Lygčių sprendimo su moduliu pavyzdžiai. Skaičių modulis (absoliuti skaičiaus reikšmė), apibrėžimai, pavyzdžiai, savybės. Skaičių modulis - apibrėžimas, žymėjimas ir pavyzdžiai
Mes nesirenkame matematikossavo profesiją, ir ji pasirenka mus.
Rusijos matematikas Yu.I. Maninas
Lygtys su moduliu
Mokyklos matematikos sunkiausiai išsprendžiamos lygtys, kurių kintamieji yra po modulio ženklu. Norint sėkmingai išspręsti tokias lygtis, reikia žinoti modulio apibrėžimą ir pagrindines savybes. Natūralu, kad studentai turėtų turėti įgūdžių spręsti tokio tipo lygtis.
Pagrindinės sąvokos ir savybės
Realiojo skaičiaus modulis (absoliuti vertė) žymima ir apibrėžiamas taip:
Paprastos modulio savybės apima šiuos ryšius:
Pastaba, kad paskutinės dvi savybės galioja bet kokiu lyginiu laipsniu.
Be to, jei, kur, tada
Sudėtingesnės modulio savybės, kurį galima efektyviai panaudoti sprendžiant lygtis su moduliais, yra suformuluoti naudojant šias teoremas:
1 teorema. Bet kurioms analitinėms funkcijoms ir nelygybė galioja
2 teorema. Lygybė tolygi nelygybei.
3 teorema. Lygybė tolygu nelygybei.
Panagrinėkime tipinius problemų sprendimo pavyzdžius tema „Lygtys, kintamieji po modulio ženklu ".
Lygčių su moduliu sprendimas
Mokykloje matematikoje labiausiai paplitęs metodas lygtims spręsti moduliu yra metodas, pagrįstas modulių išplėtimu. Šis metodas yra universalus, tačiau apskritai jo taikymas gali nulemti labai sudėtingus skaičiavimus. Šiuo atžvilgiu studentai turėtų žinoti kitus, efektyvesni tokių lygčių sprendimo būdai ir metodai. Visų pirma, turite turėti teoremų taikymo įgūdžių, pateiktas šiame straipsnyje.
1 pavyzdys.Išspręskite lygtį. (1)
Sprendimas. 1 lygtis bus išspręsta „klasikiniu“ metodu - modulių išplėtimo metodu. Norėdami tai padaryti, mes padalijame skaičių ašį taškų ir į intervalus ir apsvarstykite tris atvejus.
1. Jei, tada ,,, ir (1) lygtis įgauna formą. Vadinasi, tai seka. Tačiau čia rasta reikšmė nėra (1) lygties pagrindas.
2. Jei, tada iš (1) lygties gauname arba.
Nuo tada (1) lygties šaknis.
3. Jei, tada (1) lygtis įgauna formą arba. Prisimink tai.
Atsakymas:,.
Spręsdami paskesnes lygtis su moduliu, aktyviai naudosime modulių savybes, kad padidintume tokių lygčių sprendimo efektyvumą.
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas. Nuo ir tada lygtis reiškia... Šiuo atžvilgiu ,,, o lygtis įgauna formą... Taigi mes gauname... Tačiau todėl pradinė lygtis neturi šaknų.
Atsakymas: nėra šaknų.
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas. Nuo tada. Jei tada, o lygtis įgauna formą.
Iš čia mes gauname.
4 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas.Perrašykime lygtį lygiaverte forma. (2)
Gauta lygtis priklauso tipo lygtims.
Atsižvelgiant į 2 teoremą, galima teigti, kad (2) lygtis yra lygi nelygybei. Iš čia mes gauname.
Atsakymas:
5 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas. Ši lygtis turi formą... Todėl , pagal 3 teoremą, čia mes turime nelygybę arba.
6 pavyzdys. Išspręskite lygtį.
Sprendimas. Tarkime, kad. Kaip, tada duota lygtis įgyja kvadratinės lygties formą, (3)
kur ... Kadangi (3) lygtis turi vieną teigiamą šaknį ir tada ... Taigi gauname dvi pirminės lygties šaknis: ir.
