Экспоненциалды немесе экспоненциалды түрде. Геометриялық прогрессия. Мысалдармен толық нұсқаулық (2020). Геометриялық прогрессия және оның тарихы не үшін қажет

Бір қатарды қарастырайық.

7 28 112 448 1792...

Оның кез келген элементінің құны алдыңғысынан төрт есе артық екені анық. Сондықтан бұл серия прогресс болып табылады.

Геометриялық прогрессия – сандардың шексіз тізбегі, оның басты ерекшелігі – келесі сан алдыңғы саннан қандай да бір нақты санға көбейту арқылы алынады. Бұл келесі формуламен өрнектеледі.

a z +1 =a z q, мұндағы z – таңдалған элементтің нөмірі.

Сәйкесінше, z ∈ N.

Мектепте геометриялық прогрессияның оқытылатын кезеңі 9-сынып. Мысалдар тұжырымдаманы түсінуге көмектеседі:

0.25 0.125 0.0625...

Осы формулаға сүйене отырып, прогрессияның бөлгішін келесідей табуға болады:

q да, b z де нөл бола алмайды. Сондай-ақ прогрессияның әрбір элементі нөлге тең болмауы керек.

Тиісінше, қатардағы келесі санды білу үшін соңғысын q-ға көбейту керек.

Бұл прогрессияны көрсету үшін оның бірінші элементін және бөлгішті көрсету керек. Осыдан кейін келесі мүшелердің кез келгенін және олардың қосындысын табуға болады.

Сорттары

q және a 1-ге байланысты бұл прогрессия бірнеше түрге бөлінеді:

• Егер 1 және q екеуі де бірден үлкен болса, онда мұндай тізбек әрбір келесі элементпен өсетін геометриялық прогрессия болады. Мұндай мысал төменде келтірілген.

Мысал: a 1 =3, q=2 - екі параметр де біреуден үлкен.

Сонда сандық тізбекті былай жазуға болады:

3 6 12 24 48 ...

• Егер |q| біреуден кіші, яғни оны көбейту бөлуге тең болса, онда шарттары ұқсас прогрессия кемімелі геометриялық прогрессия болады. Мұндай мысал төменде келтірілген.

Мысалы: a 1 =6, q=1/3 - a 1 бірден үлкен, q кіші.

Сонда сандық тізбекті келесідей жазуға болады:

6 2 2/3 ... - кез келген элемент өзінен кейінгі элементтен 3 есе үлкен.

• Белгі-айнымалы. Егер q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Мысал: a 1 = -3 , q = -2 - екі параметр де нөлден кіші.

Сонда тізбекті былай жазуға болады:

3, 6, -12, 24,...

Формулалар

Геометриялық прогрессияларды ыңғайлы пайдалану үшін көптеген формулалар бар:

• z-ші мүшенің формуласы. Алдыңғы сандарды есептемей-ақ белгілі бір санның астындағы элементті есептеуге мүмкіндік береді.

Мысалы:q = 3, а 1 = 4. Прогрессияның төртінші элементін есептеу қажет.

Шешімі:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Саны болатын бірінші элементтердің қосындысы z. дейінгі тізбектің барлық элементтерінің қосындысын есептеуге мүмкіндік бередіа зқоса алғанда.

бері (1-q) бөлгіште болса, онда (1 - q)≠ 0, демек q 1-ге тең емес.

Ескерту: егер q=1 болса, онда прогрессия шексіз қайталанатын санның қатары болар еді.

Геометриялық прогрессияның қосындысы, мысалдар:а 1 = 2, q= -2. S 5 есептеңіз.

Шешімі:С 5 = 22 - формула бойынша есептеу.

• сомасы, егер |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Мысалы:а 1 = 2 , q= 0,5. соманы табыңыз.

Шешімі:Сз = 2 · = 4

Сз = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Кейбір қасиеттер:

• тән қасиет. Келесі шарт болса кез келген үшін орындаладыz, онда берілген сандар қатары геометриялық прогрессия болады:

а з 2 = а з -1 · аz+1

• Сондай-ақ геометриялық прогрессияның кез келген санының квадраты берілген қатардағы кез келген басқа екі санның квадраттарын қосу арқылы табылады, егер олар осы элементтен бірдей қашықтықта болса.

а з 2 = а з - т 2 + а з + т 2 , Қайдатбұл сандар арасындағы қашықтық.

• Элементтерq бойынша ерекшеленедібір рет.
• Прогрессия элементтерінің логарифмдері де прогрессияны құрайды, бірақ қазірдің өзінде арифметикалық, яғни олардың әрқайсысы алдыңғысынан белгілі бір санға артық.

Кейбір классикалық есептердің мысалдары

Геометриялық прогрессияның не екенін жақсырақ түсіну үшін 9-сыныпқа арналған шешімі бар мысалдар көмектеседі.

• Шарттары:а 1 = 3, а 3 = 48. Табыңызq.

Шешуі: әрбір келесі элемент алдыңғысынан үлкенq бір рет.Бөлгіш арқылы кейбір элементтерді басқалары арқылы өрнектеу керек.

Демек,а 3 = q 2 · а 1

Ауыстыру кезіндеq= 4

• Шарттары:а 2 = 6, а 3 = 12. S 6 есептеңіз.

Шешімі:Ол үшін бірінші элементті q тауып, оны формулаға қою жеткілікті.

а 3 = q· а 2 , демек,q= 2

a 2 = q а 1,Сондықтан a 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, q= -2. Прогрессияның төртінші элементін табыңыз.

Шешуі: ол үшін төртінші элементті бірінші және бөлгіш арқылы өрнектеу жеткілікті.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Қолдану мысалы:

• Банктің клиенті 10 000 рубль мөлшерінде депозит жасады, оның шарты бойынша жыл сайын клиент оның 6% негізгі сомаға қосады. 4 жылдан кейін есепшотта қанша ақша болады?

Шешім: Бастапқы сома - 10 мың рубль. Осылайша, инвестициядан кейін бір жылдан кейін шот 10 000 + 10 000-ға тең сомаға ие болады · 0,06 = 10000 1,06

Тиісінше, тағы бір жылдан кейін шоттағы сома келесі түрде көрсетіледі:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Яғни, жыл сайын сома 1,06 есеге артып келеді. Бұл шоттағы қаражаттың 4 жылдан кейін сомасын табу үшін бірінші элементі 10 мыңға, ал бөлгіші 1,06-ға тең болатын прогрессияның төртінші элементін табу жеткілікті дегенді білдіреді.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Қосындыны есептеуге арналған тапсырмалардың мысалдары:

Әртүрлі есептерде геометриялық прогрессия қолданылады. Қосындыны табудың мысалын келесідей беруге болады:

а 1 = 4, q= 2, есептеңізS5.

Шешуі: есептеуге қажетті барлық деректер белгілі, оларды формулаға ауыстыру қажет.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Алғашқы алты элементтің қосындысын есептеңдер.

Шешімі:

Геом. прогрессия, әрбір келесі элемент алдыңғысынан q есе үлкен, яғни қосындыны есептеу үшін элементті білу керек.а 1 және бөлгішq.

а 2 · q = а 3

q = 3

Сол сияқты, біз де табуымыз керека 1 , білуа 2 Жәнеq.

а 1 · q = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.

Қатысты сабақ «Шексіз кемімелі геометриялық прогрессия»

Сабақтың мақсаты:оқушыларды тізбектің жаңа түрімен – шексіз кемімелі геометриялық прогрессиямен таныстыру.

