Kas nutinka eksponentams dauginant skaičius. Laipsnių savybės: formuluotės, įrodymai, pavyzdžiai. Laipsnis su neigiama baze
Matematikos laipsnio sąvoka supažindinama jau 7 klasėje algebros pamokoje. Ir ateityje, per visą matematikos studijų laikotarpį, ši sąvoka aktyviai naudojama įvairiomis formomis. Laipsniai yra gana sudėtinga tema, reikalaujanti įsiminti vertybes ir mokėti teisingai ir greitai skaičiuoti. Norėdami greičiau ir geriau dirbti su matematikos laipsniais, jie sugalvojo laipsnio savybes. Jie padeda sumažinti didelių skaičiavimų skaičių, tam tikru mastu paversti didžiulį pavyzdį į vieną skaičių. Savybių nėra tiek daug, ir visas jas lengva prisiminti ir pritaikyti praktikoje. Todėl straipsnyje aptariamos pagrindinės laipsnio savybės, taip pat kur jos taikomos.
laipsnio savybes
Išnagrinėsime 12 laipsnio savybių, įskaitant tos pačios bazės laipsnius, ir pateiksime kiekvienos savybės pavyzdį. Kiekviena iš šių savybių padės greičiau išspręsti su laipsniais susijusias problemas, taip pat sutaupys nuo daugybės skaičiavimo klaidų.
1-asis turtas.
Daugelis žmonių labai dažnai pamiršta apie šią savybę, daro klaidas, skaičių iki nulio laipsnio pateikdami kaip nulį.
2-asis turtas.
3 turtas.
Reikia atsiminti, kad šią savybę galima naudoti tik dauginant skaičius, ji neveikia su suma! Ir mes neturime pamiršti, kad šios ir šios savybės taikomos tik galioms, turinčioms tą patį pagrindą.
4-asis turtas.
Jei skaičius vardiklyje padidinamas iki neigiamos laipsnio, tada atimant vardiklio laipsnis imamas skliausteliuose, kad tolesniuose skaičiavimuose būtų teisingai pakeistas ženklas.
Savybė veikia tik dalijant, o ne atimant!
5-asis turtas.
6-asis turtas.
Ši savybė gali būti taikoma ir atvirkščiai. Vienetas, padalytas iš skaičiaus tam tikru laipsniu, yra tas skaičius, kurio laipsnis yra neigiamas.
7-asis turtas.
Ši savybė negali būti taikoma sumai ir skirtumui! Keliant sumą ar skirtumą į laipsnį, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės, o ne laipsnio savybės.
8-asis turtas.
9-asis turtas.
Ši savybė veikia bet kokiam trupmeniniam laipsniui, kurio skaitiklis lygus vienetui, formulė bus ta pati, tik šaknies laipsnis keisis priklausomai nuo laipsnio vardiklio.
Be to, ši savybė dažnai naudojama atvirkštine tvarka. Bet kurios skaičiaus laipsnio šaknis gali būti pavaizduota kaip skaičius, padalytas iš šaknies laipsnio. Ši savybė labai naudinga tais atvejais, kai skaičiaus šaknis nėra išgaunama.
10-asis turtas.
Ši savybė veikia ne tik su kvadratine šaknimi ir antruoju laipsniu. Jei šaknies laipsnis ir šios šaknies pakilimo laipsnis yra vienodi, tada atsakymas bus radikali išraiška.
11-asis turtas.
Sprendžiant šią nuosavybę reikia laiku pamatyti, kad apsisaugotumėte nuo didžiulių skaičiavimų.
12-asis turtas.
Kiekviena iš šių savybių sutiks jus ne kartą atliekant užduotis, ji gali būti pateikta gryna forma arba gali prireikti tam tikrų transformacijų ir naudoti kitas formules. Todėl teisingam sprendimui neužtenka žinoti tik savybes, reikia praktikuotis ir susieti likusias matematines žinias.
Laipsnių taikymas ir jų savybės
Jie aktyviai naudojami algebroje ir geometrijoje. Matematikos laipsniai turi atskirą, svarbią vietą. Jų pagalba sprendžiamos eksponentinės lygtys ir nelygybės, taip pat galios dažnai apsunkina lygtis ir pavyzdžius, susijusius su kitomis matematikos dalimis. Rodikliai padeda išvengti didelių ir ilgų skaičiavimų, lengviau sumažinti ir apskaičiuoti rodiklius. Tačiau norint dirbti su didelėmis galiomis arba su didelių skaičių galiomis, reikia žinoti ne tik laipsnio savybes, bet ir kompetentingai dirbti su bazėmis, mokėti jas suskaidyti, kad būtų lengviau atlikti savo užduotį. Kad būtų patogiau, taip pat turėtumėte žinoti skaičių, pakeltų iki laipsnio, reikšmę. Tai sumažins jūsų sprendimo laiką, nes nebereikės ilgų skaičiavimų.
Laipsnio sąvoka logaritmuose vaidina ypatingą vaidmenį. Kadangi logaritmas iš esmės yra skaičiaus galia.
Sutrumpintos daugybos formulės yra dar vienas galių naudojimo pavyzdys. Jie negali naudoti laipsnių savybių, jie skaidomi pagal specialias taisykles, tačiau kiekvienoje sutrumpintoje daugybos formulėje visada yra laipsnių.
Laipsniai taip pat aktyviai naudojami fizikoje ir informatikoje. Visi vertimai į SI sistemą atliekami naudojant laipsnius, o ateityje, sprendžiant uždavinius, taikomos laipsnio savybės. Informatikos moksle dviejų galios aktyviai naudojamos, kad būtų patogiau skaičiuoti ir supaprastinti skaičių suvokimą. Tolesni matavimo vienetų perskaičiavimo arba uždavinių skaičiavimai, kaip ir fizikoje, atliekami naudojant laipsnio savybes.
Laipsniai labai praverčia ir astronomijoje, kur retai galima rasti laipsnio savybių panaudojimą, tačiau patys laipsniai aktyviai naudojami įvairių dydžių ir atstumų fiksavimui sutrumpinti.
Laipsniai naudojami ir kasdieniame gyvenime, skaičiuojant plotus, tūrius, atstumus.
Naudojant laipsnius, bet kurioje mokslo srityje užrašomos labai didelės ir labai mažos vertės.
eksponentinės lygtys ir nelygybės
Laipsnio savybės užima ypatingą vietą būtent eksponentinėse lygtyse ir nelygybėse. Šios užduotys yra labai dažnos tiek mokyklos kurse, tiek egzaminuose. Visi jie sprendžiami taikant laipsnio savybes. Nežinomybė visada yra pačiame laipsnyje, todėl žinant visas savybes, tokią lygtį ar nelygybę išspręsti nebus sunku.
Laipsnių sudėjimas ir atėmimas
Akivaizdu, kad skaičius su galiomis gali būti pridedamas kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.
Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2 .
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.
Šansai tos pačios tų pačių kintamųjų galios galima pridėti arba atimti.
Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2 .
Taip pat akivaizdu, kad jei paimtume du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.
Bet laipsniai įvairūs kintamieji ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, reikia pridėti juos pridedant prie jų ženklų.
Taigi, a 2 ir a 3 suma yra 2 + a 3 suma.
Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas yra ne du kartus didesnis už a kvadratą, bet du kartus didesnis už a kubą.
A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrio ženklai.
Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 \u003d -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6
Galios dauginimas
Skaičius su laipsniais galima dauginti kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.
Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.
Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3 .
Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.
Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.
Taigi, a n .a m = a m+n .
Jei a n , a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra n laipsnis;
Ir a m , imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek laipsnis m lygus;
Štai kodėl, galias su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant eksponentus.
Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių rodikliai yra − neigiamas.
1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra
Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.
Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.
Taigi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8 .
Valdžių padalijimas
Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos pavidalu.
Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra a 3 .
5 padalytas iš 3 atrodo kaip $\frac $. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.
Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..
Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tai yra, $\frac = y$.
Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac = a^n$.
Arba:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Taisyklė taip pat galioja skaičiams su neigiamas laipsnių vertės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2 .
Taip pat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Būtina labai gerai įvaldyti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje yra labai plačiai naudojami.
Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais
1. Sumažinkite eksponentus $\frac $ Atsakymas: $\frac $.
2. Sumažinkite eksponentus $\frac$. Atsakymas: $\frac $ arba 2x.
3. Sumažinkite eksponentus a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .
4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5/5a 2.
5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.
6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).
7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .
8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.
laipsnio savybes
Primename, kad šioje pamokoje mes suprantame laipsnio savybes su natūraliais rodikliais ir nuliu. Laipsniai su racionaliais rodikliais ir jų savybės bus aptariami pamokose 8 klasei.
Rodiklis su natūraliuoju rodikliu turi keletą svarbių savybių, kurios leidžia supaprastinti skaičiavimus eksponentų pavyzdžiuose.
1 nuosavybė
Galių produktas
Dauginant laipsnius su ta pačia baze, bazė lieka nepakitusi, o laipsniai pridedami.
a m a n \u003d a m + n, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.
Ši galių savybė taip pat turi įtakos trijų ar daugiau galių sandaugai.
- Supaprastinkite išraišką.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Pateikti kaip laipsnį.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Pateikti kaip laipsnį.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Užrašykite koeficientą kaip laipsnį
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Apskaičiuoti.
Atkreipkite dėmesį, kad nurodytoje nuosavybėje buvo kalbama tik apie galių dauginimą tais pačiais pagrindais.. Tai netaikoma jų papildymui.
