Pierwiastek kwadratowy liczby do potęgi. Mnożenie pierwiastków: metody i zastosowania. Podstawowa zasada mnożenia

Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:

Operacje na stopniach.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, dodaje się ich wskaźniki:

jestem·a n = za m + n .

2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = za n · b n · do n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n /b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

(a m) n = za m n .

Każdy powyższy wzór jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika niedodatniego:

Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.

Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.

Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.

Aby z powodzeniem zastosować w praktyce operację ekstrakcji korzeni, należy zapoznać się z właściwościami tej operacji.
Wszystkie właściwości są formułowane i sprawdzane tylko dla nieujemnych wartości zmiennych zawartych pod znakami pierwiastków.

Twierdzenie 1. N-ty pierwiastek (n=2, 3, 4,...) iloczynu dwóch nieujemnych żetonów jest równy iloczynowi n-tych pierwiastków tych liczb:

Komentarz:

1. Twierdzenie 1 pozostaje ważne w przypadku, gdy wyrażenie radykalne jest iloczynem więcej niż dwóch liczb nieujemnych.

Twierdzenie 2.Jeśli, oraz n jest liczbą naturalną większą niż 1, wówczas równość jest prawdziwa

Krótki(aczkolwiek niedokładne) sformułowanie, które jest wygodniejsze w praktyce: pierwiastek ułamka jest równy ułamkowi pierwiastków.

Twierdzenie 1 pozwala nam pomnożyć t tylko korzenie tego samego stopnia , tj. tylko korzenie o tym samym indeksie.

Twierdzenie 3.Jeśli ,k jest liczbą naturalną, a n jest liczbą naturalną większą niż 1, wówczas równość jest prawdziwa

Innymi słowy, aby wznieść korzeń do siły naturalnej, wystarczy wznieść do tej mocy radykalny wyraz.
Jest to konsekwencja Twierdzenia 1. Faktycznie, np. dla k = 3 otrzymujemy: Dokładnie w ten sam sposób możemy rozumować w przypadku dowolnej innej wartości naturalnej wykładnika k.

Twierdzenie 4.Jeśli ,k, n są liczbami naturalnymi większymi od 1, to równość jest prawdziwa

Innymi słowy, aby wyodrębnić korzeń z korzenia, wystarczy pomnożyć wskaźniki korzeni.
Na przykład,

Bądź ostrożny! Dowiedzieliśmy się, że na pierwiastkach można wykonać cztery operacje: mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastka (z pierwiastka). Ale co z dodawaniem i odejmowaniem pierwiastków? Nie ma mowy.
Na przykład zamiast pisać „Naprawdę, ale to oczywiste”.

Twierdzenie 5.Jeśli wskaźniki pierwiastka i wyrażenia radykalnego mnoży się lub dzieli przez tę samą liczbę naturalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie, tj.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Oblicz

Rozwiązanie. Korzystając z pierwszej własności pierwiastków (Twierdzenie 1) otrzymujemy:

Przykład 2. Oblicz
Rozwiązanie. Zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.
Korzystamy z drugiej właściwości pierwiastków ( Twierdzenie 2 ), otrzymujemy:

Przykład 3. Oblicz:

Rozwiązanie. Jak dobrze wiesz, każda formuła w algebrze jest używana nie tylko „od lewej do prawej”, ale także „od prawej do lewej”. Zatem pierwsza właściwość pierwiastków oznacza, że ​​można je przedstawić w formie i odwrotnie, można je zastąpić wyrażeniem. To samo dotyczy drugiej właściwości pierwiastków. Biorąc to pod uwagę, wykonajmy obliczenia.

Wyrażenia irracjonalne i ich przekształcenia

Ostatnim razem przypomnieliśmy sobie (lub dowiedzieliśmy się, w zależności od kogo), co to jest , dowiedziałem się, jak wyodrębnić takie korzenie, uporządkowałem podstawowe właściwości korzeni kawałek po kawałku i rozwiązałem proste przykłady z korzeniami.

Ta lekcja będzie kontynuacją poprzedniej i będzie poświęcona przekształceniom szerokiej gamy wyrażeń zawierających wszystkie rodzaje pierwiastków. Takie wyrażenia nazywane są irracjonalny. Pojawią się tutaj wyrażenia z literami, dodatkowe warunki, pozbycie się irracjonalności ułamków i kilka zaawansowanych technik pracy z pierwiastkami. Techniki, które zostaną omówione w tej lekcji, staną się dobrą podstawą do rozwiązywania problemów USE (i nie tylko) o niemal każdym poziomie złożoności. Więc zacznijmy.

Na początek powtórzę tutaj podstawowe wzory i właściwości korzeni. Żeby nie skakać z tematu na temat. Tutaj są:

Na

Trzeba znać te formuły i umieć je zastosować. I w obu kierunkach - zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. To na nich opiera się rozwiązanie większości zadań o korzeniach o dowolnym stopniu złożoności. Zacznijmy na razie od najprostszej rzeczy - od bezpośredniego zastosowania formuł lub ich kombinacji.

Łatwe stosowanie formuł

W tej części rozważone zostaną proste i nieszkodliwe przykłady - bez liter, dodatkowych warunków i innych sztuczek. Jednak nawet w nich z reguły istnieją opcje. Im bardziej wyrafinowany przykład, tym więcej takich opcji. A niedoświadczony student staje przed głównym problemem – od czego zacząć? Odpowiedź jest tutaj prosta – Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób, co możesz. Pod warunkiem, że Twoje działania są w zgodzie z zasadami matematyki i nie są z nimi sprzeczne.) Przykładowo to zadanie:

Oblicz:

Nawet w tak prostym przykładzie istnieje kilka możliwych ścieżek odpowiedzi.