Тапсырмалар:

сандық реттілік шегінің бастапқы идеясын тұжырымдау; шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысының формуласын қолданып, шексіз периодты бөлшектерді жай бөлшектерге түрлендірудің басқа тәсілімен таныстыру;

мектеп оқушыларының жеке тұлғасының логикалық ойлауы, бағалау әрекеті, жалпылау сияқты интеллектуалдық қасиеттерін дамыту;

белсенділікке, өзара көмекке, ұжымшылдыққа, пәнге қызығушылыққа тәрбиелеу.

Жабдық:компьютер сыныбы, проектор, экран.

Сабақтың түрі:Сабақ – жаңа тақырыпты меңгерту.

Сабақтар кезінде

I . Org. сәт. Сабақтың тақырыбы мен мақсаты туралы хабарлама.

II . Оқушылардың білімдерін толықтыру.1. Үй тапсырмасын тексеру.

1) Арифметикалық және геометриялық прогрессияға байланысты негізгі формулаларды тексеру. Екі оқушы тақтаға формулаларды жазады.

2) Қалған оқушылар орындайды «Қосынды формулалар» тақырыбына математикалық диктант.

Тапсырмалар:

№1. Арифметикалық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңыз, егер оның бірінші мүшесі 6 (1-ші нұсқа), -20 (2-ші нұсқа), бесінші мүшесі -6 (1-ші нұсқа), 20 (2-ші нұсқа) болса.

№2. Арифметикалық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңыз, егер оның бірінші мүшесі -20(1-ші нұсқа), 6(2-ші нұсқа), ал айырмасы 10(1-ші нұсқа), -3(2-ші нұсқа) болса.

№3. Геометриялық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңыз, егер оның бірінші мүшесі 1(1-ші нұсқа), -1 (2-ші нұсқа), ал бөлгіші -2(1-ші нұсқа), 2(2-ші нұсқа) болса.

Диктанттың соңында таңдау бойынша екі оқушының жұмысы бағалау үшін тексеріледі, қалғандары тақтадағы ілмектерге жазылған дайын шешімдер бойынша өзін-өзі тексеруді орындайды.

Шешімдер:

Тапсырмалар

1. Арифметикалық прогрессия формула бойынша берілген а n = 7 – 4 n. Табу а 10 . (-33)

2. Арифметикалық прогрессия а 3 = 7 Және а 5 = 1 . Табу а 4 . (4)

3. Арифметикалық прогрессия а 3 = 7 Және а 5 = 1 . Табу а 17 . (-35)

4. Арифметикалық прогрессия а 3 = 7 Және а 5 = 1 . Табу С 17 . (-187)

5. Геометриялық прогрессия үшін
бесінші мүшесін табыңыз.

6. Геометриялық прогрессия үшін
табу n-ші мүше.

7. Экспоненциалды түрде б 3 = 8 Және б 5 = 2 . Табу б 4 . (4)

8. Экспоненциалды түрде б 3 = 8 Және б 5 = 2 . Табу б 1 Және q .

9. Экспоненциалды түрде б 3 = 8 Және б 5 = 2 . Табу С 5 . (62)

III . Жаңа тақырыпты пысықтау(демонстрациялық презентация).

Қабырғасы 1-ге тең шаршыны қарастырайық. Қабырғасы бірінші шаршының жартысы, содан кейін басқа, қабырғасы екінші жартысы, содан кейін келесі және т.б. болатын басқа шаршыны салайық. Әр жолы жаңа шаршының жағы алдыңғысының жартысы болады.

Нәтижесінде біз квадраттардың қабырғаларының тізбегін алдық бөлімі бар геометриялық прогрессия құру .

Ең бастысы, мұндай алаңдарды неғұрлым көп салсақ, алаңның жағы да кішірек болады. Мысалы,

Анау. n саны өскен сайын прогрессияның мүшелері нөлге жақындайды.

Бұл суреттің көмегімен тағы бір ретті қарастыруға болады.

Мысалы, квадраттардың аудандарының тізбегі:

. Және тағы да, егер nшексіз өседі, содан кейін аумақ нөлге ерікті түрде жақындайды.

Тағы бір мысалды қарастырайық. Қабырғасы 1 см тең қабырғалы үшбұрыш. Үшбұрыштың орта сызығының теоремасы бойынша 1-ші үшбұрыштың қабырғаларының орта нүктелеріндегі төбелері бар келесі үшбұрышты тұрғызайық - 2-ші қабырғасы бірінші қабырғасының жартысына тең, 3-ші қабырғасы - жарты қабырғасының жартысы. 2-ші және т. Тағы да біз үшбұрыштардың қабырғаларының ұзындықтарының тізбегін аламыз.

сағ
.

Теріс бөлімі бар геометриялық прогрессияны қарастырсақ.

Содан кейін, тағы да, санының өсуімен nпрогрессияның шарттары нөлге жақындайды.

Осы тізбектердің бөлгіштеріне назар аударайық. Барлық жерде деноминаторлар 1 модульден аз болды.

Қорытындылай аламыз: геометриялық прогрессия, егер оның бөлгішінің модулі 1-ден кіші болса, ол шексіз кемиді.

Алдыңғы жұмыс.

Анықтамасы:

Геометриялық прогрессия, егер оның бөлгішінің модулі бірден кіші болса, оны шексіз кемімелі деп атайды.
.

Анықтаманың көмегімен геометриялық прогрессия шексіз кемімелі ме, жоқ па деген сұрақты шешуге болады.

Тапсырма

Тізбек шексіз кемімелі геометриялық прогрессия бола ма, егер ол мына формуламен берілген:

;
.

Шешімі:

. Табайық q .

;
;
;
.

бұл геометриялық прогрессия шексіз кемиді.

б)бұл тізбек шексіз кемімелі геометриялық прогрессия емес.

Қабырғасы 1-ге тең шаршыны қарастырайық. Оны екіге бөліңіз, жартысының біреуін қайтадан екіге бөліңіз және т.б. Барлық алынған тіктөртбұрыштардың аудандары шексіз кемімелі геометриялық прогрессияны құрайды:

Осылайша алынған барлық төртбұрыштардың аудандарының қосындысы 1-ші шаршының ауданына тең және 1-ге тең болады.

Бірақ бұл теңдіктің сол жағында шексіз көп мүшелердің қосындысы орналасқан.

Бірінші n мүшесінің қосындысын қарастырайық.

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы бойынша ол тең .

Егер nонда шексіз өседі

немесе
. Сондықтан
, яғни.
.

Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысыреттілік шегі бар С 1 , С 2 , С 3 , …, С n , … .

Мысалы, прогресс үшін
,

Өйткені

Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысыформуласы арқылы табуға болады
.

III . Рефлексия және бекіту(тапсырмаларды орындау).

№2 тапсырма. Бірінші мүшесі 3, екінші мүшесі 0,3 болатын шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табыңыз.

Шешімі:

№3 тапсырма. оқулық, 160 б., №433(1)

Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табыңыз:

Шешімі:

№4 тапсырма. Шексіз периодты ондық бөлшек 0,(5) жай бөлшек түрінде жазыңыз.

1-ші жол. x = 0, (5) = 0,555 ... / 10 болсын 2-ші әдіс. 0,(5)=0,555…=

№5 тапсырма. оқулық, 162 б., №445(3) (өз бетінше шешім)

Шексіз периодты ондық бөлшек 0,(12) жай бөлшек түрінде жаз.

Жауабы: 0,(12)=4/33.

IV . Қорытындылау.

