Квадратниот корен на број до моќ. Множење корени: методи и апликации. Основно правило на множење

Формули за степенсе користи во процесот на намалување и поедноставување сложени изрази, при решавање равенки и неравенки.

Број ве n-ти моќ на број аКога:

Операции со степени.

1. Со множење на степени со иста основа се додаваат нивните показатели:

м·a n = a m + n .

2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат:

3. Степенот на производот од 2 или повеќе фактори е еднаков на производот од степените на овие фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Степенот на дропка е еднаков на односот на степените на дивидендата и делителот:

(a/b) n = a n /b n .

5. Подигнувајќи ја моќноста на моќност, експонентите се множат:

(a m) n = a m n .

Секоја формула погоре е точна во насоките од лево кон десно и обратно.

На пример. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции со корени.

1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот од корените на овие фактори:

2. Коренот на соодносот е еднаков на односот на дивидендата и делителот на корените:

3. Кога се подига коренот до моќ, доволно е да се подигне радикалниот број на оваа моќност:

4. Ако го зголемите степенот на коренот во nеднаш и во исто време се изгради во nта моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

5. Ако го намалите степенот на коренот во nизвлечете го коренот во исто време n-та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

Степен со негативен експонент.Моќта на одреден број со непозитивен (целоброј) експонент се дефинира како поделен со моќноста на истиот број со експонент еднаков на апсолутната вредност на непозитивниот експонент:

Формула м:a n =a m - nможе да се користи не само за м> n, но и со м< n.

На пример. а4:а 7 = а 4 - 7 = а -3.

До формула м:a n =a m - nстана фер кога m=n, потребно е присуство на нула степен.

Степен со нулта индекс.Моќта на кој било број што не е еднаков на нула со нула експонент е еднаква на еден.

На пример. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен со дробен експонент.Да се ​​подигне реален број Адо степен m/n, треба да го извлечете коренот nти степен на м-та моќ на овој број А.

За успешно да ја користите операцијата за вадење корен во пракса, треба да се запознаете со својствата на оваа операција.
Сите својства се формулирани и докажани само за не-негативни вредности на променливите содржани под знаците на корените.

Теорема 1. n-тиот корен (n=2, 3, 4,...) од производот на два ненегативни чипови е еднаков на производот од n-тиот корен од овие броеви:

Коментар:

1. Теоремата 1 останува валидна за случајот кога радикалниот израз е производ на повеќе од два ненегативни броја.

Теорема 2.Ако, и n е природен број поголем од 1, тогаш еднаквоста е точно

Кратко(иако неточна) формулација, која е попогодна за употреба во пракса: коренот на фракцијата е еднаков на фракцијата на корените.

Теорема 1 ни овозможува да множиме t само корени од ист степен , т.е. само корени со ист индекс.

Теорема 3.Ако ,k е природен број, а n е природен број поголем од 1, тогаш еднаквоста е точно

Со други зборови, за да се подигне корен на природна моќ, доволно е да се подигне радикалниот израз на оваа моќ.
Ова е последица на теоремата 1. Всушност, на пример, за k = 3 добиваме: Можеме да расудуваме на ист начин во случај на која било друга природна вредност на експонентот k.

Теорема 4.Ако ,k, n се природни броеви поголеми од 1, тогаш еднаквоста е точно

Со други зборови, за да се извлече корен од корен, доволно е да се умножат индикаторите на корените.
На пример,

Внимавај!Научивме дека на корените може да се извршат четири операции: множење, делење, степенување и вадење корен (од коренот). Но, што е со собирањето и одземањето на корените? Нема шанси.
На пример, наместо да пишувате Навистина, но очигледно е дека

Теорема 5.Ако индикаторите на коренот и радикалниот израз се множат или делат со ист природен број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени, т.е.

Примери за решавање проблеми

Пример 1.Пресметај

Решение.Користејќи го првото својство на корените (теорема 1), добиваме:

Пример 2.Пресметај
Решение.Претворете мешан број во неправилна дропка.
Имаме Користење на второто својство на корените ( Теорема 2 ), добиваме:

Пример 3.Пресметајте:

Решение.Секоја формула во алгебрата, како што добро знаете, се користи не само „од лево кон десно“, туку и „од десно кон лево“. Така, првото својство на корените значи дека тие можат да бидат претставени во форма и, обратно, да се заменат со изразот. Истото важи и за второто својство на корените. Земајќи го ова предвид, ајде да ги извршиме пресметките.

Ирационални изрази и нивни трансформации

Последен пат се сетивме (или научивме, во зависност од тоа кој) што е тоа , научил како се вадат такви корени, ги подредувал основните својства на корените дел по дел и решавал едноставни примери со корени.

Оваа лекција ќе биде продолжение на претходната и ќе биде посветена на трансформации на широк спектар на изрази кои содржат секакви корени. Таквите изрази се нарекуваат ирационален. Овде ќе се појават изрази со букви, дополнителни услови, ослободување од ирационалноста во дропки и некои напредни техники за работа со корени. Техниките што ќе се дискутираат во оваа лекција ќе станат добра основа за решавање на проблеми со КОРИСТЕЊЕ (и не само) од речиси секое ниво на сложеност. Па ајде да започнеме.

