Егер сан шексіздікке бөлінсе, бөлім нөлге ұмтылады ма? Ішінде жалғастырып, ең жақсы жауап алды

Оленкадан жауап[жаңадан]
барлығы 0
Краб Варк
Oracle
(56636)
Жоқ. Нақты нөл. Бөлгіш шексіздікке ұмтылатындықтан, бөлім нөлге ұмтылады. Ал, егер біз шексіздікке ұмтылатын санға емес, шексіздіктің өзіне бөлетін болсақ (айтпақшы, дәлірек айтқанда, ол ресми түрде мүлде сан болып саналмайды, бірақ сандарды белгілеуді толықтыратын ерекше таңба болып саналады) - дәл нөл.

Жауабы Югей Владимир[гуру]
Нөлді бөлсеңіз де, оны кез келген санға көбейтсеңіз де, ол бәрібір нөл болады!

Жауабы 1 23 [гуру]
егер кейбір ақымақтық нөлге ұмтылса, онда оны ақырлы нәрсеге (санға немесе шектеулі функцияға) көбейту пайдасыз, өйткені бәрі нөлге ұмтылады.
бірақ егер сіз оны шексіздікке бейім нәрсеге көбейтсеңіз, опциялар болуы мүмкін.

Жауабы Краб Варк[гуру]
Кез келген санды шексіздікке бөлгенде, нәтиже нөлге тең болады. Дәл нөл, «нөлге ұмтылу» жоқ. Сосын қай санға көбейтсең де нөл. Ал нөлді нөлден басқа кез келген санға бөлу нәтижесі нөлге тең болады, тек нөлді нөлге бөлгенде ғана нәтиже анықталмайды, өйткені кез келген сан бөлік ретінде қолайлы болады.

Лимиттерді шешу әдістері. Белгісіздіктер.
Функцияның өсу реті. Ауыстыру әдісі

4-мысал

Шекті табыңыз

Бұл өз бетінше шешуге болатын қарапайым мысал. Ұсынылған мысалда тағы да белгісіздік бар (түбірге қарағанда өсудің жоғары тәртібі).

Егер «x» «минус шексіздікке» бейім болса

Бұл мақалада «минус шексіздік» елесі көптен бері айтылып келеді. Көпмүшелері бар шектеулерді қарастырайық. Шешу принциптері мен әдістері, бірқатар нюанстарды қоспағанда, сабақтың бірінші бөлігіндегідей болады.

Практикалық тапсырмаларды шешу үшін қажет 4 трюкті қарастырайық:

1) шекті есептеңіз

Шектеу мәні тек мерзімге байланысты, өйткені ол өсудің ең жоғары тәртібіне ие. Егер болса, онда модулі бойынша шексіз үлкенЖҰППА дәрежесіне теріс сан, бұл жағдайда – төртінші, «плюс шексіздікке» тең: . Тұрақты («екі») оң, Сондықтан:

2) шекті есептеңіз

Міне, тағы да жоғары дәреже тіпті, Сондықтан: . Бірақ оның алдында «минус» бар ( терістұрақты –1), сондықтан:

3) шекті есептеңіз

Шекті мән тек мынаған байланысты. Мектептен есіңізде болса, «минус» тақ дәреженің астынан «секіреді», сондықтан модулі бойынша шексіз үлкентеріс санды тақ қуатқатең «минус шексіздік», бұл жағдайда: .
Тұрақты («төрт») оң, білдіреді:

4) шекті есептеңіз

Ауылдағы бірінші жігіт тағы бар тақдәрежесі, сонымен қатар, кеудеде терістұрақты, бұл дегеніміз: Осылайша:
.

