Како да решавате сложени примери со корени. Како да решавате примери со корени. Зошто радикалните изрази мора да бидат ненегативни

Факт 1.
\(\bullet\) Да земеме некој ненегативен број \(a\) (односно \(a\geqslant 0\) ). Потоа (аритметички) квадратен коренод бројот \(a\) се нарекува таков ненегативен број \(b\) , кога на квадрат го добиваме бројот \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(исто како )\quad a=b^2\]Од дефиницијата произлегува дека \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Овие ограничувања се важен услов за постоење на квадратен корен и треба да се запомнат!
Запомнете дека секој број кога е на квадрат дава ненегативен резултат. Тоа е, \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На што е еднакво \(\sqrt(25)\)? Знаеме дека \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Бидејќи по дефиниција мора да најдеме ненегативен број, тогаш \(-5\) не е соодветен, затоа, \(\sqrt(25)=5\) (бидејќи \(25=5^2\) ).
Наоѓањето на вредноста на \(\sqrt a\) се нарекува земање на квадратниот корен од бројот \(a\) , а бројот \(a\) се нарекува радикален израз.
\(\bullet\) Врз основа на дефиницијата, изразот \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), итн. нема смисла.

Факт 2.
За брзи пресметки, ќе биде корисно да се научи табелата со квадрати на природни броеви од \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end (низа)\]

Факт 3.
Какви операции можете да направите со квадратни корени?
\(\bullet\) Збирот или разликата на квадратните корени НЕ Е ЕДНАКВИ на квадратниот корен од збирот или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Така, ако треба да пресметате, на пример, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогаш првично мора да ги најдете вредностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и потоа преклопете ги. Оттука, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако вредностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не можат да се најдат при додавање на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогаш таквиот израз не се трансформира понатаму и останува како што е. На пример, во збирот \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можеме да најдеме дека \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира во како и да е, затоа \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За жал, овој израз не може дополнително да се поедностави\(\bullet\) Производот/количникот на квадратните корени е еднаков на квадратниот корен на производот/количникот, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (под услов двете страни на еднаквостите да имаат смисла)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користејќи ги овие својства, погодно е да се најдат квадратни корени на големи броеви со нивно множење.
Ајде да погледнеме на пример. Ајде да најдеме \(\sqrt(44100)\) . Бидејќи \(44100:100=441\) , тогаш \(44100=100\cdot 441\) . Според критериумот на деливост, бројот \(441\) се дели со \(9\) (бидејќи збирот на неговите цифри е 9 и се дели со 9), според тоа, \(441:9=49\), односно \(441=9\ cdot 49\) .
Така добивме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Ајде да погледнеме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Да покажеме како се внесуваат броеви под знакот на квадратен корен користејќи го примерот на изразот \(5\sqrt2\) (кратка нотација за изразот \(5\cdot \sqrt2\)). Бидејќи \(5=\sqrt(25)\) , тогаш \ Забележете исто така дека, на пример,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Зошто е тоа? Ајде да објасниме користејќи го примерот 1). Како што веќе разбравте, не можеме некако да го трансформираме бројот \(\sqrt2\). Да замислиме дека \(\sqrt2\) е некој број \(a\) . Според тоа, изразот \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е ништо повеќе од \(a+3a\) (еден број \(a\) плус уште три исти броеви \(a\)). И знаеме дека ова е еднакво на четири такви броеви \(a\) , односно \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Често велат „не можеш да го извлечеш коренот“ кога не можеш да се ослободиш од знакот \(\sqrt () \\) на коренот (радикал) кога ја пронаоѓаш вредноста на бројот . На пример, можете да го земете коренот на бројот \(16\) бидејќи \(16=4^2\) , затоа \(\sqrt(16)=4\) . Но, невозможно е да се извлече коренот на бројот \(3\), односно да се најде \(\sqrt3\), бидејќи не постои број што на квадрат ќе даде \(3\) .
Таквите броеви (или изразите со такви броеви) се ирационални. На пример, бројки \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така натаму. се ирационални.
Исто така ирационални се броевите \(\pi\) (бројот „pi“, приближно еднаков на \(3,14\)), \(e\) (овој број се нарекува Ојлеров број, приближно е еднаков на \(2,7 \)) итн.
\(\bullet\) Ве молиме имајте предвид дека секој број ќе биде или рационален или ирационален. И заедно сите рационални и сите ирационални броеви формираат множество наречено збир на реални броеви.Ова множество се означува со буквата \(\mathbb(R)\) .
Ова значи дека сите броеви што моментално ги знаеме се нарекуваат реални броеви.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулот на реален број \(a\) е ненегативен број \(|a|\) еднаков на растојанието од точката \(a\) до \(0\) на вистинска линија. На пример, \(|3|\) и \(|-3|\) се еднакви на 3, бидејќи растојанијата од точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) се исто и еднакво на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е ненегативен број, тогаш \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е негативен број, тогаш \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Тие велат дека за негативните броеви модулот го „јаде“ минусот, додека позитивните броеви, како и бројот \(0\), се оставаат непроменети со модулот.
НООва правило важи само за бројки. Ако под вашиот знак за модул има непозната \(x\) (или некоја друга непозната), на пример, \(|x|\) , за која не знаеме дали е позитивен, нула или негативен, тогаш ослободете се од модулот не можеме. Во овој случај, овој израз останува ист: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( обезбедено ) a\geqslant 0\]Многу често се прави следнава грешка: велат дека \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) се едно исто. Ова е точно само ако \(a\) е позитивен број или нула. Но, ако \(a\) е негативен број, тогаш ова е неточно. Доволно е да се разгледа овој пример. Да го земеме наместо \(a\) бројот \(-1\) . Тогаш \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразот \((\sqrt (-1))^2\) воопшто не постои (на крајот на краиштата, невозможно е да се користи коренскиот знак стави негативни броеви!).
Затоа, го обрнуваме вашето внимание на фактот дека \(\sqrt(a^2)\) не е еднакво на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\лево(-\sqrt2\десно)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), бидејќи \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Бидејќи \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогаш \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразот \(2n\) означува парен број)
Односно, кога се зема коренот на број кој е до одреден степен, овој степен се преполовува.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (забележете дека ако модулот не е испорачан, излегува дека коренот на бројот е еднаков на \(-25\ ), но се сеќаваме дека по дефиниција за корен тоа не може да се случи: кога извлекуваме корен, секогаш треба да добиеме позитивен број или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (бидејќи кој било број до парна моќност е ненегативен)

