Жиынтық эквиваленттік қатынас келесі қасиеттерге ие. Эквиваленттік қатынас. Эквиваленттілік және реттілік қатынастары
Аннотация: Эквиваленттік қатынас, ішінара реттік қатынас және изоморфты жеке жиындар сияқты көптеген жаңа ұғымдар сипатталған. Осы тақырып бойынша бірнеше теоремалар егжей-тегжейлі түсініктемелермен, графиктермен және мысалдармен дәлелденген. Ішінара бұйрықтардың көптеген мысалдары келтірілген. Басқалардан реттелген жинақтарды құруға мүмкіндік беретін бірнеше конструкциялар сипатталған. Дәріс өз бетінше шешуге арналған көптеген тапсырмалармен сипатталады
Эквиваленттілік және реттілік қатынастары
Естеріңізге сала кетейік екілік қатынасжиында ішкі жиын деп аталады; орнына 
жиі жазады.
Жиындағы екілік қатынас деп аталады эквиваленттік қатынас, егер келесі қасиеттер орындалса:
Келесі айқын, бірақ жиі қолданылатын мәлімдеме дұрыс:
Теорема 11. (а) Егер жиын бөлінбейтін ішкі жиындардың бірлігіне бөлінген болса, онда «бір жиында жату» қатынасы эквиваленттік қатынас болып табылады.
(b) Кез келген нәрсе эквиваленттік қатынаскейбір бөлімнен сипатталған жолмен алынады.
Дәлелдеу. Бірінші мәлімдеме өте анық; Біз эквиваленттік анықтаманың барлық нүктелері қолданылатын жерде көрінетіндей етіп, екіншісінің дәлелін береміз. Сонымен, эквиваленттік қатынас болсын. Әрбір элемент үшін оны қарастырыңыз эквиваленттік класс- ақиқат болатын барлығының жиынтығы.
Екі түрлі , мұндай жиындар не қиылыспайтынын, не сәйкес келмейтінін дәлелдейік. Олар қиылыссын, яғни ортақ элементі болсын. Сонда және , мұндағы (симметрия) және (өтпелілік), сондай-ақ (симметрия). Демек, оның кез келгені үшін келесі (өтпелілік) және керісінше.
Айта кету керек, рефлексивтіліктің арқасында әрбір элемент өзі анықтайтын классқа жатады, яғни бүкіл жиынтық шын мәнінде ажыраған сыныптарға бөлінеді.
78. Симметрия мен өтпелілік талаптарын біреумен ауыстыруға болатынын көрсетіңіз: (рефлексивтілік талабын сақтай отырып).
79. Жиында неше түрлі эквиваленттік қатынастар бар 
?
80. Жиында екі эквиваленттік қатынас беріледі, сәйкесінше және деп белгіленеді, сәйкесінше және эквиваленттік кластары бар. Олардың қиылысуы эквиваленттік қатынас бола ма? Оның қанша сабағы болуы мүмкін? Не туралы айта аласыз қатынастардың бірігуі?
81. (Рэмси теоремасы) Шексіз жиынның барлық - элементар ішкі жиындарының жиыны кластарға (, - натурал сандар) бөлінеді. Бар екенін дәлелдеңіз шексіз жиын, барлық элементтік ішкі жиындары бір сыныпқа жатады.
(Бұл анық: егер шексіз жиынкласстардың шектеулі санына бөлінеді, онда класстардың бірі шексіз болады. Қашан және мәлімдемені былай тұжырымдауға болады: адамдардың шексіз жиынтығынан не шексіз көп жұптық таныстарды, не шексіз көп жұптық бейтаныс адамдарды таңдауға болады. Бұл мәлімдеменің соңғы нұсқасы - кез келген алты адамның ішінде үш жұптық таныс немесе үш жұптық бейтаныс адам бар - бұл мектеп оқушылары үшін белгілі мәселе.)
Эквиваленттік кластар жиынтығы деп аталады фактор – көпэквиваленттік қатынас арқылы жиналады. (Егер қатынас қосымша құрылымдармен сәйкес келсе, біз факторлық топтарды, факторлық сақиналарды және т.б. аламыз.)
Біз эквиваленттік қатынастарды бірнеше рет кездестіреміз, бірақ әзірге біздің басты тақырыбымыз реттік қатынастар болып табылады.
Жиындағы екілік қатынас деп аталады ішінара реттілік қатынасы, егер келесі қасиеттер орындалса:
(Дәстүр бойынша біз реттік қатынастың белгісі ретінде таңбаны (әріпті емес) пайдаланамыз.) Жартылай реттік қатынасы берілген жиын деп аталады. ішінара тапсырыс берілді.
Олар екі элемент дейді ішінара тапсырыс берілдіжинақтар салыстырмалы, егер немесе . Жартылай реттің анықтамасы жиынның кез келген екі элементінің салыстырмалы болуын талап етпейтінін ескеріңіз. Бұл талапты қосу арқылы біз анықтама аламыз сызықтық тәртіп (сызықтық реттелген жиын).
Мұнда ішінара тапсырыстардың кейбір мысалдары берілген:
- Кәдімгі реттік қатынасы бар сандық жиындар (мұнда тәртіп сызықтық болады).
