Кога квадратната равенка има. Квадратен корен: формули за пресметка. Формулата за наоѓање на корените на квадратната равенка. Квадратни равенки. Дискриминирачки. Решение, примери

Само. Со формули и јасни, едноставни правила. Во првата фаза

потребно е да се донесе дадената равенка во стандардна форма, т.е. да гледа:

Ако равенката веќе ви е дадена во оваа форма, не треба да го правите првиот чекор. Најважната работа е во право

утврди ги сите коефициенти, и, б и в.

Формула за наоѓање на корените на квадратната равенка.

Се нарекува израз под знакот на коренот дискриминирачки ... Како што можете да видите, да најдеме x, ние

употреба само a, b и c. Оние коефициенти од квадратна равенка... Само внимателно заменете

значење а, б и в во оваа формула и брои. Замени со од нивните знаци!

на пример, во равенката:

и =1; б = 3; в = -4.

Заменете ги вредностите и напишете:

Примерот е скоро решен:

Ова е одговорот.

Најчестите грешки се конфузија со знаци на значење. а, би од... Наместо тоа, со замена

негативни вредности во формулата за пресметување на корените. Тука зачувува детална нотација на формулата

со специфични броеви. Ако имате компјутерски проблеми, направете го тоа!

Да претпоставиме дека треба да го решите овој пример:

Еве а = -6; б = -5; в = -1

Ние сликаме сè детално, внимателно, без да пропуштиме ништо со сите знаци и загради:

Квадратните равенки често изгледаат малку поинакви. На пример, вака:

Сега, забележете ги најдобрите практики што драматично ќе ги намалат грешките.

Прв прием... Немојте да бидете мрзливи порано решение на квадратната равенка донесете ја во стандардна форма.

Што значи тоа?

Да речеме, по какви било трансформации, ја добивте следната равенка:

Не брзајте да ја напишете коренската формула! Речиси сигурно ќе ги измешате шансите. а, б и в.

Правилно изградете го примерот. Прво, X е на квадрат, потоа без квадрат, па слободен термин. Како ова:

Ослободете се од минусот. Како? Треба да ја помножите целата равенка со -1. Добиваме:

Но, сега можете безбедно да ја запишете формулата за корените, да го пресметате дискриминаторот и да го завршите примерот.

Направи го сам. Треба да имате корени 2 и -1.

Втор прием. Проверете ги корените! Од страна на теорема на Виета.

Да се \u200b\u200bрешат дадените квадратни равенки, т.е. ако коефициентот

x 2 + bx + c \u003d 0,

тогаш x 1 x 2 \u003d в

x 1 + x 2 \u003d -б

За целосна квадратна равенка во која а ≠ 1:

x 2 +бx +в=0,

подели ја целата равенка со и:

→ →

каде x 1 и x 2 - корените на равенката.

Прием трето... Ако вашата равенка содржи дробни коефициенти, ослободете се од дропките! Множете се

равенка на заеднички именител.

Излез Практичен совет:

1. Пред да ја решиме, ја доведуваме квадратната равенка во стандардната форма, изгради ја нели.

2. Ако има негативен коефициент пред x во квадрат, го елиминираме со множење на вкупниот број

равенки со -1.

3. Ако коефициентите се дропки, ги отстрануваме дропките множејќи ја целата равенка со соодветната

фактор

4. Ако x квадрат е чист, коефициентот е еднаков на еден, растворот може лесно да се провери со

Се надевам дека, откако ќе ја проучите оваа статија, ќе научите како да ги пронајдете корените на целосната квадратна равенка.

Со помош на дискриминантот, решени се само целосните квадратни равенки; се користат други методи за решавање на нецелосни квадратни равенки, што ќе ги најдете во написот „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? тоа равенки на формата ax 2 + b x + c \u003d 0каде коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да се реши целосната квадратна равенка, треба да ја пресметате дискриминантата Д.

D \u003d b 2 - 4ac.

Во зависност од тоа каква вредност има дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Ако дискриминаторот е негативен (Д.< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x \u003d (-b) / 2a. Кога дискриминаторот е позитивен број (Д\u003e 0),

тогаш x 1 \u003d (-b - √D) / 2a и x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

На пример. Решете ја равенката x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Одговор: 2.

Реши равенка 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Одговор: нема корени.

Реши равенка 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Одговор: - 3,5; 1.

Значи, да го претставиме решението на целосните квадратни равенки според шемата на Слика 1.

Секоја целосна квадратна равенка може да се реши со користење на овие формули. Треба само да бидете внимателни за да го осигурате тоа равенката е напишана како стандарден полином

и x 2 + bx + c, во спротивно, можете да направите грешка. На пример, при пишувањето на равенката x + 3 + 2x 2 \u003d 0, можете погрешно да одлучите за тоа

a \u003d 1, b \u003d 3 и c \u003d 2. Потоа

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е точно. (Погледнете го решението за примерот 2 погоре).

Затоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво целосната квадратна равенка мора да биде напишана како полином на стандардната форма (на прво место треба да биде мономот со најголем експонент, т.е. и x 2 , тогаш со помалку – bxа потоа слободен член од

При решавање на намалена квадратна равенка и квадратна равенка со парен коефициент на вториот поим, може да се користат и други формули. Да ги запознаеме и овие формули. Ако во целосната квадратна равенка со вториот поим коефициентот е парен (b \u003d 2k), тогаш равенката може да се реши со помош на формулите прикажани на дијаграмот на слика 2.

Комплетна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднаква на една и равенката има форма x 2 + px + q \u003d 0... Таква равенка може да се даде за решението, или се добива со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот истои во x 2 .

Слика 3 покажува шема за решавање на намалениот квадрат
равенки. Да разгледаме пример за примена на формулите дискутирани во овој напис.

Пример. Решете ја равенката

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на слика 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3

Може да се забележи дека коефициентот на x во оваа равенка е парен број, односно b \u003d 6 или b \u003d 2k, од каде k \u003d 3. Тогаш ќе се обидеме да ја решиме равенката со формулите прикажани на дијаграмот на сликата Д 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (Д 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3... Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се поделени со 3 и извршувајќи поделба, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Решете ја оваа равенка користејќи ги формулите за намалената квадратна
равенка слика 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (Д 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3.

Како што можете да видите, при решавање на оваа равенка со употреба на различни формули, го добивме истиот одговор. Затоа, добро совладувајќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш можете да ја решите секоја целосна квадратна равенка.

страница, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.

Продолжувајќи ја темата „Решавање на равенки“, материјалот во оваа статија ќе ве запознае со квадратни равенки.

Да разгледаме сè детално: суштината и пишувањето на квадратната равенка, ќе поставиме поврзани термини, ќе ја анализираме шемата за решавање на нецелосни и целосни равенки, ќе се запознаеме со формулата на корените и дискриминаторот, ќе воспоставиме врски помеѓу корените и коефициентите и, се разбира, ќе дадеме визуелно решение за практични примери.

Квадратна равенка, нејзините типови

Дефиниција 1

Квадратна равенка Дали равенката е напишана како a x 2 + b x + c \u003d 0каде x - променлива, a, b и в - некои броеви, додека ане е нула.

Честопати, квадратните равенки се нарекуваат и равенки од втор степен, бидејќи во суштина квадратната равенка е алгебарска равенка од втор степен.

Еве еден пример за илустрација на дадената дефиниција: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, итн. Дали се квадратни равенки.

Дефиниција 2

Броевите а, б и в Дали се коефициентите на квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, додека коефициентот а се нарекува прв, или постар, или коефициент на x 2, b - втор коефициент, или коефициент на x, и в наречен слободен член.