Факт 6.
Како да се споредат два квадратни корени?
\(\bullet\) За квадратни корени е точно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) споредете ги \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Прво, да го трансформираме вториот израз во \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, бидејќи \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Помеѓу кои цели броеви се наоѓа \(\sqrt(50)\)?
Бидејќи \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Да ги споредиме \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да претпоставиме дека \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додадете еден на двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((со квадрат од двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (порамнет)\]Гледаме дека сме добиле неточна неравенка. Затоа, нашата претпоставка беше неточна и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Забележете дека додавањето одреден број на двете страни на неравенката не влијае на неговиот знак. Множењето/делењето на двете страни на неравенката со позитивен број исто така не влијае на неговиот знак, но множењето/делењето со негативен број го менува знакот на неравенството!
Можете да ги квадратите двете страни на равенка/неравенка САМО АКО двете страни се ненегативни. На пример, во неравенката од претходниот пример можете да ги квадратите двете страни, во неравенката \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Треба да се запомни дека \[\почеток(порамнет) &\sqrt 2\приближно 1,4\\ &\sqrt 3\приближно 1,7 \крај (порамнет)\]Познавањето на приближното значење на овие бројки ќе ви помогне кога ги споредувате броевите! \(\bullet\) За да го извлечете коренот (ако може да се извлече) од некој голем број што го нема во табелата со квадрати, прво треба да одредите помеѓу кои „стотки“ се наоѓа, потоа - помеѓу кои „ десетици“, а потоа одреди ја последната цифра од овој број. Ајде да покажеме како функционира ова со пример.
Да земеме \(\sqrt(28224)\) . Знаеме дека \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), итн. Забележете дека \(28224\) е помеѓу \(10\,000\) и \(40\,000\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(100\) и \(200\) .
Сега да одредиме помеѓу кои „десетки“ се наоѓа нашиот број (тоа е, на пример, помеѓу \(120\) и \(130\)). Исто така од табелата со квадрати знаеме дека \(11^2=121\) , \(12^2=144\) итн., потоа \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Значи, гледаме дека \(28224\) е помеѓу \(160^2\) и \(170^2\) . Затоа, бројот \(\sqrt(28224)\) е помеѓу \(160\) и \(170\) .
Ајде да се обидеме да ја одредиме последната цифра. Да се ​​потсетиме кои едноцифрени броеви, кога се квадрат, даваат \(4\) на крајот? Тоа се \(2^2\) и \(8^2\) . Затоа, \(\sqrt(28224)\) ќе заврши или на 2 или на 8. Ајде да го провериме ова. Ајде да ги најдеме \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cточка 162=26224\)
\(168^2=168\cточка 168=28224\) .
Затоа, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