- Барлық нақты сандар жұптарының жиынында біз енгізе аламыз ішінара тапсырыс, ескерсек, егер және . Бұл тәртіп енді сызықты болмайды: жұптар салыстыруға келмейді.
- Нақты аргументтер мен мәндері бар функциялар жинағына енгізуге болады ішінара тапсырыс, егер
барлығының алдында. Бұл тәртіп сызықтық болмайды. - Натурал сандар жиынында , егер бөлетінін ескере отырып, ретті анықтай аламыз. Бұл реттілік те сызықты болмайды.
- «Санның кез келген жай бөлгіші де санның бөлгіші болып табылады» қатынасы натурал сандар жиынындағы реттік қатынас болмайды (ол рефлексивті және өтпелі, бірақ антисимметриялық емес).
- Ерікті жиын болсын. Содан кейін жиынның барлық ішкі жиындарының жиынында қосу қатынасы ішінара реттілік болады.
- Орыс алфавитінің әріптерінде дәстүр белгілі бір тәртіпті анықтайды (). Бұл тәртіп сызықтық - кез келген екі әріп үшін қайсысы бірінші келетінін анықтауға болады (қажет болса, сөздікке қарап).
- Орыс алфавитіндегі сөздермен анықталған лексикографиялықреті (сөздіктегідей). Оны формальды түрде былайша анықтауға болады: егер сөз сөздің басы болса, онда (мысалы, ). Егер сөздердің ешқайсысы екіншісінің басы болмаса, сөздердің айырмашылығына қарай бірінші әріпке қараңыз: алфавиттік тәртіпте бұл әріп кішірек болатын сөз кішірек болады. Бұл тәртіп те сызықты (әйтпесе сөздік құрастырушылар не істейді?).
- Теңдік қатынасы да () болады ішінара реттілік қатынасы, ол үшін екі түрлі элемент салыстыруға келмейді.
- Енді күнделікті мысал келтірейік. Картон қораптары көп болсын. Қорап толығымен қораптың ішіне кіретінін ескере отырып, оған тәртіп енгізейік (немесе егер және сол қорап болса). Жәшіктер жинағына байланысты бұл тәртіп сызықты болуы немесе болмауы мүмкін.
ҚАТЫНАС
Қатынастар – бір жиынның элементтері арасындағы сәйкестіктер, яғни негізгі жиынтықтары сәйкес келетін сәйкестіктер:
x A, y Aкөзқарас Г = ((x,y)| P(x,y)), P(x,y)кейбір мәлімдеме (предикат).
Егер (x,y) Г,сосын соны айтады Xқатынаста болады ГКімге сағ.
Мысалы, бірдей қалдыққа ие болу (сандар үшін), сызықтан бірдей қашықтықта болу (нүктелер үшін), отбасылық қарым-қатынастар немесе көршілік қатынастары (көп адамдар үшін).
Неғұрлым қатаң анықтама:
Екілік қатынас екі жиыннан тұрады:
1) тірек жинағы А,
2) тірек жиынының квадратының ішкі жиыны болып табылатын Г=((x,y)| x A, y A) жұптар жиыны.
N-арлы қатынас немесе n-арлы (үштік, төрттік, ...) қатынас тірек жиын болып табылады. Ажәне кортеж өлшемдерінің жиындары n, ол жиынның ішкі жиыны болып табылады А н.
Үштік қатынастың мысалы: «үш ойыншының» бөлігі болу.
Егер қатынас жай кортеждер жиыны ретінде түсінілсе (тірек жиыны жоқ), онда жиындар теориясының барлық заңдарын қолдануға болады. Әмбебап жиын тірек жиынының квадраты болады, яғни барлық мүмкін кортеждердің жиыны (әрбір элемент әрбір басқа элементке қатысты болғанда).
Қатынасты объектінің айнымалыларының екі орындық предикаты ретінде де анықтауға болады x, y, егер ол “true” мәнін қабылдайды (x, y) Gжәне тиесілі болмаса false.
Белгілері: (x, y) Г, у = Г(x), у = Гxнемесе жай xGu, мысалы, теңдік қатынасы (x = y), реттілік қатынасы (X< у) .
Егер (x, y) G, Бұл xGu«ақиқат» мәнін қабылдайды, әйтпесе – «жалған».
Егер қатынастар дискретті жиында көрсетілсе, оларды матрица түрінде жазуға болады
A i, j = 
Қатынас сәйкестіктің ерекше жағдайы, ол үшін кері қатынастарды, қатынастар құрамын енгізуге болады:
Г -1 =((y,x)| (x,y) Г), Г ◦ Δ = ((x,z) | y ((x,y) Г &(y,z Δ))).
Олар «бірлік элементі» Δ 0 = ((x,x)) – «өзіне қатысты болу» ұғымын енгізеді. Матрицалық көріністе бұл негізгі диагональ болады).
Бинарлы қатынастардың қасиеттері
1 Рефлексивтілік – «өзіне қатысты болу»
xGx - шын(мысалы, қарым-қатынастар x=x, x≤x, x≥x).
2 Антирефлексивтілік - «өзіне қатысты болмау»
xGx - өтірік(мысалы, қарым-қатынастар x≠x, x
Егер жиын «рефлексивті» болмаса, бұл оның «антирефлексивті» екенін білдірмейді.
