Векторлардың скаляр көбейтіндісі тақырыбы бойынша барлық формулалар. Векторлардың скаляр көбейтіндісін қалай табуға болады. Координаталар бойынша векторлардың скаляр көбейтіндісінің анықтамасы

Скалярлық өнімвекторлары (бұдан әрі - СП). Құрметті достар! Математика емтиханы векторларды шешуге арналған есептер тобын қамтиды. Біз қазірдің өзінде кейбір мәселелерді қарастырдық. Сіз оларды «Векторлар» санатында көре аласыз. Жалпы, векторлар теориясы қарапайым, бастысы оны жүйелі түрде зерттеу. Мектеп математика курсында векторлармен есептер мен әрекеттер қарапайым, формулалары күрделі емес. Қараңыз. Бұл мақалада біз векторлардың бірлескен кәсіпорны бойынша тапсырмаларды талдаймыз (емтиханға енгізілген). Енді теорияға «батыру»:

Х Вектордың координаталарын табу үшін оның соңының координаталарынан шегеру кереконың басталуының сәйкес координаттары

Және одан әрі:

*Вектор ұзындығы (модуль) келесідей анықталады:

Бұл формулаларды жаттау керек!!!

Векторлар арасындағы бұрышты көрсетейік:

Ол 0-ден 180 0-ге дейін өзгеруі мүмкін екені анық(немесе 0-ден Пи аралығындағы радианмен).

Скалярлық көбейтіндінің таңбасы туралы кейбір қорытындылар жасауға болады. Векторлардың ұзындықтары оң, анық. Сонымен скаляр көбейтіндісінің таңбасы векторлар арасындағы бұрыштың косинусының мәніне байланысты.

Ықтимал жағдайлар:

1. Егер векторлар арасындағы бұрыш өткір болса (0 0-ден 90 0-ге дейін), онда бұрыштың косинусы оң мәнге ие болады.

2. Егер векторлар арасындағы бұрыш доғал болса (90 0-ден 180 0-ге дейін), онда бұрыштың косинусы теріс мәнге ие болады.

*Нөл градуста, яғни векторлардың бағыты бірдей болғанда, косинус бірге тең болады және сәйкесінше нәтиже оң болады.

180 o кезінде, яғни векторлардың бағыттары қарама-қарсы болғанда, косинус минус бірге тең,және нәтиже теріс болады.

Енді МАҢЫЗДЫ Нүкте!

90 o кезінде, яғни векторлар бір-біріне перпендикуляр болғанда, косинус нөлге тең, демек бірлескен кәсіпорын нөлге тең. Бұл факт (салдары, қорытындылары) біз айтып отырған көптеген мәселелерді шешуде қолданылады салыстырмалы позициявекторлар, соның ішінде математикадан ашық тапсырмалар банкіне енгізілген тапсырмаларда.

Біз тұжырымды тұжырымдаймыз: скаляр көбейтіндісі нөлге тең, егер берілген векторлар перпендикуляр түзулерде жатса ғана.

Сонымен, SP векторларының формулалары:

Егер векторлардың координаталары немесе олардың басы мен соңы нүктелерінің координаталары белгілі болса, онда біз әрқашан векторлар арасындағы бұрышты таба аламыз:

Тапсырмаларды қарастырыңыз:

27724 a және b векторларының ішкі көбейтіндісін табыңыз.

Векторлардың скаляр көбейтіндісін екі формуланың бірін пайдаланып таба аламыз:

Векторлар арасындағы бұрыш белгісіз, бірақ біз векторлардың координаталарын оңай таба аламыз, содан кейін бірінші формуланы пайдаланамыз. Екі вектордың басы координаталар басымен сәйкес келетіндіктен, бұл векторлардың координаталары олардың ұштарының координатасына тең, яғни

Вектордың координаталарын қалай табуға болатыны сипатталған.

Біз есептейміз:

Жауабы: 40

Векторлардың координаталарын тауып, формуланы қолданыңыз:

Вектордың координаталарын табу үшін вектордың соңының координаталарынан оның басының сәйкес координаталарын алып тастау керек, бұл дегеніміз

Скаляр көбейтіндісін есептейміз:

Жауабы: 40

a және b векторларының арасындағы бұрышты табыңыз. Жауабыңызды градуспен көрсетіңіз.

Векторлардың координаталары келесідей болсын:

Векторлардың арасындағы бұрышты табу үшін векторлардың скаляр көбейтіндісінің формуласын қолданамыз:

Векторлар арасындағы бұрыштың косинусы:

Демек:

Бұл векторлардың координаталары:

Оларды формулаға қосайық:

Векторлар арасындағы бұрыш 45 градус.