Pierwszym z nich jest po prostu pomnożenie pierwiastków przez pierwszą właściwość i wyodrębnienie pierwiastka z wyniku:

Druga opcja jest następująca: nie dotykamy tego, pracujemy z . Wyciągamy mnożnik spod znaku pierwiastka, a następnie - zgodnie z pierwszą właściwością. Lubię to:

Możesz decydować ile chcesz. W każdej z opcji odpowiedź brzmi jeden – osiem. Na przykład łatwiej mi pomnożyć 4 przez 128 i otrzymać 512, a pierwiastek sześcienny można łatwo wydobyć z tej liczby. Jeśli ktoś nie pamięta, że ​​512 to 8 do sześcianu, to nie ma to znaczenia: możesz zapisać 512 jako 2 9 (pierwsze 10 potęg dwójki, mam nadzieję, że pamiętasz?) i korzystając ze wzoru na pierwiastek potęgi :

Inny przykład.

Oblicz: .

Jeśli będziesz pracować według pierwszej właściwości (składając wszystko pod jeden pierwiastek), otrzymasz pokaźną liczbę, z której będzie można następnie wydobyć korzeń – także nie cukier. I nie jest faktem, że zostanie on wyodrębniony dokładnie.) Dlatego warto tutaj usunąć czynniki spod pierwiastka z liczby. I wykorzystaj jak najlepiej:

A teraz wszystko jest w porządku:

Pozostaje tylko zapisać ósemkę i dwa pod jednym pierwiastkiem (zgodnie z pierwszą właściwością) i zadanie gotowe. :)

Teraz dodajmy kilka ułamków.

Oblicz:

Przykład jest dość prymitywny, ale zawiera również opcje. Możesz użyć mnożnika, aby przekształcić licznik i zmniejszyć go o mianownik:

Możesz też od razu skorzystać ze wzoru na dzielenie pierwiastków:

Jak widzimy, tak i tak – wszystko się zgadza.) Jeśli nie potkniesz się w połowie drogi i nie popełnisz błędu. Chociaż gdzie mogę się tutaj pomylić...

Spójrzmy teraz na ostatni przykład z pracy domowej z ostatniej lekcji:

Uproszczać:

Zupełnie niewyobrażalny zestaw korzeni, a nawet zagnieżdżonych. Co powinienem zrobić? Najważniejsze to się nie bać! Tutaj po raz pierwszy zauważamy pod pierwiastkami liczby 2, 4 i 32 - potęgi dwójki. Pierwszą rzeczą, którą należy zrobić, to zredukować wszystkie liczby do dwójek: wszak im więcej identycznych liczb w przykładzie i im mniej różnych, tym jest to łatwiejsze.) Zacznijmy osobno od pierwszego czynnika:

Liczbę można uprościć, redukując dwa pod pierwiastkiem do czterech w wykładniku pierwiastkowym:

Teraz, zgodnie z podstawą pracy:

.

Z liczby usuwamy dwa jako znak pierwiastka:

I zajmujemy się wyrażeniem, korzystając z pierwiastka wzoru pierwiastkowego:

Zatem pierwszy czynnik zostanie zapisany w następujący sposób:

Zagnieżdżone korzenie zniknęły, liczby stały się mniejsze, co już jest przyjemne. Tyle, że korzenie są inne, ale na razie zostawmy to tak. W razie potrzeby przerobimy je na takie same. Weźmy drugi czynnik.)

Drugi czynnik przekształcamy w podobny sposób, korzystając ze wzoru na pierwiastek iloczynu i pierwiastek z pierwiastka. W razie potrzeby zmniejszamy wskaźniki, stosując piątą formułę:

Wklejamy wszystko do oryginalnego przykładu i otrzymujemy:

Otrzymaliśmy produkt całej gamy zupełnie innych korzeni. Byłoby miło sprowadzić ich wszystkich do jednego wskaźnika, a potem zobaczymy. Cóż, jest to całkiem możliwe. Największym z wykładników pierwiastkowych jest 12, a wszystkie pozostałe - 2, 3, 4, 6 - są dzielnikami liczby 12. Dlatego wszystkie pierwiastki zgodnie z piątą właściwością sprowadzimy do jednego wykładnika - 12:

Liczymy i otrzymujemy:

Nie dostaliśmy ładnego numeru, ale to w porządku. Zapytano nas uproszczać wyraz, nie liczyć. Uproszczony? Z pewnością! Rodzaj odpowiedzi (liczba całkowita lub nie) nie odgrywa już tutaj żadnej roli.

Niektóre dodawanie/odejmowanie i skrócone wzory na mnożenie

Niestety, ogólne wzory na dodawanie i odejmowanie pierwiastków nie, w matematyce. Jednak w zadaniach często można znaleźć te działania z korzeniami. Tutaj trzeba zrozumieć, że wszelkie pierwiastki są dokładnie tymi samymi symbolami matematycznymi, co litery w algebrze.) I te same techniki i zasady dotyczą pierwiastków, co liter - otwieranie nawiasów, wprowadzanie podobnych, skrócone wzory mnożenia itp. P.

Na przykład dla każdego jest jasne, że . Podobny ten sam Pierwiastki można dość łatwo dodawać/odejmować od siebie:

Jeśli pierwiastki są różne, szukamy sposobu, aby je wyrównać - dodając/odejmując mnożnik lub korzystając z piątej właściwości. Jeśli nie zostanie to w żaden sposób uproszczone, to być może transformacje są bardziej przebiegłe.

Spójrzmy na pierwszy przykład.

Znajdź znaczenie wyrażenia: .

Wszystkie trzy korzenie, choć sześcienne, pochodzą z różny liczby. Nie są one wyodrębniane wyłącznie i są dodawane/odejmowane od siebie. Dlatego stosowanie ogólnych wzorów nie sprawdza się tutaj. Co powinienem zrobić? Wyjmijmy czynniki z każdego pierwiastka. W każdym razie gorzej nie będzie.) Co więcej, tak naprawdę nie ma innych opcji:

To jest, .

