Nesvarbu, ar padalyta iš. Ar galite padalyti iš nulio? Matematikas atsako. Kai pasirodė nulis

- Negalite padalyti iš nulio! - dauguma moksleivių įsimena šią taisyklę, nekeldami klausimų. Visi vaikai žino, kas „neleidžiama“ ir kas nutiks, jei atsakydamas į jį paklaus: „Kodėl?“ Bet iš tikrųjų labai įdomu ir svarbu žinoti, kodėl tai neįmanoma.

Esmė ta, kad keturios aritmetikos operacijos - sudėjimas, atimimas, dauginimas ir padalijimas - iš tikrųjų yra nevienodos. Matematikai tik du iš jų pripažįsta užbaigtais - sudėjimą ir dauginimą. Šios operacijos ir jų savybės yra įtrauktos į paties skaičiaus sąvokos apibrėžimą. Visi kiti veiksmai vienaip ar kitaip sukurti iš šių dviejų.

Tarkime, pavyzdžiui, atimtis. Ką reiškia 5 - 3? Studentas atsakys į tai paprastai: reikia pasiimti penkis daiktus, tris iš jų atimti (pašalinti) ir pažiūrėti, kiek jų liko. Tačiau matematikai į šią problemą žiūri visai kitaip. Nėra atimties, yra tik pridėjimas. Todėl 5 - 3 rašymas reiškia skaičių, kurį pridėjus prie skaičiaus 3, gaunamas skaičius 5. Tai reiškia, kad 5 - 3 yra tik sutrumpintas lygties žymėjimas: x + 3 \u003d 5. Šioje lygtyje nėra atimties. Yra tik užduotis - rasti tinkamą skaičių.

Tas pats pasakytina apie dauginimą ir dalybą. 8: 4 užrašą galima suprasti kaip aštuonių daiktų padalijimo į keturias lygias krūvas rezultatą. Tačiau iš tikrųjų tai tik sutrumpinta 4 x \u003d 8 lygties forma.

Čia paaiškėja, kodėl neįmanoma (tiksliau sakant, neįmanoma) padalyti iš nulio. 5 žymėjimas: 0 yra santrumpa 0 x \u003d 5. Tai reiškia, kad ši užduotis yra surasti skaičių, kuris, padauginus iš 0, duoda 5. Bet mes žinome, kad padauginus iš 0, jūs visada gaunate 0. Tai griežtai tariant, būdinga nulio savybė jo apibrėžimo dalis.

Skaičio, kuris, padauginus iš 0, duos ką nors kita, o ne nulį, paprasčiausiai neegzistuoja. Tai yra, mūsų užduotis neturi sprendimo. (Taip, taip atsitinka, ne kiekviena problema turi sprendimą.) Tai reiškia, kad 5: 0 žymėjimas neatitinka jokio konkretaus skaičiaus, ir jis tiesiog nieko nereiškia, todėl neturi prasmės. Trumpai išreikšta šio įrašo beprasmybė sakant, kad negalima padalyti iš nulio.

Dėmesingiausi skaitytojai šioje vietoje tikrai paklaus: ar nulį galima padalyti iš nulio? Iš tiesų, lygtis 0 x \u003d 0 sėkmingai išspręsta. Pavyzdžiui, galite paimti x \u003d 0, tada gausime 0 0 \u003d 0. Taigi, 0: 0 \u003d 0? Bet neskubėkime. Pabandykime paimti x \u003d 1. Gauname 0 1 \u003d 0. Teisingai? Taigi 0: 0 \u003d 1? Bet tokiu būdu galite paimti bet kurį skaičių ir gauti 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 ir kt.

Bet jei bet kuris skaičius yra tinkamas, tada mes neturime pagrindo pasirinkti kurį nors iš jų. Tai yra, mes negalime pasakyti, kurį numerį atitinka įrašas 0: 0. Ir jei taip yra, turime pripažinti, kad ir šis įrašas neturi prasmės. Pasirodo, kad ir nulio negalima padalyti iš nulio. (Matematinėje analizėje yra atvejų, kai dėl papildomų problemos sąlygų galima teikti pirmenybę vienam iš galimų lygties 0 x \u003d 0 sprendimų; tokiais atvejais matematikai kalba apie „neapibrėžtumo atskleidimą“, tačiau aritmetikoje tokių atvejų nėra.)

Tai yra padalijimo operacijos ypatumas. Tiksliau, daugybos operacija ir susijęs skaičius turi nulį.

Na, o kruopščiausias, perskaitęs iki šiol, gali paklausti: kodėl neįmanoma padalyti iš nulio, bet jūs galite atimti nulį? Tam tikra prasme čia ir prasideda tikroji matematika. Į jį galite atsakyti tik susipažinę su oficialiais matematiniais skaičių rinkinių apibrėžimais ir operacijomis su jais. Tai nėra taip sunku, bet kažkodėl to nemokoma mokykloje. Tačiau universitete matematikos paskaitose pirmiausia bus mokoma būtent to.

Dar mokykloje mokytojai bandė mums įkalti paprasčiausią taisyklę: "Bet koks skaičius, padaugintas iš nulio, yra lygus nuliui!", - bet vis tiek aplink jį daug ginčų. Kažkas tiesiog prisiminė taisyklę ir nesivargina klausimu „kodėl?“. - Negalite ir viskas, nes mokykloje taip sakė, taisyklė yra taisyklė! Kažkas gali užrašyti pusę sąsiuvinio su formulėmis, įrodydamas šią taisyklę arba, priešingai, jos nelogiškumą.

Susisiekia su

Kas galų gale teisus

Šių ginčų metu abu priešingą požiūrį turintys žmonės žiūri vienas į kitą kaip į aviną ir iš visų jėgų įrodo savo nekaltumą. Nors, pažvelgus į juos iš šono, matosi ne vienas, o du avinai, atremiantys ragus vienas į kitą. Vienintelis skirtumas tarp jų yra tas, kad vienas yra šiek tiek mažiau išsilavinęs nei kitas.

