Интеграция - MT1205: Экономистерге арналған математикалық талдау - Бизнес информатика. Иррационал функцияларды (түбірлерді) интегралдау әдістері Иррационал функциялардың интегралдары мысалдар

Бұл онлайн калькулятор , , түріндегі иррационал бөлшектердің интегралдарын есептеу үшін қолданылады.

Болсын – рационал функциясы Бұл функция, демек, оның интегралы x=t r орнына қою арқылы рационализацияланады, мұндағы r - r 1, r 2,..., r n сандарының ең кіші ортақ еселігі. Сонда dx=rt r -1 және интегралдың астында t рационал функциясы бар. Сол сияқты, егер интеграл рационалды функциясы болып табылады , онда интеграл функциясы алмастыру арқылы рационалдандырылады, мұнда t - r 1 , r 2 ,..., r n сандарының ең кіші ортақ еселігі. Содан кейін бастапқы өрнекке ауыстырып, t рационал функциясын аламыз.

Мысал. Есептеу. 2 мен 3 сандарының ең кіші ортақ еселігі 6. Сондықтан х = t 6 ауыстыруды жасаймыз. Сонда dx = 6t 5 dt және

Иррационал функцияларды интегралдау

№1 мысал. Иррационал функцияның анықталған интегралын есептеңдер:

Шешім. R(x α1, x α2,..., x αk)dx түрінің интегралы, мұндағы R – x αi рационал функциясы, α i =p i /q i – рационал бөлшектер (i = 1,2,... , k) , рационал функцияның интегралына x = t q ауыстыру арқылы келтіріледі, мұндағы q a 1, a 2,..., a k бөлшектерінің бөлгіштерінің ең кіші ортақ еселігі (LCM). Біздің жағдайда a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, сондықтан олардың бөлгіштерінің ең кіші ортақ еселігі q = LCM(2,3,6) = 6. x = t 6 айнымалысын ауыстыру мынаған әкеледі: мысалда сипатталғандай есептелетін бөлшек рационал функцияның интегралы:

Иррационал функцияларды (түбірлерді) интегралдаудың негізгі әдістері келтірілген. Оларға: сызықтық бөлшек иррационалды интегралдау, дифференциалдық биномдық, квадрат үшмүшенің квадрат түбірі бар интегралдар жатады. Тригонометриялық алмастырулар және Эйлер алмастырулары берілген. Эллиптикалық интегралдар элементар функциялар арқылы өрнектеледі.

Мазмұны

Дифференциалдық биномдардан алынған интегралдар

Дифференциалдық биномдардан алынған интегралдар келесідей болады:
,
мұндағы m, n, p – рационал сандар, a, b – нақты сандар.
Мұндай интегралдар үш жағдайда рационал функциялардың интегралдарына келтіріледі.

1) Егер p бүтін сан болса. Ауыстыру x = t N, мұндағы N - m және n бөлшектерінің ортақ бөлімі.
2) Егер - бүтін сан. a x n + b = t M алмастыру, мұндағы M - p санының бөлгіші.
3) Егер - бүтін сан. a + b x - n = t M алмастыру, мұндағы M - p санының бөлгіші.

Басқа жағдайларда мұндай интегралдар элементар функциялар арқылы өрнектелмейді.

Кейде мұндай интегралдарды азайту формулалары арқылы жеңілдетуге болады:
;
.

Квадрат үшмүшенің квадрат түбірі бар интегралдар

Мұндай интегралдардың келесі формасы болады:
,
мұндағы R – рационал функция. Әрбір осындай интеграл үшін оны шешудің бірнеше әдістері бар.
1) Түрлендірулерді қолдану қарапайым интегралдарға әкеледі.
2) Тригонометриялық немесе гиперболалық ауыстыруларды қолданыңыз.
3) Эйлер алмастыруларын қолдану.

Осы әдістерді толығырақ қарастырайық.

1) Интегралдық функцияны түрлендіру

Формуланы қолданып, алгебралық түрлендірулерді орындай отырып, интегралдық функцияны келесі түрге келтіреміз:
,
мұндағы φ(x), ω(x) рационал функциялар.

I тип

Пішіннің интегралы:
,
мұндағы P n (x) - n дәрежелі көпмүше.

Мұндай интегралдар анықталмаған коэффициенттер әдісімен сәйкестендіру арқылы табылады:

.
Осы теңдеуді дифференциялап, сол және оң жақтарын теңестіре отырып, A i коэффициенттерін табамыз.