Бүгін қандай тізбекпен кездестіңіз?

Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияны анықтаңыз.

Геометриялық прогрессияның шексіз кемитінін қалай дәлелдеуге болады?

Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысының формуласын көрсетіңіз.

В . Үй жұмысы.

Геометриялық прогрессия – бірінші мүшесі нөлге жатпайтын және әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің сол нөлдік емес санға көбейтіндісіне тең болатын сандық тізбек. Геометриялық прогрессия b1,b2,b3, …, bn, … арқылы белгіленеді.

Геометриялық прогрессияның қасиеттері

Геометриялық қатенің кез келген мүшесінің оның алдыңғы мүшесіне қатынасы бірдей санға тең, яғни b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Бұл арифметикалық прогрессияның анықтамасынан тікелей шығады. Бұл сан геометриялық прогрессияның бөлгіші деп аталады. Әдетте геометриялық прогрессияның бөлгіші q әрпімен белгіленеді.

Геометриялық прогрессияны орнатудың бір жолы - оның бірінші мүшесі b1 және q геометриялық қатесінің бөлгішін орнату. Мысалы, b1=4, q=-2. Бұл екі шарт 4, -8, 16, -32, … геометриялық прогрессиясын береді.

Егер q>0 (q 1-ге тең емес), онда прогрессия монотонды тізбек болады. Мысалы, 2, 4,8,16,32, ... тізбегі монотонды өсетін тізбек (b1=2, q=2).

Егер геометриялық қателікте бөлгіш q=1 болса, онда геометриялық прогрессияның барлық мүшелері бір-біріне тең болады. Мұндай жағдайларда прогрессия тұрақты тізбек деп аталады.

Прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы

Сан тізбегі (bn) геометриялық прогрессия болуы үшін оның әрбір мүшесі екіншісінен бастап көршілес мүшелердің геометриялық ортасы болуы шарт. Яғни, келесі теңдеуді орындау қажет - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), кез келген n>0 үшін, мұндағы n N натурал сандар жиынына жатады.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы:

bn=b1*q^(n-1), мұндағы n N натурал сандар жиынына жатады.

Қарапайым мысалды қарастырайық:

Геометриялық прогрессияда b1=6, q=3, n=8 bn табыңыз.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын қолданайық.

Геометриялық прогрессия - бұл сандар тізбегінің жаңа түрі, біз онымен танысуымыз керек. Табысты танысу үшін кем дегенде білу және түсіну зиян тигізбейді. Сонда геометриялық прогрессияда проблема болмайды.)

Геометриялық прогрессия дегеніміз не? Геометриялық прогрессия туралы түсінік.

Біз турды әдеттегідей бастауыштан бастаймыз. Мен аяқталмаған сандар тізбегін жазамын:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Үлгіні ұстап алып, келесі қай сандар жүретінін айта аласыз ба? Бұрыш анық, 100000, 1000000 және т.б сандар әрі қарай жүреді. Психикалық стресс болмаса да, бәрі түсінікті, солай ма?)

ЖАРАЙДЫ МА. Тағы бір мысал. Мен келесі ретті жазамын:

1, 2, 4, 8, 16, …

16 саны мен есімнен кейін қай сандар келе жатқанын айта аласыз ба? сегізіншіқатар мүшесі? Егер сіз 128 саны болатынын білсеңіз, өте жақсы. Демек, күрестің жартысы түсінуде мағынасыЖәне негізгі нүктелергеометриялық прогрессия орындалды. Сіз одан әрі өсе аласыз.)

Енді сенсациядан қатаң математикаға қайта ораламыз.

Геометриялық прогрессияның негізгі сәттері.

Негізгі сәт №1

Геометриялық прогрессия сандар тізбегі.Прогрессия сияқты. Күрделі ештеңе жоқ. Бұл реттілік жай ғана реттелді басқаша.Сондықтан, әрине, оның басқа атауы бар, иә ...

Негізгі сәт №2

Екінші негізгі нүктемен сұрақ қиынырақ болады. Кішкене артқа шегініп, арифметикалық прогрессияның негізгі қасиетін еске түсірейік. Міне ол: әрбір мүше алдыңғысынан ерекшеленеді бірдей мөлшерде.

Геометриялық прогрессияның ұқсас кілттік қасиетін тұжырымдауға бола ма? Кішкене ойланыңыз... Келтірілген мысалдарға назар аударыңыз. Болды ма? Иә! Геометриялық прогрессияда (кез келген!) оның әрбір мүшесі алдыңғысынан ерекшеленеді бірдей реттерде.Әрқашан!

Бірінші мысалда бұл сан он. Кезектіліктің қай мүшесін алсаңыз да, ол алдыңғысынан үлкен он рет.

Екінші мысалда бұл екі: әрбір мүше алдыңғысынан үлкен. екі есе.

Дәл осы негізгі нүктеде геометриялық прогрессияның арифметикалық прогрессиядан айырмашылығы бар. Арифметикалық прогрессияда әрбір келесі мүше алынады қосуалдыңғы терминмен бірдей мәнге ие. Ал мұнда - көбейтуалдыңғы мерзімге бірдей сомада. Бұл айырмашылық.)

Негізгі сәт №3

Бұл негізгі нүкте арифметикалық прогрессияға толығымен сәйкес келеді. Атап айтқанда: геометриялық прогрессияның әрбір мүшесі өз орнында.Барлығы арифметикалық прогрессиядағыдай және түсініктемелер, менің ойымша, қажет емес. Бірінші мүше бар, жүз және бірінші бар, т.б. Кем дегенде екі мүшені қайта реттейік - өрнек (және онымен бірге геометриялық прогрессия) жоғалады. Ешбір логикасы жоқ сандар тізбегі ғана қалады.

Осымен болды. Бұл геометриялық прогрессияның барлық нүктесі.

Терминдер мен белгілеулер.

Ал енді геометриялық прогрессияның мәні мен негізгі нүктелерін қарастыра отырып, біз теорияға көшуге болады. Әйтпесе, мағынасын түсінбеген теория дегеніміз не?

Геометриялық прогрессия дегеніміз не?

Геометриялық прогрессия жалпы түрде қалай жазылады? Проблема жоқ! Прогрессияның әрбір мүшесі әріп түрінде де жазылады. Тек арифметикалық прогрессия үшін әдетте әріп қолданылады «А», геометриялық үшін - әріп «б». Мүше нөмірі, әдеттегідей, көрсетілген төменгі оң жақ индекс. Прогрессия мүшелерінің өзі жай ғана үтір немесе нүктелі үтірмен бөлінген.

Бұл сияқты:

b1,б 2 , б 3 , б 4 , б 5 , б 6 , …

Қысқаша айтқанда, мұндай прогресс келесі түрде жазылады: (б н) .

Немесе соңғы прогрессиялар үшін:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1, b 2, ..., b 29, b 30.

Немесе қысқаша айтқанда:

(б н), n=30 .

Бұл, шын мәнінде, барлық белгілеулер. Бәрі бірдей, тек әріп басқа, иә.) Ал енді анықтамаға тікелей көшеміз.

Геометриялық прогрессияның анықтамасы.

Геометриялық прогрессия – бірінші мүшесі нөлге жатпайтын және әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің сол нөлдік емес санға көбейтіндісіне тең болатын сандық тізбек.

Бұл бүкіл анықтама. Сөздер мен сөз тіркестерінің көпшілігі сізге түсінікті және таныс. Әрине, сіз «саусақтарда» және жалпы алғанда геометриялық прогрессияның мағынасын түсінбесеңіз. Бірақ мен ерекше назар аударғым келетін бірнеше жаңа сөз тіркестері бар.