Dažniausiai tie, kurie mano, kad ši taisyklė yra neteisinga, bando remtis logika tokiu būdu:

Ant savo stalo turiu du obuolius, jei aš jiems padėsiu nulį obuolių, tai yra, aš nedėsiu nė vieno, tada mano du obuoliai iš to nedings! Taisyklė yra nelogiška!

Iš tiesų obuoliai niekur nedings, bet ne todėl, kad taisyklė yra nelogiška, o todėl, kad čia naudojama šiek tiek kitokia lygtis: 2 + 0 \u003d 2. Taigi tokią išvadą iškart atmetame - ji yra nelogiška, nors ir turi priešingą tikslą - paskambinti prie logikos.

Kas yra daugyba

Pradinė daugybos taisyklė buvo apibrėžtas tik natūraliems skaičiams: dauginimas yra skaičius, pridedamas prie savęs tam tikrą skaičių kartų, o tai reiškia, kad skaičius yra natūralus. Taigi bet kurį dauginamąjį skaičių galima sumažinti iki šios lygties:

25 × 3 \u003d 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 \u003d 25 + 25 + 25

Iš šios lygties daroma išvada, kad dauginimas yra supaprastintas priedas.

Kas yra nulis

Bet kuris žmogus nuo vaikystės žino: nulis yra tuštuma. Nepaisant to, kad ši tuštuma turi žymėjimą, ji visiškai nieko nešioja. Senovės rytų mokslininkai mąstė kitaip - jie filosofiškai priartėjo prie šio klausimo ir nubrėžė tam tikras paraleles tarp tuštumos ir begalybės ir įžvelgė gilią šio skaičiaus prasmę. Juk nulis, turintis tuštumą, stovintis šalia bet kurio natūralaus skaičiaus, jį padaugina dešimt kartų. Taigi visi ginčai dėl dauginimo - šis skaičius turi tiek nenuoseklumo, kad tampa sunku nesupainioti. Be to, nulis nuolat naudojamas apibrėžiant tuščias vietas dešimtainėmis trupmenomis, tai daroma tiek prieš kablelį, tiek po jo.

Ar galite padauginti iš tuštumos

Galite padauginti iš nulio, bet tai nenaudinga, nes, kad ir ką pasakytumėte, bet net ir padauginę neigiamus skaičius, jūs vis tiek gausite nulį. Pakanka tik prisiminti šią paprastą taisyklę ir daugiau niekada neužduoti šio klausimo. Tiesą sakant, viskas yra paprasčiau, nei atrodo iš pirmo žvilgsnio. Nėra paslėptų prasmių ir paslapčių, kaip tikėjo senovės mokslininkai. Toliau bus pateiktas logiškiausias paaiškinimas, kad šis dauginimas yra nenaudingas, nes kai skaičius padauginamas iš jo, vis tiek bus gautas tas pats - nulis.

Grįžtant prie pat pradžių, prie argumento apie du obuolius, 2 kartus 0 atrodo taip:

Jei valgote du obuolius penkis kartus, tada valgote 2 × 5 \u003d 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \u003d 10 obuolių
Jei valgote juos du tris kartus, tada valgomi 2 × 3 \u003d 2 + 2 + 2 \u003d 6 obuoliai
Jei du kartus suvalgysite du obuolius, tada nieko nebus valgyta - 2 × 0 \u003d 0 × 2 \u003d 0 + 0 \u003d 0

Juk valgyti obuolį 0 kartų reiškia nevalgyti vieno. Net mažiausias vaikas tai supras. Ką bepasakysi - išeis 0, du ar tris galima pakeisti absoliučiai bet kokiais skaičiais ir išeis visiškai tas pats. Tada paprasčiau tariant nulis yra niekaso kai turi nieko nėra, kad ir kiek padaugintum, nesvarbu bus nulis... Nėra magijos ir niekas nepadarys obuolio, net jei padauginsite 0 iš milijono. Tai paprasčiausias, suprantamiausias ir logiškiausias padauginimo iš nulio taisyklės paaiškinimas. Asmeniui, toli nuo visų formulių ir matematikos, tokio paaiškinimo pakaks, kad disonansas galvoje išsisklaidytų, ir viskas stoja į savo vietas.

Padalijimas

Dar viena svarbi taisyklė išplaukia iš visų aukščiau išvardytų dalykų:

Negalite padalyti iš nulio!

Ši taisyklė taip pat atkakliai įkalta mums į galvą nuo vaikystės. Mes tiesiog žinome, kad tai neįmanoma ir viskas, neužkimšant galvos nereikalingos informacijos. Jei jums netikėtai užduos klausimą, kodėl draudžiama padalyti iš nulio, tada dauguma bus sutrikusi ir negalės aiškiai atsakyti į paprasčiausią klausimą iš mokyklos programos, nes aplink šią taisyklę nėra tiek daug ginčų ir prieštaravimų.

Visi tik įsiminė taisyklę ir nepadalijo iš nulio, neįtardami, kad atsakymas slypi paviršiuje. Sudėjimas, dauginimas, dalijimas ir atimimas yra nevienodi, tik dauginimas ir susiejimas yra baigtas iš aukščiau išdėstytų dalykų, o visos kitos manipuliacijos skaičiais yra sukurtos iš jų. Tai reiškia, kad 10: 2 rašymas yra lygties 2 * x \u003d 10 santrumpa. Taigi, užrašius 10: 0 yra tas pats sutrumpinimas nuo 0 * x \u003d 10. Pasirodo, kad padalijimas į nulį yra užduotis surasti skaičių, padauginus jį iš 0, gausite 10 Ir mes jau supratome, kad tokio skaičiaus nėra, o tai reiškia, kad ši lygtis neturi sprendimo, ir ji bus neteisinga a priori.

Leiskite man pasakyti jums

Neskirstyti iš 0!

Iškirpkite 1, kiek norite, išilgai,

Tik neskirstykite iš 0!

Evgenijus SHIRYAEVAS, politechnikos muziejaus matematikos laboratorijos vedėjas ir vedėjas, „AiF“ pasakojo apie padalijimą iš nulio:

1. Klausimo jurisdikcija

Sutikite, draudimas suteikia ypatingą provokaciją taisyklei. Kaip tai neįmanoma? Kas tai uždraudė? O mūsų pilietinės teisės?