7 pavyzdys. Išspręskite lygtį. (4)
Sprendimas. Kadangi lygtis yra lygiavertis dviejų lygčių deriniui: ir tada, sprendžiant (4) lygtį, reikia atsižvelgti į du atvejus.
1. Jei, tada arba.
Iš čia mes gauname ir.
2. Jei, tada arba.
Nuo tada.
Atsakymas: ,,,.
8 pavyzdys. Išspręskite lygtį . (5)
Sprendimas. Nuo tada. Iš to ir iš Eq. (5) išplaukia, kad ir t.y. čia mes turime lygčių sistemą
Tačiau ši lygčių sistema yra nenuosekli.
Atsakymas: nėra šaknų.
9 pavyzdys. Išspręskite lygtį. (6)
Sprendimas.Jei žymėsime, tada o iš (6) lygties gauname
Arba (7)
Kadangi (7) lygtis turi formą, ši lygtis yra lygi nelygybei. Iš čia mes gauname. Nuo tada ar.
Atsakymas:
10 pavyzdys. Išspręskite lygtį. (8)
Sprendimas. Pagal 1 teoremą galime rašyti
(9)
Atsižvelgdami į (8) lygtį, darome išvadą, kad abi nelygybės (9) virsta lygybėmis, t.y. galioja lygčių sistema
Tačiau pagal 3 teoremą aukščiau pateikta lygčių sistema yra lygi nelygybių sistemai
(10)
Spręsdami nelygybių sistemą (10), gauname. Kadangi nelygybių sistema (10) yra lygiavertė (8) lygčiai, pradinė lygtis turi vieną šaknį.
Atsakymas:
11 pavyzdys. Išspręskite lygtį. (11)
Sprendimas. Leiskite ir tada lygybė kyla iš (11) lygties.
Taigi iš to seka ir. Taigi, čia mes turime nelygybės sistemą
Šios nelygybės sistemos sprendimas yra ir.
Atsakymas:,.
12 pavyzdys. Išspręskite lygtį. (12)
Sprendimas. (12) lygtis bus išspręsta nuoseklaus modulių išplėtimo metodu. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite keletą atvejų.
1. Jei, tada.
1.1. Jei, tada ir ,.
1.2. Jei tada. Tačiau todėl šiuo atveju (12) lygtis neturi šaknų.
2. Jei, tada.
2.1. Jei, tada ir ,.
2.2. Jei, tada ir.
Atsakymas: ,,,,.
13 pavyzdys. Išspręskite lygtį. (13)
Sprendimas. Kadangi ekv. (13) kairė pusė nėra neigiama, ir. Šiuo atžvilgiu ir (13) lygtis
įgauna formą arba.
Yra žinoma, kad lygtis yra lygiavertis dviejų lygčių deriniui ir nusprendžia, kurį gausime,. Kaip, tada (13) lygtis turi vieną šaknį.
Atsakymas:
14 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą (14)
Sprendimas. Nuo ir, tada ir. Todėl iš lygčių sistemos (14) gauname keturias lygčių sistemas:
Minėtų lygčių sistemų šaknys yra lygčių sistemos šaknys (14).
Atsakymas: ,,,,,,,.
15 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą (15)
Sprendimas. Nuo tada. Šiuo atžvilgiu iš lygčių sistemos (15) gauname dvi lygčių sistemas
Pirmosios lygčių sistemos šaknys yra ir, o iš antrosios lygčių sistemos gauname ir.
Atsakymas: ,,,.
16 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą (16)
Sprendimas. Iš pirmosios sistemos (16) lygties darytina išvada.
Nuo tada ... Apsvarstykite antrąją sistemos lygtį. Tiek, kiektada, o lygtis įgauna formą, arba.
Jei pakeisite vertę į pirmąją sistemos lygtį (16), tada arba.
Atsakymas:,.