Sumos (3 3 + 3 2) negalite pakeisti 3 5 . Tai suprantama, jei
apskaičiuokite (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ir 3 5 = 243
2 nuosavybė
Privatūs laipsniai
Dalijant laipsnius ta pačia baze, bazė lieka nepakitusi, o daliklio rodiklis atimamas iš dividendo laipsnio.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Pavyzdys. Išspręskite lygtį. Mes naudojame dalinių laipsnių savybę.
3 8: t = 3 4
Atsakymas: t = 3 4 = 81
Naudodami savybes Nr. 1 ir Nr. 2 galite lengvai supaprastinti išraiškas ir atlikti skaičiavimus.
Pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę naudodami laipsnio savybes.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Atkreipkite dėmesį, kad 2 nuosavybė buvo susijusi tik su galių padalijimu tais pačiais pagrindais.
Skirtumo (4 3 −4 2) negalite pakeisti 4 1 . Tai suprantama, jei apskaičiuojate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ir 4 1 = 4
3 turtas
Eksponentiškumas
Didinant laipsnį į laipsnį, galios bazė lieka nepakitusi, o laipsniai dauginami.
(a n) m \u003d a n m, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.
Primename, kad koeficientas gali būti pavaizduotas trupmena. Todėl kitame puslapyje mes išsamiau aptarsime trupmenos pakėlimo į laipsnį temą.
Kaip padauginti galias
Kaip padauginti galias? Kurias galias galima padauginti, o kurių ne? Kaip padauginti skaičių iš laipsnio?
Algebroje galių sandaugą galite rasti dviem atvejais:
1) jei laipsniai turi tą patį pagrindą;
2) jei laipsniai turi vienodus rodiklius.
Dauginant laipsnius su ta pačia baze, bazė turi likti tokia pati, o laipsniai turi būti pridedami:
Dauginant laipsnius iš tų pačių rodiklių, bendrą rodiklį galima išimti iš skliaustų:
Apsvarstykite, kaip padauginti galias, pateikdami konkrečius pavyzdžius.
Vienetas eksponente nerašomas, bet dauginant laipsnius atsižvelgiama į:
Dauginant laipsnių skaičius gali būti bet koks. Reikėtų atsiminti, kad prieš raidę negalima rašyti daugybos ženklo:
Išraiškose pirmiausia atliekama eksponencija.
Jei jums reikia padauginti skaičių iš laipsnio, pirmiausia turite atlikti eksponentinį koeficientą, o tik tada - dauginti:
Galių dauginimas su ta pačia baze
Šią vaizdo pamoką galima įsigyti užsiprenumeravus
Ar jau turite prenumeratą? Įeiti
Šioje pamokoje išmoksime padauginti galias su ta pačia baze. Pirmiausia primename laipsnio apibrėžimą ir suformuluojame teoremą apie lygybės pagrįstumą . Tada pateikiame jo taikymo konkretiems skaičiams pavyzdžius ir įrodome. Taip pat teoremą taikysime įvairioms problemoms spręsti.
Tema: Laipsnis su natūraliu rodikliu ir jo savybėmis
Pamoka: galių dauginimas iš tų pačių bazių (formulė)
1. Pagrindiniai apibrėžimai
Pagrindiniai apibrėžimai:
n- eksponentas,
— n- skaičiaus laipsnis.
2. 1 teoremos teiginys
1 teorema. Bet kokiam skaičiui a ir bet koks natūralus n ir k lygybė yra tiesa:
Kitaip tariant: jei a- bet koks skaičius; n ir k natūraliuosius skaičius, tada:
Taigi 1 taisyklė:
3. Užduočių aiškinimas
Išvada: ypatingi atvejai patvirtino 1 teoremos teisingumą. Įrodykime tai bendru atveju, tai yra bet kuriuo atveju a ir bet koks natūralus n ir k.
4. 1 teoremos įrodymas
Duotas skaičius a- bet koks; numeriai n ir k- natūralus. Įrodykite:
Įrodymas grindžiamas laipsnio apibrėžimu.
5. Pavyzdžių sprendimas naudojant 1 teoremą
1 pavyzdys: Pateikti kaip laipsnį.
Norėdami išspręsti šiuos pavyzdžius, naudojame 1 teoremą.
ir) 
6. 1 teoremos apibendrinimas
Štai apibendrinimas:
7. Pavyzdžių sprendimas naudojant 1 teoremos apibendrinimą
8. Įvairių uždavinių sprendimas naudojant 1 teoremą
2 pavyzdys: Apskaičiuokite (galite naudoti pagrindinių laipsnių lentelę).
a) 
(pagal lentelę)
b) 
3 pavyzdys: Rašykite kaip laipsnį su 2 baze.
a) 
4 pavyzdys: Nustatykite skaičiaus ženklą:
, a - neigiamas, nes rodiklis ties -13 yra nelyginis.
5 pavyzdys: Pakeiskite ( ) galia su pagrindu r:
Mes turime, tai yra.
9. Apibendrinimas
1. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra 7. 6-asis leidimas. M.: Nušvitimas. 2010 m
1. Mokyklos padėjėjas (šaltinis).
1. Išreikškite kaip laipsnį:
a B C D E) 
3. Įrašykite kaip laipsnį su 2 baze:
4. Nustatykite skaičiaus ženklą:
a) 
5. Pakeiskite ( ) skaičiaus laipsniu su pagrindu r:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Valdžių dauginimas ir padalijimas su tais pačiais rodikliais
Šioje pamokoje mes išnagrinėsime galių dauginimą su tais pačiais rodikliais. Pirma, prisiminkime pagrindinius apibrėžimus ir teoremas apie galių dauginimą ir padalijimą tais pačiais pagrindais ir laipsnio pakėlimą į laipsnį. Tada formuluojame ir įrodome laipsnių daugybos ir padalijimo teoremas su tais pačiais eksponentais. Ir tada su jų pagalba išspręsime nemažai tipiškų problemų.
Pagrindinių apibrėžimų ir teoremų priminimas
Čia a- laipsnio pagrindas
— n- skaičiaus laipsnis.
1 teorema. Bet kokiam skaičiui a ir bet koks natūralus n ir k lygybė yra tiesa:
Dauginant laipsnius su ta pačia baze, laipsniai pridedami, bazė lieka nepakitusi.
2 teorema. Bet kokiam skaičiui a ir bet koks natūralus n ir k, toks kad n > k lygybė yra tiesa:
Dalijant laipsnius su ta pačia baze, rodikliai atimami, o bazė lieka nepakitusi.
3 teorema. Bet kokiam skaičiui a ir bet koks natūralus n ir k lygybė yra tiesa:
Visos aukščiau pateiktos teoremos buvo apie galias su vienodais pagrindu, šioje pamokoje bus nagrinėjami laipsniai su tuo pačiu rodikliai.
Pavyzdžiai, kaip padauginti laipsnius iš tų pačių rodiklių
Apsvarstykite šiuos pavyzdžius:
Išrašykime laipsnio nustatymo išraiškas.
Išvada: Iš pavyzdžių tai matote 
, bet tai dar reikia įrodyti. Teoremą suformuluojame ir įrodome bendruoju atveju, tai yra bet kuriam a ir b ir bet koks natūralus n.
4 teoremos teiginys ir įrodymas
Dėl bet kokių skaičių a ir b ir bet koks natūralus n lygybė yra tiesa:
Įrodymas 4 teorema .
Pagal laipsnio apibrėžimą:
Taigi mes tai įrodėme .
Norint padauginti laipsnius iš to paties laipsnio, pakanka padauginti bazes, o eksponentą palikti nepakeistą.
5 teoremos teiginys ir įrodymas
Suformuluojame laipsnių dalijimo tais pačiais rodikliais teoremą.
Bet kokiam skaičiui a ir b() ir bet koks natūralus n lygybė yra tiesa:
Įrodymas 5 teorema .
Užrašykime ir pagal laipsnio apibrėžimą:
Teoremų išdėstymas žodžiais
Taigi mes tai įrodėme.
Norint padalinti laipsnius su tais pačiais rodikliais vienas į kitą, pakanka padalyti vieną bazę iš kitos, o laipsnį palikti nepakeistą.
Tipinių uždavinių sprendimas naudojant 4 teoremą
1 pavyzdys: Išreikškite kaip galių sandaugą.
Norėdami išspręsti šiuos pavyzdžius, naudojame 4 teoremą.
Norėdami išspręsti šį pavyzdį, prisiminkite formules:
4 teoremos apibendrinimas
4 teoremos apibendrinimas:
Pavyzdžių sprendimas naudojant apibendrintą 4 teoremą
Tęsiamas tipinių problemų sprendimas
2 pavyzdys: Rašykite kaip produkto laipsnį.
3 pavyzdys: Parašykite kaip laipsnį, kurio rodiklis yra 2.
Skaičiavimo pavyzdžiai
4 pavyzdys: Apskaičiuokite racionaliausiu būdu.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ir kt.. Algebra 7 .M .: Ugdymas. 2006 m
2. Mokyklos asistentas (Šaltinis).
1. Pateikti kaip galių sandaugą:
a) ; b) ; in) ; G);
2. Užrašykite kaip gaminio laipsnį:
3. Parašykite laipsnio forma su rodikliu 2:
4. Apskaičiuokite racionaliausiu būdu.
Matematikos pamoka tema „Valdžių dauginimas ir padalijimas“
Skyriai: Matematika
Pedagoginis tikslas:
Užduotys:
Doktrinos veiklos vienetai: laipsnio nustatymas natūraliu rodikliu; laipsnio komponentai; privataus apibrėžimas; asociatyvinis daugybos dėsnis.