5-мысал

Шекті табыңыз

Жоғарыда айтылғандарды пайдалана отырып, біз бұл жерде белгісіздік бар деген қорытындыға келеміз. Алым мен бөлгіш өсу реті бойынша бірдей, бұл шекте нәтиже ақырлы сан болатынын білдіреді. Жауапты барлық шабақтарды тастау арқылы білейік:

Шешім тривиальды:

6-мысал

Шекті табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Ал енді, мүмкін, ең нәзік жағдайлар:

7-мысал

Шекті табыңыз

Жетекші терминдерді қарастыра отырып, біз бұл жерде белгісіздік бар деген қорытындыға келеміз. Алым бөлгішке қарағанда өсу реті жоғары, сондықтан біз бірден шектеуді шексіздікке тең деп айта аламыз. Бірақ қандай шексіздік, «плюс» немесе «минус»? Техника бірдей - алым мен бөлгіштегі кішкене нәрселерден арылайық:

Біз шешеміз:

Алым мен азайтқышты бөлу

15-мысал

Шекті табыңыз

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Сабақтың соңындағы қорытынды дизайнның шамамен үлгісі.

Айнымалыларды ауыстыру тақырыбы бойынша тағы бірнеше қызықты мысалдар:

16-мысал

Шекті табыңыз

Бірлікті шекке ауыстырған кезде белгісіздік алынады. Айнымалы мәнді өзгерту өзін ұсынады, бірақ алдымен формуланы пайдаланып тангенсті түрлендіреміз. Шынында да, бізге жанама не үшін қажет?

Назар аударыңыз, сондықтан. Егер ол толығымен түсініксіз болса, ішіндегі синус мәндерін қараңыз тригонометриялық кесте. Осылайша, біз бірден мультипликатордан құтыламыз, оған қоса, біз 0:0 неғұрлым таныс белгісіздікті аламыз. Біздің лимитіміз нөлге ұмтылса жақсы болар еді.

ауыстырайық:

Егер болса, онда

Косинус астында бізде «x» бар, оны «te» арқылы көрсету керек.
Ауыстырудан біз: .

Шешімді аяқтаймыз:

(1) Біз ауыстыруды орындаймыз

(2) Косинус астындағы жақшаларды ашыңыз.

(4) Ұйымдастыру бірінші керемет шек, алым мен кері санды жасанды түрде көбейтіңіз.

Тәуелсіз шешімге арналған тапсырма:

17-мысал

Шекті табыңыз

Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Бұл олардың сыныбында қарапайым тапсырмалар болды, іс жүзінде бәрі нашар болуы мүмкін, сонымен қатар азайту формулалары, әр түрлі пайдалану керек тригонометриялық формулалар, сондай-ақ басқа амалдар. Кешенді шектеулер мақаласында мен бірнеше нақты мысалдарды қарадым =)

Мереке қарсаңында біз тағы бір жалпы белгісіздікпен жағдайды анықтаймыз:

«шексіздік күшіне бір» белгісіздікті жою

Бұл белгісіздік «қолданылады» екінші керемет шек, және сол сабақтың екінші бөлігінде біз көп жағдайда тәжірибеде кездесетін шешімдердің стандартты мысалдарын егжей-тегжейлі қарастырдық. Енді дәреже көрсеткіші бар сурет аяқталады, сонымен қатар, сабақтың қорытынды тапсырмалары «жалған» шектерге арналады, онда 2-ші тамаша шекті қолдану қажет сияқты көрінеді, бірақ бұл мүлдем дұрыс емес. іс.

2-ші керемет шекке арналған екі жұмыс формуласының кемшілігі мынада: аргумент «плюс шексіздікке» немесе нөлге бейім болуы керек. Бірақ аргумент басқа санға бейім болса ше?

Әмбебап формула құтқаруға келеді (бұл екінші керемет шектеудің салдары):

Белгісіздікті келесі формула арқылы жоюға болады:

Бір жерде мен төртбұрышты жақшалардың нені білдіретінін түсіндірдім деп ойлаймын. Ерекше ештеңе жоқ, жақшалар жай жақшалар. Олар әдетте математикалық белгілерді айқынырақ көрсету үшін қолданылады.

Формуладағы маңызды тармақтарды бөліп көрсетейік:

1) Бұл туралы тек белгісіздік туралы және басқа ештеңе жоқ.

