифференциалдау ережесі бар, оны біз қазірдің өзінде зерттедік және басқа мысалдарда әрі қарай дәйекті түрде қолданатын боламыз.

2-мысал.Жанама берілген функцияның туындысын табыңыз:

.

Біз жанама түрде көрсетілген функцияның бастапқы мәнін және - шығысында - туындысын өрнектейміз:

3-мысал.Жанама берілген функцияның туындысын табыңыз:

.

Шешім. Теңдеудің екі жағын х-ке қатысты ажыратамыз:

.

4-мысал.Жанама берілген функцияның туындысын табыңыз:

.

Шешім. Теңдеудің екі жағын х-ке қатысты ажыратамыз:

.

Туындыны өрнектеп аламыз:

.

5-мысал.Жанама берілген функцияның туындысын табыңыз:

Шешім. Теңдеудің оң жағындағы мүшелерді сол жағына жылжытамыз, ал оң жағында нөл қалдырамыз. Теңдеудің екі жағын х-ке қатысты ажыратамыз.

Белгілі болғандай, бір айнымалының жасырын берілген функциясы былай анықталады: x тәуелсіз айнымалысының у функциясы, егер ол у-ға қатысты шешілмеген теңдеу арқылы берілсе, жасырын деп аталады:

1.11-мысал.

теңдеу

жанама түрде екі функцияны көрсетеді:

Және теңдеу

ешқандай функцияны көрсетпейді.

1.2 теорема (жасырын функцияның болуы).

M0(x0y0) нүктесінің кейбір UM0 маңайында z =f(x,y) функциясы және оның жеке туындылары f"x және f"y анықталған және үздіксіз болсын. Сонымен қатар, f(x0,y0)=0 және f"(x0,y0)≠0, содан кейін (1.33) теңдеу UM0 маңында y= y(x), үзіліссіз және кейбір D интервалында дифференциалданатын жасырын функцияны анықтайды. центрі x0 нүктесінде және y(x0)=y0.

Дәлел жоқ.

1.2 теоремасынан бұл D интервалында:

яғни жеке басы бар

мұндағы «жалпы» туынды (1.31) сәйкес табылады.

Яғни (1.35) бір х айнымалысының жанама берілген функциясының туындысын табу формуласын береді.

Екі немесе одан да көп айнымалылардың жасырын функциясы ұқсас анықталады.

Мысалы, Oxyz кеңістігінің кейбір V аймағында теңдеу орындалса:

онда F функциясы бойынша белгілі бір шарттарда ол функцияны жасырын түрде анықтайды

Сонымен қатар, (1.35) ұқсастығы бойынша оның ішінара туындылары келесідей табылады:

1.12-мысал. теңдеу деп есептесек

функцияны жасырын түрде анықтайды

z"x, z"y табыңыз.

сондықтан (1.37) сәйкес жауап аламыз.

11.Жартылай туындыларды геометрияда қолдану.

12.Екі айнымалы функцияның экстремумы.

Екі айнымалы функцияның максимум, минимум және экстремум ұғымдары бір тәуелсіз айнымалы функцияның сәйкес ұғымдарына ұқсас (25.4 тарауды қараңыз).

Кейбір D облысында, N(x0;y0) О D нүктесінде z = ƒ(x;y) функциясы анықталсын.

(x0;y0) нүктесі z=ƒ(x;y) функциясының максимум нүктесі деп аталады, егер (x0;y0) нүктесінің әрбір (x;y) нүктесі үшін әр түрлі болатындай d-төңірегі болса. (xo;yo), осы маңайдан ƒ(x;y) теңсіздігі орындалады<ƒ(хо;уо).

А Функцияның ең кіші нүктесі дәл осылай анықталады: (x0; y0) нүктеден басқа (x; y) барлық нүктелер үшін (xo; yo) нүктесінің d-көршілесінен келесі теңсіздік орындалады: ƒ(x) ; y)>ƒ(x0; y0).

210-суретте: N1 – ең үлкен нүкте, ал N2 – z=ƒ(x;y) функциясының ең кіші нүктесі.

Функцияның максимум (минимум) нүктесіндегі мәні функцияның максимум (минимум) деп аталады. Функцияның максимумы мен минимумы оның экстремумы деп аталады.