To jest rozwiązanie. Tutaj z pomocą przenieśliśmy się z różnych korzeni do tych samych usunięcie mnożnika spod pierwiastka. A potem po prostu przywieźli podobne.) Decydujemy dalej.

Znajdź wartość wyrażenia:

Zdecydowanie nic nie można zrobić z pierwiastkiem siedemnastu. Pracujemy zgodnie z pierwszą właściwością - jeden pierwiastek tworzymy z iloczynu dwóch pierwiastków:

Teraz przyjrzyjmy się bliżej. Co kryje się pod naszym dużym pierwiastkiem sześciennym? Różnica jest jak... Cóż, oczywiście! Różnica kwadratów:

Teraz pozostaje tylko wyodrębnić katalog główny: .

Oblicz:

Tutaj będziesz musiał wykazać się pomysłowością matematyczną.) Myślimy w przybliżeniu w następujący sposób: „Tak więc w przykładzie iloczyn korzeni. Pod jednym pierwiastkiem jest różnica, a pod drugim suma. Bardzo podobny do wzoru różnicy kwadratów. Ale... Korzenie są inne! Pierwsza jest kwadratowa, a druga czwartego stopnia... Dobrze byłoby zrobić je takie same. Zgodnie z piątą właściwością z pierwiastka kwadratowego można łatwo utworzyć czwarty pierwiastek. Aby to zrobić, wystarczy wyrównać radykalne wyrażenie.

Jeśli pomyślałeś o tym samym, jesteś w połowie drogi do sukcesu. Całkowita racja! Zamieńmy pierwszy czynnik na czwarty pierwiastek. Lubię to:

Teraz nie ma już nic do zrobienia, ale będziesz musiał zapamiętać wzór na kwadrat różnicy. Tylko przy zastosowaniu na korzenie. Więc co? Dlaczego pierwiastki są gorsze od innych liczb i wyrażeń?! Budujemy:

„Hmm, cóż, wznieśli go i co z tego? Chrzan nie jest słodszy od rzodkiewki. Zatrzymywać się! A jeśli usuniesz cztery pod korzeniem? Wtedy wyjdzie to samo wyrażenie, co pod drugim pierwiastkiem, tylko z minusem i właśnie to staramy się osiągnąć!”

Prawidłowy! Weźmy cztery:

.

A teraz - kwestia technologii:

Tak rozplątuje się skomplikowane przykłady.) Teraz czas na ćwiczenie z ułamkami zwykłymi.

Oblicz:

Oczywiste jest, że licznik należy przeliczyć. Jak? Oczywiście korzystając ze wzoru na kwadrat sumy. Czy mamy jakieś inne opcje? :) Wyrównujemy to, usuwamy czynniki, redukujemy wskaźniki (jeśli to konieczne):

Wow! Otrzymaliśmy dokładnie mianownik naszego ułamka.) Oznacza to, że cały ułamek jest oczywiście równy jeden:

Inny przykład. Tylko teraz o innym wzorze na skrócone mnożenie.)

Oblicz:

Oczywiste jest, że w praktyce należy stosować kwadrat różnicy. Osobno zapisujemy mianownik i - chodźmy!

Wyciągamy czynniki spod korzeni:

Stąd,

Teraz wszystko, co złe, zostało znakomicie zredukowane i okazuje się:

Cóż, przejdźmy na wyższy poziom. :)

Listy i warunki dodatkowe

Wyrażenia dosłowne z pierwiastkami są trudniejsze niż wyrażenia liczbowe i stanowią niewyczerpane źródło irytujących i bardzo poważnych błędów. Zamknijmy to źródło.) Błędy wynikają z faktu, że takie zadania często dotyczą liczb i wyrażeń ujemnych. Są one albo podawane nam bezpośrednio w zadaniu, albo ukryte w pisma i dodatkowe warunki. A w procesie pracy z korzeniami musimy stale o tym pamiętać w korzeniach nawet stopień powinno być zarówno pod samym korzeniem, jak i w wyniku wyrwania korzenia wyrażenie nieujemne. Kluczową formułą w zadaniach tego paragrafu będzie czwarta formuła:

Nie ma pytań z pierwiastkami stopni nieparzystych - zawsze wyodrębnia się wszystko, zarówno pozytywne, jak i negatywne. A minus, jeśli w ogóle, jest przesunięty. Przejdźmy od razu do korzeni nawet stopni.) Na przykład takie krótkie zadanie.

Uproszczać: , Jeśli .

Wydawać by się mogło, że wszystko jest proste. Po prostu okaże się, że jest to X.) Ale po co więc dodatkowy warunek? W takich przypadkach przydatne jest szacowanie za pomocą liczb. Wyłącznie dla siebie.) Jeśli, to x jest oczywiście liczbą ujemną. Minus trzy, na przykład. Albo minus czterdzieści. Pozwalać . Czy potrafisz podnieść minus trzy do potęgi czwartej? Z pewnością! Wynik to 81. Czy można wyodrębnić czwarty pierwiastek z 81? Dlaczego nie? Móc! Dostajesz trzy. Przeanalizujmy teraz cały nasz łańcuch:

Co widzimy? Dane wejściowe były liczbą ujemną, a dane wyjściowe były już dodatnie. Było minus trzy, teraz jest plus trzy.) Wróćmy do liter. Bez wątpienia modulo będzie to dokładnie X, ale tylko samo X jest minusem (według warunku!), a wynikiem ekstrakcji (ze względu na pierwiastek arytmetyczny!) musi być plus. Jak zdobyć plusa? Bardzo prosta! Aby to zrobić, po prostu postaw minus przed liczbą oczywiście ujemną.) Prawidłowe rozwiązanie wygląda następująco:

Swoją drogą, gdybyśmy skorzystali ze wzoru, to pamiętając definicję modułu, od razu otrzymalibyśmy poprawną odpowiedź. Ponieważ

|x| = -x przy x<0.