Gilesniam problemų sprendimo metodų tyrimui, susijusios su lygčių sprendimu, kuriame yra kintamieji po modulio ženklu, ar galiu patarti pamokos iš rekomenduojamos literatūros sąrašo.
1. Matematikos problemų rinkimas stojantiesiems į technikos kolegijas / Red. M.I. Skanavi. - M.: Taika ir švietimas, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: padidinto sudėtingumo problemos. - M.: kompaktinis diskas „Librokom“ / URSS, 2017 m. - 200 p.
3. Suprun V.P. Matematika vidurinių mokyklų studentams: nestandartiniai problemų sprendimo metodai. - M.: kompaktinis diskas „Librokom“ / URSS, 2017 m. - 296 p.
Vis dar turite klausimų?
Norėdami gauti pagalbos iš korepetitoriaus - užsiregistruokite.
svetainėje, visiškai ar iš dalies kopijuojant medžiagą, būtina pateikti nuorodą į šaltinį.
Modulis yra absoliuti išraiškos vertė. Norėdami bent kažkaip pažymėti modulį, įprasta naudoti tiesius skliaustus. Vertė, kuri yra užfiksuota tiesiuose skliaustuose, yra vertė, kuri imama modulo. Bet kurio modulio sprendimo procesas susideda iš labai tinkamų skliaustų, kurie matematine kalba vadinami moduliniais skliaustais, išplėtimo. Jų atskleidimas vyksta pagal tam tikrą skaičių taisyklių. Be to, modulių sprendimo tvarka yra ir tų išraiškų, kurios buvo modulių skliausteliuose, reikšmių rinkiniai. Daugeliu atvejų modulis yra išplėstas taip, kad submodulinė išraiška gautų teigiamas ir neigiamas reikšmes, įskaitant nulį. Jei mes pradedame nuo nustatytų modulio savybių, tada procese yra sudaromos įvairios lygtys ar nelygybės iš pradinės išraiškos, kurias tada reikia išspręsti. Išsiaiškinkime, kaip išspręsti modulius.
Sprendimo procesas
Modulio sprendimas pradedamas rašant pradinę lygtį su moduliu. Norėdami atsakyti į klausimą, kaip išspręsti lygtis naudojant modulį, turite jį visiškai išplėsti. Norėdami išspręsti tokią lygtį, modulis yra išplėstas. Reikia atsižvelgti į visas modulines išraiškas. Būtina nustatyti, kokiomis nežinomų dydžių, įtrauktų į jo sudėtį, reikšmėmis, modulinė išraiška skliaustuose pasisuka į nulį. Norėdami tai padaryti, pakanka sulyginti išraišką moduliniuose skliaustuose iki nulio ir tada apskaičiuoti gautos lygties sprendimą. Rastos vertės turi būti užregistruotos. Tokiu pačiu būdu taip pat būtina nustatyti visų nežinomų kintamųjų vertę visiems šios lygties moduliams. Toliau reikia aptarti visus kintamųjų reiškiniuose egzistavimo atvejus, kai jie skiriasi nuo nulinės vertės. Norėdami tai padaryti, turite užrašyti tam tikrą nelygybės sistemą pagal visus pradinės nelygybės modulius. Nelygybės turėtų būti suprojektuotos taip, kad apimtų visas esamas ir galimas kintamojo reikšmes, esančias skaičių eilutėje. Tada reikia nubrėžti šią labai skaitinę vizualizavimo liniją, ant kurios ateityje atidėsite visas gautas reikšmes.