Nei konstitucija, nei Baudžiamasis kodeksas, net jūsų mokyklos įstatai neprieštarauja mums įdomiam intelektualiniam veiksmui. Tai reiškia, kad draudimas neturi teisinės galios ir niekas netrukdo čia pat, „AiF“ puslapiuose, bandyti ką nors padalyti iš nulio. Pavyzdžiui, tūkstantis.

2. Skirstyk, kaip mokoma

Prisiminkite, kai pirmą kartą sužinojote, kaip skirstyti, pirmieji pavyzdžiai buvo išspręsti atliekant daugybos testą: rezultatas, padaugintas iš daliklio, turėjo sutapti su dividendu. Nesutapo - neapsisprendė.

1 pavyzdys. 1000: 0 =...

Pamirškime minutę apie draudžiamą taisyklę ir keletą kartų bandykime atspėti atsakymą.

Čekis nukirs neteisingus. Peržiūrėkite parinktis: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Kiekvieno iš jų patikrinimas duos tą patį rezultatą:

100 0 \u003d 1 0 \u003d - 23 0 \u003d 17 0 \u003d 0 0 \u003d 10 000 0 \u003d 0

Padauginus nulį, viskas paverčiama savaime ir niekada tūkstančiu. Išvadą nesunku suformuluoti: testo neišlaikys nė vienas skaičius. Tai reiškia, kad nė vienas skaičius negali būti nulinio skaičiaus padalijimo iš nulio rezultatas. Toks skirstymas nėra draudžiamas, bet tiesiog neturi rezultato.

3. Niuansas

Beveik praleidome vieną galimybę paneigti draudimą. Taip, mes pripažįstame, kad nulinis skaičius negali būti dalijamasi iš 0. Bet gal pats 0 gali?

2 pavyzdys. 0: 0 = ...

Jūsų pasiūlymai dėl privataus asmens? šimtas? Prašau: koeficientas, 100 kartų daliklis 0 yra lygus dividendui 0.

Daugiau pasirinkimų! vienas? Taip pat tinka. Ir -23, ir 17, ir visi visi. Šiame pavyzdyje testas bus teigiamas bet kuriam skaičiui. Ir, tiesą sakant, šio pavyzdžio sprendimas turėtų būti vadinamas ne skaičiumi, o skaičių rinkiniu. Visi. Ir neilgai reikia susitarti, kad Alisa yra ne Alisa, o Merė Ana, ir jos abi yra triušio svajonė.

4. O kaip su aukštąja matematika?

Problema buvo išspręsta, atsižvelgta į niuansus, dedami taškai, viskas tapo aišku - atsakymas į pavyzdį, padalijant iš nulio, negali būti vienas skaičius. Išspręsti tokias problemas yra beviltiška ir neįmanoma užduotis. O tai reiškia ... įdomu! Paimkite du.

3 pavyzdys. Išsiaiškinkite, kaip padalinti 1000 iš 0.

Negali būti. Tačiau 1000 galima lengvai padalyti iš kitų skaičių. Na, bent jau darykime tai, ką gauname, net jei ir pakeisime užduotį. Ir ten, matai, mus apims ir atsakymas pasirodys pats. Mes minutę pamirštame nulį ir padalijame iš šimto:

Šimtas toli gražu nėra nulis. Ženkime žingsnį link jo, mažindami daliklį:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Akivaizdi dinamika: kuo daliklis yra artimesnis nuliui, tuo didesnis daliklis. Tendenciją galima stebėti toliau, pereinant prie trupmenų ir toliau mažinant skaitiklį:

Belieka pažymėti, kad mes galime priartėti prie nulio tiek arti, kiek norime, todėl koeficientas tampa savavališkai didelis.

Šiame procese nėra nulio ir paskutinio koeficiento. Mes paskyrėme judėjimą link jų, pakeisdami skaičių seka, sutampančia su mus dominančiu skaičiumi:

Tai reiškia panašų dividendų pakeitimą:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Strėlės ne veltui dedamos dvipusės: kai kurios sekos gali suartėti į skaičius. Tada mes galime priskirti seką prie jos skaitinės ribos.

Pažvelkime į dalijimų seką:

Jis auga neribotą laiką, nesiekdamas jokio skaičiaus ir nepralenkdamas nė vieno. Matematikai prideda simbolį prie skaičių ∞ mokėti šalia tokios sekos uždėti dvigubą rodyklę:

Palyginus sekų skaičių su riba, galime pasiūlyti trečiojo pavyzdžio sprendimą:

Padaliję į 1000 konverguojančią seką iš teigiamų skaičių sekos, susiliejusios su 0 elementų, gauname seką, konverguojančią to.

5. Ir čia yra nulis su dviem nuliais

Koks bus rezultatas padalijus dvi teigiamų skaičių sekas, kurios sutampa su nuliu? Jei jie yra vienodi, tai jie yra tas pats vienetas. Jei dividendų seka greičiau konverguoja į nulį, tai koeficientu tai yra nulinės ribos seka. Kai daliklio elementai mažės daug greičiau nei dividendo, dalinių seka stipriai augs:

Neaiški situacija. Taip vadinama: rūšies neapibrėžtumas 0/0 ... Matematikai matydami sekas, kurios atitinka šią neapibrėžtumą, jie neskuba dalyti dviejų vienodų skaičių vienas kitu, bet išsiaiškina, kuri iš sekų eina greičiau iki nulio ir kaip tiksliai. Ir kiekvienas pavyzdys turės savo konkretų atsakymą!

6. Gyvenime

Ohmo įstatymas susijęs su srovės stiprumu, įtampa ir varža grandinėje. Dažnai rašoma tokia forma:

Nepamirškime tikslaus fizinio supratimo ir oficialiai pažvelkime į dešinę pusę kaip į dviejų skaičių dalinį. Įsivaizduokite, kad sprendžiame mokyklos elektros problemą. Sąlyga suteikia įtampą voltais ir varžą omais. Klausimas akivaizdus, \u200b\u200bvieno žingsnio sprendimas.

Dabar pažvelkime į superlaidumo apibrėžimą: tai yra kai kurių metalų savybė turėti nulinę elektrinę varžą.