За соодветно да го решите Обединениот државен испит по математика, прво треба да проучите теоретски материјал кој ве запознава со бројни теореми, формули, алгоритми итн. На прв поглед може да изгледа дека ова е прилично едноставно. Сепак, наоѓањето извор во кој теоријата за обединет државен испит по математика е претставена на лесен и разбирлив начин за учениците со кое било ниво на обука е всушност прилично тешка задача. Училишните учебници не можат секогаш да се чуваат при рака. И наоѓањето основни формули за обединет државен испит по математика може да биде тешко дури и на Интернет.

Зошто е толку важно да се изучува теоријата по математика не само за оние што полагаат обединет државен испит?

1. Затоа што ви ги проширува хоризонтите. Проучувањето на теоретскиот материјал по математика е корисно за секој кој сака да добие одговори на широк спектар на прашања поврзани со познавање на светот околу нив. Сè во природата е подредено и има јасна логика. Токму тоа се рефлектира во науката, преку која е можно да се разбере светот.
2. Затоа што развива интелигенција. Со проучување на референтни материјали за обединетиот државен испит по математика, како и решавање на разни проблеми, човекот учи да размислува и логично да размислува, да формулира мисли компетентно и јасно. Тој развива способност за анализа, генерализирање и извлекување заклучоци.

Ве покануваме лично да ги оцените сите предности на нашиот пристап кон систематизација и презентација на едукативни материјали.

Операции со моќ и корени. Степен со негативен ,

нула и фракционо индикатор. За изразите кои немаат значење.

Операции со степени.

1. Кога се множат силите со иста основа, нивните експоненти се собираат:

м · a n = a m + n.

2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат .

3. Степенот на производот на два или повеќе фактори е еднаков на производот од степените на овие фактори.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Степенот на односот (дропка) е еднаков на односот на степените на дивидендата (броителот) и делителот (именителот):

(а/б ) n = a n / b n .

5. При подигање на моќност на моќност, нивните експоненти се множат:

(м ) n = a m n.

Сите горенаведени формули се читаат и се извршуваат во двете насоки од лево кон десно и обратно.

ПРИМЕР (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Операции со корени. Во сите формули подолу, симболот значи аритметички корен(радикалното изразување е позитивно).

1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот корените на овие фактори:

2. Коренот на соодносот е еднаков на односот на корените на дивидендата и делителот:

3. Кога се подига коренот на моќ, доволно е да се подигне на оваа моќ радикален број:

4. Ако го зголемиме степенот на коренот вом подигне дом та моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

5. Ако го намалиме степенот на коренот вом извлечете го коренот еднаш и во исто времем та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот не еќе се промени:

Проширување на концептот на степен. Досега ги разгледувавме степените само со природни експоненти;туку дејствија со степени и корени исто така може да доведат до негативен, нулаИ фракционоиндикатори. Сите овие експоненти бараат дополнителна дефиниција.