Како прво, овде ќе ги удвојам основните формули и својства на корените. За да не скокаме од тема на тема. Тука се:

на

Мора да ги знаете овие формули и да можете да ги примените. И во двете насоки - и од лево кон десно и од десно кон лево. Токму на нив се базира решението за повеќето задачи со корени од кој било степен на сложеност. Да почнеме со наједноставната работа засега - со директна примена на формули или нивни комбинации.

Лесна примена на формули

Во овој дел ќе се разгледуваат едноставни и безопасни примери - без букви, дополнителни услови и други трикови. Сепак, дури и во нив, по правило, постојат опции. И колку е пософистициран примерот, толку повеќе има такви опции. А неискусниот студент се соочува со главниот проблем - од каде да почне? Одговорот овде е едноставен - Ако не знаете што ви треба, направете што можете. Сè додека вашите постапки се во мир и хармонија со правилата на математиката и не се во спротивност со нив.) На пример, оваа задача:

Пресметајте:

Дури и во таков едноставен пример, постојат неколку можни патишта до одговорот.

Првата е едноставно да се помножат корените со првото својство и да се извлече коренот од резултатот:

Втората опција е оваа: ние не го допираме, работиме со . Го вадиме мултипликаторот од под знакот на коренот, а потоа - според првото својство. Како ова:

Можете да одлучите колку сакате. Во која било од опциите, одговорот е еден - осум. На пример, полесно ми е да помножам 4 и 128 и да добијам 512, а коренот на коцката може лесно да се извлече од овој број. Ако некој не се сеќава дека 512 е 8 коцки, тогаш не е важно: можете да напишете 512 како 2 9 (првите 10 сили од два, се надевам дека се сеќавате?) и користејќи ја формулата за коренот на моќта :

Друг пример.

Пресметајте: .

Ако работите според првото својство (ставајќи сè под еден корен), ќе добиете голема бројка, од која потоа може да се извлече коренот - исто така не шеќер. И не е факт дека точно ќе се извлече.) Затоа, тука е корисно да се отстранат факторите од под коренот во бројот. И искористете го максимумот од:

И сега се е во ред:

Останува само да се запишат осумте и два под еден корен (според првото својство) и работата е завршена. :)

Сега да додадеме неколку фракции.

Пресметајте:

Примерот е прилично примитивен, но има и опции. Можете да го користите множителот за да го трансформирате броителот и да го намалите со именителот:

Или можете веднаш да ја користите формулата за поделба на корените:

Како што гледаме, вака и онака - сè е точно.) Ако не се сопнеш на половина пат и не направиш грешка. Иако тука можам да згрешам...

Ајде сега да го погледнеме последниот пример од домашната задача од последната лекција:

Поедностави:

Сосема незамислив збир на корени, па дури и вгнездени. Што да правам? Главната работа е да не се плашите! Овде прво ги забележуваме под корените броевите 2, 4 и 32 - моќи на два. Првото нешто што треба да направите е да ги намалите сите броеви на два: на крајот на краиштата, колку повеќе идентични броеви во примерот и помалку различни, толку е полесно.) Да почнеме одделно со првиот фактор:

Бројот може да се поедностави со намалување на двата под коренот со четирите во коренскиот експонент:

Сега, според коренот на работата:

.

Во бројот ги вадиме двете како коренски знак:

И ние се занимаваме со изразот користејќи го коренот на коренската формула:

Значи, првиот фактор ќе биде напишан вака:

Вгнездените корени исчезнаа, бројките станаа помали, што е веќе пријатно. Само корените се различни, но засега ќе оставиме така. Доколку е потребно, ќе ги конвертираме во истите. Да го земеме вториот фактор.)

Вториот фактор го трансформираме на сличен начин, користејќи ја формулата на коренот на производот и коренот на коренот. Каде што е потребно, ги намалуваме индикаторите користејќи ја петтата формула:

Залепуваме сè во оригиналниот пример и добиваме:

Добивме производ од цел куп сосема различни корени. Би било убаво да ги доведеме сите до еден индикатор, а потоа ќе видиме. Па, тоа е сосема можно. Најголемиот од коренските експоненти е 12, а сите други - 2, 3, 4, 6 - се делители на бројот 12. Затоа, ќе ги намалиме сите корени според петтото својство на еден експонент - 12:

Броиме и добиваме:

Не добивме добар број, но тоа е во ред. Бевме прашани поедноставиизразување, не брои. Поедноставено? Секако! И типот на одговор (цел број или не) повеќе не игра никаква улога овде.

Некои формули за собирање/одземање и скратено множење

За жал, општи формули за собирање и одземање коренине по математика. Меѓутоа, во задачите често се наоѓаат овие дејства со корени. Овде треба да се разбере дека сите корени се токму истите математички симболи како буквите во алгебрата.) И за корените важат истите техники и правила како и за буквите - отворање загради, носење слични, скратени формули за множење итн.

На пример, на сите им е јасно дека . Слично истоКорените може лесно да се додаваат/одземаат еден на друг:

Ако корените се различни, тогаш бараме начин да ги направиме исти - со додавање/одземање на множител или користење на петтото својство. Ако тоа не е поедноставено на кој било начин, тогаш можеби трансформациите се полукави.

Да го погледнеме првиот пример.

Најдете го значењето на изразот: .

