Х0 нүктесіндегі туынды мәнін табыңыз 1. Функцияның x0 нүктесіндегі туындысының мәнін табыңыз. Функциялардың өсу және кему аралықтарын табу

В9 есебі келесі шамалардың бірін анықтағыңыз келетін функцияның немесе туындысының графигін береді:

1. Туындының x 0 нүктесіндегі мәні,
2. Жоғары немесе төмен нүктелер (шеткі нүктелер),
3. Функцияның өсу және кему интервалдары (монотондылық интервалдары).

Бұл есепте ұсынылған функциялар мен туындылар әрқашан үздіксіз, бұл шешімді едәуір жеңілдетеді. Тапсырма математикалық анализ бөліміне жататындығына қарамастан, ол тіпті әлсіз оқушылардың күшінде, өйткені мұнда терең теориялық білім қажет емес.

Туынды, экстремум нүктелері мен монотонды интервалдардың мәнін табудың қарапайым және әмбебап алгоритмдері бар - олардың барлығы төменде талқыланады.

Ақымақ қателіктерден аулақ болу үшін В9 проблемасының мәлімдемесін мұқият оқып шығыңыз: кейде сіз ұзақ мәтіндерді кездестіресіз, бірақ шешімнің жүруіне әсер ететін маңызды жағдайлар аз.

Туынды мәнін есептеу. Екі нүктелік әдіс

Егер есепте f (x) функциясының графигі берілген болса, осы графикке x 0 нүктесінде жанама болып, осы нүктеде туынды мәнін табу қажет болса, келесі алгоритм қолданылады:

1. Тангенс графигінен екі «адекватты» нүктені табыңыз: олардың координаттары бүтін болуы керек. Осы нүктелерді A (x 1; y 1) және B (x 2; y 2) арқылы белгілейік. Координаттарды дұрыс жазыңыз - бұл шешудің негізгі нүктесі, және кез-келген қате дұрыс емес жауапқа әкеледі.
2. Координаттарды біле отырып, Δx \u003d x 2 - x 1 аргументінің өсуін және Δy \u003d y 2 - y 1 функциясының өсуін есептеу оңай.
3. Соңында, D \u003d Δy / Δx туындысының мәнін табамыз. Басқаша айтқанда, функциялардың өсуін аргументтің өсуіне бөлу керек - және бұл жауап болады.

Тағы бір назар аударыңыз: A және B нүктелерін көбінесе f (x) функциясының графигінен емес, жанама сызықтан іздеу керек. Тангенс жолында міндетті түрде кем дегенде екі осындай нүкте болады - әйтпесе мәселе дұрыс жазылмаған.

А (-3; 2) және В (-1; 6) нүктелерін қарастырып, өсімшелерін табыңыз:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d −1 - (−3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Туынды мәнін табыңыз: D \u003d Δy / Δx \u003d 4/2 \u003d 2.

Тапсырма. Суретте у \u003d f (x) функциясының графигі және оған абсциссасы x 0 болатын нүктедегі жанамасы көрсетілген. X 0 нүктесіндегі f (x) функциясының туындысының мәнін табыңыз.

A (0; 3) және B (3; 0) нүктелерін қарастырыңыз, өсімшелерін табыңыз:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d −3.

Енді туынды мәнін табамыз: D \u003d Δy / Δx \u003d −3/3 \u003d −1.

Тапсырма. Суретте у \u003d f (x) функциясының графигі және оған абсциссасы x 0 болатын нүктедегі жанамасы көрсетілген. X 0 нүктесіндегі f (x) функциясының туындысының мәнін табыңыз.

A (0; 2) және B (5; 2) нүктелерін қарастырып, өсімшелерін табыңыз:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0.

Туынды мәнін табу керек: D \u003d Δy / Δx \u003d 0/5 \u003d 0.

Соңғы мысалдан біз ережені тұжырымдай аламыз: егер тангенс OX осіне параллель болса, функцияның жанасу нүктесіндегі туындысы нөлге тең болады. Бұл жағдайда сізге ештеңе санаудың қажеті жоқ - тек диаграмманы қараңыз.

