Што значи да се доведе до заеднички именител? Намалување на дропките на заеднички именител. Преземете видео лекција „Намалување на дропките на заеднички именител“

Дропките имаат различни или идентични именители. Истиот именител или на друг начин се нарекува заеднички именителна дропка. Пример за заеднички именител:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Пример за различни именители за дропки:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Како да се намали дропка на заеднички именител?

Именителот на првата дропка е 3, именителот на втората е 13. Треба да најдете број кој е делив и со 3 и со 13. Овој број е 39.

Првата дропка мора да се помножи со дополнителен мултипликатор 13. За да се осигураме дека дропката не се менува, мора да ги помножиме и броителот со 13 и именителот.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)

Втората дропка ја множиме со дополнителен фактор 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(црвено) (3))(13 \times \color(црвено) (3)) = \frac(6)(39)\)

Дропката ја намаливме на заеднички именител:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Најмал заеднички именител.

Ајде да погледнеме друг пример:

Да ги намалиме дропките \(\frac(5)(8)\) и \(\frac(7)(12)\) на заеднички именител.

Заеднички именител за броевите 8 и 12 може да бидат броевите 24, 48, 96, 120, ..., вообичаено е да се избере најмал заеднички именителво нашиот случај ова е бројот 24.

Најмал заеднички именителе најмалиот број со кој може да се подели именителот на првата и втората дропка.

Како да се најде најмал заеднички именител?
Начин на набројување на броеви со кои се дели именителот на првата и втората дропка и се избира најмалиот.

Дропката со именителот 8 треба да ја помножиме со 3, а дропката со именителот 12 да ја помножиме со 2.

\(\begin(порамни)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\крај (порамни)\)

Ако не можете веднаш да ги намалите дропките на најмал заеднички именител, нема што да се грижите; во иднина, при решавање на примерот, можеби ќе треба да го добиете одговорот што сте го добиле.

Заедничкиот именител може да се најде за било кои две дропки; тој може да биде производ на именителот на овие дропки.

На пример:
Намалете ги дропките \(\frac(1)(4)\) и \(\frac(9)(16)\) на нивниот најнизок заеднички именител.

Најлесен начин да се најде заедничкиот именител е да се помножат именителот 4⋅16=64. Бројот 64 не е најмал заеднички именител. Задачата бара од вас да го пронајдете најмалиот заеднички именител. Затоа, бараме понатаму. Потребен ни е број кој е делив и со 4 и со 16, ова е бројот 16. Ајде да ја доведеме дропката до заеднички именител, да ја помножиме дропката со именителот 4 со 4, а дропката со именителот 16 со едно. Добиваме:

\(\почеток(порамни)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9) (16) \\\\ \крај (порамни)\)

Оваа статија објаснува како да се најде најмал заеднички именителИ како да се редуцираат дропките на заеднички именител. Најпрвин се дадени дефинициите за заеднички именител на дропките и најмал заеднички именител и прикажано е како се наоѓа заедничкиот именител на дропките. Подолу е правило за намалување на дропките на заеднички именител и се разгледуваат примери за примена на ова правило. Како заклучок, се разгледуваат примери за доведување три или повеќе дропки до заеднички именител.

Навигација на страница.

Што се нарекува намалување на дропките до заеднички именител?

Сега можеме да кажеме што е тоа да ги намалиме дропките на заеднички именител. Намалување на дропките на заеднички именител- Ова е множење на броителите и именителот на дадените дропки со такви дополнителни множители што резултатот се дропки со исти именители.

Заеднички именител, дефиниција, примери

Сега е време да се дефинира заедничкиот именител на дропките.

Со други зборови, заеднички именител на одредено множество обични дропки е секој природен број што е делив со сите именители на овие дропки.

Од наведената дефиниција произлегува дека дадено множество дропки има бесконечно многу заеднички именители, бидејќи има бесконечен број заеднички множители на сите именители на првобитното множество дропки.

Утврдувањето на заедничкиот именител на дропките ви овозможува да ги најдете заедничките именители на дадените дропки. Нека, на пример, со оглед на дропките 1/4 и 5/6, нивните именители се 4 и 6, соодветно. Позитивни заеднички множители на броевите 4 и 6 се броевите 12, 24, 36, 48, ... Било кој од овие броеви е заеднички именител на дропките 1/4 и 5/6.

За да го консолидирате материјалот, разгледајте го решението на следниот пример.

Пример.

