Решавање збир на нееднаквости на Интернет. Нееднаквости. Видови на нееднаквости. Собирање и употреба на лични информации

Метод на растојание - едноставен начин да се решат фракционите рационални нееднаквости. Ова е името на нееднаквостите што содржат рационални (или фракционо рационални) изрази кои зависат од променливата.

1. Размислете, на пример, за таква нееднаквост

Методот на интервал ви овозможува да го решите за неколку минути.

На левата страна на оваа нееднаквост се наоѓа фракционата рационална функција. Рационално, затоа што не содржи корени, синуси, логаритми - само рационални изрази. Десно е нула.

Методот на интервал се базира на следното својство на фракционо рационално функционирање.

Фракционата рационална функција може да го смени знакот само во оние точки во кои е еднаква на нула или не постои.

Да се \u200b\u200bпотсетиме како квадратниот трином се распаѓа на фактори, односно израз на формата.

Каде и каде се корените квадратна равенка.

Нацртајте ја оската и поставете ги точките во кои броителот и именителот исчезнуваат.

Нулите на именителот и се дупнати точки, бидејќи во овие точки функцијата од левата страна на нееднаквоста е недефинирана (не може да се дели со нула). Нумерите на нумераторот и - се пополнети, бидејќи нееднаквоста не е строга. За и, нашата нееднаквост важи, бидејќи и двете нејзини страни се еднакви на нула.

Овие точки ја делат оската на интервали.

Дозволете ни да го дефинираме знакот на фракционата рационална функција од левата страна на нашата нееднаквост на секој од овие интервали. Се сеќаваме дека дробната рационална функција може да го смени знакот само во оние точки во кои е еднаква на нула или не постои. Ова значи дека на секој од интервалите помеѓу точките каде што исчезнува броителот или именителот, знакот на изразот од левата страна на нееднаквоста ќе биде постојан - или „плус“ или „минус“.

И затоа, за да го одредиме знакот на функцијата во секој таков интервал, земаме која било точка што припаѓа на овој интервал. Оној што е погоден за нас.
... Земете, на пример, и проверете го знакот на изразот од левата страна на нееднаквоста. Секоја од „заградите“ е негативна. Левата страна има знак.

Следниот распон:. Дозволете ни да го провериме знакот за. Добиваме дека левата страна го смени знакот во.

Ајде да земеме. Кога изразот е позитивен, затоа е позитивен во текот на целиот интервал од до.

Зашто, левата страна на нееднаквоста е негативна.

Конечно, класа \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: x\u003e 7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Откривме во кои интервали изразот е позитивен. Останува да го запишеме одговорот:

Одговор:.

Забележете дека ликовите во празни места се менуваат. Ова се случи затоа што при минување низ секоја точка, точно еден од линеарните фактори го смени знакот, а остатокот го задржа непроменет.

Можеме да видиме дека методот на проред е многу едноставен. Да се \u200b\u200bреши фракционо рационално нееднаквост со метод на интервали, го донесуваме во форма:

Или class \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () () (0) (\\ displaystyle P \\ лево (x \\ десно)) (\\ displaystyle Q \\ лево (x \\ десно))\u003e 0"> !}, или или.

(лево - фракциона рационална функција, десно - нула).

Потоа - на бројната линија ги обележуваме точките на кои броителот или именителот исчезнуваат.
Овие точки ја делат целата бројна линија во интервали, на секој од нив дробната рационална функција го зачувува својот знак.
Останува само да го дознаеме неговиот знак во секој интервал.
Ова го правиме со проверка на знакот на изразот во која било точка што припаѓа на дадениот интервал. После тоа, го запишуваме одговорот. Тоа е се.

Но, се поставува прашањето: дали знаците секогаш се наизменично? Не не секогаш! Треба да се внимава да не се поставуваат знаци механички и непромислено.

2. Да разгледаме уште една нееднаквост.

Класа \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () () (0) (\\ displaystyle \\ лево (x-2 \\ десно) ^ 2) (\\ displaystyle \\ лево (x-1 \\ десно) \\ лево (x-3 \\ десно))\u003e 0"> !}

Повторно ставете ги точките на оската. Точките се издвојуваат, бидејќи тие се нули на именителот. Поентата е исто така дупната, бидејќи нееднаквоста е строга.