Максималды және минималды ұпайларды есептеу

Кейде функция графигінің орнына В9 есебінде туынды графигі беріледі және функцияның максимум немесе минимум нүктесін табу қажет болады. Бұл жағдайда екі нүктелі әдіс пайдасыз, бірақ басқа, тіпті қарапайым алгоритм бар. Алдымен терминологияны анықтайық:

1. Егер x 0 нүктесі f (x) функциясының максималды нүктесі деп аталады, егер осы нүктенің кейбір маңайында келесі теңсіздік орын алса: f (x 0) ≥ f (x).
2. Егер x 0 нүктесі f (x) функциясының минимум нүктесі деп аталады, егер осы нүктенің кейбір маңайында келесі теңсіздік орын алса: f (x 0) ≤ f (x).

Туынды графигіндегі максималды және минималды нүктелерді табу үшін келесі әрекеттерді орындау жеткілікті:

1. Барлық қажет емес ақпаратты алып тастап, туынды графигін қайта салыңыз. Практика көрсеткендей, қажет емес мәліметтер шешуге кедергі келтіреді. Сондықтан координаталық осьте туынды нөлдерін белгілейміз - бәрі осымен.
2. Нөлдер аралығындағы туынды белгілерін анықтаңыз. Егер x 0 нүктесі үшін f '(x 0) ≠ 0 екені белгілі болса, онда тек екі нұсқа ғана мүмкін: f' (x 0) ≥ 0 немесе f '(x 0) ≤ 0. туынды таңбасын бастапқы сызбадан оңай анықтауға болады: егер туынды графигі OX осінің үстінде жатса, онда f '(x) ≥ 0. Ал керісінше, егер туынды графигі OX осінің астында жатса, онда f' (x) ≤ 0 болады.
3. Туындының нөлдері мен белгілерін қайтадан тексеріңіз. Белгі минус пен плюсқа ауысатын жерде минималды нүкте болады. Керісінше, егер туынды таңбасы плюс-тен минусқа өзгерсе, бұл максималды нүкте. Санақ әрқашан солдан оңға қарай жүргізіледі.

Бұл схема тек үздіксіз функциялар үшін жұмыс істейді - В9 проблемасында басқалары жоқ.

Тапсырма. Суретте [−5 кесіндісінде анықталған f (x) функциясының туындысының графигі көрсетілген; бес]. Осы кесіндідегі f (x) функциясының минималды нүктесін табыңыз.

Қажет емес ақпараттардан арылайық - біз тек шекараларды қалдырамыз [−5; 5] және нөлдер x \u003d −3 және x \u003d 2,5. Сондай-ақ белгілерге назар аударыңыз:

X \u003d −3 нүктесінде туынды таңбасы минус пен плюсқа ауысатыны анық. Бұл ең төменгі нүкте.

Тапсырма. Суретте [()3) кесіндісінде анықталған f (x) функциясының туындысының графигі көрсетілген; 7]. Осы кесіндідегі f (x) функциясының максималды нүктесін табыңыз.

Тек шекараларын қалдырып, графикті қайта салайық [−3; 7] және туындысының нөлдері x \u003d −1,7 және x \u003d 5. Алынған графиктегі туынды белгілерін ескеріңіз. Бізде бар:

X \u003d 5 нүктесінде туынды белгісі плюс-тен минусқа ауысатыны анық - бұл ең үлкен нүкте.

Тапсырма. Суретте [()6) кесіндісінде анықталған f (x) функциясының туындысының графигі көрсетілген; 4]. F (x) функциясының максималды нүктелерінің санын табыңыз, сегментке жатады [−4; 3].

Есептердің қойылуынан графиктің тек сегментпен шектелген бөлігін қарастыру жеткілікті екендігі шығады [−4; 3]. Сондықтан біз жаңа диаграмма құрамыз, оған тек шекараларды белгілейміз [−4; 3] және оның ішіндегі туынды нөлдер. Атап айтқанда, x \u003d −3,5 және x \u003d 2 ұпайлары. Аламыз:

Бұл графиктің бір ғана максималды нүктесі бар x \u003d 2. Мұнда туынды таңбасы плюс пен минусқа ауысады.