Usuń współczynnik ze znaku pierwiastka: , Gdzie .

Na pierwszy rzut oka widać radykalne wyrażenie. Wszystko jest tutaj w porządku. W każdym razie nie będzie to wynik negatywny. Zacznijmy ekstrakcję. Korzystając ze wzoru na pierwiastek iloczynu, wyodrębniamy pierwiastek każdego czynnika:

Myślę, że nie trzeba wyjaśniać, skąd wzięły się moduły.) Teraz przeanalizujmy każdy z modułów.

Mnożnik | A | zostawiamy to bez zmian: nie mamy żadnego warunku dla literyA. Nie wiemy, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Następny moduł |b 2 | można bezpiecznie pominąć: w każdym razie wyrażenieb 2 nieujemne. Ale o |c 3 | - tu już jest problem.) Jeśli, Następnie c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть z minusem: | c 3 | = - c 3 . W sumie prawidłowym rozwiązaniem byłoby:

A teraz - problem odwrotny. Nie najłatwiejsze, od razu ostrzegam!

Wprowadź mnożnik pod znakiem pierwiastka: .

Jeśli od razu zapiszesz rozwiązanie w ten sposób

potem ty wpadł w pułapkę. Ten zła decyzja! O co chodzi?

Przyjrzyjmy się bliżej wyrażeniu pod pierwiastkiem. Pod podstawą czwartego stopnia, jak wiemy, powinno być nieujemne wyrażenie. W przeciwnym razie pierwiastek nie ma znaczenia.) Dlatego A to z kolei oznacza, że ​​i dlatego samo w sobie jest również niedodatnie: .

Błąd polega na tym, że wprowadzamy u źródła niepozytywne numer: czwarty stopień zamienia to w nieujemne i uzyskuje się zły wynik - po lewej stronie jest zamierzony minus, a po prawej jest już plus. I zastosuj u nasady nawet stopnia mamy tylko prawo nieujemne liczby lub wyrażenia. I zostaw minus, jeśli taki istnieje, przed pierwiastkiem.) Jak możemy zidentyfikować nieujemny współczynnik w liczbie, wiedząc, że samo w sobie jest całkowicie negatywne? Tak, dokładnie to samo! Umieść minus.) I żeby nic się nie zmieniło, zrekompensuj to innym minusem. Lubię to:

A teraz już nieujemne Spokojnie wpisujemy liczbę (-b) pod pierwiastek zgodnie ze wszystkimi zasadami:

Ten przykład wyraźnie pokazuje, że w przeciwieństwie do innych działów matematyki, w pierwiastkach poprawna odpowiedź nie zawsze wynika automatycznie ze wzorów. Musisz pomyśleć i osobiście podjąć właściwą decyzję.) Powinieneś szczególnie uważać przy znakach irracjonalne równania i nierówności.

Spójrzmy na kolejną ważną technikę pracy z korzeniami - pozbycie się irracjonalności.

Eliminowanie irracjonalności w ułamkach

Jeśli wyrażenie zawiera pierwiastki, to przypomnę, takie wyrażenie nazywa się wyrażenie z irracjonalnością. W niektórych przypadkach przydatne może być pozbycie się tej właśnie irracjonalności (tj. korzeni). Jak usunąć root? Nasz korzeń znika, gdy... zostaje podniesiony do potęgi. Ze wskaźnikiem równym wskaźnikowi pierwiastkowemu lub jego wielokrotności. Ale jeśli podniesiemy pierwiastek do potęgi (tj. pomnożymy pierwiastek przez siebie wymaganą liczbę razy), wówczas wyrażenie się zmieni. Niezbyt dobrze.) Jednak w matematyce są tematy, w których mnożenie jest całkiem bezbolesne. W ułamkach np. Zgodnie z podstawową właściwością ułamka, jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, wartość ułamka nie ulegnie zmianie.

Powiedzmy, że mamy dany ułamek:

Czy można pozbyć się pierwiastka z mianownika? Móc! Aby to zrobić, korzeń należy pokroić w kostkę. Czego brakuje nam w mianowniku pełnej kostki? Brakuje nam mnożnika, tj.. Zatem mnożymy licznik i mianownik ułamka przez

Pierwiastek w mianowniku zniknął. Ale... pojawił się w liczniku. Nic nie można zrobić, taki jest los.) To już nie jest dla nas ważne: poproszono nas o uwolnienie mianownika od korzeni. Wydany? Niewątpliwie.)

Nawiasem mówiąc, ci, którzy już dobrze radzą sobie z trygonometrią, mogli zwrócić uwagę na fakt, że na przykład w niektórych podręcznikach i tabelach wyznaczają inaczej: gdzieś i gdzieś. Pytanie brzmi – co jest słuszne? Odpowiedź: wszystko się zgadza!) Jeśli zgadniesz– to po prostu skutek wyzwolenia się od irracjonalności w mianowniku ułamka. :)

Dlaczego powinniśmy uwolnić się od irracjonalności ułamków? Jaka to różnica – pierwiastek jest w liczniku czy w mianowniku? Kalkulator i tak wszystko obliczy.) No cóż, dla tych, którzy nie rozstają się z kalkulatorem, tak naprawdę nie ma praktycznie żadnej różnicy... Ale nawet licząc na kalkulator, można zwrócić uwagę na to, że dzielić NA cały numer jest zawsze wygodniejszy i szybszy niż włączony irracjonalny. A o podziale na kolumny przemilczę.)

Poniższy przykład tylko potwierdzi moje słowa.

