Учебник Ју. Н. Макаричев и др. Тема на часот: Цели равенки. Равенки на распаѓање Метод на равенки на распаѓање за нивно решавање

Останува да ги разгледаме множествата дадени со равенки (35,21), (35,23), (35,30), (35,31), (35,32), (47,7), (47,22) и (35,20)

Дефиниција 47.16.Се нарекува површина од втор ред распаѓање ако се состои од две површини од прв ред.

Како пример, разгледајте ја површината дадена со равенката

Левата страна на еднаквоста (35.21) може да се разложи на фактори

(47.36)

Така, точка лежи на површината дадена со равенка (35.21) ако и само ако нејзините координати задоволуваат една од следниве равенки или. И ова се равенки на две рамнини, кои, според став 36 (види став 36.2, 10-ти ред на табелата), минуваат низ оската на ОЗ. Оттука , равенката (35.21) дефинира површина што се распаѓа, поточно, две рамни што се пресекуваат.

Задача: Докажете дека ако површината е истовремено цилиндрична и конусна, а исто така се состои од повеќе од една права линија, тогаш таа се распаѓа, т.е. содржи одредена рамнина.

Размислете сега за равенката (35.30)

Може да се разложи на две линеарни равенки и. Така, ако точка лежи на површината дадена со равенка (35,30), тогаш нејзините координати мора да задоволат една од следниве равенки: и. И ова, според став 36 (види стр. 36.2 6 ред од табелата), е равенка на рамнините паралелни на рамнината. Така, равенката (35,30) дефинира две паралелни рамнини и е исто така распаѓачка површина.

Забележете дека секој пар рамнини и може да се специфицира со следната равенка од втор ред. Равенките (35,21) и (35,30) се канонски равенки на две рамнини, односно нивните равенки во специјално избраниот координатен систем, каде што тие (овие равенки) имаат наједноставна форма.

Равенката исто (35.31)

генерално, тоа е еквивалентно на една линеарна равенка y \u003d 0 и претставува една рамнина (според став 36 стр. 36.2, 12 ред од табелата, оваа равенка дефинира рамнина).

Забележете дека секоја рамнина може да се специфицира со следната равенка од втор ред.

По аналогија со равенката (35,30) (at), понекогаш се вели дека еднаквоста (35,20) дефинира две споени паралелни рамнини.

Сега се свртивме кон дегенерирани случаи.

1. Еквивација (35.20)

Забележете дека точката М (x, y, z) припаѓа на множеството дадено со равенка (35,20) ако и само ако нејзините први две координати x \u003d y \u003d 0 (и нејзината трета координата z може да биде која било). Ова значи дека равенката (35,20) дефинира една права линија - оската на апликацијата OZ.

Забележете дека равенката на која било права (види став 40, точка 40.1, како и став 37, систем (37.3)) може да се дефинира со следната равенка од втор ред. Еднаквост (35,20) е канонскиравенка од втор ред за права линија, т.е. неговата равенка од втор ред во специјално избраниот координатен систем, каде што таа (оваа равенка) ја има наједноставната.

2. Равенката (47.7)

Равенката (47,7) може да ја задоволи само една тројка на броевите x \u003d y \u003d z \u003d 0. Така, еднаквоста (47,7) во комплети простор само една точка О (0; 0; 0) - потекло на координатите; координатите на која било друга точка во просторот не можат да ја задоволат еднаквоста (47,7). Забележете исто така дека множеството кое се состои од една точка може да се специфицира со следната равенка од втор ред:

3. Равенка (35,23)

И оваа равенка воопшто не може да биде задоволена од координатите на која било точка во просторот, т.е. тоа дефинира празен сет... По аналогија со равенка (33,4)

(видете Дел 47.5, Дефиниција 47.8), тој исто така се нарекува имагинарен елиптичен цилиндар.

4.Равенка (35,32)

Координатите на која било точка во просторот, исто така, не можат да ја задоволат оваа равенка, затоа и дефинира празен сет. По аналогија со слична равенка (35,30), оваа „површина“ се нарекува и имагинарна паралелна рамнина.

5. Равенката (47.22)

И оваа равенка не може да биде задоволена од координатите на која било точка во просторот, и, според тоа, таа дефинира празен сет... По аналогија со еднаквоста со еднаквоста (47.17) (види Дел 47.2), овој сет се нарекува и имагинарен елипсоид.