I. Studentų turimų žinių įsisavinimo demonstravimo organizavimas. (1 žingsnis)
a) Žinių atnaujinimas:
2) Suformuluokite laipsnio apibrėžimą su natūraliu rodikliu.
a n \u003d a a a a ... a (n kartų)
b k \u003d b b b a ... b (k kartų) Atsakymą pagrįskite.
II. Stažuotojo įsivertinimo pagal atitinkamos patirties laipsnį organizavimas. (2 žingsnis)
Testas savianalitikai: (savarankiškas darbas dviem versijomis.)
A1) Išreikškite sandaugą 7 7 7 7 x x x kaip laipsnį:
A2) Išreikškite kaip sandaugą laipsnį (-3) 3 x 2
A3) Apskaičiuokite: -2 3 2 + 4 5 3
Užduočių skaičių teste parenku pagal klasės lygio pasirengimą.
Testui duodu raktą savitikrai. Kriterijai: išlaikyti-nepavyko.
III. Mokomoji ir praktinė užduotis (3 žingsnis) + 4 žingsnis (savybes suformuluos patys studentai)
Spręsdami 1) ir 2) uždavinius, mokiniai pasiūlo sprendimą, o aš, kaip mokytojas, organizuoju klasę, kad rasčiau būdą, kaip supaprastinti galias dauginant su tais pačiais pagrindais.
Mokytojas: sugalvokite būdą, kaip supaprastinti galias dauginant su ta pačia baze.
Klasteryje pasirodo įrašas:
Suformuluota pamokos tema. Galių dauginimas.
Mokytojas: sugalvokite taisyklę, kaip skirstyti laipsnius tais pačiais pagrindais.
Samprotavimas: koks veiksmas patikrina padalijimą? a 5: a 3 = ? kad a 2 a 3 = a 5
Grįžtu prie schemos - klasteris ir papildau įrašą - ..dalinant atimti ir pridėti pamokos temą. ...ir laipsnių skirstymas.
IV. Bendravimas studentams apie žinių ribas (kaip minimumą ir kaip maksimumą).
Mokytojas: Šios dienos pamokos minimumo užduotis – išmokti taikyti laipsnių daugybos ir dalybos ypatybes su tais pačiais pagrindais, o maksimumą: kartu taikyti daugybą ir dalybą.
Rašyti ant lentos : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. Naujos medžiagos tyrimo organizavimas. (5 veiksmas)
a) Pagal vadovėlį: Nr.403 (a, c, e) skirtingos formuluotės užduotys
Nr.404 (a, e, f) savarankiškas darbas, tada organizuoju abipusę patikrą, raktus atiduodu.
b) Kokiai m reikšmei galioja lygybė? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Užduotis: sugalvokite panašių padalijimo pavyzdžių.
c) Nr. 417 (a), Nr. 418 (a) Spąstai studentams: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = 2.
VI. Išmoktų dalykų apibendrinimas, diagnostinio darbo atlikimas (kuris skatina mokinius, o ne dėstytojus nagrinėti šią temą) (6 veiksmas)
diagnostinis darbas.
Testas(uždėkite raktus testo gale).
Užduoties parinktys: kaip laipsnį pateikti koeficientą x 15: x 3; kaip galią pavaizduokite sandaugą (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; kuriai m yra lygybė a 16 a m = a 32 tiesa; raskite išraiškos reikšmę h 0: h 2 su h = 0,2; apskaičiuokite reiškinio reikšmę (5 2 5 0) : 5 2 .
Pamokos santrauka. Atspindys. Klasę skirstau į dvi grupes.
Raskite I grupės argumentus: laipsnio savybių žinojimo naudai, o II grupės - argumentus, kurie sakys, kad galite apsieiti be savybių. Išklausome visus atsakymus, darome išvadas. Vėlesnėse pamokose galite pasiūlyti statistinius duomenis ir pavadinti rubriką „Tai netelpa į galvą!
VII. Namų darbai.
Istorijos nuoroda. Kokie skaičiai vadinami Ferma skaičiais.
P.19. #403, #408, #417
Naudotos knygos:
Laipsnių savybės, formuluotės, įrodymai, pavyzdžiai.
Nustačius skaičiaus laipsnį, logiška apie tai kalbėti laipsnio savybes. Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines skaičiaus laipsnio savybes, paliesdami visus galimus rodiklius. Čia pateiksime visų laipsnio savybių įrodymus, taip pat parodysime, kaip šios savybės taikomos sprendžiant pavyzdžius.
Puslapio naršymas.
Laipsnių savybės su natūraliais rodikliais
Pagal laipsnio su natūraliuoju rodikliu apibrėžimą, laipsnis a n yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a . Remiantis šiuo apibrėžimu ir naudojant realiųjų skaičių daugybos savybės, galime gauti ir pagrįsti šiuos dalykus laipsnio savybės su natūraliuoju rodikliu:
- jei a>0 , tai a n >0 bet kuriam natūraliam n ;
- jei a=0, tai a n=0;
- jei a 2 m >0 , jei a 2 m−1 n ;
- jei m ir n yra tokie natūralūs skaičiai, kad m>n , tai 0m n ir a>0 nelygybė a m >a n yra teisinga.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a mn;
- jei n yra teigiamas sveikasis skaičius, a ir b yra teigiami skaičiai, o a n n ir a−n>b−n ;
- jei m ir n yra sveikieji skaičiai, o m>n , tai 0m n ir a>1 nelygybė a m >a n tenkinama.
Iš karto pažymime, kad visos rašytinės lygybės yra identiški nurodytomis sąlygomis, o jų dešinė ir kairė dalys gali būti keičiamos. Pavyzdžiui, pagrindinė trupmenos savybė a m a n = a m + n su posakių supaprastinimas dažnai vartojama forma a m+n = a m a n .
Dabar pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiai.
Pradėkime nuo dviejų laipsnių su vienodomis bazėmis sandaugos savybės, kuri vadinama pagrindinė laipsnio savybė: bet kuriam realiajam skaičiui a ir bet kokiems natūraliems skaičiams m ir n lygybė a m ·a n =a m+n yra teisinga.
Įrodykime pagrindinę laipsnio savybę. Pagal laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu, laipsnių sandauga su tais pačiais a m a n formos pagrindais gali būti įrašyta kaip sandauga 
. Dėl daugybos savybių gautą išraišką galima parašyti kaip 
, o ši sandauga yra laipsnio a su natūraliuoju rodikliu m+n , tai yra a m+n . Tai užbaigia įrodymą.
Pateiksime pavyzdį, patvirtinantį pagrindinę laipsnio savybę. Paimkime laipsnius su tomis pačiomis bazėmis 2 ir natūraliosiomis laipsniais 2 ir 3, pagal pagrindinę laipsnio savybę galime užrašyti lygybę 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Patikrinkime jo galiojimą, kuriam apskaičiuojame reiškinių 2 2 · 2 3 ir 2 5 reikšmes. Atlikdami eksponentiškumą, gauname 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 ir 2 5 =2 2 2 2 2=32 , kadangi gauname vienodas reikšmes, tada lygybė 2 2 2 3 = 2 5 yra tiesa, ir tai patvirtina pagrindinę laipsnio savybę.
Pagrindinę laipsnio savybę, pagrįstą daugybos savybėmis, galima apibendrinti iki trijų ar daugiau laipsnių sandauga su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais rodikliais. Taigi bet kuriam natūraliųjų skaičių n 1 , n 2 , …, n k skaičiui k yra teisinga lygybė a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Pavyzdžiui, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Galite pereiti prie kitos laipsnių savybės naudodami natūralų indikatorių - dalinių įgaliojimų su tais pačiais pagrindais nuosavybė: bet kuriam nuliui neprilygstančiam realiajam skaičiui a ir savavališkiems natūraliems skaičiams m ir n, atitinkantiems sąlygą m>n , lygybė a m:a n =a m−n yra teisinga.
Prieš pateikdami šios savybės įrodymą, aptarkime papildomų sąlygų teiginyje reikšmę. Sąlyga a≠0 reikalinga tam, kad būtų išvengta dalybos iš nulio, nes 0 n =0, o susipažinę su dalyba sutarėme, kad dalinti iš nulio neįmanoma. Sąlyga m>n įvedama tam, kad neperžengtume natūraliųjų rodiklių. Iš tiesų, m>n rodiklis a m-n yra natūralusis skaičius, kitaip jis bus arba nulis (tai atsitinka, kai m-n) arba neigiamas skaičius (kas atsitinka, kai m m-n a n =a (m-n) + n = a m Iš gautos lygybės a m−n a n = a m ir iš daugybos santykio su dalyba išplaukia, kad a m−n yra a m ir a n dalinis laipsnis Tai įrodo dalinių laipsnių su tais pačiais pagrindais savybę.
Paimkime pavyzdį. Paimkime du laipsnius su tomis pačiomis bazėmis π ir natūraliaisiais rodikliais 5 ir 2, nagrinėjamoji laipsnio savybė atitinka lygybę π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Dabar apsvarstykite produkto laipsnio savybė: bet kurių dviejų realiųjų skaičių a ir b sandaugos natūralusis laipsnis n yra lygus laipsnių a n ir b n sandaugai, tai yra (a b) n =a n b n .
Iš tiesų, pagal laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu, mes turime 
. Paskutinį sandaugą, remiantis daugybos savybėmis, galima perrašyti kaip 
, kuri lygi a n b n .