Жауабы: 45

Жазық есеп жағдайында a = (a x ; a y ) және b = (b x ; b y ) векторларының скаляр көбейтіндісін келесі формула арқылы табуға болады:

a b = a x b x + a y b y

Кеңістіктік есептер үшін векторлардың скаляр көбейтіндісінің формуласы

Кеңістіктік есеп жағдайында a = (a x ; a y ; a z ) және b = (b x ; b y ; b z ) векторларының скаляр көбейтіндісін келесі формула арқылы табуға болады:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

n-өлшемді векторлардың нүктелік көбейтіндісінің формуласы

n өлшемді кеңістік жағдайында a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) және b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) векторларының скаляр көбейтіндісін мынаны пайдаланып табуға болады. келесі формула:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Векторлардың нүктелік көбейтіндісінің қасиеттері

1. Вектордың өзімен скаляр көбейтіндісі әрқашан нөлден үлкен немесе тең:

2. Вектордың өзімен бірге скаляр көбейтіндісі нөлге тең, егер вектор нөлдік векторға тең болса ғана:

a a = 0<=>a = 0

3. Вектордың скаляр көбейтіндісі оның модулінің квадратына тең:

4. Скалярлық көбейту операциясы коммуникативті болып табылады:

5. Егер екі нөлдік емес вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, онда бұл векторлар ортогональ болады:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Скалярлық көбейту операциясы дистрибутивтік болып табылады:

(a + b) c = a c + b c

Векторлардың скаляр көбейтіндісін есептеуге арналған тапсырмалардың мысалдары

Жазық есептер үшін векторлардың скаляр көбейтіндісін есептеу мысалдары

a = (1; 2) және b = (4; 8) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз.

Шешімі: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

a және b векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз, егер олардың ұзындықтары |a| = 3, |b| = 6, ал векторлар арасындағы бұрыш 60˚.

Шешімі: a · b = |a| |б| cos α = 3 6 cos 60˚ = 9.

p = a + 3b және q = 5a - 3 b векторларының ішкі көбейтіндісін табыңыз, егер олардың ұзындықтары |a| = 3, |b| = 2, ал a және b векторларының арасындағы бұрыш 60˚.

Шешімі:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |а| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Кеңістіктік есептер үшін векторлардың скаляр көбейтіндісін есептеу мысалы

a = (1; 2; -5) және b = (4; 8; 1) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз.

Шешімі: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

n өлшемді векторлар үшін нүктелік көбейтіндіні есептеудің мысалы

a = (1; 2; -5; 2) және b = (4; 8; 1; -2) векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз.

Шешімі: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Векторлар мен вектордың айқас көбейтіндісі деп аталады үшінші вектор , келесідей анықталады:

2) перпендикуляр, перпендикуляр. (1"")

3) векторлар бүкіл кеңістіктің негізі сияқты (оң немесе теріс) бағытталған.

Белгілеу: .

физикалық мағынасывекторлық өнім

О нүктесіне қатысты күш моменті; радиус – күш қолдану нүктесінің векторы, сонда

оның үстіне, егер О нүктесіне ауыстырылса, онда үштік негіздің векторы ретінде бағдарлануы керек.

1. Анықтама және қарапайым қасиеттер. Нөлдік емес a және b векторларын алып, оларды еркін О нүктесінен шетке шығарайық: OA = a және OB = b. AOB бұрышының мәні a және b векторларының арасындағы бұрыш деп аталады және белгіленеді (а,б). Егер екі вектордың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, онда олардың арасындағы бұрыш анықтамасы бойынша дұрыс деп саналады. Анықтама бойынша векторлар арасындағы бұрыш кемінде 0 және ең көп екенін ескеріңіз . Сонымен қатар, екі нөлдік емес векторлардың арасындағы бұрыш 0-ге тең, егер бұл векторлар кодиректорлы және тең болса ғана егер олар қарама-қарсы бағытта болса ғана.

Векторлар арасындағы бұрыш О нүктесін таңдауға тәуелді емес екенін тексерейік. Бұл векторлар коллинеар болса, анық. Әйтпесе, біз ерікті О нүктесін алып тастаймыз 1 векторлары О 1 А 1 = a және o 1 IN 1 = b және AOB және A үшбұрыштары екенін ескеріңіз 1 ТУРАЛЫ 1 IN 1 үш жағында тең, өйткені |ОА| = |О 1 А 1 | = |а|, |ОБ| = |О 1 IN 1 | = |b|, |AB| = |А 1 IN 1 | = |b–а|. Демек, AOB және A бұрыштары 1 ТУРАЛЫ 1 IN 1 тең.