Координаттары бүтін емес нүктелер туралы жылдам жазба. Мысалы, соңғы есепте нүкте x \u003d -3.5 деп саналды, бірақ сіз x \u003d -3.4-ті де ала аласыз. Егер мәселе дұрыс тұжырымдалған болса, мұндай өзгерістер жауапқа әсер етпеуі керек, өйткені «тұрақты мекен жоқ» нүктелері мәселені шешуге тікелей қатыспайды. Әрине, бұл трюк бүтін нүктелермен жұмыс істемейді.

Функциялардың өсу және кему аралықтарын табу

Мұндай есепте, максимум және минимум нүктелері сияқты, туынды графикадан функцияның өзі өсетін немесе кемитін аймақтарды табу ұсынылады. Алдымен ненің артып, кеміп жатқанын анықтайық:

1. Егер f (x) функциясы кесіндіде өсу деп аталады, егер осы сегменттен x 1 және x 2 нүктелері үшін келесі тұжырым дұрыс болса: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). Басқаша айтқанда, аргумент мәні неғұрлым көп болса, функция мәні соғұрлым үлкен болады.
2. Егер f (x) функциясы кесіндіде кему деп аталады, егер осы сегменттен x 1 және x 2 нүктелері үшін келесі тұжырым дұрыс болса: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Анау. аргумент мәні неғұрлым үлкен болса, функция мәні соғұрлым аз болады.

Көбейту мен азайтудың жеткілікті шарттарын тұжырымдайық:

1. Үзіліссіз f (x) функциясы кесіндіде өсуі үшін оның сегмент ішіндегі туындысы оң болғаны жеткілікті, яғни. f '(x) ≥ 0.
2. Үзіліссіз f (x) функциясы кесіндіде азаюы үшін оның сегмент ішіндегі туындысының теріс болғаны жеткілікті, яғни. f '(x) ≤ 0.

Осы мәлімдемелерді дәлелсіз қабылдайық. Осылайша, біз көбейту және кему аралықтарын табудың схемасын аламыз, ол көп жағдайда экстремум нүктелерін есептеу алгоритміне ұқсас:

1. Барлық қажет емес мәліметтерді алып тастаңыз. Туындының бастапқы сюжеті бойынша бізді бірінші кезекте функцияның нөлдері қызықтырады, сондықтан оларды тек қалдырамыз.
2. Нөлдер аралығындағы туынды белгілерін ескеріңіз. Мұндағы f ’(x) ≥ 0 функция жоғарылайды, ал f’ (x) ≤ 0 төмендейді. Егер проблемада х айнымалысына шектеулер болса, оларды жаңа графикада қосымша белгілеңіз.
3. Енді функцияның мінез-құлқын және шектеулерін білетін болсақ, есепте қажет мәнді есептеу қалады.

Тапсырма. Суретте [()3) кесіндісінде анықталған f (x) функциясының туындысының графигі көрсетілген; 7.5]. F (x) функциясының кему аралықтарын табыңыз. Жауабыңызда осы аралықтарға енгізілген бүтін сандардың қосындысын көрсетіңіз.

Әдеттегідей графикті қайта сызып, шекараларын белгілеңіз [−3; 7.5], сондай-ақ нөлдер х \u003d -1.5 және х \u003d 5.3. Содан кейін туынды белгілерін белгілейміз. Бізде бар:

Туынды (- 1,5) аралығында теріс болғандықтан, бұл функцияның кему интервалы. Осы аралықтағы барлық бүтін сандарды қорытындылау керек:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Тапсырма. Суретте f (x) функциясының туындысының [−10 аралығында анықталған графигі көрсетілген; 4]. F (x) функциясының өсу аралықтарын табыңыз. Жауапта олардың ең ұзынының ұзындығын көрсетіңіз.

