Jak rozwiązywać złożone przykłady z pierwiastkami. Jak rozwiązywać przykłady z pierwiastkami. Dlaczego wyrażenia radykalne muszą być nieujemne

Fakt 1.
\(\bullet\) Weźmy liczbę nieujemną \(a\) (czyli \(a\geqslant 0\) ). Następnie (arytmetyka) pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) nazywa się taką liczbę nieujemną \(b\) , po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy liczbę \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tak samo jak )\quad a=b^2\] Z definicji wynika, że \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ograniczenia te są ważnym warunkiem istnienia pierwiastka kwadratowego i należy o nich pamiętać!
Przypomnijmy, że każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. Oznacza to, że \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ile wynosi \(\sqrt(25)\)? Wiemy, że \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Ponieważ z definicji musimy znaleźć liczbę nieujemną, wówczas \(-5\) nie jest odpowiednie, dlatego \(\sqrt(25)=5\) (ponieważ \(25=5^2\) ).
Znalezienie wartości \(\sqrt a\) nazywa się pierwiastkiem kwadratowym z liczby \(a\) , a liczbę \(a\) nazywa się wyrażeniem radykalnym.
\(\bullet\) Na podstawie definicji wyrażenie \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), itp. nie ma sensu.

Fakt 2.
Do szybkich obliczeń przyda się poznanie tablicy kwadratów liczb naturalnych od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(tablica)\]

Fakt 3.
Jakie operacje można wykonać na pierwiastkach kwadratowych?
\(\pocisk\) Suma lub różnica pierwiastków kwadratowych NIE JEST RÓWNA pierwiastkowi kwadratowemu z sumy lub różnicy \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Zatem jeśli chcesz obliczyć na przykład \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , to początkowo musisz znaleźć wartości \(\sqrt(25)\) i \(\ sqrt(49)\ ), a następnie złóż je. Stąd, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jeśli przy dodawaniu \(\sqrt a+\sqrt b\) nie można znaleźć wartości \(\sqrt a\) lub \(\sqrt b\) to takie wyrażenie nie jest dalej przekształcane i pozostaje takie jakie jest. Na przykład w sumie \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) możemy znaleźć \(\sqrt(49)\) is \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nie można przekształcić w w każdym razie, dlatego \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Niestety, wyrażenia tego nie da się już bardziej uprościć\(\bullet\) Iloczyn/iloraz pierwiastków kwadratowych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu iloczynu/ilorazu, czyli \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod warunkiem, że obie strony równości mają sens)
Przykład: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Korzystając z tych właściwości, wygodnie jest znaleźć pierwiastki kwadratowe dużych liczb poprzez ich rozkład na czynniki.
Spójrzmy na przykład. Znajdźmy \(\sqrt(44100)\) . Ponieważ \(44100:100=441\) , to \(44100=100\cdot 441\) . Zgodnie z kryterium podzielności liczba \(441\) jest podzielna przez \(9\) (ponieważ suma jej cyfr wynosi 9, a jest podzielna przez 9), zatem \(441:9=49\), to znaczy \(441=9\ cdot 49\) .
W ten sposób otrzymaliśmy: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Spójrzmy na inny przykład: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokażmy, jak wprowadzać liczby pod pierwiastkiem kwadratowym na przykładzie wyrażenia \(5\sqrt2\) (krótka notacja wyrażenia \(5\cdot \sqrt2\)). Ponieważ \(5=\sqrt(25)\) , to \ Pamiętaj też, że np.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Dlaczego? Wyjaśnijmy to na przykładzie 1). Jak już rozumiesz, nie możemy w jakiś sposób przekształcić liczby \(\sqrt2\). Wyobraźmy sobie, że \(\sqrt2\) jest pewną liczbą \(a\) . W związku z tym wyrażenie \(\sqrt2+3\sqrt2\) to nic innego jak \(a+3a\) (jedna liczba \(a\) plus trzy kolejne takie same liczby \(a\)). I wiemy, że to jest równe czterem takim liczbom \(a\) , czyli \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Często mówią „nie można wyodrębnić pierwiastka”, gdy nie można pozbyć się znaku \(\sqrt () \ \) pierwiastka (radykalnego) podczas znajdowania wartości liczby . Na przykład możesz wziąć pierwiastek liczby \(16\) ponieważ \(16=4^2\) , a zatem \(\sqrt(16)=4\) . Nie da się jednak wyodrębnić pierwiastka z liczby \(3\), to znaczy znaleźć \(\sqrt3\), ponieważ nie ma liczby, którą podniesienie do kwadratu dałoby \(3\) .
Takie liczby (lub wyrażenia zawierające takie liczby) są irracjonalne. Na przykład liczby \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) i tak dalej. są irracjonalne.
Wymierne są także liczby \(\pi\) (liczba „pi”, w przybliżeniu równa \(3,14\)), \(e\) (ta liczba nazywana jest liczbą Eulera, jest w przybliżeniu równa \(2,7 \)) itp.
\(\bullet\) Należy pamiętać, że każda liczba będzie albo wymierna, albo niewymierna. I razem wszystkie liczby wymierne i wszystkie niewymierne tworzą zbiór zwany zbiór liczb rzeczywistych. Zbiór ten jest oznaczony literą \(\mathbb(R)\) .
Oznacza to, że wszystkie liczby, które obecnie znamy, nazywane są liczbami rzeczywistymi.