На пример, во квадратна равенка 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 највисокиот коефициент е 6, вториот коефициент е − 2 а слободниот термин е − 11 ... Да обрнеме внимание на фактот дека кога коефициентите би / или c се негативни, тогаш се користи кратка нотација на формата 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, но не 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Да го разјасниме и овој аспект: ако коефициентите а и / или б се еднакви 1 или − 1 , тогаш тие може да не земат експлицитно учество во запишувањето на квадратната равенка, што се објаснува со особеностите на запишување на посочените нумерички коефициенти. На пример, во квадратна равенка y 2 - y + 7 \u003d 0 највисокиот коефициент е 1, а вториот коефициент е − 1 .

Намалени и намалени квадратни равенки

Според вредноста на првиот коефициент, квадратните равенки се делат на намалени и не-намалени.

Дефиниција 3

Намалена квадратна равенка Дали е квадратна равенка, каде што водечкиот коефициент е 1. За другите вредности на водечкиот коефициент, квадратната равенка не е намалена.

Еве примери: квадратни равенки x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 се намалуваат, во секоја од нив водечкиот коефициент е 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - ненамалена квадратна равенка, каде што првиот коефициент се разликува од 1 .

Секоја ненамалена квадратна равенка може да се трансформира во намалена равенка со делење на двата дела со првиот коефициент (еквивалентна трансформација). Трансформираната равенка ќе ги има истите корени како и дадената ненамалена равенка или, исто така, нема воопшто да има корени.

Разгледувањето на специфичен пример ќе ни овозможи јасно да ја демонстрираме имплементацијата на преминот од ненамалена квадратна равенка во намалена.

Пример 1

Равенката е 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Неопходно е да се претвори оригиналната равенка во намалена форма.

Одлука

Според горенаведената шема, ги делиме обете страни на оригиналната равенка со водечкиот коефициент 6. Потоа добиваме: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3и ова е исто како: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 и понатаму: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Оттука: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Така, се добива равенка што е еквивалентна на дадената.

Одговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Комплетни и нецелосни квадратни равенки

Да се \u200b\u200bсвртиме кон дефиницијата за квадратна равенка. Во него, ние го прецизиравме тоа а ≠ 0... Сличен услов е неопходен за равенката a x 2 + b x + c \u003d 0 беше точно квадрат, бидејќи за a \u003d 0 во суштина се претвора во линеарна равенка b x + c \u003d 0.

Во случај кога коефициентите б и веднаква на нула (што е можно, и одделно и заедно), квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција 4

Нецелосна квадратна равенка Дали е таква квадратна равенка a x 2 + b x + c \u003d 0,каде барем еден од коефициентите би в(или обете) е нула.

Целосна квадратна равенка - квадратна равенка во која сите нумерички коефициенти не се еднакви на нула.

Да разговараме зошто на типовите на квадратни равенки им се даваат токму такви имиња.

За b \u003d 0, квадратната равенка има форма a x 2 + 0 x + c \u003d 0што е исто како и a x 2 + c \u003d 0... Кога c \u003d 0 квадратната равенка е напишана како a x 2 + b x + 0 \u003d 0што е еквивалентно на a x 2 + b x \u003d 0... Кога b \u003d 0 и c \u003d 0 равенката станува a x 2 \u003d 0... Равенките што ги добивме се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту поим со променлива x, ниту слободен термин, или обете. Всушност, овој факт му го даде името на овој вид равенки - нецелосен.

На пример, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 и - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 се полни квадратни равенки; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Горенаведената дефиниција овозможува да се разликуваат следниве видови нецелосни квадратни равенки:

• a x 2 \u003d 0, таквата равенка одговара на коефициентите b \u003d 0 и c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 при b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 при c \u003d 0.

Да го разгледаме секвенцијално решението на секој вид нецелосна квадратна равенка.

Решение на равенката a x 2 \u003d 0

Како што споменавме погоре, оваа равенка одговара на коефициентите б и веднаква на нула. Равенката a x 2 \u003d 0 можно е да се трансформира во еквивалентна равенка x 2 \u003d 0, што го добиваме со делење на обете страни на оригиналната равенка со бројот ане е еднаква на нула. Очигледен е фактот дека коренот на равенката x 2 \u003d 0 тоа е нула затоа што 0 2 = 0 ... Оваа равенка нема други корени, што може да се објасни со својствата на степенот: за кој било број стр,не е еднаква на нула, нееднаквоста е вистинита стр 2\u003e 0, од што произлегува дека за p ≠ 0 еднаквост стр 2 \u003d 0никогаш нема да се постигне.

Дефиниција 5

Така, за нецелосна квадратна равенка a x 2 \u003d 0, постои единствен корен x \u003d 0.

Пример 2

На пример, да решиме нецелосна квадратна равенка - 3 x 2 \u003d 0... Тоа е еквивалентно на равенката x 2 \u003d 0, неговиот единствен корен е x \u003d 0, тогаш оригиналната равенка има и еден корен - нула.

Накратко, решението е формализирано како што следува:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Решение за равенката a x 2 + c \u003d 0

Следниот чекор е решение на нецелосни квадратни равенки, каде b \u003d 0, c ≠ 0, односно равенки на формата a x 2 + c \u003d 0... Оваа равенка ја трансформираме со пренесување на поимот од едната страна на равенката на другата, менувајќи го знакот на спротивната страна и разделувајќи ги обете страни на равенката со број што не е еднаков на нула:

• пренесени в надесно, што ја дава равенката a x 2 \u003d - в;
• ги делиме обете страни на равенката со а, добиваме како резултат x \u003d - c а.

Нашите трансформации се еквивалентни, соодветно, добиената равенка е исто така еквивалентна на оригиналната, и овој факт овозможува да се донесе заклучок за корените на равенката. Од она што се вредности а и ввредноста на изразот - c a зависи: може да има знак минус (на пример, ако a \u003d 1 и c \u003d 2, тогаш - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) или знак плус (на пример, ако a \u003d - 2 и c \u003d 6, тогаш - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); не е еднаква на нула затоа што c ≠ 0... Дозволете ни да се задржиме подетално на ситуациите кога - в а< 0 и - c a > 0 .

Во случај кога - в а< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стр еднаквоста p 2 \u003d - c a не може да биде вистинита.

Сè е различно кога - c a\u003e 0: запомнете го квадратниот корен и ќе стане очигледно дека коренот на равенката x 2 \u003d - c a ќе биде бројот - c a, бидејќи - c a 2 \u003d - c a. Лесно е да се разбере дека бројот - - c a е исто така корен на равенката x 2 \u003d - c a: навистина, - - c a 2 \u003d - c a.

Равенката нема да има други корени. Ова можеме да го демонстрираме користејќи контрадикторни методи. За почеток, ние ја дефинираме нотацијата за корените пронајдени погоре како x 1 и - x 1... Да претпоставиме дека равенката x 2 \u003d - c a исто така има корен x 2што е различно од корените x 1 и - x 1... Ние тоа го знаеме со замена во равенката наместо x нејзините корени, ја трансформираат равенката во фер нумеричка еднаквост.

За x 1 и - x 1 пишуваме: x 1 2 \u003d - c a, и за x 2 - x 2 2 \u003d - в а. Врз основа на својствата на нумеричките еднаквости, ние одземаме една вистинска еднаквост од другиот поим по термин, што ќе ни даде: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Ние ги користиме својствата на дејствата на броевите за да ја препишеме последната еднаквост како (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Познато е дека производот на два броја е нула ако и само ако барем еден од броевите е нула. Од кажаното, следува тоа x 1 - x 2 \u003d 0 и / или x 1 + x 2 \u003d 0што е исто x 2 \u003d x 1 и / или x 2 \u003d - x 1... Се појави очигледна противречност, бидејќи на почетокот беше договорено коренот на равенката x 2 се разликува од x 1 и - x 1... Значи, докажавме дека равенката нема други корени, освен x \u003d - c a и x \u003d - - c a.