Кога броителот е позитивен, двата фактори во именителот се негативни. Ова може лесно да се потврди со земање на кој било број од даден интервал, на пример ,. Левата страна има знак:

Кога броителот е позитивен; првиот фактор во именителот е позитивен, вториот фактор е негативен. Левата страна има знак:

Ситуацијата е иста! Броителот е позитивен, првиот фактор во именителот е позитивен, вториот е негативен. Левата страна има знак:

Конечно, со класа \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: x\u003e 3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Одговор:.

Зошто беше прекината алтернацијата на знаците? Бидејќи при поминување низ точката, факторот „одговорен“ за тоа не смени знак... Следствено, целата лева страна на нашата нееднаквост не го смени својот знак.

Заклучок: ако линеарниот фактор е во рамномерна моќност (на пример, во квадрат), тогаш кога поминува низ точката, знакот на изразот од левата страна не се менува... Во случај на непарен степен, знакот, се разбира, се менува.

3. Да разгледаме покомплициран случај. Се разликува од претходниот по тоа што нееднаквоста не е строга:

Левата страна е иста како и во претходната задача. Сликата на знаците ќе биде иста:

Можеби одговорот ќе биде ист? Не! Се додава решение Ова е затоа што и за левата и за десната страна на нееднаквоста се еднакви на нула - затоа, оваа точка е решение.

Одговор:.

Во проблемот за испит по математика, оваа ситуација често се среќава. Ова е местото каде што апликантите паѓаат во стапицата и губат поени. Внимавај!

4. Што ако броителот или именителот не можат да се линеарнизираат? Размислете за оваа нееднаквост:

Не можете да го факторизирате квадратниот трином: дискриминаторот е негативен, нема корени. Но, ова е добро! Ова значи дека знакот на изразот е ист за сите, и конкретно, тој е позитивен. Можете да прочитате повеќе за ова во написот за својствата на квадратната функција.

И сега можеме да ги поделиме обете страни на нашата нееднаквост со вредност која е позитивна за сите. Стигнуваме до еквивалентна нееднаквост:

Што лесно се решава со методот на интервали.

Ве молиме запомнете - ние ги поделивме обете страни на нееднаквоста со износот за кој со сигурност знаевме дека е позитивен. Се разбира, во општ случај, не треба да ја множите или делите нееднаквоста со променлива чиј знак е непознат.

5 ... Размислете за друга нееднаквост, навидум прилично едноставна:

Само сакам да го помножам со. Но, ние сме веќе паметни и нема да го сториме ова. На крајот на краиштата, може да биде и позитивно и негативно. И знаеме дека ако обете страни на нееднаквоста се помножат со негативна вредност, знакот за нееднаквост се менува.

Ние ќе го сториме тоа поинаку - ќе собереме сè во еден дел и ќе го донесеме на заеднички именител. Нулта ќе остане на десната страна:

Класа \u003d "tex" alt \u003d "(! LANG: \\ genfrac () () () (0) (\\ displaystyle x-2) (\\ displaystyle x)\u003e 0"> !}

И после тоа - аплицирај метод на интервал.

Внимание!
Постојат дополнителни
материјали во Специјалниот дел 555.
За оние кои „не се многу ...“
И за оние кои се „многу изедначени ...“)

Што „квадратна нееднаквост“? Без прашање!) Ако земете било кој квадратна равенка и заменете го знакот во него "=" (еднакво) на која било икона за нееднаквост ( > ≥ < ≤ ≠ ), добиваме квадратна нееднаквост. На пример:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Па, ја имате идејата ...)

Не е за ништо што тука ги поврзав равенките и нееднаквостите. Поентата е дека првиот чекор во решавањето било кој квадратна нееднаквост - решете ја равенката од која е направена оваа нееднаквост. Поради оваа причина, неможноста да се решат квадратни равенки автоматски доведува до целосен неуспех во нееднаквостите. Дали е јасно навестувањето?) Ако нешто, видете како да ги решите сите квадратни равенки. Сè е детално таму. И во оваа лекција ќе се занимаваме конкретно со нееднаквостите.

Нееднаквоста подготвена за решение има форма: лево - квадратни трином секира 2 + бх + в, десно - нула. Знакот за нееднаквост може да биде апсолутно кој било. Првите два примери тука веќе подготвени за решение. Третиот пример сè уште треба да се подготви.

Ако ви се допаѓа оваа страница ...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате решавање примери и да го дознаете вашето ниво. Итно тестирање за валидација. Учење - со интерес!)

можете да се запознаете со функциите и дериватите.