Štai pavyzdys: 
.
Ši savybė apima trijų ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnį. Tai yra, k faktorių sandaugos natūralaus laipsnio savybė n parašyta kaip (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Aiškumo dėlei šią savybę parodome pavyzdžiu. Trijų veiksnių sandaugai iki 7 laipsnio turime .
Kitas turtas yra gamtos turtas: realiųjų skaičių a ir b , b≠0 santykis su natūraliąja galia n yra lygus laipsnių a n ir b n daliniui, tai yra, (a:b) n =a n:b n .
Įrodymas gali būti atliktas naudojant ankstesnę nuosavybę. Taigi (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, o iš lygybės (a:b) n b n =a n išplaukia, kad (a:b) n yra a n ir b n koeficientas.
Parašykime šią savybę naudodami konkrečių skaičių pavyzdį: 
.
Dabar pakalbėkime eksponencijos savybė: bet kuriam realiajam skaičiui a ir bet kokiems natūraliems skaičiams m ir n laipsnio a m laipsnio n laipsnis yra lygus laipsniui a, kurio eksponentas m·n , tai yra, (a m) n =a m·n .
Pavyzdžiui, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .
Galios savybės laipsniu įrodymas yra tokia lygybių grandinė: 
.
Nagrinėjama savybė gali būti išplėsta iki laipsnio laipsnio viduje ir pan. Pavyzdžiui, bet kurių natūraliųjų skaičių p, q, r ir s lygybė 
. Kad būtų aiškiau, pateiksime pavyzdį su konkrečiais skaičiais: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Belieka pasilikti ties laipsnių palyginimo su natūraliu eksponentu ypatybėmis.
Pradedame įrodydami nulio ir galios palyginimo savybę natūraliuoju eksponentu.
Pirmiausia pateisinkime, kad a n >0 bet kuriam a>0 .
Dviejų teigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius, kaip matyti iš daugybos apibrėžimo. Šis faktas ir daugybos savybės leidžia teigti, kad bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas taip pat bus teigiamas skaičius. O laipsnis a su natūraliuoju rodikliu n pagal apibrėžimą yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Šie argumentai leidžia teigti, kad bet kuriai teigiamai bazei a n laipsnis yra teigiamas skaičius. Pagal įrodytą savybę 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 ir 
.
Visiškai akivaizdu, kad bet kurio natūraliojo n, kurio a=0, a n laipsnis yra lygus nuliui. Iš tiesų, 0 n =0·0·…·0=0 . Pavyzdžiui, 0 3 = 0 ir 0 762 = 0 .
Pereikime prie neigiamų pagrindų.
Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis skaičius, pažymėkite jį kaip 2 m , kur m yra natūralusis skaičius. Tada 
. Pagal neigiamų skaičių daugybos taisyklę kiekvienas iš a a formos sandaugų yra lygus skaičių a ir a modulių sandaugai, o tai reiškia, kad tai yra teigiamas skaičius. Todėl produktas taip pat bus teigiamas. 
ir laipsnis a 2 m . Štai pavyzdžiai: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ir .
Galiausiai, kai a bazė yra neigiamas skaičius, o eksponentas yra nelyginis skaičius 2 m−1, tada 
. Visi sandaugai a·a yra teigiami skaičiai, šių teigiamų skaičių sandauga taip pat yra teigiama, o padauginus iš likusio neigiamo skaičiaus a gaunamas neigiamas skaičius. Dėl šios savybės (−5) 3 17 n n yra n tikrosios nelygybės a kairiosios ir dešiniosios dalių sandauga. nelygybių savybes, įrodoma nelygybė yra a n n formos. Pavyzdžiui, dėl šios savybės nelygybės 3 7 7 ir 
.
Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų galių savybių su natūraliais rodikliais. Suformuluokime. Iš dviejų laipsnių su natūraliais rodikliais ir tomis pačiomis teigiamomis bazėmis, mažesniu už vieną, laipsnis yra didesnis, kurio rodiklis yra mažesnis; o dviejų laipsnių, kurių natūralūs rodikliai ir tie patys pagrindai yra didesni už vieną, laipsnis, kurio rodiklis yra didesnis, yra didesnis. Mes kreipiamės į šio turto įrodymą.
Įrodykime, kad esant m>n ir 0m n . Norėdami tai padaryti, parašome skirtumą a m − a n ir palyginame jį su nuliu. Rašytinis skirtumas, išėmus n iš skliaustų, bus a n ·(a m−n −1) . Gauta sandauga yra neigiama kaip teigiamo skaičiaus a n ir neigiamo skaičiaus a m−n −1 sandauga (a n yra teigiama kaip natūrali teigiamo skaičiaus laipsnė, o skirtumas a m−n −1 yra neigiamas, nes m−n >0 dėl pradinės sąlygos m>n , iš kur išplaukia, kad 0m−n jis yra mažesnis už vieną). Todėl a m − a n m n , kurį reikėjo įrodyti. Pavyzdžiui, pateikiame teisingą nelygybę.
Belieka įrodyti antrąją turto dalį. Įrodykime, kad m>n ir a>1 atveju a m >a n yra teisinga. Skirtumas a m −a n išėmus n iš skliaustų įgauna formą a n ·(a m−n −1) . Ši sandauga yra teigiama, nes esant a>1, a n laipsnis yra teigiamas skaičius, o skirtumas a m-n -1 yra teigiamas skaičius, nes m-n>0 dėl pradinės sąlygos, o esant a>1, a m−n laipsnis yra didesnis už vieną . Todėl a m − a n >0 ir a m >a n , kurį reikėjo įrodyti. Šią savybę iliustruoja nelygybė 3 7 >3 2 .
Laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybės
Kadangi teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai, visos laipsnių, turinčių teigiamus sveikųjų skaičių rodiklius, savybės tiksliai sutampa su laipsnių savybėmis su natūraliaisiais rodikliais, išvardytomis ir įrodytomis ankstesnėje pastraipoje.
Mes apibrėžėme laipsnį su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu, taip pat laipsnį su nuliniu rodikliu, kad visos laipsnių savybės su natūraliaisiais rodikliais, išreikštos lygybėmis, išliktų galioti. Todėl visos šios savybės galioja ir nuliniams, ir neigiamiems rodikliams, tuo tarpu, žinoma, laipsnių bazės yra nulinės.
Taigi, bet kokiems realiems ir nenuliniams skaičiams a ir b, taip pat bet kokiems sveikiesiems skaičiams m ir n yra teisinga laipsnių savybės su sveikaisiais rodikliais:
Jei a = 0, laipsniai a m ir a n turi prasmę tik tada, kai ir m, ir n yra teigiami sveikieji skaičiai, tai yra natūralūs skaičiai. Taigi ką tik parašytos savybės galioja ir tais atvejais, kai a=0, o skaičiai m ir n yra teigiami sveikieji skaičiai.
Įrodyti kiekvieną iš šių savybių nėra sunku, tam pakanka naudoti laipsnio apibrėžimus su natūraliuoju ir sveikuoju rodikliu, taip pat veiksmų su realiaisiais skaičiais savybes. Pavyzdžiui, įrodykime, kad galios savybė galioja ir teigiamiems, ir neteigiamiems sveikiesiems skaičiams. Norėdami tai padaryti, turime parodyti, kad jei p yra nulis arba natūralusis skaičius, o q yra nulis arba natūralusis skaičius, tai lygybės (a p) q =a p q , (a -p) q =a (-p) q , (a p ) −q =a p (−q) ir (a −p) −q =a (−p) (−q) . Padarykime tai.
Teigiamiesiems p ir q lygybė (a p) q =a p·q buvo įrodyta ankstesniame poskyryje. Jei p=0, tai turime (a 0) q =1 q =1 ir a 0 q =a 0 =1, iš kur (a 0) q =a 0 q . Panašiai, jei q=0, tai (a p) 0 =1 ir a p 0 =a 0 =1, iš kur (a p) 0 =a p 0 . Jei ir p=0, ir q=0, tai (a 0) 0 =1 0 =1 ir a 0 0 =a 0 =1, iš kur (a 0) 0 =a 0 0.
Dabar įrodykime, kad (a −p) q =a (−p) q . Pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu sveikojo skaičiaus eksponentu , tada 
. Pagal laipsnio koeficiento savybę turime 
. Kadangi 1 p =1·1·…·1=1 ir , tada . Paskutinė išraiška pagal apibrėžimą yra a −(p q) formos laipsnis, kuris, remiantis daugybos taisyklėmis, gali būti parašytas kaip (−p) q .
Panašiai 
.
Ir 
.
Tuo pačiu principu visas kitas laipsnio savybes galite įrodyti sveikuoju rodikliu, parašytu lygybių forma.
Priešpaskutinėje iš užrašytų savybių verta pasilikti ties nelygybės a −n >b −n įrodymu, kuris yra teisingas bet kuriam neigiamam sveikajam skaičiui −n ir bet kuriam teigiamam a ir b, kuriam taikoma sąlyga a. . Rašome ir transformuojame skirtumą tarp kairės ir dešinės šios nelygybės dalių: 
. Kadangi pagal sąlygą a n n , todėl b n − a n >0 . Produktas a n ·b n taip pat yra teigiamas kaip teigiamų skaičių a n ir b n sandauga. Tada gauta trupmena yra teigiama kaip teigiamų skaičių b n − a n ir a n b n koeficientas. Vadinasi, iš kur a −n >b −n , kurį reikėjo įrodyti.