Fakt 5.
\(\bullet\) Moduł liczby rzeczywistej \(a\) jest liczbą nieujemną \(|a|\) równą odległości od punktu \(a\) do \(0\) na prawdziwa linia. Na przykład \(|3|\) i \(|-3|\) są równe 3, ponieważ odległości od punktów \(3\) i \(-3\) do \(0\) to takie same i równe \(3 \) .
\(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą nieujemną, to \(|a|=a\) .
Przykład: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to \(|a|=-a\) .
Przykład: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mówią, że dla liczb ujemnych moduł „zjada” minus, natomiast liczby dodatnie, a także liczba \(0\) moduł pozostawia niezmieniony.
ALE Ta zasada dotyczy tylko liczb. Jeśli pod Twoim znakiem modułu znajduje się niewiadoma \(x\) (lub inna niewiadoma), na przykład \(|x|\) , o której nie wiemy, czy jest dodatnia, zerowa czy ujemna, to pozbądź się modułu nie możemy. W tym przypadku to wyrażenie pozostaje takie samo: \(|x|\) . \(\bullet\) Obowiązują następujące formuły: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(pod warunkiem ) a\geqslant 0\] Bardzo często popełniany jest następujący błąd: mówią, że \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) to jedno i to samo. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy \(a\) jest liczbą dodatnią lub zerem. Ale jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to jest to fałsz. Wystarczy rozważyć ten przykład. Weźmy zamiast \(a\) liczbę \(-1\) . Wtedy \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale wyrażenie \((\sqrt (-1))^2\) w ogóle nie istnieje (w końcu nie można użyć znaku pierwiastka wstawiając liczby ujemne!).
Dlatego zwracamy uwagę na fakt, że \(\sqrt(a^2)\) nie jest równe \((\sqrt a)^2\) ! Przykład 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), ponieważ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Ponieważ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , to \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (wyrażenie \(2n\) oznacza liczbę parzystą)
Oznacza to, że przy uwzględnieniu pierwiastka liczby w pewnym stopniu stopień ten zmniejsza się o połowę.
Przykład:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (zwróć uwagę, że jeśli moduł nie jest dostarczony, okazuje się, że pierwiastek liczby jest równy \(-25\ ) ; ale pamiętamy, że z definicji pierwiastka tak się nie dzieje: przy wyciąganiu pierwiastka powinniśmy zawsze otrzymać liczbę dodatnią lub zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ponieważ każda liczba do potęgi parzystej jest nieujemna)