Dabar beveik viską galima padaryti internete. Modulis nėra taisyklės išimtis. Galite išspręsti tai internete naudodamiesi vienu iš daugybės šiuolaikinių šaltinių. Visos tos kintamojo reikšmės, esančios nuliniame modulyje, bus specialus suvaržymas, kuris bus naudojamas sprendžiant modulinę lygtį. Pradinėje lygtyje reikalaujama išplėsti visus galimus modulinius skliaustus, kartu pakeičiant išraiškos ženklą taip, kad norimo kintamojo reikšmės sutaptų su tomis reikšmėmis, kurias galima pamatyti skaičių eilutėje. Gauta lygtis turi būti išspręsta. Kintamojo, kuris bus gautas sprendžiant lygtį, reikšmė turi būti patikrinta pagal paties modulio nustatytą apribojimą. Jei kintamojo vertė visiškai atitinka sąlygą, tai ji yra teisinga. Visos šaknys, kurios bus gautos sprendžiant lygtį, bet neatitiks apribojimų, turi būti atmestos.
Viena iš sunkiausių studentų temų yra lygčių, turinčių kintamąjį po modulio ženklu, sprendimas. Iš pradžių išsiaiškinkime, su kuo tai susiję? Kodėl, pavyzdžiui, kvadratinės lygtys daugeliui vaikų yra paspaudimai kaip riešutai, tačiau turint tokią toli gražu nesudėtingą koncepciją kaip modulis, kyla tiek daug problemų?
Mano nuomone, visi šie sunkumai yra susiję su aiškiai suformuluotų taisyklių, kaip spręsti lygtis su moduliu, trūkumu. Taigi, nusprendus kvadratinė lygtis, studentas tikrai žino, kad pirmiausia reikia taikyti diskriminacinę formulę, o tada - kvadratinės lygties šaknų formulę. Bet ką daryti, jei lygtyje yra modulis? Pabandysime aiškiai apibūdinti būtiną veiksmų planą tuo atveju, kai lygtyje po modulio ženklu yra nežinoma. Keletas pavyzdžių kiekvienu atveju.
Bet pirmiausia prisiminkime modulio apibrėžimas... Taigi, skaičiaus modulis a pats šis numeris vadinamas, jei a ne neigiamas ir -ajei skaičius a mažiau nei nulis. Galite parašyti taip:
| a | \u003d a, jei a ≥ 0 ir | a | \u003d -a jei a< 0
Kalbant apie geometrinę modulio prasmę, reikia atsiminti, kad kiekvienas realusis skaičius atitinka tam tikrą skaičių ašies tašką - jo k 
koordinuoti. Taigi skaičiaus modulis arba absoliuti vertė yra atstumas nuo šio taško iki skaitinės ašies pradžios. Atstumas visada nurodomas kaip teigiamas skaičius. Taigi bet kurio neigiamo skaičiaus absoliuti vertė yra teigiamas skaičius. Beje, net ir šiame etape daugelis studentų pradeda sumišti. Modulyje gali būti bet koks skaičius, tačiau modulio taikymo rezultatas visada yra teigiamas skaičius.
Dabar eikime tiesiai į lygčių sprendimą.
1. Apsvarstykite formos | x | lygtį \u003d c, kur c yra tikrasis skaičius. Ši lygtis gali būti išspręsta naudojant modulio apibrėžimą.
Visus realiuosius skaičius suskirstome į tris grupes: tuos, kurie yra didesni už nulį, tuos, kurie yra mažesni už nulį, o trečioji grupė yra skaičius 0. Parašykime sprendimą diagramos forma:
(± c, jei c\u003e 0
Jei | x | \u003d c, tada x \u003d (0, jei c \u003d 0
(be šaknų, jei su< 0
1) | x | \u003d 5, nes 5\u003e 0, tada x \u003d ± 5;
2) | x | \u003d -5, nes -penki< 0, то уравнение не имеет корней;
3) | x | \u003d 0, tada x \u003d 0.
2. Formos | f (x) | lygtis \u003d b, kur b\u003e 0. Norint išspręsti šią lygtį, reikia atsikratyti modulio. Mes tai darome taip: f (x) \u003d b arba f (x) \u003d -b. Dabar būtina kiekvieną gautą lygtį išspręsti atskirai. Jei pradinėje lygtyje b< 0, решений не будет.