Paskutinė laipsnių savybė su sveikaisiais rodikliais įrodoma taip pat, kaip ir analogiška laipsnių savybė su natūraliaisiais rodikliais.
Galių su racionaliais rodikliais savybės
Laipsnį apibrėžėme trupmeniniu rodikliu, išplėsdami laipsnio savybes sveikuoju rodikliu. Kitaip tariant, laipsniai su trupmeniniais rodikliais turi tokias pačias savybes kaip ir laipsniai su sveikaisiais rodikliais. Būtent:
- galių sandaugos su ta pačia baze savybė
jei a>0 , o jei ir , tai jei a≥0 ; - dalinių galių nuosavybė su tais pačiais pagrindais
jei a>0; - trupmeninio produkto savybė
jei a>0 ir b>0 , o jei ir , tada a≥0 ir (arba) b≥0 ; - koeficiento savybė į trupmeninę laipsnį
jei a>0 ir b>0 , o jei , tai a≥0 ir b>0 ; - laipsnio savybė laipsnyje
jei a>0 , o jei ir , tai jei a≥0 ; - ypatybė lyginti laipsnius su vienodais racionaliais rodikliais: bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b, a 0 galioja nelygybė a p p, o p p >b p ;
- ypatybė lyginti laipsnius su racionaliaisiais rodikliais ir lygiomis bazėmis: racionaliesiems skaičiams p ir q p>q, kai 0p q, o a>0 – nelygybė a p >a q .
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p-q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b , a 0 galioja nelygybė a p p, o p p >b p ;
- iracionaliesiems skaičiams p ir q , p>q 0p q , o a>0 nelygybė a p >a q .
Laipsnių savybių su trupmeniniais rodikliais įrodymas grindžiamas laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimu, n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies savybėmis ir laipsnio su sveikuoju rodikliu savybėmis. Pateikime įrodymą.
Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu ir , Tada 
. Aritmetinės šaknies savybės leidžia parašyti tokias lygybes. Be to, naudojant laipsnio savybę su sveikuoju rodikliu, gauname , iš kur pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu gauname 
, o gauto laipsnio eksponentą galima paversti taip: . Tai užbaigia įrodymą.
Antroji laipsnių su trupmeniniais rodikliais savybė įrodoma lygiai taip pat: 
Likusios lygybės įrodomos panašiais principais: 
Kreipiamės į kito turto įrodymą. Įrodykime, kad bet kurio teigiamo a ir b atveju a 0 galioja nelygybė a p p, o p p >b p . Racionalųjį skaičių p rašome kaip m/n , kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Sąlygos p 0 šiuo atveju bus atitinkamai lygiavertės sąlygoms m 0. Jei m>0 ir esu m . Iš šios nelygybės pagal šaknų savybę turime , o kadangi a ir b yra teigiami skaičiai, tai remiantis laipsnio apibrėžimu su trupmeniniu rodikliu, gautą nelygybę galima perrašyti kaip , tai yra a p p .
Panašiai, kai m m >b m , iš kur , tai yra, ir a p >b p .
Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų savybių. Įrodykime, kad racionaliesiems skaičiams p ir q p>q, kai 0p q , o a>0 nelygybė a p >a q . Racionalius skaičius p ir q visada galime sumažinti iki bendro vardiklio, gaukime paprastąsias trupmenas ir , kur m 1 ir m 2 yra sveikieji skaičiai, o n yra natūralusis skaičius. Šiuo atveju sąlyga p>q atitiks sąlygą m 1 >m 2, kuri išplaukia iš paprastųjų trupmenų su tais pačiais vardikliais palyginimo taisyklės. Tada, lyginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais rodikliais, 0m 1 m 2 ir a>1 nelygybė a m 1 >a m 2 . Šios šaknų savybių nelygybės gali būti atitinkamai perrašytos kaip 
ir 
. O laipsnio apibrėžimas su racionaliuoju rodikliu leidžia pereiti prie nelygybių ir atitinkamai. Iš čia darome galutinę išvadą: p>q ir 0p q, o a>0 atveju nelygybė a p >a q .
Laipsnių su neracionaliais rodikliais savybės
Iš to, kaip apibrėžiamas laipsnis su neracionaliuoju rodikliu, galime daryti išvadą, kad jis turi visas laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes. Taigi bet kokiems a>0, b>0 ir neracionaliesiems skaičiams p ir q yra teisingi šie dalykai laipsnių savybės su neracionaliais rodikliais:
Iš to galime daryti išvadą, kad laipsniai su bet kuriais realiaisiais eksponentais p ir q, kai a>0 turi tas pačias savybes.
- Algebra – 10 klasė. Trigonometrinės lygtys Pamoka ir pristatymas tema: „Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas“ Papildoma medžiaga Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo pastabų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visos medžiagos […]
- Paskelbtas konkursas „PARDAVĖJAS – KONSULTANTAS“ pareigoms užimti: Pareigos: prekyba mobiliaisiais telefonais ir mobiliojo ryšio paslaugų priedais „Beeline“, „Tele2“, MTS abonentams „Beeline“ ir „Tele2“, MTS tarifų planų ir paslaugų prijungimas […]
- Lygiagretainis, kurio formulė A gretasienis yra daugiakampis, turintis 6 paviršius, kurių kiekvienas yra lygiagretainis. Stačiakampis yra stačiakampis, kurio kiekvienas veidas yra stačiakampis. Bet kuris gretasienis pasižymi 3 […]
- Vartotojų teisių gynimo draugija Astana Norėdami gauti PIN kodą, kad galėtumėte pasiekti šį dokumentą mūsų svetainėje, išsiųskite SMS žinutę su tekstu zan numeriu GSM operatorių (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) abonentai. siųsdami SMS į kambarį, […]
- RAŠyba Н IR НН SKIRTINGOSE KALBOS DALYJE 2. Įvardykite šių taisyklių išimtis. 3. Kaip atskirti žodinį būdvardį su priesaga -n- nuo dalyvio su […]
- Priimti Giminės sodybų įstatymą Priimti federalinį įstatymą dėl neatlygintino žemės sklypo suteikimo kiekvienam Rusijos Federacijos piliečiui ar piliečių šeimai, norinčiai joje įkurti giminės sodybą tokiomis sąlygomis: 1. Žemė yra skirta […]
- BRIANSK REGIONO GOSTEKHNADZORO PATIKRINIMAS Valstybės rinkliavos mokėjimo kvitas (Atsisiųsti-12,2 kb) Prašymai įregistruoti fizinius asmenis (Atsisiųsti-12 kb) Prašymai įregistruoti juridinius asmenis (Atsisiųsti-11,4 kb) 1. Registruojant naują automobilį: 1.prašymas 2.pasas […]
- Jau seniai nežaidėme 1x1 turnyrų. Ir laikas atnaujinti šią tradiciją. Kol negalėsime organizuoti atskirų kopėčių ir turnyrų 1v1 žaidėjams, siūlome naudoti savo komandos profilius svetainėje. Atimkite arba pridėkite taškus už žaidimus rungtynėse [...]
Anksčiau mes jau kalbėjome apie tai, kas yra skaičiaus galia. Jis turi tam tikrų savybių, kurios yra naudingos sprendžiant problemas: būtent šiuos ir visus galimus rodiklius mes analizuosime šiame straipsnyje. Taip pat pavyzdžiais parodysime, kaip juos galima įrodyti ir teisingai pritaikyti praktikoje.
Prisiminkime laipsnio su natūraliuoju rodikliu sąvoką, kurią jau suformulavome anksčiau: tai yra n-ojo veiksnių skaičiaus sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Taip pat turime prisiminti, kaip teisingai padauginti realiuosius skaičius. Visa tai padės mums suformuluoti šias laipsnio savybes su natūraliu rodikliu:
1 apibrėžimas
1. Pagrindinė laipsnio savybė: a m a n = a m + n
Galima apibendrinti į: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Laipsnių, turinčių tą patį pagrindą, koeficiento savybė: a m: a n = a m − n
3. Produkto laipsnio savybė: (a b) n = a n b n
Lygybę galima išplėsti iki: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
4. Natūralaus laipsnio savybė: (a: b) n = a n: b n
5. Galią pakeliame į laipsnį: (a m) n = a m n ,
Galima apibendrinti taip: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k
6. Palyginkite laipsnį su nuliu:
- jei a > 0, tai bet kurio natūraliojo n atveju a n bus didesnis už nulį;
- kai a lygus 0, a n taip pat bus lygus nuliui;
- dėl< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- dėl< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Lygybė a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Nelygybė a m > a n bus teisinga, jei m ir n yra natūralieji skaičiai, m yra didesnis už n, o a yra didesnis už nulį ir ne mažesnis už vienetą.
Dėl to gavome keletą lygybių; jei įvykdysite visas aukščiau nurodytas sąlygas, jos bus identiškos. Kiekvienai lygybei, pavyzdžiui, pagrindinei savybei, galite sukeisti dešinę ir kairę dalis: a m · a n = a m + n - tas pats, kas a m + n = a m · a n . Šioje formoje jis dažnai naudojamas supaprastinant išraiškas.
1. Pradėkime nuo pagrindinės laipsnio savybės: lygybė a m · a n = a m + n bus teisinga bet kuriam natūraliajam m ir n ir realiajam a . Kaip įrodyti šį teiginį?
Pagrindinis galių apibrėžimas su natūraliais rodikliais leis lygybę paversti veiksnių sandauga. Gausime tokį įrašą:
Tai gali būti sutrumpinta iki 
(prisiminkime pagrindines daugybos savybes). Dėl to gavome skaičiaus a laipsnį su natūraliuoju rodikliu m + n. Taigi, a m + n , o tai reiškia, kad pagrindinė laipsnio savybė yra įrodyta.