Сите три корени, иако кубни, се од различниброеви. Тие не се чисто извлечени и се додаваат/одземаат едни од други. Затоа, употребата на општи формули не функционира овде. Што да правам? Ајде да ги извадиме факторите во секој корен. Во секој случај, нема да биде полошо.) Покрај тоа, всушност, нема други опции:

Тоа е, .

Тоа е решението. Овде се преселивме од различни корени во исти со помош отстранување на мултипликаторот од под коренот. А потоа едноставно донесоа слични.) Ние одлучуваме понатаму.

Најдете ја вредноста на изразот:

Дефинитивно нема ништо што можете да направите за коренот на седумнаесет. Работиме според првото својство - правиме еден корен од производот на два корени:

Сега ајде да погледнеме подетално. Што има под нашиот голем корен од коцка? Разликата е ква... Па, се разбира! Разлика на квадрати:

Сега останува само да се извлече коренот: .

Пресметајте:

Тука ќе треба да покажете математичка генијалност.) Мислиме приближно на следниов начин: „Значи, во примерот, производ на корени. Под едниот корен е разликата, а под другиот е збирот. Многу слично на формулата за разлика во квадратите. Но... Корените се различни! Првиот е квадрат, а вториот е од четврти степен... Би било убаво да ги направиме исти. Според петтото својство, лесно можете да направите четврти корен од квадратен корен. За да го направите ова, доволно е да се квалификува радикалниот израз“.

Ако сте размислувале за истото, тогаш сте на половина пат до успехот. Апсолутно во право! Ајде да го претвориме првиот фактор во четврти корен. Како ова:

Сега, нема што да се направи, но ќе мора да ја запомните формулата за квадратот на разликата. Само кога се нанесува на корените. Па што? Зошто корените се полоши од другите броеви или изрази?! Ние градиме:

„Хм, добро, го подигнаа, па што? Ренот не е посладок од ротквицата. Стоп! И ако ги извадите четирите под коренот? Тогаш ќе се појави истиот израз како под вториот корен, само со минус, и токму тоа се обидуваме да го постигнеме!“

Во право! Да земеме четири:

.

И сега - прашање на технологија:

Вака се отплеткуваат сложените примери.) Сега е време да вежбаме со дропки.

Пресметајте:

Јасно е дека броителот мора да се конвертира. Како? Користејќи ја формулата на квадратот на збирот, се разбира. Дали имаме други опции? :) Го квадрираме, ги вадиме факторите, ги намалуваме индикаторите (каде што е потребно):

Леле! Го добивме точно именителот на нашата дропка.) Ова значи дека целата дропка очигледно е еднаква на еден:

Друг пример. Само сега на друга формула за скратено множење.)

Пресметајте:

Јасно е дека квадратот на разликата мора да се користи во пракса. Одделно го запишуваме именителот и - одиме!

Ги вадиме факторите од под коренот:

Оттука,

Сега сè лошо е извонредно намалено и излегува:

Па, да го однесеме на следното ниво. :)

Писма и дополнителни услови

Буквалните изрази со корени се посложена работа од нумеричките изрази и се неисцрпен извор на досадни и многу сериозни грешки. Да го затвориме овој извор.) Грешките се јавуваат поради фактот што таквите задачи често вклучуваат негативни броеви и изрази. Тие ни се или директно дадени во задачата, или скриени во писма и дополнителни услови. И во процесот на работа со корени, постојано треба да се сеќаваме на тоа во корените дури и степени под самиот корен и како резултат на извлекување на коренот треба да има ненегативен израз. Клучната формула во задачите од овој став ќе биде четвртата формула:

Нема прашања со корени на непарни степени - секогаш се извлекува сè, и позитивно и негативно. И минусот, ако ништо друго, е изнесен напред. Ајде да дојдеме директно до корените дуристепени.) На пример, толку кратка задача.

Поедностави: , Ако .

Се чини дека сè е едноставно. Само ќе испадне дека е X.) Но зошто тогаш дополнителниот услов? Во такви случаи, корисно е да се процени со бројки. Чисто за себе.) Ако, тогаш x е очигледно негативен број. Минус три, на пример. Или минус четириесет. Нека . Можете ли да подигнете минус три на четврта сила? Секако! Резултатот е 81. Дали е можно да се извлече четвртиот корен од 81? Зошто да не? Може! Ќе добиете три. Сега да го анализираме целиот наш синџир:

Што гледаме? Влезот беше негативен број, а излезот веќе беше позитивен. Беше минус три, сега е плус три.) Да се ​​вратиме на буквите. Без сомнение, модуло ќе биде точно X, но само X е минус (по услов!), а резултатот од екстракција (поради аритметичкиот корен!) мора да биде плус. Како да добиете плус? Многу едноставно! За да го направите ова, само ставете минус пред очигледно негативен број.) И точното решение изгледа вака:

Патем, ако ја користевме формулата, тогаш, сеќавајќи се на дефиницијата за модул, веднаш ќе го добиевме точниот одговор. Затоа што

|x| = -x на x<0.

Извадете го факторот од коренскиот знак: , Каде .