Степен со негативен експонент. Моќ на некој број в негативен (целоброј) експонент се дефинира како еден поделен со моќ од ист број со експонент еднаков на апсолутната вредностнегативен индикатор:

Тсега формулата м: a n= м - n може да се користи не само зам, повеќе од n, но и со м, помалку од n .

ПРИМЕР а 4 :а 7 = а 4 - 7 = а - 3 .

Ако ја сакаме формулатам : a n= м - nбеше фер когаm = n, ни треба дефиниција за нулта степен.

Степен со нулта индекс. Моќта на кој било ненулта број со експонент нула е 1.

ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен со дробен експонент. Да се ​​подигне реален броји до моќноста m/n , треба да го извлечете коренот n-ти сила од m -та моќ на овој бројА:

За изразите кои немаат значење. Има неколку такви изрази.кој било број.

Всушност, ако претпоставиме дека овој израз е еднаков на некој број x, тогаш според дефиницијата за операцијата поделба имаме: 0 = 0 · x. Но оваа еднаквост настанува кога кој било број x, што требаше да се докаже.

Случај 3.

0 0 - кој било број.

Навистина,

Решение. Да разгледаме три главни случаи:

1) x = 0 – оваа вредност не ја задоволува оваа равенка

(Зошто?).

2) кога x> 0 добиваме: x/x = 1, т.е. 1 = 1, што значи

Што x– кој било број; но имајќи предвид дека во

Во нашиот случај x> 0, одговорот еx > 0 ;

3) кога x < 0 получаем: – x/x= 1, т.е . -1 = 1, затоа,

Во овој случај нема решение.

Така, x > 0.

На почетокот на часот, ќе ги разгледаме основните својства на квадратните корени, а потоа ќе разгледаме неколку сложени примери на поедноставување на изрази кои содржат квадратни корени.

Тема:Функција. Својства на квадратен корен

Лекција:Конвертирање и поедноставување на посложени изрази со корени

1. Преглед на својствата на квадратните корени

Да ја повториме накратко теоријата и да се потсетиме на основните својства на квадратните корени.

Својства на квадратните корени:

1. затоа, ;

3. ;

4. .

2. Примери за поедноставување изрази со корени

Ајде да продолжиме со примери за користење на овие својства.

Пример 1: Поедноставете израз .

Решение. За да се поедностави, бројот 120 мора да се факторизира во прости фактори:

Ќе го откриеме квадратот на збирот користејќи ја соодветната формула:

Пример 2: Поедноставете израз .

Решение. Да земеме предвид дека овој израз нема смисла за сите можни вредности на променливата, бидејќи овој израз содржи квадратни корени и фракции, што доведува до „стеснување“ на опсегот на дозволените вредности. ОДЗ: ().

Да го доведеме изразот во загради до заедничкиот именител и да го запишеме броителот на последната дропка како разлика на квадрати:

На.

Одговори. на.

Пример 3: Поедноставете израз .

Решение. Може да се види дека втората заграда за броител има незгоден изглед и треба да се поедностави; ајде да се обидеме да ја пресметаме користејќи го методот на групирање.

За да можеме да изведеме заеднички фактор, ги поедноставивме корените со нивно факторинг. Ајде да го замениме добиениот израз во оригиналната дропка:

По намалувањето на дропот, ја применуваме формулата за разлика од квадрати.

3. Пример за ослободување од ирационалноста

Пример 4. Ослободете се од ирационалноста (корените) во именителот: а) ; б) .

Решение. а) За да се ослободиме од ирационалноста во именителот, се користи стандардниот метод за множење и на броителот и именителот на дропка со конјугираниот фактор со именителот (ист израз, но со спротивен знак). Ова е направено за да се надополни именителот на фракцијата до разликата на квадратите, што ви овозможува да се ослободите од корените во именителот. Ајде да го направиме ова во нашиот случај:

б) изврши слични дејства:

Одговор.; .

4. Пример за докажување и идентификација на целосен квадрат во сложен радикал

Пример 5. Докажи еднаквост .