Norėdami tai įrodyti, paimkime konkretų pavyzdį.
1 pavyzdys
Taigi mes turime dvi galias su 2 baze. Jų natūralūs rodikliai yra atitinkamai 2 ir 3. Gavome lygybę: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Apskaičiuokime reikšmes, kad patikrintume šios lygybės teisingumą.
Atlikime reikiamus matematinius veiksmus: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ir 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32
Dėl to gavome: 2 2 2 3 = 2 5 . Turtas įrodytas.
Dėl daugybos savybių galime apibendrinti savybę suformuluodami ją trijų ar daugiau laipsnių forma, kurių rodikliai yra natūralieji skaičiai, o bazės yra vienodos. Jei natūraliųjų skaičių skaičių n 1, n 2 ir tt pažymėsime raide k, gausime teisingą lygybę:
a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2 pavyzdys
2. Toliau turime įrodyti šią savybę, kuri vadinama koeficiento savybe ir būdinga laipsniams su tais pačiais pagrindais: tai lygybė a m: a n = a m − n , kuri galioja bet kokiam natūraliam m ir n (ir m yra didesnis nei n)) ir bet koks nulinis realusis a .
Pirmiausia paaiškinkime, ką tiksliai reiškia formuluotėje nurodytos sąlygos. Jei imsime lygų nuliui, tai galų gale gausime padalijimą iš nulio, ko negalima padaryti (juk 0 n = 0). Sąlyga, kad skaičius m turi būti didesnis už n, būtina tam, kad galėtume likti natūraliųjų rodiklių ribose: iš m atėmę n, gauname natūralųjį skaičių. Jei sąlyga nebus įvykdyta, gausime neigiamą skaičių arba nulį ir vėl peržengsime laipsnių tyrimą su natūraliais rodikliais.
Dabar galime pereiti prie įrodymo. Iš anksčiau ištirtų primename pagrindines trupmenų savybes ir formuluojame lygybę taip:
a m − n a n = a (m − n) + n = a m
Iš jo galime daryti išvadą: a m − n a n = a m
Prisiminkite ryšį tarp dalybos ir daugybos. Iš to išplaukia, kad a m − n yra laipsnių a m ir a n koeficientas. Tai yra antrojo laipsnio nuosavybės įrodymas.
3 pavyzdys
Kad būtų aiškumo rodikliuose, pakeiskite konkrečius skaičius ir pažymėkite laipsnio pagrindą π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Toliau analizuosime sandaugos laipsnio savybę: (a · b) n = a n · b n bet kokiam realiajam a ir b ir natūraliajam n .
Pagal pagrindinį laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu lygybę galime formuluoti taip:
Prisimindami daugybos savybes, rašome: 
. Tai reiškia tą patį, ką a n · b n .
4 pavyzdys
2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4
Jei turime tris ar daugiau faktorių, tai ši savybė galioja ir šiuo atveju. Įvedame faktorių skaičiaus žymėjimą k ir rašome:
(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n
5 pavyzdys
Su konkrečiais skaičiais gauname tokią teisingą lygybę: (2 (- 2 , 3) a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) 7 a
4. Po to bandysime įrodyti koeficiento savybę: (a: b) n = a n: b n bet kuriam realiajam a ir b, jei b nelygus 0, o n yra natūralusis skaičius.
Įrodymui galime naudoti ankstesnio laipsnio savybę. Jei (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n ir (a: b) n b n = a n, tai iš to išplaukia, kad (a: b) n yra a n dalijimo iš b n koeficientas.
6 pavyzdys
Suskaičiuokime pavyzdį: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
7 pavyzdys
Iš karto pradėkime nuo pavyzdžio: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6
Ir dabar mes suformuluojame lygybių grandinę, kuri mums įrodys lygybės teisingumą: 
Jei pavyzdyje turime laipsnių laipsnius, tai ši savybė galioja ir jiems. Jei turime bet kokius natūraliuosius skaičius p, q, r, s, tai bus tiesa:
a p q y s = a p q y s
8 pavyzdys
Pridėkime specifiką: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30
6. Kita laipsnių su natūraliuoju rodikliu savybė, kurią turime įrodyti, yra palyginimo savybė.
Pirmiausia palyginkime eksponentą su nuliu. Kodėl a n > 0, jei a yra didesnis už 0?
Jei vieną teigiamą skaičių padauginsime iš kito, taip pat gausime teigiamą skaičių. Žinodami šį faktą, galime teigti, kad tai nepriklauso nuo veiksnių skaičiaus – bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas yra teigiamas skaičius. O kas yra laipsnis, jei ne skaičių padauginimo rezultatas? Tada bet kokiai galiai a n su teigiama baze ir natūraliu eksponentu, tai bus tiesa.
9 pavyzdys
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 ir 34 9 13 51 > 0
Taip pat akivaizdu, kad laipsnis, kurio bazė lygi nuliui, pati yra lygi nuliui. Kad ir kokiai galiai pakeltume nulį, tokia ji ir liks.
10 pavyzdys
0 3 = 0 ir 0 762 = 0
Jei laipsnio pagrindas yra neigiamas skaičius, tada įrodymas yra šiek tiek sudėtingesnis, nes tampa svarbi lyginio / nelyginio eksponento sąvoka. Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis, ir pažymime jį 2 · m , kur m yra natūralusis skaičius.
Prisiminkime, kaip teisingai padauginti neigiamus skaičius: sandauga a · a yra lygi modulių sandaugai, todėl tai bus teigiamas skaičius. Tada 
ir laipsnis a 2 · m taip pat yra teigiami.
11 pavyzdys
Pavyzdžiui, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 ir - 2 9 6 > 0
Ką daryti, jei eksponentas su neigiama baze yra nelyginis skaičius? Pažymime jį 2 · m − 1 .
Tada 
Visi sandaugai a · a , pagal daugybos savybes, yra teigiami, taip pat ir jų sandauga. Bet jei padauginsime jį iš vienintelio likusio skaičiaus a , tada galutinis rezultatas bus neigiamas.
Tada gauname: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Kaip tai įrodyti?
a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
12 pavyzdys
Pavyzdžiui, nelygybės yra teisingos: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Mums belieka įrodyti paskutinę savybę: jei turime du laipsnius, kurių pagrindai yra vienodi ir teigiami, o rodikliai yra natūralieji skaičiai, tai vienas iš jų yra didesnis, kurio rodiklis yra mažesnis; o dviejų laipsnių, kurių natūralūs rodikliai ir tie patys pagrindai yra didesni už vieną, laipsnis, kurio rodiklis yra didesnis, yra didesnis.
Įrodykime šiuos teiginius.
Pirmiausia turime įsitikinti, kad m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Iš skliaustų išimame n, po kurio mūsų skirtumas įgaus formą a n · (am − n − 1) . Jo rezultatas bus neigiamas (nes teigiamo skaičiaus padauginimas iš neigiamo yra neigiamas). Iš tiesų, pagal pradines sąlygas m − n > 0, tada a m − n − 1 yra neigiamas, o pirmasis veiksnys yra teigiamas, kaip ir bet kuri natūrali galia, turinti teigiamą bazę.
Paaiškėjo, kad a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Belieka įrodyti antrąją aukščiau suformuluoto teiginio dalį: a m > a teisinga m > n ir a > 1 . Nurodome skirtumą ir iš skliaustų išimame n: (a m - n - 1) n laipsnis su didesniu už vienetą duos teigiamą rezultatą; o pats skirtumas taip pat bus teigiamas dėl pradinių sąlygų, o esant a > 1 laipsnis a m − n yra didesnis už vieną. Pasirodo, kad a m − a n > 0 ir a m > a n , ką mums reikėjo įrodyti.
13 pavyzdys
Pavyzdys su konkrečiais skaičiais: 3 7 > 3 2
Pagrindinės laipsnių savybės su sveikaisiais rodikliais
Laipsniams su teigiamaisiais sveikųjų skaičių rodikliais savybės bus panašios, nes teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs, o tai reiškia, kad jiems galioja ir visos aukščiau įrodytos lygybės. Jie taip pat tinka tais atvejais, kai rodikliai yra neigiami arba lygūs nuliui (su sąlyga, kad paties laipsnio bazė yra ne nulis).
Taigi laipsnių savybės yra vienodos bet kurioms bazėms a ir b (su sąlyga, kad šie skaičiai yra tikrieji ir nelygūs 0) ir bet kokiems rodikliams m ir n (su sąlyga, kad jie yra sveikieji skaičiai). Trumpai juos parašome formulių pavidalu:
2 apibrėžimas
1. a m a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a b) n = a n b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (am) n = a m n
6. a n< b n и a − n >b − n su teigiamu sveikuoju skaičiumi n , teigiamas a ir b , a< b
7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n ir 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .
Jei laipsnio bazė lygi nuliui, tada įrašai a m ir a n turi prasmę tik natūraliųjų ir teigiamų m ir n atveju. Dėl to nustatome, kad aukščiau pateiktos formuluotės taip pat tinka atvejams, kai laipsnis yra nulinis, jei tenkinamos visos kitos sąlygos.
Šių savybių įrodymai šiuo atveju yra paprasti. Turėsime prisiminti, kas yra laipsnis su natūraliuoju ir sveikuoju rodikliu, taip pat veiksmų su realiaisiais skaičiais savybes.
Išanalizuokime laipsnio savybę laipsnyje ir įrodykime, kad ji teisinga ir teigiamiems, ir neteigiamiems sveikiesiems skaičiams. Pradedame įrodydami lygybes (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) ir (a − p) − q = a (− p) (-q)
Sąlygos: p = 0 arba natūralusis skaičius; q – panašiai.
Jei p ir q reikšmės yra didesnės nei 0, tada gauname (a p) q = a p · q . Panašią lygybę jau įrodėme anksčiau. Jei p = 0, tada:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1
Todėl (a 0) q = a 0 q
Jei q = 0, viskas yra lygiai taip pat:
(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1
Rezultatas: (a p) 0 = a p 0 .
Jei abu rodikliai lygūs nuliui, tai (a 0) 0 = 1 0 = 1 ir a 0 0 = a 0 = 1, tada (a 0) 0 = a 0 0 .
Prisiminkite aukščiau įrodyto laipsnio koeficiento savybę ir parašykite:
1 a p q = 1 q a p q
Jei 1 p = 1 1 … 1 = 1 ir a p q = a p q , tai 1 q a p q = 1 a p q
Šį žymėjimą galime paversti pagal pagrindines daugybos taisykles į a (− p) · q .
Taip pat: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .
IR (a – p) – q = 1 a p – q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)
Likusias laipsnio savybes galima įrodyti panašiai transformuojant esamas nelygybes. Detaliau apie tai nesigilinsime, nurodysime tik sudėtingas vietas.
Priešpaskutinės savybės įrodymas: prisiminkite, kad a - n > b - n yra teisinga bet kuriai neigiamai sveikojo skaičiaus n reikšmėms ir bet kuriai teigiamai a ir b, jei a yra mažesnė už b .
Tada nelygybę galima transformuoti taip:
1 a n > 1 b n
Dešinę ir kairę dalis rašome kaip skirtumą ir atliekame reikiamas transformacijas:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n
Prisiminkite, kad sąlygoje a yra mažesnė už b , tada pagal laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n yra teigiamas skaičius, nes jo veiksniai yra teigiami. Dėl to gauname trupmeną b n - a n a n · b n , kuri galiausiai taip pat duoda teigiamą rezultatą. Taigi 1 a n > 1 b n iš kur a − n > b − n , ką turėjome įrodyti.
Paskutinė laipsnių savybė su sveikaisiais rodikliais įrodoma panašiai kaip ir laipsnių savybė su natūraliaisiais rodikliais.
Pagrindinės laipsnių savybės su racionaliais rodikliais
Ankstesniuose straipsniuose aptarėme, kas yra laipsnis su racionaliuoju (trupiniu) rodikliu. Jų savybės yra tokios pačios kaip laipsnių su sveikaisiais rodikliais. Parašykime:
3 apibrėžimas
1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2, kai a > 0, o jei m 1 n 1 > 0 ir m 2 n 2 > 0, tada a ≥ 0 (gaminio savybių galios su tuo pačiu pagrindu).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, jei a > 0 (dalytinė savybė).
3. a b m n = a m n b m n, kai a > 0 ir b > 0, o jei m 1 n 1 > 0 ir m 2 n 2 > 0, tada a ≥ 0 ir (arba) b ≥ 0 (produkto savybė trupmeniniu laipsniu).
4. a: b m n \u003d a m n: b m n, kai a > 0 ir b > 0, o jei m n > 0, tada a ≥ 0 ir b > 0 (dalinio į trupmeninę laipsnį savybė).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2, kai a > 0, o jei m 1 n 1 > 0 ir m 2 n 2 > 0, tada a ≥ 0 (laipsnio savybė laipsnių).
6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; jei p< 0 - a p >b p (laipsnių palyginimo su vienodais racionaliais rodikliais savybė).
7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q ties 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q
Norėdami įrodyti šias nuostatas, turime prisiminti, kas yra laipsnis su trupmeniniu rodikliu, kokios yra n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies savybės ir kokios yra laipsnio su sveikuoju rodikliu. Pažvelkime į kiekvieną nuosavybę.
Pagal tai, kas yra laipsnis su trupmeniniu rodikliu, gauname:
a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 ir a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, todėl a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2
Šaknies savybės leis mums išvesti lygybes:
a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2
Iš to gauname: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Transformuokime:
a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2
Rodiklis gali būti parašytas taip:
m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Tai yra įrodymas. Antroji savybė įrodyta lygiai taip pat. Užrašykime lygybių grandinę:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Likusios lygybės įrodymai:
a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2
Kita savybė: įrodykime, kad bet kokioms a ir b reikšmėms, didesnėms nei 0 , jei a yra mažesnė už b , bus vykdomas a p< b p , а для p больше 0 - a p >bp
Pavaizduokime racionalųjį skaičių p kaip m n . Šiuo atveju m yra sveikas skaičius, n yra natūralusis skaičius. Tada sąlygos p< 0 и p >0 bus pratęstas iki m< 0 и m >0 . Jei m > 0 ir a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Naudojame šaknų savybę ir išvedame: a m n< b m n
Atsižvelgdami į reikšmių a ir b pozityvumą, nelygybę perrašome į a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Lygiai taip pat ir už m< 0 имеем a a m >b m , gauname a m n > b m n taigi a m n > b m n ir a p > b p .
Mums belieka įrodyti paskutinę savybę. Įrodykime, kad racionaliesiems skaičiams p ir q p > q esant 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 būtų teisinga a p > a q .
Racionalius skaičius p ir q galima sumažinti iki bendro vardiklio ir gauti trupmenas m 1 n ir m 2 n
Čia m 1 ir m 2 yra sveikieji skaičiai, o n yra natūralusis skaičius. Jei p > q, tai m 1 > m 2 (atsižvelgiant į trupmenų palyginimo taisyklę). Tada 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – nelygybė a 1 m > a 2 m .
Juos galima perrašyti tokia forma:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Tada galite atlikti transformacijas ir gauti:
a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n
Apibendrinant: p > q ir 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .
Pagrindinės laipsnių savybės su neracionaliais rodikliais
Visos aukščiau aprašytos savybės, kurias turi laipsnis su racionaliais rodikliais, gali būti išplėstos iki tokio laipsnio. Tai išplaukia iš paties jo apibrėžimo, kurį pateikėme viename iš ankstesnių straipsnių. Trumpai suformuluokime šias savybes (sąlygos: a > 0, b > 0, rodikliai p ir q yra neracionalūs skaičiai):
4 apibrėžimas
1. a p a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a b) p = a p b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p q
6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp
7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 , tada a p > a q .
Taigi visi laipsniai, kurių rodikliai p ir q yra realieji skaičiai, su sąlyga, kad a > 0, turi tas pačias savybes.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:
Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų sukeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.
Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose.
Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
visasįvardijame natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su ženklu "") ir skaičių.
teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.
Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.
Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:
Kaip visada, klausiame savęs: kodėl taip yra?
Apsvarstykite tam tikrą galią su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:
Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, įjungti. Reiškia.
Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:
Pakartokime taisyklę:
Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.
Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).
Viena vertus, jis turi būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius iki nulio laipsnio, jis turi būti lygus. Taigi kokia čia tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti jį iki nulinės galios.
Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima ir neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiamas laipsnis, darykime taip pat, kaip ir praeitą kartą: kokį nors normalų skaičių padauginame iš to paties neigiamo laipsnio:
Iš čia jau lengva išreikšti norimą:
Dabar išplečiame gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:
Taigi, suformuluokime taisyklę:
Skaičius neigiamam laipsniui yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes padalyti neįmanoma).
Apibendrinkime:
I. Išraiška neapibrėžiama atveju. Jei tada.
II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .
III. Skaičius, kuris nėra lygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Na, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:
Savarankiško sprendimo užduočių analizė:
Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko išspręsti, ir išmoksite, kaip lengvai su jais susidoroti egzamine!
Toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.
Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?
Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.
Norėdami suprasti, kas yra "dalinis laipsnis" Panagrinėkime trupmeną:
Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:
Dabar prisimink taisyklę "laipsnis į laipsnį":
Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?
Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.
Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.
Tai yra, th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija: .
Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima pratęsti: .
Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą nesunku gauti taikant energijos tiekimo taisyklę:
Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.
Nė vienas!
Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išskirti lyginio laipsnio šaknų!
O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.
O išraiška?
Bet čia iškyla problema.
Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, sumažintos trupmenos, pavyzdžiui, arba.
Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, ir tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.
Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet kai tik užrašome rodiklį kitaip, vėl susiduriame su bėdomis: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).
Kad išvengtumėte tokių paradoksų, apsvarstykite tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.
Taigi, jei:
- - natūralusis skaičius;
- yra sveikasis skaičius;
Pavyzdžiai:
Laipsniai su racionaliuoju rodikliu yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:
5 praktikos pavyzdžiai
5 mokymo pavyzdžių analizė
1. Nepamirškite apie įprastas laipsnių savybes:
2. . Čia primename, kad pamiršome išmokti laipsnių lentelę:
juk – tai arba. Sprendimas randamas automatiškai: .
Na, o dabar – sunkiausia. Dabar analizuosime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.
Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnių su racionaliuoju rodikliu, išskyrus
Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (ty neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.
Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;
...nulinė galia- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „paruošimas skaičius“, būtent skaičius;
...neigiamas sveikasis rodiklis- tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.
Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius.
Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
Sprendimų analizė:
1. Pradėkime nuo jau įprastos laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklės:
Dabar pažiūrėkite į rezultatą. Ar jis tau ką nors primena? Primename kvadratų skirtumo sutrumpinto dauginimo formulę:
Tokiu atveju,
Paaiškėjo, kad:
Atsakymas: .