Біріншіден, сөздер: «оның бірінші мерзімі нөлден өзгеше".

Бірінші мерзімге бұл шектеу кездейсоқ енгізілген жоқ. Бірінші тоқсанда не болады деп ойлайсыз б 1 нөлге тең болады? Әрбір мүше алдыңғысынан үлкен болса, екінші мүше қандай болады бірдей рет саны?Үш рет айтайық? Қарап көрейік... Бірінші мүшені (яғни 0) 3-ке көбейтіп, ... нөлді алыңыз! Ал үшінші мүше? Нөл де! Ал төртінші мүше де нөлге тең! Тағыда басқа…

Біз нөлдердің тізбегі бойынша бір қап рогатка аламыз:

0, 0, 0, 0, …

Әрине, мұндай дәйектіліктің өмір сүруге құқығы бар, бірақ оның практикалық мүддесі жоқ. Бәрі соншалықты түсінікті. Оның кез келген мүшелері нөлге тең. Мүшелердің кез келген санының қосындысы да нөлге тең... Сіз онымен қандай қызықты нәрселер жасай аласыз? Ештеңе…

Келесі кілт сөздер: «бірдей нөлдік емес санға көбейтілген».

Дәл осы нөмірдің өзінің ерекше атауы бар - геометриялық прогрессияның бөлгіші. Танысуды бастайық.)

Геометриялық прогрессияның бөлгіші.

Барлығы қарапайым.

Геометриялық прогрессияның бөлгіші нөлдік емес сан (немесе мән) болып табыладықанша ретпрогрессияның әрбір мүшесі алдыңғысынан көп.

Тағы да, арифметикалық прогрессияның ұқсастығы бойынша, бұл анықтамада назар аудару керек негізгі сөз - сөз «Көбірек». Бұл геометриялық прогрессияның әрбір мүшесі алынғанын білдіреді көбейтудәл осы бөлгішке алдыңғы мүше.

түсіндіремін.

Есептеу үшін айталық екіншіалатын мүше біріншімүшесі және көбейтуоны бөлгішке дейін. Есептеу үшін оныншыалатын мүше тоғызыншымүшесі және көбейтуоны бөлгішке дейін.

Геометриялық прогрессияның азайғышы кез келген нәрсе болуы мүмкін. Мүлдем кез келген адам! Бүтін, бөлшек, оң, теріс, иррационал – барлығы. Нөлден басқа. Анықтамадағы «нөлдік емес» сөзі бізге осыны айтады. Неліктен бұл сөз мұнда қажет - бұл туралы кейінірек.

Геометриялық прогрессияның бөлгішіәдетте әріппен белгіленеді q.

Мынаны қалай табуға болады q? Проблема жоқ! Біз прогрессияның кез келген мерзімін қабылдауымыз керек және алдыңғы мүшеге бөлу. Бөлім бөлшек. «Прогрессияның бөлгіші» деген атау осыдан шыққан. Бөлгіш, ол әдетте бөлшекте отырады, иә ...) Дегенмен, логикалық тұрғыдан, мән qшақыру керек жекеұқсас геометриялық прогрессия айырмашылықарифметикалық прогрессия үшін. Бірақ қоңырау шалуға келісті бөлгіш. Және біз дөңгелекті қайта ойлап таппаймыз.)

Мысалы, мәнді анықтайық qБұл геометриялық прогрессия үшін:

2, 6, 18, 54, …

Барлығы қарапайым. Біз аламыз кез келгенреттік нөмірі. Біз қалаған нәрсе - біз алатынымыз. Біріншісін қоспағанда. Мысалы, 18. Және бөлу алдыңғы нөмір. Яғни, 6-да.

Біз алып жатырмыз:

q = 18/6 = 3

Осымен болды. Бұл дұрыс жауап. Берілген геометриялық прогрессия үшін бөлгіш үшке тең.

Бөлгішті табайық qбасқа геометриялық прогрессия үшін. Мысалы, келесідей:

1, -2, 4, -8, 16, …

Бәрі бірдей. Мүшелердің өзінде қандай белгілер болса да, біз бәрібір қабылдаймыз кез келгенреттік нөмірі (мысалы, 16) және бөлу алдыңғы нөмір(яғни -8).

Біз алып жатырмыз:

г = 16/(-8) = -2

Осымен бітті.) Бұл жолы прогрессияның бөлгіші теріс болып шықты. Минус екі. Болады.)

Мына прогрессияны алайық:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Және тағы да, қатардағы сандардың түріне қарамастан (жұп бүтін сандар, тіпті бөлшек, тіпті теріс, тіпті иррационал) кез келген санды (мысалы, 1/9) алып, алдыңғы санға (1/3) бөлеміз. Бөлшектермен амалдар ережесі бойынша, әрине.

Біз алып жатырмыз:

Осымен бітті.) Мұндағы бөлгіш бөлшек болып шықты: q = 1/3.

Бірақ сіз сияқты «ілгерілеу» бар ма?

3, 3, 3, 3, 3, …

Бұл жерде анық q = 1 . Формальды түрде бұл да геометриялық прогрессия, тек бар бірдей мүшелер.) Бірақ мұндай прогрессиялар оқу және практикалық қолдану үшін қызықты емес. Тұтас нөлдері бар прогрессиялар сияқты. Сондықтан біз оларды қарастырмаймыз.

Көріп отырғаныңыздай, прогрессияның бөлгіші кез келген нәрсе болуы мүмкін - бүтін, бөлшек, оң, теріс - кез келген нәрсе! Бұл жай ғана нөл болуы мүмкін емес. Неге екенін таппадың ба?

Ал, нақты мысалды қарастырайық, егер біз бөлгіш ретінде алсақ не болады qнөл.) Мысалы, бізде болсын б 1 = 2 , А q = 0 . Сонда екінші тоқсан қандай болады?

Біз сенеміз:

б 2 = б 1 · q= 2 0 = 0

Ал үшінші мүше?

б 3 = б 2 · q= 0 0 = 0

Геометриялық прогрессияның түрлері мен тәртібі.

Барлығы азды-көпті түсінікті болды: прогрессияның айырмашылығы болса гоң, прогресс артып келеді. Егер айырмашылық теріс болса, онда прогресс төмендейді. Тек екі нұсқа бар. Үшіншісі жоқ.)

Бірақ геометриялық прогрессияның әрекетімен бәрі әлдеқайда қызықты және әртүрлі болады!)

Мүшелер мұнда өзін ұстай салысымен: олар көбейеді және азаяды және шексіз нөлге жақындайды, тіпті белгілерді өзгертіп, кезектесіп не «плюс» не «минус» деп асығады! Және осы әртүрлілікті жақсы түсіну керек, иә ...

Түсінеміз бе?) Ең қарапайым жағдайдан бастайық.

Бөлгіш оң ( q >0)

Оң бөлгішпен, біріншіден, геометриялық прогрессияның мүшелері кіре алады плюс шексіздік(яғни шексіз ұлғайту) және кіруі мүмкін минус шексіздік(яғни шексіз азаю). Біз прогрессияның мұндай мінез-құлқына үйреніп қалдық.