Қажет емес ақпараттардан арылайық. Тек шекараларды қалдырыңыз [−10; 4] және осы уақытта төрт болып шыққан туынды нөлдер: x \u003d -8, x \u003d -6, x \u003d -−3 және x \u003d 2. Туынды белгілерін атап, келесі суретті алыңыз:

Бізді функцияның арту аралықтары қызықтырады, яғни. осылай, мұндағы f ’(x) ≥ 0. Графикте осындай екі аралық бар: (-8; -6) және (-3; 2). Олардың ұзындығын есептейік:
l 1 \u003d - 6 - (-8) \u003d 2;
l 2 \u003d 2 - (-3) \u003d 5.

Аралықтардың ең үлкенінің ұзындығын табу қажет болғандықтан, жауапта l 2 \u003d 5 мәнін жазамыз.

1-мысал

Анықтама: Функцияны белгілеудің келесі жолдары баламалы: Кейбір тапсырмаларда функцияны «ойын», ал кейбірінде «ff from x» деп белгілеу ыңғайлы.

Біріншіден, біз туынды табамыз:

2-мысал

Функцияның нүктедегі туындысын есептеңіз

, , толық функцияны зерттеу және т.б.

3-мысал

Функцияның нүктедегі туындысын есептеңіз. Алдымен туындысын табайық:

Бұл мүлдем басқа мәселе. Осы жерде туынды мәнін есептейік:

Туынды қалай табылғанын түсінбейтін болсаңыз, тақырыптың алғашқы екі сабағына оралыңыз. Егер сізде аркангенспен және оның мағынасымен қиындықтар (түсінбеушілік) болса, міндетті түрде оқу материалын оқып үйрену Элементар функциялардың графиктері мен қасиеттері - соңғы абзац. Себебі, студенттер жасына арналған аркантанттар әлі де жеткілікті.

4 мысал

Функцияның нүктедегі туындысын есептеңіз.

Функция графигіне жанаманың теңдеуі

Алдыңғы бөлімді біріктіру үшін жанамасын табу мәселесін қарастырыңыз функционалды графика сол уақытта. Біз бұл тапсырманы мектепте кездестірдік, сонымен қатар ол жоғары математика курсында кездеседі.

Қарапайым мысалды қарастырайық.

Абциссасы бар нүктедегі функцияның графигіне жанаманың теңдеуін жазыңыз. Мен дереу есептің дайын графикалық шешімін беремін (іс жүзінде бұл көп жағдайда қажет емес):

Тангенстің қатаң анықтамасы берілген функция туындысының анықтамасы, бірақ әзірге біз сұрақтың техникалық бөлігін игереміз. Тангенс дегеннің бәрі дерлік интуитивті түрде түсінікті. Егер «саусақтарда» түсіндіруге болатын болса, онда графикаға жанама функция болып табылады түзубұл функцияның графигіне қатысты жалғызнүкте. Сонымен қатар, түзудің барлық жақын нүктелері функция графигіне мүмкіндігінше жақын орналасқан.

Біздің жағдайда: at, жанамасы (стандартты жазба) функцияның графигіне бір нүктеде тиеді.

Ал біздің міндетіміз - түзудің теңдеуін табу.

Функцияның нүктедегі туындысы

Функцияның туындысын нүктеде қалай табуға болады? Осы тапсырманың екі айқын пункті тұжырымдамадан туындайды:

1) туындысын табу керек.

2) Туынды мәнін берілген нүктеде есептеу керек.

1-мысал

Функцияның нүктедегі туындысын есептеңіз

Анықтама: функцияны белгілеудің келесі тәсілдері баламалы:


Кейбір тапсырмаларда функцияны «ойын», ал кейбірінде «ff from x» деп белгілеу ыңғайлы.

Біріншіден, біз туынды табамыз:

Көптеген адамдар мұндай туындыларды ауызша табуға үйреніп алды деп үміттенемін.

Екінші қадамда туынды мәнін нүктеде есептейміз:

Тәуелсіз шешімге арналған жылыту мысалы:

2-мысал

Функцияның нүктедегі туындысын есептеңіз

Толық шешім және оқулық соңында жауап беру.