Na, spręskime superlaidumo grandinės problemą? Tiesiog pakeisk R \u003d0 neveiks, fizika iškelia įdomią problemą, už kurios, aišku, slypi mokslinis atradimas. Žmonės, kuriems šioje situacijoje pavyko padalyti į nulį, gavo Nobelio premiją. Naudinga mokėti apeiti bet kokius draudimus!

Ir čia dar vienas įdomus teiginys. - Negalite padalyti iš nulio! - dauguma moksleivių įsimena šią taisyklę, nekeldami klausimų. Visi vaikai žino, kas „neleidžiama“ ir kas nutiks, jei atsakydamas į jį paklaus: „Kodėl?“. Tai atsitiks, jei

Bet iš tikrųjų labai įdomu ir svarbu žinoti, kodėl tai neįmanoma.

Tas pats pasakytina apie dauginimą ir dalybą. 8: 4 užrašą galima suprasti kaip aštuonių daiktų padalijimo į keturias lygias krūvas rezultatą. Tačiau iš tikrųjų tai yra tik sutrumpinta lygties 4 x \u003d 8 forma.

Čia paaiškėja, kodėl neįmanoma (tiksliau sakant, neįmanoma) padalyti iš nulio. Žymėjimas 5: 0 yra santrumpa 0 x \u003d 5. Tai reiškia, kad ši užduotis yra surasti skaičių, kurį padauginus iš 0 gausime 5. Bet mes žinome, kad padauginus iš 0, jis visada pasirodo lygus 0. Tai griežtai tariant būdinga nulio savybė , jo apibrėžimo dalis.

Nėra tokio skaičiaus, kuris, padauginus iš 0, duos ką nors kita, o ne nulį. Tai yra, mūsų užduotis neturi sprendimo. (Taip, būna, ne kiekviena problema turi sprendimą.) Tai reiškia, kad 5: 0 žymėjimas neatitinka jokio konkretaus skaičiaus, ir jis tiesiog nieko nereiškia, todėl neturi prasmės. Trumpai išreikšta šio įrašo beprasmybė sakant, kad negalima padalyti iš nulio.

Dėmesingiausi skaitytojai šioje vietoje tikrai paklaus: ar nulį galima padalyti iš nulio? Iš tiesų, lygtį 0 x \u003d 0 galima sėkmingai išspręsti. Pavyzdžiui, galite paimti x \u003d 0, tada gausime 0 · 0 \u003d 0. Pasirodo, kad 0: 0 \u003d 0? Bet neskubėkime. Pabandykime paimti x \u003d 1. Gauname 0 · 1 \u003d 0. Teisingai? Taigi 0: 0 \u003d 1? Bet tokiu būdu galite paimti bet kurį skaičių ir gauti 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 ir kt.

Bet jei bet kuris skaičius yra tinkamas, tada mes neturime pagrindo pasirinkti kurį nors iš jų. Tai yra, mes negalime pasakyti, kurį numerį atitinka įrašas 0: 0. Ir jei taip, tada turime pripažinti, kad šis įrašas taip pat neturi prasmės. Pasirodo, kad ir nulio negalima padalyti iš nulio. (Matematinėje analizėje yra atvejų, kai dėl papildomų problemos sąlygų galima teikti pirmenybę vienam iš galimų lygties 0 · x \u003d 0 sprendimų; tokiais atvejais matematikai kalba apie „neapibrėžtumo atskleidimą“, tačiau aritmetikoje tokių atvejų nėra.)

Tai yra padalijimo operacijos ypatumas. Tiksliau, daugybos operacija ir susijęs skaičius turi nulį.

Skaičius 0 gali būti pavaizduotas kaip tam tikra riba, skirianti realiųjų skaičių pasaulį nuo įsivaizduojamų ar neigiamų. Dėl dviprasmiškos padėties daugelis operacijų su šia skaitine verte nepaklūsta matematinei logikai. Tai, kad neįmanoma padalyti iš nulio, yra geriausias to pavyzdys. Ir leidžiamos aritmetinės operacijos su nuline gali būti atliekamos naudojant visuotinai priimtus apibrėžimus.

Nulis istorija

Nulis yra atskaitos taškas visose standartinėse skaičiavimo sistemose. Europiečiai šį skaičių pradėjo naudoti palyginti neseniai, tačiau senovės Indijos išminčiai sunaudojo nulį tūkstantį metų, kol tuščią skaičių reguliariai naudojo Europos matematikai. Dar prieš indus majų skaičių sistemoje nulis buvo privaloma reikšmė. Ši amerikiečių tauta naudojo dvyliktokų skaičių sistemą ir kiekvieno mėnesio pirmą dieną jie pradėjo nuo nulio. Įdomu tai, kad majų ženklas „nulis“ buvo visiškai toks pat kaip „begalybės“ ženklas. Taigi senovės majos padarė išvadą, kad šios vertybės yra tapačios ir nepažįstamos.

Matematikos operacijos su nuline

Standartines matematikos operacijas su nuliu galima suskaidyti pagal kelias taisykles.

Papildymas: jei prie savavališko skaičiaus pridėsite nulį, tada jo vertė nebus pakeista (0 + x \u003d x).

Atimtis: atimant nulį iš bet kurio skaičiaus, atimtosios vertė lieka nepakitusi (x-0 \u003d x).

Padauginimas: Bet koks skaičius, padaugintas iš 0, duoda 0 produkte (a * 0 \u003d 0).

Padalijimas: nulį galima padalyti iš bet kurio ne nulio skaičiaus. Šiuo atveju tokios trupmenos vertė bus 0. O dalyti su nuline yra draudžiama.

Išskleidimas. Šį veiksmą galima atlikti bet kokiu skaičiumi. Bet koks skaičius, pakeltas iki nulio galios, suteiks 1 (x 0 \u003d 1).

Bet kurios galios nulis yra 0 (0 a \u003d 0).

Šiuo atveju iškart kyla prieštaravimas: išraiška 0 0 neturi reikšmės.

