Збир на медијани на триаголник. Медијана. Детална теорија со примери. Основни елементи на триаголникот abc

Содржи овој сегмент. Точката на пресек на медијаната со страната на триаголникот се вика основа на медијаната.

• Можете исто така да го воведете концептот надворешна срединатријаголник.

Енциклопедиски YouTube

1 / 3

✪ МЕДИАНИ на симетрали и ВИСИНИ на триаголник - одделение 7

✪ Средина на триаголник. Градба. Својства.

✪ симетрала, средна, надморска височина на триаголник. Геометрија 7 одделение

Преводи

Својства

Главен имот

Сите три посредини на триаголникот се сечат во една точка, која се нарекува центар или центар на гравитација на триаголникот, и со оваа точка се поделени на два дела во однос 2:1, сметајќи од темето.

Својства на медијана на рамнокрак триаголник

• Во рамнокрак триаголник, две средини нацртани на еднакви страни на триаголникот се еднакви, а третата средина е и симетрала и висина.
• И обратното е точно: ако две средни во триаголникот се еднакви, тогаш триаголникот е рамнокрак, а третата средина е и симетрала и висина на аголот на неговото теме.
• Во рамностран триаголник, сите три посредини се еднакви.

Својства на медијални основи

• Ојлерова теорема за круг од девет точки: основите на трите надморски височини на произволен триаголник, средните точки на неговите три страни ( основите на неговите медијани) и средните точки на три отсечки што ги поврзуваат нејзините темиња со ортоцентарот, сите лежат на истиот круг (т.н. круг од девет точки).
• Прецртан сегмент основикои било две посредини на триаголник е негова средната линија. Средната линија на триаголникот е секогаш паралелна со страната на триаголникот со која нема заеднички точки.
  • Заклучок (теорема на Талес за паралелносегменти). Средната линија на триаголникот е еднаква на половина од должината на страната на триаголникот со која е паралелен.

Други својства

• Ако триаголник разноврсна (скален), тогаш нејзината симетрала извлечена од кое било теме лежи помеѓу средната и висината извлечена од истото теме.
• Средината го дели триаголникот на два еднакви (по површина) триаголници.
• Триаголникот е поделен со три средни на шест еднакви триаголници.
• Од сегментите што ги формираат медијаните, можете да направите триаголник, чија површина ќе биде еднаква на 3/4 од целиот триаголник. Средните должини ја задоволуваат нееднаквоста на триаголникот.
• Во правоаголен триаголник, медијаната извлечена од темето со правилен агол е еднаква на половина од хипотенузата.
• Поголемата страна на триаголникот одговара на помалата средина.
• Прав сегмент, симетричен или изогонално конјугиранивнатрешната средина во однос на внатрешната симетрала се нарекува симмедијана на триаголникот. Три симедијанципомине низ една точка - Поентата на Лемоан.
• Средина на агол на триаголник изотомски конјугиранна себе.

Основни односи

Особено, збирот на квадратите на медијаните на произволен триаголник е 3/4 од збирот на квадратите на неговите страни: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\приказ на стил m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• Спротивно на тоа, можете да ја изразите должината на произволната страна на триаголникот во однос на медијаните:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − m a 2 (\displaystyle a=(\frac (2)(3))(\sqrt (2(m_(b)^(2)+m_(c)^ (2))-m_(а)^(2)))), Каде m a, m b, m c (\стил на приказ m_(a), m_(b), m_(c))средини на соодветните страни на триаголникот, a , b , c (\displaystyle a,b,c)- страни на триаголникот.

Својства на акорди

1. Дијаметарот (радиусот), нормален на акордот, ја дели оваа акорд и двата лака потиснати од него на половина. Обратна теорема е исто така вистинита: ако дијаметарот (радиусот) пресече акорд, тогаш тој е нормален на оваа акорд.

2. Лаците содржани помеѓу паралелните акорди се еднакви.

3. Ако два акорда од круг, АБИ ЦДсе сечат во точка М, тогаш производот на отсечки од една акорд е еднаков на производот на отсечки од друга акорд: AM MB = CM MD.

Својства на круг

1. Правата може да нема заеднички точки со круг; имаат една заедничка точка со кругот ( тангента); има две заеднички точки со неа ( секант).

2. Преку три точки кои не лежат на иста линија, можете да нацртате круг, и тоа само една.

3. Точката на допир на два круга лежи на линијата што ги поврзува нивните центри.

Тангента и секантна теорема

Ако тангента и секанта се нацртани од точка што лежи надвор од кругот, тогаш квадратот на должината на тангентата е еднаков на производот на секантата и нејзиниот надворешен дел: MC 2 = MA MB.

Секантна теорема

Ако се извлечат две секанти од точка што лежи надвор од кругот, тогаш производот на едната секанта и нејзиниот надворешен дел е еднаков на производот на другата секанта и нејзиниот надворешен дел. MA MB = MC MD.