Нүктеде туынды табу қажеттілігі келесі есептерде туындайды: функция графигіне тангенс құру (келесі абзац), экстремум функциясын зерттеу , флексия тесті , толық функцияны зерттеу және т.б.

Бірақ бұл тапсырма тестілерде және өздігінен табылған. Әдетте, мұндай жағдайларда функция өте күрделі түрде беріледі. Осыған байланысты тағы екі мысалды қарастырайық.

3-мысал

Функцияның туындысын есептеңіз нүктесінде.
Алдымен туындысын табайық:

Туынды, негізінен, табылды және қажетті мәнді ауыстыруға болады. Бірақ мен оны шынымен жасағым келмейді. Өрнек өте ұзын, ал «Х» мәні бөлшек. Сондықтан, біз туындымызды мүмкіндігінше жеңілдетуге тырысамыз. Бұл жағдайда соңғы үш мүшені ортақ бөлгішке жеткізуге тырысайық: нүктесінде.

Бұл өз қолымен жасауға шешім.

Хо нүктесіндегі F (х) функциясының туындысының мәні қалай табылады? Жалпы мұны қалай шешуге болады?

Егер формула берілген болса, онда туындысын тауып, Х-ті X-нөлге ауыстырыңыз. Есептеңіз
Егер біз b-8 ПАЙДАЛАНУ, график туралы айтатын болсақ, онда сізге Х осімен жанама түзетін бұрыштың (өткір немесе доғал) жанамасын табу керек (тік бұрышты үшбұрыштың ойша құрылысын қолдану және бұрыштың тангенсін анықтау)

Тимур әділходжаев

Алдымен сіз белгі туралы шешім қабылдауыңыз керек. Егер х0 нүктесі координаталық жазықтықтың төменгі бөлігінде болса, онда жауаптағы белгі минус болады, ал егер жоғары болса +.
Екіншіден, төртбұрышты тіктөртбұрышта қандай тангендер бар екенін білу керек. Және бұл қарама-қарсы жақтың (аяқтың) көрші жаққа қатынасы (сонымен қатар аяғы). Әдетте кескіндемеде кейбір қара іздер бар. Осы белгілерден сіз жасайсыз тік бұрышты үшбұрыш ал сендер тангтарды табасыңдар.

F x функциясы туындысының x0 нүктесіндегі мәні қалай табылады?

нақты сұрақ қойылған жоқ - 3 жыл бұрын

Жалпы жағдайда кез-келген функцияның туындысының кез-келген нүктеде қандай да бір айнымалыға қатысты мәнін табу үшін берілген функцияны осы айнымалыға қатысты дифференциалдау керек. Сіздің жағдайда, X айнымалысы бойынша. Алынған өрнекте X орнына, туынды мәнін табу керек нүктеге x мәнін қойыңыз, яғни. сіздің жағдайыңызда X нөлін ауыстырыңыз және алынған өрнекті есептеңіз.

Менің ойымша, бұл мәселені түсінуге деген ниетіңіз, менің ойымша, ар-ұжданыммен айтқан + сөзсіз.

Туынды табу мәселесінің бұл тұжырымдамасы көбінесе туынды геометриялық мағынасы бойынша материалды бекіту үшін қойылады. Толық ерікті және теңдеу арқылы берілмеген белгілі бір функцияның графигі ұсынылады, және туындының мәнін табу керек (туындының өзі емес, ескерт!) Көрсетілген Х0 нүктесінде. Ол үшін берілген функцияға жанама түзу салынып, оның координаталық осьтермен қиылысу нүктесі табылған. Сонда y \u003d kx + b түрінде осы жанамалы түзудің теңдеуі құрылады.

Бұл теңдеуде k коэффициенті туынды мәні болады. b коэффициентінің мәнін табу ғана қалады. Ол үшін y-тің x \u003d o мәнін табамыз, ол 3 болсын - бұл b коэффициентінің мәні. Біз X0 және Y0 мәндерін бастапқы теңдеуге ауыстырамыз және k - біздің осы нүктеде туынды мәнімізді табамыз.