II тип

Пішіннің интегралы:
,
мұндағы P m (x) - m дәрежелі көпмүше.

Ауыстыру t = (x - α) -1бұл интеграл алдыңғы түрге келтірілген. Егер m ≥ n болса, онда бөлшектің бүтін бөлігі болуы керек.

III түрі

Мұнда біз ауыстыруды жасаймыз:
.
Осыдан кейін интеграл келесі пішінді алады:
.
Әрі қарай, α, β тұрақтыларын бөлгіштегі t коэффициенттері нөлге тең болатындай етіп таңдау керек:
B = 0, B 1 = 0.
Сонда интеграл екі түрдегі интегралдардың қосындысына ыдырайды:
,
,
ауыстыру арқылы біріктірілген:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2 .

2) Тригонометриялық және гиперболалық алмастырулар

Пішіннің интегралдары үшін a > 0 ,
бізде үш негізгі ауыстыру бар:
;
;
;

Интегралдар үшін, a > 0 ,
бізде келесі ауыстырулар бар:
;
;
;

Соңында, интегралдар үшін а > 0 ,
ауыстырулар келесідей:
;
;
;

3) Эйлер алмастырулары

Сондай-ақ, интегралдар үш Эйлер алмастыруларының біреуінің рационал функцияларының интегралдарына келтірілуі мүмкін:
, a > 0 үшін;
, c > 0 үшін;
, мұндағы x 1 – a x 2 + b x + c = 0 теңдеуінің түбірі. Егер бұл теңдеудің нақты түбірлері болса.

Эллиптикалық интегралдар

Қорытындылай келе, форманың интегралдарын қарастырыңыз:
,
мұндағы R – рационал функция, . Мұндай интегралдар эллиптикалық деп аталады. Жалпы алғанда олар элементар функциялар арқылы өрнектелмейді. Бірақ мұндай интегралдар элементар функциялар арқылы өрнектелетін А, В, С, Д, Е коэффициенттері арасында байланыстар болатын жағдайлар да кездеседі.

Төменде рефлексиялық көпмүшелерге қатысты мысал келтірілген. Мұндай интегралдарды есептеу алмастырулар арқылы орындалады:
.

Мысал

Интегралды есептеңіз:
.

Ауыстыру жасайық.

.
Мұнда x > 0 (u> 0 ) жоғарғы '+ ' белгісін алыңыз. x кезінде< 0 (у< 0 ) - төменгі '- '.

.

Қолданылған әдебиет:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Жоғары математикадағы есептер жинағы, «Лан», 2003 ж.

Сондай-ақ қараңыз:

Иррационал теңдеулерді шешудің әмбебап тәсілі жоқ, өйткені олардың класы сан жағынан ерекшеленеді. Мақалада интегралдау әдісін қолдана отырып алмастыру арқылы теңдеулердің сипаттамалық түрлері көрсетіледі.

Тура интегралдау әдісін қолдану үшін ∫ k x + b p d x түріндегі анықталмаған интегралдарды есептеу керек, мұндағы p – рационал бөлшек, k және b – нақты коэффициенттер.

1-мысал

y = 1 3 x - 1 3 функциясының қарсы туындыларын табыңыз және есептеңіз.

Шешім

Интегралдау ережесі бойынша ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C формуласын қолдану керек, ал антитуындылар кестесі бұл функцияның дайын шешімі бар екенін көрсетеді. . Біз мұны түсінеміз

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + C

Жауап:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Дифференциалды белгіні қосу әдісін қолдануға болатын жағдайлар бар. Бұл p мәні рационал бөлшек деп есептелетін кезде ∫ f " (x) · (f (x)) p d x түріндегі анықталмаған интегралдарды табу принципімен шешіледі.

2-мысал

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x анықталмаған интегралды табыңыз.

Шешім

d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x екенін ескеріңіз. Содан кейін антитуынды кестелерді пайдаланып дифференциалдық таңбаны қосу керек. Біз мынаны аламыз.

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Жауап:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Анықталмаған интегралдарды шешу ∫ d x x 2 + p x + q түріндегі формуланы қамтиды, мұндағы p және q нақты коэффициенттер. Содан кейін түбірдің астынан толық шаршыны таңдау керек. Біз мұны түсінеміз

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Анықталмаған интегралдар кестесінде орналасқан формуланы қолданып, мынаны аламыз:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Содан кейін интеграл есептеледі:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

3-мысал

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 түріндегі анықталмаған интегралды табыңыз.