Енді біз осы тармақта негізгі нәрсені бере аламыз

(5.1) Анықтама. a және b екі векторының скаляр көбейтіндісі (ab арқылы белгіленген) сан болып табылады 6 , осы векторлардың ұзындықтарының көбейтіндісіне және векторлар арасындағы бұрыштың косинусына тең. Қысқаша айтқанда:

ab = |a||b|cos (а,б).

Скаляр көбейтіндісін табу операциясы векторлардың скалярлық көбейтіндісі деп аталады. Өзімен вектордың aa скаляр көбейтіндісі осы вектордың скаляр квадраты деп аталады және а деп белгіленеді 2 .

(5.2) Вектордың скаляр квадраты оның ұзындығының квадратына тең.

 Егер |а|  0, содан кейін (а, а) = 0, қайдан а 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Егер a = 0 болса, онда а 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Коши теңсіздігі. Екі вектордың скаляр көбейтіндісінің модулі факторлардың модульдерінің көбейтіндісінен аспайды: |ab| |а||б|. Бұл жағдайда теңдік а және b векторлары коллинеар болған жағдайда ғана орындалады.

 Анықтамасы бойынша |ab| = ||а||б|cos (а,б)| = |a||b||cos (а,б)|  |а||б. Бұл Коши теңсіздігін дәлелдейді. Енді назар аударайық. нөлдік емес а және b векторлары үшін ондағы теңдік егер және тек |cos болғанда ғана қол жеткізіледі (а,б)| = 1, яғни. сағ (а,б) = 0 немесе (а,б) =  . Соңғысы а және b векторларының бірге бағытталған немесе қарама-қарсы бағытталғандығына тең, яғни. коллинеарлы. Егер а және b векторларының ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, онда олар коллинеар және |ab| = |а||б| = 0. 

2. Скалярлық көбейтудің негізгі қасиеттері. Оларға мыналар жатады:

(CS1) ab = ba (коммутативтілік);

(CS2) (xa)b = x(ab) (ассоциативтілік);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (тарату қабілеті).

Мұндағы коммутативтілік айқын, өйткені аб =  ба. x = 0 үшін ассоциативтілік те айқын. Егер x > 0 болса

(га) б = |га||б|кос (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

үшін (xa, b) = (a,b) (xa және a векторларының кодирекциясынан – 21-сурет). Егер x< 0, содан кейін

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

үшін (xa, b) = –  (a,b) (xa және a векторларының қарама-қарсы бағытынан – 22-сурет). Осылайша, ассоциативтілік те дәлелденген.

Бөлу мүмкіндігін дәлелдеу қиынырақ. Ол үшін бізге осындай керек

(5.4) Лемма. a l түзуіне параллель нөлдік емес вектор және b ерікті вектор болсын. Содан кейін ортогональ проекциясыбb векторының l түзуіне тең
.



Егер b = 0 болса, ондаб" = 0 және ab = 0, сондықтан бұл жағдайда лемма ақиқат болады. Келесіде b" векторы нөл емес деп есептейміз. Бұл жағдайда l түзуінің ерікті О нүктесінен OA = a және OB = b векторларын шетке қоямыз, сонымен қатар В нүктесінен l түзуіне перпендикуляр BB " түсіреміз. Анықтама бойынша.ОB» = б« Және (а,б) =  AOW. Белгілеу AOB арқылы және келесі үш жағдайдың әрқайсысы үшін лемманы бөлек дәлелдеңіз:

1)  <  /2. Сонда а және векторлары бірлесіп басқарған (23-сурет) және

б" = =
=
.

2)  >  /2 . Сонда а және векторларыб«қарсы бағытталған (24-сурет) және

б" = – = –
= .

3)  =  /2. Содан кейінб" = 0 және ab = 0, қайданб" =
= 0. 

Енді (CS3) үлестірімділігін дәлелдейміз. Егер а векторы нөлге тең болса, анық. А болсын  0. Содан кейін l түзуін сызыңыз || a және арқылы белгілеңізб« Жәнев« b және c векторларының оған және арқылы ортогональ проекцияларыг" d = b + c векторының оған ортогональ проекциясы болсын. 3.5 теорема бойынша.г" = б"+ в«. Лемманы 5.4 соңғы теңдікке қолданып, біз теңдік аламыз
=
. Оны скаляр бойынша а-ға көбейтсек, оны табамыз 2 =
, қайдан ad = ab+ac, дәлелдеуге тиіс болатын.