Дали дропките 2/3, 23/6 и 7/12 можат да се смалат на заеднички именител 150?

Решение.

За да одговориме на прашањето, треба да откриеме дали бројот 150 е заеднички множител на именителот 3, 6 и 12. За да го направите ова, да провериме дали 150 е делив со секој од овие броеви (доколку е потребно, видете ги правилата и примерите за делење природни броеви, како и правилата и примерите за делење природни броеви со остаток): 150:3=50 , 150:6=25, 150: 12=12 (преостанати 6) .

Значи, 150 не е рамномерно делив со 12, затоа 150 не е заедничка множина од 3, 6 и 12. Според тоа, бројот 150 не може да биде заеднички именител на првобитните дропки.

Одговор:

Забрането е.

Најмал заеднички именител, како да го најдете?

Во множеството броеви кои се заеднички именители на дадените дропки има најмал природен број, кој се нарекува најмал заеднички именител. Да ја формулираме дефиницијата за најмал заеднички именител на овие дропки.

Дефиниција.

Најмал заеднички именителе најмалиот број од сите заеднички именители на овие дропки.

Останува да се справиме со прашањето како да се најде најмалиот заеднички делител.

Бидејќи е најмал позитивен заеднички делител на дадено множество броеви, LCM на именители на дадените дропки претставува најмал заеднички именител на дадените дропки.

Така, наоѓањето на најмал заеднички именител на дропките се сведува на именителот на тие дропки. Ајде да го разгледаме решението на примерот.

Пример.

Најдете го најмалиот заеднички именител на дропките 3/10 и 277/28.

Решение.

Именители на овие дропки се 10 и 28. Посакуваниот најмал заеднички именител се наоѓа како LCM на броевите 10 и 28. Во нашиот случај тоа е лесно: бидејќи 10=2·5 и 28=2·2·7, потоа LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Одговор:

140 .

Како да ги намалите дропките на заеднички именител? Правило, примери, решенија

Заедничките дропки обично резултираат со најмал заеднички именител. Сега ќе запишеме правило кое објаснува како да ги намалиме дропките на нивниот најнизок заеднички именител.

Правило за намалување на дропките до најмал заеднички именителсе состои од три чекори:

• Прво, пронајдете го најнискиот заеднички именител на дропките.
• Второ, дополнителен фактор се пресметува за секоја дропка со делење на најнискиот заеднички именител со именителот на секоја дропка.
• Трето, броителот и именителот на секоја дропка се множат со неговиот дополнителен фактор.

Да го примениме наведеното правило за да го решиме следниов пример.

Пример.

Намали ги дропките 5/14 и 7/18 на нивниот најнизок заеднички именител.

Решение.

Да ги извршиме сите чекори на алгоритмот за намалување на дропките до најмал заеднички именител.

Прво го наоѓаме најмалиот заеднички именител, кој е еднаков на најмалиот заеднички множител од броевите 14 и 18. Бидејќи 14=2·7 и 18=2·3·3, тогаш LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Сега пресметуваме дополнителни фактори со чија помош дропките 5/14 и 7/18 ќе се сведе на именителот 126. За дропката 5/14 дополнителниот фактор е 126:14=9, а за дропката 7/18 дополнителниот фактор е 126:18=7.

Останува да се помножат броителите и именителот на дропките 5/14 и 7/18 со дополнителни фактори 9 и 7, соодветно. Имаме и .

Значи, намалувањето на дропките 5/14 и 7/18 на најнискиот заеднички именител е завршено. Добиените фракции беа 45/126 и 49/126.

Првично сакав да вклучам техники за заеднички именител во делот Собирање и одземање дропки. Но, се покажа дека има толку многу информации, а нејзината важност е толку голема (на крајот на краиштата, не само нумеричките дропки имаат заеднички именители), што е подобро да се проучи ова прашање одделно.

Значи, да речеме дека имаме две дропки со различни именители. И сакаме да се погрижиме именителот да стане ист. На помош доаѓа основното својство на дропка, кое, да ве потсетам, звучи вака:

Дропката нема да се промени ако нејзиниот броител и именителот се помножат со ист број освен нула.

Така, ако правилно ги изберете факторите, именителите на дропките ќе станат еднакви - овој процес се нарекува намалување на заеднички именител. А, потребните броеви, „излегување“ на именителите, се нарекуваат дополнителни фактори.