1) | x + 2 | \u003d 4, nes 4\u003e 0, tada
x + 2 \u003d 4 arba x + 2 \u003d -4
2) | x 2 - 5 | \u003d 11, nes 11\u003e 0, tada
x 2 - 5 \u003d 11 arba x 2 - 5 \u003d -11
x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6
x \u003d ± 4 nėra šaknų
3) | x 2 - 5x | \u003d -8, nes -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Formos | f (x) | lygtis \u003d g (x). Modulio prasme tokia lygtis turės sprendimus, jei jos dešinė pusė bus didesnė arba lygi nuliui, t. g (x) ≥ 0. Tada turėsime:
f (x) \u003d g (x)arba f (x) \u003d -g (x).
1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Ši lygtis turės šaknis, jei 5x - 10 ≥ 0. Būtent nuo to ir prasideda tokių lygčių sprendimas.
1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0
2. Sprendimas:
2x - 1 \u003d 5x - 10 arba 2x - 1 \u003d - (5x - 10)
3. Mes vienijame ODZ. ir sprendimas yra:
Šaknis x \u003d 11/7 netinka pagal O.D.Z., ji yra mažesnė nei 2, o x \u003d 3 tenkina šią sąlygą.
Atsakymas: x \u003d 3
2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.
1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Išspręskime šią nelygybę intervalų metodu:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Sprendimas:
x - 1 \u003d 1 - x 2 arba x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0
x \u003d -2 arba x \u003d 1 x \u003d 0 arba x \u003d 1
3. Mes sujungiame tirpalą ir ODZ:
Tinka tik šaknys x \u003d 1 ir x \u003d 0.
Atsakymas: x \u003d 0, x \u003d 1.
4. Formos | f (x) | lygtis \u003d | g (x) |. Ši lygtis prilygsta šioms dviem lygtims f (x) \u003d g (x) arba f (x) \u003d -g (x).
1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Ši lygtis atitinka šias dvi:
x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 arba x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5
x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0
x \u003d 3 arba x \u003d 4 x \u003d 2 arba x \u003d 1
Atsakymas: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.
5. Lygtys, išspręstos pakeičiant metodą (kintamasis pakeitimas). Šį sprendimo būdą lengviausia paaiškinti konkrečiu pavyzdžiu. Taigi leiskite pateikti kvadratinę lygtį su moduliu:
x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Modulio ypatybe x 2 \u003d | x | 2, todėl lygtį galima perrašyti taip:
| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Pakeiskime | x | \u003d t ≥ 0, tada turėsime:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Išsprendę šią lygtį, gauname, kad t \u003d 1 arba t \u003d 5. Grįžkime prie pakaitalo:
| x | \u003d 1 arba | x | \u003d 5
x \u003d ± 1 x \u003d ± 5
Atsakymas: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.
Pažvelkime į kitą pavyzdį:
x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Modulio ypatybe x 2 \u003d | x | 2, todėl
| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Atlikime pakeitimą | x | \u003d t ≥ 0, tada:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Spręsdami šią lygtį, gausime t \u003d -2 arba t \u003d 1. Grįžkime prie pakaitalo:
| x | \u003d -2 arba | x | \u003d 1
Nėra šaknų x \u003d ± 1
Atsakymas: x \u003d -1, x \u003d 1.
6. Kitas lygčių tipas - lygtys su „kompleksiniu“ moduliu. Šios lygtys apima lygtis, turinčias „modulius modulyje“. Tokias lygtis galima išspręsti naudojant modulio savybes.
1) | 3 - | x || \u003d 4. Mes veiksime taip pat, kaip ir antrojo tipo lygtyse. Nes 4\u003e 0, tada gauname dvi lygtis:
3 - | x | \u003d 4 arba 3 - | x | \u003d -4.
Dabar kiekvienoje lygtyje išreiškiame modulį x, tada | x | \u003d -1 arba | x | \u003d 7.
Išsprendžiame kiekvieną gautą lygtį. Pirmojoje lygtyje nėra šaknų, nes -1< 0, а во втором x = ±7.
Atsakymas yra x \u003d -7, x \u003d 7.
