Eksponentinių nelygybių sistemos sprendimas. Eksponentinių lygčių ir nelygybių sprendimas. Homogeninių lygčių sprendimo pavyzdžiai
Lygčių sistemų sprendimo būdai
Pirmiausia trumpai prisiminkime, kokie apskritai egzistuoja lygčių sistemų sprendimo metodai.
Egzistuoja keturi pagrindiniai būdai sprendžiant lygčių sistemas:
Pakeitimo metodas: imama bet kuri iš šių lygčių ir $ y $ išreiškiamas per $ x $, tada $ y $ pakeičiamas į sistemos lygtį, iš kurios randamas kintamasis $ x. Po to mes galime lengvai apskaičiuoti kintamąjį $ y. $
Papildymo metodas: taikant šį metodą būtina padauginti vieną ar abi lygtis iš tokių skaičių, kad, sudėjus abi, „išnyktų“ vienas iš kintamųjų.
Grafinis metodas: abi sistemos lygtys rodomos koordinačių plokštumoje ir randamas jų susikirtimo taškas.
Naujų kintamųjų įvedimo metodas: šiuo metodu pakeičiame bet kokius posakius, kad supaprastintume sistemą, tada taikome vieną iš aukščiau nurodytų metodų.
Eksponentinių lygčių sistemos
1 apibrėžimas
Lygčių sistemos, susidedančios iš eksponentinių lygčių, vadinamos eksponentinių lygčių sistema.
Eksponentinių lygčių sistemų sprendimą apsvarstysime pavyzdžiais.
1 pavyzdys
Išspręskite lygčių sistemą
1 paveikslas.
Sprendimas.
Šiai sistemai išspręsti naudosime pirmąjį metodą. Pirmiausia išreikškime $ y $ kaip $ x $ pirmojoje lygtyje.
2 paveikslas.
Antroje lygtyje pakeiskite $ y $:
\\ \\ \\ [- 2-x \u003d 2 \\] \\ \\
Atsakymas: $(-4,6)$.
2 pavyzdys
Išspręskite lygčių sistemą
3 paveikslas.
Sprendimas.
Ši sistema prilygsta sistemai
4 paveikslas.
Taikykime ketvirtąjį lygčių sprendimo metodą. Leiskite $ 2 ^ x \u003d u \\ (u\u003e 0) $ ir $ 3 ^ y \u003d v \\ (v\u003e 0) $, gausime:
5 paveikslas.
Išspręskime gautą sistemą pridėjimo metodu. Pridėkime lygtis:
\ \
Tada iš antrosios lygties gauname tai
Grįždamas prie pakeitimo, gavau naują eksponentinių lygčių sistemą:
6 paveikslas.
Mes gauname:
7 paveikslas.
Atsakymas: $(0,1)$.
Eksponentinių nelygybių sistemos
2 apibrėžimas
Nelygybių sistemos, susidedančios iš eksponentinių lygčių, vadinamos sistema eksponentinės nelygybės.
Eksponentinių nelygybių sistemų sprendimą apsvarstysime pavyzdžiais.
3 pavyzdys
Išspręskite nelygybių sistemą
8 paveikslas.
Sprendimas:
Ši nelygybių sistema yra lygiavertė sistemai
9 paveikslas.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, prisiminkite šią teoriją apie eksponentinių nelygybių lygiavertiškumą:
1 teorema. Nelygybė $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (\\ varphi (x)) $, kur $ a\u003e 0, a \\ ne 1 $ yra lygi dviejų sistemų rinkiniui
\\ U)