3 Симметрия «Қай элементтің бірінші, қайсысы екінші екенін тәуелсіздік»
хГу – ақиқат → уГх – ақиқат(мысалы, қарым-қатынастар x=y, x≠y).
4 Антисиметрия «аспау»
(xGy – ақиқат) & (yGx – ақиқат) → (x=y) (мысалы, қатынастар x≤y, x≥y).
5 Асимметрия (симметрия емес) «асу»
xGy – ақиқат → yGx – жалған (мысалы, қатынастар X<у, х>сағ).
6. Өтпелілік «берілу»
(xГу – ақиқат) & (yГz – ақиқат) → (хГz – ақиқат)(мысалы, қарым-қатынастар x=y, x<у, х>y, x≤y, x≥y, көзқарас x≠yөтпелілігі жоқ).
АРНАЙЫ ЕКІЛІК ҚАТЫНАСТАР
«Эквиваленттік қатынасты», «қатаң емес тәртіп қатынасын», «қатаң реттік қатынасты» және «үстемдік қатынасын» қарастырайық.
Эквиваленттік қатынас
Эквиваленттік қатынас рефлексивті болып табылады(x~x), симметриялы ((x~y)=(y~x)), өтпелі ((x~y)&(y~z)→(x~z)) көзқарас.
Мысалдар: теңдік, сәйкестік, жиындардың эквиваленттігі, логикалық тұжырымдардың теңдігі, геометриялық фигуралардың ұқсастығы, түзулердің параллелдігі, бірақ түзулердің перпендикулярлығы эквиваленттік қатынас емес.
Бір элементке эквивалентті элементтердің ішкі жиыны деп аталады эквиваленттік класснемесе тиісті сынып.
Класстың кез келген элементі класс өкілі деп аталады.
Қасиеттер.
Сыныптағы барлық элементтер бір-біріне эквивалентті.
Әртүрлі сыныптардың элементтері эквивалентті емес.
Бір элемент тек өз класына жатады.
Бүкіл жиынды сыныптар одағы ретінде көрсетуге болады.
Осылайша, эквиваленттік кластардың жиынтығы немесе сыныптардың толық жүйесі тірек жиынының бөлімін құрайды. Еске салғыш: жиынды бөлу оны бөлінген ішкі жиындар ретінде көрсетеді.
Бөлу индексі– эквиваленттік кластардың саны.
Факторлар жиыныэквиваленттік қатынасқа қатысты бұл барлық класстардың немесе сынып өкілдерінің жиынтығы.
Факторлар жиынының кардиналдығы бөлу индексіне тең.
Қарым-қатынасқа тапсырыс беру
Реттік қатынас екілік қатынастың екі түріне жатады.
Қатынас бос тәртіпрефлексивті деп аталады (x≥x), антисимметриялық ((x≤y)&(y≤x)→ (x=y)), өтпелі ((x≥y)&(y≥z)→(x≥z)) көзқарас.
Олар жиынтықта бос тәртіп бар дейді. ≤ , ≥ ұғымдары кеңірек мағынаға ие: жаман емес - жақсы емес, ерте емес - кейін емес және т.б. Жиын теориясында қатаң емес тәртіптің мысалы қатаң емес қосу болып табылады (басқа жиынның ішкі жиыны болып табылатын0.
Қатынас қатаң тәртіпантирефлексивті деп аталады ((X
((x>y)&(y
Олар жиынтықта қатаң тәртіп бар дейді. Ұғымдарда< , >оларда кеңірек мағына бар: нашар – жақсы, ерте – кеш және т.б. Жиын теориясында қатаң тәртіптің мысалы ретінде қатаң қосу (басқа жиынның оған тең болмай ішкі жиыны болу) табылады.
Тапсырыс берілген жиынтықтар
Жиын деп аталады сызықтық реттелген, кез келген элементті салыстыруға болатын болса (яғни: үлкен, кіші немесе тең).
Нақты немесе бүтін сандар жиыны: реттелген жиынның классикалық мысалдары.
Егер барлық элементтер жұптары үшін емес, жиында реттік қатынас орнату мүмкін болса, онда мұндай жиын деп аталады. ішінара тапсырыс берілді.
Бұл жиындар теориясындағы векторлар жиыны, күрделі сандар жиыны, жиындар. Кейбір жағдайларда біз «көп болса азырақ» немесе «үстіңгі жиын және ішкі жиын бол» деп айта аламыз, бірақ барлық жағдайда емес.
Қатысты анықтамалар
Барлық эквиваленттік кластардың жиыны арқылы белгіленеді.
Эквиваленттік қатынастардың мысалдары
Неғұрлым күрделі мысал, бірақ өте маңызды:
Дәрігер сізге дәрі-дәрмек жазып бергенде, ол іс жүзінде рецептте баламалы дәрілік заттардың класын көрсетеді, ол таблеткалар немесе ампулалар қаптамасының толық нақты көшірмесін көрсете алмайды. Анау. Дәрілік заттардың барлық түрлері эквиваленттік қатынастар бойынша кластарға бөлінеді. Егер бұл факт болмаса, қазіргі заманғы медицина мүмкін емес еді.