Доказ. Да ја користиме дефиницијата за квадратен корен, од која произлегува дека квадратот на десниот израз мора да биде еднаков на радикалниот израз:

. Ајде да ги отвориме заградите користејќи ја формулата за квадратот на збирот:

, ја добивме точната еднаквост.

Докажано.

Пример 6. Поедноставете го изразот.

Решение. Овој израз обично се нарекува сложен радикал (корен под корен). Во овој пример, треба да сфатите како да изолирате целосен квадрат од радикалниот израз. За да го направите ова, забележете дека од двата члена, тој е кандидат за улогата на двојниот производ во формулата за квадратна разлика (разлика, бидејќи има минус). Дозволете ни да го напишеме во форма на следниот производ: , тогаш 1 тврди дека е еден од членовите на целосен квадрат, а 1 тврди дека е вториот.

Ајде да го замениме овој израз под коренот.

Оваа статија е збирка на детални информации кои се однесуваат на темата на својствата на корените. Со оглед на темата, ќе започнеме со својствата, ќе ги проучиме сите формулации и ќе обезбедиме докази. За да ја консолидираме темата, ќе ги разгледаме својствата на n-тиот степен.

Својства на корените

Ќе зборуваме за имоти.

1. Имотот помножени броеви аИ б, што е претставено како еднаквост a · b = a · b. Може да се претстави во форма на фактори, позитивни или еднакви на нула a 1 , a 2 , ... , a kкако 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. од количникот a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, може да се запише и во оваа форма a b = a b;
3. Својство од моќта на број асо парен експонент a 2 m = a m за кој било број а, на пример, својството од квадрат на број a 2 = a.

Во која било од претставените равенки, можете да ги замените деловите пред и по знакот за цртичка, на пример, еднаквоста a · b = a · b се трансформира како a · b = a · b. Својствата за еднаквост често се користат за да се поедностават сложените равенки.

Доказот за првите својства се заснова на дефиницијата за квадратен корен и својствата на моќите со природен експонент. За да се оправда третото својство, потребно е да се повикаме на дефиницијата за модулот на број.

Пред сè, потребно е да се докажат својствата на квадратниот корен a · b = a · b. Според дефиницијата, потребно е да се земе предвид дека a b е број, позитивен или еднаков на нула, кој ќе биде еднаков на а бза време на изградбата во квадрат. Вредноста на изразот a · b е позитивна или еднаква на нула како производ на ненегативни броеви. Својството на силите на помножените броеви ни овозможува да ја претставиме еднаквоста во форма (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По дефиниција на квадратниот корен, a 2 = a и b 2 = b, потоа a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

На сличен начин тоа може да се докаже од производот кмножители a 1 , a 2 , ... , a kќе биде еднаков на производот од квадратните корени на овие фактори. Навистина, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Од оваа еднаквост произлегува дека a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Ајде да погледнеме неколку примери за да ја зајакнеме темата.

Пример 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 и 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Потребно е да се докаже својството на аритметичкиот квадрат на количникот: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Својството ни овозможува да ја напишеме еднаквоста a: b 2 = a 2: b 2, и a 2: b 2 = a: b, додека a: b е позитивен број или еднаков на нула. Овој израз ќе стане доказ.

На пример, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 и 30,121 = 30,121.

Да го разгледаме својството на квадратниот корен на квадратот на број. Може да се напише како еднаквост како 2 = a За да се докаже ова својство, потребно е детално да се разгледаат неколку еднаквости за a ≥ 0и во а< 0 .

Очигледно, за a ≥ 0 еднаквоста a 2 = a е точно. На а< 0 еднаквоста a 2 = - a ќе биде вистина. Всушност, во овој случај − a > 0и (− a) 2 = a 2 . Можеме да заклучиме, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Докажаното својство ќе помогне да се оправда 2 m = a m, каде а– вистински и м- природен број. Навистина, својството на подигање моќ ни овозможува да ја замениме моќта на 2 мизразување (а м) 2, потоа a 2 m = (a m) 2 = a m.