Jak możemy tutaj wyeliminować pierwiastek kwadratowy z mianownika? Jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez wyrażenie, wówczas mianownikiem będzie kwadrat sumy. Suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby da nam po prostu liczby bez pierwiastków, co jest bardzo przyjemne. Jednakże... pojawi się podwójny produkt pierwszą liczbę do drugiej, gdzie pierwiastek z trzech nadal pozostanie. Nie nadaje kanału. Co powinienem zrobić? Zapamiętaj kolejny wspaniały wzór na skrócone mnożenie! Gdzie nie ma produktów podwójnych, a jedynie kwadraty:

Wyrażenie, które po pomnożeniu przez pewną sumę (lub różnicę) daje różnica kwadratów, nazywane również wyrażenie sprzężone. W naszym przykładzie wyrażenie koniugatu będzie różnicą. Zatem mnożymy licznik i mianownik przez tę różnicę:

Co mogę powiedzieć? W wyniku naszych manipulacji nie tylko zniknął pierwiastek mianownika, ale ułamek zniknął całkowicie! :) Nawet za pomocą kalkulatora odejmowanie pierwiastka z trzech jest łatwiejsze niż obliczenie ułamka z pierwiastkiem w mianowniku. Inny przykład.

Uwolnij się od irracjonalności w mianowniku ułamka:

Jak się z tego wydostać? Wzory na skrócone mnożenie przez kwadraty nie działają od razu - pierwiastków nie da się całkowicie wyeliminować, bo tym razem nasz pierwiastek nie jest kwadratowy, ale sześcienny. Konieczne jest, aby korzeń został w jakiś sposób podniesiony do sześcianu. Dlatego należy zastosować jeden ze wzorów z kostkami. Który? Pomyślmy o tym. Mianownik to suma. Jak możemy uzyskać sześcian pierwiastka? Pomnożyć przez częściowa kwadratowa różnica! Zastosujemy więc formułę suma kostek. Ten:

Jak A mamy trzy i jako jakość B– pierwiastek sześcienny z pięciu:

I znowu ułamek zniknął.) Takie sytuacje, gdy uwolniony od irracjonalności w mianowniku ułamka, sam ułamek całkowicie znika wraz z pierwiastkami, zdarzają się bardzo często. Jak ci się podoba ten przykład!

Oblicz:

Po prostu spróbuj dodać te trzy ułamki! Bez błędów! :) Warto mieć jeden wspólny mianownik. A gdybyśmy spróbowali uwolnić się od irracjonalności mianownika każdego ułamka? Cóż, spróbujmy:

Wow, jakie ciekawe! Wszystkie ułamki zniknęły! Całkowicie. A teraz przykład można rozwiązać na dwa sposoby:

Prosty i elegancki. I to bez długich i żmudnych obliczeń. :)

Dlatego trzeba umieć dokonać operacji wyzwolenia z irracjonalności w ułamkach. W tak wyrafinowanych przykładach to jedyna rzecz, która oszczędza, tak.) Oczywiście nikt nie anulował uważności. Są zadania, w których jesteś proszony o pozbycie się irracjonalności licznik ułamka. Zadania te nie różnią się od rozważanych, jedynie licznik jest usuwany z pierwiastków.)

Bardziej złożone przykłady

Pozostaje rozważyć kilka specjalnych technik pracy z korzeniami i poćwiczyć rozplątywanie, a nie najprostsze przykłady. A wtedy otrzymane informacje wystarczą do rozwiązania zadań o korzeniach o dowolnym poziomie złożoności. Więc - śmiało.) Najpierw zastanówmy się, co zrobić z zagnieżdżonymi korzeniami, gdy formuła korzenia z korzenia nie działa. Oto przykład.

Oblicz:

Korzeń jest pod korzeniem... Co więcej, pod korzeniami jest suma, czyli różnica. Dlatego wzór na pierwiastek pierwiastkowy (z mnożeniem wykładników) znajduje się tutaj To nie działa. Trzeba więc coś z tym zrobić radykalne wyrażenia: Po prostu nie mamy innego wyjścia. W takich przykładach najczęściej szyfrowany jest duży katalog główny idealny kwadrat pewna ilość. Albo różnice. A pierwiastek kwadratowy jest już doskonale wyodrębniony! A teraz naszym zadaniem jest go odszyfrować.) Takie odszyfrowanie jest pięknie wykonane układ równań. Teraz zobaczysz wszystko na własne oczy.)

Zatem pod pierwszym pierwiastkiem mamy następujące wyrażenie:

A co jeśli nie zgadłeś prawidłowo? Sprawdźmy! Podnosimy to do kwadratu korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:

Zgadza się.) Ale... Skąd wziąłem to wyrażenie? Z nieba?

Nie.) Szczerze mówiąc, dostaniemy to trochę niżej. Używając tego wyrażenia, pokażę dokładnie, w jaki sposób autorzy zadań szyfrują takie kwadraty. :) Co to jest 54? Ten suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby. I uwaga, już bez korzeni! A korzeń pozostaje podwójny produkt, co w naszym przypadku jest równe . Dlatego rozwikłanie takich przykładów rozpoczyna się od poszukiwania iloczynu podwójnego. Jeśli odkryjesz zwykły wybór. A tak przy okazji, o znakach. Tutaj wszystko jest proste. Jeśli przed podwójną liczbą jest plus, to kwadrat sumy. Jeśli jest minus, to różnice.) Mamy plus – czyli kwadrat sumy.) A teraz – obiecana analityczna metoda dekodowania. Przez system.)

