Funkcijos išvestinė. Išsami teorija su išvestinės funkcijos f x pavyzdžiais

Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y prie argumento prieaugio Δ x:

Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestinės jau seniai skaičiuojamos ir pateikiamos lentelėse. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų išvestinėmis.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku – štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:

vardas	Funkcija	Darinys
Pastovus	f(x) = C, C ∈ R	0 (taip, nulis!)
Galia su racionaliuoju rodikliu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusas	f(x) = nuodėmė x	cos x
Kosinusas	f(x) = cos x	− nuodėmė x(minusas sinusas)
Tangentas	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentas	f(x) = ctg x	– 1 / nuodėmė 2 x
Natūralus logaritmas	f(x) = žurnalas x	1/x
Savavališkas logaritmas	f(x) = žurnalas a x	1/(x ln a)
Eksponentinė funkcija	f(x) = e x	e x(Niekas nepasikeitė)

Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · f)’ = C · f ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, dauginti, padalinti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuotos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos pateikiamos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:

f ’(x) = (x 2 + nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cos x;

Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− nuod x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)

Funkcija g(x) pirmasis daugiklis yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau bendra schema nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.

Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau jį ištirti konkrečiais pavyzdžiais.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia koeficiento išvestinės formulės:

Pagal tradiciją, skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, pakanka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2 + ln x. Tai pavyks f(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau naudojant aukščiau aptartas taisykles jo rasti nepavyks.

Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:

f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti naudojant konkrečius pavyzdžius, išsamiai aprašant kiekvieną veiksmą.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl pakeičiame: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Sudėtinės funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2x+ 3. Gauname:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti x 2 + ln x = t. Mes turime:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2 + ln x. Tada:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.

Atsakymas:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, sumos smūgis yra lygus smūgių sumai. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinį pavyzdį, grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju eksponentu:

(x n)’ = n · x n − 1

Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali būti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0.5. O jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - tokias konstrukcijas jie mėgsta duoti testuose ir egzaminuose.

Užduotis. Raskite funkcijos išvestinę:

Pirma, perrašykime šaknį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Dabar pakeičiame: tegul x 2 + 8x − 7 = t. Išvestinę randame naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)“ · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą: t = x 2 + 8x− 7. Mes turime:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x– 7) –0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Galiausiai grįžkime prie šaknų:

Darinys

Matematinės funkcijos išvestinės (diferenciacijos) skaičiavimas yra labai dažna problema sprendžiant aukštąją matematiką. Paprastoms (elementarioms) matematinėms funkcijoms tai yra gana paprastas dalykas, nes elementariųjų funkcijų išvestinių lentelės jau seniai buvo sudarytos ir yra lengvai prieinamos. Tačiau sudėtingos matematinės funkcijos išvestinės radimas nėra nereikšminga užduotis ir dažnai reikalauja didelių pastangų ir laiko.

Raskite išvestinę priemonę internete

Mūsų internetinė paslauga leidžia atsikratyti beprasmiškų ilgų skaičiavimų ir rasti išvestį internete per vieną akimirką. Be to, naudodamiesi mūsų svetainėje esančia paslauga www.svetainė, galite paskaičiuoti internetinis darinys tiek iš elementarios funkcijos, tiek iš labai sudėtingos, neturinčios analitinio sprendimo. Pagrindiniai mūsų svetainės pranašumai, lyginant su kitomis, yra šie: 1) nėra griežtų reikalavimų matematinės funkcijos įvedimo būdui apskaičiuojant išvestinę (pavyzdžiui, įvesdami funkciją sinusas x galite įvesti kaip sin x arba sin (x) arba sin[x] ir tt d.); 2) internetinis išvestinis apskaičiavimas įvyksta iš karto režime prisijungęs ir absoliučiai nemokamai; 3) leidžiame rasti funkcijos išvestinę bet koks užsakymas, keisti išvestinės eilės tvarką labai lengva ir suprantama; 4) leidžiame internete rasti beveik bet kokios matematinės funkcijos išvestį, net ir labai sudėtingų, kurių negali išspręsti kitos paslaugos. Pateiktas atsakymas visada yra tikslus ir jame negali būti klaidų.