Fakt 6.
Jak porównać dwa pierwiastki kwadratowe?
\(\bullet\) W przypadku pierwiastków kwadratowych prawdą jest: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrzykład:
1) porównaj \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Najpierw przekształćmy drugie wyrażenie na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Zatem od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Pomiędzy jakimi liczbami całkowitymi znajduje się \(\sqrt(50)\)?
Ponieważ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porównajmy \(\sqrt 2-1\) i \(0.5\) . Załóżmy, że \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jeden do obu stron))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((podnosząc obie strony do kwadratu))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(wyrównane)\] Widzimy, że otrzymaliśmy błędną nierówność. Dlatego nasze założenie było błędne i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Należy pamiętać, że dodanie określonej liczby do obu stron nierówności nie wpływa na jej znak. Mnożenie/dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią również nie wpływa na jej znak, natomiast mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
Możesz podnieść obie strony równania/nierówności TYLKO JEŚLI obie strony są nieujemne. Na przykład w nierówności z poprzedniego przykładu można podnieść obie strony do kwadratu, w nierówności \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Należy o tym pamiętać \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2\około 1,4\\ &\sqrt 3\około 1,7 \end(wyrównane)\] Znajomość przybliżonego znaczenia tych liczb pomoże Ci przy porównywaniu liczb! \(\bullet\) Aby wydobyć pierwiastek (o ile da się go wydobyć) z jakiejś dużej liczby, której nie ma w tabeli kwadratów, należy najpierw ustalić, pomiędzy którymi „setkami” się ona znajduje, a następnie – pomiędzy którymi „ dziesiątki”, a następnie określ ostatnią cyfrę tej liczby. Pokażmy, jak to działa na przykładzie.
Weźmy \(\sqrt(28224)\) . Wiemy, że \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) itd. Zauważ, że \(28224\) mieści się w przedziale od \(10\,000\) do \(40\,000\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) znajduje się pomiędzy \(100\) a \(200\) .
Ustalmy teraz, pomiędzy którymi „dziesiątkami” mieści się nasza liczba (czyli np. pomiędzy \(120\) a \(130\)). Również z tabeli kwadratów wiemy, że \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., następnie \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Widzimy więc, że \(28224\) mieści się pomiędzy \(160^2\) a \(170^2\) . Dlatego liczba \(\sqrt(28224)\) mieści się w przedziale od \(160\) do \(170\) .
Spróbujmy ustalić ostatnią cyfrę. Przypomnijmy, jakie liczby jednocyfrowe po podniesieniu do kwadratu dają na końcu \(4\)? Są to \(2^2\) i \(8^2\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) zakończy się liczbą 2 lub 8. Sprawdźmy to. Znajdźmy \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Dlatego \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Aby odpowiednio rozwiązać Unified State Exam z matematyki, należy najpierw przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza w liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do Unified State Exam z matematyki jest przedstawiona w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów na każdym poziomie wykształcenia, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. Znalezienie podstawowych wzorów do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego studiowanie teorii matematyki jest tak ważne nie tylko dla osób przystępujących do egzaminu Unified State Exam?

1. Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego z matematyki jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych z wiedzą o otaczającym go świecie. Wszystko w przyrodzie jest uporządkowane i ma jasną logikę. To właśnie znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
2. Ponieważ rozwija inteligencję. Studiując materiały referencyjne do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, osoba uczy się myśleć i rozumować logicznie, kompetentnie i jasno formułować myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania i wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

Operacje na potęgach i pierwiastkach. Stopień z negatywem ,

zerowe i ułamkowe wskaźnik. O wyrażeniach, które nie mają żadnego znaczenia.

Operacje na stopniach.

1. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie ich wykładniki sumują się:

jestem · za n = za m + n .

2. Przy dzieleniu stopni o tej samej podstawie ich wykładniki są odliczane .

3. Stopień iloczynu dwóch lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników.

(ABC… ) n = n· b n · c n…

4. Stopień stosunku (ułamka) jest równy stosunkowi stopni dywidendy (licznik) i dzielnika (mianownik):

(a/b ) n = za n / b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi, jej wykładniki mnoży się:

(jestem ) n = za m n .

Wszystkie powyższe formuły są odczytywane i wykonywane w obu kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

PRZYKŁAD (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operacje z korzeniami. We wszystkich poniższych wzorach symbol oznacza pierwiastek arytmetyczny(wyrażenie radykalne jest dodatnie).

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi korzenie tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi pierwiastków dywidendy i dzielnika:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi wystarczy podnieść do tej potęgi liczba pierwiastkowa:

4. Jeśli zwiększymy stopień zakorzenienia w M rosnąć do M potęga th jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszymy stopień korzenia w M wyodrębnij korzeń raz i w tym samym czasie M potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie jest ulegnie zmianie:

Rozszerzenie pojęcia stopnia. Do tej pory rozważaliśmy stopnie naukowe tylko z wykładnikami naturalnymi; ale działania z stopnie i korzenie mogą również prowadzić negatywny, zero I frakcyjny wskaźniki. Wszystkie te wykładniki wymagają dodatkowej definicji.

Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęga jakiejś liczby c wykładnik ujemny (całkowity) definiuje się jako jeden podzielony przez potęgę tej samej liczby z wykładnikiem równym wartości bezwzględnejwskaźnik negatywny:

T teraz formuła jestem: jakiś= jestem - N można używać nie tylko doM, więcej niż N, ale także z M, mniej niż N .

PRZYKŁAD A 4 :A 7 = za 4 - 7 = za - 3 .

Jeśli chcemy formułyjestem : jakiś= jestem - Nbyło sprawiedliwe, kiedym = rz, potrzebujemy definicji stopnia zerowego.

Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym wynosi 1.

PRZYKŁADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą i do potęgi m/n , musisz wyodrębnić root n-ta potęga m -ta potęga tej liczby A :

O wyrażeniach, które nie mają żadnego znaczenia. Jest kilka takich wyrażeń. Jakikolwiek numer.

W rzeczywistości, jeśli założymy, że to wyrażenie jest równe jakiejś liczbie X, to zgodnie z definicją dzielenia mamy: 0 = 0 · X. Ale ta równość zachodzi, gdy dowolna liczba x, co należało udowodnić.

Przypadek 3.

0 0 - Jakikolwiek numer.

Naprawdę,

Rozwiązanie Rozważmy trzy główne przypadki:

1) X = 0 – ta wartość nie spełnia tego równania

(Dlaczego?).

2) kiedy X> 0 otrzymujemy: x/x = 1, tj. 1 = 1, co oznacza

Co X- Jakikolwiek numer; ale biorąc pod uwagę, że w

W naszym przypadku X> 0, odpowiedź brzmiX > 0 ;

3) kiedy X < 0 получаем: – x/x= 1, tj . –1 = 1, zatem

W tym przypadku nie ma rozwiązania.

Zatem, X > 0.

Na początku lekcji dokonamy przeglądu podstawowych właściwości pierwiastków kwadratowych, a następnie przyjrzymy się kilku złożonym przykładom upraszczania wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe.

Temat:Funkcjonować. Właściwości pierwiastka kwadratowego

Lekcja:Konwersja i upraszczanie bardziej złożonych wyrażeń z pierwiastkami

1. Przegląd właściwości pierwiastków kwadratowych

Powtórzmy krótko teorię i przypomnijmy podstawowe właściwości pierwiastków kwadratowych.

Właściwości pierwiastków kwadratowych:

1. dlatego;

3. ;

4. .

2. Przykłady upraszczania wyrażeń z pierwiastkami

Przejdźmy do przykładów wykorzystania tych właściwości.

Przykład 1: Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Aby uprościć, liczbę 120 należy rozłożyć na czynniki pierwsze:

Kwadrat sumy ujawnimy za pomocą odpowiedniego wzoru:

Przykład 2: Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Weźmy pod uwagę, że to wyrażenie nie ma sensu dla wszystkich możliwych wartości zmiennej, ponieważ wyrażenie to zawiera pierwiastki kwadratowe i ułamki, co prowadzi do „zawężenia” zakresu dopuszczalnych wartości. OZ: ().

Sprowadźmy wyrażenie w nawiasach do wspólnego mianownika i zapiszmy licznik ostatniego ułamka jako różnicę kwadratów:

Na.

Odpowiedź. Na.

Przykład 3: Uprość wyrażenie .

Rozwiązanie. Widać, że drugi nawias licznika ma niewygodny wygląd i wymaga uproszczenia, spróbujmy go rozłożyć na czynniki metodą grupowania.

Aby móc wyprowadzić wspólny czynnik, uprościliśmy pierwiastki, rozkładając je na czynniki. Podstawmy powstałe wyrażenie na ułamek pierwotny:

Po skróceniu ułamka stosujemy wzór na różnicę kwadratów.

3. Przykład pozbycia się irracjonalności

Przykład 4. Uwolnij się od irracjonalności (pierwiastków) w mianowniku: a) ; B) .

Rozwiązanie. a) Aby pozbyć się irracjonalności mianownika, stosuje się standardową metodę mnożenia zarówno licznika, jak i mianownika ułamka przez współczynnik sprzężenia do mianownika (to samo wyrażenie, ale z przeciwnym znakiem). Odbywa się to w celu uzupełnienia mianownika ułamka do różnicy kwadratów, co pozwala pozbyć się pierwiastków w mianowniku. Zróbmy to w naszym przypadku:

b) wykonać podobne czynności:

Odpowiedź.; .

4. Przykład dowodu i identyfikacji pełnego kwadratu w rodniku zespolonym

Przykład 5. Udowodnij równość .

Dowód. Skorzystajmy z definicji pierwiastka kwadratowego, z której wynika, że ​​kwadrat wyrażenia prawostronnego musi być równy wyrażeniu pierwiastkowemu:

. Otwórzmy nawiasy korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:

, otrzymaliśmy poprawną równość.

Udowodniony.