Осылайша, салаттар мен коктейль рецепттерінің барлық түрлері, ГОСТ және классификаторлар да өмірлік эквиваленттік қатынастарды анықтайды. Эквиваленттік қатынастар біздің бүкіл өмірімізді толтырады және математиктер үшін абстрактылы ермек емес.
Карталарды факторизациялау
Эквиваленттік қатынасқа сәйкес келетін эквиваленттік кластар жиыны таңбамен белгіленеді және деп аталады. фактор жиынысалыстырмалы. Сонымен қатар, суръективті карталау
шақырды табиғи көрініс(немесе канондық проекция) факторлар жиынына.
, жиындар болсын, салыстыру болсын, содан кейін ережемен анықталатын екілік қатынас
бойынша эквиваленттік қатынас болып табылады. Бұл жағдайда салыстыру ережемен анықталған салыстыруды тудырады
немесе, не бірдей,
.Бұл жағдайда ол шығады факторизациясюрьективті картаға және инъекциялық картаға салыстыру.
Карталық факторизация гуманитарлық ғылымдарда және технологияның сандық мәндерді пайдалану мүмкін емес салаларында кеңінен қолданылады. Салыстырмалы факторизация формулаларды қолдануға болмайтын формулаларсыз орындауға мүмкіндік береді. Кез келген адамға түсінікті және күрделі математикалық символизмді түсінуді қажет етпейтін мысал келтірейік.
Мектеп кестесі факторизацияның типтік мысалы болып табылады. Бұл ретте барлық мектеп оқушыларының жиыны, барлық оқу пәндерінің жиыны, апта күндері бойынша бөлінген, сабақ уақытын көрсете отырып. Эквиваленттік сыныптар – сыныптар (оқушылар тобы). Көрсеткіш – оқушылардың күнделіктерінде көрсетілетін сабақ кестесі. Көрсеткіш – мектеп фойесінде ілінген сабақ кестесі. Мұнда сонымен қатар дисплей бар - сыныптар тізімі. Бұл мысал факторизацияның практикалық артықшылықтарын өте айқын көрсетеді: сынып кестесін мектептің барлық оқушыларын жеке көрсететін кесте ретінде елестету мүмкін емес. Факторизация студенттерге қажетті ақпаратты формулаларды қолдануға болмайтын жағдайларда қолдануға ыңғайлы ықшам түрде көрсетуге мүмкіндік берді.
Алайда факторизацияның пайдасы мұнымен шектелмейді. Факторизация әрекетке қатысушылар арасында еңбек бөлінісіне мүмкіндік берді: жетекші мұғалім кесте жасайды, ал оқушылар оны күнделіктеріне жазып алады. Сол сияқты рецепттерді факторизациялау диагнозды қоятын және рецепт жазатын дәрігер мен тағайындалған дәрілердің баламалылығын қамтамасыз ететін фармацевт арасында еңбек бөлінісіне мүмкіндік берді. Факторизацияның апотеозы бөлшектерді стандарттау арқылы максималды еңбек бөлінісін жүзеге асыратын конвейер лентасы болып табылады.
Бірақ факторизацияның пайдасы мұнымен шектелмейді. Факторизация заманауи технологияның модульділігін қамтамасыз етуге мүмкіндік берді, бұл оған функциялардың бұрын-соңды болмаған икемділігін береді. Ескі SIM картасын сақтап, онымен бірге жүру үшін мүлдем жаңа телефон сатып алуға немесе ескі компьютерге жаңа бейне жадын салуға болады. Мұның бәрі факторизацияға негізделген икемділік, модульдік.
Әдебиет
- А.И.Кострикин, Алгебраға кіріспе. М.: Наука, 1977, 47-51.
- Мальцев А.И, Алгебралық жүйелер, М.: Наука, 1970, 23-30.
- В.В.Иванов, Математикалық талдау. НМУ, 2009 ж.
да қараңыз
- Толеранттылық қатынасы эквиваленттіктің әлсіреген түрі болып табылады.
- Эквиваленттілік – логикалық операция.
Викимедиа қоры. 2010.
- Аурухана пневмониясы
- Митель
Басқа сөздіктерде «Эквиваленттік қатынас» деген не екенін қараңыз:
эквиваленттік қатынас- - Телекоммуникация тақырыптары, негізгі түсініктер EN эквиваленттік қатынасы... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық
Теңдік типтік қатынас- әртүрлі объектілерде бірдей белгілердің (қасиеттердің) болу фактісін білдіретін эквиваленттік қатынас, логика мен математика ұғымы. Осындай ортақ сипаттамаларға қатысты бұл әртүрлі объектілерді ажыратуға болмайды (бірдей, тең,... ...