2) «x» аргументі бейім болуы мүмкін ерікті мән(және тек нөлге емес немесе), атап айтқанда, «минус шексіздікке» немесе кез келгенақырлы сан.

Осы формула арқылы сабақтағы барлық мысалдарды шешуге болады. Керемет шектеулер, олар 2-ші тамаша шекке жатады. Мысалы, шекті есептейік:

Бұл жағдайда , және формула бойынша :

Рас, мен мұны істеуді ұсынбаймын, егер оны қолдануға болатын болса, шешімнің «әдеттегі» дизайнын пайдалану дәстүрі. Дегенмен формуланы қолдану арқылы тексеру өте ыңғайлы 2-ші керемет шекке «классикалық» мысалдар.

Көбінесе көптеген адамдар нөлге бөлуді неге қолдануға болмайтынын сұрайды. Бұл мақалада біз бұл ереженің қайдан шыққаны туралы, сондай-ақ нөлмен қандай әрекеттерді орындауға болатыны туралы егжей-тегжейлі сөйлесеміз.

Байланыста

Нөлді ең қызықты сандардың бірі деп атауға болады. Бұл санның мағынасы жоқ, бұл сөздің шын мағынасында бос дегенді білдіреді. Бірақ кез келген санның жанына нөл қойылса, онда бұл санның мәні бірнеше есе артады.

Санның өзі өте жұмбақ. Оны ежелгі майя халқы қолданған. Майялар үшін нөл «басталуы» дегенді білдіреді, ал күнтізбелік күндер де нөлден басталды.

Өте қызық факт, нөлдік белгі мен белгісіздік белгісі ұқсас болды. Осы арқылы майялықтар нөлдің белгісіздікпен бірдей таңба екенін көрсеткісі келді. Еуропада нөлдік белгі салыстырмалы түрде жақында пайда болды.

Көптеген адамдар нөлмен байланысты тыйымды біледі. Оны кез келген адам айтады нөлге бөлуге болмайды. Мектептегі мұғалімдер мұны айтады, ал балалар әдетте олардың сөзін қабылдайды. Әдетте, балалар мұны білуге ​​қызығушылық танытпайды немесе маңызды тыйымды естігеннен кейін олар бірден: «Нөлге бөле алмайсың ба?» деп сұраса, не болатынын біледі. Бірақ жасы ұлғайған сайын қызығушылық оянып, бұл тыйымның себептері туралы көбірек білгіңіз келеді. Дегенмен, ақылға қонымды дәлелдер бар.

Нөлмен орындалатын әрекеттер

Алдымен нөлмен қандай әрекеттерді орындауға болатынын анықтау керек. Бар әрекеттердің бірнеше түрі:

• Қосу;
• Көбейту;
• азайту;
• Бөлу (сан бойынша нөл);
• Экспоненциалдау.

Маңызды!Егер қосу кезінде кез келген санға нөл қосылса, онда бұл сан өзгеріссіз қалады және оның сандық мәнін өзгертпейді. Кез келген саннан нөлді алып тастасаңыз, дәл солай болады.

Көбейту және бөлу кезінде заттар сәл басқаша болады. Егер кез келген санды нөлге көбейту, сонда өнім де нөлге айналады.

Мысал қарастырайық:

Мұны қосымша ретінде жазайық:

Барлығы бес нөл бар, сондықтан бұл шығады

Бірді нөлге көбейтіп көрейік. Нәтиже де нөлге тең болады.

Нөлді оған тең емес кез келген басқа санға бөлуге болады. Бұл жағдайда нәтиже болады, оның мәні де нөлге тең болады. Сол ереже теріс сандарға да қолданылады. Егер нөлді теріс санға бөлсе, нәтиже нөлге тең болады.

Сондай-ақ кез келген санды құрастыруға болады нөлдік дәрежеге дейін. Бұл жағдайда нәтиже 1 болады. «Нөлден нөлге дейін» өрнегі мүлдем мағынасыз екенін есте ұстаған жөн. Кез келген қуатқа нөлді көтеруге тырыссаңыз, сіз нөлге ие боласыз. Мысалы:

Біз көбейту ережесін қолданып, 0 аламыз.