Се нарекуваат линеарни нееднаквости чии леви и десни делови се линеарни функции во однос на непозната количина. Овие вклучуваат, на пример, нееднаквости:

2x-1-x + 3; 7x0;

5 \u003e 4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Строги нееднаквости: секира + б\u003e 0 или секира + б<0

2) Неограничени нееднаквости: секира + b≤0 или секира + б≫ 0

Да ја анализираме таквата задача... Една од страните на паралелограмот е 7 см. Колку треба да биде другата страна така што периметарот на паралелограмот е поголем од 44 см?

Нека биде посакуваната страна x см. Во овој случај, парамелограмскиот периметар ќе биде претставен со (14 + 2x) см. Нееднаквоста 14 + 2x\u003e 44 е математички модел на парамелограмскиот периметарски проблем. Ако во оваа нееднаквост ја замениме променливата x на, на пример, бројот 16, тогаш ја добиваме точната нумеричка нееднаквост 14 + 32\u003e 44. Во овој случај, тие велат дека бројот 16 е решение за нееднаквоста 14 + 2x\u003e 44.

Решавање на нееднаквоста е вредност на променливата што ја претвора во вистинска нумеричка нееднаквост.

Затоа, секој од броевите 15,1; 20; 73 се решение за нееднаквоста 14 + 2x\u003e 44, а бројот 10, на пример, не е негово решение.

Реши нееднаквост значи да се утврдат сите нејзини решенија или да се докаже дека нема решенија.

Формулацијата на решението за нееднаквоста е слична на формулацијата на коренот на равенката. А сепак, не е вообичаено да се означува „коренот на нееднаквоста“.

Карактеристиките на бројните еднаквости ни помогнаа да ги решиме равенките. Исто така, својствата на нумеричките нееднаквости ќе помогнат во решавањето на нееднаквостите.

Решавајќи ја равенката, ја менуваме во друга, повеќе едноставна равенкано еквивалентно на дадената. Одговорот и нееднаквостите се наоѓаат на сличен начин. Кога менувате равенка во равенка еквивалентна на неа, користете ја теоремата за пренос на поимите од едната страна на равенката на спротивната страна и на множењето на обете страни на равенката со ист ненултен број. При решавање на нееднаквост, постои значителна разлика помеѓу неа и равенката, што се состои во фактот дека секое решение на равенката може да се провери едноставно со замена во оригиналната равенка. Во нееднаквости, овој метод е отсутен, бидејќи не е можно да се заменат бесконечен број решенија во оригиналната нееднаквост. Затоа, постои важен концепт, овие стрели<=> е знак на еквивалентни, или еквивалентни, трансформации. Трансформацијата се нарекува еквивалентно, или еквивалентнодоколку не го променат множеството одлуки.

Слични правила за решавање на нееднаквости.

Ако преместиме кој било термин од еден дел на нееднаквост во друг, заменувајќи го неговиот знак со спротивниот, тогаш ќе добиеме нееднаквост еквивалентна на оваа.

Ако обете страни на нееднаквоста се помножат (поделат) со ист позитивен број, тогаш добиваме нееднаквост еквивалентна на оваа.

Ако обете страни на нееднаквоста се помножат (поделат) со ист негативен број, заменувајќи го знакот на нееднаквост со спротивното, тогаш добиваме нееднаквост еквивалентна на дадената.

Користејќи ги овие прописи да ги пресметаме следниве нееднаквости.

1) Дозволете ни да ја испитаме нееднаквоста 2x - 5\u003e 9.

тоа линеарна нееднаквост, најдете го неговото решение и разговарајте за основните концепти.

2x - 5\u003e 9<=> 2x\u003e 14 (5 беше преместено налево со спротивен знак), тогаш поделивме сè на 2 и имаме x\u003e 7... Ние ќе нацртаме многу решенија на оската x

Добивме позитивно насочен зрак. Ние го обележуваме множеството решенија или во форма на нееднаквост x\u003e 7, или во форма на интервал х (7; ∞). И, кое е особено решение за оваа нееднаквост? На пример, x \u003d 10 е особено решение за оваа нееднаквост, x \u003d 12е исто така особено решение за оваа нееднаквост.

Постојат многу посебни решенија, но нашата задача е да ги најдеме сите решенија. И обично има безброј решенија.

Ајде да анализираме пример 2:

2) Реши нееднаквост 4а - 11\u003e а + 13.