Анықтау бойынша функцияның экстремум нүктесі функцияның анықталу облысы ішінде жатқанын ескеріңіз; максимум және минимум жергілікті (жергілікті) сипатқа ие: функцияның (x0; y0) нүктесіндегі мәні оның (x0; y0) жеткілікті жақын нүктелеріндегі мәндерімен салыстырылады. D аймағында функцияның бірнеше экстремумы болуы немесе ешқайсысы болмауы мүмкін.

46.2. Экстремум үшін қажетті және жеткілікті жағдайлар

Функцияның экстремумының болу шарттарын қарастырайық.

46.1 теорема (экстремум үшін қажетті шарттар). Егер N(x0;y0) нүктесінде дифференциалданатын z=ƒ(x;y) функциясының экстремумы болса, онда оның осы нүктедегі жеке туындылары нөлге тең: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Айнымалылардың бірін түзетейік. Мысалы, y=y0 деп алайық. Сонда х = x0 кезінде экстремумы бар бір айнымалының ƒ(x;y0)=φ(x) функциясын аламыз. Демек, бір айнымалы функцияның экстремумының қажетті шартына сәйкес (25.4 тарауды қараңыз), φ"(x0) = 0, яғни ƒ"x(x0;y0)=0.

Сол сияқты ƒ"y(x0;y0) = 0 екенін көрсетуге болады.

Геометриялық түрде ƒ"x(x0;y0)=0 және ƒ"y(x0;y0)=0 теңдіктері z=ƒ(x;y) функциясының экстремум нүктесінде бетке жанама жазықтықты білдіреді. ƒ(x;y) ), функциясы Окси жазықтығына параллель, өйткені жанама жазықтықтың теңдеуі z=z0 ((45.2) формуланы қараңыз).

З Ескерту. Функцияның жартылай туындыларының кем дегенде біреуі жоқ нүктелерде экстремум болуы мүмкін. Мысалы, функция О(0;0) нүктесінде максимумы бар (211-суретті қараңыз), бірақ бұл нүктеде жартылай туындылары жоқ.

z ≈ ƒ(x; y) функциясының бірінші ретті жеке туындылары нөлге тең болатын нүкте, яғни f"x=0, f"y=0, z функциясының стационар нүктесі деп аталады.

Тұрақты нүктелер және кем дегенде бір жартылай туындысы жоқ нүктелер критикалық нүктелер деп аталады.

Критикалық нүктелерде функцияның экстремумы болуы немесе болмауы мүмкін. Жартылай туындылардың нөлге теңдігі экстремумның болуы үшін қажетті, бірақ жеткіліксіз шарт болып табылады. Мысалы, z = xy функциясын қарастырайық. Ол үшін О(0; 0) нүктесі критикалық болып табылады (онда z"x=y және z"y - x жоғалады). Дегенмен, z=xy функциясының экстремумы жоқ, өйткені О(0; 0) нүктесінің жеткілікті шағын төңірегінде z>0 (бірінші және үшінші ширек нүктелері) және z болатын нүктелер бар.< 0 (точки II и IV четвертей).

Сонымен, берілген аймақтағы функцияның экстремумын табу үшін функцияның әрбір критикалық нүктесін қосымша зерттеулерге баулу қажет.

46.2 теорема (экстремум үшін жеткілікті шарт). Қозғалмайтын (xo; y) нүктедегі ƒ(x;y) функциясының және оның кейбір маңайының екінші ретті қоса алғанда үздіксіз жеке туындылары болсын. (x0;y0) нүктесінде A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) мәндерін есептейік. . белгілейік

1. егер Δ > 0 болса, онда (x0;y0) нүктесіндегі ƒ(x;y) функциясының экстремумы бар: максимум, егер А< 0; минимум, если А > 0;

2. егер Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Δ = 0 болған жағдайда (x0;y0) нүктесінде экстремум болуы немесе болмауы мүмкін. Қосымша зерттеулер қажет.

Тапсырмалар

1.

Мысал.Функциялардың өсу және кему аралықтарын табыңыз. Шешім.Бірінші қадам функцияның анықталу облысын табу. Біздің мысалда бөлгіштегі өрнек нөлге бармауы керек, сондықтан, . Туынды функцияға көшейік: Жеткілікті критерий негізінде функцияның өсу және кему аралықтарын анықтау үшін анықтау облысы бойынша теңсіздіктерді шешеміз. Интервал әдісінің жалпылауын қолданайық. Алымдардың жалғыз нақты түбірі x = 2, ал бөлгіш нөлге дейін барады x = 0. Бұл нүктелер анықтау облысын функцияның туындысы таңбасын сақтайтын интервалдарға бөледі. Осы нүктелерді сандар түзуінде белгілейік. Туынды оң немесе теріс болатын аралықтарды шартты түрде плюс және минус арқылы белгілейміз. Төмендегі көрсеткілер сәйкес аралықта функцияның ұлғаюын немесе азаюын схемалық түрде көрсетеді. Осылайша, Және . Нүктеде x = 2функция анықталған және үздіксіз, сондықтан оны өсу және кему аралықтарына қосу керек. Нүктеде x = 0функция анықталмаған, сондықтан біз бұл нүктені қажетті аралықтарға қоспаймыз. Онымен алынған нәтижелерді салыстыру үшін функцияның графигін ұсынамыз. Жауап:функциясы артады , аралықта азаяды (0; 2] .

2.

Мысалдар.

Қисықтың дөңес және ойыс аралықтарын орнатыңыз ж = 2 – x 2 .

Біз табамыз ж«» және екінші туынды қай жерде оң, қай жерде теріс екенін анықтаңыз. ж" = –2x, ж"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

ж = e x. Өйткені ж"" = eкез келген үшін x > 0 x, онда қисық барлық жерде ойыс болады.

ж = x 3 . Өйткені ж"" = 6x, Бұл ж"" < 0 при x < 0 и ж"" > 0 кезінде x> 0. Сондықтан, қашан x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 ойыс.

3.

4. z=x^2-y^2+5x+4y функциясы берілген, вектор l=3i-4j және A(3,2) нүктесі. dz/dl (менің түсінуімше, функцияның вектор бағыты бойынша туындысы), gradz(A), |gradz(A)| табыңыз. Жартылай туындыларды табайық: z(x қатысты)=2x+5 z(y қатысты)=-2y+4 А(3,2) нүктесіндегі туындылардың мәндерін табайық: z(мен x-ке қатысты)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y бойынша)(3,2)=-2*2+4=0 Қайдан, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 z функциясының l векторының бағыты бойынша туындысы: dz/dl=z(x-де)*cosa+z(y-де) *cosb, a, b- координата осьтері бар l векторының бұрыштары. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Z= f(x; y) функциясы Z-ға қатысты шешілмеген F(x,y,z)=0 теңдеуімен берілген болса, жасырын деп аталады. Жанама берілген Z функциясының жеке туындыларын табайық. Ол үшін Z функциясының орнына f(x;y) функциясын қойып, F(x,y, f(x,y))=0 теңдеуін аламыз. Х пен у-ға қатысты нөлге бірдей тең функцияның жеке туындылары да нөлге тең.

F(x,y, f (x,y)) =
=0 (тұрақты деп саналады)

F(x,y, f (x,y)) =
=0 (x тұрақты деп саналады)

Қайда
Және

Мысал: Теңдеу арқылы берілген Z функциясының дербес туындыларын табыңыз
.

Мұнда F(x,y,z)=
;
;
;
. Жоғарыда келтірілген формулаларға сәйкес бізде:

Және

1. Бағытты туынды

Екі айнымалы Z= f(x; y) функциясы М (x,y) нүктесінің белгілі бір маңайында берілсін. Бірлік векторымен анықталған бағытты қарастырайық
, Қайда
(суретті қараңыз).

Осы бағытта М нүктесі арқылы өтетін түзуде М 1 нүктесін аламыз (
) ұзындығы болатындай
сегментMM 1 тең
. f(M) функциясының өсімі қатынаспен анықталады, мұндағы
қатынастармен байланысты. Қатынас шегі сағ
функциясының туындысы деп аталады
нүктесінде
қарай және тағайындалады .

=

Z функциясы нүктеде дифференциалданатын болса
, содан кейін үшін қатынастарды ескере отырып, оның осы нүктедегі өсімі
келесі формада жазуға болады.