Агли во круг

ЦентралноАгол во круг е рамен агол со теме во центарот.

Се нарекува агол чие теме лежи на круг и чии страни ја сечат оваа кружница впишан агол.

Било кои две точки на кругот го делат на два дела. Секој од овие делови се нарекува лаккругови. Мерката на лакот може да биде мерка на неговиот соодветен централен агол.

Лакот се нарекува полукруг,ако сегментот што ги поврзува неговите краеви е со дијаметар.

Својства на агли поврзани со круг

1. Впишан агол е или еднаков на половина од соодветниот централен агол или надополнува половина од овој агол до 180°.

2. Аглите впишани во еден круг и потпираат на истиот лак се еднакви.

3. Впишаниот агол подвижен од дијаметарот е 90°.

5. Аголот формиран од тангента на круг и секант извлечен низ допирната точка е еднаков на половина од лакот содржан меѓу неговите страни.

Должини и области

1. Обем Врадиус Рпресметано со формулата: C= 2 Р.

2. Површина Срадиус на кругот Рпресметано со формулата: S = R 2.

3. Должина на кружен лак Лрадиус Рсо централниот агол измерен во радијани, пресметан со формулата: L = R .

4. Површина Срадиус сектори Рсо централен агол во радијани се пресметува со формулата: S = R 2 .

Впишани и ограничени кругови

Круг и триаголник

· центарот на впишаниот круг е точката на пресек на симетралите на триаголникот, неговиот радиус рпресметано со формулата:

r =, Каде Се плоштината на триаголникот и - полупериметар;

· Центарот на опишаната кружница е точката на пресек на симетралите нормални, неговиот радиус R се пресметува со формулата:

R= , R = ;

· центарот на кругот опфатен со правоаголен триаголник лежи на средината на хипотенузата;

· центрите на ограничените и впишаните кругови на триаголник се совпаѓаат само ако овој триаголник е правилен.

Круг и четириаголници

· Круг може да се опише околу конвексен четириаголник ако и само ако збирот на неговите внатрешни спротивни агли е еднаков на 180°:

180°;

круг може да се впише во четириаголник ако и само ако збировите на неговите спротивни страни се еднакви a + c = b + d;

паралелограм може да се опише како круг ако и само ако е правоаголник;

· може да се опише круг околу трапез ако и само ако овој трапез е рамнокрак; центарот на кругот лежи на пресекот на оската на симетрија на трапезот со нормалната симетрала на страната;

· круг може да се впише во паралелограм ако и само ако е ромб.

Триаголници

Својства на медијана на триаголник

1. Средината го дели триаголникот на два триаголници со еднаква плоштина.

2. Средините на триаголникот се сечат во една точка, што ја дели секоја од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Оваа точка се нарекува Центар на гравитацијатријаголник.

3. Целиот триаголник е поделен со неговите средни на шест еднакви триаголници.

Својства на симетралите на триаголниците

1. Симетралата на аголот е локус на точки што се еднакво оддалечени од страните на овој агол.

2. Симетралата на внатрешниот агол на триаголникот ја дели спротивната страна на отсечки пропорционални на соседните страни: .

3. Точката на пресек на симетралите на триаголникот е центарот на кругот впишан во овој триаголник.

Својства на височините на триаголниците

1. Во правоаголен триаголник, висината извлечена од темето на правиот агол го дели на два триаголници слични на првобитниот.

2. Во остар триаголник, неговите две височини отсекуваат слични триаголници од него.

Средина е отсечка извлечена од темето на триаголникот до средината на спротивната страна, односно ја дели на половина во точката на пресек. Точката во која средната ја пресекува страната спроти темето од кое излегува се нарекува основа. Секоја средина на триаголникот минува низ една точка, наречена пресечна точка. Формулата за нејзината должина може да се изрази на неколку начини.

Формули за изразување на должината на медијаната

• Често во задачите по геометрија, учениците треба да се справат со сегмент како што е средната на триаголник. Формулата за нејзината должина е изразена во однос на страните:

каде a, b и c се страните. Покрај тоа, c е страната на која паѓа медијаната. Вака изгледа наједноставната формула. Посреднините на триаголникот понекогаш се потребни за помошни пресметки. Постојат и други формули.

• Ако при пресметувањето се познати две страни на триаголник и одреден агол α лоциран меѓу нив, тогаш должината на средината на триаголникот, спуштена на третата страна, ќе се изрази на следниов начин.