Толеранттылық қатынасы- Бұл терминнің басқа да мағыналары бар, Толеранттылық дегенді қараңыз. Жиындағы төзімділік қатынасы (немесе жай ғана төзімділік) рефлексиялық және симметрия қасиеттерін қанағаттандыратын екілік қатынас болып табылады, бірақ міндетті емес... ... Wikipedia
Қатынас (математика)- Бұл терминнің басқа да мағыналары бар, Қараңыз. Қатынас - бұл әртүрлі объектілердің қасиеттерін және олардың байланыстарын формальды түрде анықтайтын математикалық құрылым. Қарым-қатынастар әдетте байланыстырылатын нысандардың саны бойынша жіктеледі... Уикипедия
КӨЗҚАРАС- логикада қасиетке қарағанда жеке затты емес, жұпты, үшті және т.б. сипаттайтын нәрсе. заттар. Дәстүрлі логика О.-ны қарастырмады; қазіргі логикада О. екі немесе одан да көп айнымалылардың болжамды функциясы болып табылады. Екілік... Философиялық энциклопедия
Артықшылық қатынасы- тұтынушы теориясында бұл тұтынушының әртүрлі тауарлар жиынтығын (тұтынушы жиынтықтарын) салыстыру (қалау бойынша тапсырыс беру) қабілетінің ресми сипаттамасы. Артықшылық қатынасын сипаттау үшін қалаулылықты өлшеу қажет емес... ... Wikipedia
Қатынас (философиялық)- қатынас, белгілі бір жүйе элементтерінің орналасу сипатын және олардың өзара тәуелділігін білдіретін философиялық категория; адамның бір нәрсеге деген эмоционалды-ерікті қатынасы, яғни өз ұстанымын білдіруі; әртүрлі объектілерді ойша салыстыру...... Ұлы Совет энциклопедиясы
көзқарас- ҚАТЫНАСТЫҚ – реттелген n ok жеке тұлғалардың жиынтығы (мұндағы n – 1), яғни. екі, үш, т.б. n саны «жергілікті» немесе «ариты» деп аталады, O. және, тиісінше, олар n жергілікті (n arno) O туралы айтады. Сонымен, мысалы, қос О. деп аталады... ... Гносеология және ғылым философиясы энциклопедиясы
Қатынас- I Қатынас – белгілі бір жүйе элементтерінің орналасу сипатын және олардың өзара тәуелділігін білдіретін философиялық категория; адамның бір нәрсеге деген эмоционалды-ерікті қатынасы, яғни өз ұстанымын білдіруі; әртүрлі психикалық салыстыру ... ... Ұлы Совет энциклопедиясы
Эквиваленттілік класы- Х жиынындағы эквиваленттік қатынас () екілік қатынас болып табылады, ол үшін келесі шарттар орындалады: Рефлексия: X ішіндегі кез келген а үшін, Симметрия: егер, онда, Өтпелілік: егер... Wikipedia
Кітаптар
- Салыстырмалы белгісіздік жағдайында қаржылық шешімдерді қабылдау: Монография, Байюк О.А.. Монографияда салыстыруға келмейтін объектілер арасында таңдау жасау кезінде жаңа логикалық шешім қабылдау стратегиясы әзірленеді және теориялық негізделеді, артықшылықтың ерекше қатынасын орнату және...
I. Сыныптарға бөлу. Эквиваленттік қатынас
Анықтама 2.1. Берілген жағдайда маңызды болып табылатын формальды белгілердің бірдей жиынына ие берілген М жиынының объектілерін ғана ауыстырылатындар деп атаймыз.
Х объектісімен ауыстырылатын барлық объектілер жиынын M x деп белгілейік. x M x және барлық M x бірлестігі (М-дан барлық мүмкін x үшін) толық М жиынымен сәйкес келетіні анық:
Солай етейік. Бұл z элементінің бір уақытта және және -ге тиесілі екенін білдіреді. Демек, х z-мен, ал z-мен у-мен ауыстырылады. Демек, х у-мен, демек, кез келген элементімен ауыстырылады. Осылайша. Кері ауысу дәл осылай көрсетіледі. Осылайша, (2.1) одақта кездесетін жиындар не қиылыспайды, не толық сәйкес келеді.
Анықтама 2.2. М жиынының бос емес ішкі жиындар жүйесін (M 1, M 2,….) осы жиынның бөлімі деп атаймыз, егер
Жиындардың өздері бөлім кластары деп аталады.
Анықтама 2.3. M жиынындағы c қатынасы эквиваленттілік (немесе эквиваленттік қатынас) деп аталады, егер M жиынының (x, y) орындалатындай бөлігі (M 1, M 2,...) болса, тек x және y берілген бөлімнің кейбір жалпы M i класына жатады.
(M 1 , M 2 ,….) M жиынының бөлімі болсын. Осы бөлімге сүйене отырып, c-дан M-ге қатынасты анықтаймыз: (x, y), егер x және y кейбір жалпы M i класына жататын болса. осы бөлімнің. -мен қатынасы эквиваленттік екені анық. Берілген бөлімге сәйкес келетін эквиваленттік қатынаспен шақырайық.
Анықтама 2.4. Әрбір M i жиынында оның құрамындағы x i элементін таңдасақ, онда бұл элемент сол M i жиынына кіретін әрбір y элементі үшін стандарт деп аталады. Анықтама бойынша c* «стандарт болу» (x i, y) қатынасы орындалды деп есептейік.
Берілген бөлімге сәйкес келетін с эквиваленттілігін келесі түрде анықтауға болатынын байқау қиын емес: (z, y) егер z және y ортақ стандарты (x i, z) және (x i, y) болса.
2.1-мысал: Теріс емес бүтін сандар жиынын M ретінде қарастырып, оның бөлімін жұп сандардың M 0 жиынына және тақ сандардың M 1 жиынына алайық. Бүтін сандар жиынындағы сәйкес эквиваленттік қатынас келесі түрде белгіленеді:
және оқылады: n m модулімен 2 салыстырылады. Стандарттар ретінде жұп сандар үшін 0 және тақ сандар үшін 1 таңдау табиғи нәрсе. Сол сияқты, бірдей M жиынын k ішкі жиынына бөлу M 0, M 1,... M k-1, мұндағы M j барлық сандардан тұрады, олар k-ке бөлінгенде j қалдығын береді, біз эквиваленттік қатынасқа келеміз:
Бұл орындалады, егер n және m k-ге бөлгенде бірдей қалдық болса.
Әрбір M j-де стандарт ретінде сәйкес j қалдығын таңдау табиғи нәрсе.
II. Факторлар жиыны
Эквиваленттік қатынас болсын. Сонда теорема бойынша М жиынының өзара эквивалентті элементтер кластарына бөлінуі (M 1, M 2,....) бар – эквиваленттік кластар деп аталатындар.
Анықтама 2.5. Қатынасқа қатысты эквиваленттік кластар жиыны М/ арқылы белгіленеді және қатынасқа қатысты М жиынының бөлінділер жиыны ретінде оқылады.
μ: M > S M жиынының кейбір S жиынына сюръективті кескіні болсын.
Кез келген μ: M > S үшін – суръективті кескіндеу M жиынында M/ және S бір-бірден сәйкестікке қоюға болатындай эквиваленттік қатынас бар.
III. Эквиваленттілік қасиеттері
Анықтама 2.6. М жиынындағы c қатынасы рефлексивті, симметриялы және өтпелі болса, эквиваленттік қатынас деп аталады.
Теорема 2.1: Егер M жиынындағы c қатынасы рефлексивті, симметриялы және өтпелі болса, M жиынының (x, y) х және болған жағдайда ғана орындалатындай бөлімі (M 1 , M 2 ,….) болады. y берілген бөлімнің кейбір жалпы M i класына жатады.
Керісінше: Бөлім берілсе (M 1, M 2,....) және екілік қатынас c «бөлудің жалпы класына жатады» деп берілсе, онда с рефлексивті, симметриялы және өтпелі болады.
Дәлелдеу:
M-ге рефлексивті, симметриялы және транзитивті қатынасты қарастырайық. Кез келген z-ден (x, z) c тұратын болсын.
Лемма 2.1: Кез келген x және у үшін немесе
С қатынасының леммасы мен рефлексивтілігінен форма жиындары М жиынының бөлігін құрайтыны шығады (бұл бөлімді табиғи түрде бастапқы қатынасқа сәйкес келетін бөлім деп атауға болады). Енді (x, y) в болсын. Бұл y дегенді білдіреді. Бірақ сонымен бірге х (x, x) арқылы c. Демек, екі элемент те кіреді. Сонымен, егер (x, y) c, онда x және y жалпы бөлімдер класына кіреді. Керісінше, u және v. (u, v) c екенін көрсетейік.Шынында, бізде (x, u) c және (x, v) c бар. Демек, симметрия бойынша (u, x) c. Транзиттілік бойынша (u, x) c және (x, v) c-дан (u, v) c шығады. Теореманың бірінші бөлімі дәлелденді.
М жиынының бөлімі (M 1, M 2,….) берілсін. бөлімнің барлық класстарының бірігуі M-мен сәйкес келеді, онда кез келген х кейбір класқа кіреді. Бұдан шығатыны (х, х) с, яғни. s - рефлексиялық. Егер х пен у қандай да бір сыныпта болса, онда у мен х бір сыныпта болады. Бұл (x, y) c мәні (y, x) c білдіреді, яғни. қатынас симметриялы болады. Енді (x, y) c және (y, z) c орындалсын. Бұл х пен у кейбір сыныпта, ал у мен z кейбір сыныпта екенін білдіреді. Сыныптардың ортақ y элементі бар, сондықтан сәйкес келеді. Бұл x және z сыныпқа енгізілгенін білдіреді, яғни. (x, z) орындалады және қатынас өтпелі. Теорема дәлелденді.
IV. Эквиваленттіліктерге амалдар.
Мұнда біз эквиваленттіліктерге кейбір жиынтық-теориялық амалдарды анықтаймыз және олардың маңызды қасиеттерін дәлелсіз келтіреміз.
Еске салайық, қатынас жұп (), мұндағы M қатынасқа кіретін элементтер жиыны және қатынас қанағаттандырылатын жұптар жиыны.
Анықтама 2.7. (c 1, M) және (c 2, M) қатынастарының қиылысы - сәйкес ішкі жиындардың қиылысуымен анықталатын қатынас. (x, y) 1-мен 2-мен, егер (х, у) 1-мен және (х, у) бір уақытта 2 болса ғана.
2.2 теорема: 1-мен 2-мен 1-мен 2-нің теңдігінің қиылысуының өзі эквиваленттік қатынас болып табылады.
Анықтама 2.8. (1-мен, М-мен) және (2-мен, М-мен) қатынастардың бірігуі сәйкес ішкі жиындардың бірігуімен анықталатын қатынас болып табылады. (x, y) 1-мен 2-мен, егер (х, у) 1-мен немесе (х, у) 2 болса ғана.