Првиот поглед е во радикалниот израз. Се е во ред овде. Во секој случај, тоа ќе биде не-негативно. Да почнеме да вадиме. Користејќи ја формулата за коренот на производот, го извлекуваме коренот на секој фактор:

Мислам дека нема потреба да се објаснува од каде потекнуваат модулите.) Сега да го анализираме секој од модулите.

Мултипликатор | а | го оставаме непроменет: немаме никаков услов за писмотоа. Не знаеме дали е позитивно или негативно. Следен модул |б 2 | може безбедно да се испушти: во секој случај изразотб 2 не-негативни. Но за |в 3 | - овде веќе има проблем.) Ако, тогаш в 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть со минус: | в 3 | = - в 3 . Севкупно, точното решение би било:

И сега - обратниот проблем. Не е најлесно, ве предупредувам веднаш!

Внесете множител под знакот на коренот: .

Ако веднаш го запишете решението вака

тогаш ти паднал во стапица. Ова погрешна одлука! Што е проблемот?

Да го разгледаме подетално изразот под коренот. Под коренот на четвртиот степен, како што знаеме, треба да има не-негативниизразување. Во спротивно, коренот нема значење.) Затоа и ова, пак, значи дека и, според тоа, и самиот е непозитивен: .

И грешката овде е што воведуваме од корен непозитивниброј: четвртиот степен го претвора во не-негативнии се добива погрешен резултат - лево има намерен минус, а десно веќе има плус. И нанесете во коренот дуристепен имаме право само не-негативниброеви или изрази. И оставете го минусот, ако го има, пред коренот.) Како да препознаеме ненегативен фактор во бројот, знаејќи дека самиот тој е целосно негативен? Да, токму истото! Стави минус.) И за ништо да не се промени, компензирај го со друг минус. Како ова:

И сега веќе не-негативниСмирено го внесуваме бројот (-б) под коренот според сите правила:

Овој пример јасно покажува дека, за разлика од другите гранки на математиката, во корените точниот одговор не секогаш следи автоматски од формулите. Треба да размислите и лично да ја донесете вистинската одлука.) Особено треба да бидете повнимателни со знаците ирационални равенки и неравенки.

Ајде да ја погледнеме следната важна техника при работа со корени - ослободување од ирационалноста.

Елиминирање на ирационалноста во дропки

Ако изразот содржи корени, тогаш, да ве потсетам, таков израз се нарекува изразување со ирационалност. Во некои случаи, може да биде корисно да се ослободите од оваа ирационалност (т.е. корени). Како можете да го елиминирате коренот? Нашиот корен исчезнува кога... ќе се подигне на моќ. Со показател или еднаков на коренскиот индикатор или множител од него. Но, ако го подигнеме коренот на јачина (т.е. го помножиме коренот сам по себе потребниот број пати), тогаш изразот ќе се промени. Не е добро.) Меѓутоа, во математиката има теми каде множењето е прилично безболно. Во дропки, на пример. Според основното својство на дропката, ако броителот и именителот се помножат (поделат) со ист број, вредноста на дропката нема да се промени.

Да речеме дека ни е дадена оваа дропка:

Дали е можно да се ослободиме од коренот во именителот? Може! За да го направите ова, коренот мора да се исече на коцки. Што ни недостасува во именителот за полна коцка? Ни недостига множител, т.е.. Значи ги множиме броителот и именителот на дропката со

Коренот во именителот исчезна. Но... тој се појави во броителот. Ништо не може да се направи, таква е судбината.) Ова веќе не ни е важно: од нас беше побарано да го ослободиме именителот од корените. Ослободен? Несомнено.)

Патем, оние на кои веќе им одговара тригонометријата можеби обрнале внимание на фактот дека во некои учебници и табели, на пример, тие означуваат поинаку: некаде , а некаде . Прашањето е - што е правилно? Одговор: сè е точно!) Ако го погодите тоа– ова е едноставно резултат на ослободувањето од ирационалноста во именителот на дропот. :)

Зошто да се ослободиме од ирационалноста во дропки? Каква разлика има - коренот е во броителот или во именителот? Калкулаторот и онака ќе пресмета се.) Па, за оние кои не се разделуваат со калкулатор, навистина практично нема разлика... Но, дури и сметајќи на калкулатор, можете да обрнете внимание на фактот дека поделина целинабројот е секогаш поудобен и побрз отколку вклучен ирационален. И ќе молчам за поделбата во колона.)

Следниот пример само ќе ги потврди моите зборови.

Како тука да го елиминираме квадратниот корен на именителот? Ако броителот и именителот се помножат со изразот, тогаш именителот ќе биде квадратот на збирот. Збирот на квадратите на првиот и вториот број ќе ни даде само броеви без никакви корени, што е многу пријатно. Сепак... ќе се појави двоен производпрвиот број до вториот, каде што коренот од три сè уште ќе остане. Не канализира. Што да правам? Запомнете уште една прекрасна формула за скратено множење! Онаму каде што нема двојни производи, туку само квадрати:

Израз што, кога ќе се помножи со одредена сума (или разлика), произведува разлика на квадрати, исто така наречени конјугиран израз. Во нашиот пример, конјугираниот израз ќе биде разликата. Значи, ги множиме броителот и именителот со оваа разлика:

Што да кажам? Како резултат на нашите манипулации, не само што исчезна коренот на именителот, туку и дропот целосно исчезна! :) Дури и со калкулатор, полесно е да се одземе коренот на три од три отколку да се пресметува дропка со коренот во именителот. Друг пример.