Przykład 6. Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie. To wyrażenie jest zwykle nazywane rodnikiem złożonym (pierwiastek pod korzeniem). W tym przykładzie musisz dowiedzieć się, jak oddzielić pełny kwadrat od wyrażenia radykalnego. Aby to zrobić, zauważ, że z tych dwóch terminów jest to kandydat do roli iloczynu podwójnego we wzorze na kwadratową różnicę (różnicę, ponieważ jest minus). Zapiszmy to w postaci iloczynu: , wtedy 1 twierdzi, że jest jednym z wyrazów pełnego kwadratu, a 1 twierdzi, że jest drugim.

Podstawmy to wyrażenie pod pierwiastek.

Artykuł ten stanowi zbiór szczegółowych informacji nawiązujących do tematu właściwości korzeni. Biorąc pod uwagę temat, zaczniemy od właściwości, przestudiujemy wszystkie preparaty i przedstawimy dowody. Aby utrwalić temat, rozważymy właściwości n-tego stopnia.

Właściwości korzeni

Porozmawiamy o właściwościach.

1. Nieruchomość pomnożone liczby A I B, co jest reprezentowane jako równość a · b = a · b. Można go przedstawić w postaci czynników, dodatnich lub równych zero a 1 , a 2 , … , a k jako a 1 · za 2 · … · a k = za 1 · za 2 · … · a k ;
2. z ilorazu a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, można to również zapisać w tej postaci a b = a b;
3. Własność z potęgi liczby A z wykładnikiem parzystym a 2 m = a m dla dowolnej liczby A, na przykład własność z kwadratu liczby a 2 = a.

W każdym z przedstawionych równań możesz zamienić części przed i za znakiem myślnika, na przykład równość a · b = a · b jest przekształcana jako a · b = a · b. Właściwości równości są często używane do upraszczania złożonych równań.

Dowód pierwszych własności opiera się na definicji pierwiastka kwadratowego i własności potęg o wykładniku naturalnym. Aby uzasadnić trzecią właściwość, należy odwołać się do definicji modułu liczby.

Przede wszystkim należy udowodnić właściwości pierwiastka kwadratowego a · b = a · b. Zgodnie z definicją należy wziąć pod uwagę, że a b jest liczbą dodatnią lub równą zero, która będzie równa a b podczas budowy w kwadrat. Wartość wyrażenia a · b jest dodatnia lub równa zeru jako iloczyn liczb nieujemnych. Własność potęg liczb pomnożonych pozwala nam przedstawić równość w postaci (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Z definicji pierwiastka kwadratowego a 2 = a i b 2 = b, następnie a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

W podobny sposób można to udowodnić na podstawie produktu k mnożniki a 1 , a 2 , … , a k będzie równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych tych czynników. Rzeczywiście, a 1 · za 2 · … · a k 2 = za 1 2 · za 2 2 · … · a k 2 = za 1 · za 2 · … · a k .

Z tej równości wynika, że ​​a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Spójrzmy na kilka przykładów, aby wzmocnić temat.

Przykład 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 i 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Należy udowodnić własność arytmetycznego pierwiastka kwadratowego z ilorazu: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Właściwość pozwala zapisać równość a: b 2 = a 2: b 2 oraz a 2: b 2 = a: b, natomiast a: b jest liczbą dodatnią lub równą zero. To wyrażenie stanie się dowodem.

Na przykład 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30,121 = 30,121.

Rozważmy własność pierwiastka kwadratowego z kwadratu liczby. Można to zapisać jako równość jako a 2 = a Aby udowodnić tę własność, konieczne jest szczegółowe rozważenie kilku równości dla a ≥ 0 i o godz A< 0 .

Oczywiście dla ≥ 0 prawdziwa jest równość a 2 = a. Na A< 0 równość a 2 = - a będzie prawdziwa. Faktycznie, w tym przypadku − a > 0 i (- a) 2 = za 2 . Możemy stwierdzić, że a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 2

5 2 = 5 = 5 i - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Sprawdzona właściwość pomoże uzasadnić 2 m = a m, gdzie A– prawdziwy i M-Liczba naturalna. Rzeczywiście, właściwość podnoszenia mocy pozwala nam zastąpić moc 2 m wyrażenie (am) 2, wtedy a 2 m = (a m) 2 = za m.