Теорема 2.3: 1-мен 2-ге тең эквиваленттердің бірігуі өз бетінше эквиваленттік қатынас болуы үшін, бұл қажет және жеткілікті
1-ден 2-ге дейін = 1-ден 2-ге дейін
Анықтама 2.9. (c 1, M 1) және (c 2, M 2) қатынастарының тура қосындысы қатынас деп аталады). Тура қосынды (c 1, M 1) (c 2, M 2) деп белгіленеді.
Осылайша, егер (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), онда M =.
Теорема 2.4: Егер, және қатынастары тең болса, онда (c 1, M 1) (c 2, M 2) = () қатынастарының тура қосындысы да тепе-теңдік болады.
V. Қарым-қатынас түрлері
Қарым-қатынастың тағы бірнеше маңызды түрлерін енгізейік. Мысалдар үшінші тарауда беріледі.
Анықтама 2.10. М жиынындағы c қатынасы, егер ол рефлексиялық және симметриялы болса, төзімділік деп аталады.
Анықтама 2.11. М жиынындағы c қатынасы, егер ол рефлексияға қарсы және өтпелі болса, қатаң ретті қатынас деп аталады.
Анықтама 2.12. Қатаң реттілік қатынасы, егер M-дан (x, y) немесе (y, x) кез келген х және у элементтер жұбы үшін ақиқат болса, мінсіз қатаң тәртіп деп аталады.
Анықтама 2.13. М жиынындағы c қатынасы қатаң емес ретті қатынас деп аталады, егер оны келесі түрде көрсетуге болады:
мұнда М бойынша қатаң тәртіп бар, ал E диагональдық қатынас.
Дәріс 22. Жиынтықтағы теңдік және реттілік қатынастары
1. Эквиваленттік қатынас. Эквиваленттік қатынас пен жиынның кластарға бөлінуі арасындағы байланыс.
2. Тәртіп қатынасы. Қатаң және қатаң емес тәртіп қатынастары, сызықтық тәртіп қатынастары. Жиынтықтарға тапсырыс беру.
3. Негізгі қорытындылар
Бөлшектердің жиынын қарастырайық X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) теңдік қатынасы. Бұл қатынас:
Рефлексиялық, өйткені әрбір бөлшек өзіне тең;
Симметриялы түрде, өйткені бөлшек болғандықтан м/nбөлшекке тең б/q, одан бөлшек екені шығады б/qбөлшекке тең м/n;
Өтпелі, өйткені бөлшек болғандықтан м/nбөлшекке тең б/qжәне бөлшек б/qбөлшекке тең r/с, одан бөлшек екені шығады м/nбөлшекке тең r/с.
Бөлшектердің теңдік қатынасы деп аталады эквиваленттік қатынас.
Анықтама. Х жиынындағы R қатынасы, егер ол бір уақытта рефлексиялық, симметриялық және өтпелілік қасиеттеріне ие болса, оны эквиваленттік қатынас деп атайды.
Эквиваленттік қатынастардың мысалдары геометриялық фигуралардың теңдік қатынастары, түзулердің параллельдік қатынасы (егер сәйкес келетін түзулер параллель деп есептелсе).
Неліктен математикада қарым-қатынастың бұл түрі ерекшеленген? Жиында анықталған бөлшектердің теңдік қатынасын қарастырайық X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (106-сурет). Жиынның үш ішкі жиынға бөлінгенін көреміз: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). Бұл ішкі жиындар қиылыспайды және олардың бірігуі жиынмен сәйкес келеді X,анау. бізде жиынның бір бөлігі бар Xсыныптарға. Бұл кездейсоқ емес.
Мүлде, егер Х жиынында эквиваленттілік қатынасы берілсе, онда ол осы жиынның жұппен бөлінген ішкі жиындарға (эквиваленттік кластар) бөлімін жасайды.
Осылайша, біз бөлшектер жиынындағы теңдік қатынасы (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) осы жиынның эквиваленттік кластарға бөлінуіне сәйкес келетінін анықтадық. , олардың әрқайсысы өзара тең бөлшектерден тұрады.
Керісінше де дұрыс: егер Х жиынында анықталған кез келген қатынас осы жиынның класстарға бөлінуін тудырса, онда ол эквиваленттік қатынас болып табылады.
Мысалы, түсірілім алаңын қарастырайық X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) «3-ке бөлгенде бірдей қалдық болу» қатынасы. Ол жиынның бөлімін жасайды Xсыныптарға бөлінеді: біреуі 3-ке бөлгенде 0 қалдығын (бұл 3, 6, 9 сандары) қалдыратын барлық сандарды, екіншісі - 3-ке бөлгенде 1 қалдығын қалдыратын сандарды (бұл сандар 1, 4 сандары) қамтиды. , 7 , 10), ал үшіншісінде - барлық сандар, 3-ке бөлгенде қалдық 2 болады (бұл 2, 5, 8 сандары). Шынында да, алынған ішкі жиындар қиылыспайды және олардың бірігуі жиынмен сәйкес келеді X.Демек, жиында «3-ке бөлгенде бірдей қалдық болады» қатынасы анықталған X,эквиваленттік қатынас болып табылады. Эквиваленттік қатынас пен жиынды сыныптарға бөлу арасындағы байланыс туралы мәлімдеме дәлелдеуді қажет ететінін ескеріңіз. Біз оны қойып жатырмыз. Айталық, егер эквиваленттік қатынастың аты болса, онда сәйкес атау сыныптарға беріледі. Мысалы, егер сегменттер жиынында теңдік қатынасы көрсетілсе (және ол эквиваленттік қатынас болса), онда кесінділер жиыны тең сегменттер кластарына бөлінеді (99-суретті қараңыз). Ұқсастық қатынасы үшбұрыштар жиынын ұқсас үшбұрыштар кластарына бөлуге сәйкес келеді.
Сонымен, белгілі бір жиында эквиваленттік қатынасқа ие бола отырып, біз бұл жиынды кластарға бөлуге болады. Бірақ сіз керісінше жасай аласыз: алдымен жиынды сыныптарға бөліңіз, содан кейін екі элемент қарастырылып отырған бөлімнің бір класына жататын болса ғана баламалы болатынын ескере отырып, эквиваленттік қатынасты анықтаңыз.
Кейбір эквиваленттік қатынасты пайдаланып жиынды кластарға бөлу принципі математиканың маңызды принципі болып табылады. Неліктен?
Біріншіден, эквивалент – бұл эквивалентті, алмастырылатынды білдіреді. Демек, бірдей эквиваленттік кластың элементтері бір-бірін алмастырады. Сонымен, бірдей эквиваленттік кластағы бөлшектерді (1/2, 2/4, 3/6) теңдік қатынасы тұрғысынан ажыратуға болмайды, ал 3/6 бөлігін басқасымен ауыстыруға болады, мысалы 1 /2. Және бұл ауыстыру есептердің нәтижесін өзгертпейді.
Екіншіден, эквиваленттік класта қандай да бір қатынас тұрғысынан ажыратылмайтын элементтер болғандықтан, эквиваленттілік класы оның кез келген өкілдерімен анықталады деп есептейміз, яғни. осы сыныптың ерікті элементі. Осылайша, тең бөлшектердің кез келген класын осы сыныпқа жататын кез келген бөлшекті көрсету арқылы көрсетуге болады. Эквиваленттік класты бір өкіл арқылы анықтау жиынның барлық элементтерінің орнына эквиваленттік кластардан жеке өкілдер жиынын зерттеуге мүмкіндік береді. Мысалы, көпбұрыштар жиынында анықталған «төбелердің бірдей санына ие болу» эквиваленттік қатынасы осы жиынның үшбұрыштар, төртбұрыштар, бесбұрыштар және т.б. кластарына бөлінуін жасайды. Белгілі бір класқа тән қасиеттер оның өкілдерінің бірінде қарастырылады.
Үшіншіден, эквиваленттік қатынасты пайдаланып жиынды сыныптарға бөлу жаңа ұғымдарды енгізу үшін қолданылады. Мысалы, «сызықтар шоғыры» ұғымын параллель түзулерге ортақ ұғым ретінде анықтауға болады.
Жалпы алғанда, адам әрекет ететін кез келген концепция белгілі бір эквиваленттілік класын білдіреді. «Үстел», «үй», «кітап» - бұл ұғымдардың барлығы бірдей мақсатқа ие көптеген нақты объектілер туралы жалпыланған идеялар.
Қарым-қатынастың тағы бір маңызды түрі тәртіп қатынастары.
Анықтама. Х жиынындағы R қатынасы реттік қатынас деп аталады, егер ол бір уақытта антисимметрия және транзитивтілік қасиеттеріне ие болса. .
Реттік қатынастардың мысалдарына мыналар жатады: натурал сандар жиынындағы «кіші» қатынасы; қатынас сегменттер жиынында «қысқарақ», өйткені олар антисимметриялық және өтпелі.
Егер реттілік қатынастың да жалғаулық қасиеті болса, онда ол қатынас деп аталады сызықтық тәртіп.
Мысалы, натурал сандар жиынындағы «кіші» қатынасы сызықтық ретті қатынас болып табылады, өйткені ол антисиметрия, өтпелілік және байланыстық қасиеттерге ие.
Анықтама. Х жиыны ретті деп аталады, егер оның реттік қатынасы болса.
Осылайша, натурал сандардың N жиынын ондағы «кіші» қатынасын көрсету арқылы ретке келтіруге болады.
Егер жиында реттік қатынас анықталса X,жалғаулық қасиеті бар болса, соны айтамыз ол сызықтық тәртіппен реттеледібір топ X.
Мысалы, натурал сандар жиынын «кіші» қатынасын да, «көптік» қатынасын да қолданып ретке келтіруге болады – екеуі де реттік қатынастар. Бірақ «кем» қатынасының «көптік» қатынасына қарағанда, жалғаулық қасиеті де бар. Бұл «кіші» қатынасы натурал сандар жиынын сызықты түрде реттейтінін білдіреді.
Барлық қатынастар эквиваленттік қатынастарға және реттілік қатынастарына бөлінеді деп ойлауға болмайды. Эквиваленттік қатынастар да, реттілік қатынастар да емес қатынастардың үлкен саны бар.