Ние ги сумираме сите горенаведени размислувања.

Дефиниција 6

Нецелосна квадратна равенка a x 2 + c \u003d 0 е еквивалентно на равенката x 2 \u003d - c a, што:

• нема да има корени за - в а< 0 ;
• ќе има два корени x \u003d - c a и x \u003d - - c a for - c a\u003e 0.

Да дадеме примери за решавање на равенките a x 2 + c \u003d 0.

Пример 3

Дадена е квадратна равенка 9 x 2 + 7 \u003d 0.Неопходно е да се најде неговото решение.

Одлука

Ние го пренесуваме слободниот термин на десната страна на равенката, а потоа равенката добива форма 9 x 2 \u003d - 7.
Ние ги делиме двете страни на добиената равенка со 9 , стигнуваме до x 2 \u003d - 7 9. На десната страна, гледаме број со знак минус, што значи: дадената равенка нема корени. Потоа, оригиналната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 + 7 \u003d 0 нема да има корени.

Одговор: равенката 9 x 2 + 7 \u003d 0нема корени.

Пример 4

Неопходно е да се реши равенката - x 2 + 36 \u003d 0.

Одлука

Поместете 36 на десната страна: - x 2 \u003d - 36.
Да ги поделиме двата дела на − 1 , добиваме x 2 \u003d 36... На десната страна е позитивна бројка, од која можеме да заклучиме дека x \u003d 36 или x \u003d - 36.
Извадете го коренот и запишете го конечниот резултат: нецелосна квадратна равенка - x 2 + 36 \u003d 0 има два корени x \u003d 6 или x \u003d - 6.

Одговор: x \u003d 6 или x \u003d - 6.

Решение на равенката a x 2 + b x \u003d 0

Ајде да го анализираме третиот вид на нецелосни квадратни равенки, кога c \u003d 0... Да се \u200b\u200bнајде решение за некомплетна квадратна равенка a x 2 + b x \u003d 0, ние го користиме методот на факторизација. Го факторизираме полиномот од левата страна на равенката, вадејќи го заедничкиот фактор надвор од заградите x... Овој чекор ќе овозможи да се трансформира оригиналната нецелосна квадратна равенка во нејзиниот еквивалент x (a x + b) \u003d 0... И оваа равенка, пак, е еквивалентна на збир на равенки x \u003d 0 и a x + b \u003d 0... Равенката a x + b \u003d 0 линеарно, а неговиот корен е: x \u003d - b а.

Дефиниција 7

Значи нецелосната квадратна равенка a x 2 + b x \u003d 0 ќе има два корени x \u003d 0 и x \u003d - b а.

Ајде да го поправиме материјалот со пример.

Пример 5

Неопходно е да се најде решение за равенката 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Одлука

Извади x загради и да се добие равенката x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Оваа равенка е еквивалентна на равенките x \u003d 0 и 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Сега треба да ја решите добиената линеарна равенка: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Накратко го пишуваме решението на равенката како што следува:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или x \u003d 3 3 7

Одговор: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Дискриминирачки, формулата за корените на квадратната равенка

За да најдете решение за квадратни равенки, постои коренска формула:

Дефиниција 8

x \u003d - b ± D 2 a, каде D \u003d b 2 - 4 a c - т.н. дискриминатор на квадратната равенка.

Записот x \u003d - b ± D 2 · a во суштина значи дека x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Нема да биде излишно да се разбере како е изведена наведената формула и како да се примени.

Извод на формулата за корените на квадратната равенка

Дозволете ни да се соочиме со задачата да решиме квадратна равенка a x 2 + b x + c \u003d 0... Ајде да извршиме голем број еквивалентни трансформации:

• подели ги обете страни на равенката со бројот а, освен нула, ја добиваме намалената квадратна равенка: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• изберете го целиот квадрат на левата страна од добиената равенка:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + околу
  По ова, равенката ќе добие форма: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• сега е можно да се пренесат последните два поими на десната страна со промена на знакот во спротивност, по што ќе добиеме: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• конечно, го трансформираме изразот напишан на десната страна од последната еднаквост:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Така, дојдовме до равенката x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, што е еквивалентно на оригиналната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0.

Го анализиравме решението на таквите равенки во претходните пасуси (решение на нецелосни квадратни равенки). Веќе стекнатото искуство овозможува да се донесе заклучок во врска со корените на равенката x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• на б 2 - 4 а в 4 а 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• за b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 равенката има форма x + b 2 a 2 \u003d 0, потоа x + b 2 a \u003d 0.

Оттука, единствениот корен x \u003d - b 2 · a е очигледен;

• за b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 ќе биде точно: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 или x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, што е исто како x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a в 4 а 2, т.е. равенката има два корени.

Можно е да се заклучи дека присуството или отсуството на корени на равенката x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (а со тоа и оригиналната равенка) зависи од знакот на изразот b 2 - 4 a c 4 · На десната страна е напишано 2. И знакот на овој израз е поставен со знакот на броителот, (именител 4 а 2 секогаш ќе биде позитивно), односно знакот на изразот б 2 - 4 а в... Овој израз б 2 - 4 а в е дадено името - дискриминаторот на квадратната равенка и буквата Д се дефинираат како негова ознака. Овде можете да ја запишете суштината на дискриминаторот - според неговата вредност и знак, се заклучува дали квадратната равенка ќе има вистински корени и, ако е така, колкав е бројот на корени - еден или два.

Да се \u200b\u200bвратиме на равенката x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Го препишуваме користејќи ја ознаката за дискриминаторот: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Дозволете ни повторно да ги формулираме заклучоците:

Дефиниција 9

• во Д.< 0 равенката нема вистински корени;
• во D \u003d 0 равенката има еден корен x \u003d - b 2 · a;
• во Д\u003e 0 равенката има два корени: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Овие корени, засновани на својствата на радикалите, можат да се запишат како: x \u003d - b 2 a + D 2 a или - b 2 a - D 2 a. И кога ги отвораме модулите и ги намалуваме дропките во заеднички именител, добиваме: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Значи, резултатот од нашето резонирање беше изведување на формулата за корените на квадратната равенка:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, дискриминаторот Д. пресметано со формулата D \u003d b 2 - 4 a c.

Овие формули овозможуваат, кога дискриминаторот е поголем од нула, да се утврдат и двата реални корени. Кога дискриминантот е нула, примената на двете формули ќе го даде истиот корен како единственото решение за квадратната равенка. Во случај кога дискриминантот е негативен, обидувајќи се да ја искористиме формулата на квадратни корени, ќе се соочиме со потребата да го извлечеме квадратниот корен на негативниот број, што ќе не однесе над реалните броеви. Со негативен дискриминант, квадратната равенка нема да има вистински корени, но е можен пар сложени коњугатни корени, утврдени со истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со употреба на коренски формули

Можно е да се реши квадратната равенка со веднаш користење на коренската формула, но во основа тоа се прави кога е потребно да се најдат сложени корени.

Во најголемиот дел од случаите, обично треба да се бараат не за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Тогаш е оптимално, пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, прво утврдете го дискриминаторот и проверете дали не е негативно (во спротивно, ќе заклучиме дека равенката нема вистински корени), а потоа продолжете да ги пресметувате вредностите на корените.

Образложението погоре овозможува да се формулира алгоритам за решавање на квадратна равенка.

Дефиниција 10

Да се \u200b\u200bреши квадратна равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, потребно е:

• според формулата D \u003d b 2 - 4 a c пронајдете ја вредноста на дискриминаторот;
• кај Д.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D \u003d 0, пронајдете го единствениот корен на равенката со формулата x \u003d - b 2 · a;
• за D\u003e 0, одреди два реални корени на квадратната равенка со формулата x \u003d - b ± D 2 · a.

Забележете дека кога дискриминаторот е нула, можете да ја користите формулата x \u003d - b ± D 2 · a, тоа ќе го даде истиот резултат како формулата x \u003d - b 2 · a.

Ајде да погледнеме неколку примери.

Примери за решавање на квадратни равенки

Дозволете ни да дадеме решение за примери за различни вредности на дискриминаторот.

Пример 6

Неопходно е да се најдат корените на равенката x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Одлука

Да ги запишеме нумеричките коефициенти на квадратната равенка: a \u003d 1, b \u003d 2 и c \u003d - 6... Следно, дејствуваме според алгоритмот, т.е. да почнеме да пресметуваме дискриминатор, за што ги заменуваме коефициентите a, b и в во формулата за дискриминација: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Значи, добивме D\u003e 0, што значи дека оригиналната равенка ќе има два вистински корени.
За да ги најдеме, ја користиме коренската формула x \u003d - b ± D 2 · a и, заменувајќи ги соодветните вредности, добиваме: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Дозволете ни да го поедноставиме добиениот израз со земање на факторот надвор од коренскиот знак и потоа намалување на фракцијата:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 или x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 или x \u003d - 1 - 7

Одговор: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Пример 7

Неопходно е да се реши квадратната равенка - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Одлука

Да го дефинираме дискриминаторот: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Со оваа вредност на дискриминаторот, оригиналната равенка ќе има само еден корен, утврдена со формулата x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Одговор: x \u003d 3, 5.

Пример 8

Неопходно е да се реши равенката 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Одлука

Нумеричките коефициенти на оваа равенка ќе бидат: a \u003d 5, b \u003d 6 и c \u003d 2. Ги користиме овие вредности за да го најдеме дискриминаторот: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Пресметаната дискриминација е негативна, така што оригиналната квадратна равенка нема вистински корени.

Во случај кога задачата е да наведеме сложени корени, ние ја применуваме формулата за корените, извршувајќи дејства со сложени броеви:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 или x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 i или x \u003d - 3 5 - 1 5 i.

Одговор: нема валидни корени; сложените корени се како што следува: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Во училишната програма, нема стандардно барање да се бараат сложени корени, затоа, ако за време на решението, дискриминаторот се утврди како негативен, веднаш се запишува одговорот дека нема вистински корени.

Коренска формула за дури и други коефициенти

Корената формула x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) овозможува да се добие друга формула, покомпактна, што му овозможува да најде решенија за квадратни равенки со парен коефициент на x (или со коефициент на формата 2 n, на пример, 2 3 или 14 ln 5 \u003d 2 7 ln 5). Дозволете ни да покажеме како се изведува оваа формула.

Да претпоставиме дека сме соочени со задача да најдеме решение за квадратната равенка a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Ние дејствуваме според алгоритмот: го одредуваме дискриминаторот D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c), а потоа ја користиме коренската формула:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - ca.

Изразот n 2 - a · c нека биде означен како D 1 (понекогаш се означува со Д "). Тогаш формулата за корените на разгледуваната квадратна равенка со вториот коефициент 2 n ќе добие форма:

x \u003d - n ± D 1 a, каде што D 1 \u003d n 2 - a · c.

Лесно е да се види дека D \u003d 4 · D 1 или D 1 \u003d D 4. Со други зборови, Д 1 е четвртина од дискриминаторот. Очигледно, знакот на Д 1 е ист со знакот на Д, што значи дека знакот на Д 1 може да послужи и како индикатор за присуството или отсуството на корените на квадратната равенка.

Дефиниција 11

Така, за да се најде решение за квадратната равенка со вториот коефициент 2 n, потребно е:

• најдете D 1 \u003d n 2 - a · c;
• на Д 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• кога D 1 \u003d 0, одреди го единствениот корен на равенката со формулата x \u003d - n a;
• за D 1\u003e 0 дефинирајте два реални корени со формулата x \u003d - n ± D 1 a.

Пример 9

Неопходно е да се реши квадратната равенка 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Одлука

Вториот коефициент на дадената равенка може да се претстави како 2 · (- 3). Тогаш ја задаваме дадената квадратна равенка како 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, каде a \u003d 5, n \u003d - 3 и c \u003d - 32.

Да го пресметаме четвртиот дел од дискриминаторот: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Резултирачката вредност е позитивна, што значи дека равенката има два реални корени. Ние ги дефинираме со соодветната коренска формула:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 или x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2

Би било можно да се извршат пресметки користејќи ја вообичаената формула за корените на квадратната равенка, но во овој случај решението би било повеќе незгодно.

Одговор: x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2.

Поедноставување на погледот на квадратни равенки

Понекогаш е можно да се оптимизира формата на оригиналната равенка, што ќе го поедностави процесот на пресметување на корените.

На пример, квадратната равенка 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 е јасно попогодна за решавање од 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Почесто, поедноставувањето на формата на квадратна равенка се изведува со множење или делење на двата дела со одреден број. На пример, погоре покажавме поедноставена нотација на равенката 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, добиена со делење на двата дела со 100.

Ваквата трансформација е можна кога коефициентите на квадратната равенка не се броеви на коприми. Потоа, обично поделете ги двете страни на равенката со најголемиот заеднички делител апсолутни вредности нејзините коефициенти.

Како пример, ние ја користиме квадратната равенка 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Ние го дефинираме GCD на апсолутните вредности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Да ги поделиме обете страни на оригиналната квадратна равенка со 6 и да добиеме еквивалентна квадратна равенка 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Со множење на обете страни на квадратната равенка, обично се ослободувате од фракционите коефициенти. Во овој случај, помножете се со најмалиот заеднички множител на именителите на нејзините коефициенти. На пример, ако секој дел од квадратната равенка 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 се помножи со LCM (6, 3, 1) \u003d 6, тогаш тој ќе стане запишан во поедноставна форма x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Конечно, забележуваме дека тие скоро секогаш се ослободуваат од минусот при првиот коефициент на квадратната равенка, менувајќи ги знаците на секој член на равенката, што се постигнува со множење (или делење) на двата дела со - 1. На пример, од квадратната равенка - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, можете да отидете во поедноставена верзија на тоа 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Односот помеѓу корените и коефициентите

Веќе познатата формула за корените на квадратните равенки x \u003d - b ± D 2 · a ги изразува корените на равенката во однос на нејзините нумерички коефициенти. Врз основа на оваа формула, ние можеме да одредиме други зависности помеѓу корените и коефициентите.

Најпознати и применливи се формулите на теоремата Виета:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

Особено, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е втор коефициент со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот термин. На пример, со форма на квадратна равенка 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0, можно е веднаш да се утврди дека збирот на неговите корени е 7 3, а производот на корените е 22 3.

Може да најдете и низа други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, збирот на квадратите на корените на квадратната равенка може да се изрази во однос на коефициентите:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2

Ако забележите грешка во текстот, изберете ја и притиснете Ctrl + Enter

Оваа тема може да изгледа застрашувачка на почетокот поради многуте тешки формули. Не само што самите квадратни равенки имаат долги записи, туку и корените се наоѓаат преку дискриминаторот. Вкупно има три нови формули. Не е лесно да се запомни. Ова е можно само по често решавање на такви равенки. Тогаш сите формули ќе бидат запаметени сами по себе.

Општ поглед на квадратната равенка

Тука се предлага нивно експлицитно запишување, кога најпрво се запишува највисокиот степен, а потоа по опаѓачки редослед. Честопати има ситуации кога поимите не се во функција. Тогаш е подобро да се препише равенката во опаѓачки редослед на степенот на променливата.

Дозволете ни да ја воведеме нотацијата. Тие се претставени во табелата подолу.

Ако ги прифатиме овие ознаки, сите квадратни равенки се сведени на следниот запис.

Покрај тоа, коефициентот a ≠ 0. Нека оваа формула е означена со број еден.

Кога е дадена равенката, не е јасно колку корени ќе има одговорот. Бидејќи една од трите опции е секогаш можна:

• решението ќе има два корени;
• одговорот е еден број;
• равенката нема да има никакви корени.

И сè додека не се донесе одлуката до крајот, тешко е да се разбере која од опциите ќе падне во одреден случај.

Видови записи на квадратни равенки

Задачите може да содржат нивни различни записи. Тие не секогаш ќе изгледаат како општа квадратна равенка. Понекогаш ќе недостасуваат некои термини. Она што беше напишано погоре е целосна равенка. Ако го отстраните вториот или третиот мандат во него, ќе добиете нешто поразлично. Овие записи се нарекуваат и квадратни равенки, само нецелосни.

Покрај тоа, само поимите во кои коефициентите "б" и "в" можат да исчезнат. Бројот "а" под никакви околности не може да биде еднаков на нула. Бидејќи во овој случај, формулата се претвора во линеарна равенка. Формулите за нецелосна форма на равенки ќе бидат следниве:

Значи, постојат само два вида, покрај целосните, постојат и нецелосни квадратни равенки. Првата формула нека биде број два, а втората број три.

Дискриминирачки и зависноста на бројот на корени од неговата вредност

Треба да го знаете овој број за да ги пресметате корените на равенката. Секогаш може да се пресмета, без оглед каква е формулата за квадратната равенка. За да го пресметате дискриминаторот, треба да ја користите еднаквоста напишана подолу, која ќе има број четири.

Откако ќе ги замените вредностите на коефициентите во оваа формула, можете да добиете броеви со различни знаци. Ако одговорот е да, тогаш одговорот на равенката ќе биде два различни корени. Ако бројот е негативен, корените на квадратната равенка ќе бидат отсутни. Ако е еднакво на нула, одговорот ќе биде еден.

Како е решена целосна квадратна равенка?

Всушност, разгледувањето на ова прашање веќе започна. Затоа што прво треба да го пронајдете дискриминаторот. Откако ќе се открие дека има корени на квадратната равенка, а нивниот број е познат, треба да ги користите формулите за променливите. Ако има два корени, тогаш треба да ја примените оваа формула.

Бидејќи го содржи знакот „“, ќе има две вредности. Изразот на квадратниот корен е дискриминирачки. Затоа, формулата може да се преработи на поинаков начин.

Формула број пет. Истиот запис покажува дека ако дискриминаторот е нула, тогаш двата корени ќе ги имаат истите вредности.

Ако решението на квадратни равенки сè уште не е разработено, тогаш подобро е да се запишат вредностите на сите коефициенти пред да се применат дискриминаторските и променливите формули. Подоцна овој момент нема да предизвика тешкотии. Но, на самиот почеток, постои конфузија.

Како е решена некомплетна квадратна равенка?

Тука сè е многу поедноставно. Дури и нема потреба од дополнителни формули. И нема да ви требаат оние што се веќе снимени за дискриминаторот и за непознатото.

Прво, разгледајте ја нецелосната равенка број два. Во оваа еднаквост, треба да се извади непознатата вредност од заградата и да се реши линеарната равенка, која останува во заградите. Одговорот ќе има два корени. Првиот е нужно еднаков на нула, бидејќи постои фактор кој се состои од самата променлива. Вториот се добива при решавање на линеарна равенка.

Нецелосната равенка број три се решава со пренесување на бројот од левата страна на равенката надесно. Тогаш треба да се поделите со коефициентот со кој се соочува непознатото. Останува само да се извади квадратниот корен и не заборавајте да го запишете двапати со спротивни знаци.

Следното е неколку чекори кои ќе ви помогнат да научите како да ги решите сите видови еднаквости што се претвораат во квадратни равенки. Тие ќе му помогнат на ученикот да избегне невнимателни грешки. Овие недостатоци се причина за слабите оценки при изучување на широка тема “ Квадратни равенки (8 одделение) ". Последователно, овие дејства нема да треба постојано да се вршат. Бидејќи ќе се појави стабилна вештина.

• Прво, треба да ја напишете равенката во стандардна форма. Тоа е, прво терминот со највисок степен на променливата, а потоа - без степенот и последниот - само број.

• Ако се појави минус пред коефициентот "а", тогаш тоа може да ја комплицира работата за почетник да учи квадратни равенки. Подобро е да се ослободите од него. За таа цел, целата еднаквост мора да се помножи со „-1“. Ова значи дека сите поими ќе го сменат својот знак на спротивното.

• Се препорачува да се ослободите од фракциите на ист начин. Едноставно помножете ја равенката со соодветниот фактор за да ги откажете именителите.

Примери за

Потребно е да се решат следните квадратни равенки:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Првата равенка: x 2 - 7x \u003d 0. Нецелосна е, затоа е решена како што е опишано за формулата број два.

По напуштањето на заградите, излегува: x (x - 7) \u003d 0.

Првиот корен ја зема вредноста: x 1 \u003d 0. Вториот ќе се најде од линеарната равенка: x - 7 \u003d 0. Лесно е да се види дека x 2 \u003d 7.

Втора равенка: 5x 2 + 30 \u003d 0. Повторно нецелосна. Само што е решено како што е опишано за третата формула.

Откако ќе префрлите 30 на десната страна од еднаквоста: 5x 2 \u003d 30. Сега треба да поделите со 5. Излегува: x 2 \u003d 6. Одговорите ќе бидат броеви: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6.

Третата равенка: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Во понатамошниот текст, решението на квадратни равенки ќе започне со нивно препишување во стандарден поглед: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Сега е време да се искористи второто корисни совети и помножете сè со минус еден. Излегува x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Според четвртата формула, треба да го пресметате дискриминаторот: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Тоа е позитивен број. Од она што беше кажано погоре, излегува дека равенката има два корени. Тие треба да се пресметаат со користење на петтата формула. Излегува дека x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Потоа x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Четвртата равенка x 2 + 8 + 3x \u003d 0 се трансформира во оваа: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Неговата дискриминација е еднаква на оваа вредност: -23. Бидејќи овој број е негативен, одговорот на оваа задача ќе биде следниот запис: „Нема корени“.

Петтата равенка 12x + x 2 + 36 \u003d 0 треба да се препише на следниов начин: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. По примената на формулата за дискриминаторот, се добива бројот нула. Ова значи дека ќе има еден корен, имено: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Шестата равенка (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) бара трансформации, кои се состојат во фактот дека треба да донесете слични поими, пред да ги отворите заградите. Наместо првиот, ќе има таков израз: x 2 + 2x + 1. По еднаквоста, овој запис ќе се појави: x 2 + 3x + 2. Откако ќе се избројат таквите поими, равенката ќе добие форма: x 2 - x \u003d 0. Се претвори во нецелосна ... Слично на тоа веќе се сметаше за малку повисоко. Корените на ова ќе бидат броевите 0 и 1.

Продолжуваме да ја проучуваме темата „ решавање равенки" Ние веќе се сретнавме со линеарни равенки и продолжуваме да се запознаваме квадратни равенки.

Прво, ќе анализираме што е квадратна равенка, како е напишана во општа форма и ќе дадеме сродни дефиниции. После тоа, користејќи примери, детално ќе анализираме како се решени нецелосните квадратни равенки. Потоа преминуваме кон решавање на целосните равенки, ја добиваме формулата за корените, се запознаваме со дискриминаторот на квадратната равенка и ги разгледуваме решенијата за типични примери. Конечно, да ја проследиме врската помеѓу корените и коефициентите.

Навигација на страницата.

Што е квадратна равенка? Нивните видови

Прво треба јасно да разберете што е квадратна равенка. Затоа, логично е да се започне да се зборува за квадратни равенки со дефиницијата на квадратна равенка, како и дефинициите поврзани со неа. После тоа, можете да ги разгледате главните типови на квадратни равенки: намалени и не-намалени, како и целосни и нецелосни равенки.

Дефиниција и примери на квадратни равенки

Дефиниција

Квадратна равенка Е равенка на формата a x 2 + b x + c \u003d 0 , каде x е променлива, a, b и c се некои броеви, а a не е нула.

Да речеме веднаш дека квадратните равенки честопати се нарекуваат равенки од втор степен. Ова е затоа што квадратната равенка е алгебарска равенка втор степен.

Звучената дефиниција ни овозможува да дадеме примери на квадратни равенки. Значи 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0, итн. Дали се квадратни равенки.

Дефиниција

Броеви а, б и в се викаат коефициенти на квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, а коефициентот a се нарекува прв, или највисок, или коефициент на x 2, b е втор коефициент, или коефициент на x, и c е слободен термин.

На пример, да земеме квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, тука водечкиот коефициент е 5, вториот коефициент е −2, а пресекот е −3. Забележете дека кога коефициентите b и / или c се негативни, како во примерот што е даден само сега, тогаш кратката форма на квадратната равенка е 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, а не 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Треба да се напомене дека кога коефициентите a и / или b се еднакви на 1 или −1, тогаш тие обично не се експлицитно присутни во квадратната равенка, што се должи на особеностите на пишувањето на таквите. На пример, во квадратна равенка y 2 −y + 3 \u003d 0, водечкиот коефициент е еден, а коефициентот на y е −1.

Намалени и намалени квадратни равенки

Намалени и не-намалени квадратни равенки се разликуваат во зависност од вредноста на водечкиот коефициент. Дозволете ни да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција

Се нарекува квадратна равенка во која водечкиот коефициент е 1 намалена квадратна равенка... Инаку квадратната равенка е не е намален.

Според оваа дефиниција, квадратни равенки x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, итн. - даден, во секоја од нив првиот коефициент е еднаков на еден. И 5 x 2 −x - 1 \u003d 0, итн. - ненамалени квадратни равенки, нивните водечки коефициенти се различни од 1.

Од која било не-намалена квадратна равенка со делење на двата дела со водечкиот коефициент, можете да отидете на намалената. Оваа акција е еквивалентна трансформација, односно намалената квадратна равенка добиена на овој начин ги има истите корени како и оригиналната нередуцирана квадратна равенка или, како неа, нема корени.

Ајде да анализираме со пример како се врши преминот од ненамалена квадратна равенка во редуцирана.

Пример.

Од равенката 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0, одете на соодветната намалена квадратна равенка.

Одлука.

Доволно е да ги поделиме обете страни на оригиналната равенка со водечкиот фактор 3, тоа е не нула, за да можеме да го извршиме ова дејство. Имаме (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, што е исто, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0, и пошироко (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, од \u200b\u200bкаде. Значи, ја добивме намалената квадратна равенка, што е еквивалентно на оригиналната.

Одговор:

Комплетни и нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата за квадратна равенка го содржи условот a ≠ 0. Овој услов е неопходен за равенката a x 2 + b x + c \u003d 0 да биде точно квадратна, бидејќи на a \u003d 0 таа всушност станува линеарна равенка на формата b x + c \u003d 0.

Што се однесува до коефициентите b и c, тие можат да бидат еднакви на нула, и одделно и заедно. Во овие случаи, квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција

Се нарекува квадратна равенка a x 2 + b x + c \u003d 0 нецелосниако барем еден од коефициентите b, c е еднаков на нула.

За возврат

Дефиниција

Целосна квадратна равенка Е равенка во која сите коефициенти се не нула.

Овие имиња не се дадени случајно. Ова ќе стане јасно од следниве размислувања.

Ако коефициентот b е еднаков на нула, тогаш квадратната равенка има форма a x 2 + 0 x + c \u003d 0, и таа е еквивалентна на равенката a x 2 + c \u003d 0. Ако c \u003d 0, односно квадратната равенка има форма a x 2 + b x + 0 \u003d 0, тогаш може да се препише како x 2 + b x \u003d 0. И со b \u003d 0 и c \u003d 0, ја добиваме квадратната равенка a · x 2 \u003d 0. Резултирачките равенки се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту поим со променлива x, ниту слободен термин, или обете. Оттука и нивното име - нецелосни квадратни равенки.

Така, равенките x 2 + x + 1 \u003d 0 и −2 x 2 −5 x + 0,2 \u003d 0 се примери на целосни квадратни равенки и x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 се нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Од информациите во претходниот пасус произлегува дека има три вида нецелосни квадратни равенки:

• a x 2 \u003d 0, коефициентите b \u003d 0 и c \u003d 0 одговараат на тоа;
• a x 2 + c \u003d 0 кога b \u003d 0;
• и a x 2 + b x \u003d 0 кога c \u003d 0.

Ајде да анализираме со цел како да се решат нецелосните квадратни равенки на секој од овие типови.

a x 2 \u003d 0

Да започнеме со решавање на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентите b и c се еднакви на нула, односно со равенки од формата a · x 2 \u003d 0. Равенката a · x 2 \u003d 0 е еквивалентна на равенката x 2 \u003d 0, која се добива од оригиналот со делење на двата дела со ненултен број a. Очигледно, коренот на равенката x 2 \u003d 0 е нула, бидејќи 0 2 \u003d 0. Оваа равенка нема други корени, што е објаснето, навистина, за кој било нула број p, важи нееднаквоста p 2\u003e 0, од \u200b\u200bкаде произлегува дека за p ≠ 0 еднаквоста p 2 \u003d 0 никогаш не е постигната.

Значи, нецелосната квадратна равенка a · x 2 \u003d 0 има еден корен x \u003d 0.

Како пример, да го дадеме решението за нецелосната квадратна равенка −4 · x 2 \u003d 0. Равенката x 2 \u003d 0 е еквивалентна на неа, единствениот корен е x \u003d 0, затоа, оригиналната равенка има и единствена нула на коренот.

Кратко решение во овој случај може да се формулира на следниов начин:
X4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Сега ќе разгледаме како се решени нецелосните квадратни равенки, во кои коефициентот b е нула, и c ≠ 0, односно равенки од формата a · x 2 + c \u003d 0. Знаеме дека пренесувањето на поимот од едната и другата страна на равенката со спротивен знак, како и поделбата на обете страни на равенката со не нула број, даваат еквивалентна равенка. Затоа, можеме да ги извршиме следниве еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 + c \u003d 0:

• поместете c на десната страна, што ја дава равенката 2 \u003d −c,
• и подели ги двата дела со а, добиваме.

Резултирачката равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени. Во зависност од вредностите на a и c, вредноста на изразот може да биде негативна (на пример, ако a \u003d 1 и c \u003d 2, тогаш) или позитивна (на пример, ако a \u003d −2 и c \u003d 6, тогаш), таа не е еднаква на нула , бидејќи според услов c ≠ 0. Дозволете ни да ги испитаме одделно случаите и.

Ако, тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е негативен број. Од ова произлегува дека кога, тогаш за кој било број p еднаквоста не може да биде вистинита.

Ако, тогаш ситуацијата со корените на равенката е поинаква. Во овој случај, ако се сеќавате на, тогаш коренот на равенката веднаш станува очигледен, тоа е број, бидејќи. Лесно е да се погоди дека бројот е исто така коренот на равенката, навистина. Оваа равенка нема други корени, што може да се покаже, на пример, со противречност. Ајде да го направиме тоа.

Да ги означиме корените на равенката што само се изразија како x 1 и −x 1. Да претпоставиме дека равенката има уште еден корен x 2 различен од посочените корени x 1 и −x 1. Познато е дека замената на нејзините корени во равенката наместо во x ја претвора равенката во вистинска нумеричка еднаквост. За x 1 и −x 1 имаме, и за x 2 имаме. Карактеристиките на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да извршиме термин по термин одземање на вистински бројни еднаквости, па со одземање на соодветните делови на еднаквостите се даваат x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Карактеристиките на дејствата со броеви ви овозможуваат да ја препишете добиената еднаквост како (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Знаеме дека производот на два броја е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула. Затоа, од добиената еднаквост произлегува дека x 1 - x 2 \u003d 0 и / или x 1 + x 2 \u003d 0, што е исто, x 2 \u003d x 1 и / или x 2 \u003d −x 1. Така дојдовме до противречност, бидејќи на почетокот рековме дека коренот на равенката x 2 се разликува од x 1 и −x 1. Ова докажува дека равенката нема други корени освен и.

Ајде да ги сумираме информациите за оваа ставка. Нецелосната квадратна равенка a x 2 + c \u003d 0 е еквивалентна на равенката што

• нема корени ако,
• има два корени и, ако.

Размислете за примери за решавање на нецелосни квадратни равенки на формата a · x 2 + c \u003d 0.

Да почнеме со квадратната равенка 9 x 2 + 7 \u003d 0. Откако ќе го пренесете слободниот термин на десната страна на равенката, тој ќе добие форма 9 · x 2 \u003d −7. Поделувајќи ги обете страни на добиената равенка со 9, стигнуваме до. Бидејќи има негативен број на десната страна, оваа равенка нема корени, затоа, оригиналната нецелосна квадратна равенка 9 · x 2 + 7 \u003d 0 нема корени.

Реши друга нецелосна квадратна равенка −x 2 + 9 \u003d 0. Поместете ги деветте надесно: −x 2 \u003d −9. Сега ги делиме обете страни со −1, добиваме x 2 \u003d 9. На десната страна има позитивен број, од кој заклучуваме дека или. Потоа го запишуваме конечниот одговор: нецелосната квадратна равенка −x 2 + 9 \u003d 0 има два корени x \u003d 3 или x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Останува да се занимаваме со решението на последниот тип на нецелосни квадратни равенки за c \u003d 0. Нецелосните квадратни равенки на формата a x 2 + b x \u003d 0 ви овозможуваат да ги решите метод на факторизација... Очигледно, можеме, сместено на левата страна на равенката, за што е доволно да се искористи заедничкиот фактор x. Ова ни овозможува да преминеме од оригиналната нецелосна квадратна равенка во еквивалентна равенка на формата x · (a · x + b) \u003d 0. И оваа равенка е еквивалентна на комбинација од две равенки x \u003d 0 и a x + b \u003d 0, од \u200b\u200bкои последната е линеарна и има корен x \u003d −b / a.

Значи, нецелосната квадратна равенка a x 2 + b x \u003d 0 има два корени x \u003d 0 и x \u003d −b / a.

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на специфичен пример.

Пример.

Решете ја равенката.

Одлука.

Поместување на x од загради ја дава равенката. Тоа е еквивалентно на две равенки x \u003d 0 и. Ние ја решаваме добиената линеарна равенка:, и откако ќе го поделиме мешаниот број со обична дропка, наоѓаме. Затоа, корените на оригиналната равенка се x \u003d 0 и.

По добивањето на потребната пракса, решенијата за ваквите равенки можат да бидат напишани накратко:

Одговор:

x \u003d 0,.

Дискриминирачки, формулата за корените на квадратната равенка

Постои коренска формула за решавање на квадратни равенки. Ајде да напишеме квадратна формула:, каде D \u003d b 2 −4 a c - т.н. квадратна дискриминација... Записот во суштина значи дека.

Корисно е да се знае како е добиена коренската формула и како се применува при наоѓање на корените на квадратни равенки. Ајде да сфатиме.

Извод на формулата за корените на квадратната равенка

Да претпоставиме дека треба да ја решиме квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0. Ајде да извршиме некои еквивалентни трансформации:

• Ние можеме да ги поделиме обете страни на оваа равенка со ненултен број a, како резултат на тоа ја добиваме намалената квадратна равенка.
• Сега изберете целосен квадрат на левата страна:. После тоа, равенката ќе добие форма.
• Во оваа фаза, можно е да се изврши пренесување на последните два термина на десната страна со спротивниот знак, што го имаме.
• И, исто така, го трансформираме изразот на десната страна:.

Како резултат, дојдовме до равенка што е еквивалентна на оригиналната квадратна равенка a x 2 + b x + c \u003d 0.

Ние веќе решивме равенки слични на формата во претходните пасуси кога ги анализиравме. Ова ни овозможува да ги донесеме следниве заклучоци во врска со корените на равенката:

• ако, тогаш равенката нема реални решенија;
• ако, тогаш равенката има форма, од каде е видлив нејзиниот единствен корен;
• ако, тогаш или, што е исто или, односно равенката има два корени.

Така, присуството или отсуството на корените на равенката, па оттука и оригиналната квадратна равенка, зависи од знакот на изразот на десната страна. За возврат, знакот на овој израз се определува со знакот на броителот, бидејќи именителот 4 · a 2 е секогаш позитивен, односно знакот на изразот b 2 −4 · a · c. Овој израз b 2 −4 a c беше повикан дискриминаторот на квадратната равенка и обележано со буквата Д... Од ова, јасно е суштината на дискриминаторот - според неговата вредност и знак, се заклучува дали квадратната равенка има вистински корени, и ако е така, колкав е нивниот број - еден или два.

Враќајќи се на равенката, ја препишуваме со употреба на дискриминаторната нотација:. И ние извлекуваме заклучоци:

• ако Д.<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D \u003d 0, тогаш оваа равенка има еден корен;
• конечно, ако D\u003e 0, тогаш равенката има два корени или, што, според таа моќ, може да се препише како или, и по проширувањето и намалувањето на дропките во заеднички именител, ќе добиеме.

Значи, ние изведовме формули за корените на квадратната равенка, тие имаат форма, каде што дискриминантот Д се пресметува со формулата D \u003d b 2 −4 · a · c.

Со нивна помош, со позитивен дискриминатор, можете да ги пресметате двата реални корени на квадратната равенка. Кога дискриминаторот е еднаков на нула, обете формули ја даваат истата коренска вредност што одговара на уникатно решение на квадратната равенка. И со негативен дискриминант, кога се обидуваме да ја користиме формулата за корените на квадратната равенка, се соочуваме со извлекување на квадратниот корен на негативен број, што нè вади од полето и наставна програма... Со негативен дискриминант, квадратната равенка нема вистински корени, но има пар комплексен конјугат корени, што може да се најде со користење на истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со употреба на коренски формули

Во пракса, при решавање на квадратни равенки, можете веднаш да ја користите коренската формула, со која можете да ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе за наоѓање сложени корени.

Сепак, во курсот за училишна алгебра, обично не станува збор за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е прво да го пронајдете дискриминаторот пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, да бидете сигурни дека таа не е негативна (во спротивно, можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени), и само после тоа да се пресметаат вредностите на корените.

Горенаведеното резонирање ни овозможува да пишуваме решавач на квадратна равенка... За да се реши квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, потребни ви се:

• според дискриминаторската формула D \u003d b 2 −4 · a · c пресметај ја нејзината вредност;
• заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминаторот е негативен;
• пресметај го единствениот корен на равенката со формулата ако D \u003d 0;
• најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминаторот е позитивен.

Тука само забележуваме дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, формулата исто така може да се користи, таа ќе ја даде истата вредност како и.

Може да продолжите со примери за користење на алгоритам за решавање на квадратни равенки.

Примери за решавање на квадратни равенки

Размислете за решенија за три квадратни равенки со позитивни, негативни и нула дискриминанти. Кога се занимававме со нивното решение, по аналогија ќе биде можно да се реши која било друга квадратна равенка. Да почнеме.

Пример.

Пронајдете ги корените на равенката x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Одлука.

Во овој случај, ги имаме следниве коефициенти на квадратната равенка: a \u003d 1, b \u003d 2 и c \u003d −6. Според алгоритмот, прво треба да го пресметате дискриминаторот, за ова ги заменуваме наведените a, b и c во формулата за дискриминација, имаме D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Од 28\u003e 0, односно дискриминаторот е поголем од нула, квадратната равенка има два реални корени. Ги наоѓаме според корената формула, ги добиваме, тука можете да ги поедноставите изразите добиени со правење факторизирање на знакот на коренот со последователно намалување на фракцијата:

Одговор:

Да преминеме на следниот типичен пример.

Пример.

Решете ја квадратната равенка −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Одлука.

Започнуваме со наоѓање на дискриминаторот: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Затоа, оваа квадратна равенка има еден корен, што го наоѓаме како, т.е.

Одговор:

x \u003d 3,5.

Останува да се разгледа решението на квадратни равенки со негативен дискриминатор.

Пример.

Решете ја равенката 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

Одлука.

Еве ги коефициентите на квадратната равенка: a \u003d 5, b \u003d 6 и c \u003d 2. Заменувајќи ги овие вредности во формулата за дискриминација, имаме D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Дискриминаторот е негативен, затоа, оваа квадратна равенка нема вистински корени.

Ако треба да наведете сложени корени, тогаш ја применуваме добро познатата формула за корените на квадратната равенка и извршуваме комплексни операции со броеви:

Одговор:

нема вистински корени, сложените корени се како што следува:.

Уште еднаш, забележуваме дека ако дискриминаторот на квадратната равенка е негативен, тогаш на училиште тие обично веднаш запишуваат одговор во кој посочуваат дека нема вистински корени, а сложените корени не се наоѓаат.

Коренска формула за дури и други коефициенти

Формулата за корените на квадратната равенка, каде што D \u003d b 2 −4 a ln5 \u003d 2 7 ln5). Ајде да го извадиме.

Да речеме дека треба да решиме квадратна равенка на формата a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Ајде да ги најдеме нејзините корени користејќи ја формулата што ја знаеме. За да го направите ова, пресметајте го дискриминаторот D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 ca c), а потоа користете ја коренската формула:

Да го означиме изразот n 2 - a · c како D 1 (понекогаш се означува со Д "). Тогаш формулата за корените на разгледуваната квадратна равенка со вториот коефициент 2 n добива форма , каде што D 1 \u003d n 2 - a · c.

Лесно е да се види дека D \u003d 4 · D 1 или D 1 \u003d D / 4. Со други зборови, Д 1 е четвртиот дел од дискриминаторот. Јасно е дека знакот на Д 1 е ист како и знакот на Д. Тоа е, знакот на Д 1 е исто така индикатор за присуство или отсуство на корените на квадратната равенка.

Значи, за да се реши квадратната равенка со вториот коефициент 2 n, ви треба

• Пресметај D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Ако Д 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 \u003d 0, тогаш пресметај го единствениот корен на равенката со формулата;
• Ако D 1\u003e 0, тогаш најдете два вистински корени според формулата.

Размислете за решавање на пример користејќи ја коренската формула добиена во овој пасус.

Пример.

Решете ја квадратната равенка 5x2 6x - 32 \u003d 0.

Одлука.

Вториот коефициент на оваа равенка може да се претстави како 2 · (−3). Тоа е, можете да ја преработите оригиналната квадратна равенка во форма 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, тука a \u003d 5, n \u003d −3 и c \u003d −32 и да го пресметате четвртиот дел од дискриминаторот: D 1 \u003d n 2 ca c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Бидејќи нејзината вредност е позитивна, равенката има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја соодветната формула за коренот:

Забележете дека беше можно да се користи вообичаената формула за корените на квадратната равенка, но во овој случај, ќе треба да се направи поголема пресметковна работа.

Одговор:

Поедноставување на погледот на квадратни равенки

Понекогаш, пред да започнете со пресметување на корените на квадратната равенка со формули, не боли да се постави прашањето: „Дали е можно да се поедностави формата на оваа равенка“? Се согласувам дека во однос на пресметките ќе биде полесно да се реши квадратната равенка 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 од 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0.

Обично, поедноставување на формата на квадратна равенка се постигнува со множење или делење на двата дела со некој број. На пример, во претходниот пасус, успеавме да ја поедноставиме равенката 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 со делење на обете страни со 100.

Слична трансформација се спроведува со квадратни равенки, чии коефициенти не се. Во овој случај, обете страни на равенката обично се поделени со апсолутните вредности на нејзините коефициенти. На пример, да ја земеме квадратната равенка 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. апсолутните вредности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Поделувајќи ги обете страни на оригиналната квадратна равенка со 6, стигнуваме до еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

И множењето на обете страни на квадратната равенка обично се прави за да се ослободи од фракционите коефициенти. Во овој случај, множењето се врши од именителите на неговите коефициенти. На пример, ако обете страни на квадратната равенка се помножат со LCM (6, 3, 1) \u003d 6, тогаш тоа ќе добие поедноставна форма x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Како заклучок на оваа точка, забележуваме дека скоро секогаш се ослободуваме од минусот на водечкиот коефициент на квадратната равенка, менувајќи ги знаците на сите поими, што одговара на множење (или поделба) на двата дела со − 1. На пример, обично од квадратната равенка −2x2 −3x + 7 \u003d 0 се преминува на решението 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Однос помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на една равенка во однос на нејзините коефициенти. Врз основа на формулата за коренот, можете да добиете други зависности помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и применливи формули се од теоремата на Виета за формата и. Особено, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивниот знак, а производот на корените е еднаков на слободниот термин. На пример, според формата на квадратната равенка 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0, можеме веднаш да кажеме дека збирот на неговите корени е 7/3, а производот на корените е 22/3.

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, можете да го изразите збирот на квадратите на корените на квадратната равенка преку нејзините коефициенти:.

Список на препораки.

• Алгебра: студија за 8 кл. општо образование. институции / [Ју. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ед. S. A. Telyakovsky. - 16-то издание - М.: Образование, 2008 година .-- 271 стр. : лошо - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Алгебра. 8 одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за студенти на образовни институции / A. G. Mordkovich. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемосина, 2009 година. - 215 стр: лошо. ISBN 978-5-346-01155-2.