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Својства на n-тиот корен

Прво, треба да ги земеме предвид основните својства на n-тиот корен:

1. Својство од производот на броеви аИ б, кои се позитивни или еднакви на нула, може да се изразат како еднаквост a · b n = a n · b n , ова својство важи за производот кброеви a 1 , a 2 , ... , a kкако 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. од дробен број има својство a b n = a n b n , каде ае секој реален број кој е позитивен или еднаков на нула, и б– позитивен реален број;
3. За се апа дури и индикатори n = 2 m a 2 · m 2 · m = a е точно, и за непарни n = 2 m − 1важи еднаквоста a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Својство на екстракција од a m n = a n m , каде а- кој било број, позитивен или еднаков на нула, nИ мсе природни броеви, ова својство може да се претстави и во форма. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. За секое ненегативно а и произволно nИ м, кои се природни, можеме да ја дефинираме и правичната еднаквост a m n · m = a n ;
6. Сопственост на степенот nод моќта на број а, што е позитивно или еднакво на нула, на природната моќност м, дефинирана со еднаквоста a m n = a n m ;
7. Споредба на својството што ги има истите експоненти: за кои било позитивни броеви аИ бтакви што а< b , неравенството a n< b n ;
8. Споредба на својството кое има исти броеви под коренот: ако мИ n -природни броеви кои m > n, потоа во 0 < a < 1 неравенството a m > a n е точно, и кога а > 1извршил м< a n .

Еднаквостите дадени погоре важат ако се заменуваат деловите пред и по знакот за еднаквост. Тие исто така можат да се користат во оваа форма. Ова често се користи кога се поедноставуваат или трансформираат изрази.

Доказот за горенаведените својства на коренот се заснова на дефиницијата, својствата на степенот и дефиницијата на модулот на бројот. Овие својства мора да се докажат. Но, се е во ред.

1. Најпрво, да ги докажеме својствата на n-тиот корен на производот a · b n = a n · b n . За аИ б , којсе позитивен или еднаков на нула , вредноста a n · b n е исто така позитивна или еднаква на нула, бидејќи е последица на множење на ненегативни броеви. Својството на производот на природната моќ ни овозможува да ја запишеме еднаквоста a n · b n n = a n n · b n n . По дефиниција за корен n-ти степен a n n = a и b n n = b , затоа, a n · b n n = a · b . Добиената еднаквост е токму она што треба да се докаже.

Ова својство може да се докаже слично за производот кмножители: за ненегативни броеви a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Еве примери за користење на својството root n-та моќност од производот: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 и 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Да го докажеме својството на коренот на количникот a b n = a n b n . На a ≥ 0И б > 0условот a n b n ≥ 0 е задоволен и a n b n n = a n n b n n = a b .

Ајде да покажеме примери:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. За следниот чекор потребно е да се докажат својствата на n-тиот степен од број до степен n. Да го замислиме ова како еднаквост a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a за која било реална аи природни м. На a ≥ 0добиваме a = a и a 2 m = a 2 m, што ја докажува еднаквоста a 2 m 2 m = a, а еднаквоста a 2 m - 1 2 m - 1 = a е очигледна. На а< 0 добиваме, соодветно, a = - a и a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Последната трансформација на број важи според својството моќност. Ова е токму она што ја докажува еднаквоста a 2 m 2 m = a, и a 2 m - 1 2 m - 1 = a ќе биде вистина, бидејќи се смета непарниот степен - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 за кој било број в ,позитивен или еднаков на нула.

Со цел да се консолидираат добиените информации, да разгледаме неколку примери со користење на имотот:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 и (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Да ја докажеме следната еднаквост a m n = a n m . За да го направите ова, треба да ги замените броевите пред и по знакот за еднаквост a n · m = a m n . Ова ќе значи дека записот е точен. За а,што е позитивно или еднаква на нула , од формата a m n е број позитивен или еднаков на нула. Да се ​​свртиме кон својството на подигање на моќ до моќ и нејзината дефиниција. Со нивна помош, можете да ги трансформирате еднаквостите во форма a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Ова ја докажува сопственоста на коренот на коренот што се разгледува.

Слично се докажани и други својства. Навистина,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a.

На пример, 7 3 5 = 7 5 3 и 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Да го докажеме следното својство a m n · m = a n . За да го направите ова, потребно е да се покаже дека a n е број, позитивен или еднаков на нула. Кога ќе се подигне до моќноста n m е еднаква на м. Доколку бројот ае позитивен или еднаков на нула, тогаш n-ти степен од меѓу ае позитивен број или еднаков на нула Во овој случај, a n · m n = a n n m , што е она што треба да се докаже.

За да го консолидираме стекнатото знаење, да погледнеме неколку примери.

1. Да го докажеме следното својство – својство на корен на моќ од формата a m n = a n m . Очигледно е дека кога a ≥ 0степенот a n m е ненегативен број. Згора на тоа, неа nта моќ е еднаква на м, навистина, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ова ја докажува сопственоста на степенот што се разгледува.

На пример, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Тоа е неопходно да се докаже за сите позитивни бројки аи б условот е задоволен а< b . Размислете за неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Затоа, н< b n при а< b .

На пример, да дадеме 12 4< 15 2 3 4 .

1. Размислете за својството на коренот n-ти степен. Потребно е прво да се разгледа првиот дел од нееднаквоста. На m > nИ 0 < a < 1 точно a m > a n . Да претпоставиме дека a m ≤ a n. Својствата ќе ви овозможат да го поедноставите изразот на a n m · n ≤ a m m · n . Тогаш, според својствата на степен со природен експонент, важи неравенството a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, т.е. a n ≤ a m. Добиената вредност на m > nИ 0 < a < 1 не одговара на својствата дадени погоре.

На ист начин може да се докаже дека кога m > nИ а > 1условот a m е вистина< a n .

Со цел да се консолидираат горенаведените својства, да разгледаме неколку конкретни примери. Да ги погледнеме неравенките користејќи специфични броеви.

Пример 6

0, 7 3 > 0, 7 5 и 12 > 12 7.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Доста често, кога решаваме проблеми, се соочуваме со големи бројки од кои треба да извлечеме Квадратен корен. Многу студенти одлучуваат дека ова е грешка и почнуваат повторно да го решаваат целиот пример. Во никој случај не треба да го правите ова! Постојат две причини за ова:

1. Во проблемите се појавуваат корени од голем број. Особено во текстуалните;
2. Постои алгоритам со кој овие корени се пресметуваат речиси усно.

Овој алгоритам ќе го разгледаме денес. Можеби некои работи ќе ви изгледаат неразбирливи. Но, ако обрнете внимание на оваа лекција, ќе добиете моќно оружје против квадратни корени.

Значи, алгоритмот:

1. Ограничете го потребниот корен над и долу на броеви кои се множители на 10. Така, ќе го намалиме опсегот на пребарување на 10 броеви;
2. Од овие 10 бројки, отстранете ги оние што дефинитивно не можат да бидат корени. Како резултат на тоа, ќе останат 1-2 броја;
3. Квадрат на овие 1-2 бројки. Оној чиј квадрат е еднаков на оригиналниот број ќе биде коренот.

Пред да го примените овој алгоритам во пракса, да го разгледаме секој поединечен чекор.

Ограничување на коренот

Пред сè, треба да откриеме помеѓу кои броеви се наоѓа нашиот корен. Многу е пожелно броевите да бидат множители на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Добиваме серија броеви:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Што ни кажуваат овие бројки? Едноставно е: добиваме граници. Земете го, на пример, бројот 1296. Се наоѓа помеѓу 900 и 1600. Затоа, неговиот корен не може да биде помал од 30 и поголем од 40:

[Наслов за сликата]

Истото важи и за кој било друг број од кој можете да го најдете квадратниот корен. На пример, 3364:

[Наслов за сликата]

Така, наместо неразбирлив број, добиваме многу специфичен опсег во кој лежи оригиналниот корен. За дополнително стеснување на областа за пребарување, преминете на вториот чекор.

Елиминирање на очигледно непотребните бројки

Значи, имаме 10 броеви - кандидати за коренот. Ги добивме многу брзо, без сложено размислување и множење во колона. Време е да продолжам.

Верувале или не, сега ќе го намалиме бројот на кандидатски броеви на два - повторно без никакви комплицирани пресметки! Доволно е да се знае посебното правило. Еве го:

Последната цифра од квадратот зависи само од последната цифра оригинален број.

Со други зборови, само погледнете ја последната цифра од квадратот и веднаш ќе разбереме каде завршува оригиналниот број.

Има само 10 цифри кои можат да се најдат на последното место. Ајде да се обидеме да откриеме во што се претвораат кога ќе се квадрат. Погледнете ја табелата:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Оваа табела е уште еден чекор кон пресметување на коренот. Како што можете да видите, броевите во втората линија се покажаа како симетрични во однос на петте. На пример:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Како што можете да видите, последната цифра е иста во двата случаи. Ова значи дека, на пример, коренот на 3364 мора да завршува на 2 или 8. Од друга страна, се сеќаваме на ограничувањето од претходниот пасус. Добиваме:

[Наслов за сликата]

Црвените квадрати покажуваат дека сè уште не ја знаеме оваа бројка. Но, коренот лежи во опсегот од 50 до 60, на кој има само два броја што завршуваат на 2 и 8:

[Наслов за сликата]

Тоа е се! Од сите можни корени, оставивме само две опции! И ова е во најтешкиот случај, бидејќи последната цифра може да биде 5 или 0. И тогаш ќе има само еден кандидат за корените!

Конечни пресметки

Значи, ни останаа 2 кандидатски броја. Како знаеш кој е коренот? Одговорот е очигледен: квадрат двата броја. Оној што на квадрат го дава оригиналниот број ќе биде коренот.

На пример, за бројот 3364 најдовме два кандидатски броја: 52 и 58. Да ги квадратиме:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Тоа е се! Се испостави дека коренот е 58! Во исто време, за да ги поедноставам пресметките, ја користев формулата за квадратите на збирот и разликата. Благодарение на ова, не морав ни да ги множам броевите во колона! Ова е уште едно ниво на оптимизација на пресметката, но, се разбира, тоа е целосно опционално :)

Примери за пресметување на корените

Теоријата е, се разбира, добра. Но, ајде да го провериме во пракса.

[Наслов за сликата]

Прво, ајде да дознаеме помеѓу кои броеви се наоѓа бројот 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега да го погледнеме последниот број. Тоа е еднакво на 6. Кога се случува ова? Само ако коренот завршува на 4 или 6. Добиваме два броја:

Останува само да се квадрира секој број и да се спореди со оригиналот:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Одлично! Првиот квадрат се покажа како еднаков на оригиналниот број. Значи ова е коренот.

Задача. Пресметајте го квадратниот корен:

[Наслов за сликата]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Да ја погледнеме последната цифра:

1369 → 9;
33; 37.

Квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369 година.

Еве го одговорот: 37.

Задача. Пресметајте го квадратниот корен:

[Наслов за сликата]

Го ограничуваме бројот:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Да ја погледнеме последната цифра:

2704 → 4;
52; 58.

Квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Го добивме одговорот: 52. Вториот број повеќе нема да треба да се квадрира.

Задача. Пресметајте го квадратниот корен:

[Наслов за сликата]

Го ограничуваме бројот:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Да ја погледнеме последната цифра:

4225 → 5;
65.

Како што можете да видите, по вториот чекор останува само една опција: 65. Ова е саканиот корен. Но, сепак, да го средиме и да провериме:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Сè е точно. Го запишуваме одговорот.

Заклучок

За жал, нема подобро. Да ги погледнеме причините. Има два од нив:

• Во секој нормален испит по математика, било да е тоа Државен или Единствен државен испит, употребата на калкулатори е забранета. И ако донесете калкулатор на час, лесно може да бидете исфрлени од испитот.
• Не бидете како глупави Американци. Кои не се како корени - не можат да соберат два прости броеви. И кога гледаат дропки, генерално стануваат хистерични.