2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Mes išsprendžiame šią lygtį tuo pačiu būdu:
3 + | x + 1 | \u003d 5 arba 3 + | x + 1 | \u003d -5
| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8
x + 1 \u003d 2 arba x + 1 \u003d -2. Jokių šaknų.
Atsakymas: x \u003d -3, x \u003d 1.
Taip pat yra universalus lygčių su moduliu sprendimas. Tai yra tarpų metodas. Bet mes tai apsvarstysime vėliau.
svetainėje, visiškai ar iš dalies kopijuojant medžiagą, būtina pateikti nuorodą į šaltinį.
Terminas (modulis) pažodžiui išvertus iš lotynų kalbos reiškia „matas“. Šią sąvoką į matematiką įvedė anglų mokslininkas R. Cotesas. O vokiečių matematikas K. Weierstrassas įvedė modulio ženklą - simbolį, žymintį šią sąvoką rašant.
Susisiekia su
Pirmą kartą ši sąvoka matematikoje studijuojama 6 klasės vidurinės mokyklos programoje. Pagal vieną apibrėžimą, modulis yra tikrojo skaičiaus absoliuti vertė. Kitaip tariant, norėdami sužinoti tikrojo skaičiaus absoliučią vertę, turite išmesti jo ženklą.
Grafiškai absoliuti vertė ir žymima kaip | a |.
Pagrindinis šios sąvokos skiriamasis bruožas yra tai, kad jis visada yra ne neigiamas dydis.
Skaičiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik ženklu, vadinami priešingais. Jei vertė yra teigiama, tada jos priešingybė bus neigiama, o nulis yra priešinga sau.
Geometrinė reikšmė
Jei atsižvelgsime į modulio sąvoką geometrijos požiūriu, tai jis žymės atstumą, kuris matuojamas vienetiniais segmentais nuo pradžios iki nustatytas taškas... Šis apibrėžimas visiškai atskleidžia tiriamo termino geometrinę prasmę.
Tai galima grafiškai išreikšti taip: | a | \u003d OA.
Absoliutaus dydžio savybės
Toliau mes apsvarstysime visas šios sąvokos matematines savybes ir rašymo pažodinių išraiškų forma metodus:
Lygčių sprendimo su moduliu ypatybės
Jei mes kalbėsime apie matematinių lygčių ir nelygybių, kuriose yra modulis, sprendimą, turite atsiminti, kad norint jas išspręsti reikia atidaryti šį ženklą.
Pavyzdžiui, jei absoliučios vertės ženkle yra tam tikra matematinė išraiška, tada prieš atidarant modulį reikia atsižvelgti į dabartinius matematinius apibrėžimus.
| A + 5 | \u003d A + 5jei A yra didesnis arba lygus nuliui.
5-Ajei ir vertė yra mažesnė už nulį.
Kai kuriais atvejais ženklą galima vienareikšmiškai išplėsti bet kurioms kintamojo reikšmėms.
Paimkime kitą pavyzdį. Sukurkime koordinačių liniją, ant kurios pažymime visas skaitines reikšmes, kurių absoliuti vertė bus 5.
Pirmiausia reikia nubrėžti koordinačių liniją, pažymėti joje koordinačių kilmę ir nustatyti vieneto segmento dydį. Be to, linija turi turėti kryptį. Dabar šioje tiesėje reikia taikyti žymėjimą, kuris bus lygus vieneto segmento vertei.
Taigi matome, kad šioje koordinačių linijoje bus du mus dominantys taškai, kurių reikšmės yra 5 ir -5.
Skaičiaus vienetą lengva rasti, o jo teorija yra svarbi sprendžiant problemas.
Atskleidimo ypatybės ir taisyklės, naudojamos sprendžiant pratimus ir egzaminus, bus naudingos moksleiviams ir studentams. Uždirbkite pinigų savo žiniomis adresu https://teachs.ru!
Kas yra matematikos modulis
Skaičio modulis apibūdina atstumą skaičių tiesėje nuo nulio iki taško, neatsižvelgiant į kryptį, kuria taškas yra nuo nulio. Matematinis žymėjimas : | x |.