Сонда нөлге бөлуге бола ма?

Сонымен, біз негізгі сұраққа келеміз. Нөлге бөлуге бола ма?мүлде? Неліктен біз нөлге тең басқа әрекеттердің барлығы бар және қолданылатынын ескере отырып, санды нөлге бөле алмаймыз? Бұл сұраққа жауап беру үшін жоғары математикаға жүгіну керек.

Ұғымның анықтамасынан бастайық, нөл дегеніміз не? Мектеп мұғалімдері нөл ештеңе емес дейді. Бостық. Яғни, сізде 0 тұтқа бар десе, бұл сіздің тұтқаңыз мүлдем жоқ дегенді білдіреді.

Жоғары математикада «нөл» ұғымы кеңірек. Бұл мүлдем бос дегенді білдірмейді. Мұнда нөл белгісіздік деп аталады, өйткені егер біз аздап зерттесек, нөлді нөлге бөлгенде, біз нөл болуы міндетті емес кез келген басқа санмен аяқталатынымыз белгілі болды.

Сіз мектепте оқыған қарапайым арифметикалық амалдар бір-біріне соншалықты тең емес екенін білесіз бе? Ең негізгі әрекеттер қосу және көбейту.

Математиктер үшін «» және «алу» ұғымдары жоқ. Айталық: бестен үшті азайтсаң, екі қалады. Алып тастау осылай көрінеді. Дегенмен, математиктер оны былай жазады:

Осылайша, белгісіз айырмашылық 5 алу үшін 3-ке қосылуы керек белгілі бір сан екені белгілі болды. Яғни, ештеңені азайтудың қажеті жоқ, тек сәйкес санды табу керек. Бұл ереже қосуға қолданылады.

Олармен жағдай сәл басқаша көбейту және бөлу ережелері.Нөлге көбейту нөлдік нәтижеге әкелетіні белгілі. Мысалы, егер 3:0=x болса, онда жазбаны кері қайтарсаңыз, сіз 3*x=0 аласыз. Ал 0-ге көбейтілген сан көбейтіндіде нөлді береді. Нөлге тең көбейтіндіде нөлден басқа мән беретін сан жоқ екен. Бұл нөлге бөлудің мағынасыз екенін білдіреді, яғни ол біздің ережеге сәйкес келеді.

Бірақ егер сіз нөлді өздігінен бөлуге тырыссаңыз не болады? Кейбір белгісіз санды х деп алайық. Алынған теңдеу 0*x=0 болады. Оны шешуге болады.

Егер х орнына нөл алуға тырыссақ, 0:0=0 аламыз. Бұл логикалық болып көрінеді ме? Бірақ хтың орнына кез келген басқа санды, мысалы, 1-ді алуға тырыссақ, 0:0=1 болады. Егер біз кез келген басқа нөмірді алсақ, дәл осындай жағдай орын алады оны теңдеуге қосыңыз.

Бұл жағдайда фактор ретінде кез келген басқа санды алуға болады екен. Нәтижесінде әртүрлі сандардың шексіз саны болады. Кейде жоғары математикада 0-ге бөлу әлі де мағынасы бар, бірақ әдетте белгілі бір шарт пайда болады, соның арқасында біз әлі де бір қолайлы санды таңдай аламыз. Бұл әрекет «белгісіздікті ашу» деп аталады. Кәдімгі арифметикада нөлге бөлу қайтадан мағынасын жоғалтады, өйткені біз жиынтықтан бір санды таңдай алмаймыз.

Маңызды!Нөлді нөлге бөлуге болмайды.

Нөл және шексіздік

Шексіздікті жоғары математикада жиі кездестіруге болады. Мектеп оқушылары үшін шексіздікпен математикалық амалдардың да бар екенін білу маңызды емес болғандықтан, мұғалімдер балаларға неге нөлге бөлуге болмайтынын дұрыс түсіндіре алмайды.

