Kaip apskaičiuoti skaičiaus šaknį iki laipsnio. Inžinerinis skaičiuotuvas. Įvadas po šaknies ženklu

Norėdami sėkmingai panaudoti šaknies ištraukimo operaciją praktikoje, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis.
Visos savybės suformuluotos ir įrodytos tik neneigiamoms kintamųjų, esančių po šaknų ženklais, reikšmėmis.

1 teorema. Šaknis n-asis laipsnis(n = 2, 3, 4, ...) iš dviejų neneigiamų mikroschemų sandaugos yra lygi sandaugai n-osios šaknysšių skaičių laipsniai:

Komentuoti:

1. 1 teorema galioja tuo atveju, kai radikalioji išraiška yra daugiau nei dviejų neneigiamų skaičių sandauga.

2 teorema.Jeigu, ir n - natūralusis skaičius didesnis nei 1, tada lygybė

Trumpai(nors ir netiksli) formuluotė, kurią patogiau naudoti praktiškai: trupmenos šaknis lygi šaknų daliai.

1 teorema leidžia padauginti m tik to paties laipsnio šaknys , t.y. tik šaknys su tuo pačiu indeksu.

3 teorema Jei ,k yra natūralusis skaičius, o n yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, tada lygybė

Kitaip tariant, įkurti šaknį natūralus laipsnis, pakanka iki tokio laipsnio pakelti radikaliąją išraišką.
Tai yra 1 teoremos pasekmė. Iš tiesų, pavyzdžiui, kai k = 3 gauname: Lygiai taip pat galima samprotauti ir esant bet kuriai kitai eksponento k natūraliajai vertei.

4 teorema Jei ,k, n yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada lygybė

Kitaip tariant, norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų indeksus.
Pavyzdžiui,

Būk atsargus! Sužinojome, kad su šaknimis galima atlikti keturias operacijas: daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknies ištraukimas (iš šaknies). Bet kaip dėl šaknų pridėjimo ir atėmimo? Negali būti.
Pavyzdžiui, vietoj to, kad neįmanoma parašyti Iš tikrųjų, Bet akivaizdu, kad

5 teorema Jei šaknies ir radikalinės išraiškos indeksai dauginami arba dalijami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis, t.y.

Užduočių sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas. Naudodami pirmąją šaknų savybę (1 teorema), gauname:

2 pavyzdys. Apskaičiuoti
Sprendimas. Konvertuokite mišrų skaičių į netinkamą trupmeną.
Mes turime Naudojant antrąją šaknų savybę ( 2 teorema ), mes gauname:

3 pavyzdys. Apskaičiuoti:

Sprendimas. Bet kuri algebros formulė, kaip gerai žinote, naudojama ne tik „iš kairės į dešinę“, bet ir „iš dešinės į kairę“. Taigi pirmoji šaknų savybė reiškia, kad ji gali būti pavaizduota forma ir, atvirkščiai, gali būti pakeista išraiška. Tas pats pasakytina ir apie antrąją šaknų savybę. Turėdami tai omenyje, atlikime skaičiavimus.

Pavyzdžiai:

\ (\ kvadratas (16) = 2 \) nuo \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), nes \ ((- \ frac (1) (5) ) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)

Kaip apskaičiuoti n-ąją šaknį?

Norėdami apskaičiuoti \ (n \) - laipsnio šaknį, turite užduoti sau klausimą: koks skaičius \ (n \) - laipsnyje duos po šaknimi?

Pavyzdžiui... Apskaičiuokite šaknį \ (n \) - laipsnį: a) \ (\ sqrt (16) \); b) \ (\ sqrt (-64) \); c) \ (\ sqrt (0,00001) \); d) \ (\ sqrt (8000) \); e) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

a) Koks skaičius \ (4 \) - laipsnyje duos \ (16 \)? Akivaizdu, kad \ (2 \). Štai kodėl:

b) Koks skaičius \ (3 \) laipsnyje duos \ (- 64 \)?

\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)

c) Koks skaičius \ (5 \) - laipsnyje duos \ (0,00001 \)?

