Kvadratinis ur. Kvadratinės lygtys. Išsamų kvadratinių lygčių sprendimas. Sumažintos ir nesumažintos kvadratinės lygtys

Tikiuosi, išstudijavę šį straipsnį, sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.

Diskriminanto pagalba sprendžiamos tik pilnos kvadratinės lygtys, nepilnoms kvadratinėms lygtims išspręsti naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nebaigtų kvadratinių lygčių sprendimas“.

Kokios kvadratinės lygtys vadinamos baigtinėmis? tai formos ax 2 + b x + c \u003d 0 lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norint išspręsti visą kvadratinę lygtį, reikia apskaičiuoti diskriminantą D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Atsižvelgdami į tai, kokią vertę turi diskriminantas, mes užrašysime atsakymą.

Jei diskriminantas yra neigiamas (D< 0),то корней нет.

Jei diskriminantas lygus nuliui, tada x \u003d (-b) / 2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D\u003e 0),

tada x 1 \u003d (-b - √D) / 2a ir x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Atsakymas: 2.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Atsakymas: nėra šaknų.

Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Atsakymas: - 3,5; vienas.

Taigi, pavaizduokime visų kvadratinių lygčių sprendimą pagal 1 paveiksle pateiktą schemą.

Bet kurią pilną kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant šias formules. Jūs tiesiog turite būti atsargūs, kad tai užtikrintumėte lygtis buvo parašyta kaip standartinis daugianaris

a x 2 + bx + c, kitaip galite suklysti. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 \u003d 0, galite tai klaidingai nuspręsti

a \u003d 1, b \u003d 3 ir c \u003d 2. Tada

D \u003d 3 2 - 4 · 1,2 · 1 \u003d tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. Pirmiau pateiktą 2 pavyzdžio sprendimą).

Todėl, jei lygtis nerašoma kaip standartinės formos polinomas, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos polinomas (visų pirma turėtų būti monomialas su didžiausiu rodikliu, a x 2 , tada su mažiau – bxo paskui laisvas narys nuo.

Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su tolygiu koeficientu antroje kadencijoje, taip pat galima naudoti kitas formules. Pažinkime ir šias formules. Jei visoje kvadratinėje lygtyje su antruoju terminu koeficientas yra lyginis (b \u003d 2k), tada lygtį galima išspręsti naudojant 2 paveiksle pateiktoje diagramoje pateiktas formules.

Visa kvadratinė lygtis vadinama sumažinta, jei koeficientas yra x 2 yra lygus vienam ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q \u003d 0... Tokia lygtis gali būti pateikta sprendimui, arba ji gaunama padalijus visus lygties koeficientus iš koeficiento astovėdamas x 2 .

3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema
lygtis. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptariamų formulių taikymo pavyzdį.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Išspręskime šią lygtį taikydami 1 paveiksle pateiktoje diagramoje pateiktas formules.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1 - √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3

Galima pažymėti, kad x koeficientas šioje lygtyje yra lyginis skaičius, tai yra, b \u003d 6 arba b \u003d 2k, iš kur k \u003d 3. Tada bandysime išspręsti lygtį formulėmis, parodytomis diagramoje D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3... Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikdami dalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x - 2 \u003d 0. Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadrato formules
lygties 3 pav.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Atsakymas: -1 - √3; –1 + √3.

Kaip matote, spręsdami šią lygtį naudodami skirtingas formules, gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveiksle pateiktoje diagramoje pateiktas formules, visada galite išspręsti bet kokią kvadratinę lygtį.

svetainėje, visiškai ar iš dalies kopijuojant medžiagą, būtina pateikti nuorodą į šaltinį.

Mes ir toliau studijuojame temą „ sprendžiant lygtis". Mes jau sutikome tiesines lygtis ir einame toliau susipažinti kvadratinės lygtys.

Pirmiausia išanalizuosime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji parašyta bendra forma, ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to, naudodamiesi pavyzdžiais, mes išsamiai išanalizuosime, kaip sprendžiamos neišsamios kvadratinės lygtys. Tada pereiname prie visų lygčių sprendimo, gauname šaknų formulę, susipažįstame su kvadratinės lygties diskriminantu ir apsvarstome tipiškų pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekime šaknų ir koeficientų santykį.