Зошто треба да ги намалиме дропките на заеднички именител? Еве само неколку причини:

1. Собирање и одземање дропки со различни именители. Не постои друг начин да се изврши оваа операција;
2. Споредување на дропки. Понекогаш намалувањето на заеднички именител во голема мера ја поедноставува оваа задача;
3. Решавање задачи кои вклучуваат дропки и проценти. Процентите се во суштина обични изрази кои содржат дропки.

Постојат многу начини да се најдат броеви кои, кога ќе се помножат со нив, ќе ги направат именителите на дропките еднакви. Ќе разгледаме само три од нив - со цел да се зголеми сложеноста и, во извесна смисла, ефективноста.

Вкрстено множење

Наједноставниот и најсигурен метод, кој гарантирано ги изедначува именителите. Ќе дејствуваме „на главна дропка“: првата дропка ја множиме со именителот на втората дропка, а втората со именителот на првата. Како резултат на тоа, именители на двете дропки ќе станат еднакви на производот од оригиналните именители. Погледни:

Како дополнителни фактори, разгледајте ги именителот на соседните дропки. Добиваме:

Да, тоа е толку едноставно. Ако само што почнувате да ги проучувате дропките, подобро е да работите со овој метод - на овој начин ќе се осигурате од многу грешки и гарантирано ќе го добиете резултатот.

Единствениот недостаток на овој метод е тоа што треба да броите многу, бидејќи именителите се множат „до крај“, а резултатот може да биде многу големи броеви. Ова е цената што треба да се плати за доверливост.

Метод на заеднички делител

Оваа техника помага значително да се намалат пресметките, но, за жал, се користи доста ретко. Методот е како што следува:

1. Пред да одите директно напред (т.е., користејќи го вкрстениот метод), погледнете ги именителот. Можеби еден од нив (оној што е поголем) е поделен на другиот.
2. Бројот што произлегува од оваа поделба ќе биде дополнителен фактор за дропката со помал именител.
3. Во овој случај, дропка со голем именител воопшто не треба да се множи со ништо - тука лежи заштедата. Во исто време, веројатноста за грешка е нагло намалена.

Задача. Најдете ги значењата на изразите:

Забележете дека 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Бидејќи и во двата случаи еден именител е поделен без остаток со другиот, ние го користиме методот на заеднички фактори. Ние имаме:

Забележете дека втората дропка воопшто не била помножена со ништо. Всушност, ја намаливме количината на пресметување на половина!

Патем, не ги земав случајно дропките во овој пример. Ако сте заинтересирани, обидете се да ги броите користејќи го вкрстениот метод. По намалувањето, одговорите ќе бидат исти, но ќе има многу повеќе работа.

Ова е моќта на методот на заеднички делители, но, повторно, може да се користи само кога еден од именителот е делив со другиот без остаток. Што се случува доста ретко.

Најмалку заеднички повеќекратен метод

Кога ги намалуваме дропките на заеднички именител, во суштина се обидуваме да најдеме број што е делив со секој од именителот. Потоа на овој број ги доведуваме именителите на двете дропки.

Има многу такви броеви, а најмалиот од нив нема нужно да биде еднаков на директниот производ на именителите на оригиналните дропки, како што се претпоставува во методот „вкрстен“.

На пример, за именители 8 и 12, бројот 24 е сосема соодветен, бидејќи 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Овој број е многу помал од производот 8 · 12 = 96.

Најмалиот број што е делив со секој од именителот се нарекува нивно најмал заеднички множител (LCM).

Ознака: Најмалиот заеднички множител на a и b се означува со LCM(a ; b) . На пример, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Ако успеете да најдете таков број, вкупниот износ на пресметки ќе биде минимален. Погледнете ги примерите:

Задача. Најдете ги значењата на изразите:

Забележете дека 234 = 117 2; 351 = 117 3. Факторите 2 и 3 се коприм (немаат заеднички фактори освен 1), а факторот 117 е вообичаен. Затоа LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Исто така, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Факторите 3 и 4 се коприм, а факторот 5 е вообичаен. Затоа LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Сега да ги доведеме дропките до заеднички именители:

Забележете колку е корисно да се факторизираат оригиналните именители:

1. Откако откривме идентични фактори, веднаш дојдовме до најмалиот заеднички множител, што, општо земено, е нетривијален проблем;
2. Од добиеното проширување можете да дознаете кои фактори „недостасуваат“ во секоја фракција. На пример, 234 · 3 = 702, затоа, за првата дропка дополнителниот фактор е 3.

