Suma środkowych trójkąta. Mediana. Szczegółowa teoria z przykładami. Podstawowe elementy trójkąta abc

Zawiera ten segment. Nazywa się punkt przecięcia środkowej z bokiem trójkąta podstawa środkowej.

• Możesz także przedstawić tę koncepcję zewnętrzna mediana trójkąt.

Encyklopedyczny YouTube

1 / 3

✪ ŚREDNIE dwusiecznych i WYSOKOŚCI trójkąta - ocena 7

✪ Mediana trójkąta. Budowa. Nieruchomości.

✪ dwusieczna, środkowa, wysokość trójkąta. Geometria w klasie 7

Napisy na filmie obcojęzycznym

Nieruchomości

Główna nieruchomość

Wszystkie trzy środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta, i są podzielone przez ten punkt na dwie części w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka.

Własności środkowych trójkąta równoramiennego

• W trójkącie równoramiennym dwie środkowe poprowadzone do równych boków trójkąta są równe, a trzecia środkowa jest zarówno dwusieczną, jak i wysokością.
• Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli dwie środkowe w trójkącie są równe, to trójkąt jest równoramienny, a trzecia środkowa jest zarówno dwusieczną, jak i wysokością kąta w jego wierzchołku.
• W trójkącie równobocznym wszystkie trzy środkowe są równe.

Właściwości baz medianowych

• Twierdzenie Eulera dla okręgu dziewięciu punktów: podstawy trzech wysokości dowolnego trójkąta, środki jego trzech boków ( podstawy jej środkowych) i środki trzech odcinków łączących jego wierzchołki z ortocentrum leżą na tym samym okręgu (tzw. okrąg z dziewięcioma punktami).
• Przeciągnięty fragment fusy dowolne dwie środkowe trójkąta są jego linia środkowa. Linia środkowa trójkąta jest zawsze równoległa do boku trójkąta, z którym nie ma punktów wspólnych.
  • Wniosek (twierdzenie Talesa o równoległy segmenty). Linia środkowa trójkąta jest równa połowie długości boku trójkąta, do którego jest równoległa.

Inne właściwości

• Jeśli trójkąt wszechstronny (różnoboczny), to jego dwusieczna narysowana z dowolnego wierzchołka leży pomiędzy medianą a wysokością narysowaną z tego samego wierzchołka.
• Mediana dzieli trójkąt na dwa równe (pod względem powierzchni) trójkąty.
• Trójkąt jest podzielony przez trzy środkowe na sześć równych trójkątów.
• Z segmentów tworzących środkowe możesz utworzyć trójkąt, którego powierzchnia będzie równa 3/4 całego trójkąta. Średnie długości spełniają nierówność trójkąta.
• W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka pod kątem prostym jest równa połowie przeciwprostokątnej.
• Większy bok trójkąta odpowiada mniejszej środkowej.
• Segment prosty, symetryczny lub sprzężony izogonalnie wewnętrzna środkowa względem wewnętrznej dwusiecznej nazywana jest symedianą trójkąta. Trzy simedowie przejść przez jeden punkt - Punkt Lemoine’a.
• Mediana kąta trójkąta sprzężony izotomicznie do siebie.

Podstawowe relacje

W szczególności suma kwadratów środkowych dowolnego trójkąta wynosi 3/4 sumy kwadratów jego boków: m za 2 + m b 2 + m do 2 = 3 4 (za 2 + b 2 + do 2) (\ Displaystyle m_ (a) ^ (2) + m_ (b) ^ (2) + m_ (c) ^ (2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

• I odwrotnie, możesz wyrazić długość dowolnego boku trójkąta za pomocą median:

za = 2 3 2 (m b 2 + m do 2) - m za 2 (\ Displaystyle a = (\ Frac (2) (3)) (\ sqrt (2 (m_ (b) ^ (2) + m_ (c) ^ (2))-m_(a)^(2)))), Gdzie m za , m b , m do (\ displaystyle m_ (a), m_ (b), m_ (c))środkowe odpowiednich boków trójkąta, za , b , do (\ displaystyle a, b, c)- boki trójkąta.