Matematikos paradoksai

Daugelis žmonių žino, kad mokykloje neįmanoma padalyti į nulį. Bet kažkodėl neįmanoma paaiškinti tokio draudimo priežasties. Iš tiesų, kodėl nėra dalijimo iš nulio formulės, tačiau kiti veiksmai su tokiu skaičiumi yra gana pagrįsti ir įmanomi? Atsakymą į šį klausimą pateikia matematikai.

Reikalas tas, kad įprastos aritmetinės operacijos, kurias mokiniai mokosi pradinėse klasėse, iš tikrųjų toli gražu nėra tokios lygios, kaip mes manome. Visas paprastas operacijas su skaičiais galima sumažinti iki dviejų: sudėti ir dauginti. Šie veiksmai yra pačios skaičiaus sampratos esmė, o likusios operacijos yra pagrįstos šių dviejų vartojimu.

Sudėjimas ir dauginimas

Paimkime standartinį atimties pavyzdį: 10-2 \u003d 8. Mokykloje tai laikoma paprastai: jei iš dešimties dalykų atimami du, lieka aštuoni. Tačiau matematikai į šią operaciją žiūri visai kitaip. Juk tokios operacijos kaip atimtis jiems nėra. Šį pavyzdį galima parašyti kitu būdu: x + 2 \u003d 10. Matematikams nežinomas skirtumas yra tiesiog skaičius, kurį reikia pridėti prie dviejų, kad būtų aštuoni. Čia nereikia atimti, tiesiog reikia rasti tinkamą skaitinę vertę.

Dauginimas ir dalijimasis traktuojami vienodai. 12: 4 \u003d 3 pavyzdyje galite suprasti, kad kalbama apie aštuonių objektų padalijimą į dvi lygias krūvas. Tačiau iš tikrųjų tai yra tik apversta formulė 3x4 \u003d 12 rašyti, ir yra begalė padalijimo pavyzdžių.

Padalijimas iš 0 pavyzdžių

Čia tampa šiek tiek aišku, kodėl negalima padalyti iš nulio. Padauginus ir padalijus iš nulio, reikia laikytis jų pačių taisyklių. Visi šio kiekio padalijimo pavyzdžiai gali būti suformuluoti kaip 6: 0 \u003d x. Bet tai yra apverstas išraiškos 6 * x \u003d 0 žymėjimas. Bet, kaip žinote, bet koks skaičius, padaugintas iš 0, produkte suteikia tik 0. Ši savybė būdinga pačiai nulio vertės sampratai.

Pasirodo, kad nėra tokio skaičiaus, kuris, padauginus iš 0, suteiktų bet kokią apčiuopiamą vertę, tai yra, ši problema neturi sprendimo. Jūs neturėtumėte bijoti tokio atsakymo, tai natūralus atsakymas į tokio tipo problemas. Tiesiog 6-0 neturi jokios prasmės ir nieko negali paaiškinti. Trumpai tariant, šią išraišką galima paaiškinti nemirtingu „padalijimas nuliu yra neįmanomas“.

Ar atliekama operacija 0: 0? Iš tiesų, jei padauginimo iš 0 operacija yra teisėta, ar nulį galima padalyti iš nulio? Juk 0x 5 \u003d 0 formos lygtis yra visiškai teisėta. Vietoj skaičiaus 5 galite įdėti 0, produktas nuo to nepasikeis.

Iš tiesų, 0x0 \u003d 0. Bet vis tiek negalima padalyti iš 0. Kaip sakoma, dalijimasis yra tiesiog atvirkštinis dauginimas. Taigi, jei pavyzdyje 0x5 \u003d 0, jums reikia nustatyti antrąjį faktorių, gausime 0x0 \u003d 5. Arba 10. Arba begalybė. Begalybės padalijimas iš nulio - kaip jums tai patinka?

Bet jei koks nors skaičius tinka į išraišką, tada jis neturi prasmės, mes negalime pasirinkti vieno iš begalinio skaičių rinkinio. Ir jei taip, tai reiškia, kad išraiška 0: 0 neturi prasmės. Pasirodo, kad ir paties nulio negalima padalyti iš nulio.

Aukštoji matematika

Skirstymas į nulį yra galvos skausmas mokyklos matematikai. Technikos universitetuose studijuota matematinė analizė šiek tiek praplečia problemų, kurios neturi sprendimo, sampratą. Pavyzdžiui, prie jau žinomos išraiškos 0: 0 pridedami nauji, neturintys sprendimo mokyklų matematikos kursuose:

begalybė padalinta iš begalybės:?:?;
begalybė atėmus begalybę: ???;
vienas pakeltas iki begalinės galios: 1? ;
begalybės kartų 0 :? * 0;
kai kurie kiti.

Tokių išraiškų neįmanoma išspręsti elementariais metodais. Tačiau aukštoji matematika, dėka papildomų daugybės panašių pavyzdžių galimybių, pateikia galutinius sprendimus. Tai ypač akivaizdu nagrinėjant problemas iš ribų teorijos.

Neapibrėžtumo atskleidimas

Ribų teorijoje vertė 0 pakeičiama sąlyginiu begaliniu mažiausiu kintamuoju. Ir išraiškos, kuriomis padalijamas nulis gaunamas pakeitus norimą vertę, yra konvertuojamos. Žemiau pateikiamas standartinis ribų išplėtimo, naudojant įprastas algebrines transformacijas, pavyzdys:

Kaip matote pavyzdyje, paprastas trupmenos sumažinimas lemia jos vertę iki visiškai racionalaus atsakymo.

Atsižvelgiant į trigonometrinių funkcijų ribas, jų išraiškos linkusios sumažinti iki pirmosios nepaprastos ribos. Svarstant ribas, kuriomis vardiklis eina į 0, kai riba pakeičiama, naudojama antroji nepaprastoji riba.

Lopitalio metodas

Kai kuriais atvejais išraiškų ribas galima pakeisti jų išvestinių ribomis. Guillaume Lopital - prancūzų matematikas, Prancūzijos matematinės analizės mokyklos įkūrėjas. Jis įrodė, kad išraiškų ribos yra lygios šių išraiškų vedinių riboms. Matematikos žymėjime jo taisyklė yra tokia.