\ (\ sqrt (0,00001) = 0,1 \)

d) Koks skaičius \ (3 \) laipsnyje duos \ (8000 \)?

\ (\ sqrt (8000) = 20 \)

e) Kokį skaičių \ (4 \) - laipsnyje duos \ (\ frac (1) (81) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

Mes svarstėme daugiausia paprasti pavyzdžiai su šaknimi \ (n \) – laipsnis. Norint išspręsti sudėtingesnes problemas su šaknimis \ (n \) - asis laipsnis - labai svarbu jas žinoti.

Pavyzdys. Apskaičiuoti:

\ (\ sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \)		Šiuo metu negalima apskaičiuoti nė vienos šaknies. Todėl pritaikome šaknies \ (n \) - laipsnio savybes ir transformuojame išraišką. \ (\ frac (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \), nes \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ kvadratas [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \ sqrt (-32) = \)		Perskirstykime veiksnius pirmojoje kadencijoje taip Kvadratinė šaknis o šaknis \ (n \) – asis laipsnis stovėjo greta. Taip bus lengviau pritaikyti savybes kaip dauguma \ (n \) -osios šaknų savybių veikia tik su to paties laipsnio šaknimis. Ir mes apskaičiuojame 5-ojo laipsnio šaknį.
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9) - (- 5) = \)		Taikykite savybę \ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) ir išplėskite skliaustą
\ (= \ kvadratas (81) \ cdot \ kvadratas (-27) + 5 = \)		Apskaičiuokite \ (\ sqrt (81) \) ir \ (\ sqrt (-27) \)
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

Ar n-oji šaknis ir kvadratinė šaknis yra susijusios?

Bet kokiu atveju bet kokia bet kokio laipsnio šaknis yra tik skaičius, nors ir parašytas nepažįstama forma.

N-ojo laipsnio šaknies bruožas

Šaknis \ (n \) - laipsnis su nelyginiu \ (n \) gali būti išskirtas iš bet kurio skaičiaus, net ir neigiamo (žr. pavyzdžius pradžioje). Bet jei \ (n \) yra lyginis (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), tada tokia šaknis išgaunama tik jei \ ( a ≥ 0 \) (beje, kvadratinė šaknis turi tą patį). Taip yra todėl, kad šaknies ištraukimas yra priešingas eksponencijai.

O padidinus iki lyginio laipsnio, net neigiamas skaičius tampa teigiamas. Iš tiesų, \ ((- 2) ^ 6 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Todėl po šaknimi negalime gauti lyginės neigiamo skaičiaus laipsnio. Tai reiškia, kad negalime išgauti tokios šaknies iš neigiamo skaičiaus.

Tokių apribojimų nelyginis laipsnis neturi - neigiamas skaičius, padidintas iki nelyginio laipsnio, liks neigiamas: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = - 32 \). Todėl pagal nelyginio laipsnio šaknį galite gauti neigiamą skaičių. Tai reiškia, kad jį taip pat galite išskirti iš neigiamo skaičiaus.

Inžinerinis skaičiuotuvas internete

Džiaugiamės galėdami visiems lankytojams pristatyti nemokamą inžinerinį skaičiuotuvą. Su jo pagalba bet kuris studentas gali greitai ir, svarbiausia, lengvai atlikti įvairius matematinius skaičiavimus internete.

Skaičiuoklė paimta iš svetainės – web 2.0 mokslinė skaičiuoklė

Paprasta ir lengvai naudojama inžinerinė skaičiuoklė su neįkyria ir suprantama sąsaja tikrai pravers plačiausiems interneto vartotojų ratams. Dabar, kai jums reikia skaičiuotuvo, apsilankykite mūsų svetainėje ir naudokite nemokamą inžinerinį skaičiuotuvą.

Inžinerinis skaičiuotuvas gali atlikti tiek paprastas aritmetines operacijas, tiek gana sudėtingus matematinius skaičiavimus.

Web20calc yra inžinerinis skaičiuotuvas, turintis daugybę funkcijų, pavyzdžiui, kaip apskaičiuoti visas elementarias funkcijas. Taip pat palaiko skaičiuoklė trigonometrinės funkcijos, matricos, logaritmai ir net grafikas.