Tak więc pod naszym korzeniem wyraźnie widać wyrażenie (a+b) 2, a naszym zadaniem jest znaleźć A I B. W naszym przypadku suma kwadratów daje 54. Zatem piszemy:

Teraz podwój produkt. mamy to. Zapisujemy więc to:

Mamy taki układ:

Rozwiązujemy zwykłą metodą podstawienia. Wyrażamy na przykład drugie równanie i podstawiamy je do pierwszego:

Rozwiążmy pierwsze równanie:

Dostał bikwadratowy równanie względneA . Obliczamy dyskryminator:

Oznacza,

Otrzymaliśmy aż cztery możliwe wartościA. Nie boimy się. Teraz odsiejemy wszystkie niepotrzebne rzeczy.) Jeśli teraz obliczymy odpowiednie wartości dla każdej z czterech znalezionych wartości, otrzymamy cztery rozwiązania dla naszego układu. Tutaj są:

I tu pojawia się pytanie – które rozwiązanie będzie dla nas odpowiednie? Pomyślmy o tym. Rozwiązania negatywne można natychmiast odrzucić: podczas podniesienia do kwadratu minusy „wypalą się”, a całe radykalne wyrażenie jako całość nie ulegnie zmianie.) Pierwsze dwie opcje pozostają. Można je wybierać całkowicie dowolnie: przestawianie terminów nadal nie powoduje zmiany sumy.) Niech na przykład a .

W sumie pod pierwiastkiem otrzymaliśmy kwadrat następującej sumy:

Wszystko jasne.)

Nie bez powodu tak szczegółowo opisuję proces decyzyjny. Aby było jasne, w jaki sposób następuje deszyfrowanie.) Ale jest jeden problem. Analityczna metoda dekodowania, choć niezawodna, jest bardzo długa i uciążliwa: trzeba rozwiązać równanie dwukwadratowe, uzyskać cztery rozwiązania układu, a potem jeszcze zastanawiać się, które wybrać... Kłopot? Zgadzam się, jest to kłopotliwe. Ta metoda działa bezbłędnie w większości tych przykładów. Jednak bardzo często można zaoszczędzić sobie sporo pracy i kreatywnie znaleźć obie liczby. Przez wybór.) Tak, tak! Teraz na przykładzie drugiego członu (drugiego pierwiastka) pokażę łatwiejszy i szybszy sposób wyodrębnienia całego kwadratu pod pierwiastkiem.

Mamy więc teraz ten korzeń: .

Pomyślmy tak: „Pod korzeniem najprawdopodobniej znajduje się zaszyfrowany cały kwadrat. Gdy przed podwójną liczbą pojawia się minus, oznacza to kwadrat różnicy. Suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby daje nam liczbę 54. Ale co to za kwadraty? 1 i 53? 49 i 5 ? Opcji jest za dużo... Nie, rozplątywanie lepiej zacząć od podwójnego produktu. Naszmożna zapisać jako . Raz produkt podwoił się, to natychmiast odrzucamy te dwa. Następnie kandydaci na tę rolę a i b pozostają 7 i . A co jeśli będzie 14 i/2 ? To jest możliwe. Ale zawsze zaczynamy od czegoś prostego!” Zatem niech , a. Sprawdźmy je pod kątem sumy kwadratów:

Stało się! Oznacza to, że nasze radykalne wyrażenie jest w rzeczywistości kwadratem różnicy:

Oto prosty sposób na uniknięcie ingerencji w system. Nie zawsze to działa, ale w wielu z tych przykładów jest w zupełności wystarczające. Tak więc pod korzeniami znajdują się pełne kwadraty. Pozostaje tylko poprawnie wyodrębnić pierwiastki i obliczyć przykład:

Teraz spójrzmy na jeszcze bardziej niestandardowe zadanie dotyczące korzeni.)

Udowodnić, że liczba A– liczba całkowita, jeśli .

Nic nie jest wydobywane bezpośrednio, korzenie są wbijane, a nawet w różnym stopniu... Koszmar! Jednak zadanie ma sens.) Dlatego istnieje klucz do jego rozwiązania.) I kluczem jest tutaj. Rozważmy naszą równość

Jak równanie względne A. Tak tak! Dobrze byłoby pozbyć się korzeni. Nasze pierwiastki są sześcienne, więc podnieśmy obie strony równania do sześcianu. Według formuły sześcian sumy:

Kostki i pierwiastki sześcienne znoszą się nawzajem, a pod każdym dużym pierwiastkiem bierzemy jeden nawias z kwadratu i zwijamy iloczyn różnicy i sumy w różnicę kwadratów:

Osobno obliczamy różnicę kwadratów pod pierwiastkami:

Na początku lekcji dokonamy przeglądu podstawowych właściwości pierwiastków kwadratowych, a następnie przyjrzymy się kilku złożonym przykładom upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe.

Temat:Funkcjonować. Właściwości pierwiastka kwadratowego

Lekcja:Konwersja i upraszczanie bardziej złożonych wyrażeń z pierwiastkami

1. Przegląd właściwości pierwiastków kwadratowych

Powtórzmy krótko teorię i przypomnijmy podstawowe właściwości pierwiastków kwadratowych.

Właściwości pierwiastków kwadratowych:

1. dlatego;

3. ;

4. .

2. Przykłady upraszczania wyrażeń z pierwiastkami

Przejdźmy do przykładów wykorzystania tych właściwości.

Przykład 1: Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Aby uprościć, liczbę 120 należy rozłożyć na czynniki pierwsze:

Kwadrat sumy ujawnimy za pomocą odpowiedniego wzoru:

Przykład 2: Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Weźmy pod uwagę, że to wyrażenie nie ma sensu dla wszystkich możliwych wartości zmiennej, ponieważ wyrażenie to zawiera pierwiastki kwadratowe i ułamki, co prowadzi do „zawężenia” zakresu dopuszczalnych wartości. OZ: ().

Sprowadźmy wyrażenie w nawiasach do wspólnego mianownika i zapiszmy licznik ostatniego ułamka jako różnicę kwadratów:

Na.

Odpowiedź. Na.

Przykład 3: Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Widać, że drugi nawias licznika ma niewygodny wygląd i wymaga uproszczenia, spróbujmy go rozłożyć na czynniki metodą grupowania.