Šiuo metu „L'Hôpital“ metodas sėkmingai naudojamas tokiems neapibrėžtumams spręsti kaip 0: 0 ar?:?

Kaip padalinti ir padauginti iš 0,1; 0,01; 0,001 ir pan.?

Parašykite dalijimo ir daugybos taisykles.

Norėdami padauginti skaičių iš 0,1, tiesiog reikia perkelti kablelį.

Pavyzdžiui, taip buvo 56 , tapo 5,6 .

Norėdami padalyti iš to paties skaičiaus, kablelį turite perkelti priešinga kryptimi:

Pavyzdžiui, taip buvo 56 , tapo 560 .

Naudojant skaičių 0,01, viskas yra ta pati, tačiau ją reikia perkelti 2 simboliais, o ne vienu.

Apskritai, kuo daugiau nulių, perkelkite tiek.

Pavyzdžiui, yra numeris 123456789.

Jums reikia padauginti iš 0,000000001

Skaičiuje 0.000000001 yra devyni nuliai (taip pat skaičiuojamas nulis kablelio kairėje), todėl skaičių 123456789 perkeliame 9 skaitmenimis:

Tai buvo 123456789 dabar 0,123456789.

Norėdami nepadauginti, bet padalyti iš to paties skaičiaus, mes pereiname į kitą pusę:

Tai buvo 123456789 dabar 123456789000000000.

Norėdami tokiu būdu perkelti sveiką skaičių, tiesiog priskirkite jam nulį. Dalimis judiname kablelį.

Skaičius padalyti iš 0,1 yra tas pats, kas tą skaičių padauginti iš 10

Skaičius padalyti iš 0,01 yra tas pats, kas tą skaičių padauginti iš 100

Padalijimas iš 0,001 padauginamas iš 1000.

Kad būtų lengviau įsiminti - perskaitėme skaičių, kurį turime padalyti iš dešinės į kairę, nepaisydami kablelio, ir padauginame iš gauto skaičiaus.

Pavyzdys: 50: 0.0001. Tai lyg 50 kartų (skaitoma iš dešinės į kairę be kablelio - 10000) 10000. Tai 500000.

Taip yra ir dauginant, priešingai:

400 x 0,01 yra tas pats, kas dalyti 400 iš (skaityti iš dešinės į kairę be kablelio - 100) 100: 400: 100 \u003d 4.

Kam patogiau perkelti kablelius į dešinę dalijant, o į kairę - padauginus, padauginus ir padalijus iš tokių skaičių, galite tai padaryti.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Padalijimas po kablelio

Aš Norėdami padalyti skaičių iš dešimtainės trupmenos, kablelius padalykite į dalelę ir padalykite iš tiek skaitmenų į dešinę, kiek yra po kablelio daliklyje, tada padalykite iš natūralaus skaičiaus.

Paimkimery.

Atlikite padalijimą: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Sprendimas.

Pavyzdys 1) 16,38: 0,7.

Skirstytuve 0,7 po kablelio yra vienas skaitmuo, todėl perkelkite kablelius į dividendus ir padalykite iš vieno skaitmens į dešinę.

Tada mums reikės skirstytis 163,8 ant 7 .

Padalinkime pagal taisyklę, kaip dešimtainę trupmeną dalyti iš natūralaus skaičiaus.

Padalinkite, kaip dalijasi natūralieji skaičiai. Kaip nugriauti skaitmenį 8 - pirmasis skaitmuo po kablelio (t. y. dešimtos vietos skaitmuo), taigi nedelsiant įdėti privatų kablelį ir skirstyk toliau.

Atsakymas: 23.4.

Pavyzdys 2) 15,6: 0,15.

Dividenduose nešiojamės kablelius ( 15,6 ) ir daliklis ( 0,15 ) du skaitmenys į dešinę, nes daliklis 0,15 po kablelio yra du skaitmenys.

Atminkite, kad dešimtainėje dešinėje galima priskirti tiek skaičių, kiek jums patinka, ir tai dešimtainio ženklo nepakeis.

15,6:0,15=1560:15.

Mes atliekame natūraliųjų skaičių padalijimą.

Atsakymas: 104.

Pavyzdys 3) 3,114: 4,5.

Perkelkite kablelius dividenduose ir dalykite vienu skaitmeniu į dešinę ir padalykite 31,14 ant 45 pagal dešimtainės trupmenos dalybos iš natūralaus skaičiaus taisyklę.

3,114:4,5=31,14:45.

Privačiame kablelį dedame, kai tik nugriauname skaitmenį 1 dešimtoje vietoje. Tada mes toliau dalijamės.

Norėdami užbaigti padalijimą, turėjome paskirti nulis prie skaičiaus 9 - skaičių skirtumas 414 ir 405 . (žinome, kad nulius galima priskirti dešimtainės trupmenos daliai)

Atsakymas: 0.692.

Pavyzdys 4) 53,84: 0,1.

Perkelkite kablelius į dividendus ir padalykite iš 1 skaitmuo dešinėje.

Mes gauname: 538,4:1=538,4.

Panagrinėkime lygybę: 53,84:0,1=538,4. Atkreipkite dėmesį į kablelį šiame pavyzdyje esančiame dividende ir kablelį gautame koeficiente. Atkreipkite dėmesį, kad dividendų kablelis buvo perkeltas 1 skaitmenis į dešinę, tarsi mes daugintume 53,84 ant 10. (Žiūrėkite vaizdo įrašą „Dešimtainio skaičiaus padauginimas iš 10, 100, 1000 ir kt.“) Taigi dešimtainio dalijimo iš 0,1; 0,01; 0,001 ir kt.

II. Dešimtainį skaičių padalyti iš 0,1; 0,01; 0,001 ir pan., Kablelį reikia perkelti į dešinę 1, 2, 3 ir tt skaitmenimis. (Dešimtainės trupmenos dalyba iš 0,1; 0,01; 0,001 ir kt. Yra tolygi dešimtainės trupmenos padauginimui iš 10, 100, 1000 ir kt.)

Pavyzdžiai.

Atlikite padalijimą: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Sprendimas.

Pavyzdys 1) 617,35: 0,1.