За да сфатите колкава разлика прави методот со најмалку заеднички повеќекратни, обидете се да ги пресметате истите овие примери користејќи го вкрстениот метод. Се разбира, без калкулатор. Мислам дека после ова коментарите ќе бидат непотребни.

Немојте да мислите дека нема да има толку сложени дропки во вистинските примери. Тие се среќаваат цело време, а горенаведените задачи не се граница!

Единствениот проблем е како да се најде токму овој НОК. Понекогаш сè може да се најде за неколку секунди, буквално „со око“, но генерално ова е сложена пресметковна задача која бара посебно разгледување. Нема да го допираме тоа овде.

• Собирање и одземање дропки со слични именители
• Собирање и одземање дропки со различни именители
• Концепт на НОК
• Намалување на дропките на ист именител
• Како да соберете цел број и дропка

1 Собирање и одземање дропки со слични именители

За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители, но да го оставите именителот ист, на пример:

За да одземете дропки со исти именители, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот ист, на пример:

За да додадете мешани фракции, треба посебно да ги додадете нивните цели делови, а потоа да ги додадете нивните дробни делови и да го запишете резултатот како мешана дропка,

Пример 1:

Пример 2:

Ако при собирање на дробни делови добиете неправилна дропка, одберете го целиот дел од неа и додајте го на целиот дел, на пример:

2 Собирање и одземање дропки со различни именители.

За да собирате или одземете дропки со различни именители, прво мора да ги намалите на истиот именител, а потоа да продолжите како што е наведено на почетокот на овој член. Заеднички именител на неколку дропки е LCM (најмалку заеднички множител). За броителот на секоја дропка се наоѓаат дополнителни фактори со делење на LCM со именителот на оваа дропка. Подоцна ќе погледнеме пример, откако ќе разбереме што е НОК.

3 Најмалку заеднички множител (LCM)

Најмалиот заеднички множител на два броја (LCM) е најмалиот природен број кој е делив со двата броја без да остави остаток. Понекогаш LCM може да се најде усно, но почесто, особено кога работите со големи броеви, мора да го најдете LCM во писмена форма, користејќи го следниов алгоритам:

За да го пронајдете LCM на неколку броеви, потребно е:

1. Факторирајте ги овие бројки во прости фактори
2. Земете го најголемото проширување и напишете ги овие бројки како производ
3. Изберете ги во други разложувања броевите што не се појавуваат во најголемото распаѓање (или се појавуваат помалку пати во него) и додадете ги во производот.
4. Помножете ги сите броеви во производот, ова ќе биде LCM.

На пример, да го најдеме LCM на броевите 28 и 21:

4 Намалување на дропките на ист именител

Да се ​​вратиме на собирање дропки со различни именители.

Кога ги намалуваме дропките на ист именител, еднаков на LCM на двата именители, мораме да ги помножиме броителите на овие дропки со дополнителни множители. Можете да ги најдете со делење на LCM со именителот на соодветната дропка, на пример:

Така, за да ги намалите дропките на ист експонент, прво мора да го пронајдете LCM (односно, најмалиот број што е делив со двата именители) на именителот на овие дропки, а потоа да ставите дополнителни фактори на броителите на дропките. Можете да ги најдете со делење на заедничкиот именител (CLD) со именителот на соодветната дропка. Потоа треба да го помножите броителот на секоја дропка со дополнителен фактор и да го ставите LCM како именител.

5 Како да соберете цел број и дропка

За да додадете цел број и дропка, едноставно го додавате тој број пред дропката за да создадете мешана дропка, на пример:

Ако додадеме цел број и мешана дропка, тој број го додаваме на целиот број дел од дропката, на пример:

Тренер 1

Собирање и одземање дропки со слични именители.

Временско ограничување: 0

Навигација (само броеви за работни места)

Завршени се 0 од 20 задачи

Информации

Овој тест ја тестира вашата способност да додавате дропки со слични именители. Во овој случај, мора да се почитуваат две правила:

• Ако резултатот е неправилна дропка, треба да ја претворите во мешан број.
• Ако дропка може да се скрати, задолжително скратете ја, во спротивно ќе се брои неточен одговор.

Веќе сте го направиле тестот претходно. Не можете да го започнете повторно.

Тест се вчитува...

Мора да се најавите или регистрирате за да го започнете тестот.

Мора да ги завршите следните тестови за да го започнете овој:

резултати

Точни одговори: 0 од 20

Твое време:

Времето истече

Освоивте 0 од 0 поени (0)

1. Со одговор
2. Со знак за гледање