Aby móc wyprowadzić wspólny czynnik, uprościliśmy pierwiastki, rozkładając je na czynniki. Podstawmy powstałe wyrażenie na ułamek pierwotny:

Po skróceniu ułamka stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

3. Przykład pozbycia się irracjonalności

Przykład 4. Uwolnij się od irracjonalności (pierwiastków) w mianowniku: a) ; B) .

Rozwiązanie. a) Aby pozbyć się irracjonalności mianownika, stosuje się standardową metodę mnożenia zarówno licznika, jak i mianownika ułamka przez współczynnik sprzężenia do mianownika (to samo wyrażenie, ale z przeciwnym znakiem). Odbywa się to w celu uzupełnienia mianownika ułamka do różnicy kwadratów, co pozwala pozbyć się pierwiastków w mianowniku. Zróbmy to w naszym przypadku:

b) wykonać podobne czynności:

Odpowiedź.; .

4. Przykład dowodu i identyfikacji pełnego kwadratu w rodniku zespolonym

Przykład 5. Udowodnij równość .

Dowód. Skorzystajmy z definicji pierwiastka kwadratowego, z której wynika, że ​​kwadrat wyrażenia prawostronnego musi być równy wyrażeniu pierwiastkowemu:

. Otwórzmy nawiasy korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:

, otrzymaliśmy poprawną równość.

Udowodniony.

Przykład 6. Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie. To wyrażenie jest zwykle nazywane rodnikiem złożonym (pierwiastek pod korzeniem). W tym przykładzie musisz dowiedzieć się, jak oddzielić pełny kwadrat od wyrażenia radykalnego. Aby to zrobić, zauważ, że z tych dwóch terminów jest to kandydat do roli iloczynu podwójnego we wzorze na kwadratową różnicę (różnicę, ponieważ jest minus). Zapiszmy to w postaci iloczynu: , wtedy 1 twierdzi, że jest jednym z wyrazów pełnego kwadratu, a 1 twierdzi, że jest drugim.

Podstawmy to wyrażenie pod pierwiastek.

Przed pojawieniem się kalkulatorów uczniowie i nauczyciele obliczali pierwiastki kwadratowe ręcznie. Istnieje kilka sposobów ręcznego obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Niektóre z nich oferują jedynie przybliżone rozwiązanie, inne dają dokładną odpowiedź.

Kroki

Faktoryzacja pierwsza

Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki będące liczbami kwadratowymi. W zależności od liczby radykalnej otrzymasz odpowiedź przybliżoną lub dokładną. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki to liczby, które po pomnożeniu dają liczbę pierwotną. Na przykład współczynniki liczby 8 to 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Czynniki kwadratowe są czynnikami, które są liczbami kwadratowymi. Najpierw spróbuj rozłożyć liczbę pierwiastkową na czynniki kwadratowe.

• Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, czyli podzielna przez 25 - jest to liczba kwadratowa. Dzielenie 400 przez 25 daje 16. Liczba 16 jest również liczbą kwadratową. Zatem 400 można rozłożyć na współczynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.
• Można to zapisać w następujący sposób: √400 = √(25 x 16).

1. Pierwiastek kwadratowy iloczynu niektórych wyrazów jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych każdego wyrazu, czyli √(a x b) = √a x √b. Użyj tej reguły, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z każdego współczynnika kwadratowego i pomnożyć wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

   • W naszym przykładzie weź pierwiastek z 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5x4 = 20

2. Jeśli liczba pierwiastkowa nie zostanie rozłożona na dwa współczynniki kwadratowe (a tak się dzieje w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Ale można uprościć problem, rozkładając liczbę pierwiastkową na współczynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie weźmiesz pierwiastek kwadratowy ze współczynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze wspólnego czynnika.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa współczynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jeśli to konieczne, oszacuj wartość pierwiastka. Teraz możesz oszacować wartość pierwiastka (znaleźć wartość przybliżoną), porównując ją z wartościami pierwiastków liczb kwadratowych, które są najbliżej (po obu stronach osi liczbowej) liczby pierwiastkowej. Wartość pierwiastkową otrzymasz w postaci ułamka dziesiętnego, który należy pomnożyć przez liczbę znajdującą się za znakiem pierwiastka.

   • Wróćmy do naszego przykładu. Pierwiastkiem jest liczba 3. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Zatem wartość √3 mieści się pomiędzy 1 a 2. Ponieważ wartość √3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: √3 = 1,7. Mnożymy tę wartość przez liczbę przy znaku pierwiastka: 7 x 1,7 = 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12,13, co jest dość bliskie naszej odpowiedzi.
     • Ta metoda działa również w przypadku dużych liczb. Rozważmy na przykład √35. Pierwiastkiem jest liczba 35. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Zatem wartość √35 mieści się pomiędzy 5 a 6. Ponieważ wartość √35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 to tylko 1 mniej niż 36), możemy powiedzieć, że √35 jest nieco mniejsze niż 6 Sprawdź na kalkulatorze, co daje nam odpowiedź 5,92 – mieliśmy rację.

4. Inny sposób - rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze . Czynniki pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie. Zapisz czynniki pierwsze w szeregu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można wyjąć ze znaku głównego.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Zatem √45 = √(3 x 3 x 5). Jako pierwiastek można wyjąć 3: √45 = 3√5. Teraz możemy oszacować √5.
   • Spójrzmy na inny przykład: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Otrzymałeś trzy mnożniki liczby 2; weź kilka z nich i przesuń je poza znak korzenia.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Teraz możesz ocenić √2 i √11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

   Ręczne obliczanie pierwiastka kwadratowego

   Używanie długiego dzielenia

   1. Ta metoda obejmuje proces podobny do dzielenia długich i zapewnia dokładną odpowiedź. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą arkusz na dwie połowy, a następnie w prawo i nieco poniżej górnej krawędzi arkusza narysuj poziomą linię do linii pionowej. Teraz podziel liczbę pierwiastkową na pary liczb, zaczynając od części ułamkowej po przecinku. Tak więc liczba 79520789182.47897 jest zapisana jako „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z liczby 780,14. Narysuj dwie linie (jak pokazano na rysunku) i wpisz podaną liczbę w postaci „7 80, 14” w lewym górnym rogu. To normalne, że pierwsza cyfra od lewej jest cyfrą niesparowaną. Odpowiedź (pierwiastek tej liczby) napiszesz w prawym górnym rogu.