Ослободете се од ирационалноста во именителот на дропка:

Како да се излезе од ова? Формулите за скратено множење со квадрати не функционираат веднаш - нема да биде можно целосно да се елиминираат корените поради фактот што овој пат нашиот корен не е квадрат, туку кубни. Неопходно е коренот некако да се подигне во коцка. Затоа, мора да се користи една од формулите со коцки. Кое? Ајде да размислиме за тоа. Именителот е збирот. Како да ја постигнеме коцката на коренот? Помножете се со делумна квадратна разлика! Значи, ќе ја примениме формулата збир на коцки. Оваа:

Како аимаме три, и тоа како квалитет б– коцкан корен од пет:

И повторно дропката исчезна.) Многу често се случуваат такви ситуации кога, кога ќе се ослободиме од ирационалноста во именителот на дропка, самата дропка целосно исчезнува заедно со корените. Како ви се допаѓа овој пример!

Пресметајте:

Само обидете се да ги соберете овие три дропки! Без грешки! :) Еден заеднички именител вреди. Што ако се обидеме да се ослободиме од ирационалноста во именителот на секоја дропка? Па, ајде да се обидеме:

Леле, колку е интересно! Сите дропки ги нема! Целосно. И сега примерот може да се реши на два начина:

Едноставно и елегантно. И тоа без долги и мачни пресметки. :)

Затоа мора да се знае операцијата за ослободување од ирационалноста во фракции. Во такви софистицирани примери, тоа е единственото нешто што спасува, да.) Се разбира, никој не го откажа вниманието. Има задачи во кои се бара да се ослободите од ирационалноста броител. Овие задачи не се разликуваат од оние што се разгледуваат, само броителот е исчистен од корените.)

Покомплексни примери

Останува да се разгледаат некои посебни техники за работа со корени и да се практикува отплеткување не наједноставните примери. И тогаш добиените информации ќе бидат доволни за решавање на задачи со корени од кое било ниво на сложеност. Значи - напред.) Прво, ајде да дознаеме што да правиме со вгнездените корени кога формулата корен од корен не работи. На пример, еве еден пример.

Пресметајте:

Коренот е под коренот... Згора на тоа, под корените е збирот или разликата. Затоа, формулата за коренот на коренот (со множење на експоненти) е тука Тоа не функционира. Значи нешто треба да се преземе радикални изрази: Едноставно немаме други опции. Во такви примери, најчесто големиот корен е шифриран совршен квадратнекоја сума. Или разлики. И коренот на плоштадот е веќе совршено извлечен! И сега нашата задача е да го дешифрираме.) Таквото дешифрирање е убаво направено преку систем на равенки. Сега ќе видите сè сами.)

Значи, под првиот корен го имаме овој израз:

Што ако не сте погодиле правилно? Ајде да провериме! Ние го квадратуваме користејќи ја формулата за квадрат од збирот:

Така е.) Но... Од каде го добив овој израз? Од небото?

Не.) Ќе го добиеме малку пониско искрено. Едноставно користејќи го овој израз, покажувам точно како пишувачите на задачи ги шифрираат таквите квадрати. :) Што е 54? Ова збир на квадрати од првиот и вториот број. И, обрнете внимание, веќе без корен! И коренот останува внатре двоен производ, што во нашиот случај е еднакво на . Затоа, разоткривањето на таквите примери започнува со пребарување на двојниот производ. Ако се разоткриете со вообичаениот избор. И, патем, за знаци. Сè е едноставно овде. Ако има плус пред двојното, тогаш квадратот на збирот. Ако е минус, тогаш разликите.) Имаме плус - тоа значи квадрат на збирот.) И сега - ветениот аналитички метод на декодирање. Преку системот.)

Значи, под нашиот корен јасно виси изразот (а+б) 2, а нашата задача е да најдеме аИ б. Во нашиот случај, збирот на квадрати дава 54. Така пишуваме:

Сега двојно го зголеми производот. Ние го имаме. Затоа го запишуваме:

Го добивме овој систем:

Решаваме со вообичаениот метод на замена. Изразуваме од втората равенка, на пример, и ја заменуваме со првата:

Да ја решиме првата равенка:

Добив биквадратскиравенка релативнаа . Ја пресметуваме дискриминаторот:

Средства,

Добивме дури четири можни вредностиа. Ние не се плашиме. Сега ќе ги отстраниме сите непотребни работи.) Ако сега ги пресметаме соодветните вредности за секоја од четирите пронајдени вредности, ќе добиеме четири решенија за нашиот систем. Тука се:

И тука се поставува прашањето - кое решение е правилно за нас? Ајде да размислиме за тоа. Негативните решенија може веднаш да се отфрлат: при квадратурата, минусите ќе „изгорат“, а целиот радикален израз како целина нема да се промени.) Остануваат првите две опции. Можете да ги изберете целосно произволно: преуредувањето на поимите сè уште не го менува збирот.) Нека, на пример, , a .

Севкупно, го добивме квадратот на следнава сума под коренот:

Сè е јасно.)

Не за џабе го опишувам процесот на одлучување толку детално. За да биде јасно како се случува дешифрирањето.) Но, има еден проблем. Аналитичкиот метод на декодирање, иако сигурен, е многу долг и тежок: треба да решите биквадратна равенка, да добиете четири решенија за системот и потоа сепак да размислите кои да ги изберете... Проблемите? Се согласувам, тоа е проблематично. Овој метод функционира беспрекорно во повеќето од овие примери. Сепак, многу често можете да заштедите многу работа и креативно да ги пронајдете двата броја. Со избор.) Да, да! Сега, користејќи го примерот на вториот член (втор корен), ќе покажам полесен и побрз начин да се изолира комплетниот квадрат под коренот.

Значи, сега го имаме овој корен: .

Ајде да размислиме вака: „Под коренот најверојатно има шифриран целосен квадрат. Штом има минус пред двојното, тоа значи квадрат на разликата. Збирот на квадратите на првиот и вториот број ни го дава бројот 54. Но, какви квадрати се овие? 1 и 53? 49 и 5 ? Има премногу опции... Не, подобро е да започнете со отплеткување со двојно поголем производ. Нашиотможе да се напише како . Откако производот двојно, потоа веднаш ги отфрламе двете. Потоа кандидати за улогата a и b остануваат 7 и . Што ако е 14 и/2 ? Можно е. Но, секогаш започнуваме со нешто едноставно!“Значи, нека, а . Ајде да ги провериме за збир на квадрати:

Се случи! Ова значи дека нашиот радикален израз е всушност квадратот на разликата:

Еве еден лесен начин да избегнете мешање со системот. Не секогаш функционира, но во многу од овие примери е сосема доволно. Значи, под корените има целосни квадрати. Останува само правилно да се извлечат корените и да се пресмета примерот:

Сега да погледнеме уште понестандардна задача за корените.)

Докажете дека бројот А– цел број, ако .

Ништо директно не се вади, корените се вградени, па дури и од различни степени... Кошмар! Сепак, задачата има смисла.) Затоа, постои клуч за нејзино решавање.) А клучот овде е ова. Размислете за нашата еднаквост

Како равенка релативна А. Да Да! Би било убаво да се ослободите од корените. Нашите корени се кубни, па ајде да ги коцкаме двете страни на равенката. Според формулата коцка од збирот:

Коцките и кубните корени се поништуваат, а под секој голем корен земаме една заграда од квадратот и го собираме производот од разликата и збирот во разлика од квадрати:

Одделно, ја пресметуваме разликата на квадратите под корените:

На почетокот на часот, ќе ги разгледаме основните својства на квадратните корени, а потоа ќе разгледаме неколку сложени примери на поедноставување на изрази кои содржат квадратни корени.

Тема:Функција. Својства на квадратен корен

Лекција:Конвертирање и поедноставување на посложени изрази со корени

1. Преглед на својствата на квадратните корени

Да ја повториме накратко теоријата и да се потсетиме на основните својства на квадратните корени.

Својства на квадратните корени:

1. затоа, ;

3. ;

4. .

2. Примери за поедноставување изрази со корени

Ајде да продолжиме со примери за користење на овие својства.

Пример 1: Поедноставете израз .

Решение. За да се поедностави, бројот 120 мора да се факторизира во прости фактори:

Ќе го откриеме квадратот на збирот користејќи ја соодветната формула:

Пример 2: Поедноставете израз .

Решение. Да земеме предвид дека овој израз нема смисла за сите можни вредности на променливата, бидејќи овој израз содржи квадратни корени и фракции, што доведува до „стеснување“ на опсегот на дозволените вредности. ОДЗ: ().

Да го доведеме изразот во загради до заедничкиот именител и да го запишеме броителот на последната дропка како разлика на квадрати:

На.

Одговори. на.

Пример 3: Поедноставете израз .

Решение. Може да се види дека втората заграда за броител има незгоден изглед и треба да се поедностави; ајде да се обидеме да ја пресметаме користејќи го методот на групирање.

За да можеме да изведеме заеднички фактор, ги поедноставивме корените со нивно факторинг. Ајде да го замениме добиениот израз во оригиналната дропка:

По намалувањето на дропот, ја применуваме формулата за разлика од квадрати.

3. Пример за ослободување од ирационалноста

Пример 4. Ослободете се од ирационалноста (корените) во именителот: а) ; б) .

Решение. а) За да се ослободиме од ирационалноста во именителот, се користи стандардниот метод за множење и на броителот и именителот на дропка со конјугираниот фактор со именителот (ист израз, но со спротивен знак). Ова е направено за да се надополни именителот на фракцијата до разликата на квадратите, што ви овозможува да се ослободите од корените во именителот. Ајде да го направиме ова во нашиот случај:

б) изврши слични дејства:

Одговор.; .

4. Пример за докажување и идентификација на целосен квадрат во сложен радикал

Пример 5. Докажи еднаквост .

Доказ. Да ја користиме дефиницијата за квадратен корен, од која произлегува дека квадратот на десниот израз мора да биде еднаков на радикалниот израз:

. Ајде да ги отвориме заградите користејќи ја формулата за квадратот на збирот:

, ја добивме точната еднаквост.

Докажано.

Пример 6. Поедноставете го изразот.