Be jokios abejonės, Web20calc sudomins tą grupę žmonių, kurie ieškodami paprastų sprendimų paieškos sistemose įveda užklausą: matematinė internetinis skaičiuotuvas... Nemokama žiniatinklio programa padės akimirksniu apskaičiuoti kokios nors matematinės išraiškos rezultatą, pavyzdžiui, atimti, sudėti, padalyti, ištraukti šaknį, kelti iki laipsnio ir pan.

Išraiškoje galite naudoti eksponencijos, sudėties, atimties, daugybos, dalybos, procento, pastovaus PI operacijas. Sudėtingiems skaičiavimams naudokite skliaustus.

Inžinerinės skaičiuoklės savybės:

1. pagrindinės aritmetinės operacijos;
2. dirbti su skaičiais standartine forma;
3. trigonometrinių šaknų, funkcijų, logaritmų, eksponencijos skaičiavimas;
4. statistiniai skaičiavimai: sudėjimas, aritmetinis vidurkis arba standartinis nuokrypis;
5. atminties ląstelės ir vartotojo nustatytų 2 kintamųjų funkcijų taikymas;
6. dirbti su kampais radianais ir laipsniais.

Inžinerinis skaičiuotuvas leidžia naudoti įvairias matematines funkcijas:

Šaknų ištraukimas (kvadratinė, kubinė ir n-oji šaknis);
ex (e į x laipsnį), eksponentas;
trigonometrinės funkcijos: sinusas – sin, kosinusas – cos, tangentas – tan;
atvirkštinės trigonometrinės funkcijos: arcsinusas - sin-1, arkosinas - cos-1, arctangentas - tan-1;
hiperbolinės funkcijos: sinusas - sinh, kosinusas - cosh, tangentas - tanh;
logaritmai: dvejetainis logaritmas, bazinis du - log2x, dešimtainis logaritmas bazė dešimt - log, natūralusis logaritmas - ln.

Šioje inžinerinėje skaičiuoklėje taip pat yra kiekio skaičiuoklė su galimybe konvertuoti fizinius dydžius įvairioms matavimo sistemoms – kompiuterinius vienetus, atstumą, svorį, laiką ir kt. Naudodami šią funkciją galite akimirksniu konvertuoti mylias į kilometrus, svarus į kilogramus, sekundes į valandas ir kt.

Norėdami atlikti matematinius skaičiavimus, pirmiausia atitinkamame lauke įveskite matematinių reiškinių seką, tada spustelėkite lygybės ženklą ir pamatysite rezultatą. Vertes galite įvesti tiesiai iš klaviatūros (tam skaičiuotuvo sritis turi būti aktyvi, todėl nebus nereikalinga dėti žymeklį į įvesties lauką). Be kita ko, duomenis galima įvesti naudojant pačios skaičiuoklės mygtukus.

Norėdami sukurti grafikus įvesties lauke, parašykite funkciją, kaip nurodyta lauke su pavyzdžiais, arba naudokite specialiai sukurtą įrankių juostą (norėdami patekti į ją, spustelėkite mygtuką su piktograma grafiko pavidalu). Norėdami konvertuoti reikšmes, paspauskite Vienetas, norėdami dirbti su matricomis - Matrica.

Skaičiuoklės vartotojai plačiai naudoja funkciją norėdami išgauti skaičiaus šaknį. Kadangi dirbant su duomenimis paprastai reikia apdoroti didelius skaičius, rankinis skaičiavimas gali būti gana sudėtingas. Šiame straipsnyje rasite išsamią bet kokio laipsnio šaknies ištraukimo „Excel“ klausimo analizę.

Gana lengva užduotis, nes programa turi atskirą funkciją, kurią galima paimti iš sąrašo. Norėdami tai padaryti, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Pasirinkite langelį, kuriame norite užregistruoti funkciją, vieną kartą spustelėdami jį kairiuoju pelės klavišu. Pasirodo juodas kontūras, aktyvi eilutė ir stulpelis paryškinami oranžine spalva, o pavadinimas rodomas adreso langelyje.