Ајде да го решиме: а преместете се на едната страна, 11 преместете се на другата страна, добиваме 3а< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 нееднаквоста има форма а<8 .

4а - 11\u003e а + 13<=> 3а< 24 <=> а< 8 .

Ние исто така ќе го прикажеме комплетот а< 8 , но веќе на оската а.

Одговорот е или напишан во форма на нееднаквост a< 8, либо а(-∞;8), 8 не се вклучува.

Во написот ќе разгледаме решение на нееднаквости... Ние ќе ви кажеме достапно за како да се конструира решение за нееднаквостите, со јасни примери!

Пред да го разгледаме решението на нееднаквостите со примери, да ги разбереме основните концепти.

Општи информации за нееднаквостите

Нееднаквост се нарекува израз во кој функциите се поврзани со знаци на релација\u003e,. Нееднаквостите се и нумерички и азбучни.
Нееднаквостите со два знака на врска се нарекуваат двојни, со три - тројно, итн. На пример:
a (x)\u003e b (x),
a (x) a (x) b (x),
a (x) b (x).
а (x) Нееднаквости што содржат\u003e или не се строги.
Решавање на нееднаквоста е која било вредност на промената со која е точна оваа нееднаквост.
"Реши нееднаквост"значи дека е потребно да се најдат многу од сите негови решенија. Постојат различни методи за решавање на нееднаквости... За решенија за нееднаквоста користете ја бројната линија, која е бесконечна. На пример, решавање на нееднаквоста x\u003e 3 е интервал од 3 до +, а бројот 3 не е вклучен во овој интервал, затоа точка на права е означена со празен круг, бидејќи нееднаквоста е строга.
+
Одговорот ќе биде: x (3; +).
Вредноста x \u003d 3 не е вклучена во множеството решенија, па затоа заградата е кружна. Знакот за бесконечност е секогаш опкружен со заграда. Знакот значи „припадност“.
Ајде да видиме како да ги решиме нееднаквостите користејќи друг потпишан пример:
x 2
-+
Вредноста x \u003d 2 е вклучена во множеството решенија, затоа заградата е квадратна и точката на линијата е означена со исполнет круг.
Одговорот ќе биде: x.

Трет пример. | 1 - x | \u003e 2 | x - 1 |.

Одлука. Првиот чекор е да се утврдат точките на кои функциите одат на нула. За лево, овој број ќе биде 2, за десно - 1. Тие треба да бидат означени на зракот и да се одредат интервалите на постојаноста.

На првиот интервал, од минус бесконечност до 1, функцијата од левата страна на нееднаквоста зема позитивни вредности, а од десната - негативните. Под лакот, треба да напишете покрај два знака "+" и "-".

Следниот интервал е од 1 до 2. На него, двете функции земаат позитивни вредности. Ова значи дека има два предност под лакот.

Третиот интервал од 2 до бесконечност ќе го даде следниот резултат: левата функција е негативна, десната е позитивна.

Земајќи ги предвид добиените знаци, треба да ги пресметате вредностите на нееднаквоста за сите интервали.

На првиот, ја добиваме следнава нееднаквост: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Минусот пред 2 во втората нееднаквост се должи на фактот дека оваа функција е негативна.

После трансформацијата, нееднаквоста изгледа вака: x\u003e 0. Веднаш ги дава вредностите на променливата. Тоа е, од овој интервал, само интервалот од 0 до 1 ќе оди како одговор.

На втората: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Трансформациите ќе ја дадат следната нееднаквост: -3x + 4 е поголема од нула. Неговата нула ќе биде x \u003d 4/3. Земајќи го предвид знакот на нееднаквост, излегува дека x мора да биде помал од овој број. Ова значи дека овој интервал е сведен на интервал од 1 до 4/3.

Последново ја дава следната нотација за нееднаквост: - (2 - x)\u003e 2 (x - 1). Неговата трансформација доведува до следново: -x\u003e 0. Односно, равенката е точна за x помалку од нула. Ова значи дека нееднаквоста не дава решенија за потребниот интервал.

На првите два интервали, бројот 1 се покажа како граница. Мора да се провери одделно. Тоа е, замена во првобитната нееднаквост. Излегува: | 2 - 1 | \u003e 2 | 1 - 1 |. Броењето дава дека 1 е поголем од 0. Ова е вистинска изјава, затоа 1 е вклучен во одговорот.

Одговор: x лежи во интервалот (0; 4/3).