Puslapio naršymas.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų tipai

Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti kalbėti apie kvadratines lygtis su kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su ja susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: sumažintas ir nesumažintas, taip pat visas ir neišsamus lygtis.

Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis Ar formos lygtis a x 2 + b x + c \u003d 0 , kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a yra nulis.

Sakykime iškart, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra todėl, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Nuskambėjęs apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžius. Taigi 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0 ir kt. Ar kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai vadinami a, b ir c kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c \u003d 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju arba didžiausiu, arba koeficientas ties x 2, b yra antrasis koeficientas arba koeficientas x, o c yra laisvasis terminas.

Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, čia pagrindinis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas yra −2, o perėmimas yra −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, tada trumpa kvadratinės lygties forma yra 5 x 2 - 2 x - 3 \u003d 0, o ne 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Reikėtų pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba −1, tada kvadratinėje lygtyje jų paprastai nėra, o tai lemia tokių rašymo ypatumai. Pvz., Kvadratinėje lygtyje y 2 −y + 3 \u003d 0, pagrindinis koeficientas yra vienas, o y koeficientas −1.

Sumažintos ir nesumažintos kvadratinės lygtys

Skiriamos sumažintos ir nesumažintos kvadratinės lygtys, atsižvelgiant į pagrindinio koeficiento vertę. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje pagrindinis koeficientas yra 1 sumažinta kvadratinė lygtis... Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nesumažintas.

Pagal šis apibrėžimas, kvadratinės lygtys x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 ir kt. - pateiktas, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas yra lygus vienam. 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 ir t. T. - nesumažintos kvadratinės lygtys, jų pagrindiniai koeficientai skiriasi nuo 1.

Iš bet kurios nesumažintos kvadratinės lygties padaliję abi dalis iš pagrindinio koeficiento, galite pereiti prie sumažintos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis, kaip ir pirminė nesumažinta kvadratinė lygtis, arba, kaip ir ji, neturi šaknų.

Panagrinėkime pavyzdžiu, kaip atliekamas perėjimas nuo nesumažintos kvadratinės lygties prie sumažintos.

Pavyzdys.

Iš 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 lygties eikite į atitinkamą sumažintą kvadratinę lygtį.

Sprendimas.

Mums tiesiog reikia padalinti abi pradinės lygties puses iš pagrindinio koeficiento 3, ji yra nulis, todėl galime atlikti šį veiksmą. Mes turime (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, tai yra tas pats, (3 x 2): 3+ (12 x): 3–7: 3 \u003d 0 ir toliau (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, iš kur. Taigi gavome sumažintą kvadratinę lygtį, kuri prilygsta pradinei.

Atsakymas:

Išsamios ir neišsamios kvadratinės lygtys

Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a ≠ 0. Ši sąlyga reikalinga, kad a x 2 + b x + c \u003d 0 lygtis būtų tiksliai kvadratinė, nes a \u003d 0 ji iš tikrųjų tampa b x + c \u003d 0 formos tiesine lygtimi.

Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Šiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama neišsamia.

Apibrėžimas.

Vadinama kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c \u003d 0 nebaigtasjei bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Visa kvadratinė lygtis Ar lygtis, kurioje visi koeficientai yra nulio.

Šie vardai duoti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš šių svarstymų.

Jei koeficientas b yra lygus nuliui, tada kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c \u003d 0, ir ji yra lygi a x 2 + c \u003d 0 lygčiai. Jei c \u003d 0, tai yra, kvadratinės lygties forma yra a x 2 + b x + 0 \u003d 0, tada ją galima perrašyti kaip x 2 + b x \u003d 0. Kai b \u003d 0 ir c \u003d 0, gausime kvadratinę lygtį a x 2 \u003d 0. Gautos lygtys skiriasi nuo visos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvo termino, nei abiejų. Taigi jų pavadinimas - neišsamios kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 + x + 1 \u003d 0 ir −2 x 2 −5 x + 0,2 \u003d 0 yra visų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 yra nebaigtos kvadratinės lygtys.

Nebaigtų kvadratinių lygčių sprendimas

Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos darytina išvada, kad yra trijų rūšių nepilnos kvadratinės lygtys:

• a x 2 \u003d 0, tai atitinka koeficientai b \u003d 0 ir c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0, kai b \u003d 0;
• ir a x 2 + b x \u003d 0, kai c \u003d 0.