Kitaip tariant, tai yra absoliuti skaičiaus vertė. Apibrėžimas įrodo, kad vertė niekada nėra neigiama.
Modulio savybės
Svarbu prisiminti šias savybes:
Kompleksinis skaičių modulis
Absoliuti komplekso skaičiaus reikšmė yra nukreipto segmento ilgis, nubrėžtas nuo kompleksinės plokštumos pradžios iki taško (a, b).
Ši kryptinė linija taip pat yra vektorius, reiškiantis kompleksinį skaičių a + bi, taigi kompleksinio skaičiaus absoliuti vertė yra tokia pati kaip reprezentuojančio vektoriaus dydis (arba ilgis) a + bi.
Kaip išspręsti lygtis naudojant modulį
Lygtis su moduliu yra lygybė, kurioje yra absoliučios vertės išraiška. Jei realiam skaičiui jis atstoja atstumą nuo pradžios skaičiaus tiesėje, tai modulo nelygybės yra nelygybės rūšis, susidedanti iš absoliučių verčių.
| X | tipo lygtys \u003d a
Lygtis | x | \u003d a turi du atsakymai x \u003d a ir x \u003d –a, nes abu variantai yra koordinačių linijoje atstumu a nuo 0.
Absoliučios vertės lygybė neturi sprendimo, jei vertė yra neigiama.
Jei | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
| X | tipo lygtys \u003d | y |
Kai abiejose lygčių pusėse yra absoliučios vertės, turite apsvarstyti abi priimtinų apibrėžimų galimybes - teigiamas ir neigiamas išraiškas.
Pavyzdžiui, dėl lygybės | x - a | \u003d | x + b | yra du variantai: (x - a) \u003d - (x + b) arba (x - a) \u003d (x + b).
| X | tipo lygtys \u003d y
Šios rūšies lygtyse yra absoliuti išraiškos vertė su kintamuoju kairėje nuo nulio, o kita - nežinoma dešinėje. Y kintamasis gali būti didesnis arba mažesnis už nulį.
Norėdami gauti atsakymą tokia lygybe, turite išspręsti kelių lygčių sistemą, kurioje turite įsitikinti, kad y yra ne neigiama reikšmė:
Nelygybių sprendimas su moduliu
Norėdami geriau suprasti, kaip išplėsti modulį skirtingų tipų lygybėms ir nelygybėms, turite išanalizuoti pavyzdžius.
Formos lygtys | x | \u003d a
1 pavyzdys (algebros laipsnis 6). Išspręskite: | x | + 2 \u003d 4.
Sprendimas.
Tokios lygtys sprendžiamos taip pat, kaip lygybės be absoliučių verčių. Tai reiškia, kad perkeliant nežinomuosius į kairę, o konstantas į dešinę, išraiška nesikeičia.
Perkėlę konstantą į dešinę, gavome: | x | \u003d 2.
Kadangi nežinomumas yra susijęs su absoliučia verte, ši lygybė turi du atsakymus: 2 ir −2 .
Atsakymas: 2 ir −2 .
2 pavyzdys(7 algebros laipsnis). Išspręskite nelygybę | x + 2 | ≥ 1.
Sprendimas.
Pirmiausia reikia rasti taškus, kuriuose keičiasi absoliuti vertė. Norėdami tai padaryti, išraiška prilygsta 0 ... Gauta: x \u003d –2.
Tai reiškia kad –2 - lūžio taškas.
Padalinkime intervalą į 2 dalis:
- kai x + 2 ≥ 0
[−1; + ∞).
- x + 2< 0
Bendras šių dviejų nelygybių atsakymas yra intervalas (−∞; –3].
Paskutinis sprendimas – derinant atskirų dalių atsakymus:
x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Atsakymas: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
Formos lygtys | x | \u003d | y |
1 pavyzdys (8 algebros laipsnis). Išspręskite lygtį dviem moduliais: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | x - 1 |.