Naudodamiesi mūsų serveriu galėsite 1) apskaičiuoti išvestinę priemonę internetu už jus, pašalindami daug laiko reikalaujančius ir varginančius skaičiavimus, kurių metu galite padaryti klaidą ar rašybos klaidą; 2) jei matematinės funkcijos išvestinę skaičiuojate patys, tuomet suteikiame galimybę gautą rezultatą palyginti su mūsų paslaugos skaičiavimais ir įsitikinti, kad sprendimas yra teisingas ar rasti įsivėlė klaidą; 3) naudotis mūsų paslauga, o ne naudoti paprastų funkcijų išvestinių lenteles, kuriose dažnai reikia laiko surasti norimą funkciją.

Viskas, ką jums reikia padaryti, tai rasti išvestį internete- yra naudotis mūsų paslauga

(\didelis\bf Funkcijos išvestinė)

Apsvarstykite funkciją y=f(x), nurodytas intervale (a, b). Leisti x- bet kuris fiksuotas intervalo taškas (a, b), A Δx- savavališkas skaičius, kad reikšmė x+Δx taip pat priklauso intervalui (a, b). Šis skaičius Δx vadinamas argumentų prieaugiu.

Apibrėžimas. Funkcijų padidėjimas y=f(x) taške x, atitinkantis argumento prieaugį Δx, skambinkime numeriu

Δy = f(x+Δx) – f(x).

Mes tuo tikime Δx ≠ 0. Apsvarstykite tam tikru fiksuotu tašku x funkcijos prieaugio santykis šiame taške ir atitinkamo argumento prieaugio santykis Δx

Šį ryšį vadinsime skirtumo ryšiu. Nuo vertės x laikome fiksuotu, skirtumo santykis yra argumento funkcija Δx. Ši funkcija apibrėžta visoms argumentų reikšmėms Δx, priklausantis kokiai nors pakankamai mažai taško kaimynystei Δx=0, išskyrus patį tašką Δx=0. Taigi, mes turime teisę svarstyti klausimą dėl nurodytos funkcijos ribos egzistavimo ties Δx → 0.

Apibrėžimas. Funkcijos išvestinė y=f(x) tam tikrame fiksuotame taške x vadinama riba ties Δx → 0 skirtumo santykis, tai yra

Su sąlyga, kad ši riba egzistuoja.

Paskyrimas. y'(x) arba f'(x).

Geometrinė išvestinės reikšmė: funkcijos išvestinė f(x)Šiuo atveju x lygus kampo tarp ašies tangentei Jautis ir šios funkcijos grafiko liestinė atitinkamame taške:

f′(x 0) = \tgα.

Mechaninė vedinio reikšmė: Kelio išvestinė laiko atžvilgiu yra lygi taško tiesinio judėjimo greičiui:

Tiesės liestinės lygtis y=f(x) taške M 0 (x 0 ,y 0)įgauna formą

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Kreivės normalioji vertė tam tikru tašku yra statmena liestinės tame pačiame taške. Jeigu f′(x 0)≠ 0, tada tiesės normaliosios lygtis y=f(x) taške M 0 (x 0 ,y 0) parašyta taip:

Funkcijos diferencijavimo samprata

Tegul funkcija y=f(x) apibrėžta per tam tikrą intervalą (a, b), x- tam tikra fiksuota argumento reikšmė iš šio intervalo, Δx- bet koks argumento padidėjimas, kuris atitinka argumento vertę x+Δx ∈ (a, b).