Біз дәлелдеген векторлардың скалярлық көбейтіндісінің қасиеттері сандарды көбейтудің сәйкес қасиеттеріне ұқсас. Бірақ сандарды көбейтудің барлық қасиеттері векторлардың скалярлық көбейтіндісіне берілмейді. Міне типтік мысалдар:

) Егер ab = 0 болса, бұл a = 0 немесе b = 0 дегенді білдірмейді. Мысал: тік бұрышты құрайтын нөлге тең емес екі вектор.

2) Егер ab = ac болса, онда бұл а векторы нөл емес болса да, b = c дегенді білдірмейді. Мысал: b және c - а векторымен тең бұрыштар құрайтын бірдей ұзындықтағы екі түрлі вектор (25-сурет).

3) Әрқашан a(bc) = (ab)c деген дұрыс емес: егер тек bc үшін мұндай теңдіктің дұрыстығына байланысты болса, ab 0 a және c векторларының коллинеар екенін білдіреді.

3. Векторлардың ортогональдылығы. Екі вектор, егер олардың арасындағы бұрыш дұрыс болса, олар ортогональ деп аталады. Векторлардың ортогоналдылығы белгіше арқылы көрсетіледі .

Векторлар арасындағы бұрышты анықтаған кезде біз нөлдік вектор мен кез келген басқа вектор арасындағы бұрышты түзу сызық ретінде қарастыруға келісті. Демек, нөлдік вектор кез келгеніне ортогональ болады. Бұл келісім бізге мұны дәлелдеуге мүмкіндік береді

(5.5) Екі вектордың ортогональдық белгісі. Екі вектор ортогональ болады, егер олардың нүктелік көбейтіндісі 0 болса ғана.

 a және b ерікті векторлар болсын. Егер олардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, онда олар ортогональды, ал олардың скаляр көбейтіндісі 0-ге тең. Осылайша, бұл жағдайда теорема ақиқат болады. Енді берілген екі вектор да нөлге тең емес деп есептейік. Анықтама бойынша ab = |a||b|cos (а,б). Өйткені біздің болжамымыз бойынша |a| сандары және |b| 0-ге тең емес, онда ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, ол дәлелдеуге тиіс болды.

Аб = 0 теңдігі көбінесе векторлардың ортогоналдылығының анықтамасы ретінде қабылданады.

(5.6) Қорытынды. Егер а векторы а векторларының әрқайсысына ортогональ болса 1 , …, А П , онда ол олардың кез келген сызықтық комбинацияларына ортогональ болады.

 теңдігінен аа деп атап өтсек те жеткілікті 1 = … = aa П = 0 a(x) теңдігін білдіреді 1 А 1 + … +x П А П ) = x 1 (а 1 ) + … + x П (а П ) = 0. 

Қорытынды 5.6-дан түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының мектептік критерийін шығару оңай. Шынында да, кейбір MN түзуі екі қиылысатын АВ және АС түзулеріне перпендикуляр болсын. Сонда MN векторы АВ және АС векторларына ортогональ болады. ABC жазықтығында кез келген DE түзуін алайық. DE векторы коллинеар емес AB және АС векторларымен компланар, сондықтан оларда кеңейеді. Бірақ онда ол MN векторына да ортогональ болады, яғни MN және DE түзулері перпендикуляр болады. MN түзуі дәлелденуге тиіс ABC жазықтығынан кез келген түзуге перпендикуляр болып шығады.

4. Ортонормалық негіздер. (5.7) Анықтама. Векторлық кеңістіктің негізі ортонормальды деп аталады, егер біріншіден, оның барлық векторларының ұзындығы бірлік болса, екіншіден, оның кез келген екі векторы ортогональ болса.

Үш өлшемді кеңістіктегі ортонормальдық базистің векторлары әдетте i, j және k әріптерімен, ал векторлық жазықтықта i және j әріптерімен белгіленеді. Екі вектордың ортогональдық белгісін және вектордың скаляр квадратының оның ұзындығының квадратына теңдігін ескере отырып, V кеңістігінің базисі (i,j,k) үшін ортонормалық шарттары. 3 былай жазуға болады:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

және векторлық жазықтықтың негізі (i,j) төмендегідей:

(5.9) i 2 = j 2 = 1 , ij = 0.

a және b векторлары ортонормальдық негізде (i,j,k) V кеңістіктеріне ие болсын 3 координаттары (а 1 , А 2 , А 3 ) және (б 1 б 2 ,б 3 ) тиісінше. Содан кейінab = (А 1 i+А 2 j+А 3 к)(б 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 б 1 мен 2 +а 2 б 2 j 2 +а 3 б 3 к 2 +а 1 б 2 ij+a 1 б 3 ik+a 2 б 1 джи+а 2 б 3 jk+a 3 б 1 ки+а 3 б 2 kj = a 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 . а векторларының скаляр көбейтіндісінің формуласы осылайша (а 1 , А 2 , А 3 ) және b(b 1 , б 2 , б 3 ) V кеңістігінің ортонормалық базисіндегі координаталары арқылы берілген 3 :

(5.10) ab = a 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 .

a(a) векторлары үшін 1 , А 2 ) және b(b 1 ,б 2 ) векторлық жазықтықта ортонормальдық негізде олардың координаталарымен берілген, оның формасы бар

(5.11) ab = a 1 б 1 + а 2 б 2 .