екі бөлікті де бөлу

және шегіне өту
Z= f(x; y) функциясының келесі бағыттағы туындысының формуласын аламыз:

1. Градиент

Үш айнымалы функцияны қарастырайық
белгілі бір уақытта дифференциалданады
.

Бұл функцияның градиенті
М нүктесінде координаталары жартылай туындыларға сәйкес вектор болып табылады
бұл кезеңде. Градиентті көрсету үшін таңбаны пайдаланыңыз
.
=
.

.Градиент функцияның берілген нүктедегі ең жылдам өсу бағытын көрсетеді.

Бірлік вектор болғандықтан координаттары бар (
), онда үш айнымалы функция жағдайы үшін бағытталған туынды түрінде жазылады, яғни. векторлардың скаляр көбейтіндісінің формуласы бар Және
. Соңғы формуланы келесідей қайта жазайық:

, Қайда - вектор арасындағы бұрыш Және
. Өйткені
, содан кейін функцияның бағыттағы туындысы max мәнін қабылдайтыны шығады =0, яғни. векторлардың бағыты болғанда Және
сәйкестендіріңіз. Бола тұра
Яғни, шын мәнінде, функцияның градиенті осы функцияның нүктедегі максималды өсу жылдамдығының бағыты мен шамасын сипаттайды.

1. Екі айнымалы функцияның экстремумы

Екі айнымалы функцияның макс, min, экстремум ұғымдары бір айнымалы функцияның сәйкес ұғымдарына ұқсас. Z= f(x; y) функциясы кейбір D облысында анықталсын және т.б. M
осы аймаққа жатады. М нүктесі
Z= f(x; y) функциясының максимум нүктесі деп аталады, егер нүктенің осындай δ-көршілестігі болса.
, бұл маңайдағы әрбір нүкте үшін теңсіздік
. Мин нүктесі дәл осылай анықталады, тек теңсіздік белгісі өзгереді
. Функцияның max(min) нүктесіндегі мәні максимум (минимум) деп аталады. Функцияның максимумы мен минимумы экстремум деп аталады.

1. Экстремум үшін қажетті және жеткілікті жағдайлар

Теорема:(Экстремум үшін қажетті шарттар). Егер М нүктесінде
Z= f(x; y) дифференциалданатын функциясының экстремумы бар, онда оның осы нүктедегі жеке туындылары нөлге тең болады:
,
.

Дәлелдеу: x немесе y айнымалыларының бірін бекітіп, Z = f(x; y) бір айнымалының функциясына түрлендіреміз, оның экстремумы үшін жоғарыда көрсетілген шарттар орындалуы керек. Геометриялық теңдіктер
Және
Z= f(x; y) функциясының экстремум нүктесінде f(x,y)=Z функциясын бейнелейтін бетке жанама жазықтығы OXY жазықтығына параллель екенін білдіреді, өйткені жанама жазықтықтың теңдеуі Z = Z 0. Z = f (x; y) функциясының бірінші ретті жеке туындылары нөлге тең болатын нүкте, яғни.
,
, функцияның стационарлық нүктесі деп аталады. Функцияның жартылай туындыларының кем дегенде біреуі жоқ нүктелерде экстремум болуы мүмкін. Мысалы,Z=|-
| О(0,0) нүктесінде max бар, бірақ бұл нүктеде туындысы жоқ.

Тұрақты нүктелер және кем дегенде бір жартылай туындысы жоқ нүктелер деп аталады сыни нүктелер.Критикалық нүктелерде функцияның экстремумы болуы немесе болмауы мүмкін. Жартылай туындылардың нөлге теңдігі экстремумның болуы үшін қажетті, бірақ жеткіліксіз шарт болып табылады. Мысалы, Z=xy кезінде О(0,0) нүктесі критикалық болып табылады. Бірақ Z=xy функциясының экстремумы жоқ. (Себебі I және III тоқсандарда Z>0, ал II және IV тоқсандарда – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Экстремаға жеткілікті шарт). Тұрақты нүктеде болсын
және белгілі бір маңайда f(x; y) функциясының 2-ші ретті қоса алғандағы үздіксіз жеке туындылары бар. Нүктеде есептейік
құндылықтар
,
Және
. белгілейік

Егер
, нүктедегі экстремум
болуы да, болмауы да мүмкін. Қосымша зерттеулер қажет.