Основни својства

• Сите медијани имаат една заедничка точка на пресек О и се делат со неа во однос два спрема еден, ако се бројат од темето. Оваа точка се нарекува центар на гравитација на триаголникот.
• Средината го дели триаголникот на два други чии плоштини се еднакви. Таквите триаголници се нарекуваат еднаква површина.
• Ако ги нацртате сите медијани, триаголникот ќе се подели на 6 еднакви фигури, кои исто така ќе бидат триаголници.
• Ако сите три страни на триаголникот се еднакви, тогаш секоја од средини ќе биде и висина и симетрала, односно нормална на страната на која е нацртан и го преполовува аголот од кој излегува.
• Во рамнокрак триаголник, медијаната извлечена од темето што е спротивна на страната што не е еднаква на ниту една друга, исто така ќе биде висината и симетралата. Медијаните отфрлени од другите темиња се еднакви. Ова е исто така неопходен и доволен услов за рамнокрак.
• Ако триаголник е основата на правилна пирамида, тогаш висината падната на оваа основа се проектира до точката на пресек на сите медијани.

• Во правоаголен триаголник, средната средна до најдолгата страна е еднаква на половина од нејзината должина.
• Нека O е пресечната точка на медијаните на триаголникот. Формулата подолу ќе биде точна за која било точка М.

• Средината на триаголникот има друго својство. Формулата за квадратот на неговата должина низ квадратите на страните е претставена подолу.

Својства на страните на кои е нацртана медијаната

• Ако поврзете било кои две точки на вкрстување на средните страни со страните на кои се испуштени, тогаш добиениот сегмент ќе биде средната линија на триаголникот и едната половина од страната на триаголникот со која нема заеднички точки.
• На истиот круг лежат основите на надморските височини и средини во триаголник, како и средните точки на отсечките што ги поврзуваат темињата на триаголникот со точката на пресек на височините.

Како заклучок, логично е да се каже дека еден од најважните сегменти е медијаната на триаголникот. Неговата формула може да се користи за да се најдат должините на другите страни.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Медијаната е еден од единствените сегменти на триаголникот. Медијаната има голем број својства корисни за решавање проблеми, а пресечната точка на медијаните дополнително ја проширува листата на овие својства. Точката на вкрстување на медијаните и нејзините својства ќе се дискутира денес.

Медијана

Медијана е отсечката што го поврзува темето на триаголникот со средната точка на отсечката на спротивната страна. Трите посредини на триаголникот се сечат во една точка, што се нарекува средна пресечна точка.

Медијаните, за разлика од надморските височини, секогаш лежат внатре во триаголникот. Ова е логично, бидејќи средната отсечка ги поврзува темето и средината на страната. И средната точка на страната секогаш лежи во триаголникот.

Ориз. 1. Медијани во тап триаголник.

Ако поврзете кои било две основи на медијаните со отсечка, ќе ја добиете средната линија на триаголникот. Трите средни линии на триаголникот формираат триаголник сличен на оригиналниот со однос на сличност 1:2

Постои уште едно интересно својство на медијаните што ќе ви помогне да избегнете забуна при конструирањето на златниот однос на триаголникот. Средината во триаголникот секогаш се наоѓа помеѓу висината и симетралата.

Ориз. 2. Златен пресек на произволен триаголник.

Даваме и формула за пресметување на должината на медијаната на три страни. Оваа формула често се користи при решавање на проблеми, и затоа е препорачливо да се запамети.

$$m_c=((\sqrt(2a^2+2b^2-c^2))\over(2))$$

На учениците често им е полесно да ја запомнат вербалната формулација наместо да ја запаметат формулата. За да ја пронајдете медијаната по три страни, треба да го земете коренот од збирот двапати од квадратите на страните минус квадратот на страната на која е нацртана медијаната. Добиениот корен мора да се подели на половина.

Средна пресечна точка

Пресечната точка на медијаните е една од 3-те забележителни точки на триаголникот што го сочинуваат златниот пресек на триаголникот.

Пресечната точка на медијаните на триаголникот има голем број својства кои се корисни за решавање проблеми:

• Медијаната е поделена со пресечната точка на отсечки со коефициент на пропорционалност 1:2 броејќи од темето.
• Три средини нацртани во триаголник го делат на 6 еднакви триаголници. Триаголниците со еднаква плоштина се нарекуваат еднаква плоштина. Самите овие бројки имаат малку заедничко, но нивните нумерички карактеристики на областа се совпаѓаат.
• Точката каде што медијаните се сечат во триаголник се нарекува центар и е центар на гравитација на триаголникот.

Точката на пресек на медијаните е единствената од златниот пресек на триаголникот што има вистинско физичко значење. Ако исечете триаголник од картон и нацртате посредини во него со тенок молив, тогаш точката на нивното вкрстување ќе биде центарот на гравитација на рамната фигура.

Ориз. 3. Тежиште на триаголникот.

Ова значи дека ако ставите игла во овој момент, фигурата ќе остане на неа без пункција, исклучиво поради рамнотежа.

Што научивме?

Ја дадовме формулата за пресметување на средина на 3 страни на триаголник. Дадени се неколку својства на точката на пресек на медијаните во триаголник. Зборувавме за вистинското физичко значење на центарот на триаголник.

Тест на темата

Рејтинг на статијата

Просечна оцена: 4.1. Вкупно добиени оценки: 255.