(5.10) формулаға b = a мәнін алайық. Ортонормалық негізде а 2 = а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 . Өйткені а 2 = |a| 2 , біз a (a) векторының ұзындығын табудың формуласын аламыз 1 , А 2 , А 3 ) V кеңістігінің ортонормалық базисіндегі координаталарымен анықталады 3 :

(5.12) |а| =
.

Векторлық жазықтықта (5.11) көмегімен ол пішінді қабылдайды

(5.13) |а| =
.

b = i, b = j, b = k формулаларын (5.10) формулаға қойып, тағы үш пайдалы теңдік аламыз:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Векторлардың скаляр көбейтіндісін және вектор ұзындығын табуға арналған координаталық формулалардың қарапайымдылығы ортонормалық негіздердің басты артықшылығы болып табылады. Ортонормальді емес негіздер үшін бұл формулалар, жалпы айтқанда, дұрыс емес және бұл жағдайда оларды қолдану өрескел қате болып табылады.

5. Бағыт косинустары. Ортонормальдық негізге (i,j,k) V кеңістіктерін алыңыз 3 вектор а(а 1 , А 2 , А 3 ). Содан кейінai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i).Екінші жағынан, ai = a 1 5.14 формуласы бойынша. Солай екен

(5.15) а 1 = |a|cos (a, i).

және сол сияқты,

А 2 = |a|cos (a, j), және 3 = |a|cos (a, k).

Егер а векторы бірлік болса, бұл үш теңдік өте қарапайым пішінді алады:

(5.16) А 1 = cos (a, i),А 2 = cos (a, j),А 3 = cos (a, k).

Ортонормальдық базистің векторларымен вектор түзетін бұрыштардың косинустары берілген базисте осы вектордың бағыттық косинустары деп аталады. 5.16 формулалар көрсеткендей, ортонормальдық базисте бірлік вектордың координаталары оның бағытының косинусына тең.

5.15-тен былай шығады: а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |a| 2 (кос 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (а, к)). Екінші жағынан, А 1 2 + а 2 2 + а 3 2 = |a| 2 . Солай екен

(5.17) нөлдік емес вектордың квадраттық бағыттағы косинустарының қосындысы 1-ге тең.

Бұл факт кейбір мәселелерді шешу үшін пайдалы.

(5.18) Мәселе. Тіктөртбұрышты параллелепипедтің диагоналы оның екі шеті бірдей төбенің 60 бұрыштарынан шығатынымен түзіледі. . Осы төбеден үшінші жиегі шыққанда ол қандай бұрыш жасайды?

 V кеңістігінің ортонормальдық негізін қарастырайық 3 , олардың векторлары берілген төбеден шығатын параллелепипедтің шеттері арқылы берілген. Өйткені диагональ векторы осы базистің екі векторымен 60 бұрыштарды құрайды , оның үш бағыттағы косинустарының екеуінің квадраттары cos-ке тең 2 60  = 1/4. Демек, үшінші косинустың квадраты 1/2, ал бұл косинустың өзі 1/
. Сонымен, қажетті бұрыш 45-ке тең . 

Векторлар арасындағы бұрыш

$\overrightarrow(a)$ және $\overrightarrow(b)$ берілген екі векторды қарастырайық. $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ және $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ векторларын ерікті түрде таңдалған $O$ нүктесінен алып тастаймыз, сонда $AOB$ бұрышы деп аталады. $\overrightarrow(a)$ және $\overrightarrow(b)$ векторларының арасындағы бұрыш (1-сурет).

1-сурет.

$\overrightarrow(a)$ және $\overrightarrow(b)$ векторлары кодирекциялық болса немесе олардың біреуі нөлдік вектор болса, онда векторлар арасындағы бұрыш $0^0$ тең болатынын ескеріңіз.

Белгі: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Векторлардың скаляр көбейтіндісі туралы түсінік

Математикалық тұрғыдан бұл анықтаманы келесідей жазуға болады:

Скалярлық көбейтінді екі жағдайда нөлге тең болуы мүмкін:

Егер векторлардың бірі нөлдік вектор болса (Себебі оның ұзындығы нөлге тең).