Мысалы:

(б н): 1, 2, 4, 8, 16, …

Мұнда бәрі қарапайым. Прогрессияның әрбір мүшесі болып табылады бұрынғыдан көп. Және әрбір мүше алады көбейтуалдыңғы мүше оң+2 саны (яғни q = 2 ). Мұндай прогрессияның мінез-құлқы айқын: прогрессияның барлық мүшелері шексіз өседі, ғарышқа шығады. Оған қоса шексіздік...

Міне, прогресс:

(б н): -1, -2, -4, -8, -16, …

Мұнда да прогрессияның әрбір мүшесі алынады көбейтуалдыңғы мүше оңсаны +2. Бірақ мұндай прогрессияның мінез-құлқы қазірдің өзінде тікелей қарама-қарсы: прогрессияның әрбір мүшесі алынады бұрынғыдан аз, және оның барлық мүшелері шексіз азаяды, минус шексіздікке барады.

Енді ойланайық: бұл екі прогрессияның қандай ортақтығы бар? Дұрыс, бөлгіш! Мұнда және мұнда q = +2 . Оң сан. Deuce. Ал міне мінез-құлықБұл екі прогресс түбегейлі ерекшеленеді! Неге екенін таппадың ба? Иә! Мұның бәрі туралы бірінші мүше!Әуенге тапсырыс беретін де сол ғой.) Өзіңіз қараңыз.

Бірінші жағдайда прогрессияның бірінші мүшесі оң(+1) және, демек, көбейту арқылы алынған барлық келесі мүшелер оңбөлгіш q = +2 , сондай-ақ болады оң.

Бірақ екінші жағдайда бірінші термин теріс(-1). Демек, прогрессияның барлық келесі мүшелері көбейту арқылы алынады оң q = +2 , сонымен қатар алынады теріс.«Минус» «плюс» үшін әрқашан «минус» береді, иә.)

Көріп отырғаныңыздай, арифметикалық прогрессиядан айырмашылығы, геометриялық прогрессия тек тәуелді емес, мүлдем басқаша әрекет ете алады. бөлгіштенq, бірақ сонымен бірге байланысты бірінші мүшеден, Иә.)

Есіңізде болсын: геометриялық прогрессияның әрекеті оның бірінші мүшесімен бірегей түрде анықталады б 1 және бөлгішq .

Енді біз азырақ таныс, бірақ әлдеқайда қызықты жағдайларды талдауды бастаймыз!

Мысалы, келесі тізбекті алайық:

(б н): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Бұл тізбек те геометриялық прогрессия! Бұл прогрессияның әрбір мүшесі де алынады көбейтуалдыңғы мүше, сол санмен. Тек саны ғана бөлшек: q = +1/2 . Немесе +0,5 . Және (маңызды!) сан, кішірек:q = 1/2<1.

Бұл геометриялық прогрессияның не қызықтырады? Оның мүшелері қайда бара жатыр? Қарап көрейік:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Мұнда не қызық? Біріншіден, прогрессияның мүшелерінің азаюы бірден таң қалдырады: оның әрбір мүшесі Аздауалдыңғы дәл 2 рет.Немесе геометриялық прогрессияның анықтамасы бойынша әрбір мүшесі Көбірекалдыңғы 1/2 рет, өйткені прогрессияның бөлгіші q = 1/2 . Бірден аз оң санға көбейтуден нәтиже әдетте азаяды, иә ...

Не Көбірекосы прогрессияның мінез-құлқын көруге болады? Оның мүшелері жоғалып кете ме? шексіз, минус шексіздікке барасыз ба? Жоқ! Олар ерекше түрде жоғалады. Бастапқыда олар тез азаяды, содан кейін көбірек және баяу. Және барлық уақытта тұру оң. Өте кішкентай болса да. Ал олар не үшін ұмтылады? Болмадың ба? Иә! Олар нөлге бейім!) Және, назар аударыңыз, біздің прогрессияның мүшелері ешқашан жетпейді!Тек оған шексіз жақын. Бұл өте маңызды.)

Ұқсас жағдай келесі прогрессияда болады:

(б н): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Мұнда б 1 = -1 , А q = 1/2 . Бәрі бірдей, енді ғана мүшелер екінші жағынан, төменнен нөлге жақындайды. Барлық уақытта тұру теріс.)

Мұндай геометриялық прогрессия, оның мүшелері нөлге шексіз жақындайды.(оң немесе теріс жағы маңызды емес), математикада оның ерекше атауы бар - шексіз кемімелі геометриялық прогрессия.Бұл прогресс соншалықты қызықты және ерекше, ол тіпті болады бөлек сабақ .)

Сонымен, біз барлық мүмкіндіктерді қарастырдық оңбөлгіштер үлкен де, кіші де болады. Біз жоғарыда айтылған себептерге байланысты оның өзін бөлгіш ретінде қарастырмаймыз (үштіктер тізбегі бар мысалды есте сақтаңыз ...)

Қорытындылай келе:

оңЖәне біреуден көп (q>1), онда прогрессияның мүшелері:

а) шексіз ұлғайту (егерб 1 >0);

б) шексіз төмендейді (егерб 1 <0).

Геометриялық прогрессияның бөлгіші болса оң Және біреуден аз (0< q<1), то члены прогрессии:

а) нөлге шексіз жақын жоғарыда(Егерб 1 >0);

б) нөлге шексіз жақын төменнен(Егерб 1 <0).

Енді істі қарау қалды теріс бөлгіш.

Бөлгіш теріс ( q <0)

Мысал ретінде алысқа бармаймыз. Неліктен, шын мәнінде, жүнді әже ?!) Мысалы, прогрессияның бірінші мүшесі болсын б 1 = 1 , және бөлгішті алыңыз q = -2.

Біз келесі тізбекті аламыз:

(б н): 1, -2, 4, -8, 16, …

Және т.б.) Прогрессияның әрбір мүшесі алынады көбейтуалдыңғы мүше теріс сан-2. Бұл жағдайда тақ орындардағы барлық мүшелер (бірінші, үшінші, бесінші және т.б.) болады оң, ал жұп жерлерде (екінші, төртінші, т.б.) - теріс.Белгілер қатаң түрде араласады. Плюс-минус-плюс-минус ... Мұндай геометриялық прогрессия деп аталады - өсу белгісі кезектесіп отырады.

Оның мүшелері қайда бара жатыр? Және еш жерде.) Иә, абсолютті мәнде (яғни модуль бойынша)біздің прогрессияның шарттары шексіз өседі (осыдан «өсу» атауы). Бірақ сонымен бірге прогрессияның әрбір мүшесі оны кезек-кезек ыстыққа, содан кейін суыққа тастайды. Не плюс, не минус. Прогрессиямыз ауытқиды... Оның үстіне тербеліс диапазоны әр қадам сайын тез өседі, иә.) Сондықтан прогрессия мүшелерінің бір жерге баруға деген ұмтылысы. арнайыМұнда Жоқ.Плюс шексіздікке де, минус шексіздікке де, нөлге де - еш жерде.

Енді нөл мен минус бір арасындағы бөлшек бөлгішті қарастырайық.

Мысалы, солай болсын б 1 = 1 , А q = -1/2.

Содан кейін біз прогрессті аламыз:

(б н): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Және тағы да бізде белгілердің кезектесуі бар! Бірақ, алдыңғы мысалға қарағанда, мұнда терминдердің нөлге жақындау үрдісі қазірдің өзінде айқын байқалады.) Тек осы жолы біздің терминдер нөлге қатаң түрде жоғарыдан немесе төменнен емес, қайтадан жақындайды. тартыну. Оң немесе теріс мәндерді кезектесіп алу. Бірақ сонымен бірге олар модульдербарған сайын қымбат нөлге жақындап келеді.)