   

2. Spustelėkite mygtuką „fx“ (įterpti funkciją) virš stulpelių pavadinimų, po adreso langelio, prieš formulės juostą.

   

3. Atsiras išskleidžiamasis meniu, kuriame turėsite rasti funkciją „Šaknis“. Tai galima padaryti kategorijoje „Matematika“ arba „Visas abėcėlinis sąrašas“, slenkant meniu žemyn pele.

   

4. Kairiuoju pelės mygtuku vieną kartą spustelėdami elementą „Root“ pasirinkite elementą, tada – mygtuką „OK“.

   

5. Pasirodo toks meniu – „Funkcijų argumentai“.

   

6. Įveskite skaičių arba pasirinkite langelį, kuriame ši išraiška ar formulė buvo parašyta anksčiau, tam vieną kartą spustelėkite kairįjį pelės klavišą ant eilutės „Skaičius“, tada perkelkite žymeklį ant reikiamo langelio ir spustelėkite jį. Langelio pavadinimas bus automatiškai įrašytas į eilutę.

   

7. Spustelėkite mygtuką „Gerai“.

   

8. Ir viskas paruošta, funkcija apskaičiavo kvadratinę šaknį, įrašydama rezultatą į pasirinktą langelį.

   

Taip pat galima išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus ir langelio (duomenys, kurie yra supakuoti šiame langelyje) arba dviejų langelių sumos, tam įveskite reikšmes eilutėje „Skaičius“. Parašykite skaičių ir vieną kartą spustelėkite langelį, programa pati įdės pridėjimo ženklą.

Į pastabą!Šią funkciją taip pat galima įvesti rankiniu būdu. Formulės juostoje įveskite šią išraišką: "= ROOT (x)", kur x yra skaičius, kurio ieškote.

3, 4 ir kitų laipsnių šaknų išgavimas.

Programoje Excel nėra atskiros funkcijos šiai išraiškai išspręsti. Norėdami išskirti n-ąją šaknį, pirmiausia turite ją apsvarstyti matematiniu požiūriu.

N-oji šaknis yra lygi skaičiaus pakėlimui į priešingą laipsnį (1 / n). Tai yra, kvadratinė šaknis yra ½ (arba 0,5) laipsnio.

Pavyzdžiui:

• ketvirtoji 16 šaknis yra 16 laipsniui ¼;
• kubo šaknis iš 64 = 64 iki 1/3 laipsnio;

Skaičiuoklės programoje tai galima padaryti dviem būdais:

1. Naudojant funkciją.
2. Naudodami laipsnio piktogramą „^“, įveskite išraišką rankiniu būdu.

Bet kurio laipsnio šaknies ištraukimas naudojant funkciją

1. Pasirinkite norimą langelį ir skirtuke „Formulės“ spustelėkite „Įterpti funkciją“.

   

2. Išplėskite sąrašą kategorijoje Kategorija, Matematika arba Visas abėcėlinis sąrašas, raskite funkciją Laipsnis.

   

   

3. Eilutėje „Skaičius“ vieną kartą spustelėdami įveskite skaičių (mūsų atveju tai yra skaičius 64) arba langelio pavadinimą.

   

4. Eilutėje „Laipsnis“ įveskite laipsnį, iki kurio norite pakelti šaknį (1/3).

   

   Svarbu! Norėdami nurodyti padalijimo ženklą, turite naudoti ženklą „/“, o ne standartinį padalijimo ženklą „:“.

5. Spustelėkite „Gerai“ ir veiksmo rezultatas bus rodomas iš pradžių pasirinktame langelyje.

   

   

Pastaba! Išsamias instrukcijas su nuotrauka apie darbą su funkcijomis rasite aukščiau esančiame straipsnyje.

Išskleiskite bet kurio laipsnio šaknį naudodami laipsnio simbolį „^“

Pastaba! Laipsnis gali būti parašytas trupmena arba dešimtainis skaičius... Pavyzdžiui, trupmeną ¼ galima parašyti kaip 0,25. Norėdami atskirti dešimtąsias, šimtąsias, tūkstantąsias ir pan., naudokite kablelį, kaip įprasta matematikoje.

Rašymo posakių pavyzdžiai