   2. Dla pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) od lewej strony znajdź największą liczbę całkowitą n, której kwadrat jest mniejszy lub równy danej parze liczb (lub pojedynczej liczbie). Innymi słowy, znajdź liczbę kwadratową najbliższą pierwszej parze liczb (lub pojedynczej liczbie) od lewej, ale mniejszą od niej, i weź pierwiastek kwadratowy z tej liczby kwadratowej; otrzymasz liczbę n. Wpisz n, które znalazłeś, w prawym górnym rogu i wpisz kwadrat n w prawym dolnym rogu.

      • W naszym przypadku pierwszą liczbą po lewej będzie 7. Następnie 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odejmij kwadrat liczby n, którą właśnie znalazłeś, od pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) po lewej stronie. Wynik obliczeń zapisz pod odejmowaniem (kwadratem liczby n).

      • W naszym przykładzie odejmij 4 od 7 i uzyskaj 3.

   4. Zapisz drugą parę liczb i zapisz ją obok wartości uzyskanej w poprzednim kroku. Następnie podwoj liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie druga para liczb to „80”. Wpisz „80” po 3. Następnie podwojenie liczby w prawym górnym rogu daje 4. Wpisz „4_×_=" w prawym dolnym rogu.

   5. Wypełnij puste pola po prawej stronie.

      • W naszym przypadku, jeśli zamiast myślników wstawimy liczbę 8, to 48 x 8 = 384, czyli więcej niż 380. Zatem 8 to za duża liczba, ale wystarczy 7. Zamiast myślników wpisz 7 i uzyskaj: 47 x 7 = 329. Wpisz 7 w prawym górnym rogu - jest to druga cyfra żądanego pierwiastka kwadratowego z liczby 780,14.

   6. Odejmij wynikową liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Wynik z poprzedniego kroku zapisz pod aktualną liczbą po lewej stronie, znajdź różnicę i zapisz ją pod odjemnikiem.

      • W naszym przykładzie odejmij 329 od 380, co równa się 51.

   7. Powtórz krok 4. Jeżeli przenoszona para liczb jest częścią ułamkową pierwotnej liczby, należy umieścić separator (przecinek) pomiędzy liczbą całkowitą a częścią ułamkową w wymaganym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Po lewej stronie obniż następną parę liczb. Podwój liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie następną parą liczb do usunięcia będzie część ułamkowa liczby 780,14, dlatego umieść separator części całkowitej i ułamkowej w żądanym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Zapisz liczbę 14 i wpisz ją w lewym dolnym rogu. Podwójna liczba w prawym górnym rogu (27) to 54, więc wpisz „54_×_=" w prawym dolnym rogu.

   8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą liczbę w miejsce kresek po prawej stronie (zamiast kresek należy podstawić tę samą liczbę), aby wynik mnożenia był mniejszy lub równy bieżącej liczbie po lewej stronie.

      • W naszym przykładzie 549 x 9 = 4941, czyli mniej niż bieżąca liczba po lewej stronie (5114). Wpisz 9 w prawym górnym rogu i odejmij wynik mnożenia od bieżącej liczby po lewej stronie: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jeśli chcesz znaleźć więcej miejsc po przecinku dla pierwiastka kwadratowego, wpisz kilka zer na lewo od bieżącej liczby i powtórz kroki 4, 5 i 6. Powtarzaj kroki, aż uzyskasz precyzję odpowiedzi (liczbę miejsc po przecinku) potrzebować.

   Zrozumienie procesu

   Aby opanować tę metodę, wyobraź sobie liczbę, której pierwiastek kwadratowy musisz znaleźć jako obszar kwadratu S. W tym przypadku będziesz szukać długości boku L takiego kwadratu. Obliczamy wartość L w taki sposób, że L² = S.

   Podaj literę do każdej cyfry w odpowiedzi. Oznaczmy przez A pierwszą cyfrę wartości L (pożądany pierwiastek kwadratowy). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

   Określ literę dla każdej pary pierwszych cyfr. Oznaczmy przez S a pierwszą parę cyfr wartości S, przez S b drugą parę cyfr i tak dalej.

   Zrozum związek między tą metodą a długim dzieleniem. Podobnie jak przy dzieleniu, gdzie za każdym razem interesuje nas tylko kolejna cyfra liczby, którą dzielimy, tak przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego pracujemy kolejno przez parę cyfr (aby otrzymać kolejną cyfrę wartości pierwiastka kwadratowego) .

   1. Rozważmy pierwszą parę cyfr Sa liczby S (w naszym przykładzie Sa = 7) i znajdź jej pierwiastek kwadratowy. W tym przypadku pierwszą cyfrą A żądanej wartości pierwiastka kwadratowego będzie cyfra, której kwadrat jest mniejszy lub równy S a (to znaczy szukamy takiego A, że nierówność A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Powiedzmy, że musimy podzielić 88962 przez 7; tutaj pierwszy krok będzie podobny: rozważamy pierwszą cyfrę liczby podzielnej 88962 (8) i wybieramy największą liczbę, która pomnożona przez 7 daje wartość mniejszą lub równą 8. Oznacza to, że szukamy liczba d, dla której prawdziwa jest nierówność: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.