Przykład 3

3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Właściwości n-tego pierwiastka

Najpierw musimy rozważyć podstawowe właściwości n-tych pierwiastków:

1. Własność z iloczynu liczb A I B, które są dodatnie lub równe zero, można wyrazić jako równość a · b n = a n · b n, ta właściwość dotyczy iloczynu k liczby a 1 , a 2 , … , a k jako a 1 · za 2 · … · a k n = za 1 n · za 2 n · … · a k n ;
2. z liczby ułamkowej ma właściwość a b n = a n b n , gdzie A jest dowolną liczbą rzeczywistą, która jest dodatnia lub równa zero, oraz B– dodatnia liczba rzeczywista;
3. Dla każdego A a nawet wskaźniki n = 2 m a 2 · m 2 · m = a jest prawdziwe i nieparzyste n = 2 m - 1 równość a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a zachodzi.
4. Właściwość ekstrakcji z a m n = a n m , gdzie A– dowolna liczba, dodatnia lub równa zero, N I M są liczbami naturalnymi, właściwość tę można również przedstawić w postaci. . . za n k n 2 n 1 = za n 1 · n 2 . . . · n k;
5. Dla dowolnego nieujemnego a i arbitralnego N I M, które są naturalne, możemy również zdefiniować sprawiedliwą równość a m n · m = a n ;
6. Własność stopnia N z potęgi liczby A, która jest dodatnia lub równa zeru, do potęgi naturalnej M, określone przez równość a m n = a n m ;
7. Porównanie własności, które mają te same wykładniki: dla dowolnych liczb dodatnich A I B takie, że A< b , nierówność a n< b n ;
8. Porównanie właściwości, które mają te same liczby w katalogu głównym: if M I N - liczby naturalne to m > rz, następnie o godz 0 < a < 1 nierówność a m > a n jest prawdziwa i kiedy a > 1 wykonał m< a n .

Podane powyżej równości obowiązują, jeśli części przed i po znaku równości zostaną zamienione miejscami. Można je stosować również w tej formie. Jest to często używane podczas upraszczania lub przekształcania wyrażeń.

Dowód powyższych własności pierwiastka opiera się na definicji, własnościach stopnia i definicji modułu liczby. Właściwości te muszą zostać udowodnione. Ale wszystko jest w porządku.

1. Najpierw udowodnijmy własności n-tego pierwiastka iloczynu a · b n = a n · b n . Dla A I b, który Czy dodatnia lub równa zeru , wartość a n · b n jest również dodatnia lub równa zeru, ponieważ jest to konsekwencja mnożenia liczb nieujemnych. Własność iloczynu do potęgi naturalnej pozwala nam zapisać równość a n · b n n = a n n · b n n . Z definicji korzenia N-ty stopień a n n = a i b n n = b , zatem a n · b n n = a · b . Wynikowa równość jest dokładnie tym, co należało udowodnić.

Właściwość tę można wykazać w podobny sposób dla produktu k mnożniki: dla liczb nieujemnych a 1, a 2, …, an n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Oto przykłady użycia właściwości root N-ta potęga iloczynu: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Udowodnijmy własność pierwiastka ilorazu a b n = a n b n . Na a ≥ 0 I b > 0 warunek a n b n ≥ 0 jest spełniony i a n b n n = za n n b n n = a b .

Pokażmy przykłady:

Przykład 4

8 27 3 = 8 3 27 3 i 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. W następnym kroku należy udowodnić właściwości n-tego stopnia od liczby do stopnia N. Wyobraźmy sobie to jako równość a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a dla dowolnej liczby rzeczywistej A i naturalne M. Na a ≥ 0 otrzymujemy a = a i a 2 m = a 2 m, co dowodzi równości a 2 m 2 m = a, a równość a 2 m - 1 2 m - 1 = a jest oczywista. Na A< 0 otrzymujemy odpowiednio a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Ostatnia transformacja liczby jest ważna zgodnie z właściwością potęgi. To właśnie dowodzi równości a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a będzie prawdziwe, ponieważ uwzględniony zostanie stopień nieparzysty - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 dla dowolnej liczby C , dodatnia lub równa zeru.

Aby skonsolidować otrzymane informacje, rozważmy kilka przykładów wykorzystania właściwości:

Przykład 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 i (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Udowodnijmy następującą równość a m n = a n m . Aby to zrobić, musisz zamienić liczby przed i po znaku równości a n · m = a m n . Będzie to oznaczać, że wpis jest poprawny. Dla A, co jest pozytywne lub równe zeru , postaci a m n jest liczbą dodatnią lub równą zero. Przejdźmy do własności podnoszenia potęgi do potęgi i jej definicji. Za ich pomocą można przekształcić równości w postaci a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Dowodzi to właściwości korzenia rozważanego korzenia.

Inne właściwości są udowadniane w podobny sposób. Naprawdę, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = za n k n k = za .