Решение. Овој израз обично се нарекува сложен радикал (корен под корен). Во овој пример, треба да сфатите како да изолирате целосен квадрат од радикалниот израз. За да го направите ова, забележете дека од двата члена, тој е кандидат за улогата на двојниот производ во формулата за квадратна разлика (разлика, бидејќи има минус). Дозволете ни да го напишеме во форма на следниот производ: , тогаш 1 тврди дека е еден од членовите на целосен квадрат, а 1 тврди дека е вториот.

Ајде да го замениме овој израз под коренот.

Пред калкулаторите, учениците и наставниците рачно пресметале квадратни корени. Постојат неколку начини рачно да се пресмета квадратниот корен на број. Некои од нив нудат само приближно решение, други даваат точен одговор.

Чекори

Примарната факторизација

Факторирајте го радикалниот број во фактори кои се квадратни броеви.Во зависност од радикалниот број, ќе добиете приближен или точен одговор. Квадратни броеви се броеви од кои може да се земе целиот квадратен корен. Фактори се броеви кои, кога ќе се помножат, го даваат оригиналниот број. На пример, факторите на бројот 8 се 2 и 4, бидејќи 2 x 4 = 8, броевите 25, 36, 49 се квадратни броеви, бидејќи √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. се фактори , кои се квадратни броеви. Прво, обидете се да го пресметате радикалниот број во квадратни фактори.

• На пример, пресметајте го квадратниот корен од 400 (со рака). Најпрво обидете се да го префрлите 400 во квадратни фактори. 400 е множител на 100, односно делив со 25 - ова е квадратен број. Со делење 400 со 25 се добива 16. Бројот 16 е исто така квадратен број. Така, 400 може да се вброи во квадратните фактори од 25 и 16, односно 25 x 16 = 400.
• Ова може да се запише на следниов начин: √400 = √(25 x 16).

1. Квадратниот корен на производот на некои членови е еднаков на производот од квадратните корени на секој член, односно √(a x b) = √a x √b. Користете го ова правило за да го земете квадратниот корен на секој квадратен фактор и да ги помножите резултатите за да го најдете одговорот.

   • Во нашиот пример, земете го коренот од 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Ако радикалниот број не се вклопи во два квадратни фактори (и тоа се случува во повеќето случаи), нема да можете да го најдете точниот одговор во форма на цел број. Но, можете да го поедноставите проблемот со разложување на радикалниот број на квадратен фактор и обичен фактор (број од кој не може да се земе целиот квадратен корен). Потоа ќе го земете квадратниот корен од квадратниот фактор и ќе го земете коренот на заедничкиот фактор.

   • На пример, пресметајте го квадратниот корен на бројот 147. Бројот 147 не може да се вброи во два квадратни множители, но може да се размножи на следните фактори: 49 и 3. Решете ја задачата на следниот начин:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Доколку е потребно, проценете ја вредноста на коренот.Сега можете да ја процените вредноста на коренот (најдете приближна вредност) споредувајќи ја со вредностите на корените на квадратните броеви кои се најблиску (од двете страни на бројната линија) до радикалниот број. Ќе ја добиете коренската вредност како децимална дропка, која мора да се помножи со бројот зад знакот за корен.

   • Да се ​​вратиме на нашиот пример. Радикалниот број е 3. Квадратните броеви најблиску до него ќе бидат броевите 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Така, вредноста на √3 се наоѓа помеѓу 1 и 2. Бидејќи вредноста на √3 е веројатно поблиску до 2 отколку до 1, нашата проценка е: √3 = 1,7. Оваа вредност ја множиме со бројот на знакот за корен: 7 x 1,7 = 11,9. Ако ја направите математиката на калкулатор, ќе добиете 12,13, што е прилично блиску до нашиот одговор.
     • Овој метод работи и со големи бројки. На пример, земете го √35. Радикалниот број е 35. Најблиските квадратни броеви до него ќе бидат броевите 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Така, вредноста на √35 се наоѓа помеѓу 5 и 6. Бидејќи вредноста на √35 е многу поблиску до 6 отколку до 5 (бидејќи 35 е само 1 помалку од 36), можеме да кажеме дека √35 е нешто помалку од 6 Проверка на калкулаторот ни дава одговор 5.92 - бевме во право.

4. Друг начин - факторизирајте го радикалниот број во прости множители . Простите фактори се броеви кои се деливи само со 1 и самите себе. Напишете ги простите множители во серија и најдете парови идентични множители. Таквите фактори може да се извадат од коренскиот знак.

   • На пример, пресметајте го квадратниот корен од 45. Радикалниот број го факторизираме во прости множители: 45 = 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 може да се извади како знак за корен: √45 = 3√5. Сега можеме да процениме √5.
   • Ајде да погледнеме друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Добивте три множители од 2; земете неколку од нив и преместете ги подалеку од коренскиот знак.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можете да оцените √2 и √11 и да најдете приближен одговор.

   Рачно пресметување на квадратен корен

   Користење на долга поделба

   1. Овој метод вклучува процес сличен на долгата поделба и дава точен одговор.Прво, нацртајте вертикална линија што го дели листот на две половини, а потоа надесно и малку под горниот раб на листот, повлечете хоризонтална линија до вертикалната линија. Сега поделете го радикалниот број на парови броеви, почнувајќи од фракциониот дел по децималната точка. Значи, бројот 79520789182.47897 е напишан како „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • На пример, да го пресметаме квадратниот корен на бројот 780,14. Нацртајте две линии (како што е прикажано на сликата) и напишете го дадениот број во форма „7 80, 14“ горе лево. Нормално е дека првата цифра од лево е неспарена цифра. Одговорот (коренот на овој број) ќе го напишете горе десно.