Apibrėžimas. Funkcija y=f(x) vadinamas diferencijuojamu tam tikrame taške x, jei prieaugis Δyšią funkciją taške x, atitinkantis argumento prieaugį Δx, gali būti pavaizduotas formoje

Δy = A Δx + αΔx,

Kur A- tam tikras skaičius, nepriklausomas nuo Δx, A α - argumentų funkcija Δx, kuris yra be galo mažas Δx → 0.

Kadangi dviejų be galo mažų funkcijų sandauga αΔx yra aukštesnės eilės begalinis dydis nei Δx(3 be galo mažų funkcijų savybė), tada galime parašyti:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Norėdami atlikti funkciją y=f(x) buvo skirtingas tam tikru momentu x, būtina ir pakanka, kad šiame taške būtų baigtinė išvestinė. Kuriame A=f′(x), tai yra

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Išvestinės radimo operacija paprastai vadinama diferenciacija.

Teorema. Jei funkcija y=f(x) x, tada šiuo metu jis yra tęstinis.

komentuoti. Nuo funkcijos tęstinumo y=f(x)Šiuo atveju x, paprastai kalbant, funkcijos diferencijavimas nesiseka f(x)Šiuo atveju. Pavyzdžiui, funkcija y=|x|- nenutrūkstama taške x=0, bet neturi išvestinės.

Diferencialinės funkcijos samprata

Apibrėžimas. Funkcinis diferencialas y=f(x) vadinama šios funkcijos išvestinės ir nepriklausomo kintamojo prieaugio sandauga x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Dėl funkcijos y=x mes gauname dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, tai yra dx=Δx- nepriklausomo kintamojo skirtumas yra lygus šio kintamojo prieaugiui.

Taigi, mes galime rašyti

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferencialinis dy ir prieaugis Δy funkcijas y=f(x)Šiuo atveju x, abu atitinka tą patį argumento prieaugį Δx, paprastai kalbant, nėra lygūs vienas kitam.

Geometrinė diferencialo reikšmė: funkcijos skirtumas yra lygus šios funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugiui, kai argumentas padidinamas Δx.

Diferencijavimo taisyklės

Teorema. Jei kiekviena iš funkcijų u(x) Ir v(x) skiriasi tam tikrame taške x, tada šių funkcijų suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas (dalytuvas su sąlyga, kad v(x)≠ 0) šiuo metu taip pat skiriasi, o formulės galioja:

Apsvarstykite sudėtingą funkciją y=f(φ(x))≡ F(x), Kur y=f(u), u=φ(x). Tokiu atveju u paskambino tarpinis argumentas, x - nepriklausomas kintamasis.

Teorema. Jeigu y=f(u) Ir u=φ(x) yra diferencijuojamos jų argumentų funkcijos, tada sudėtingos funkcijos išvestinė y=f(φ(x)) egzistuoja ir yra lygus šios funkcijos sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu, t.y.

komentuoti. Sudėtingai funkcijai, kuri yra trijų funkcijų superpozicija y=F(f(φ(x))), diferenciacijos taisyklė turi formą

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

kur funkcijos v=φ(x), u=f(v) Ir y=F(u)- diferencijuojamos jų argumentų funkcijos.

Teorema. Tegul funkcija y=f(x) didėja (arba mažėja) ir yra nuolatinis tam tikroje taško kaimynystėje x 0. Be to, tegul ši funkcija yra diferencijuojama nurodytame taške x 0 ir jo išvestinė šioje vietoje f′(x 0) ≠ 0. Tada kokioje nors atitinkamo taško kaimynystėje y 0 =f(x 0) apibrėžiamas atvirkštinis y=f(x) funkcija x=f -1 (y), o nurodyta atvirkštinė funkcija yra diferencijuojama atitinkamame taške y 0 =f(x 0) o jo išvestinei šioje vietoje y formulė galioja

Išvestinių priemonių lentelė

Pirmojo diferencialo formos nekintamumas

Panagrinėkime sudėtingos funkcijos diferencialą. Jeigu y=f(x), x=φ(t)- jų argumentų funkcijos yra diferencijuojamos, tada funkcijos išvestinė y=f(φ(t)) išreikšta formule

y′t = y′xx′t.

