Примери за математички очекувања. Математичкото очекување е распределба на веројатност на случајна променлива. Користење на математичко очекување во Forex
Математичко очекување (просечна вредност) случајна променлива X даден на дискретен простор за веројатност се нарекува број m =M[X]=∑x i p i ако серијата апсолутно конвергира.
Целта на услугата. Користење на онлајн услугата се пресметуваат очекуваната вредност, варијанса и стандардна девијација(види пример). Дополнително, се црта график на функцијата за распределба F(X).
Својства на математичкото очекување на случајна променлива
- Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на себе: M[C]=C, C – константа;
- M=C M[X]
- Математичкото очекување од збирот на случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања: M=M[X]+M[Y]
- Математичкото очекување од производот на независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања: M=M[X] M[Y] , ако X и Y се независни.
Карактеристики на дисперзија
- Варијансата на константна вредност е нула: D(c)=0.
- Константниот фактор може да се извади од под знакот на дисперзија со негово квадратирање: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ако случајните променливи X и Y се независни, тогаш варијансата на збирот е еднаква на збирот на варијансите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ако случајните променливи X и Y се зависни: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Следната пресметковна формула е валидна за дисперзија:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Пример. Познати се математичките очекувања и варијанси на две независни случајни променливи X и Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на случајната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Врз основа на својствата на математичкото очекување: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Врз основа на својствата на дисперзија: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Алгоритам за пресметување на математичко очекување
Својства на дискретни случајни променливи: сите нивни вредности може да се пренумерираат природни броеви; Доделете ја секоја вредност не-нулта веројатност.- Ги множиме паровите еден по еден: x i со p i .
- Додадете го производот на секој пар x i p i.
На пример, за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Пример бр. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| стр i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Математичкото очекување го наоѓаме користејќи ја формулата m = ∑x i p i .
Очекување M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Варијансата ја наоѓаме користејќи ја формулата d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Варијанса D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандардна девијација σ(x).
σ = sqrt (D[X]) = sqrt (7,69) = 2,78
Пример бр. 2. Дискретна случајна променлива ја има следната дистрибутивна серија:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| Р | А | 0,32 | 2а | 0,41 | 0,03 |
Решение. Вредноста на a се наоѓа од релацијата: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24 = 3 a , од каде a = 0,08
Пример бр. 3. Одреди го законот за распределба на дискретна случајна променлива ако е позната нејзината варијанса и x 1
стр 1 =0,3; стр 2 =0,3; стр 3 =0,1; стр 4 =0,3
d(x)=12,96
Решение.
Овде треба да креирате формула за наоѓање на варијансата d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
каде што очекувањето m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите податоци
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соодветно на тоа, треба да ги најдеме корените на равенката, а ќе има два од нив.
x 3 =8, x 3 =12
Изберете го оној што го задоволува условот x 1
Закон за распределба на дискретна случајна променлива
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
стр 1 =0,3; стр 2 =0,3; стр 3 =0,1; стр 4 =0,3
Решение:
6.1.2 Својства на математичкото очекување
1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа.
2. Константниот фактор може да се извади како знак на математичкото очекување. 
3. Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.
Ова својство е точно за произволен број на случајни променливи.
4. Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите.
Ова својство важи и за произволен број на случајни променливи.
Пример: М(Х) = 5, M(Y)= 2. Најдете го математичкото очекување на случајна променлива З, применувајќи ги својствата на математичкото очекување, доколку се знае дека Z=2X+3Y.
Решение: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) математичкото очекување на збирот е еднакво на збирот на математичките очекувања
2) константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување
Нека се изведат n независни испитувања, веројатноста за појава на настанот А во кој е еднаква на стр. Тогаш важи следнава теорема:
Теорема. Математичкото очекување M(X) на бројот на појавувања на настанот А во n независни испитувања е еднакво на производот од бројот на испитувања и веројатноста за појава на настанот во секое испитување.
6.1.3 Дисперзија на дискретна случајна променлива
Математичкото очекување не може целосно да карактеризира случаен процес. Покрај математичкото очекување, неопходно е да се внесе вредност што го карактеризира отстапувањето на вредностите на случајната променлива од математичкото очекување.
Ова отстапување е еднакво на разликата помеѓу случајната променлива и нејзиното математичко очекување. Во овој случај, математичкото очекување на отстапувањето е нула. Ова се објаснува со фактот дека некои можни отстапувања се позитивни, други се негативни, а како резултат на нивното меѓусебно откажување се добива нула.
Дисперзија (расфрлање)на дискретна случајна променлива е математичкото очекување на квадратното отстапување на случајната променлива од нејзиното математичко очекување.
Во пракса, овој метод на пресметување на варијансата е незгоден, бидејќи доведува до незгодни пресметки за голем број вредности на случајни променливи.
Затоа, се користи друг метод.
Теорема. Варијансата е еднаква на разликата помеѓу математичкото очекување на квадратот на случајната променлива X и квадратот на нејзиното математичко очекување.
Доказ. Имајќи го предвид фактот дека математичкото очекување M(X) и квадратот на математичкото очекување M2(X) се константни величини, можеме да напишеме:
Пример. Најдете ја варијансата на дискретна случајна променлива дадена со законот за распределба.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| Р | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Решение:.
6.1.4 Својства на дисперзија
1. Варијансата на константна вредност е нула. .
2. Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање. 
.
3. Варијансата на збирот на две независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на овие променливи. .
4. Варијансата на разликата помеѓу две независни случајни променливи е еднаква на збирот на варијансите на овие променливи. .
Теорема. Варијансата на бројот на појавувања на настанот А во n независни испитувања, во секое од кои веројатноста p за појава на настанот е константна, е еднаква на производот од бројот на испитувања според веројатностите за појава и не- појава на настанот во секое судење.
Пример: Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во 2 независни испитувања, ако веројатноста за појава на настанот во овие испитувања е иста и се знае дека M(X) = 1,2.
Да ја примениме теоремата од делот 6.1.2:
M(X) = np
М(Х) = 1,2; n= 2. Ајде да најдеме стр:
1,2 = 2∙стр
стр = 1,2/2
q = 1 – стр = 1 – 0,6 = 0,4
Ајде да ја најдеме варијансата користејќи ја формулата:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Стандардна девијација на дискретна случајна променлива
Стандардна девијацијаслучајната променлива X се нарекува квадратен корен на варијансата.
(25)
Теорема. Стандардната девијација на збирот на конечен број меѓусебно независни случајни променливи е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на стандардните отстапувања на овие променливи.
6.1.6 Мод и медијана на дискретна случајна променлива
Мода M o DSVсе нарекува најверојатната вредност на случајната променлива (т.е. вредноста што има најголема веројатност)
Медијана M e DSVе вредноста на случајна променлива која ја дели серијата на дистрибуција на половина. Ако бројот на вредности на случајна променлива е парен, тогаш медијаната се наоѓа како аритметичка средина на две просечни вредности.
Пример: Најдете го режимот и медијаната на DSV X:
| X | ||||
| стр | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
М е = = 5,5
Напредок
1. Запознајте се со теоретскиот дел од оваа работа (предавања, учебник).
2. Завршете ја задачата според вашата верзија.
3. Направете извештај за работата.
4. Заштитете ја вашата работа.
2. Цел на работата.
3. Работен напредок.
4. Решавање на сопствената опција.
6.4 Опции за задачи за самостојна работа
Опција број 1
1. Најдете го математичкото очекување, дисперзија, стандардна девијација, режим и медијана на DSV X, дадени со законот за распределба.
| X | ||||
| П | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во две независни испитувања, ако веројатностите за појава на настани во овие испитувања се исти и се знае дека M (X) = 1.
4. Дадена е листа на можни вредности на дискретна случајна променлива X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5, а познати се и математичките очекувања на оваа вредност и нејзиниот квадрат: , . Најдете ги веројатностите , , , што одговараат на можните вредности на , и изгответе го законот за распределба на DSV.
Опција бр. 2
| X | ||||
| П | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во три независни испитувања, ако веројатностите за појава на настани во овие испитувања се исти и се знае дека M (X) = 0,9.
4. Даден е список на можни вредности на дискретна случајна променлива X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, а познати се и математичките очекувања на оваа вредност и нејзиниот квадрат: , . Најдете ги веројатностите , , , што одговараат на можните вредности на , и изгответе го законот за распределба на DSV.
Опција број 3
1. Најдете ги математичкото очекување, дисперзија и стандардна девијација на DSV X, дадени со законот за распределба.
| X | ||||
| П | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Најдете го математичкото очекување на случајната променлива Z ако се познати математичките очекувања на X и Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Најдете ја варијансата на DSV X - бројот на појавувања на настанот А во четири независни испитувања, ако веројатностите за појава на настани во овие испитувања се исти и се знае дека M (x) = 1,2.
– бројот на машки деца меѓу 10 новороденчиња.
Апсолутно е јасно дека оваа бројка не е однапред позната, а следните десет родени деца може да вклучуваат:
Или момчиња - еден и единственод наведените опции.
И, за да се одржите во форма, малку физичко образование:
– скок во далечина (во некои единици).
Дури ни мајстор на спорт не може да го предвиди :)
Сепак, вашите хипотези?
2) Континуирана случајна променлива – прифаќа Ситенумерички вредности од некој конечен или бесконечен интервал.
Забелешка : кратенките DSV и NSV се популарни во образовната литература
Прво, да ја анализираме дискретната случајна променлива, потоа - континуирано.
Закон за распределба на дискретна случајна променлива
- Ова кореспонденцијапомеѓу можните вредности на оваа количина и нивните веројатности. Најчесто, законот е напишан во табела: 
Терминот се појавува доста често ред
дистрибуција, но во некои ситуации звучи двосмислено и затоа ќе се задржам на „законот“.
И сега многу важна точка: бидејќи случајната променлива Задолжителноќе прифати една од вредностите, потоа се формираат соодветните настани целосна групаа збирот на веројатностите за нивно појавување е еднаков на еден:
или, ако е напишано кондензирано:
Така, на пример, законот за распределба на веројатност на точките валани на матрица ја има следната форма: 
Нема коментари.
Можеби имате впечаток дека дискретна случајна променлива може да земе само „добри“ цели броеви. Ајде да ја отфрлиме илузијата - тие можат да бидат што било:
Пример 1
Некои игри го имаат следниов закон за победничка дистрибуција: 
...сигурно долго време сонувавте за вакви задачи :) Ќе ви кажам една тајна - и јас. Особено по завршувањето на работата на теорија на терен.
Решение: бидејќи случајната променлива може да земе само една од трите вредности, се формираат соодветните настани целосна група, што значи дека збирот на нивните веројатности е еднаков на еден: 
Разобличување на „партизанот“: 
– така, веројатноста за освојување на конвенционалните единици е 0,4.
Контрола: тоа е она во што требаше да се увериме.
Одговори:
Не е невообичаено кога треба сами да изготвите закон за распределба. За ова користат класична дефиниција на веројатност, Теореми за множење/собирање за веројатности на настании други чипови тервера:
Пример 2
Кутијата содржи 50 лозови, меѓу кои 12 се добитни, а 2 од нив добиваат по 1000 рубли, а останатите - по 100 рубли. Подгответе закон за распределба на случајна променлива - големината на добивката, ако еден тикет е извлечен по случаен избор од кутијата.
Решение: како што забележавте, вредностите на случајна променлива обично се ставаат во во растечки редослед. Затоа, започнуваме со најмалите добивки, имено со рубли.
Вакви билети има вкупно 50 - 12 = 38, а според класична дефиниција:
– веројатноста дека случајно извлечениот тикет ќе биде губитник.
Во други случаи, сè е едноставно. Веројатноста за освојување рубли е:
Проверете: – и ова е особено пријатен момент на такви задачи!
Одговори: саканиот закон за распределба на добивките: 
Следната задача треба да ја решите сами:
Пример 3
Веројатноста дека стрелецот ќе ја погоди целта е . Направете закон за дистрибуција за случајна променлива - бројот на удари по 2 снимки.
...Знаев дека ти недостига :) Да се потсетиме теореми за множење и собирање. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.
Законот за распределба целосно опишува случајна променлива, но во пракса може да биде корисно (а понекогаш и покорисно) да се знае само дел од неа нумерички карактеристики .
Очекување на дискретна случајна променлива
Во едноставни термини, ова е просечната очекувана вредносткога тестирањето се повторува многу пати. Нека случајната променлива зема вредности со веројатности 
соодветно. Тогаш математичкото очекување на оваа случајна променлива е еднакво на збир на производисите негови вредности до соодветните веројатности:
или пропадна: 
Дозволете ни да го пресметаме, на пример, математичкото очекување на случајна променлива - бројот на точки завртени на матрицата:
Сега да се потсетиме на нашата хипотетичка игра: 
Се поставува прашањето: дали е воопшто профитабилно да се игра оваа игра? ...кој има некакви впечатоци? Значи, не можете да го кажете тоа „ненамерно“! Но, ова прашање може лесно да се одговори со пресметување на математичкото очекување, во суштина - Просечна тежинаспоред веројатноста за победа:
Така, математичкото очекување на оваа игра губење.
Не верувајте во вашите впечатоци - верувајте им на бројките!
Да, овде можете да победите 10, па дури и 20-30 пати по ред, но долгорочно нè чека неизбежна пропаст. И јас не би те советувал да играш такви игри :) Па, можеби само за Забава.
Од сето горенаведено произлегува дека математичкото очекување повеќе не е СЛУЧАЈНА вредност.
Креативна задача за независно истражување:
Пример 4
Г-дин Х игра европски рулет користејќи го следниот систем: постојано се обложува 100 рубли на „црвено“. Направете закон за распределба на случајна променлива - нејзините добивки. Пресметајте го математичкото очекување на добивката и заокружете го до најблискиот копек. Колку просекДали играчот губи на секои стотина што ги обложил?
Референца : Европскиот рулет содржи 18 црвени, 18 црн и 1 зелен сектор („нула“). Ако се појави „црвено“, на играчот му се плаќа двојно повеќе од облогот, во спротивно тоа оди на приходот на казиното
Постојат многу други системи за рулет за кои можете да креирате сопствени табели за веројатност. Но, ова е случај кога не ни требаат никакви закони за дистрибуција или табели, бидејќи со сигурност е утврдено дека математичкото очекување на играчот ќе биде сосема исто. Единственото нешто што се менува од систем до систем е
Законот за распределба целосно ја карактеризира случајната променлива. Меѓутоа, честопати законот за дистрибуција е непознат и човек мора да се ограничи на помалку информации. Понекогаш е уште попрофитабилно да се користат броеви кои опишуваат случајна променлива вкупно; таквите броеви се нарекуваат нумерички карактеристикислучајна променлива. Една од важните нумерички карактеристики е математичкото очекување.
Математичкото очекување, како што ќе биде прикажано подолу, е приближно еднакво на просечната вредност на случајната променлива. За да се решат многу проблеми, доволно е да се знае математичкото очекување. На пример, ако се знае дека математичкото очекување за бројот на постигнати поени од првиот стрелец е поголемо од оној на вториот, тогаш првиот стрелец, во просек, постигнува повеќе поени од вториот, и затоа шутира подобро. од вториот.
Дефиниција 4.1: Математичко очекувањеДискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и нивните веројатности.
Нека случајната променлива Xможе да земе само вредности x 1, x 2, … x n, чиишто веројатности се соодветно еднакви стр 1, стр 2, ... стр n.Потоа математичкото очекување М(Х) случајна променлива Xсе определува со еднаквост
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Ако дискретна случајна променлива Xзема броиво збир на можни вредности, тогаш
,
Згора на тоа, математичкото очекување постои ако серијата од десната страна на еднаквоста апсолутно се спојува.
Пример.Најдете го математичкото очекување за бројот на појавувања на некој настан Аво едно судење, доколку веројатноста за настанот Аеднаква на стр.
Решение:Случајна вредност X– број на појави на настанот Аима Бернулиева дистрибуција, па
Така, математичкото очекување на бројот на појави на настан во едно испитување е еднакво на веројатноста за овој настан.
Веројатно значење на математичкото очекување
Нека се произведува nтестови во кои случајната променлива Xприфатени m 1пати вредност x 1, m 2пати вредност x 2 ,…, m kпати вредност x k, и m 1 + m 2 + …+ m k = n. Потоа збирот на сите земени вредности X, е еднаков x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Аритметичката средина на сите вредности земени од случајната променлива ќе биде
Став m i/n- релативна фреквенција W iвредности x iприближно еднаква на веројатноста да се случи настанот стр i, Каде , Затоа
Веројатното значење на добиениот резултат е како што следува: математичкото очекување е приближно еднакво(колку е попрецизно, толку е поголем бројот на тестови) аритметичка средина на набљудуваните вредности на случајна променлива.
Својства на математичкото очекување
Својство 1:Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на самата константа
Својство 2:Постојаниот фактор може да се земе надвор од знакот на математичкото очекување
Дефиниција 4.2: Две случајни променливисе нарекуваат независна, ако законот за распределба на еден од нив не зависи од тоа кои можни вредности ги земала другата количина. Во спротивно случајните променливи се зависни.
Дефиниција 4.3: Неколку случајни променливиповикани меѓусебно независни, ако законите за дистрибуција на кој било број од нив не зависат од тоа кои можни вредности ги земале другите количини.
Својство 3:Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.
Последица:Математичкото очекување од производот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања.
Својство 4:Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања.
Последица:Математичкото очекување од збирот на неколку случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања.
Пример.Да го пресметаме математичкото очекување на биномна случајна променлива X -датум на настанување на настанот АВ nексперименти.
Решение:Вкупен број Xпојави на настанот Аво овие испитувања е збирот на бројот на појави на настанот во поединечни испитувања. Ајде да воведеме случајни променливи X i– број на појави на настанот во јас th тест, кои се Бернули случајни променливи со математичко очекување, каде . По својството на математичко очекување имаме
Така, математичкото очекување за биномна дистрибуција со параметри n и p е еднакво на производот np.
Пример.Веројатност за погодување на целта при пукање со пиштол p = 0,6.Најдете го математичкото очекување на вкупниот број на удари ако се испукани 10 истрели.
Решение:Погодокот за секој истрел не зависи од исходите на другите снимки, затоа настаните што се разгледуваат се независни и, следствено, посакуваното математичко очекување
Ќе има и проблеми кои ќе ги решите сами, на кои ќе можете да ги видите одговорите.
Очекувањето и варијансата се најчесто користените нумерички карактеристики на случајната променлива. Тие ги карактеризираат најважните карактеристики на дистрибуцијата: нејзината положба и степенот на расејување. Очекуваната вредност често се нарекува едноставно просечна. случајна променлива. Дисперзија на случајна променлива - карактеристика на дисперзија, ширење на случајна променлива за неговото математичко очекување.
Во многу практични проблеми, целосна, исцрпна карактеристика на случајна променлива - законот за распределба - или не може да се добие или воопшто не е потребна. Во овие случаи, еден е ограничен на приближен опис на случајна променлива користејќи нумерички карактеристики.
Очекување на дискретна случајна променлива
Ајде да дојдеме до концептот на математичко очекување. Нека масата на некоја супстанција биде распределена помеѓу точките на оската x x1 , x 2 , ..., x n. Покрај тоа, секоја материјална точка има соодветна маса со веројатност од стр1 , стр 2 , ..., стр n. Потребно е да се избере една точка на оската на апсцисата, што ја карактеризира положбата на целиот систем на материјални точки, земајќи ги предвид нивните маси. Природно е да се земе центарот на масата на системот на материјални точки како таква точка. Ова е пондериран просек на случајната променлива X, на која апсцисата на секоја точка xјасвлегува со „тежина“ еднаква на соодветната веројатност. Просечната вредност на случајната променлива добиена на овој начин Xсе нарекува негово математичко очекување.
Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и веројатностите на овие вредности:
Пример 1.Организирана е лотарија со добивка. Има 1000 добивки, од кои 400 се 10 рубли. 300-20 рубли секој. 200-100 рубли секој. и по 100 - 200 рубли. Која е просечната добивка за некој што ќе купи еден тикет?
Решение. Просечните добивки ќе ги најдеме ако вкупниот износ на добивки, кој е 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 рубли, го поделиме со 1000 (вкупен износ на добивки). Потоа добиваме 50000/1000 = 50 рубли. Но, изразот за пресметување на просечната добивка може да се претстави во следнава форма:
Од друга страна, во овие услови, победничката големина е случајна променлива, која може да земе вредности од 10, 20, 100 и 200 рубли. со веројатности еднакви на 0,4, соодветно; 0,3; 0,2; 0.1. Според тоа, очекуваната просечна победа е еднаква на збирот на производите од големината на добивките и веројатноста за нивно примање.
Пример 2.Издавачот одлучи да објави нова книга. Тој планира да ја продаде книгата за 280 рубли, од кои самиот ќе добие 200, 50 - книжарницата и 30 - авторот. Табелата дава информации за трошоците за издавање на книга и за веројатноста за продажба на одреден број примероци од книгата.
Најдете го очекуваниот профит на издавачот.
Решение. Случајната променлива „профит“ е еднаква на разликата помеѓу приходот од продажба и цената на трошоците. На пример, ако се продадени 500 примероци од книга, тогаш приходот од продажбата е 200 * 500 = 100.000, а трошоците за објавување се 225.000 рубли. Така, издавачот се соочува со загуба од 125.000 рубли. Следната табела ги сумира очекуваните вредности на случајната променлива - профит:
| Број | Профит xјас | Веројатност стрјас | xјас стрјас |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Вкупно: | 1,00 | 25000 |
Така, го добиваме математичкото очекување за профитот на издавачот:
.
Пример 3.Веројатност да се погоди со еден истрел стр= 0,2. Определете ја потрошувачката на проектили кои обезбедуваат математичко очекување за бројот на удари еднаков на 5.
Решение. Од истата формула за математичко очекување што ја користевме досега, се изразуваме x- потрошувачка на школка:
.
Пример 4.Определи го математичкото очекување на случајна променлива xброј на удари со три удари, ако веројатноста за погодок со секој истрел стр = 0,4 .
Совет: пронајдете ја веројатноста за случајни вредности на променливи според Формулата на Бернули .
Својства на математичкото очекување
Да ги разгледаме својствата на математичкото очекување.
Имотот 1.Математичкото очекување за константна вредност е еднакво на оваа константа:
Имотот 2.Константниот фактор може да се извади од знакот за математичко очекување:
Имотот 3.Математичкото очекување од збирот (разликата) на случајните променливи е еднакво на збирот (разликата) на нивните математички очекувања:
Имотот 4.Математичкото очекување на производ од случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:
Имотот 5.Ако сите вредности на случајна променлива Xсе намалува (зголемува) за ист број СО, тогаш неговото математичко очекување ќе се намали (зголеми) за ист број:
Кога не можете да се ограничите само на математичко очекување
Во повеќето случаи, само математичкото очекување не може доволно да карактеризира случајна променлива.
Нека случајните променливи XИ Yсе дадени со следните закони за дистрибуција:
| Значење X | Веројатност |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значење Y | Веројатност |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математичките очекувања од овие количини се исти - еднакви на нула:
Сепак, нивните модели на дистрибуција се различни. Случајна вредност Xможе да земе само вредности кои малку се разликуваат од математичкото очекување и случајната променлива Yможе да земе вредности кои значително отстапуваат од математичкото очекување. Сличен пример: просечната плата не овозможува да се процени уделот на високо и ниско платените работници. Со други зборови, од математичкото очекување не може да се процени какви отстапувања од него, барем во просек, се можни. За да го направите ова, треба да ја пронајдете варијансата на случајната променлива.
Варијанса на дискретна случајна променлива
Варијансадискретна случајна променлива Xсе нарекува математичко очекување на квадратот на неговото отстапување од математичкото очекување:
Стандардна девијација на случајна променлива Xаритметичката вредност на квадратниот корен на неговата варијанса се вика:
.
Пример 5.Пресметајте ги варијансите и стандардните отстапувања на случајните променливи XИ Y, чии закони за распределба се дадени во горните табели.
Решение. Математички очекувања на случајни променливи XИ Y, како што е откриено погоре, се еднакви на нула. Според формулата за дисперзија кај Е(X)=Е(y)=0 добиваме:
Потоа стандардните отстапувања на случајните променливи XИ YШминка
.
Така, со истите математички очекувања, варијансата на случајната променлива Xмногу мала, но случајна променлива Y- значајно. Ова е последица на разликите во нивната дистрибуција.
Пример 6.Инвеститорот има 4 алтернативни инвестициски проекти. Табелата ја сумира очекуваната добивка во овие проекти со соодветната веројатност.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, П=1 | 1000, П=0,5 | 500, П=0,5 | 500, П=0,5 |
| 0, П=0,5 | 1000, П=0,25 | 10500, П=0,25 | |
| 0, П=0,25 | 9500, П=0,25 |
Најдете ги математичкото очекување, варијансата и стандардното отстапување за секоја алтернатива.
Решение. Дозволете ни да покажеме како се пресметуваат овие вредности за третата алтернатива:
Табелата ги сумира пронајдените вредности за сите алтернативи.
Сите алтернативи имаат исти математички очекувања. Тоа значи дека долгорочно сите имаат исти приходи. Стандардната девијација може да се толкува како мерка за ризик - колку е поголема, толку е поголем ризикот од инвестицијата. Инвеститор кој не сака многу ризик ќе го избере проектот 1 бидејќи има најмало стандардно отстапување (0). Доколку инвеститорот претпочита ризик и високи приноси во краток период, тогаш ќе го избере проектот со најголемо стандардно отстапување - проект 4.
Карактеристики на дисперзија
Да ги претставиме својствата на дисперзијата.
Имотот 1.Варијансата на константна вредност е нула:
Имотот 2.Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање:
.
Имотот 3.Варијансата на случајната променлива е еднаква на математичкото очекување на квадратот на оваа вредност, од кое се одзема квадратот на математичкото очекување на самата вредност:
,
Каде 
.
Имотот 4.Варијансата на збирот (разликата) на случајните променливи е еднаква на збирот (разликата) на нивните варијанси:
Пример 7.Познато е дека дискретна случајна променлива Xзема само две вредности: −3 и 7. Освен тоа, познато е и математичкото очекување: Е(X) = 4 . Најдете ја варијансата на дискретна случајна променлива.
Решение. Да означиме со стрверојатноста со која случајната променлива зема вредност x1 = −3 . Тогаш веројатноста на вредноста x2 = 7 ќе биде 1 − стр. Да ја изведеме равенката за математичкото очекување:
Е(X) = x 1 стр + x 2 (1 − стр) = −3стр + 7(1 − стр) = 4 ,
каде ги добиваме веројатностите: стр= 0,3 и 1 − стр = 0,7 .
Закон за распределба на случајна променлива:
| X | −3 | 7 |
| стр | 0,3 | 0,7 |
Ние ја пресметуваме варијансата на оваа случајна променлива користејќи ја формулата од својството 3 на дисперзијата:
Д(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Пронајдете го сами математичкото очекување на случајна променлива, а потоа погледнете го решението
Пример 8.Дискретна случајна променлива Xзема само две вредности. Ја прифаќа поголемата од вредностите 3 со веројатност 0,4. Дополнително, позната е и варијансата на случајната променлива Д(X) = 6 . Најдете го математичкото очекување на случајна променлива.
Пример 9.Во една урна има 6 бели и 4 црни топчиња. Од урната се извлекуваат 3 топчиња. Бројот на бели топчиња меѓу извлечените топчиња е дискретна случајна променлива X. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на оваа случајна променлива.
Решение. Случајна вредност Xможе да земе вредности 0, 1, 2, 3. Соодветните веројатности може да се пресметаат од правило за множење на веројатноста. Закон за распределба на случајна променлива:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| стр | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Оттука и математичкото очекување на оваа случајна променлива:
М(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Варијансата на дадена случајна променлива е:
Д(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Очекување и варијанса на континуирана случајна променлива
За континуирана случајна променлива, механичкото толкување на математичкото очекување ќе го задржи истото значење: центар на маса за единица маса распределена континуирано на оската x со густина ѓ(x). За разлика од дискретна случајна променлива, чијшто функционален аргумент xјассе менува нагло; за континуирана случајна променлива, аргументот постојано се менува. Но, математичкото очекување на континуирана случајна променлива е исто така поврзано со нејзината просечна вредност.
За да ги пронајдете математичкото очекување и варијансата на континуирана случајна променлива, треба да најдете дефинитивни интеграли . Ако е дадена функцијата за густина на континуирана случајна променлива, тогаш таа директно влегува во интеграндот. Ако е дадена функција за распределба на веројатност, тогаш со нејзино диференцирање, треба да ја пронајдете функцијата за густина.
Аритметичкиот просек на сите можни вредности на континуирана случајна променлива се нарекува нејзин математичко очекување, означено со или .