Бұл геометриялық прогрессия деп аталады шексіз кемімелі ауыспалы таңба.

Неліктен бұл екі мысал қызықты? Және бұл екі жағдайда да орын алады ауыспалы кейіпкерлер!Мұндай чип тек теріс бөлгіші бар прогрессияларға тән, иә.) Сондықтан, егер қандай да бір тапсырмада ауыспалы мүшелері бар геометриялық прогрессияны көрсеңіз, онда сіз оның бөлгішінің 100% теріс екенін анық білетін боласыз және таңбада қателеспейсіз.)

Айтпақшы, теріс бөлгіш жағдайында бірінші мүшенің белгісі прогрессияның өзінің мінез-құлқына мүлдем әсер етпейді. Прогрессияның бірінші мүшесінің белгісі қандай болса да, кез келген жағдайда мүшелердің кезектесу белгісі байқалады. Барлық сұрақ жай ғана қай жерлерде(жұп немесе тақ) белгілі бір белгілері бар мүшелер болады.

Есіңізде болсын:

Геометриялық прогрессияның бөлгіші болса теріс , онда прогрессияның мүшелерінің белгілері әрқашан болады балама.

Бұл ретте мүшелердің өздері:

а) шексіз ұлғайтумодуль, Егерq<-1;

б) егер -1 болса, нөлге шексіз жақындау< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Осымен болды. Барлық типтік жағдайлар талданады.)

Геометриялық прогрессияның әртүрлі мысалдарын талдау барысында мен мезгіл-мезгіл келесі сөздерді қолдандым: «нөлге бейім», «плюс шексіздікке бейім», минус шексіздікке ұмтылады... Жарайды.) Бұл сөйлеу айналымдары (және нақты мысалдар) тек бастапқы танысу мінез-құлықәртүрлі сандар тізбегі. Геометриялық прогрессияның мысалы.

Неліктен бізге прогрессивті мінез-құлықты білу керек? Оның қайда баратынының қандай айырмашылығы бар? Нөлге, плюс шексіздікке, минус шексіздікке ... Бұл бізге не береді?

Мәселе мынада, университетте жоғары математика курсында әртүрлі сандық тізбектермен жұмыс істеу қабілеті қажет болады (тек прогрессиямен емес, кез келгенімен!) Және бұл немесе басқа реттілік қалай әрекет ететінін дәл елестету қабілеті - ол шексіз өседі ме, азая ма, ол белгілі бір санға ұмтылады ма (және бірдеңе бүтін емес) ... математикалық талдау барысында осы тақырыпқа дауыс берді - шектеу теориясы.Нақтырақ айтқанда, тұжырымдама сандар тізбегінің шегі.Өте қызықты тақырып! Колледжге барып, оны анықтау мағынасы бар.)

Осы бөлімдегі кейбір мысалдар (шектері бар тізбектер) және атап айтқанда, шексіз кемімелі геометриялық прогрессиямектепте оқи бастайды. Үйрену.)

Сонымен қатар, болашақта тізбектердің мінез-құлқын жақсы зерттеу қабілеті қолдарыңызда үлкен рөл атқарады және өте пайдалы болады. функцияны зерттеу.Ең әртүрлі. Бірақ функциялармен сауатты жұмыс істеу қабілеті (туындыларды есептеу, оларды толық зерттеу, графиктерін құру) математикалық деңгейіңізді күрт арттырады! Күмән? Керек емес. Менің сөздерімді де есте сақта.)

Өмірдегі геометриялық прогрессияны қарастырайық?

Айналамыздағы өмірде біз экспоненциалды прогрессияны өте жиі кездестіреміз. Тіпті білмей.)

Мысалы, бізді барлық жерде орасан зор мөлшерде қоршап тұрған және біз микроскопсыз көрмейтін әртүрлі микроорганизмдер геометриялық прогрессияда дәл көбейеді.

Бір бактерия екіге бөлініп, 2 бактерияда ұрпақ беріп көбейеді делік. Өз кезегінде, олардың әрқайсысы көбейе отырып, екіге бөлінеді, 4 бактерияның ортақ ұрпағын береді. Келесі ұрпақ 8 бактерия береді, содан кейін 16 бактерия, 32, 64 және т.б. Әрбір келесі ұрпақпен бактериялар саны екі есе артады. Геометриялық прогрессияның типтік мысалы.)

Сондай-ақ кейбір жәндіктер – тли, шыбындар – экспоненциалды түрде көбейеді. Кейде қояндар да, айтпақшы.)

Күнделікті өмірге жақынырақ геометриялық прогрессияның тағы бір мысалы деп аталады күрделі пайыз.Мұндай қызықты құбылыс банктік депозиттерде жиі кездеседі және деп аталады пайыздық капиталдандыру.Бұл не?

Сіз, әрине, әлі жассыз. Мектепте оқисың, банкке жүгінбейсің. Бірақ сіздің ата-анаңыз ересек және тәуелсіз адамдар. Олар жұмысқа барып, күнделікті нанын тауып, ақшаның бір бөлігін банкке салып, жинақтайды.)

Сіздің әкеңіз Түркияда отбасылық демалыс үшін белгілі бір соманы жинап, банкке жылдық 10 пайызбен үш жыл мерзімге 50 000 рубль салғысы келеді делік. жылдық пайыздық капиталдандырумен.Оның үстіне, осы уақыт ішінде депозитпен ештеңе жасауға болмайды. Сіз депозитті толтыра алмайсыз және шоттан ақша ала алмайсыз. Осы үш жылда ол қандай пайда табады?

Біріншіден, сіз жылдық 10% не екенін анықтауыңыз керек. Соны білдіреді бір жылдан кейінБанк бастапқы салым сомасына 10% қосады. Неден? Әрине, бастап бастапқы салым сомасы.

Бір жылдағы шот сомасын есептеңіз. Егер салымның бастапқы сомасы 50 000 рубль болса (яғни 100%), онда бір жылдан кейін шотқа қанша пайыз түседі? Дұрыс, 110%! 50 000 рубльден бастап.

Сонымен, біз 50 000 рубльдің 110% -ын қарастырамыз:

50 000 1,1 \u003d 55 000 рубль.

Мәннің 110% табу бұл мәнді 1,1 санына көбейтуді білдіретінін түсінесіз деп үміттенемін? Неліктен бұлай екенін түсінбесеңіз, бесінші және алтыншы сыныптарды еске түсіріңіз. Атап айтқанда - пайыздардың бөлшектермен және бөліктермен байланысы.)

Осылайша, бірінші жылдағы өсім 5000 рубльді құрайды.

Екі жылдан кейін шотқа қанша ақша түседі? 60 000 рубль? Өкінішке орай (дәлірек айтқанда, бақытымызға орай) бұл қарапайым емес. Пайыздық капиталдандырудың барлық айласы мынада: әрбір жаңа пайыздық есептелген сайын, сол пайыздар қазірдің өзінде қарастырылады жаңа сомадан!Кімнен қазірдің өзіндеесепте тұрады Қазір.Ал алдыңғы мерзімге есептелген пайыздар салымның бастапқы сомасына қосылады және осылайша олар жаңа пайыздарды есептеуге қатысады! Яғни, олар жалпы есептің толық бөлігіне айналады. немесе жалпы капитал.Сондықтан аты - пайыздық капиталдандыру.

Ол экономикада. Ал математикада мұндай пайыздар деп аталады күрделі пайыз.Немесе пайыздың пайызы.) Олардың қулығы мынада: дәйекті есептеуде пайыздар әр уақытта есептеледі жаңа мәннен.Түпнұсқадан емес...