Właściwości akordów

1. Średnica (promień), prostopadła do cięciwy, dzieli tę cięciwę i oba wyznaczone przez nią łuki na pół. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeśli średnica (promień) przecina cięciwę na pół, to jest ona prostopadła do tej cięciwy.

2. Łuki zawarte pomiędzy równoległymi cięciwami są równe.

3. Jeśli dwie cięciwy koła, AB I płyta CD przecinają się w jednym punkcie M, to iloczyn odcinków jednego cięciwy jest równy iloczynowi odcinków innego cięciwy: AM MB = CM MD.

Właściwości okręgu

1. Linia prosta nie może mieć punktów wspólnych z okręgiem; mają jeden punkt wspólny z okręgiem ( tangens); mają z nią dwa punkty wspólne ( sieczna).

2. Przez trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii, możesz narysować okrąg i tylko jeden.

3. Punkt styku dwóch okręgów leży na linii łączącej ich środki.

Twierdzenie styczne i sieczne

Jeżeli z punktu leżącego poza okręgiem poprowadzono styczną i sieczną, wówczas kwadrat długości stycznej jest równy iloczynowi siecznej i jej zewnętrznej części: MC 2 = MA MB.

Twierdzenie sieczne

Jeżeli z punktu leżącego poza okręgiem poprowadzono dwie sieczne, to iloczyn jednej siecznej i jej części zewnętrznej jest równy iloczynowi drugiej siecznej i jej części zewnętrznej. MA MB = MC MD.

Kąty w okręgu

Centralny Kąt w okręgu to kąt płaski z wierzchołkiem w środku.

Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki przecinają to okrąg, nazywa się kąt wpisany.

Dowolne dwa punkty na okręgu dzielą go na dwie części. Każda z tych części nazywa się łuk koła. Miarą łuku może być miara odpowiadającego mu kąta środkowego.

Łuk nazywa się półkole, jeśli odcinek łączący jego końce jest średnicą.

Właściwości kątów związanych z okręgiem

1. Kąt wpisany jest albo równy połowie odpowiadającego mu kąta środkowego, albo uzupełnia połowę tego kąta do 180°.

2. Kąty wpisane w jeden okrąg i oparte na tym samym łuku są równe.

3. Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi 90°.

5. Kąt utworzony przez styczną do okręgu i sieczną poprowadzoną przez punkt styczności jest równy połowie łuku zawartego między jego bokami.

Długości i powierzchnie

1. Obwód C promień R obliczane według wzoru: C= 2 R.

2. Obszar S promień okręgu R obliczane według wzoru: S = R2.

3. Długość łuku kołowego L promień R z kątem środkowym mierzonym w radianach, obliczanym ze wzoru: L = R .

4. Obszar S sektory promieniowe R z kątem środkowym w radianach oblicza się ze wzoru: S = R2 .

Okręgi wpisane i opisane

Okrąg i trójkąt

· środkiem okręgu wpisanego jest punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta, czyli jego promień R obliczane według wzoru:

r =, Gdzie S jest obszarem trójkąta i - półobwód;

· środek okręgu opisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych, jego promień R obliczamy ze wzoru:

R= , R = ;

· środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej;

· środki okręgów wpisanych i opisanych w trójkącie pokrywają się tylko wtedy, gdy trójkąt ten jest regularny.

Okrąg i czworokąt

· okrąg można opisać wokół czworoboku wypukłego wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego kątów wewnętrznych przeciwnych wynosi 180°:

180°;

okrąg można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwnych boków są równe za + do = b + re;

równoległobok można opisać jako okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostokątem;

· okrąg można opisać wokół trapezu wtedy i tylko wtedy, gdy trapez ten jest równoramienny; środek okręgu leży na przecięciu osi symetrii trapezu z dwusieczną prostopadłą do boku;

· W równoległobok można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy jest to romb.