Pagal taisyklę II padalijimas pagal 0,1 yra tolygus dauginimui iš 10 ir perkelkite kablelį į dividendus 1 skaitmuo dešinėje:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Pavyzdys 2) 0,235: 0,01.

Skirstymas pagal 0,01 yra tolygus dauginimui iš 100 , o tai reiškia, kad kablelis dividenduose yra perkeliamas ant 2 skaitmenys dešinėje:

2) 0,235:0,01=23,5.

Pavyzdys 3) 2,7845: 0,001.

Kaip padalijimas pagal 0,001 yra tolygus dauginimui iš 1000 , tada perkelkite kablelį 3 skaitmenys dešinėje:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Pavyzdys 4) 26,397: 0,0001.

Dešimtainį skaičių padalykite iš 0,0001 - tai lyg padauginti iš 10000 (neškite kablelį 4 skaitmenys į dešinę). Mes gauname:

www.mathematics-repetition.com

10, 100, 0,1, 0,01 formos dauginimas ir dalijimas iš skaičių

Šią vaizdo pamoką galima užsisakyti

Ar jau turite prenumeratą? Įeiti

Šioje pamokoje bus aptariama, kaip atlikti 10, 100, 0,1, 0,001 formos dauginimą ir dalijimą iš skaičių. Taip pat bus išspręsti įvairūs šios temos pavyzdžiai.

Padauginkite skaičius iš 10, 100

Pratimas. Kaip padauginti 25,78 iš 10?

Dešimtainis šio skaičiaus žymėjimas yra sutrumpintas sumos žymėjimas. Būtina jį dažyti išsamiau:

Taigi, jums reikia padauginti sumą. Norėdami tai padaryti, galite paprasčiausiai padauginti kiekvieną terminą:

Paaiškėjo, kad.

Galime daryti išvadą, kad dešimtainę trupmeną padauginti iš 10 yra labai paprasta: kablelį reikia perkelti į dešinę viena pozicija.

Pratimas. Padauginkite 25,486 iš 100.

Padauginti iš 100 yra tas pats, kas padauginti du kartus iš 10. Kitaip tariant, jūs turite du kartus perkelti kablelį į dešinę:

Skaičių padalijimas iš 10, 100

Pratimas. Padalinkite 25,78 iš 10.

Kaip ir ankstesniu atveju, skaičių kaip 25,78 būtina pateikti kaip sumą:

Kadangi jums reikia padalyti sumą, tai prilygsta kiekvieno termino dalijimui:

Pasirodo, kad padalintumėte iš 10, kablelį turite perkelti į kairę vieną poziciją. Pavyzdžiui:

Pratimas. Padalinkite 124,478 iš 100.

Padalinti iš 100 yra tas pats, kas padalinti iš 10 du kartus, todėl kablelis pasislinkęs 2 pozicijomis į kairę:

Padauginimo ir dalijimo iš 10, 100, 1000 taisyklė

Jei dešimtainę trupmeną reikia padauginti iš 10, 100, 1000 ir pan., Kablelį reikia perkelti į dešinę tiek pozicijų, kiek koeficiente yra nulių.

Ir atvirkščiai, jei dešimtainę trupmeną reikia padalyti iš 10, 100, 1000 ir t. T., Kablelį reikia perkelti į kairę tiek pozicijų, kiek koeficiente yra nulių.

Pavyzdžiai, kai reikia perkelti kablelį, bet nelieka skaičių

Padauginus iš 100, kableliai perkeliami dviem vietomis į dešinę.

Po pamainos galite pastebėti, kad po kablelio nėra skaičių, o tai reiškia, kad trūksta trupmeninės dalies. Tada kablelio nereikia, skaičius yra sveikas skaičius.

Turite perkelti 4 pozicijas į dešinę. Bet po kablelio yra tik du skaitmenys. Verta prisiminti, kad trupmenai 56,14 yra lygiavertis žymėjimas.

Dabar padauginti iš 10 000 yra lengva:

Jei nėra labai aišku, kodėl ankstesniame pavyzdyje galite pridėti du nulius prie trupmenos, tai gali padėti papildomas nuorodos vaizdo įrašas.

Lygiavertis dešimtainis žymėjimas

52 įrašas reiškia:

Jei į priekį įdėsite 0, gausite įrašą 052. Šie įrašai yra lygiaverčiai.

Ar galite įdėti du nulius į priekį? Taip, šie įrašai yra lygiaverčiai.

Dabar pažvelkime į dešimtainę trupmeną:

Jei priskiriate nulį, paaiškėja:

Šie įrašai yra lygiaverčiai. Panašiai galite priskirti keletą nulių.

Taigi bet kuriam skaičiui po trupmenos galima priskirti keletą nulių ir prieš sveiką skaičių keletą nulių. Tai bus lygiaverčiai to paties numerio įrašai.

Kadangi dalijamasi iš 100, reikia 2 kablelio pozicijas perkelti į kairę. Kablelyje neliko skaičių. Trūksta visos dalies. Šį žymėjimą dažnai naudoja programuotojai. Matematikoje, jei nėra visos dalies, tada vietoj jos dedamas nulis.

Jums reikia judėti kairėn trimis pozicijomis, tačiau yra tik dvi pozicijos. Jei prieš skaičių parašysite keletą nulių, tai bus lygiavertis įrašas.

Tai yra, kai pereinama į kairę, jei skaičiai baigiasi, turite juos užpildyti nuliais.

Šiuo atveju atminkite, kad kablelis visada eina po visos dalies. Tada:

Padauginkite ir padalykite iš 0,1, 0,01, 0,001

Padauginimas ir padalijimas iš skaičių 10, 100, 1000 yra labai paprasta procedūra. Lygiai tokia pati situacija yra ir su skaičiais 0,1, 0,01, 0,001.

Pavyzdys... Padauginkite 25,34 iš 0,1.

Parašykime dešimtainę trupmeną 0,1 kaip paprastąją. Padauginti iš to paties, kaip dalyti iš 10. Todėl kablelį 1 reikia perkelti į kairę:

Panašiai padauginus iš 0,01 padalijama iš 100:

Pavyzdys. 5,235 padalintas iš 0,1.

Šio pavyzdžio sprendimas sukurtas panašiai: 0,1 išreiškiamas įprasta trupmena, o dalijant iš to paties, padauginus iš 10:

Tai yra, norint padalinti iš 0,1, reikia perkelti kablelį į dešinę vieną poziciją, kuri prilygsta padauginimui iš 10.

Dauginimo ir dalijimo iš 0,1, 0,01, 0,001 taisyklė

Padauginus iš 10 ir padalijus iš 0,1, tas pats dalykas. Kablelis turi būti perkeltas į dešinę 1 pozicija.

Padalinti iš 10 ir padauginti iš 0,1 yra tas pats. Kablelis turi būti perkeltas į dešinę 1 pozicija:

Sprendimų pavyzdžiai

Išvada

Šioje pamokoje buvo tiriamos dalijimo ir dauginimo iš 10, 100 ir 1000 taisyklės. Be to, buvo atsižvelgta į dauginimo ir dalijimo iš 0,1, 0,01, 0,001 taisykles.

Šių taisyklių taikymo pavyzdžiai buvo peržiūrėti ir išspręsti.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya. Matematika: vadovėlis. už 5 cl. generolas uchr. 17-asis leidimas - M.: Mnemosina, 2005 m.

2. Ševkinas A.V. Žodžių uždaviniai matematikoje: 5-6. - M.: Ileksa, 2011 m.

3. Eršova A.P., Goloborodko V.V. Visa mokyklos matematika savarankiškuose ir kontroliniuose darbuose. Matematika 5-6. - M.: Ileksa, 2006 m.

4. Khlevnyuk NN, Ivanova MV. Skaičiavimo įgūdžių formavimas matematikos pamokose. 5–9 klasės. - M.: Ileksa, 2011 m .

1. Interneto portalas „Pedagoginių idėjų festivalis“ (šaltinis)

2. Interneto portalas "Matematika-na.ru" (Šaltinis)

3. Interneto portalas „School.xvatit.com“ (Šaltinis)

Namų darbai

3. Palyginkite išraiškų reikšmes:

Veiksmai su nuliu

Matematikoje skaičius nulis užima ypatingą vietą. Faktas yra tai, kad jis iš tikrųjų reiškia „nieko“, „tuštumą“, tačiau jo prasmę iš tikrųjų sunku pervertinti. Norėdami tai padaryti, pakanka prisiminti bent ką tiksliai nulio ženklasir pradeda skaičiuoti taško padėties koordinates bet kurioje koordinačių sistemoje.

Nulis Jis plačiai naudojamas dešimtainėmis trupmenomis apibrėžiant „tuščių“ skaitmenų, esančių tiek prieš kablelį, tiek po jo, reikšmes. Be to, būtent su juo siejama viena iš pagrindinių aritmetikos taisyklių, kuri teigia, kad toliau nulis negalima padalinti. Iš tikrųjų jo logika kyla iš pačios šio skaičiaus esmės: iš tikrųjų neįmanoma įsivaizduoti, kad kažkokia nuo jo (o ir pati) esanti prasmė buvo padalinta į „nieką“.

NUO nulis atliekamos visos aritmetinės operacijos, o jose kaip „partneriai“ gali būti naudojami sveiki skaičiai, paprastosios ir dešimtainės trupmenos, ir visos jos gali turėti tiek teigiamą, tiek neigiamą reikšmę. Pateikiame jų įgyvendinimo pavyzdžius ir keletą jų paaiškinimų.

Pridedant įbrėžimas iki tam tikro skaičiaus (tiek sveiko, tiek trupmeninio, tiek teigiamo, tiek neigiamo) jo vertė lieka visiškai nepakitusi.

Dvidešimt keturi pliusai nulis lygus dvidešimt keturiems.

Septyniolika taškų trys aštuntokai plius nulis lygus septyniolikai taškų trys aštuntosios.

Mokesčių deklaracijų formos Mes atkreipiame Jūsų dėmesį į visų rūšių mokesčių ir rinkliavų deklaravimo formas: 1. Pajamų mokestis. Dėmesio, nuo 2014-02-10 pajamų mokesčio ataskaita teikiama pagal naujus deklaracijų pavyzdžius, patvirtintus Pajamų ministerijos 2013-12-30 įsakymu Nr. 872.1. 1. Mokesčių deklaracija už [...]
Squared Sum Squared Difference Tikslas Tikslas: Išvesti formules išraiškų sumai ir skirtumui kvadratu nustatyti. Laukiami rezultatai: išmokti naudoti sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formules. Pamokos tipas: problemos išdėstymo pamoka. I. Pamokos temos ir tikslo perdavimas II. Darbas pamokos tema Dauginant [...]
Kuo skiriasi buto su nepilnamečiais vaikais privatizavimas nuo privatizavimo be vaikų? Jų dalyvavimo ypatumai, dokumentai Bet kokiems nekilnojamojo turto sandoriams reikia skirti daug dėmesio. Ypač jei planuojate privatizuoti butą su nepilnamečiais vaikais. Kad jis būtų pripažintas galiojančiu, ir [...]
Valstybinės rinkliavos už seno tipo pasą, skirtą vaikui iki 14 metų, dydis ir vieta, kur jį sumokėti. Kreipiantis į valstybės institucijas dėl bet kokios paslaugos gavimo visada mokama valstybės rinkliava. Norėdami gauti užsienio pasą, taip pat turite sumokėti federalinį mokestį. Kiek yra dydis [...]
Kaip užpildyti prašymo formą pakeisti pasą, sulaukus 45 metų amžiaus. Rusų pasai turi būti pakeisti sulaukus amžiaus - 20 ar 45 metų. Norėdami gauti valstybės tarnybą, turite pateikti nustatytos formos prašymą, pridėti reikiamus dokumentus ir sumokėti už valstybę [...]
Kaip ir kur pateikti auką už buto dalį Daugelis piliečių susiduria su tokia teisine procedūra kaip nekilnojamojo turto dovanojimas dalijamos nuosavybės teise. Yra gana daug informacijos, kaip teisingai surengti auką už buto dalį, ir tai ne visada patikima. Prieš tau pradedant, [...]