Na przykład 7 3 5 = 7 5 3 i 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Udowodnijmy następującą własność a m n · m = a n . Aby to zrobić, należy wykazać, że n jest liczbą dodatnią lub równą zero. Po podniesieniu do potęgi n m jest równe jestem. Jeśli numer A jest wówczas dodatnia lub równa zero N-stopień spośród A jest liczbą dodatnią lub równą zero.W tym przypadku a n · m n = a n n m i to należało udowodnić.

Aby utrwalić zdobytą wiedzę, spójrzmy na kilka przykładów.

1. Udowodnimy następującą własność – własność pierwiastka potęgi postaci a m n = a n m . Wiadomo, kiedy a ≥ 0 stopień a n m jest liczbą nieujemną. Co więcej, ona N potęga th jest równa jestem rzeczywiście, za n m n = za n m · n = za n n m = za m . Świadczy to o własności rozważanego stopnia.

Na przykład 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Należy to udowodnić dla dowolnych liczb dodatnich A oraz b warunek jest spełniony A< b . Rozważmy nierówność a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Dlatego n< b n при A< b .

Na przykład dajmy 12 4< 15 2 3 4 .

1. Rozważ właściwość korzenia N-ty stopień. Najpierw należy rozważyć pierwszą część nierówności. Na m > rz I 0 < a < 1 prawda a m > an . Załóżmy, że a m ≤ a n. Właściwości pozwolą Ci uprościć wyrażenie do a n m · n ≤ a m m · n . Wtedy, zgodnie z właściwościami stopnia z wykładnikiem naturalnym, zachodzi nierówność a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, czyli za n ≤ za m. Uzyskana wartość przy m > rz I 0 < a < 1 nie odpowiada właściwościom podanym powyżej.

W ten sam sposób można udowodnić, że kiedy m > rz I a > 1 warunek am jest prawdziwy< a n .

Aby utrwalić powyższe właściwości, rozważmy kilka konkretnych przykładów. Przyjrzyjmy się nierównościom za pomocą konkretnych liczb.

Przykład 6

0, 7 3 > 0, 7 5 i 12 > 12 7.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Dość często przy rozwiązywaniu problemów mamy do czynienia z dużymi liczbami, z których musimy wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy. Wielu uczniów uznaje, że jest to błąd i zaczyna od nowa rozwiązywać cały przykład. W żadnym wypadku nie powinieneś tego robić! Są ku temu dwa powody:

1. Pierwiastki dużych liczb rzeczywiście pojawiają się w problemach. Zwłaszcza w tekstach;
2. Istnieje algorytm, dzięki któremu te pierwiastki są obliczane niemal ustnie.

Rozważymy ten algorytm dzisiaj. Być może niektóre rzeczy będą wydawać Ci się niezrozumiałe. Ale jeśli zwrócisz uwagę na tę lekcję, otrzymasz potężną broń przeciwko pierwiastki kwadratowe.

Zatem algorytm:

1. Ogranicz wymagany pierwiastek powyżej i poniżej do liczb będących wielokrotnościami 10. W ten sposób zmniejszymy zakres wyszukiwania do 10 liczb;
2. Z tych 10 liczb odrzuć te, które zdecydowanie nie mogą być pierwiastkami. W rezultacie pozostaną 1-2 liczby;
3. Podnieś do kwadratu te liczby 1-2. Pierwiastkiem będzie ten, którego kwadrat jest równy pierwotnej liczbie.

Zanim zastosujemy ten algorytm w praktyce, przyjrzyjmy się każdemu krokowi z osobna.

Ograniczenie korzeni

Przede wszystkim musimy dowiedzieć się, pomiędzy którymi liczbami znajduje się nasz pierwiastek. Jest wysoce pożądane, aby liczby były wielokrotnościami dziesięciu:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Otrzymujemy ciąg liczb:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Co nam mówią te liczby? To proste: wyznaczamy granice. Weźmy na przykład liczbę 1296. Leży ona pomiędzy 900 a 1600. Zatem jej pierwiastek nie może być mniejszy niż 30 i większy niż 40:

[Podpis do zdjęcia]

To samo dotyczy każdej innej liczby, z której można znaleźć pierwiastek kwadratowy. Na przykład 3364:

[Podpis do zdjęcia]

Tym samym zamiast niezrozumiałej liczby otrzymujemy bardzo konkretny zakres, w którym leży pierwiastek pierwotny. Aby jeszcze bardziej zawęzić obszar poszukiwań, przejdź do kroku drugiego.

Eliminowanie oczywiście niepotrzebnych liczb

Mamy więc 10 liczb - kandydatów na pierwiastek. Dostaliśmy je bardzo szybko, bez skomplikowanego myślenia i mnożenia w kolumnie. Czas iść dalej.