A-prioras dy=y′t dt, tada gauname

dy = y't dt = y'x · x't dt = y'x (x't dt) = y'x dx,

dy = y′ x dx.

Taigi, mes įrodėme

Funkcijos pirmojo diferencialo formos nekintamumo savybė: kaip ir tuo atveju, kai argumentas x yra nepriklausomas kintamasis, o tuo atveju, kai argumentas x pati yra naujojo kintamojo diferencialo funkcija dy funkcijas y=f(x) yra lygus šios funkcijos išvestinei, padaugintai iš argumento diferencialo dx.

Diferencialo taikymas apytiksliuose skaičiavimuose

Mes parodėme, kad skirtumas dy funkcijas y=f(x), paprastai kalbant, nėra lygus prieaugiui Δyšią funkciją. Tačiau iki be galo mažos didesnės laipsnio mažumo funkcijos nei Δx, galioja apytikslė lygybė

Δy ≈ dy.

Santykis vadinamas santykine šios lygybės lygybės paklaida. Nes Δy-dy=o(Δx), tada santykinė šios lygybės paklaida tampa tokia maža, kiek norima, mažėjant |Δх|.

Atsižvelgiant į tai Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, mes gauname f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx arba

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Ši apytikslė lygybė leidžia su klaida o(Δx) pakeisti funkciją f(x) nedidelėje taško kaimynystėje x(ty mažoms vertėms Δx) argumento tiesinė funkcija Δx, stovi dešinėje pusėje.

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Apibrėžimas. Funkcijos antroji išvestinė (arba antros eilės išvestinė). y=f(x) vadinamas jo pirmojo vedinio vediniu.

Antrosios funkcijos išvestinės žymėjimas y=f(x):

Antrojo vedinio mechaninė reikšmė. Jei funkcija y=f(x) aprašo materialaus taško judėjimo tiesia linija dėsnį, paskui antrąją išvestinę f"(x) lygus judančio taško pagreičiui laiko momentu x.

Trečiasis ir ketvirtasis dariniai nustatomi panašiai.

Apibrėžimas. n vedinys (arba vedinys n-osios eilės) funkcijas y=f(x) vadinamas jo vediniu n-1 išvestinė:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Pavadinimai: y″′, y IV, y V ir tt

Funkcijos išvestinės paieškos procesas vadinamas diferenciacija. Matematinės analizės metu išvestinę reikia rasti daugelyje problemų. Pavyzdžiui, ieškant funkcijos grafiko ekstremumo ir vingio taškų.

Kaip rasti?

Norint rasti funkcijos išvestinę, reikia žinoti elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir taikyti pagrindines diferenciacijos taisykles:

1. Konstantos perkėlimas už išvestinės ženklo: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Funkcijų sumos/skirtumo išvestinė: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Dviejų funkcijų sandaugos išvestinė: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Trupmenos išvestinė: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Sudėtinės funkcijos išvestinė: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Sprendimų pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite funkcijos $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ išvestinę

Sprendimas

Funkcijų sumos/skirtumo išvestinė yra lygi išvestinių sumai/skirtumui: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Naudodami laipsnio funkcijos $ (x^p)" = px^(p-1) $ išvestinės taisyklę, turime: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Taip pat buvo atsižvelgta į tai, kad konstantos išvestinė lygi nuliui. Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo!

Atsakymas

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

Išvestinis skaičiavimas- viena iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo operacijų. Žemiau yra lentelė, skirta paprastų funkcijų išvestinėms rasti. Sudėtingesnių diferenciacijos taisyklių ieškokite kitose pamokose:

• Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių lentelė

Naudokite pateiktas formules kaip atskaitos reikšmes. Jie padės išspręsti diferencialines lygtis ir uždavinius. Paveikslėlyje paprastų funkcijų išvestinių lentelėje yra pagrindinių išvestinės radimo atvejų „apgaulės lapelis“ suprantama forma, šalia kiekvieno atvejo paaiškinimai.