Шешім

Есептеу үшін 2 санын шығарып, оны радикалдың алдына қою керек:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Радикалды өрнекте толық шаршыны таңдаңыз. Біз мұны түсінеміз

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Сонда 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - түріндегі анықталмаған интегралды аламыз. 1 2 + C

Жауап: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Иррационалды функцияларды интегралдау осыған ұқсас жолмен жүзеге асырылады. y = 1 - x 2 + p x + q түріндегі функциялар үшін қолданылады.

4-мысал

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 анықталмаған интегралды табыңыз.

Шешім

Алдымен түбірдің астынан өрнектің бөлгішінің квадратын шығару керек.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Кесте интегралы ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C түрінде болады, онда ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - болатынын аламыз. 2 3 +C

Жауап:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

y = M x + N x 2 + p x + q түріндегі антитуынды иррационал функцияларды табу процесі, мұнда бар M, N, p, q нақты коэффициенттер болып табылады және үшінші типті жай бөлшектердің интегралына ұқсас. . Бұл түрлендіру бірнеше кезеңнен тұрады:

түбір астындағы дифференциалды қорытындылау, кестелік формулаларды пайдалана отырып, түбір астындағы өрнектің толық квадратын оқшаулау.

5-мысал

y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 функциясының қарсы туындыларын табыңыз.

Шешім

Шарт бойынша біз d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x және x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, онда (x + 2) d x = 1 болады. 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Интегралды есептейік: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Жауап:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

∫ x m (a + b x n) p d x функциясының анықталмаған интегралдарын іздеу алмастыру әдісі арқылы жүзеге асырылады.

Оны шешу үшін жаңа айнымалыларды енгізу қажет:

1. Егер p бүтін сан болса, онда x = z N қарастырылады, ал N - m, n үшін ортақ бөлгіш.
2. Егер m + 1 n бүтін сан болса, онда a + b x n = z N, ал N p санының бөлгіші болады.
3. m + 1 n + p бүтін сан болғанда, a x - n + b = z N айнымалысы қажет, ал N - p санының бөлгіші.

6-мысал

∫ 1 x 2 x - 9 d x анықталған интегралды табыңыз.

Шешім

∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x болатынын аламыз. Бұдан m = - 1, n = 1, p = - 1 2, онда m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 бүтін сан болатыны шығады. Пішіннің жаңа айнымалысын енгізуге болады - 9 + 2 x = z 2. х-ті z арқылы өрнектеу керек. Шығару ретінде біз оны аламыз

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Берілген интегралға ауыстыруды жасау керек. Бізде бұл бар

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Жауап:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Иррационал теңдеулерді шешуді жеңілдету үшін негізгі интегралдау әдістері қолданылады.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

астында қисынсыз%%x%% тәуелсіз айнымалысы немесе %%n \in \mathbb(N)%% көпмүшені %%P_n(x)%% белгісінің астына енгізілген өрнекті түсіну радикалды(латын тілінен түбір- түбір), яғни. бөлшек дәрежесіне көтеріледі. Айнымалыны ауыстыру арқылы %%x%% қатысты иррационал интегралдардың кейбір класстарын жаңа айнымалыға қатысты рационал өрнектерге келтіруге болады.

Бір айнымалының рационал функциясының түсінігі бірнеше аргументтерге дейін кеңейтілуі мүмкін. Егер әрбір %%u, v, \dotsc, w%% аргументі үшін функцияның мәнін есептеу кезінде тек арифметикалық амалдар және бүтін дәрежеге көтеру қамтамасыз етілсе, онда біз әдетте бұл аргументтердің рационал функциясы туралы айтамыз. %%R(u, v, \ dotsc, w)%% деп белгіленеді. Мұндай функцияның аргументтерінің өзі дербес айнымалы %%x%% функциялары болуы мүмкін, оның ішінде %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% түріндегі радикалдар. Мысалы, рационал функциясы $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ %%u = x, v = \sqrt(x)%% және %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x +) рационал функциясы. \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ %%x%% және радикалдардан %%\sqrt(x)%% және %%\sqrt(x) ^2 + 1 )%%, ал %%f(x)%% функциясы бір тәуелсіз айнымалы %%x%% иррационал (алгебралық) функция болады.