Егер векторлар өзара перпендикуляр болса (яғни $cos(90)^0=0$).

Сондай-ақ, егер бұл векторлар арасындағы бұрыш сүйір болса, ішкі туынды нөлден үлкен екенін ескеріңіз (өйткені $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , және егер бұл векторлар арасындағы бұрыш доғал болса, нөлден аз (өйткені $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Скалярлық квадрат ұғымы скаляр көбейтінді ұғымымен байланысты.

Анықтама 2

$\overrightarrow(a)$ векторының скаляр квадраты осы вектордың өзімен скаляр көбейтіндісі болып табылады.

Біз скаляр квадрат екенін түсінеміз

Векторлардың координаталары бойынша скаляр көбейтіндісін есептеу

Анықтамадан туындайтын нүктелік көбейтіндінің мәнін табудың стандартты тәсілінен басқа тағы бір әдіс бар.

Оны қарастырайық.

$\overrightarrow(a)$ және $\overrightarrow(b)$ векторларының сәйкесінше $\left(a_1,b_1\right)$ және $\left(a_2,b_2\right)$ координаттары болсын.

Теорема 1

$\overrightarrow(a)$ және $\overrightarrow(b)$ векторларының скаляр көбейтіндісі сәйкес координаталар көбейтінділерінің қосындысына тең.

Математикалық тұрғыдан мұны келесідей жазуға болады

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Дәлелдеу.

Теорема дәлелденді.

Бұл теореманың бірнеше салдары бар:

Қорытынды 1: $\overrightarrow(a)$ және $\overrightarrow(b)$ векторлары $a_1a_2+b_1b_2=0$ болған жағдайда ғана перпендикуляр болады.

Қорытынды 2: Векторлар арасындағы бұрыштың косинусы $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Векторлардың нүктелік көбейтіндісінің қасиеттері

Кез келген үш вектор және $k$ нақты саны үшін мыналар дұрыс:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Бұл қасиет скаляр квадраттың анықтамасынан туындайды (2-анықтама).

орын ауыстыру заңы:$\overrighterrow(a)\overrighterrow(b)=\overrighterrow(b)\overrighterrow(a)$.

Бұл қасиет ішкі туындының анықтамасынан туындайды (анықтама 1).

Бөлу заңы:

$\left(\overrighterrow(a)+\overrighterrow(b)\right)\overrighterrow(c)=\overrighterrow(a)\overrighterrow(c)+\overrighterrow(b)\overrightarrow(c)$. \соңы(сандау)

1-теорема бойынша бізде:

\[\left(\overrighterrow(a)+\overrighterrow(b)\right)\overrighterrow(c)=\left(a_1+a_2\оң)a_3+\left(b_1+b_2\оң)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\оң жақ көрсеткі(a)\оң жақ көрсеткі(c)+\оң жақ көрсеткі(b)\оң жақ көрсеткі(c)\]

Біріктіру заңы:$\left(k\overrighterrow(a)\right)\overrighterrow(b)=k(\overrighterrow(a)\overrighterrow(b))$. \соңы(сандау)

1-теорема бойынша бізде:

\[\left(k\overrighterrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\оң)=k(\overrighterrow(a)\overrighterrow(b))\]

Векторлардың скаляр көбейтіндісін есептеуге арналған есептің мысалы

1-мысал

$\overrightarrow(a)$ және $\overrightarrow(b)$ векторларының ішкі туындысын табыңыз, егер $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ және $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, ал олардың арасындағы бұрыш $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Шешім.

1-анықтаманы пайдаланып, біз аламыз

$(30)^0:$ үшін

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$ үшін

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$ үшін

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$ үшін

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ оң)=-3\sqrt(2)\]

Егер есепте векторлардың ұзындықтары да, олардың арасындағы бұрыш та «күміс табаққа» берілсе, онда есептің шарты мен оның шешімі келесідей болады:

1-мысалВекторлар берілген. Векторлардың скаляр көбейтіндісін табыңыз, егер олардың ұзындығы мен арасындағы бұрыш келесі мәндермен өрнектелсе:

Басқа анықтама да жарамды, ол 1-анықтамаға толығымен сәйкес келеді.

Анықтама 2. Векторлардың скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың бірінің ұзындығы мен басқа вектордың осы векторлардың біріншісі анықтайтын оське проекциясының көбейтіндісіне тең санды (скалярды) айтады. 2-анықтамаға сәйкес формула:

Келесі маңызды теориялық тармақтан кейін осы формуланы пайдаланып мәселені шешеміз.