Paprastų funkcijų dariniai

1. Skaičiaus išvestinė lygi nuliui
с´ = 0
Pavyzdys:
5' = 0

Paaiškinimas:
Išvestinė rodo greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė pasikeitus jos argumentui. Kadangi skaičius jokiu būdu nesikeičia jokiomis sąlygomis, jo kitimo greitis visada lygus nuliui.

2. Kintamojo išvestinė lygus vienam
x' = 1

Paaiškinimas:
Kiekvieną kartą padidinus argumentą (x) vienu, funkcijos reikšmė (skaičiavimo rezultatas) padidėja tiek pat. Taigi funkcijos y = x reikšmės kitimo greitis yra tiksliai lygus argumento reikšmės kitimo greičiui.

3. Kintamojo ir koeficiento išvestinė yra lygi šiam veiksniui
сx´ = с
Pavyzdys:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paaiškinimas:
Šiuo atveju kiekvieną kartą, kai pasikeičia funkcijos argumentas ( X) jo reikšmė (y) didėja Su kartą. Taigi funkcijos reikšmės kitimo greitis, palyginti su argumento kitimo greičiu, yra tiksliai lygus reikšmei Su.

Iš kur tai seka
(cx + b)" = c
tai yra tiesinės funkcijos y=kx+b diferencialas lygus tiesės (k) nuolydžiui.

4. Modulinė kintamojo išvestinė lygus šio kintamojo ir jo modulio daliniui
|x|"= x / |x| su sąlyga, kad x ≠ 0
Paaiškinimas:
Kadangi kintamojo išvestinė (žr. 2 formulę) lygi vienetui, modulio išvestinė skiriasi tik tuo, kad kertant pradinį tašką funkcijos kitimo greičio reikšmė pasikeičia į priešingą (pabandykite nubraižyti grafiką funkcijos y = |x| ir pamatysite patys. Būtent tokią reikšmę ir grąžina išraiška x / |x|. Kai x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - vienas. Tai yra, esant neigiamoms kintamojo x reikšmėms, su kiekvienu argumento padidėjimu, funkcijos reikšmė sumažėja lygiai ta pačia reikšme, o teigiamų verčių, priešingai, padidėja, bet lygiai ta pačia verte. .

5. Kintamojo išvestinė iš laipsnio lygus šios galios skaičiaus ir kintamojo sandaugai laipsniui, sumažintam vienetu
(x c)"= cx c-1, su sąlyga, kad x c ir cx c-1 yra apibrėžti ir c ≠ 0
Pavyzdys:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Norėdami prisiminti formulę:
Perkelkite kintamojo laipsnį žemyn kaip veiksnį, o tada sumažinkite patį laipsnį vienu. Pavyzdžiui, x 2 – du buvo prieš x, o tada sumažinta galia (2-1 = 1) mums tiesiog davė 2x. Tas pats nutiko ir x 3 - „perkeliame“ trigubą žemyn, sumažiname jį vienu ir vietoj kubo turime kvadratą, tai yra, 3x 2. Šiek tiek „nemoksliška“, bet labai lengva įsiminti.

6.Trupmenos išvestinė 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Pavyzdys:
Kadangi trupmena gali būti pavaizduota kaip neigiama galia
(1/x)" = (x -1)", tada galite taikyti formulę iš išvestinių lentelės 5 taisyklės
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Trupmenos išvestinė su savavališko laipsnio kintamuoju vardiklyje
(1 / x c)" = - c / x c+1
Pavyzdys:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Šaknies vedinys(kintamojo po kvadratine šaknimi išvestinė)
(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2
Pavyzdys:
(√x)" = (x 1/2)" reiškia, kad galite taikyti formulę iš 5 taisyklės
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Kintamojo išvestinė pagal savavališko laipsnio šaknį
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)