   2. За првиот пар на броеви (или единечен број) од лево, пронајдете го најголемиот цел број n чиј квадрат е помал или еднаков на парот броеви (или единечен број) за кој станува збор. Со други зборови, пронајдете го квадратниот број што е најблиску, но помал од првиот пар на броеви (или единечен број) од лево и земете го квадратниот корен од тој квадратен број; ќе го добиете бројот n. Напишете го n-то што го најдовте горе десно, а квадратот од n напишете го долу десно.

      • Во нашиот случај, првиот број лево ќе биде 7. Следно, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Од првиот пар броеви (или единечен број) лево одземете го квадратот на бројот n што штотуку го најдовте.Резултатот од пресметката запишете го под подзафатот (квадратот на бројот n).

      • Во нашиот пример, одземете 4 од 7 и добијте 3.

   4. Отстранете го вториот пар на броеви и запишете го веднаш до вредноста добиена во претходниот чекор.Потоа дуплирајте го бројот горе десно и напишете го резултатот долу десно со додавање „_×_=".

      • Во нашиот пример, вториот пар на броеви е "80". Напишете „80“ по 3-то. Потоа, дуплирајте го бројот на горниот десен агол што дава 4. Напишете „4_×_=" долу десно.

   5. Пополнете ги празните места од десната страна.

      • Во нашиот случај, ако го ставиме бројот 8 наместо цртички, тогаш 48 x 8 = 384, што е повеќе од 380. Затоа, 8 е премногу голем број, но 7 ќе направи. Напишете 7 наместо цртички и добијте: 47 x 7 = 329. Напишете 7 горе десно - ова е втората цифра во саканиот квадратен корен од бројот 780,14.

   6. Одземете го добиениот број од тековниот број лево.Напишете го резултатот од претходниот чекор под тековниот број лево, пронајдете ја разликата и запишете ја под подлогата.

      • Во нашиот пример, одземете 329 од 380, што е еднакво на 51.

   7. Повторете го чекор 4.Ако парот на броеви што се пренесува е фракциониот дел од оригиналниот број, тогаш ставете раздвојувач (запирка) помеѓу цел број и дробни делови во потребниот квадратен корен горе десно. Лево, спуштете го следниот пар броеви. Двојно го дуплира бројот во горниот десен агол и напишете го резултатот долу десно со додавање „_×_=".

      • Во нашиот пример, следниот пар на броеви што ќе се отстранат ќе биде фракциониот дел од бројот 780.14, затоа поставете го раздвојувачот на цел број и дробни делови во саканиот квадратен корен во горниот десен агол. Отстранете го 14 и напишете го долу лево. Двојниот број на горниот десен агол (27) е 54, па напишете „54_×_=" долу десно.

   8. Повторете ги чекорите 5 и 6.Најдете го најголемиот број на местото на цртичките од десната страна (наместо цртичките треба да го замените истиот број), така што резултатот од множењето е помал или еднаков на тековниот број лево.

      • Во нашиот пример, 549 x 9 = 4941, што е помало од тековниот број лево (5114). Напишете 9 горе десно и одземете го резултатот од множењето од тековниот број лево: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако треба да најдете повеќе децимални места за квадратниот корен, напишете неколку нули лево од тековниот број и повторете ги чекорите 4, 5 и 6. Повторете ги чекорите додека не ја добиете прецизноста на одговорот (број на децимални места) потреба.

   Разбирање на процесот

   За да го совладате овој метод, замислете го бројот чиј квадратен корен треба да го најдете како плоштина на квадратот S. Во овој случај, ќе ја барате должината на страната L на таков квадрат. Ја пресметуваме вредноста на L така што L² = S.

   Дајте буква за секој број во одговорот.Да ја означиме со A првата цифра во вредноста на L (саканиот квадратен корен). B ќе биде втората цифра, C третата и така натаму.

   Наведете буква за секој пар од првите цифри.Да го означиме со S a првиот пар на цифри во вредноста на S, со S b вториот пар цифри итн.

   Разберете ја врската помеѓу овој метод и долгата поделба.Исто како и при делењето, каде што нè интересира само следната цифра од бројот што го делиме секој пат, кога пресметуваме квадратен корен, работиме низ пар цифри во низа (за да ја добиеме следната една цифра во вредноста на квадратниот корен ).

   1. Размислете за првиот пар цифри Sa од бројот S (Sa = 7 во нашиот пример) и пронајдете го неговиот квадратен корен.Во овој случај, првата цифра A од саканата вредност на квадратниот корен ќе биде цифра чиј квадрат е помал или еднаков на S a (односно, бараме A таква што неравенката A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да речеме дека треба да се подели 88962 со 7; тука првиот чекор ќе биде сличен: ја разгледуваме првата цифра од деливиот број 88962 (8) и го избираме најголемиот број кој, кога ќе се помножи со 7, дава вредност помала или еднаква на 8. Односно, бараме број d за кој неравенството е точно: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.