Сондықтан, арқылы сомасын есептеу үшін екі жыл, біз шотта болатын соманың 110% есептеуіміз керек бір жылдан кейін.Яғни, қазірдің өзінде 55 000 рубльден.

Біз 55 000 рубльдің 110% -ын қарастырамыз:

55000 1.1 \u003d 60500 рубль.

Бұл екінші жылдағы пайыздық өсім қазірдің өзінде 5500 рубльді, ал екі жылға - 10500 рубльді құрайды дегенді білдіреді.

Енді сіз үш жылдан кейін шоттағы сома 60 500 рубльден 110% болатынын болжауға болады. Бұл тағы 110% алдыңғы (өткен жылдан)сомалар.

Мұнда біз қарастырамыз:

60500 1.1 \u003d 66550 рубль.

Енді біз ақшалай сомаларымызды жылдар бойынша ретімен құрастырамыз:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Қалай екен? Неліктен геометриялық прогрессия емес? Бірінші мүше б 1 = 50000 , және бөлгіш q = 1,1 . Әрбір термин алдыңғысынан 1,1 есе артық. Барлығы анықтамаға сәйкес.)

Ал сіздің әкеңіздің 50 000 рубльі үш жыл бойы банк шотында тұрғанда, қосымша қанша пайыздық сыйақы «түсіп» алады?

Біз сенеміз:

66550 - 50000 = 16550 рубль

Бұл жаман, әрине. Бірақ бұл жарнаның бастапқы мөлшері аз болса. Көбірек болса ше? Айтыңызшы, 50 емес, 200 мың рубль? Содан кейін үш жылдағы өсім қазірдің өзінде 66 200 рубльді құрайды (егер есептесеңіз). Қайсысы қазірдің өзінде өте жақсы.) Ал егер үлес одан да көп болса? Бұл солай...

Қорытынды: бастапқы жарна неғұрлым жоғары болса, пайыздық капиталдандыру соғұрлым тиімді болады. Сондықтан пайыздық капиталдандырылған депозиттерді банктер ұзақ мерзімге береді. Бес жыл дейік.

Сондай-ақ, тұмау, қызылша және одан да қорқынышты аурулар (2000-шы жылдардың басындағы сол ЖРВИ немесе орта ғасырлардағы оба) сияқты жаман аурулардың барлық түрлері экспоненциалды түрде тарағанды ​​​​ұнатады. Демек, эпидемиялардың ауқымы, иә ...) Мұның бәрі геометриялық прогрессияның арқасында. бүтін оң бөлгіш (q>1) - өте тез өсетін нәрсе! Бактериялардың көбеюін есте сақтаңыз: бір бактериядан екі, екеуінен - ​​төрт, төрттен - сегіз және т.б. алынады ... Кез келген инфекцияның таралуымен бәрі бірдей болады.)

Геометриялық прогрессияның ең қарапайым есептер.

Әдеттегідей қарапайым есептен бастайық. Мағынасын түсіну үшін ғана.

1. Геометриялық прогрессияның екінші мүшесі 6, ал бөлгіші -0,5 болатыны белгілі. Бірінші, үшінші және төртінші мүшелерді табыңыз.

Сондықтан бізге беріледі шексізгеометриялық прогрессия белгілі екінші мүшебұл прогресс:

b2 = 6

Оған қоса, біз де білеміз прогрессияның бөлгіші:

q = -0,5

Және табу керек бірінші, үшіншіЖәне төртіншіосы прогрессияның мүшелері.

Міне, біз әрекет етеміз. Есептің шартына қарай ретін жазамыз. Тікелей жалпы мағынада, мұнда екінші мүше алты:

b1,6,б 3 , б 4 , …

Енді іздеуді бастайық. Біз әдеттегідей қарапайымнан бастаймыз. Сіз, мысалы, үшінші мүшені есептей аласыз б 3? Болады! Біз қазірдің өзінде білеміз (тікелей геометриялық прогрессия мағынасында) үшінші мүше (b 3)секундтан астам (б 2 ) В "q"бір рет!

Сонымен, біз жазамыз:

b 3 =б 2 · q

Бұл өрнектегі алтауды орнына қоямыз б 2және орнына -0,5 qжәне біз ойлаймыз. Және минус, әрине, назардан тыс қалмайды ...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Бұл сияқты. Үшінші термин теріс болып шықты. Таңқаларлық емес: біздің бөлгішіміз q- теріс. Ал плюс минусқа көбейтілсе, ол, әрине, минус болады.)

Енді прогрессияның келесі төртінші мүшесін қарастырамыз:

b 4 =б 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Төртінші мүше қайтадан плюспен. Бесінші мүше қайтадан минуспен, алтыншы плюспен және т.б. болады. Белгілер - балама!

Сонымен, үшінші және төртінші мүшелер табылды. Нәтиже келесі реттілік болып табылады:

b1; 6; -3; 1,5; …

Енді бірінші мүшені табу қалды б 1белгілі екінші бойынша. Ол үшін біз басқа бағытқа, солға қарай қадам жасаймыз. Бұл дегеніміз, бұл жағдайда прогрессияның екінші мүшесін бөлгішке көбейтудің қажеті жоқ, бірақ бөлісу.

Біз бөлеміз және аламыз:

Барлығы осы.) Есептің жауабы келесідей болады:

-12; 6; -3; 1,5; …

Көріп отырғаныңыздай, шешім принципі -дегі сияқты. Біз білеміз кез келгенмүшесі және бөлгішгеометриялық прогрессия – біз кез келген басқа мүшені таба аламыз. Біз не қаласақ та, біреуін табамыз.) Жалғыз айырмашылығы – қосу/алу амалы көбейту/бөлумен ауыстырылады.

Есіңізде болсын: егер біз геометриялық прогрессияның кем дегенде бір мүшесі мен бөлімін білсек, онда біз әрқашан осы прогрессияның кез келген басқа мүшесін таба аламыз.

Келесі тапсырма, дәстүр бойынша, OGE нақты нұсқасынан:

2.

…; 150; X; 6; 1.2; …

Қалай екен? Бұл жолы бірінші мүше, бөлгіш жоқ q, жай ғана сандар тізбегі берілген ... Бұрыннан таныс нәрсе, солай емес пе? Иә! Осыған ұқсас мәселе арифметикалық прогрессияда қарастырылған!

Бұл жерде біз қорықпаймыз. Бәрі бірдей. Басыңызды бұрыңыз және геометриялық прогрессияның элементар мағынасын есте сақтаңыз. Біз реттілігімізге мұқият қарап, үш негізгінің (бірінші мүше, бөлгіш, мүше нөмірі) геометриялық прогрессияның қандай параметрлері жасырылғанын анықтаймыз.

Мүше нөмірлері? Мүше нөмірлері жоқ, иә... Бірақ төртеуі бар дәйектісандар. Бұл сөз нені білдіреді, мен бұл кезеңде түсіндірудің мәнін көрмеймін.) Екі бар ма көршілес белгілі сандар?Жеңдер! Бұл 6 және 1,2. Сондықтан таба аламыз прогрессияның бөлгіші.Сонымен 1,2 санын алып, бөлеміз алдыңғы нөмірге.Алтыға.

Біз алып жатырмыз:

Біз алып жатырмыз:

x= 150 0,2 = 30

Жауап: x = 30 .

Көріп отырғаныңыздай, бәрі өте қарапайым. Негізгі қиындық тек есептеулерде. Бұл әсіресе теріс және бөлшек бөлгіштер жағдайында қиын. Мәселен кімде-кім қиындыққа тап болса, арифметиканы қайталаңыз! Бөлшектермен қалай жұмыс істеу керек, теріс сандармен қалай жұмыс істеу керек және т.б.... Әйтпесе, сіз мұнда аяусыз жылдамдықты төмендетесіз.

Енді мәселені сәл өзгертейік. Енді қызық болады! Ондағы соңғы 1,2 санын алып тастаймыз. Енді бұл мәселені шешейік:

3. Геометриялық прогрессияның бірнеше қатарынан мүшелері жазылады:

…; 150; X; 6; …

х әрпімен белгіленген прогрессияның мүшесін табыңыз.

Бәрі бірдей, екі көрші ғана атақтыбізде енді прогресс мүшелері жоқ. Бұл басты мәселе. Өйткені шамасы qкөршілес екі термин арқылы біз оңай анықтай аламыз біз алмаймыз.Бізде қиындықты жеңуге мүмкіндік бар ма? Әрине!

Белгісіз терминді жазайық» x«Тікелей геометриялық прогрессия мағынасында! Жалпы алғанда.

Иә Иә! Тікелей белгісіз бөлгішпен!

Бір жағынан, x үшін келесі қатынасты жаза аламыз:

x= 150q

Екінші жағынан, біз бірдей X арқылы бояуға толық құқығымыз бар Келесімүше, алты арқылы! Алтауды бөлгішке бөліңіз.

Бұл сияқты:

x = 6/ q

Әлбетте, енді біз осы екі қатынасты теңестіре аламыз. Біз білдіріп жатқандықтан бірдеймәні (x), бірақ екі әртүрлі жолдар.

Теңдеуді аламыз:

Барлығын көбейту q, жеңілдету, азайту, біз мына теңдеуді аламыз:

q 2 \u003d 1/25

Біз шешеміз және аламыз:

q = ±1/5 = ±0,2

Ой! Бөлгіш қос! +0,2 және -0,2. Және қайсысын таңдау керек? Тұйық?

Тыныш! Иә, мәселе шынымен де бар екі шешім!Бұл жерде ештеңе жоқ. Болады.) Мысалы, кәдімгі шешу арқылы екі түбір алған кезде таң қалмайсыз ба? Бұл жерде де дәл солай.)

Үшін q = +0,2біз аламыз:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

Және үшін q = -0,2 болады:

X = 150 (-0,2) = -30

Біз екі жақты жауап аламыз: x = 30; x = -30.

Бұл қызықты факт нені білдіреді? Және не бар екі прогрессия, мәселенің шартын қанағаттандыру!

Мыналар сияқты:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Екеуі де жарасады.) Жауаптардың екіге бөлінуінің себебі неде деп ойлайсыз? Алтаудан кейін келетін прогрессияның белгілі бір мүшесінің (1,2) жойылуына байланысты. Ал геометриялық прогрессияның алдыңғы (n-1)-ші және кейінгі (n+1)-ші мүшелерін ғана біле отырып, олардың арасында тұрған n-ші мүше туралы енді бұлтартпай ештеңе айта алмаймыз. Екі нұсқа бар - плюс және минус.

Бірақ бұл маңызды емес. Әдетте, геометриялық прогрессияға арналған тапсырмаларда біржақты жауап беретін қосымша ақпарат бар. Сөздерді айтайық: «белгі-балама прогрессия»немесе «оң бөлгішпен прогресс»және т.б... Дәл осы сөздер түйіндеме қызметін атқаруы керек, соңғы жауап бергенде қай таңбаны, қосу немесе азайтуды таңдау керек. Егер мұндай ақпарат болмаса, онда - иә, тапсырма болады екі шешім.)

Ал енді өзіміз шешеміз.

4. 20 саны геометриялық прогрессияның мүшесі болатынын анықтаңыз:

4 ; 6; 9; …

5. Айнымалы геометриялық прогрессия берілген:

…; 5; x ; 45; …

Әріппен көрсетілген прогрессияның мүшесін табыңыз x .

6. Геометриялық прогрессияның төртінші оң мүшесін табыңыз:

625; -250; 100; …

7. Геометриялық прогрессияның екінші мүшесі -360, ал бесінші мүшесі 23.04. Осы прогрессияның бірінші мүшесін табыңыз.

Жауаптар (ретсіз): -15; 900; Жоқ; 2.56.

Егер бәрі ойдағыдай болса, құттықтаймыз!

Бірдеңе сәйкес емес пе? Бір жерде қос жауап бар ма? Тапсырманың шарттарын мұқият оқып шықтық!

Соңғы басқатырғыш жұмыс істемейді ме? Онда күрделі ештеңе жоқ.) Біз геометриялық прогрессияның мағынасына сәйкес тікелей жұмыс жасаймыз. Ал, сіз сурет сала аласыз. Бұл көмектеседі.)

Көріп отырғаныңыздай, бәрі қарапайым. Егер прогресс қысқа болса. Ұзын болса ше? Немесе қалаған мүшенің саны өте көп пе? Мен арифметикалық прогрессияға ұқсас етіп, табуды жеңілдететін ыңғайлы формуланы алғым келеді. кез келгенкез келген геометриялық прогрессияның мүшесі оның нөмірі бойынша.Көп, көп есе көбейтпей q. Ал мұндай формула бар!) Толығырақ - келесі сабақта.

Геометриялық прогрессия – бірінші мүшесі нөлге жатпайтын және әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесінің сол нөлдік емес санға көбейтіндісіне тең болатын сандық тізбек.

Геометриялық прогрессия белгіленеді b1,b2,b3, …, bn, … .

Геометриялық қатенің кез келген мүшесінің оның алдыңғы мүшесіне қатынасы бірдей санға тең, яғни b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Бұл арифметикалық прогрессияның анықтамасынан тікелей шығады. Бұл сан геометриялық прогрессияның бөлгіші деп аталады. Әдетте геометриялық прогрессияның бөлгіші q әрпімен белгіленеді.

Монотонды және тұрақты реттілік

Геометриялық прогрессияны орнатудың бір жолы - оның бірінші мүшесі b1 және q геометриялық қатесінің бөлгішін орнату. Мысалы, b1=4, q=-2. Бұл екі шарт 4, -8, 16, -32, … геометриялық прогрессиясын береді.

Егер q>0 (q 1-ге тең емес), онда прогрессия болады монотонды реттілік.Мысалы, 2, 4,8,16,32, ... тізбегі монотонды өсетін тізбек (b1=2, q=2).

Егер геометриялық қателікте бөлгіш q=1 болса, онда геометриялық прогрессияның барлық мүшелері бір-біріне тең болады. Мұндай жағдайларда прогрессия деп айтылады тұрақты реттілік.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы

Сан тізбегі (bn) геометриялық прогрессия болуы үшін оның әрбір мүшесі екіншісінен бастап көршілес мүшелердің геометриялық ортасы болуы шарт. Яғни, келесі теңдеуді орындау керек
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), кез келген n>0 үшін, мұндағы n N натурал сандар жиынына жатады.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы:

bn=b1*q^(n-1),

мұндағы n N натурал сандар жиынына жатады.

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) мұндағы q 1-ге тең емес.

Қарапайым мысалды қарастырайық:

Геометриялық прогрессияда b1=6, q=3, n=8 Sn табыңыз.

S8 табу үшін геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласын қолданамыз.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.