Координаталар бойынша векторлардың скаляр көбейтіндісінің анықтамасы

Егер көбейтілген векторлар координаталары арқылы берілсе, дәл осындай санды алуға болады.

Анықтама 3.Векторлардың нүктелік көбейтіндісі деп олардың сәйкес координаталарының жұптық көбейтінділерінің қосындысына тең санды айтады.

Бетінде

Егер екі вектор және жазықтықта олардың екеуі анықталса Декарттық координаталар

онда бұл векторлардың нүктелік көбейтіндісі олардың сәйкес координаталарының жұптық көбейтінділерінің қосындысына тең болады:

2-мысалВектордың векторға параллель оське проекциясының сандық мәнін табыңыз.

Шешім. Векторлардың координаталарының жұптық көбейтінділерін қосу арқылы олардың скаляр көбейтіндісін табамыз:

Енді алынған скаляр көбейтіндіні вектордың ұзындығы мен вектордың векторға параллель оське проекциясының көбейтіндісіне теңдеу керек (формулаға сәйкес).

векторының ұзындығын келесідей табамыз Шаршы түбіроның координаталарының квадраттарының қосындысынан:

Теңдеуді жаз және оны шеш:

Жауап. Қажетті сандық мән минус 8.

Ғарышта

Егер екі вектор және кеңістікте олардың үш декарттық тікбұрышты координаталары анықталса

онда бұл векторлардың скаляр көбейтіндісі де олардың сәйкес координаталарының жұптық көбейтінділерінің қосындысына тең, тек үш координата бар:

Қарастырылған жолмен скаляр көбейтіндісін табу міндеті скаляр көбейтіндінің қасиеттерін талдағаннан кейін болады. Өйткені тапсырмада көбейтілген векторлар қандай бұрыш құрайтынын анықтау керек болады.

Векторлардың нүктелік көбейтіндісінің қасиеттері

Алгебралық қасиеттер

1. (ауыспалы қасиет: олардың скаляр көбейтіндісінің мәні көбейтілген векторлардың орындарын өзгертуден өзгермейді).

2. (сандық факторға қатысты ассоциативті қасиет: вектордың қандай да бір факторға және басқа векторға көбейтіндісінің скаляр көбейтіндісі осы векторлардың скаляр көбейтіндісінің бірдей көбейтіндісіне тең).

3. (векторлардың қосындысына қатысты дистрибутивтік қасиет: үшінші вектор бойынша екі вектордың қосындысының скаляр көбейтіндісі бірінші вектордың үшінші векторға және екінші вектордың үшінші векторға скаляр көбейтінділерінің қосындысына тең).

4. (нөлден үлкен вектордың скаляр квадраты) if - нөлдік вектор, ал , егер - нөлдік вектор.

Геометриялық қасиеттер

Зерттелетін операцияның анықтамаларында біз екі вектор арасындағы бұрыш ұғымына тоқталып өттік. Бұл тұжырымдаманы нақтылау уақыты келді.

Жоғарыдағы суретте екі вектор көрінеді, олар ортақ бастамаға келтіріледі. Ең алдымен назар аудару керек нәрсе: бұл векторлардың арасында екі бұрыш бар - φ 1 Және φ 2 . Осы бұрыштардың қайсысы векторлардың скаляр көбейтіндісінің анықтамалары мен қасиеттерінде кездеседі? Қарастырылған бұрыштардың қосындысы 2-ге тең π сондықтан бұл бұрыштардың косинустары тең. Нүкте көбейтіндісінің анықтамасы оның өрнек мәнін емес, тек бұрыштың косинусын қамтиды. Бірақ қасиеттерде тек бір бұрыш қарастырылады. Ал бұл аспайтын екі бұрыштың бірі π яғни 180 градус. Бұл бұрыш суретте келесідей көрсетілген φ 1 .

1. Екі вектор шақырылады ортогональды Және бұл векторлардың арасындағы бұрыш тік болады (90 градус немесе π /2 ) егер бұл векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең :

Векторлық алгебрадағы ортогональдық – екі вектордың перпендикулярлығы.

2. Нөлдік емес екі вектор құрайды өткір бұрыш (0-ден 90 градусқа дейін, немесе бірдей, кем π нүктелік өнім оң .

3. Нөлдік емес екі вектор құрайды доғал бұрыш (90-нан 180 градусқа дейін, немесе, бірдей - көп π /2 ) егер және тек егер нүктелік өнім теріс .

3-мысалВекторлар координаталарда берілген:

Берілген векторлардың барлық жұптарының нүктелік көбейтінділерін есептеңдер. Бұл жұп векторлар қандай бұрышты (сүйір, тік, доғал) құрайды?

