КОРИСТЕЊЕ 2018. Математика. ниво на профил. Решение на равенки и неравенки. Садовничи Ју.В.

М.: 2018. - 96 стр.

Оваа книга е посветена на задачи слични на задачата 15 од Обединетиот државен испит по математика (решавање равенки и неравенки). Различни методи за решавање на ваквите проблеми, вклучувајќи ги и оригиналните, се разгледуваат. Книгата ќе биде корисна за средношколци, професори по математика, тутори.

Формат: pdf

Големина: 860 Kb

Гледајте, преземете:диск.google

СОДРЖИНА
ВОВЕД 4
ПОГЛАВЈЕ 1. МЕТОД НА ИНТЕРВАЛ ЗА РЕШАВАЊЕ НА НЕРАВНОСТИ 6
Задачи за независна одлука 10
ПОГЛАВЈЕ 2. ОДГОВОРУВАЊЕ НА МОДУЛИ ВО РАВЕНКИ И НЕЕДНАКВИ 13
Задачи за самостојно решение 23
ГЛАВА 3. ИРАЦИОНАЛНИ РАВЕНКИ И НЕЕДНАКВИ 25
Задачи за самостојно решение 33
ПОГЛАВЈЕ 4. ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ И ЛОГАРСКИ РАВЕНКИ И НЕЕДНАКВИ 35
4.1. Основни формули и решение на наједноставните равенки и неравенки 35
4.2. Претворање на збирот и разликата на логаритми 36
Задачи за самостојно решение 41
4.3. Метод на замена со променлива 42
Задачи за самостојно решение 47
4.4. Разделување на неравенки 49
Задачи за самостојно решение 55
4.5. Премин кон нова база 56
Задачи за самостојно решение 60
ГЛАВА 5. РАВЕНКИ И НЕРАВЕНОСТ ОД МЕШЕН ТИП 61
Задачи за самостојно решение 68
ПОГЛАВЈЕ 6
Задачи за самостојно решение 75
ПОГЛАВЈЕ 7. СИСТЕМИ НА АЛГЕБРАСКИ РАВЕНКИ И НЕРАВЕНОСТИ 76
Задачи за самостојно решение 84
ОДГОВОРИ НА ЗАДАЧИ ЗА НЕЗАВИСНО РЕШЕНИЕ 88

Оваа книга е посветена на проблеми слични на проблемот 15 испит на профилотпо математика (равенки и неравенки). Книгата е поделена на поглавја по тема, материјалот во секое поглавје е претставен „од едноставни до сложени“.
Не е тајна дека проблемите 16-19 (планиметрија, проблем со зборови, проблем со параметри, проблем со цел број) се тешки за огромното мнозинство дипломци средно школо. Истото може да се каже и за проблемот 14 (стереометрија). Затоа, решената задача 15 (заедно со задачата 13) е можност да го зголемите вашиот резултат на КОРИСТЕЊЕТО на добро ниво.
Првите три поглавја се подготвителни, се занимаваат со решавање на неравенки со методот на интервал, равенки и неравенки кои содржат модул, ирационални равенки и неравенки.
Четвртото поглавје е главното во оваа книга, бидејќи задачите во него се најблиску до вистинската задача на 15-тиот профил на испит по математика. Ова поглавје е поделено на неколку делови, од кои секоја истражува некој метод за решавање на таков проблем.

Во овој видео туторијал детално ја анализирав прилично сериозната задача 15 од Единствениот државен испит по математика, кој ги содржи и логаритамските и фракциона рационална нееднаквост. Особено внимание се посветува на теоремата на Безут (за наоѓање корени на полином), како и на методот на делење на полиноми со агол (за факторинг).

Во оваа лекција, ќе анализираме систем од две неравенки од употребата во математиката:

⎧⎩⎨⎪⎪ дневник7-2 пати(x+6) ≤0x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 \лево\( \почеток(порамни)& ((\log )_(7-2x))\лево(x+6 \десно)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\крај (порамни) \десно.

Решавање на системот на неравенки

Како што можете да видите, системот се состои од логаритамска нееднаквост, како и класична фракциона рационална неравенка, но во процесот на решавање ќе откриеме дека оваа неравенка не е толку едноставна како што може да изгледа на прв поглед. Да почнеме со логаритамската. За да го направите ова, напишете го одделно:

дневник7-2 пати(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\лево(x+6 \десно)\le \text( )0

Како и секоја логаритамска нееднаквост, оваа конструкција е сведена на канонска форма, односно лево оставаме сè непроменето, но десно пишуваме на следниов начин:

дневник7-2 пати(x+6) ≤ дневник7-2 пати 1

((\log )_(7-2x))\лево(x+6 \десно)\le ((\log )_(7-2x))1

Како да се користи методот на рационализација

Сега го користиме методот на рационализација. Да потсетам дека ако имаме неравенство на формата

дневникк (x) f(x) ⋃ дневникк (x) g(x) ,

((\log )_(k\лево(x \десно)))f\лево(x \десно)\bigcup ((\log )_(k\left(x \десно)))g\лево(x \ право),

тогаш можеме да продолжиме на нешто како ова:

(ѓ (x) −g(x) )(к (x) -1)⋃0

\лево(f\лево(x \десно)-g\лево(x\десно) \десно)\лево(k\лево(x \десно)-1 \десно)\bigcup 0

Се разбира, оваа нееднаквост не го зема предвид доменот на логаритмот:

ѓ (x) >0

f\left(x\десно)>0

е (x) >0

g\left(x\десно)>0

1≠к (x) >0

1\ne k\лево(x\десно)>0

Значи, во улогата ѓ (x) f\left(x \десно) е линеарна функција x+6 x+6, а во улогата е (x) g\left(x \right) е едноставно 1. Затоа, ја препишуваме нашата логаритамска нееднаквост на системот на следниов начин:

(x+6−1) (7−2x−1)

\лево(x+6-1 \десно)\лево(7-2x-1 \десно)

Последниот 1 е оној x−1 x-1, што е во втората заграда. Сите овие се помали или еднакви на 0. При извршувањето на оваа трансформација се зачувува знакот за нееднаквост. Еве ги сличните во секоја заграда:

(x+5) (6−2x) ≤0

\лево(x+5 \десно)\лево(6-2x \десно)\le 0

Примена на методот интервал

Очигледно, ја имаме наједноставната неравенка, која лесно се решава со методот на интервал. Поставете ја секоја заграда на 0:

(+5) =0→= −5

\лево(+5 \десно)=0\до =-5

6−2=0→2=6

x=3

Сите овие точки (има две такви точки) ги означуваме на координатната линија. Забележете дека тие се засенчени:

Забележете ги знаците. За да го направите ова, земете кој било број поголем од 3. Првиот ќе биде "минус". Тогаш знаците наизменично се менуваат насекаде, бидејќи нема корени на дури мноштво. Ние сме заинтересирани за знакот помалку или еднакво, односно знакот минус. Ги сликаме потребните области. Да ве потсетам дека кога решаваме неравенки со методот на интервал, заменуваме 1 милијарда во последниот израз што го добивме пред да преминеме на равенките.

Така, најдовме комплети. Но, како што разбирате, ова сè уште не е решение за нееднаквоста. Сега од нас се бара да го најдеме доменот на логаритмот. За да го направите ова, ги пишуваме следните функции:

Погрешно вгнездување на структури на равенки

\лево[ \почеток(порамни)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\крај (порамни) \десно.=>\лево[ \почеток(порамни )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\крај (порамни) \десно.=>\лево[ \почеток(порамни)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Значи, добивме три симултани барања, т.е. сите овие нееднаквости мора да бидат задоволени истовремено. Да повлечеме линија паралелна со нашиот кандидат за одговор:

Го добивме конечниот одговор за првиот елемент на системот:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3,5 \десно). Во овој момент, многу студенти имаат прашање. Погледнете, 3 е избришана од едната страна, но од друга страна , се пополнува истата точка. Па, како да се означи како резултат? За правилно и еднаш засекогаш да се справите со ова прашање, запомнете едно едноставно правило.

Што значи пресек на множества? Ова е сет што истовремено влегува и во првиот и во вториот сет. Со други зборови, пополнувајќи ја сликата подолу, бараме точки кои припаѓаат и на првата и на втората линија во исто време. Затоа, ако која било точка не припаѓа на барем една од овие линии, тогаш како и да изгледа на втората линија, таа не ни одговара. А, конкретно, со 3 се случува токму оваа приказна: од една страна кај кандидатите за одговор ни одговара точка 3, бидејќи е обоена, но од друга страна, 3 е пробиена поради доменот на логаритам, и, според тоа, во последниот сет оваа точка мора да се исфрли. Сè, одговорот на првата логаритамска нееднаквост на системот е целосно оправдан. За да бидам безбеден, ќе го дуплицирам повторно:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \десно]\bigcup \left(3;3,5 \десно)

Решавање на дробно-рационална неравенка

x− x−3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Сега движете се -1 налево:

x+1− x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

x+1 1 −x−3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\лево(x+6 \десно )\лево(x+2 \десно))\le 0

Целата структура ја доведуваме до заеднички именител:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (x2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+1 \десно)\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно)-\лево(x-3 \десно)\лево(x+2 \десно)- \лево(((x)^(2))+27x+90 \десно))(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

Ајде да ги прошириме заградите:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+2 \десно)\лево(\лево(x+1 \десно)\лево(x+6 \десно)-\лево(x-3 \десно) \десно)-((x )^(2))-27x-90)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

x3 +6x2 +9x+2 x2 +12x+18− x2 −27x−90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

x3 +7x2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно))\le 0

Што може да се каже за добиената нееднаквост? Прво, тоа е фракционо рационално, а именителот е веќе факторизиран. Затоа, најдобрата опција би била да се реши оваа нееднаквост со методот на интервал. Меѓутоа, за да се реши со методот на интервал, потребно е и да се факторизира броителот. Ова е главната тешкотија, бидејќи броителот е полином од трет степен. Кој се сеќава на формулата за корени од трет степен? Лично, не се сеќавам. Но, ова нема да ни треба.

Сè што ни треба е теоремата на Безут, поточно не самата теорема, туку една од нејзините најважни последици, која го наведува следново: ако полиномот со целобројни коефициенти има корен x1 ((x)_(1)), а тој е цел број, тогаш слободниот коефициент (во нашиот случај 72) нужно ќе биде делив со x1 ((x)_(1)). Со други зборови, ако сакаме да ги најдеме корените на оваа кубна равенка, тогаш сè што треба да направиме е само да „копаме“ во факторите во кои се разложува бројот 72.

Да го пресметаме бројот 72 во прости множители:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\cточка 9=2\cточка 2\cточка 2\cточка 3\cточка 3

Значи, треба да ги поминеме сите комбинации на двојки и тројки за да добиеме барем еден корен од нашиот кубен израз. На прв поглед, може да изгледа дека ова е комбинаторна задача, но всушност, сè не е толку страшно. Да почнеме со минималниот број:

x=2

Ајде да провериме дали 2 е одговорот. За да го направите ова, запомнете што е корен. Ова е број кој кога ќе се замени во полином го претвора во 0. Да го замениме:

(2) =8+28−12−72<0

\лево(2\десно)=8+28-12-72<0

Го добиваме тоа x−2 x-2 не е соодветен. Само напред. Да земеме 4:

(4) =64+112−24−72>0

\лево(4\десно)=64+112-24-72>0

x=4 x=4 исто така не е коренот на нашата конструкција.

Само напред. Што е следно x x ќе анализираме? За да одговориме на ова прашање, да забележиме еден интересен факт: кога x−2 x-2 нашиот полином беше негативен, а за x=4 x=4 испадна дека е веќе позитивно. Тоа значи дека некаде помеѓу точките 2 и 4 нашиот полином ја пресекува оската x x. Со други зборови, некаде на овој сегмент, нашата се претвора во 0. Тоа значи дека оваа точка ќе биде саканиот број. Ајде да размислиме кој цел број се наоѓа помеѓу 4 и 2. Очигледно, само 3 и 3 се присутни во проширувањето, така што тој навистина може да биде коренот на нашиот израз. Размислете за оваа опција:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\лево(3\десно)=27+63-18-72=90-90=0

Одлично, нашата хипотеза се потврди. Навистина, x=3 x=3 е коренот на нашата конструкција. Но, како ова ни помага да земеме даден полином? Многу едноставно. Сите од истата теорема на Безут произлегува дека ако x1 ((x)_(1)) е корен од полиномот стр (x) p\left(x \right), што значи дека можеме да го напишеме следново:

x1 :p(x)=Q(x) (x− x1 )

((x)_(1)): p\лево(x \десно)=Q\лево(x \десно)\лево(x-((x)_(1)) \десно)

Со други зборови, знаејќи x1 ((x)_(1)) можеме да тврдиме дека при факторизацијата на нашиот израз нужно ќе има фактор x1 ((x)_(1)). Во нашиот случај, можеме да напишеме дека нашиот полином нужно има фактор во неговото проширување (x−3)\left(x-3 \right) бидејќи 3 е неговиот корен.

x3 +7x2 −6x−72x−3=x2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Со други зборови, можеме да ја преработиме нашата нееднаквост од системот на следниов начин:

(x+3) (x2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+3 \десно)\лево(((x)^(2))+10x+24 \десно))(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно ))\ le 0

Забележете дека во втората заграда на броителот има квадратен трином, кој исто така е многу едноставно факторизиран, добиваме:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\лево(x+3 \десно)\лево(x+6 \десно)\лево(x+4 \десно))(\лево(x+6 \десно)\лево(x+2 \десно) )\le 0

Тоа е сè, останува само да се напишат корените:

x=3

≠−6(2к)

\ne -6\лево(2k\десно)

=−4

≠−2

Да ги означиме сите овие точки, кои можат да бидат решение за системот, на координатната линија x x:

За да ги одредиме знаците, земаме кој било број поголем од 3, заменуваме во секоја од овие загради и добиваме пет позитивни броеви, односно десно од 3 е знакот плус. Тогаш знаците се менуваат насекаде, но во -6 ништо не се менува, бидејќи -6 е коренот на втората множина. Ние сме заинтересирани за оние области каде што знакот на функцијата е негативен, па затоа ги засенуваме „минусите“.

Севкупно, можеме да го запишеме решението за нашата оригинална нееднаквост - тоа ќе биде како што следува:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty;-6 \десно)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \десно]

Завршни чекори

Ја решивме втората нееднаквост на нашиот систем, а сега останува да го решиме самиот систем, т.е. да ги пресечеме множествата што ги добивме. За да го направите ова, предлагам да се изгради друга линија паралелна на нашите две стари линии одговорни за логаритамската нееднаквост од системот:

Можеме да го напишеме конечниот одговор на вториот елемент од системот на неравенки: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Сега можеме да се вратиме на нашиот систем и да го запишеме последниот сет:

x∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text()-5 \десно]

Клучните точки

Има неколку клучни точки во оваа задача одеднаш:

1. Треба да бидете способни да решавате логаритамски неравенки користејќи го преминот кон канонската форма.
2. Треба да бидете способни да работите со фракциони рационални нееднаквости. Ова е генерално материјал за оценките 8-9, па ако работите со логаритми, тогаш ќе ги разберете фракционите рационални неравенки.
3. Теорема на Безут. Најважната последица на оваа теорема е фактот што корените на полиномот со целобројни коефициенти се делители на неговиот слободен член.

Инаку, ова е едноставна, иако прилично обемна задача за решавање на систем од равенки. Одредени потешкотии во решавањето на системот може да се појават и во пресекот на сите множества, особено оние поврзани со точката 3. Овде сè е многу едноставно: само запомнете дека пресекот значи барање сите неравенки да се исполнуваат истовремено, т.е. саканата точка мора да се пополни во на сите три оски. Ако барем на една оска не е пополнета или издупчена, тогаш таквата точка не може да биде дел од одговорот.