Wierzcie lub nie, ale teraz zmniejszymy liczbę numerów kandydatów do dwóch - znowu bez żadnych skomplikowanych obliczeń! Wystarczy znać specjalną zasadę. Oto ona:

Ostatnia cyfra kwadratu zależy tylko od ostatniej cyfry oryginalny numer.

Innymi słowy, wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę kwadratu i od razu zrozumiemy, gdzie kończy się pierwotna liczba.

Na ostatnim miejscu może zająć tylko 10 cyfr. Spróbujmy dowiedzieć się, w co zamieniają się po podniesieniu do kwadratu. Spójrz na tabelę:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ta tabela to kolejny krok w kierunku obliczenia pierwiastka. Jak widać liczby w drugiej linii okazały się symetryczne względem piątki. Na przykład:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Jak widać, ostatnia cyfra jest taka sama w obu przypadkach. Oznacza to, że np. pierwiastek 3364 musi kończyć się na 2 lub 8. Z drugiej strony pamiętamy o ograniczeniu z poprzedniego akapitu. Otrzymujemy:

[Podpis do zdjęcia]

Czerwone kwadraty wskazują, że nie znamy jeszcze tej liczby. Ale pierwiastek leży w przedziale od 50 do 60, w którym znajdują się tylko dwie liczby kończące się na 2 i 8:

[Podpis do zdjęcia]

To wszystko! Ze wszystkich możliwych korzeni pozostawiliśmy tylko dwie opcje! I to w najtrudniejszym przypadku, bo ostatnią cyfrą może być 5 lub 0. I wtedy będzie tylko jeden kandydat na pierwiastki!

Ostateczne obliczenia

Mamy zatem 2 numery kandydatów. Skąd wiesz, który z nich jest korzeniem? Odpowiedź jest oczywista: podnieś obie liczby do kwadratu. Pierwiastkiem będzie ta, która zostanie podniesiona do kwadratu i da pierwotną liczbę.

Na przykład dla liczby 3364 znaleźliśmy dwie liczby kandydujące: 52 i 58. Podnieśmy je do kwadratu:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

To wszystko! Okazało się, że pierwiastek wynosi 58! Jednocześnie dla uproszczenia obliczeń skorzystałem ze wzoru na kwadraty sumy i różnicy. Dzięki temu nie musiałem nawet mnożyć liczb w kolumnie! To kolejny poziom optymalizacji obliczeń, ale oczywiście jest on całkowicie opcjonalny :)

Przykłady obliczania pierwiastków

Teoria oczywiście jest dobra. Ale sprawdźmy to w praktyce.

[Podpis do zdjęcia]

Najpierw dowiedzmy się, pomiędzy którymi liczbami leży liczba 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Spójrzmy teraz na ostatnią liczbę. Jest równa 6. Kiedy to się dzieje? Tylko jeśli pierwiastek kończy się na 4 lub 6. Otrzymujemy dwie liczby:

Pozostaje tylko podnieść każdą liczbę do kwadratu i porównać ją z oryginałem:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Świetnie! Pierwszy kwadrat okazał się równy pierwotnej liczbie. Więc to jest korzeń.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

1369 → 9;
33; 37.

Kwadrat:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Oto odpowiedź: 37.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

Ograniczamy liczbę:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

2704 → 4;
52; 58.

Kwadrat:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Otrzymaliśmy odpowiedź: 52. Drugiej liczby nie trzeba już podnosić do kwadratu.

Zadanie. Oblicz pierwiastek kwadratowy:

[Podpis do zdjęcia]

Ograniczamy liczbę:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Spójrzmy na ostatnią cyfrę:

4225 → 5;
65.

Jak widać, po drugim kroku pozostała tylko jedna opcja: 65. To jest pożądany korzeń. Ale spójrzmy jeszcze raz i sprawdźmy:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Wszystko jest poprawne. Zapisujemy odpowiedź.

Wniosek

Niestety, nie lepiej. Spójrzmy na przyczyny. Są dwa z nich:

• Na każdym normalnym egzaminie z matematyki, czy to na egzaminie państwowym, czy na egzaminie jednolitym, używanie kalkulatorów jest zabronione. A jeśli przyniesiesz na zajęcia kalkulator, możesz łatwo zostać wyrzucony z egzaminu.
• Nie bądź jak głupi Amerykanie. Które nie są jak pierwiastki - nie mogą dodać dwóch liczb pierwszych. A kiedy widzą ułamki, zazwyczaj wpadają w histerię.