Шешім. Сәйкес координаталардың көбейтінділерін қосу арқылы есептейміз.

Біз теріс сан алдық, сондықтан векторлар доғал бұрыш жасайды.

Біз оң сан алдық, сондықтан векторлар сүйір бұрыш құрайды.

Біз нөлге ие болдық, сондықтан векторлар тік бұрыш жасайды.

Біз оң сан алдық, сондықтан векторлар сүйір бұрыш құрайды.

Өзін-өзі тексеру үшін пайдалануға болады онлайн калькулятор Векторлардың нүктелік көбейтіндісі мен олардың арасындағы бұрыштың косинусы .

4-мысалЕкі вектордың ұзындықтары және олардың арасындағы бұрыш берілген:

Санның қандай мәнінде векторлары ортогональ (перпендикуляр) болатынын анықтаңыз.

Шешім. Көпмүшелерді көбейту ережесі бойынша векторларды көбейтеміз:

Енді әрбір мүшені есептейік:

Теңдеу құрайық (көбейтіндінің нөлге теңдігі), ұқсас мүшелерін беріп, теңдеуді шешейік:

Жауап: біз құндылықты алдық λ = 1,8 , онда векторлар ортогональ болады.

5-мысалвектор екенін дәлелдеңдер векторға ортогональ (перпендикуляр).

Шешім. Ортогоналдылықты тексеру үшін векторларды және көпмүшелерді көбейтіп, оның орнына есеп шартында берілген өрнекті қоямыз:

Ол үшін бірінші көпмүшенің әрбір мүшесін (мүшесін) екіншінің әрбір мүшесіне көбейтіп, алынған көбейтінділерді қосу керек:

Нәтижесінде, тиесілі бөлшек азаяды. Келесі нәтиже алынады:

Қорытынды: көбейту нәтижесінде нөлге ие болдық, сондықтан векторлардың ортогональдығы (перпендикулярлығы) дәлелденді.

Мәселені өзіңіз шешіңіз, содан кейін шешімін көріңіз

6-мысалжәне векторларының ұзындықтары берілген, ал бұл векторлардың арасындағы бұрыш π /4 . Қандай мәнде екенін анықтаңыз μ векторлары және өзара перпендикуляр.

Векторлардың скаляр көбейтіндісінің және n өлшемді векторлардың көбейтіндісінің матрицалық көрінісі

Кейде түсінікті болу үшін екі көбейтілген векторды матрица түрінде көрсету тиімді. Содан кейін бірінші вектор жол матрицасы, ал екіншісі - баған матрицасы ретінде көрсетіледі:

Сонда векторлардың скаляр көбейтіндісі болады осы матрицалардың туындысы :

Нәтиже біз қарастырған әдіспен алынған нәтижемен бірдей. Біз бір ғана сан алдық, ал матрицалық жолдың матрицалық баған бойынша көбейтіндісі де бір сан.

Матрицалық түрде абстрактілі n өлшемді векторлардың көбейтіндісін көрсету ыңғайлы. Осылайша, екі төрт өлшемді вектордың көбейтіндісі төрт элементі бар жол матрицасының төрт элементі бар баған матрицасының көбейтіндісі болады, екі бес өлшемді вектордың көбейтіндісі бес элементі бар жол матрицасының көбейтіндісі болады: бес элементі бар баған матрицасы және т.б.

7-мысалВекторлардың жұптарының нүктелік көбейтінділерін табыңыз

матрицалық бейнелеуді қолдану.

Шешім. Векторлардың бірінші жұбы. Бірінші векторды жол матрицасы, ал екіншісін баған матрицасы ретінде көрсетеміз. Бұл векторлардың скаляр көбейтіндісін жол матрицасының баған матрицасына көбейтіндісі ретінде табамыз:

Сол сияқты, біз екінші жұпты ұсынып, табамыз:

Көріп отырғаныңыздай, нәтижелер 2-мысалдағы бірдей жұптармен бірдей.

Екі вектор арасындағы бұрыш

Екі вектор арасындағы бұрыштың косинусының формуласын шығару өте әдемі және қысқа.

Векторлардың нүктелік көбейтіндісін өрнектеу

(1)

В координат формасы, алдымен орттардың скаляр көбейтіндісін табамыз. Вектордың өзімен скаляр көбейтіндісі анықтамасы бойынша:

Жоғарыдағы формулада не жазылғаны мынаны білдіреді: вектордың өзімен скаляр көбейтіндісі оның ұзындығының квадратына тең. Нөлдің косинусы бірге тең, сондықтан әрбір ортықтың квадраты бірге тең болады: