Приближни методи за проучување на нелинеарни системи. Анализа на нелинеарни системи. Метод на хармонска линеаризација. Примена на теоријата на Маркови процеси за анализа на нелинеарни системи. Нелинеарност на типот на реле

Систем се смета за нелинеарен ако неговиот ред >2 (n>2).

Проучувањето на линеарни системи од висок ред е поврзано со надминување на значителни математички тешкотии, бидејќи не постојат општи методи за решавање на нелинеарни равенки. При анализа на движењето на нелинеарни системи, се користат методи на нумеричка и графичка интеграција, кои овозможуваат да се добие само едно одредено решение.

Истражувачките методи се поделени во две групи. Првата група се методи засновани на изнаоѓање точни решенија за нелинеарни диференцијални равенки. Втората група е приближни методи.

Развојот на точни методи е важен и од гледна точка на добивање директни резултати и за проучување на различни посебни режими и форми на динамички процеси на нелинеарни системи кои не можат да се идентификуваат и анализираат со приближни методи. Точните методи се:

1. Директен метод на Љапунов

2. Методи на фазна рамнина

3. Метод на монтирање

4. Метод на трансформации на точки

5. Метод на пресеци од просторот на параметри

6. Фреквентен метод за одредување на апсолутна стабилност

За да се решат многу теоретски и практични проблеми, се користи дискретна и аналогна компјутерска технологија, што овозможува да се користат методи на математичко моделирање во комбинација со полуприродно и моделирање со целосен размер. Во овој случај, компјутерската технологија е споена со реалните елементи на контролните системи, со сите нивни својствени нелинеарности.

Приближните методи вклучуваат аналитички и графико-аналитички методи кои овозможуваат замена на нелинеарен систем со еквивалентен линеарен модел, проследено со употреба на методи на линеарна теорија на динамички системи за негово проучување.

Постојат две групи на приближни методи.

Првата група се заснова на претпоставката дека нелинеарниот систем што се проучува е сличен по своите својства со линеарниот. Тоа се методи на мал параметар, кога движењето на системот е опишано со употреба на серии на моќност во однос на некој мал параметар кој е присутен во равенките на системот или кој е вештачки воведен во овие равенки.

Втората група методи е насочена кон проучување на природните периодични осцилации на системот. Се заснова на претпоставката дека саканите осцилации на системот се блиску до хармониците. Тоа се методи на хармонична рамнотежа или хармонична линеаризација. Кога се користат, се врши условна замена на нелинеарен елемент, кој е под дејство на хармоничен влезен сигнал, со еквивалентни линеарни елементи. Аналитичкото поткрепување на линеаризацијата на хармониците се заснова на принципот на еднаквост на променливите за фреквенција, амплитуда и излезни фази, еквивалентниот линеарен елемент и првиот хармоник на излезната променлива на реален нелинеарен елемент.

Најголем ефект се дава со разумна комбинација на приближни и точни методи.

„Теорија на автоматска контрола“

„Методи на истражување на нелинеарни системи“

1. Метод на диференцијални равенки

Диференцијалната равенка на затворен нелинеарен систем од n-ти ред (сл. 1) може да се претвори во систем од n-диференцијални равенки од прв ред во форма:

каде што: - променливи кои го карактеризираат однесувањето на системот (една од нив може да биде контролирана вредност); се нелинеарни функции; u е движечката сила.

Обично, овие равенки се напишани во конечни разлики:

каде се почетните услови.

Ако отстапувањата не се големи, тогаш овој систем може да се реши како систем на алгебарски равенки. Решението може да се прикаже графички.

2. Метод на фазен простор

Да го разгледаме случајот кога надворешното дејство е еднакво на нула (U = 0).

Движењето на системот се одредува со промената на неговите координати - во функција на времето. Вредностите во секое време ја карактеризираат состојбата (фазата) на системот и ги одредуваат координатите на системот со n-оски и можат да бидат претставени како координати на одредена (претставувачка) точка М (сл. 2).

Фазниот простор е простор на координати на системот.

Со промена на времето t, точката М се движи по траекторија наречена фазна траекторија. Ако ги промениме почетните услови, добиваме семејство на фазни траектории наречени фазен портрет. Фазниот портрет ја одредува природата на минливиот процес во нелинеарен систем. Фазниот портрет има единечни точки кон кои се стремат или напуштаат фазните траектории на системот (може да има неколку од нив).

Фазниот портрет може да содржи затворени фазни траектории, кои се нарекуваат гранични циклуси. Граничните циклуси ги карактеризираат самоосцилациите во системот. Фазните траектории не се вкрстуваат никаде, освен единечните точки што ги карактеризираат состојбите на рамнотежа на системот. Граничните циклуси и состојбите на рамнотежа може или не можат да бидат стабилни.

Фазниот портрет целосно го карактеризира нелинеарниот систем. Карактеристична карактеристика на нелинеарните системи е присуството на различни видови движења, неколку состојби на рамнотежа и присуство на гранични циклуси.

Методот на фазен простор е фундаментален метод за проучување на нелинеарни системи. Многу е полесно и попогодно да се проучуваат нелинеарни системи на фазна рамнина отколку со исцртување на транзиенти во временскиот домен.

Геометриските конструкции во просторот се помалку јасни од конструкциите на рамнина, кога системот има втор ред, а се користи методот на фазна рамнина.

Примена на методот на фазна рамнина на линеарни системи

Дозволете ни да ја анализираме врската помеѓу природата на минливиот процес и кривите на фазните траектории. Фазните траектории може да се добијат или со интегрирање на равенката за фазна траекторија или со решавање на оригиналната диференцијална равенка од втор ред.

Нека системот е даден (сл. 3).

Размислете за слободното движење на системот. Во овој случај: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Генерално, диференцијалната равенка ја има формата

каде (1)

Ова е хомогена диференцијална равенка од втор ред; нејзината карактеристична равенка е

. (2)

Од релациите се одредуваат корените на карактеристичната равенка

(3)

Да ја претставиме диференцијалната равенка од втор ред како систем

Равенки од прв ред:

(4)

каде е стапката на промена на контролираната променлива.

Во линеарниот систем што се разгледува, променливите x и y се фазни координати. Фазниот портрет е изграден во просторот на координатите x и y, т.е. на фазната рамнина.

Ако го исклучиме времето од равенката (1), тогаш ја добиваме равенката на интегрални криви или фазни траектории.

. (5)

Ова е раздвојлива равенка

Ајде да разгледаме неколку случаи

Датотеки GB_prog.m и GB_mod.mdl и анализа на спектралниот состав на периодичниот режим на излезот од линеарниот дел - користејќи ги датотеките GB_prog.m и R_Fourie.mdl. Содржина на датотеката GB_prog.m: %Истрага на нелинеарни системи со методот на хармонична рамнотежа %Користени датотеки: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl. % Користена ознака: NE - нелинеарен елемент, LP - линеарен дел. %Исчисти се...

Инерцијален во дозволениот (одозгора ограничен) фреквентен опсег, над кој преминува во категоријата инерцијални. Во зависност од видот на карактеристиките, се разликуваат нелинеарни елементи со симетрични и асиметрични карактеристики. Симетрична е карактеристика која не зависи од насоката на величините што ја одредуваат, т.е. имајќи симетрија во однос на почетокот на системот...

Испратете ја вашата добра работа во базата на знаење е едноставна. Користете ја формата подолу

Студентите, дипломираните студенти, младите научници кои ја користат базата на знаење во нивните студии и работа ќе ви бидат многу благодарни.

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Државниот технички универзитет во Новосибирск

Одделение за електричен погон и автоматизација на индустриски инсталации

КУРСНА РАБОТА

во дисциплината „Теорија на автоматско управување“

Анализа на нелинеарни системи за автоматско управување

Ученик: Тишинов Ју.С.

Група Ема-71

Супервизор за предмети

ЗАДАЧА ЗА НАСТАВНА РАБОТА:

1. Истражете го ACS со даден блок дијаграм, тип на нелинеарност и нумерички параметри користејќи го методот на фазна рамнина.

1.1 Потврдете ги резултатите од пресметките во став 1 користејќи структурно моделирање.

1.2 Истражете го влијанието на влезното дејство и параметрите на нелинеарноста врз динамиката на системот.

2. Истражете го ACS со даден блок дијаграм, тип на нелинеарност и нумерички параметри користејќи го методот на хармонична линеаризација.

2.1 Потврдете ги резултатите од пресметките во став 2 користејќи структурно моделирање.

2.2 Истражете го влијанието на влезното дејство и параметрите на нелинеарноста врз динамиката на системот

1. Ние го истражуваме ACS со даден блок дијаграм, типот на нелинеарност и нумерички параметри користејќи го методот на фазна рамнина.

Опција број 4-1-а

Почетни податоци.

1) Структурен дијаграм на нелинеарен ACS:

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Се нарекува систем во кој работите и контролните операции ги вршат технички уреди систем за автоматска контрола (ACS).

Структурен дијаграмсе нарекува графички приказ на математичкиот опис на системот.

Врската на структурниот дијаграм е прикажана како правоаголник што покажува надворешни влијанија и во него е напишана функцијата за пренос.

Множеството врски, заедно со комуникациските линии што ја карактеризираат нивната интеракција, формира блок дијаграм.

2) Параметри на блок дијаграм:

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Метод на фазна рамнина

Однесувањето на нелинеарен систем во секое време се определува со контролираната променлива и нејзиниот (n? 1) извод, ако овие количини се нацртани долж координатните оски, тогаш добиениот n? димензионален простор ќе се нарече фазен простор. Состојбата на системот во секој момент од времето ќе се определи во фазниот простор со точката што претставува. За време на процесот на транзиција, репрезентативната точка се движи во фазниот простор. Траекторијата на неговото движење се нарекува фазна траекторија. Во стабилна состојба, репрезентативната точка е во мирување и се нарекува единствена точка. Множеството фазни траектории за различни почетни услови, заедно со еднини точки и траектории, се нарекува фазен портрет на системот.

При проучување на нелинеарен систем со овој метод, неопходно е да се претвори блок-дијаграмот (сл. 1.1) во форма:

Знакот минус покажува дека повратните информации се негативни.

каде што X 1 и X 2 - излезни и влезни вредности на линеарниот дел од системот, соодветно.

Да ја најдеме диференцијалната равенка на системот:

Ајде да направиме замена, тогаш

Ја решаваме оваа равенка во однос на највисокиот извод:

Да претпоставиме дека:

Равенката (1.2) ја делиме со равенката (1.1) и добиваме нелинеарна диференцијална равенка за траекторијата на фазата:

каде што x 2 \u003d f (x 1).

Ако оваа DE се реши со методот на изоклина, тогаш можно е да се конструира фазен портрет на системот за различни почетни услови.

Изоклин е местоположбата на точките во фазната рамнина што фазната траекторија ја сече под ист агол.

Во овој метод, нелинеарната карактеристика се дели на линеарни пресеци и за секој од нив се евидентира линеарна DE.

За да се добие изоклиналната равенка, десната страна од равенката (1.3) се изедначува со константна вредност N и се решава релативно.

Земајќи ја предвид нелинеарноста, добиваме:

Со оглед на вредностите на N во опсег од до, се конструира семејство на изоклинини. На секоја изоклинала се повлекува помошна права линија под агол на оската x

каде m X - фактор на скала долж оската x;

m Y - фактор на скала долж y-оската.

Изберете m X = 0,2 единици/cm, m Y = 40 единици/cm;

Конечна формула за агол:

Ние го пресметуваме семејството на изоклинини и аголот за локацијата, ја сумираме пресметката во Табела 1:

Табела 1

Ние го пресметуваме семејството на изоклинини и аголот за локацијата, ја сумираме пресметката во Табела 2:

табела 2

Го пресметуваме семејството на изоклинини и аголот за локацијата, ја сумираме пресметката во Табела 3:

Табела 3

Ајде да изградиме фазна траекторија

За да го направите ова, почетните услови се избираат на една од изоклинините (точка А), се повлекуваат две прави линии од точката А до пресекот со следната изоклина под аглите b 1, b 2, каде што b 1, b 2? соодветно, аглите на првата и втората изоклина. Сегментот отсечен од овие линии е поделен на половина. Од добиената точка, средината на отсечката, повторно се повлекуваат две линии под аглите b 2, b 3 и повторно отсечката се дели на половина итн. Добиените точки се поврзани со мазна крива.

Семејствата на изоклинини се изградени за секој линеарен пресек на нелинеарната карактеристика и се одвоени една од друга со преклопни линии.

Од траекторијата на фазата може да се види дека е добиена единствена точка од типот на стабилен фокус. Може да се заклучи дека во системот нема самоосцилации, а минливиот процес е стабилен.

1.1 Проверете ги резултатите од пресметките користејќи структурно моделирање во програмата MathLab

Структурна шема:

Фазен портрет:

Преодниот процес при влезното дејство еднаков на 2:

Xout.max = 1,6

1.2 Го проучуваме влијанието на влезното дејство и параметрите на нелинеарноста врз динамиката на системот

Ајде да го зголемиме влезниот сигнал на 10:

Xout.max = 14.3

Трег = 0,055

X надвор. макс=103

Т рег = 0,18

Ајде да ја зголемиме зоната на чувствителност на 15:

Xout.max = 0,81

Намалете ја зоната на чувствителност на 1:

Xout.max = 3.2

Резултатите од симулацијата ги потврдија резултатите од пресметката: Слика 1.7 покажува дека процесот е конвергентен, нема самоосцилации во системот. Фазниот портрет на симулираниот систем е сличен на пресметаниот.

Откако го проучувавме влијанието на влезното дејство и параметрите на нелинеарноста врз динамиката на системот, можеме да ги извлечеме следните заклучоци:

1) со зголемување на влезното дејство, нивото на стабилна состојба се зголемува, бројот на осцилации не се менува, времето на контрола се зголемува.

2) со зголемување на мртвата зона, нивото на стабилна состојба се зголемува, бројот на осцилации исто така останува непроменет, се зголемува времето на контрола.

2. Го истражуваме ACS со даден блок дијаграм, типот на нелинеарност и нумерички параметри користејќи го методот на хармонска линеаризација.

Опција #5-20-в

Почетни податоци.

1) Блок дијаграм:

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Хостирано на http://www.allbest.ru/

2) Вредности на параметрите:

3) Вид и параметри на нелинеарност:

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Најшироко користен за проучување на нелинеарни системи за автоматска контрола од висок ред (n > 2) е приближниот метод на хармонична линеаризација со користење на фреквентни претстави развиени во теоријата на линеарни системи.

Главната идеја на методот е како што следува. Нека затворениот автономен (без надворешни влијанија) нелинеарен систем се состои од сериски поврзан нелинеарен без инерција NC и стабилен или неутрален линеарен дел од LP (Слика 2.3, а)

u=0 x z X=X m sinwt z y

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Хостирано на http://www.allbest.ru/

y \u003d Y m 1 грев (wt +)

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Хостирано на http://www.allbest.ru/

За да се процени можноста за постоење на монохармонични непридушени осцилации во овој систем, се претпоставува дека на влезот на нелинеарната врска дејствува хармоничен синусоидален сигнал x(t) = X m sinwt (сл. 2.3,б). Во овој случај, сигналот на излезот од нелинеарната врска z(t) = z содржи спектар на хармонични компоненти со амплитуди Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 итн. и фреквенции w, 2w, 3w итн. Се претпоставува дека овој сигнал z(t), кој минува низ линеарниот дел W l (jw), е филтриран од него до таа мера што во сигналот на излезот од линеарниот дел y(t) сите повисоки хармоници Y m 2 , Y m 3 и др. и да претпоставиме дека

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Последната претпоставка се нарекува хипотеза на филтерот, а исполнувањето на оваа хипотеза е неопходен услов за хармонска линеаризација.

Условот за еквивалентност за кола прикажани на сл. 2.3, a и b, може да се формулираат како еднаквост

x(t) + y(t) = 0(1)

Кога е исполнета хипотезата за филтер y(t) = Y m 1 sin(wt +), равенката (1) се дели на два

Равенките (2) и (3) се нарекуваат равенки за хармонична рамнотежа; првиот од нив изразува рамнотежа на амплитуди, а вториот - рамнотежа на фазите на хармоничните осцилации.

Така, за да постојат непридушени хармонски осцилации во системот што се разгледува, условите (2) и (3) мора да бидат исполнети ако хипотезата за филтер е исполнета

Да го искористиме методот Голдфарб за графичко-аналитичко решение на карактеристичната равенка на формата

W LCH (p) W NO (A) +1 = 0

W LCH (jw) W NO (A) = -1

За приближно определување на самоосцилациите се конструирани AFC на линеарниот дел од системот и инверзна негативна карактеристика на нелинеарниот елемент.

За да се изгради AFC на линеарниот дел, го трансформираме блок дијаграмот во форма на Сл. 2.4:

Како резултат на трансформацијата, ја добиваме шемата на Сл. 2.5:

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Хостирано на http://www.allbest.ru/

Најдете ја функцијата за пренос на линеарниот дел од системот:

Да се ​​ослободиме од ирационалноста во именителот со множење на броителот и именителот со конјугатот до именителот, добиваме:

Ајде да го поделиме на имагинарни и реални делови:

За да ја изградиме инверзната негативна карактеристика на нелинеарен елемент, ја користиме формулата:

Параметри на нелинеарност:

А е амплитудата, под услов тоа.

AFC на линеарниот дел од системот и инверзната негативна карактеристика на нелинеарниот елемент се прикажани на сл. 2.6:

За да ја одредиме стабилноста на самоосцилациите, ја користиме следната формулација: ако точката што одговара на зголемената амплитуда во однос на пресечната точка не е покриена со фреквентниот одговор на линеарниот дел од системот, тогаш самоосцилациите се стабилни. . Како што може да се види од слика 2.6, решението е стабилно, затоа, во системот се воспоставуваат самоосцилации.

2.1 Ајде да ги провериме резултатите од пресметката користејќи структурно моделирање во програмата MathLab.

Слика 2.7: Структурен дијаграм

Преодниот процес со влезно дејство еднакво на 1 (сл. 2.8):

автоматска контрола нелинеарна хармоника

Како што може да се види од графиконот, се воспоставуваат самоосцилации. Да го провериме влијанието на нелинеарноста врз стабилноста на системот.

2.2 Да го истражиме влијанието на влезното дејство и параметрите на нелинеарноста врз динамиката на системот.

Ајде да го зголемиме влезниот сигнал на 100:

Ајде да го зголемиме влезниот сигнал на 270

Ајде да го намалиме влезниот сигнал на 50:

Да ја зголемиме заситеноста на 200:

Намалете ја заситеноста на 25:

Намалете ја заситеноста на 10:

Резултатите од симулацијата не ги потврдија недвосмислено резултатите од пресметката:

1) Во системот се јавуваат самоосцилации, а промената на заситеноста влијае на амплитудата на осцилациите.

2) Со зголемување на влезното дејство, вредноста на излезниот сигнал се менува и системот се стреми кон стабилна состојба.

СПИСОК НА КОРИСТЕНИ ИЗВОРИ:

1. Збирка проблеми за теоријата на автоматско регулирање и управување. Ед. В.А. Бешекерски, петто издание, ревидирано. - М.: Наука, 1978. - 512 стр.

2. Теорија на автоматско управување. Дел II. Теорија на нелинеарни и специјални системи на автоматско управување. Ед. А.А.Воронова. Проц. додаток за универзитетите. - М.: Повисоко. училиште, 1977. - 288 стр.

3. Топчеев Ју.И. Атлас за дизајн на системи за автоматска контрола: учебник. додаток. ? М.: Mashinostroenie, 1989. ? 752 стр.

Хостирано на Allbest.ru

Слични документи

Нелинеарни системи опишани со нелинеарни диференцијални равенки. Методи за анализа на нелинеарни системи: парче линеарна апроксимација, хармонична линеаризација, фазна рамнина, статистичка линеаризација. Користење на комбинација на методи.

апстракт, додаден на 21.01.2009 година


Анализа на стабилноста на системот за автоматска контрола (ACS) според Nyquist критериумот. Испитување на стабилноста на ACS со амплитудно-фаза-фреквентна карактеристика на AFC и со логаритамски карактеристики. Контролни инструменти на системот за следење на инструменти.

термински труд, додаден на 11.11.2009 година


Анализа на блок дијаграм на даден систем за автоматско управување. Основни услови за стабилност на критериумот Hurwitz и Nyquist. Синтеза како избор на структурата и параметрите на системот за да се исполнат однапред поставените барања. Концептот на одржливост.

термински труд, додаден на 10.01.2013 година


Проучување на режимите на системот за автоматска контрола. Определување на преносна функција на затворен систем. Конструкција на карактеристики на логаритамска амплитуда и фазна фреквенција. Синтеза на системот „објект-регулатор“, пресметка на оптимални параметри.

термински труд, додаден на 17.06.2011 година


Проектирање на затворен, еднодимензионален, стационарен, серво-автоматски контролен систем со определување на параметрите на корективен уред кој ги обезбедува наведените барања за квалитет на регулација. Анализа на системот земајќи ја предвид нелинеарноста на PA.

термински труд, додаден на 18.01.2011 година


Структура на затворен линеарен континуиран систем за автоматска контрола. Анализа на преносната функција на систем со повратна информација. Проучување на линеарни импулсни, линеарни континуирани и нелинеарни континуирани автоматски системи за управување.

тест, додаден на 16.01.2011 година


Равенки за врски на блок дијаграмот на ACS. Анализа на линеарен континуиран систем за автоматска контрола. Критериуми за стабилност. Индикатори за квалитетот на минливите процеси во компјутерската симулација. Синтеза на секвенцијален корективен уред.

тест, додаден на 19.01.2016 година


Дизајнирање блок дијаграм на електромеханички реле серво погон. Компилација на диференцијални равенки на затворен нелинеарен систем за автоматско управување, изградба на неговиот фазен портрет. Хармонична линеаризација на нелинеарноста.

термински труд, додаде 26.02.2014


Дискретни системи за автоматска контрола како системи кои содржат елементи кои конвертираат континуиран сигнал во дискретен. Импулсен елемент (IE), негов математички опис. Дигитален автоматски систем за контрола, методи на негова пресметка.

апстракт, додаден на 18.08.2009 година


Изведување на синтеза и анализа на системот за автоматска контрола на серво со помош на LAFC и LPFC. Определување на видовите врски на преносните функции на системот и стабилноста на граничните параметри. Пресметка на статистички и логаритамски карактеристики на системот.

Присуството на нелинеарности во контролните системи води до опис на таков систем со нелинеарни диференцијални равенки, често со доволно високи редови. Како што е познато, повеќето групи нелинеарни равенки не можат да се решат во општа форма, а може да се зборува само за одредени случаи на решение, затоа, во проучувањето на нелинеарни системи, различни приближни методи играат важна улога.

Со помош на приближни методи за проучување на нелинеарни системи, по правило е невозможно да се добие доволно целосна идеја за сите динамички својства на системот. Сепак, тие можат да се користат за да се одговори на голем број одделни суштински прашања, како што се прашањето за стабилноста, присуството на самоосцилации, природата на кој било одреден режим итн.

Во моментов, постојат голем број различни аналитички и графико-аналитички методи за проучување на нелинеарни системи, меѓу кои се методите на фазна рамнина, фитинг, точки трансформации, хармонска линеаризација, директен метод на Лјапунов, методи на фреквенција за проучување на апсолутната стабилност на Попов, методи за изучување на нелинеарни системи на електронски модели и компјутери.

Краток опис на некои од наведените методи.

Методот на фазна рамнина е точен, но има ограничена примена, бидејќи е практично неприменлив за контролните системи, чиј опис не може да се сведе на контроли од втор ред.

Методот на хармонична линеаризација се однесува на приближни методи, нема ограничувања за редоследот на диференцијалните равенки. При примена на овој метод, се претпоставува дека има хармонични осцилации на излезот од системот, а линеарниот дел од контролниот систем е високопропусен филтер. Во случај на слабо филтрирање на сигналите од линеарниот дел на системот, при користење на методот на линеаризација на хармониците, мора да се земат предвид повисоките хармоници. Ова ја отежнува анализата на стабилноста и квалитетот на контролните процеси на нелинеарните системи.

Вториот лјапунов метод овозможува да се добијат само доволни услови за стабилност. И ако врз основа на тоа се утврди нестабилноста на контролниот систем, тогаш во некои случаи, за да се потврди исправноста на добиениот резултат, неопходно е да се замени функцијата Лјапунов со друга и повторно да се изврши анализата на стабилноста. Покрај тоа, не постојат општи методи за одредување на функцијата Лјапунов, што ја отежнува примената на овој метод во пракса.

Критериумот за апсолутна стабилност овозможува да се анализира стабилноста на нелинеарните системи користејќи карактеристики на фреквенција, што е голема предност на овој метод, бидејќи го комбинира математичкиот апарат на линеарни и нелинеарни системи во една целина. Недостатоците на овој метод вклучуваат компликација на пресметките во анализата на стабилноста на системите со нестабилен линеарен дел. Затоа, за да се добие точен резултат за стабилноста на нелинеарните системи, треба да се користат различни методи. И само совпаѓањето на различни резултати ќе овозможи да се избегнат погрешни пресуди за стабилноста или нестабилноста на дизајнираниот систем за автоматска контрола.

Поглавје7

Анализа на нелинеарни системи

Контролниот систем се состои од поединечни функционални елементи, за чиј математички опис се користат типични елементарни врски (види Дел 1.4). Меѓу типичните елементарни врски, постои една безинерција (зајакнувачка) врска. Статичката карактеристика на таква врска, поврзување на влезот xи слободен ден yголемина, линеарна: y=Kx. Реалните функционални елементи на контролниот систем имаат нелинеарна статичка карактеристика y=ѓ(x). Вид на нелинеарна зависност ѓ(∙) може да варира:

Функции со променлив наклон (функции со ефект на „заситеност“, тригонометриски функции итн.);

Парчени линеарни функции;

релејни функции.

Најчесто, треба да се земе предвид нелинеарноста на статичката карактеристика на сензорниот елемент на контролниот систем, т.е. нелинеарност на карактеристиката на дискриминација. Обично, тие се стремат да обезбедат функционирање на контролниот систем во линеарниот пресек на дискриминаторската карактеристика (ако формата на функцијата го дозволува тоа) ѓ(∙)) и користете го линеарниот модел y=Kx. Понекогаш тоа не може да се обезбеди поради големите вредности на динамичките и флуктуационите компоненти на грешката CS или поради таканаречената значајна нелинеарност на функцијата ѓ(∙) својствени, на пример, во релејните функции. Тогаш е потребно да се изврши анализа на контролниот систем, земајќи ги предвид врските кои имаат нелинеарна статичка карактеристика, т.е. да се анализира нелинеарниот систем.

7.1. Карактеристики на нелинеарни системи

Процесите во нелинеарни системи се многу поразновидни од процесите во линеарни системи. Да забележиме некои карактеристики на нелинеарни системи и процеси во нив.

1. Принципот на суперпозиција не е исполнет: одговорот на нелинеарен систем не е еднаков на збирот на одговори на поединечни влијанија. На пример, независна пресметка на динамичките и флуктуационите компоненти на грешката за следење, извршена за линеарни системи (види Дел 3), е невозможна за нелинеарни системи.

2. Својството на комутативност е неприменливо за блок дијаграмот на нелинеарен систем (линеарни и нелинеарни врски не можат да се заменуваат).

3. Во нелинеарни системи се менуваат условите на стабилност и самиот концепт на стабилност. Однесувањето на нелинеарните системи, од гледна точка на нивната стабилност, зависи од ударот и почетните услови. Дополнително, во нелинеарен систем е можен нов тип на постојан процес - самоосцилации со постојана амплитуда и фреквенција. Ваквите самоосцилации, во зависност од нивната амплитуда и фреквенција, може да не ја нарушат работата на нелинеарниот контролен систем. Затоа, нелинеарните системи повеќе не се делат на две класи (стабилни и нестабилни), како линеарни системи, туку се делат на повеќе класи.

За нелинеарни системи, рускиот математичар А.М. Љапунов во 1892 година ги вовел концептите на стабилност „во мало“ и „во големо“: системот е стабилен „во мало“ ако, за некое (доволно мало) отстапување од точката на стабилна рамнотежа, останува во дадена (ограничен) регион ε, а системот е стабилен „голем“ ако остане во регионот ε за какво било отстапување од точката на стабилна рамнотежа. Забележете дека регионот ε може да се постави произволно мал во близина на точката на стабилна рамнотежа; затоа, даденото во Sec. 2, дефиницијата за стабилност на линеарни системи останува валидна и е еквивалентна на дефиницијата за асимптотична стабилност во смисла на Љапунов. Во исто време, критериумите за стабилност за линеарни системи што беа разгледани порано за реални нелинеарни системи треба да се земат како критериуми за стабилност „во малите“.

4. Преодните процеси квалитативно се менуваат во нелинеарни системи. На пример, во случајот со функцијата ѓ(∙) со променлива стрмнина во нелинеарен систем од 1-ви ред, минливиот процес е опишан со експоненцијал со променлив параметар Т.

5. Ограничениот отвор на дискриминаторската карактеристика на нелинеарниот систем е причина за нарушување на следењето (системот е стабилен „во малиот“). Во овој случај, неопходно е да се бара сигнал и да се внесе системот во режим на следење (концептот на мерач за следење на пребарување е даден во Дел 1.1). Во системите за синхронизација со карактеристика на периодична дискриминација, можни се скокови во излезната вредност.

Присуството на разгледуваните карактеристики на нелинеарните системи доведува до потреба од користење на специјални методи за анализа на таквите системи. Следниве се разгледуваат:

Метод заснован на решавање на нелинеарна диференцијална равенка и овозможува, особено, да се одреди грешката во стабилна состојба, како и опсезите за зафаќање и задржување на нелинеарниот систем PLL;

Методи на хармонична и статистичка линеаризација, погодни за анализа на системи со суштински нелинеарен елемент;

Методи на анализа и оптимизација на нелинеарни системи врз основа на резултатите од теоријата на Маркови процеси.

7.2. Анализа на редовни процеси во нелинеарен PLL систем