Panagrinėkime, kaip išspręstos neišsamios kiekvieno iš šių tipų kvadratinės lygtys.

a x 2 \u003d 0

Pradėkime spręsdami neišsamias kvadratines lygtis, kuriose koeficientai b ir c yra lygūs nuliui, tai yra formos a · x 2 \u003d 0 formos lygtimis. Lygtis a · x 2 \u003d 0 yra lygiavertė lygčiai x 2 \u003d 0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi jo dalis iš nulio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d 0 šaknis yra nulis, nes 0 2 \u003d 0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai išaiškinta, bet kuriam nulis nuliui skaičiui p taikoma nelygybė p 2\u003e 0, iš to išplaukia, kad p ≠ 0 lygybė p 2 \u003d 0 niekada nepasiekiama.

Taigi, nebaigta kvadratinė lygtis a · x 2 \u003d 0 turi vieną šaknį x \u003d 0.

Pateiksime neišsamios kvadratinės lygties −4 · x 2 \u003d 0 sprendimą. X 2 \u003d 0 lygtis yra jai ekvivalentiška, jos vienintelė šaknis yra x \u003d 0, todėl pradinė lygtis taip pat turi unikalų šaknies nulį.

Trumpą sprendimą šiuo atveju galima suformuluoti taip:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Dabar apsvarstykime, kaip sprendžiamos neišsamios kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui, o c ≠ 0, tai yra formos a · x 2 + c \u003d 0 lygtys. Mes žinome, kad perkėlus terminą iš vienos lygties pusės į kitą priešingu ženklu, taip pat padalijus abi lygties puses iš nulio skaičiaus, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galite atlikti šias ekvivalentiškas nepilnos kvadratinės lygties a x 2 + c \u003d 0 transformacijas:

• perkelkite c į dešinę, kuri suteikia lygtį a x 2 \u003d −c,
• ir padalykite abi dalis iš a, gausime.

Gauta lygtis leidžia mums padaryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos vertė gali būti neigiama (pvz., Jei a \u003d 1 ir c \u003d 2, tada) arba teigiama (pvz., Jei a \u003d −2 ir c \u003d 6, tada), ji nėra lygi nuliui , nes pagal sąlygą c ≠ 0. Panagrinėkime atskirai atvejus ir.

Jei, tada lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra ne neigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kada, tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti tiesa.

Jei, tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei atsimenate apie, tada lygties šaknis iškart tampa akivaizdus, \u200b\u200btai yra skaičius, nes. Lengva atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis. Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaraujant. Padarykime tai.

Pažymėkime lygties, skambėjusios kaip x 1 ir −x 1, šaknis. Tarkime, kad lygtyje yra dar viena šaknis x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1. Yra žinoma, kad jo šaknų pakeitimas lygtimi vietoj x paverčia lygtį tikra skaitine lygybe. X 1 ir −x 1 turime, o x 2 turime. Skaitinių lygybių savybės leidžia mums atlikti terminų atėmimą tikroms skaitinėms lygybėms, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 −x 2 2 \u003d 0. Veiksmų su skaičiais ypatybės leidžia perrašyti gautą lygybę kaip (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Mes žinome, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tuo atveju, jei bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 - x 2 \u003d 0 ir (arba) x 1 + x 2 \u003d 0, kuris yra tas pats, x 2 \u003d x 1 ir / arba x 2 \u003d −x 1. Taip mes priėjome prieštaravimą, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1. Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus.

Apibendrinkime šio elemento informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c \u003d 0 prilygsta lygybei

• neturi šaknų, jei
• turi dvi šaknis ir, jei.

Apsvarstykite nepilnų kvadratinių lygčių, esančių a · x 2 + c \u003d 0, sprendimo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 + 7 \u003d 0. Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgaus 9 · x 2 \u003d −7 formą. Padaliję abi gautos lygties puses iš 9, pasiekiame. Kadangi dešinėje pusėje yra neigiamas skaičius, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė neišsami kvadratinė lygtis 9 · x 2 + 7 \u003d 0 neturi šaknų.

Išspręskite dar vieną neužbaigtą kvadratinę lygtį −x 2 + 9 \u003d 0. Perkelkite devynis į dešinę: −x 2 \u003d −9. Dabar abi puses padalijame iš −1, gausime x 2 \u003d 9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio mes darome išvadą, kad arba. Tada užrašome galutinį atsakymą: nebaigta kvadratinė lygtis −x 2 + 9 \u003d 0 turi dvi šaknis x \u003d 3 arba x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Belieka spręsti paskutinio tipo neišsamių kvadratinių lygčių tipą c \u003d 0. Neužbaigtos formos a x 2 + b x \u003d 0 kvadratinės lygtys leidžia išspręsti faktorizavimo metodas... Akivaizdu, kad galime išsidėstyti kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka išskaičiuoti bendrą koeficientą x. Tai leidžia mums pereiti iš pradinės neišsamios kvadratinės lygties į lygiavertę formos x · (a · x + b) \u003d 0 lygtį. Ši lygybė yra lygi dviejų lygčių x \u003d 0 ir a x + b \u003d 0 deriniui, iš kurių paskutinė yra tiesinė ir turi šaknį x \u003d −b / a.

Taigi, nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + b x \u003d 0 turi dvi šaknis x \u003d 0 ir x \u003d −b / a.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, išanalizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Perkėlus x iš skliaustų, gaunama lygtis. Tai tolygu dviem lygtims x \u003d 0 ir. Gautą išsprendžiame tiesinė lygtis:, ir padaliję sumaišytą skaičių iš bendroji trupmena, mes randame. Todėl pradinės lygties šaknys yra x \u003d 0 ir.

Gavę reikiamą praktiką, tokių lygčių sprendimus galima parašyti trumpai:

Atsakymas:

x \u003d 0 ,.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Yra šaknies formulė kvadratinėms lygtims spręsti. Parašykime kvadratinė formulė:, kur D \u003d b 2 −4 a c - vadinamasis kvadratinis diskriminantas... Notacija iš esmės reiškia tai.

Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji taikoma ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Išsiaiškinkime.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Tarkime, kad turime išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c \u003d 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• Abi šios lygties puses galime padalinti iš nulio, skaičiaus a, todėl gauname sumažintą kvadratinę lygtį.
• Dabar pasirinkite visą kvadratą kairėje pusėje :. Po to lygtis įgis formą.
• Šiame etape galima atlikti dviejų paskutinių terminų perkėlimą į dešinę pusę su priešingu ženklu.
• Taip pat transformuojame dešinės pusės išraišką:.

Dėl to mes prieiname lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a x 2 + b x + c \u003d 0.

Analizuodami jas jau išsprendėme ankstesnėse pastraipose panašias formos lygtis. Tai leidžia mums padaryti šias išvadas dėl lygties šaknų:

• jei, tada lygtis neturi realių sprendimų;
• jei, tada lygtis turi formą, todėl iš kur matoma jos vienintelė šaknis;
• jei, tada arba, kuris yra tas pats arba, tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi lygties šaknų buvimas ar nebuvimas, taigi ir pradinė kvadratinė lygtis, priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje pusėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4 · a 2 visada yra teigiamas, tai yra, išraiškos b 2 −4 · a · c ženklas. Ši išraiška b 2 −4 a c buvo vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ir pažymėta raide D... Iš čia aiški diskriminanto esmė - pagal jo vertę ir ženklą daroma išvada, ar kvadratinė lygtis turi tikras šaknis, o jei taip, koks yra jų skaičius - vienas ar du.

Grįžtant prie lygties, perrašome ją naudodami diskriminacinį žymėjimą:. Mes darome išvadas:

• jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei D \u003d 0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
• galiausiai, jei D\u003e 0, tada lygtis turi dvi šaknis arba kurias dėl jos galima perrašyti forma arba, išplėtę ir sumažinus trupmenas iki bendro vardiklio, gauname.

Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos turi formą, kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D \u003d b 2 −4 · a · c.

Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi tikrąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies vertę, atitinkančią unikalų kvadratinės lygties sprendimą. Turėdami neigiamą diskriminantą, bandydami naudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su kvadratinė šaknis nuo neigiamo skaičiaus, kuris mus perkelia už ir mokyklos programa... Turint neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrųjų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatas šaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas naudojant šaknies formules

Praktiškai, spręsdami kvadratines lygtis, galite iš karto naudoti šaknų formulę, pagal kurią galite apskaičiuoti jų reikšmes. Bet tai daugiau apie sudėtingų šaknų paiešką.

Tačiau mokyklos algebros kurse mes paprastai kalbame ne apie sudėtingas, bet apie tikras kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju patartina pirmiausia rasti diskriminantą prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, įsitikinti, kad ji nėra neigiama (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi tikrųjų šaknų) ir tik po to apskaičiuoti šaknų reikšmes.

Aukščiau išdėstyti argumentai leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendėjas... Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c \u003d 0, jums reikia:

• pagal diskriminacinę formulę D \u003d b 2 −4 · a · c apskaičiuokite jo vertę;
• padaryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi tikrųjų šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
• apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį pagal formulę, jei D \u003d 0;
• suraskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.

Čia mes tiesiog pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, taip pat galima naudoti formulę, ji suteiks tą pačią reikšmę kaip.

Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo naudojimo pavyzdžių.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Apsvarstykite trijų kvadratinių lygčių su teigiamais, neigiamais ir nuliniais diskriminantais sprendimus. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite lygties x 2 + 2 x - 6 \u003d 0 šaknis.

Sprendimas.

Šiuo atveju mes turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 ir c \u003d −6. Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, tam mes pakeisime nurodytus a, b ir c į diskriminanto formulę, mes turime D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Kadangi 28\u003e 0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Juos randame pagal šaknies formulę, gauname, čia galite supaprastinti darant gautas išraiškas išskiriant šaknies ženklą su vėlesniu frakcijos sumažinimu:

Atsakymas:

Pereikime prie kito tipiško pavyzdžio.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Sprendimas.

Pirmiausia ieškome diskriminanto: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią mes randame kaip, ty

Atsakymas:

x \u003d 3,5.

Belieka apsvarstyti kvadratinių lygčių su neigiamuoju diskriminantu sprendimą.

Pavyzdys.

Išspręskite 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 lygtį.

Sprendimas.

Čia pateikiami kvadratinės lygties koeficientai: a \u003d 5, b \u003d 6 ir c \u003d 2. Šias reikšmes pakeisdami į diskriminuojančią formulę turime D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų.

Jei jums reikia nurodyti sudėtingas šaknis, tada mes taikysime gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliksime kompleksinio skaičiaus operacijos:

Atsakymas:

nėra tikrųjų šaknų, sudėtingos šaknys yra tokios:

Dar kartą pažymime, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tai mokykloje jie paprastai iškart užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrųjų šaknų ir sudėtingų šaknų nėra.

Net antrųjų koeficientų šaknies formulė

Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D \u003d b 2 −4 a c leidžia gauti kompaktiškesnę formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lygiu koeficientu prie x (arba tiesiog su formos n 2 koeficientu, arba 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). Išimkime.

Tarkime, kad turime išspręsti formos a x 2 + 2 n x + c \u003d 0 kvadratinę lygtį. Suraskime jo šaknis naudodami mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokite diskriminantą D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c)ir tada naudokite šaknies formulę:

Išraišką n 2 - a · c pažymėkime kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n įgauna formą , kur D 1 \u003d n 2 - a · c.

Nesunku pastebėti, kad D \u003d 4 · D 1, arba D 1 \u003d D / 4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra tas pats kaip D ženklas. Tai yra, D 1 ženklas taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 n, jums reikia

• Apskaičiuokite D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Jei D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 \u003d 0, tada apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį pagal formulę;
• Jei D 1\u003e 0, tada raskite dvi tikras šaknis pagal formulę.

Panagrinėkime pavyzdžio sprendimą naudodami šaknies formulę, gautą šioje pastraipoje.

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę lygtį 5x2 −6x - 32 \u003d 0.

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (−3). Tai yra, jūs galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį forma 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, čia a \u003d 5, n \u003d −3 ir c \u003d −32, ir apskaičiuoti ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Kadangi jos vertė yra teigiama, lygtis turi dvi tikras šaknis. Suraskime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju reikės atlikti daugiau skaičiavimo darbų.

Atsakymas:

Kvadratinių lygčių supaprastinimas

Kartais, prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis pagal formules, nepakenkia užduoti klausimą: "Ar įmanoma supaprastinti šios lygties formą?" Sutikite, kad atliekant skaičiavimus bus lengviau išspręsti kvadratinę lygtį 11 · x 2 −4 · x - 6 \u003d 0 nei 1100 · x 2 −400 · x - 600 \u003d 0.

Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi jos dalis iš kažkokio skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje mums pavyko supaprastinti 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 lygtį, padalijus abi puses iš 100.

Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra. Šiuo atveju abi lygties pusės paprastai dalijamos iš absoliučios vertės jo koeficientai. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. absoliučios jo koeficientų vertės: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Padaliję abi pradinės kvadratinės lygties puses iš 6, pasieksime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

Abiejų kvadratinės lygties pusių dauginimas paprastai atliekamas norint atsikratyti trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimą vykdo jo koeficientų vardikliai. Pvz., Jei abi kvadratinės lygties pusės padauginamos iš LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tai ji įgaus paprastesnę formą x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Apibendrindami šį tašką pažymime, kad beveik visada atsikratykite minuso, esant kvadratinės lygties pirmaujančiam koeficientui, pakeisdami visų terminų ženklus, kurie atitinka abiejų dalių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai iš kvadratinės lygties −2x2 −3x + 7 \u003d 0 pereinama prie sprendimo 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Ryšys tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų

Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis pagal jos koeficientus. Pagal šaknies formulę galite gauti kitų priklausomybių tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir tinkamiausios formulės yra iš Vietos formos teoremos ir. Visų pirma, atsižvelgiant į pateiktą kvadratinę lygtį, šaknų suma lygi antram koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvam terminui. Pvz., Pagal kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 formą galime iš karto pasakyti, kad jos šaknų suma lygi 7/3, o šaknų sandauga yra 22/3.

Naudodamiesi jau parašytomis formulėmis, galite gauti daugybę kitų ryšių tarp šaknų ir kvadratinės lygties koeficientų. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti per koeficientus:

Bibliografija.

• Algebra: tyrimas. už 8 cl. bendrasis išsilavinimas. institucijos / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 16-asis leidimas. - M .: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovičius Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis švietimo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 11-asis leidimas, Ištrinta. - M.: Mnemozina, 2009 m. - 215 p.: Iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Tiesiog. Formulėmis ir aiškiomis, paprastomis taisyklėmis. Pirmajame etape

būtina sumažinti pateiktą lygtį į standartinis vaizdas, t.y. Žiūrėti:

Jei lygtis jums jau suteikta tokia forma, jums nereikia atlikti pirmojo žingsnio. Svarbiausia yra teisinga

nustatyti visus koeficientus, a, b ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis ... Kaip matote, norėdami rasti x, mes

naudoti tik a, b ir c. Tie. koeficientai nuo kvadratinė lygtis... Tiesiog atsargiai pakeiskite

prasmė a, b ir c į šią formulę ir suskaičiuokite. Pakeiskite jų ženklai!

pavyzdžiui, lygtyje:

a =1; b = 3; c = -4.

Pakeiskite vertes ir parašykite:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Dažniausios klaidos yra supainiojimas su prasmės ženklais. a, bir nuo... Veikiau su pakeitimu

neigiamos reikšmės į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugo išsamus formulės žymėjimas

su konkrečiais skaičiais. Jei turite skaičiavimo problemų, atlikite tai!

Tarkime, kad jums reikia išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Dažome viską kruopščiai, kruopščiai, nepraleisdami nieko su visais ženklais ir skliaustais:

Kvadratinės lygtys dažnai atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Dabar atkreipkite dėmesį į geriausią praktiką, kuri žymiai sumažins klaidas.

Pirmasis priėmimas... Anksčiau netingėk kvadratinės lygties sprendimas pareikšti jį į standartinę formą.

Ką tai reiškia?

Tarkime, po bet kokių transformacijų gavote šią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus. a, b ir c.

Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, X yra kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis terminas. Kaip šitas:

Atsikratykite minuso. Kaip? Turite padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite saugiai užrašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užpildyti pavyzdį.

Pasidaryk pats. Turėtumėte turėti 2 ir -1 šaknis.

Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Iki vietos teorema.

Norėdami išspręsti pateiktas kvadratines lygtis, t.y. jei koeficientas

x 2 + bx + c \u003d 0,

tada x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Už visą kvadratinę lygtį, kurioje a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

padalinti visą lygtį iš a:

→ →

kur x 1 ir x 2 - lygties šaknys.

Priėmimas trečias... Jei jūsų lygtyje yra trupmeniniai koeficientai, atsikratykite trupmenų! Padauginkite

bendro vardiklio lygtis.

Išvada. Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami, kvadratinę lygtį atnešame į standartinę formą, pastatome ją teisingai.

2. Jei kvadrate priešais x yra neigiamas koeficientas, mes jį pašaliname padauginę iš viso

-1 lygtis.

3. Jei koeficientai yra daliniai, mes pašaliname trupmenas, padauginę visą lygtį iš atitinkamos

faktorius.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas yra lygus vienam, tirpalą galima lengvai patikrinti

Kvadratinės lygtys... Bendra informacija.

IN kvadratinis x turi būti kvadrate (todėl jis vadinamas

„Kvadratas“). Be jo, lygtis gali (arba gali nebūti!) Tiesiog x (pirmojo laipsnio) ir

tik skaičius (laisvas narys). Didesnio nei dviejų laipsnių x neturėtų būti.

Bendroji algebrinė lygtis.

kur x - laisvas kintamasis, a, b, c - koeficientai ir a≠0 .

pavyzdžiui:

Išraiška paskambino kvadratinis trinomas.

Kvadratinės lygties elementai turi savo pavadinimus:

Vadinamas pirmuoju arba didžiausiu koeficientu,

Vadinamas antruoju arba koeficientu,

· Paskambino laisvu nariu.

Pilna kvadratinė lygtis.

Šios kvadratinės lygtys turi visą terminų rinkinį kairėje. X kvadratu su

koeficientas a, x iki pirmosios galios su koeficientu b ir laisvas narys nuo. INvisi šansai

turi būti nulis.

Nebaigtas vadinama kvadratine lygtimi, kurioje bent vienas iš koeficientų, išskyrus

didžiausias (arba antrasis koeficientas, arba laisvasis terminas) yra lygus nuliui.

Apsimeskime taip b \u003d 0, - x dingsta pirmajame laipsnyje. Pasirodo, pavyzdžiui:

2x 2 -6x \u003d 0,

Ir kt. Ir jei abu koeficientai, b ir c yra lygūs nuliui, tada viskas yra dar lengviau, pvz .:

2x 2 \u003d 0,

Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Kodėl a negali būti nulis? Tada dingsta x kvadratas ir lygtis tampa linijinis .

Ir sprendžiama visai kitaip ...

Nebaigta kvadratinė lygtis skiriasi nuo klasikinių (pilnų) lygčių tuo, kad jos koeficientai arba perėmimas yra lygūs nuliui. Tokių funkcijų grafikas yra parabolės. Pagal bendrą jų išvaizdą jie yra suskirstyti į 3 grupes. Visų tipų lygčių sprendimo principai yra vienodi.

Nėra nieko sunku nustatyti nebaigto daugianario tipą. Geriausia apsvarstyti pagrindinius skirtumus naudojant iliustracinius pavyzdžius:

1. Jei b \u003d 0, tada lygtis yra ax 2 + c \u003d 0.
2. Jei c \u003d 0, tada reikia išspręsti išraišką ax 2 + bx \u003d 0.
3. Jei b \u003d 0 ir c \u003d 0, tai daugianaris tampa ax 2 \u003d 0 tipo lygybe.

Pastarasis atvejis yra labiau teorinė galimybė ir niekada nepasitaiko atliekant žinių tikrinimo užduotis, nes vienintelė galiojanti kintamojo x reikšmė išraiškoje yra lygi nuliui. Ateityje bus svarstomi neišsamių kvadratinių lygčių 1) ir 2) tipų sprendimo būdai ir pavyzdžiai.

Bendrasis kintamųjų paieškos algoritmas ir pavyzdžiai su sprendimu

Nepriklausomai nuo lygties tipo, sprendimo algoritmas suskaidomas į šiuos veiksmus:

1. Pateikite išraišką į formą, patogią rasti šaknis.
2. Atlikite skaičiavimus.
3. Įrašykite savo atsakymą.

Lengviausias būdas išspręsti neišsamias lygtis yra faktorius kairėje pusėje, o dešinėje paliekant nulį. Taigi neužbaigtos kvadratinės lygties formulė šaknims surasti sumažinama iki kiekvieno veiksnio x vertės apskaičiavimo.

Galite sužinoti tik, kaip tai išspręsti praktiškai, todėl apsvarstykime konkretų neišsamios lygties šaknų radimo pavyzdį:

Kaip matote, šiuo atveju b \u003d 0. Mes apskaičiuojame kairę pusę ir gauname išraišką:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Akivaizdu, kad sandauga lygi nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Kintamojo x1 \u003d 0,5 ir (arba) x2 \u003d -0,5 vertės atitinka šiuos reikalavimus.

Kad lengvai ir greitai susidorotumėte su problema, susijusia su kvadratinio trinomo įtraukimu į veiksnius, turėtumėte prisiminti šią formulę:

Jei išraiškoje nėra laisvo termino, užduotis yra labai supaprastinta. Pakaks tik surasti ir išimti bendrą vardiklį. Kad būtų aiškiau, apsvarstykite pavyzdį, kaip išspręsti neužbaigtas formos kvadratines lygtis ax2 + bx \u003d 0.

Paimkime kintamąjį x iš skliaustų ir gaukite šią išraišką:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Vadovaudamiesi logika, mes prieiname išvadą, kad x1 \u003d 0, o x2 \u003d -3.

Tradicinis sprendimas ir neužbaigtos kvadratinės lygtys

Kas nutiks, jei pritaikysite diskriminantinę formulę ir bandysite rasti daugianario šaknis, kai koeficientai lygūs nuliui? Paimkime pavyzdį iš 2017 m. Matematikos egzaminui būdingų užduočių rinkinio, išspręskite jį naudodami standartines formules ir faktoringo metodą.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Apskaičiuokime diskriminanto vertę: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Pasirodo, kad daugianaris turi dvi šaknis:

Dabar išspręskime lygtį faktoringu ir palyginkime rezultatus.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Kaip matote, abu metodai duoda tą patį rezultatą, tačiau lygtį išspręsti antruoju metodu pasirodė daug lengviau ir greičiau.

Vietos teorema

O ką daryti su mylima Vietos teorema? Ar šį metodą galima naudoti su nebaigtu trinomu? Pabandykime suprasti neišsamių lygčių sumažinimo iki klasikinės formos ax2 + bx + c \u003d 0 aspektus.

Tiesą sakant, šiuo atveju įmanoma pritaikyti Vietos teoremą. Išraišką reikia pakeisti tik į bendrą formą, trūkstamus narius pakeičiant nuliu.

Pavyzdžiui, kai b \u003d 0 ir a \u003d 1, siekiant pašalinti painiavos tikimybę, užduotis turėtų būti parašyta tokia forma: ax2 + 0 + c \u003d 0. Tada daugianario šaknų ir veiksnių sumos ir sandaugos santykį galima išreikšti taip:

Teoriniai skaičiavimai padeda susipažinti su klausimo esme ir visada reikalauja praktinių įgūdžių sprendžiant konkrečias problemas. Dar kartą peržiūrėkime egzamino tipinių užduočių žinyną ir raskime tinkamą pavyzdį:

Parašykime išraišką forma, patogia pritaikyti Vietos teoremą:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Kitas žingsnis - sukurti sąlygų sistemą:

Akivaizdu, kad kvadratinio daugianario šaknys bus x 1 \u003d 4 ir x 2 \u003d -4.

Dabar praktikuokime, kad lygtis taptų bendra. Imkime šį pavyzdį: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Norint Vietos teoremą pritaikyti išraiškai, reikia atsikratyti trupmenos. Padauginkite kairę ir dešinę puses iš 4 ir pažiūrėkite į rezultatą: x2– 4 \u003d 0. Gautą lygybę galima išspręsti Vietos teorema, tačiau daug lengviau ir greičiau gauti atsakymą paprasčiausiai perkėlus c \u003d 4 į dešinę lygties pusę: x2 \u003d 4.

Apibendrinant reikia pasakyti, kad geriausias neišsamių lygčių sprendimo būdas yra paprasčiausias ir greičiausias metodas. Jei kyla sunkumų ieškant šaknų, galite kreiptis į tradicinį šaknų paieškos būdą per diskriminantą.