2. Rodiklio trupmenas sudarome ta pačia forma: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Mes gauname, pavyzdžiui:
Atsakymas: 16
3. Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:
PAŽEIDĖJANTIS LYGIS
Laipsnio apibrėžimas
Laipsnis yra formos išraiška: , kur:
- — laipsnio pagrindas;
- - eksponentas.
Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3,...)
Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:
Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)
Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:
erekcija iki nulinės galios:
Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet koks laipsnis yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki th laipsnio yra tai.
Jei eksponentas yra sveikasis skaičius neigiamas numeris:
(nes padalyti neįmanoma).
Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.
Pavyzdžiai:
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu
- - natūralusis skaičius;
- yra sveikasis skaičius;
Pavyzdžiai:
Laipsnio savybės
Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.
Pažiūrėkime: kas yra ir?
Pagal apibrėžimą:
Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gaunamas šis produktas:
Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, ty:
Q.E.D.
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : .
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tą patį pagrindą. Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:
Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių produktams!
Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.
Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:
Pertvarkykime taip:
Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus --oji galia:
Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:!
Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai netiesa, tikrai.
Galia su neigiama baze.
Iki šiol aptarėme tik tai, kas turėtų būti indeksas laipsnį. Bet kas turėtų būti pagrindas? Laipsniais nuo natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .
Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai. Pagalvokime, kokie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?
Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ?
Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.
Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.
Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galite suformuluoti šias paprastas taisykles:
- net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
- Nulis bet kokiai galiai yra lygus nuliui.
Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Ar susitvarkei? Štai atsakymai:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.
5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).
6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.
Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:
Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir suskirstome juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:
Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.
Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:
Sprendimai :
Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!
Mes gauname:
Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų pakeisti, būtų galima taikyti 3 taisyklę. Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar atrodo taip:
Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose. Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu! Jo negalima pakeisti pakeitus tik vieną mums nepriimtiną minusą!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
Taigi dabar paskutinė taisyklė:
Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:
Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: iš viso pasirodė daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu:
Pavyzdys:
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio paruošimas“, būtent skaičius; laipsnis su neigiamu sveikuoju skaičiumi - tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.
Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.
Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
| 1) | 2) | 3) |
Atsakymai:
- Prisiminkite kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
- Trupmenas sudarome į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
- Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:
SKYRIAUS SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ
Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:
Laipsnis su sveikuoju rodikliu
laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).
Laipsnis su racionaliuoju rodikliu
laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
rodiklis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.
Laipsnio savybės
Laipsnių ypatumai.
- Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
- Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
- Bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.
DABAR TURI ŽODĮ...
Kaip jums patinka straipsnis? Leiskite man žinoti toliau pateiktuose komentaruose, ar jums tai patiko, ar ne.
Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su galios savybėmis.
Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.
Rašyk komentaruose.
Ir sėkmės egzaminuose!
Viena iš pagrindinių algebros ir visos matematikos savybių yra laipsnis. Žinoma, XXI amžiuje visus skaičiavimus galima atlikti naudojant internetinį skaičiuotuvą, tačiau geriau išmokti tai padaryti patiems smegenų vystymuisi.
Šiame straipsnyje apžvelgsime svarbiausius su šiuo apibrėžimu susijusius klausimus. Būtent, mes suprasime, kas tai apskritai yra ir kokios yra pagrindinės jo funkcijos, kokios savybės egzistuoja matematikoje.
Pažiūrėkime į pavyzdžius, kaip atrodo skaičiavimas, kokios yra pagrindinės formulės. Išanalizuosime pagrindinius dydžių tipus ir kuo jie skiriasi nuo kitų funkcijų.
Suprasime, kaip naudojant šią reikšmę išspręsti įvairias problemas. Pavyzdžiais parodysime, kaip pakelti iki nulio laipsnio, neracionalu, neigiama ir pan.
Internetinė eksponencijos skaičiuoklė
Koks yra skaičiaus laipsnis
Ką reiškia posakis „pakelti skaičių iki laipsnio“?
Skaičiaus a laipsnis n yra a dydžio veiksnių sandauga n kartų iš eilės.
Matematiškai tai atrodo taip:
a n = a * a * a * …a n .
Pavyzdžiui:
- 2 3 = 2 trečiame žingsnyje. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 žingsniu. du = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 žingsniu. keturi = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 5 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000;
- 10 4 \u003d 10 4 žingsniais. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10 000.
Žemiau yra kvadratų ir kubelių nuo 1 iki 10 lentelė.
Laipsnių lentelė nuo 1 iki 10
Žemiau pateikiami natūraliųjų skaičių pakėlimo į teigiamus laipsnius – „nuo 1 iki 100“ – rezultatai.
| Ch-lo | 2 klasė | 3 klasė |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Laipsnio savybės
Kas būdinga tokiai matematinei funkcijai? Pažvelkime į pagrindines savybes.
Mokslininkai nustatė šiuos dalykus Visiems laipsniams būdingi ženklai:
- a n * a m = (a) (n+m) ;
- a n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
Patikrinkime su pavyzdžiais:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Kita vertus, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Panašiai: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Kitu atveju 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. O jei skiriasi? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Kaip matote, taisyklės veikia.
Bet kaip būti su pridėjimu ir atėmimu? Viskas paprasta. Pirmiausia atliekama eksponencija, o tik tada sudėjimas ir atėmimas.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
Tačiau šiuo atveju pirmiausia turite apskaičiuoti priedą, nes skliausteliuose yra veiksmų: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Kaip gaminti skaičiavimai sudėtingesniais atvejais? Tvarka ta pati:
- jei yra skliaustų, reikia pradėti nuo jų;
- tada eksponencija;
- tada atlikti daugybos, dalybos operacijas;
- po sudėjimo, atimties.
Yra specifinių savybių, kurios būdingos ne visiems laipsniams:
- N-ojo laipsnio šaknis nuo skaičiaus a iki laipsnio m bus parašyta taip: a m / n .
- Keliant trupmeną į laipsnį: ši procedūra taikoma ir skaitikliui, ir jo vardikliui.
- Keliant skirtingų skaičių sandaugą į laipsnį, išraiška atitiks šių skaičių sandaugą su duotuoju laipsniu. Tai yra: (a * b) n = a n * b n .
- Didinant skaičių iki neigiamo laipsnio, 1 reikia padalyti iš skaičiaus, turinčio tą pačią laipsnį, bet su „+“ ženklu.
- Jei trupmenos vardiklis yra neigiamo laipsnio, tai ši išraiška bus lygi skaitiklio ir vardiklio sandaugai teigiamoje laipsnėje.
- Bet koks skaičius, kurio laipsnis 0 = 1, ir žingsnis. 1 = sau.
Šios taisyklės yra svarbios atskirais atvejais, toliau jas panagrinėsime plačiau.
Laipsnis su neigiamu rodikliu
Ką daryti su neigiamu laipsniu, tai yra, kai rodiklis yra neigiamas?
Remiantis 4 ir 5 savybėmis(žr. aukščiau esantį punktą) paaiškėja:
A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
Ir atvirkščiai:
1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.
O jei tai trupmena?
(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.
Laipsnis su natūraliu rodikliu
Jis suprantamas kaip laipsnis, kurio rodikliai lygūs sveikiesiems skaičiams.
Ką reikia atsiminti:
A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...ir t.t.
A1 = A, 11 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ir tt
Be to, jei (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… tada rezultatas bus su „+“ ženklu. Jei neigiamas skaičius padidinamas iki nelyginio laipsnio, tada atvirkščiai.
Jiems būdingos ir bendrosios savybės bei visos aukščiau aprašytos specifinės savybės.
Trupmeninis laipsnis
Šį vaizdą galima parašyti kaip schemą: A m / n. Jis skaitomas taip: skaičiaus A n-ojo laipsnio šaknis iki laipsnio m.
Su trupmeniniu indikatoriumi galite padaryti bet ką: sumažinti, suskaidyti į dalis, pakelti iki kito laipsnio ir pan.
Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu
Tegu α yra neracionalusis skaičius, o А ˃ 0.
Norėdami suprasti laipsnio esmę naudojant tokį rodiklį, Pažvelkime į įvairius galimus atvejus:
- A \u003d 1. Rezultatas bus lygus 1. Kadangi yra aksioma - 1 yra lygus vienetui visomis laipsniais;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 yra racionalieji skaičiai;
- 0˂А˂1.
Šiuo atveju atvirkščiai: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 tomis pačiomis sąlygomis kaip ir antroje pastraipoje.
Pavyzdžiui, eksponentas yra skaičius π. Tai racionalu.
r 1 - šiuo atveju jis lygus 3;
r 2 - bus lygus 4.
Tada, jei A = 1, 1 π = 1.
A = 2, tada 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, tada (½) 4˂ (½) π˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π˂ 1/8.
Tokiems laipsniams būdingi visi aukščiau aprašyti matematiniai veiksmai ir specifinės savybės.
Išvada
Apibendrinkime – kam šios reikšmės, kokie tokių funkcijų pranašumai? Žinoma, pirmiausia jie supaprastina matematikų ir programuotojų gyvenimą sprendžiant pavyzdžius, nes leidžia sumažinti skaičiavimus, sumažinti algoritmus, sisteminti duomenis ir daug daugiau.
Kur dar šios žinios gali būti naudingos? Bet kurioje darbo specialybėje: medicina, farmakologija, odontologija, statyba, technologija, inžinerija, dizainas ir kt.