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% түріндегі интегралдарды қарастырайық. Мұндай интегралдар %%t = \sqrt[n](x)%%, содан кейін %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%% айнымалысын ауыстыру арқылы рационалдандырылады.

1-мысал

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% табыңыз.

Қажетті аргументтің интеграны %%2%% және %%3%% дәрежелі радикалдардың функциясы ретінде жазылады. %%2%% және %%3%% сандарының ең кіші ортақ еселігі %%6%% болғандықтан, бұл интеграл %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) түріндегі интеграл болады. x %% және %%\sqrt(x) = t%% ауыстыру арқылы ұтымды болуы мүмкін. Сонда %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Сондықтан $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% және $$ \begin(массив)( алайық. ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\оң) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\оң| + C \end(массив) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% түріндегі интегралдар бөлшек сызықтық иррационалдықтардың ерекше жағдайы болып табылады, яғни. %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, мұндағы %% түрінің интегралдары ad - bc \neq 0%%, оны %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, содан кейін %%x = \dfrac айнымалысын ауыстыру арқылы рационализациялауға болады. (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Сонда $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

2-мысал

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% табыңыз.

%%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%% алайық, содан кейін %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(массив)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\оң)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(массив) $$ Демек, $$ \begin(массив)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\оң)^2 )\оң) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(массив) $$

%%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% түріндегі интегралды қарастырайық. Қарапайым жағдайларда мұндай интегралдар кестелік түрге келтіріледі, егер толық квадратты оқшаулағаннан кейін айнымалылар өзгертілсе.

3-мысал

%%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%% интегралды табыңыз.

%%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% екенін ескере отырып, %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, онда $$ \begin(массив)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\оң| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\оң| + C. \end(массив) $$

Күрделі жағдайларда %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% түріндегі интегралдарды табу үшін пайдаланылады.

түріндегі интегралдар (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - бүтін сандар). Бұл интегралдарда интеграл интегралдау айнымалысы мен х-тің радикалдарына қатысты рационал болады. Олар x=t s орнына қою арқылы есептеледі, мұндағы s - бөлшектердің ортақ бөлімі, ... Айнымалыны осылай ауыстырғанда, барлық қатынастар = r 1, = r 2, ... бүтін сандар, яғни интеграл болып табылады. t айнымалысының рационал функциясына келтірілген:

түріндегі интегралдар (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - бүтін сандар). Бұл интегралдар алмастыру арқылы:

мұндағы s – бөлшектердің ортақ бөлімі, ..., t айнымалысының рационал функциясына келтіріледі.

Пішіннің интегралдары I 1 интегралын есептеу үшін түбегейлі таңбаның астындағы толық квадратты таңдаңыз:

және ауыстыру қолданылады:

Нәтижесінде бұл интеграл кестелік түрге келтіріледі:

I 2 интегралының алымында радикалдық белгі астындағы өрнектің дифференциалы ажыратылады және бұл интеграл екі интегралдың қосындысы ретінде көрсетіледі:

мұндағы I 1 – жоғарыда есептелген интеграл.

I 3 интегралының есебі I 1 интегралының есебіне ауыстыру арқылы келтіріледі:

Пішіннің интегралы Осы түрдегі интегралды есептеудің ерекше жағдайлары алдыңғы абзацта қарастырылған. Оларды есептеудің бірнеше түрлі әдістері бар. Тригонометриялық ауыстыруларды қолдануға негізделген осы әдістердің бірін қарастырайық.

Толық квадратты оқшаулау және айнымалыны өзгерту арқылы ax 2 +bx+c квадрат үшмүшелігін келесі түрде көрсетуге болады Осылайша, интегралдың үш түрін қарастырумен шектелу жеткілікті:

Ауыстыру арқылы интеграл

u=ksint (немесе u=kcost)

синт пен құнға қатысты рационал функцияның интегралына келтіреді.

Түрінің интегралдары (m, n, p є Q, a, b є R). Қарастырылып отырған интегралдар дифференциалды биномның интегралдары деп аталады, келесі үш жағдайда ғана элементар функциялар арқылы өрнектеледі:

1) егер p є Z болса, онда ауыстыру қолданылады:

мұндағы s – m және n бөлшектерінің ортақ бөлімі;

2) егер Z болса, онда ауыстыру қолданылады:

мұндағы s – бөлшектің бөлгіші

3) егер Z болса, онда ауыстыру қолданылады:

мұндағы s – бөлшектің бөлгіші