Trójkąty

Własności środkowych trójkątów

1. Mediana dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

2. Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Ten punkt nazywa się Środek ciężkości trójkąt.

3. Cały trójkąt jest podzielony przez środkowe na sześć równych trójkątów.

Własności dwusiecznych trójkąta

1. Dwusieczna kąta to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków tego kąta.

2. Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do sąsiednich boków: .

3. Punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Własności wysokości trójkątów

1. W trójkącie prostokątnym wysokość narysowana z wierzchołka kąta prostego dzieli go na dwa trójkąty podobne do pierwotnego.

2. W ostrym trójkącie jego dwie wysokości odcinają od niego podobne trójkąty.

Mediana to odcinek poprowadzony od wierzchołka trójkąta do środka przeciwległego boku, to znaczy dzieli go na pół w punkcie przecięcia. Punkt, w którym środkowa przecina bok przeciwny do wierzchołka, z którego wychodzi, nazywa się podstawą. Każda środkowa trójkąta przechodzi przez jeden punkt, zwany punktem przecięcia. Wzór na jego długość można wyrazić na kilka sposobów.

Wzory wyrażania długości mediany

• Często w zadaniach z geometrii uczniowie mają do czynienia z odcinkiem, takim jak środkowa trójkąta. Wzór na jego długość wyraża się w bokach:

gdzie a, b i c są bokami. Ponadto c jest stroną, po której opada mediana. Tak wygląda najprostsza formuła. Do obliczeń pomocniczych czasami wymagane są środkowe trójkąta. Istnieją inne formuły.

• Jeżeli podczas obliczeń znane są dwa boki trójkąta i pewien kąt α znajdujący się między nimi, wówczas długość środkowej trójkąta obniżonej do trzeciego boku zostanie wyrażona w następujący sposób.

Podstawowe właściwości

• Wszystkie środkowe mają jeden wspólny punkt przecięcia O i są przez niego dzielone w stosunku dwa do jednego, jeśli liczymy od wierzchołka. Punkt ten nazywany jest środkiem ciężkości trójkąta.
• Mediana dzieli trójkąt na dwa inne, których pola są równe. Takie trójkąty nazywane są równymi polami.
• Jeśli narysujesz wszystkie środkowe, trójkąt zostanie podzielony na 6 równych figur, które również będą trójkątami.
• Jeśli wszystkie trzy boki trójkąta są równe, to każda ze środkowych będzie również wysokością i dwusieczną, to znaczy prostopadłą do boku, do którego jest narysowana, i dzieli na pół kąt, z którego wychodzi.
• W trójkącie równoramiennym środkowa narysowana z wierzchołka znajdującego się naprzeciw boku, który nie jest równy żadnemu innemu, będzie również wysokością i dwusieczną. Mediany wypadnięte z innych wierzchołków są równe. Jest to również warunek konieczny i wystarczający dla równoramiennych.
• Jeśli trójkąt jest podstawą regularnej piramidy, wówczas wysokość opuszczona na tę podstawę jest rzutowana na punkt przecięcia wszystkich środkowych.

• W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona do najdłuższego boku jest równa połowie jego długości.
• Niech O będzie punktem przecięcia środkowych trójkąta. Poniższy wzór będzie prawdziwy dla dowolnego punktu M.

• Mediana trójkąta ma inną właściwość. Poniżej przedstawiono wzór na kwadrat jego długości poprzez kwadraty boków.

Właściwości boków, do których narysowana jest mediana

• Jeśli połączysz dowolne dwa punkty przecięcia środkowych z bokami, na które są one upuszczone, wówczas powstały odcinek będzie linią środkową trójkąta i będzie połową boku trójkąta, z którym nie ma wspólnych punktów.
• Podstawy wysokości i środkowe w trójkącie oraz środki odcinków łączących wierzchołki trójkąta z punktem przecięcia wysokości leżą na tym samym okręgu.