Студенттер негізгі математикалық құпияларды институттың бірінші курсында ғана меңгере бастайды. Жоғары математика шешімі жоқ есептердің үлкен кешенін береді. Ең танымал мәселелер - шексіздік мәселелері. Оларды қолдану арқылы шешуге болады математикалық талдау.

Шексіздікке де қолдануға болады қарапайым математикалық амалдар:қосу, санға көбейту. Әдетте олар алу мен бөлуді де пайдаланады, бірақ соңында олар екі қарапайым операцияға дейін жетеді.

Бірақ не болады тырыссаңыз:

• Шексіздік нөлге көбейтілді. Теориялық тұрғыдан кез келген санды нөлге көбейтуге тырыссақ, біз нөлге ие боламыз. Бірақ шексіздік - сандардың белгісіз жиынтығы. Бұл жиыннан бір сан таңдай алмайтындықтан, ∞*0 өрнегі шешімі жоқ және абсолютті мағынасыз.
• Нөлді шексіздікке бөлу. Жоғарыдағыдай оқиға мұнда да болып жатыр. Біз бір санды таңдай алмаймыз, яғни нені бөлу керектігін білмейміз. Өрнектің мағынасы жоқ.

Маңызды!Шексіздік белгісіздіктен біршама ерекшеленеді! Шексіздік – белгісіздік түрлерінің бірі.

Енді шексіздікті нөлге бөліп көрейік. Белгісіздік болуы керек сияқты. Бірақ бөлуді көбейтумен алмастыруға тырыссақ, өте нақты жауап аламыз.

Мысалы: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Мынадай болып шығады математикалық парадокс.

Неліктен нөлге бөлуге болмайды деген сұраққа жауап

Ой эксперименті, нөлге бөлуге тырысу

Қорытынды

Сонымен, қазір біз нөл бір ғана операциядан басқа орындалатын барлық дерлік операцияларға бағынатынын білеміз. Нәтиже белгісіз болғандықтан ғана нөлге бөлуге болмайды. Сонымен қатар біз нөлдік және шексіздікпен амалдарды орындауды үйрендік. Мұндай әрекеттердің нәтижесі белгісіздік болады.

Біз негізгі элементар функцияларды анықтадық.

Күрделі түрдегі функцияларға көшкен кезде біз мағынасы анықталмаған өрнектердің пайда болуын міндетті түрде кездестіреміз. Мұндай өрнектер деп аталады белгісіздіктер.

Барлығын тізіп көрейік белгісіздіктердің негізгі түрлері: нөл нөлге бөлінген (0-ден 0), шексіздік шексіздікке бөлінген, нөл шексіздікке көбейтілген, шексіздік минус шексіздік, бір шексіздік дәрежесіне, нөлден нөлдік дәрежеге, шексіздік нөлдік дәрежеге.

БАРЛЫҚ БАСҚА БЕЛГІСІЗДІК өрнектері ЕМЕС ЖӘНЕ ТОЛЫҚ ЕРЕКШЕЛІКТІ АЯҚТЫ НЕМЕСЕ ШЕКСІЗ МӘНДІ ҚАБЫЛДАЙДЫ.

Белгісіздікті ашыңызмүмкіндік береді:

• функция түрін жеңілдету (қысқартылған көбейту формулаларын, тригонометриялық формулаларды қолданып өрнектерді түрлендіру, қысқарту арқылы жалғасатын өрнектермен көбейту және т.б.);
• тамаша шектерді пайдалану;
• қолдану L'Hopital ережелері ;
• пайдалану шексіз аз өрнекті оның баламасымен ауыстыру(эквивалентті шексіз аздар кестесін пайдалану).

Белгісіздіктерді топтастырайық белгісіздік кестесі. Белгісіздіктің әрбір түрі үшін оны ашу әдісін (шектеуді табу әдісі) байланыстырамыз.

Бұл кестемен бірге негізгі элементар функциялардың шектерінің кестесікез келген шектеулерді табу кезінде сіздің негізгі құралдарыңыз болады.

Мәнді ауыстырғаннан кейін бәрі бірден орындалып, белгісіздік туындамаса, бір-екі мысал келтірейік.

Мысал.

Шектеуді есептеңіз

Шешім.

Мәнді ауыстырыңыз:

Ал біз бірден жауап алдық.

Жауап:

Мысал.

Шектеуді есептеңіз

Шешім.

Көрсеткіштік функцияның негізіне x=0 мәнін қоямыз:

Яғни, шекті қайта жазуға болады

Енді көрсеткішке назар аударайық. Бұл қуат функциясы. жүгінейік шектеулер кестесітеріс көрсеткіші бар дәрежелік функциялар үшін. Сол жерден бізде Және , сондықтан біз жаза аламыз .

Осының негізінде біздің шегіміз былай жазылады:

Біз қайтадан шектеулер кестесіне жүгінеміз, бірақ негізі біреуден үлкен экспоненциалды функциялар үшін, бізде:

Жауап:

Егжей-тегжейлі шешімдері бар мысалдарды қарастырайық Өрнектерді түрлендіру арқылы белгісіздіктерді ашу.

Көбінесе шек белгісінің астындағы өрнек белгісіздіктен құтылу үшін аздап түрлендіруді қажет етеді.

Мысал.

Шектеуді есептеңіз

Шешім.

Мәнді ауыстырыңыз:

Біз белгісіздікке жеттік. Шешім әдісін таңдау үшін белгісіздік кестесін қарастырамыз. Өрнекті жеңілдетуге тырысайық.

Жауап:

Мысал.

Шектеуді есептеңіз

Шешім.

Мәнді ауыстырыңыз:

Біз белгісіздікке келдік (0-ден 0-ге дейін). Шешу әдісін таңдау үшін белгісіздік кестесін қарастырамыз және өрнекті жеңілдетуге тырысамыз. Алымды да, азайғышты да бөлгішке жалғанатын өрнекке көбейтейік.

Бөлгіш үшін жалғаулық өрнек болады

Біз қысқартылған көбейту формуласын - квадраттардың айырмасын қолданып, содан кейін алынған өрнекті азайту үшін бөлгішті көбейттік.

Бірқатар өзгерістерден кейін белгісіздік жойылды.

Жауап:

Пікір:Осы түрдегі шектеулер үшін конъюгаттық өрнектерге көбейту әдісі тән, сондықтан оны қолдануға болады.

Мысал.

Шектеуді есептеңіз

Шешім.

Мәнді ауыстырыңыз:

Біз белгісіздікке жеттік. Шешу әдісін таңдау үшін белгісіздік кестесін қарастырамыз және өрнекті жеңілдетуге тырысамыз. Алым да, бөлгіш те x = 1 кезінде жойылатындықтан, егер бұл өрнектерді азайтуға болатын болса (x-1) және белгісіздік жойылады.

Алымды көбейткіштерге жіктейік:

Бөліндіні көбейткіштерге жіктейік:

Біздің шектеуіміз келесідей болады:

Трансформациядан кейін белгісіздік анықталды.

Жауап:

Күш өрнектерінен шексіздік шегін қарастырайық. Егер дәреже өрнектерінің дәрежелері оң болса, онда шексіздіктегі шек шексіз болады. Сонымен қатар, ең үлкен дәреже бірінші кезекте маңызды, қалғанын тастауға болады.

Мысал.

Мысал.

Егер шектік таңбаның астындағы өрнек бөлшек болса, ал алым да, бөлгіш те дәрежелі өрнектер болса (m - алым дәрежесі, ал n - бөлгіш дәрежесі), онда шексіздік пен шексіздік түрінің белгісіздігі болғанда туындайды, бұл жағдайда белгісіздік ашыладыалым мен бөліндіні де бөлу

Мысал.

Шектеуді есептеңіз