Сите случаи се разгледани.

ДОКУМЕНТИ НА АКАДЕМИЈАТА ЗА НАУКИ, 2008 година, том 420, бр.6, стр. 744-745

МАТЕМАТИЧКА ФИЗИКА

РЕШЕНИЕ РЕШЕНИЈА НА РЕКВАЦИЈАТА ВЕСЕЛОВ-НОВИКОВ

© 2008 Дописен член на РАС I. А. Таиманов, С. П. Царев

Добиено на 14 февруари 2008 година

Равенка Веселов-Новиков

u, \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o, E V \u003d E u,

каде E \u003d (Ex - ¿Ey), E \u003d 1 (Ex + ¿Ey), е дводимензионална генерализација на равенката Korteweg-de Vries (KdV)

и, \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih,

во која влегува во еднодимензионалната граница: V \u003d u \u003d u (x). Равенката (1) ги дефинира деформациите на дводимензионалниот оператор Шредингер

ја специфицира трансформацијата на решението φ на равенката Hf \u003d 0 во решението b на равенката H b \u003d 0, каде што

H \u003d EE + u, u \u003d u + 2 EE 1n w.

Во еднодимензионалната граница, трансформацијата Мутар е сведена на добро познатата трансформација Дарбус.

Трансформацијата на мутарот се шири во трансформација на системските решенија

Hf \u003d 0, f (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) f, ^^^

каде што Э V \u003d Эи, ЭV * \u003d Э и, што е непроменливо при трансформација (проширена трансформација на Мутар)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Eph) dz- (f Eyu-Ef) dz +

од формата H1 \u003d HA + 5H, каде што A, B се диференцијални оператори. Ваквите деформации го зачувуваат „спектарот“ на операторот H на нула ниво на енергија, трансформирајќи ги решенијата на равенката

Hf \u003d (EE + u) f \u003d 0 (3)

според (На пр. + А) φ \u003d 0.

Постои метод за конструирање на нови решенија (u, φ) равенка (3) од стари решенија (u, φ) на оваа равенка, што се сведува на квадратури - трансформација на Мутар. Се состои во следново: нека се даде оператор H со потенцијал u и решение w равенка (3): Hw \u003d 0. Потоа формулата

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

Институт за математика. С.Л. Соболев, Сибирска гранка на Руската академија на науките, Новосибирск

Државен педагошки универзитет во Краснојарск

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3V (f Esh - w Ef) + 3 V * (w Ef - f Esh)] dt),

u ^ u + 2EE lnm, V ^ V + 2E21nm,

V * ^ u * + 2E21psh,

каде w задоволува (4).

Равенката Веселов-Новиков (1) е

условот за компатибилност за системот (4) во V * \u003d V.

Кога решението w е реално, условите u \u003d u u

V * \u003d V се зачувани и проширената трансформација на Мутар преведува вистински решенија и

равенка (1) во други реални решенија и оваа равенка.

Сите рационални солитони на равенката KdV се добиваат со повторување на Дарбосовата трансформација од потенцијалниот u \u003d 0. Покрај тоа, сите резултирачки потенцијали се еднина.

Во дводимензионалниот случај, слична конструкција може да доведе до несингуларни, па дури и брзо опаѓање на потенцијалите веќе по две повторувања.

ОДЛУЧУВАЕ РЕШЕНИЈА НА РАВЕНКА

токи-токи. Имено, нека u0 \u003d 0 и ω1 ω2 се вистински решенија на системот (4):

u, \u003d Γ (z, z) + f (z, z), \u003d i (z, z) + i (z, z), (5)

каде / и π се холоморфни во r и ги задоволуваат равенките

fg \u003d ехе "јаг \u003d ееј"

Секоја од функциите uj u2 ја дефинира (проширена) трансформација на Moutard на потенцијалот u \u003d 0 и соодветните решенија на системот (4). Ајде да ги назначиме како Му и Ма. Како резултат на потенцијалите ние

означуваме со u1 \u003d Myu (u0), u2 \u003d Myu (u0).

Нека δ1 e My (ω2), т.е. b1 се добива од ω2 со трансформација на M ω. Забележете дека трансформацијата на Мутар за φ зависи од постојаната интеграција. Избираме постојана таква што b1 е реална функција. Изборот на константа ни овозможува често да ја контролираме несингларноста на повторениот потенцијал (ова ќе го користиме во специфични примери).

Едноставна проверка покажува дека b2 \u003d - b1 f

е му (ех) Добро познатата лема важи, што е точно за произволен потенцијал u0.

Лема 1. Нека u12 \u003d M01 (u2) и u21 \u003d M02 (u2). Потоа u12 \u003d u21.

За случајот u0 \u003d 0, имаме Лема 2. Нека ω1 и ω2 имаат форма (5). Тогаш потенцијалот u \u003d Mb (My (u0)), каде што u0 \u003d 0 и b1 e My (u2), е даден со формулата

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fя") dg + + (GY - GI) dr) +1 (G "I - fя" "+ 2 (f" I " - GZ) + + GY "" - G "" z + 2 (zi - zi ")) dz).

Забележете дека дури и за стационарни почетни решенија ω1, ω2 на системот (4), можеме да добиеме решение на равенката Веселов-Новиков со нетривијална динамика во r.

Теорема 1. Нека U (z, z) е рационален потенцијал добиен со двојната Moutard трансформација од ω1 \u003d iz2 - i ~ z, ffl2 \u003d z2 + (1 +

I) z + ~ z + (1 - i) z. Потенцијалниот U е несингуларен и се намалува како r-3 за r ^ Решение на равенката Веселов-Новиков (1) со првичните податоци

U \\ t \u003d 0 \u003d U станува еднина во конечно време и има единственост на формата

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

Коментар Равенката Веселов-Новиков е непроменлива под трансформацијата t ^ -t, z ^ -z. Лесно е да се види дека решението за ова

равенката со првичните податоци U (z, z, 0) \u003d U (-z, - z) е редовна за сите t\u003e 0.

Рационалниот потенцијал (1) даден во работата се намалува како r-6 и дава стационарно несунгуларно решение на равенката Веселов-Новиков. Избор на f (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t, лесно е да се добијат решенија на равенката Веселов-Новиков, намалувајќи се на бесконечност, несунгуларно на t \u003d 0 и има сингуларитети во конечни времиња t\u003e t0.

Имајте на ум дека решенијата на равенката Кортевег-де Врис со мазни, брзо опаѓачки почетни податоци остануваат несингуларни за t\u003e 0 (види, на пример,).

Оваа работа беше извршена со делумна финансиска поддршка од Руската фондација за основно истражување (кодови на проектот 06-01-00094 за И.А.Т. и 06-01-00814 за С.П.Т.с.).

СПИСОК НА ЛИТЕРАТУРА

1. Веселое АП, Новиков СП // ДАН. 1984. T. 279, број 1. S. 20-24.

2. Дубровин Б А., Кричевер И.М., Новиков С.П. // ДАН. 1976. T. 229. No 1. S. 15-19.

Наставникот ги поздравува учениците и објавува:

Денес ќе продолжиме да работиме со вас на темата: цели равенки

Ние треба да ги консолидираме вештините за решавање на равенки со степен повисок од вториот; научете за трите главни класи на цели равенки, совладувајте начини за нивно решавање

На задната страна на таблата, двајца студенти веќе подготвија решение # 273 и се подготвени да одговорат на прашањата на студентите

Дечки, предлагам малку да се потсетиме на теоретските информации што ги научивме на претходната лекција. Ве замолувам да одговорите на прашањата

Која равенка со една променлива се нарекува цел број? Дајте примери

Како го наоѓате степенот на цела равенка?

На која форма може да се намали равенката од прв степен

Кое ќе биде решението за таквата равенка

На која форма може да се намали равенка од втор степен?

Како да се реши таквата равенка?

Колку корени ќе има?

На која форма може да се намали равенката од трет степен?

Равенка на четврти степен?

Колку корени можат да имаат?

Денес, момци, ќе научиме повеќе за целосните равенки: ќе проучиме начини да решиме 3 главни класи на равенки:

1) Биквадратни равенки

Ова се равенки на формата
, каде x е променлива, a, b, c се некои броеви и a ≠ 0.

2) Равенки на распаѓање, кои се сведени на формата A (x) * B (x) \u003d 0, каде што A (x) и B (x) се полиноми во однос на X.

Веќе делумно ги решивте равенките што се распаѓаат на претходниот час.

3) Равенки решени со промена на променливата.

УПАТСТВО

Сега секоја група ќе добие картички кои детално го опишуваат методот на решавање, треба заеднички да ги анализирате овие равенки и да ги завршите задачите на оваа тема. Во вашата група, проверете ги одговорите со оние на вашите другари, пронајдете грешки и дојдете до заеднички одговор.

Откако секоја група ги разработи своите равенки, ќе треба да им се објасни на другите групи на таблата. Размислете за кого делегирате од групата.

РАБОТА ВО ГРУПИ

За време на групната работа, наставникот забележува како децата размислуваат за тоа дали тимовите се формирани, дали децата имаат водачи.

Дава помош доколку е потребно. Ако група се справила со задачата порано од другите, тогаш наставникот сè уште ги има равенките од оваа картичка на зголемена сложеност на залиха.

ЗАШТИТА НА КАРТИЧКИ

Наставникот нуди да одлучи, ако момците сè уште не го сториле ова, кој ќе ја брани картата на таблата.

Наставникот може, за време на работата на водачите, да го поправи својот говор ако направи грешки.

Значи, момци, се слушавте едни со други, равенките за сопственото решение се напишани на таблата. Зафатете се со бизнис

Ур. Игр.

IIгр.

IIIгр.

Треба да ги решите оние равенки што ги немате.

Бр. 276 (б, г), 278 (б, г), 283 (а)

Па момци, денес го проучувавме решението за нови равенки во групи. Дали мислите дека нашата работа помина добро?

Дали ја достигнавме целта?

Што ве спречуваше во работата?

Наставникот ги оценува најактивните деца.

БЛАГОДАРАМ ЗА ЧАСОТ !!!

Во блиска иднина се препорачува да се изврши независна работа што содржи равенки анализирани на оваа лекција.

„Решавање равенки на повисоки степени“ - Што значи да се реши равенка? Задачите на првата фаза. ПРЕТПРЕМЕН (проверете дали има d / h). Решавање равенки на повисоки степени. Кои видови равенки се запишуваат на таблата? Физичка едукација. Фаза II Опција за независна работа 1 опција 2. Како се нарекува коренот на равенката? Шема на решенија линеарна равенка квадратна равенка биквадратна равенка.

„Методи за решавање на равенки и нееднаквости“ - Антички Египет. Кубни равенки. Нестандардни методи за решавање на равенки и нееднаквости. Идејата за хомогеност. Графички начин за решавање на равенки што содржат модул. Нееднаквости со модулот. Решавање равенки за коефициенти. Оригиналната нееднаквост не содржи никакво решение. Збирот на плоштадот.

„Равенки и нееднаквости“ - Замена. Пронајдете ја апсцисата на точката на пресек на графиконите со функции. По која вредност на а е бројот на корените на равенката. "Графичкиот метод. Се состои во следново: цртање на графикони на две функции во еден координатен систем. Решенија на равенки и нееднаквости." Пронајдете го најмалото природно решение за нееднаквоста.

„Дробни равенки“ - Решајте ја добиената равенка. Квадратна равенка има 2 корени ако …… Елиминирајте ги корените што не се вклучени во прифатливите вредности на дропките на равенката. … Вашето писмо. Висока душа “. Алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки. И запомнете - што е главната работа кај една личност? Дробни рационални равенки. Колку корени има оваа равенка? 4. Како се вика оваа равенка?

„Решавање на логаритамски равенки“ - Ако равенката содржи логаритми со различни основи, тогаш пред сè, треба да ги намалите сите логаритми на една база користејќи ги формулите за транзиција. Пресметај ги вредностите на изразот. Дефиниција: Да се \u200b\u200bсумира материјалот за својствата на логаритмите, логаритамска функција; разгледајте ги основните методи за решавање на логаритамски равенки; развиваат усмени вештини.

„Методи за решавање на логаритамски равенки“ - Пронајдете. Решавање на логаритамски равенки. Она што се нарекува логаритам. Систематизирајте го знаењето на студентите. Креативна работа... Пронајдете ја грешката. Систем на равенки. Решавање на логаритамски равенки со различни методи. Опција I Опција II. Дадената функција. Метод за воведување нова променлива. Спореди. Методи за решавање на логаритамски равенки.

Вкупно има 49 презентации