Podsumowując, logiczne jest stwierdzenie, że jednym z najważniejszych odcinków jest środkowa trójkąta. Jego wzór można wykorzystać do obliczenia długości pozostałych boków.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Mediana jest jednym z unikalnych odcinków trójkąta. Mediana ma wiele właściwości przydatnych do rozwiązywania problemów, a punkt przecięcia median dodatkowo rozszerza listę tych właściwości. Punkt przecięcia środkowych i jego własności zostaną omówione dzisiaj.

Mediana

Mediana to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem odcinka po przeciwnej stronie. Trzy środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywa się punktem przecięcia środkowej.

Mediany, w przeciwieństwie do wysokości, zawsze leżą wewnątrz trójkąta. Jest to logiczne, ponieważ odcinek środkowy łączy wierzchołek i środek boku. A środek boku zawsze leży wewnątrz trójkąta.

Ryż. 1. Mediany w trójkącie rozwartym.

Jeśli połączysz dowolne dwie podstawy środkowych segmentem, otrzymasz środkową linię trójkąta. Trzy środkowe linie trójkąta tworzą trójkąt podobny do pierwotnego o stosunku podobieństwa 1:2

Istnieje jeszcze jedna interesująca właściwość median, która pomoże uniknąć nieporozumień podczas konstruowania złotego podziału trójkąta. Mediana w trójkącie zawsze znajduje się pomiędzy wysokością a dwusieczną.

Ryż. 2. Złoty podział dowolnego trójkąta.

Podajemy również wzór na obliczenie długości środkowej z trzech stron. Formuła ta jest często używana przy rozwiązywaniu problemów, dlatego warto o niej pamiętać.

$$m_c=((\sqrt(2a^2+2b^2-c^2))\over(2))$$

Często łatwiej jest uczniom zapamiętać sformułowanie werbalne niż zapamiętać formułę. Aby znaleźć medianę wzdłuż trzech boków, musisz wziąć pierwiastek z sumy dwukrotności kwadratów boków minus kwadrat boku, do którego narysowana jest mediana. Powstały korzeń należy podzielić na pół.

Środkowy punkt przecięcia

Punkt przecięcia środkowych jest jednym z 3 niezwykłych punktów trójkąta, które tworzą złoty podział trójkąta.

Punkt przecięcia środkowych trójkąta ma wiele właściwości przydatnych w rozwiązywaniu problemów:

• Mediana jest podzielona przez punkt przecięcia na odcinki o współczynniku proporcjonalności 1:2, licząc od wierzchołka.
• Trzy środkowe narysowane w trójkącie dzielą go na 6 równych trójkątów. Trójkąty o równym polu nazywane są równym polem. Same te liczby mają niewiele wspólnego, ale ich liczbowa charakterystyka powierzchni jest zgodna.
• Punkt, w którym środkowe przecinają się w trójkącie, nazywany jest środkiem ciężkości i stanowi środek ciężkości trójkąta.

Punkt przecięcia środkowych jest jedynym ze złotej części trójkąta, który ma prawdziwe znaczenie fizyczne. Jeśli wytniesz trójkąt z tektury i narysujesz w nim środkowe cienkim ołówkiem, wówczas punktem ich przecięcia będzie środek ciężkości płaskiej figury.

Ryż. 3. Środek ciężkości trójkąta.

Oznacza to, że jeśli w tym miejscu umieścisz igłę, figura pozostanie na niej bez nakłucia, wyłącznie dzięki równowadze.

Czego się nauczyliśmy?

Podaliśmy wzór na obliczenie mediany 3 boków trójkąta. Podano kilka właściwości punktu przecięcia środkowych w trójkącie. Rozmawialiśmy o prawdziwym fizycznym znaczeniu środka ciężkości trójkąta.

Testuj w temacie

Ocena artykułu

Średnia ocena: 4.1. Łączna liczba otrzymanych ocen: 255.