Sprendimas:
Atsakymas: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.
2 pavyzdys (8 algebros laipsnis). Išspręskite nelygybę:
Sprendimas:
Formos lygtys | x | \u003d y
1 pavyzdys (10 algebros laipsnis). Raskite x:
Sprendimas:
Labai svarbu patikrinti dešinę pusę, kitaip galite atsakydami parašyti klaidingas šaknis. Iš sistemos galite pamatyti, kas nėra tarpas.
Atsakymas: x \u003d 0.
Sumos modulis
Skirtumo modulis
Absoliuti dviejų skaičių skirtumo vertė x ir y yra lygus atstumui tarp taškų su koordinatėmis X ir Y koordinačių linijoje.
1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
Neigiamas skaičiaus modulis
Norėdami rasti absoliučią skaičiaus, kuris yra mažesnis už nulį, vertę, turite žinoti, kaip toli nuo nulio jis yra. Kadangi atstumas visada yra teigiamas (neįmanoma atlikti „neigiamų“ žingsnių, jie tėra žingsniai kita kryptimi), rezultatas visada yra teigiamas. T.y,
Paprasčiau tariant, absoliuti neigiamo skaičiaus reikšmė turi priešingą reikšmę.
Nulis modulis
Žinomas turtas:
Štai kodėl negalima teigti, kad absoliuti vertė yra teigiamas skaičius: nulis nėra nei neigiamas, nei teigiamas.
Kvadratinis modulis
Modulio kvadratas visada lygus išraiškai kvadratas:
Grafikų su moduliu pavyzdžiai
Dažnai testuose ir egzaminuose yra užduočių, kurias galima išspręsti tik išanalizavus grafikus. Apsvarstykime tokias užduotis.
1 pavyzdys.
Pateikiama funkcija f (x) \u003d | x | Būtina sukurti grafiką nuo - 3 iki 3, atlikdami 1 žingsnį.
Sprendimas:
Paaiškinimas: paveiksle parodyta, kad grafikas yra simetriškas Y ašies atžvilgiu.
2 pavyzdys... Būtina nupiešti ir palyginti funkcijų f (x) \u003d | x - 2 | grafikus ir g (x) \u003d | x | –2.
Sprendimas:
Paaiškinimas: absoliučios vertės viduje esanti konstanta perkelia visą grafiką į dešinę, jei jo vertė yra neigiama, ir į kairę, jei ji yra teigiama. Bet pastovi išorė kreips grafiką aukštyn, jei vertė bus teigiama, ir žemyn, jei ji bus neigiama (pvz., - 2 funkcijoje g (x)).
Viršūnės koordinatė x (taškas, kuriame jungiasi dvi linijos, grafiko viršus) yra skaičius, kuriuo grafikas pasislinkęs į kairę arba į dešinę. Ir koordinatė y Ar vertė, kuria grafikas juda aukštyn arba žemyn.
Tokias diagramas galite sukurti naudodamiesi internetinėmis braižymo programomis. Su jų pagalba galite vizualiai pamatyti, kaip konstantos veikia funkcijas.
Intervalo metodas užduotyse su moduliu
Tarpų metodas yra vienas iš geriausių būdų rasti atsakymą į modulio problemas, ypač jei išraiškoje yra keli.
Norėdami naudoti metodą, turite atlikti šiuos veiksmus:
- Kiekvieną išraišką nustatykite į nulį.
- Raskite kintamųjų reikšmes.
- Taikykite skaitmeninėje linijoje taškus, gautus atlikdami 2 veiksmą.
- Nustatykite išraiškų ženklą (neigiamą arba teigiamą vertę) intervaluose ir nubrėžkite atitinkamai simbolį - arba +. Paprasčiausias būdas nustatyti ženklą yra pakaitalo metodas (pakeičiant bet kokią reikšmę iš intervalo).
- Išspręskite nelygybę su gautais ženklais.
1 pavyzdys... Išspręskite intervalų metodu.
Sprendimas:
