Co to znaczy doprowadzić do wspólnego mianownika? Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Pobierz lekcję wideo „Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika”

Ułamki mają różne lub identyczne mianowniki. Ten sam mianownik lub inaczej nazywany wspólny mianownik na ułamku. Przykład wspólnego mianownika:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Przykład różnych mianowników ułamków:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Jak sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika?

Mianownik pierwszego ułamka to 3, mianownik drugiego to 13. Musisz znaleźć liczbę, która jest podzielna zarówno przez 3, jak i 13. Ta liczba to 39.

Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez dodatkowy mnożnik 13. Aby mieć pewność, że ułamek się nie zmieni, musimy pomnożyć zarówno licznik przez 13, jak i mianownik.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)

Drugi ułamek mnożymy przez dodatkowy współczynnik 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

Sprowadziliśmy ułamek do wspólnego mianownika:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Najniższy wspólny mianownik.

Spójrzmy na inny przykład:

Sprowadźmy ułamki \(\frac(5)(8)\) i \(\frac(7)(12)\) do wspólnego mianownika.

Wspólnym mianownikiem liczb 8 i 12 mogą być liczby 24, 48, 96, 120, ..., zwykle wybiera się najniższy wspólny mianownik w naszym przypadku jest to liczba 24.

Najniższy wspólny mianownik to najmniejsza liczba, przez którą można podzielić mianownik pierwszego i drugiego ułamka.

Jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik?
Metoda wyliczania liczb, według której dzielimy mianownik pierwszego i drugiego ułamka i wybieramy najmniejszy.

Musimy pomnożyć ułamek o mianowniku 8 przez 3, a ułamek o mianowniku 12 pomnożyć przez 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\koniec(wyrównaj)\)

Jeśli nie możesz od razu sprowadzić ułamków do najniższego wspólnego mianownika, nie ma się czym martwić; w przyszłości, rozwiązując przykład, być może będziesz musiał uzyskać otrzymaną odpowiedź.

Wspólny mianownik można znaleźć dla dowolnych dwóch ułamków; może to być iloczyn mianowników tych ułamków.

Na przykład:
Skróć ułamki \(\frac(1)(4)\) i \(\frac(9)(16)\) do ich najniższego wspólnego mianownika.

Najprostszym sposobem znalezienia wspólnego mianownika jest pomnożenie mianowników 4⋅16=64. Liczba 64 nie jest najmniejszym wspólnym mianownikiem. Zadanie polega na znalezieniu najmniejszego wspólnego mianownika. Dlatego szukamy dalej. Potrzebujemy liczby, która jest podzielna zarówno przez 4, jak i 16, jest to liczba 16. Sprowadźmy ułamek do wspólnego mianownika, pomnóż ułamek z mianownikiem 4 przez 4, a ułamek z mianownikiem 16 przez jeden. Otrzymujemy:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(align)\)

W tym artykule wyjaśniono jak znaleźć najmniejszy wspólny mianownik I jak sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika. Najpierw podano definicje wspólnego mianownika ułamków i najmniejszego wspólnego mianownika oraz pokazano, jak znaleźć wspólny mianownik ułamków. Poniżej znajduje się zasada sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i rozważane są przykłady zastosowania tej zasady. Na zakończenie omówiono przykłady sprowadzenia trzech lub więcej ułamków do wspólnego mianownika.

Nawigacja strony.

Jak nazywa się sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika?

Teraz możemy powiedzieć, jak to jest sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika- Jest to pomnożenie liczników i mianowników danych ułamków przez takie dodatkowe czynniki, że w rezultacie otrzymamy ułamki o tych samych mianownikach.

Wspólny mianownik, definicja, przykłady

Teraz czas na zdefiniowanie wspólnego mianownika ułamków.

Innymi słowy, wspólnym mianownikiem pewnego zbioru ułamków zwykłych jest dowolna liczba naturalna, która jest podzielna przez wszystkie mianowniki tych ułamków.

Z podanej definicji wynika, że ​​dany zbiór ułamków ma nieskończenie wiele wspólnych mianowników, gdyż istnieje nieskończona liczba wspólnych wielokrotności wszystkich mianowników pierwotnego zbioru ułamków.

Wyznaczanie wspólnego mianownika ułamków pozwala znaleźć wspólne mianowniki danych ułamków. Niech na przykład biorąc pod uwagę ułamki 1/4 i 5/6, ich mianowniki wynoszą odpowiednio 4 i 6. Dodatnie wspólne wielokrotności liczb 4 i 6 to liczby 12, 24, 36, 48, ... Każda z tych liczb jest wspólnym mianownikiem ułamków 1/4 i 5/6.

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład.

Czy ułamki 2/3, 23/6 i 7/12 można sprowadzić do wspólnego mianownika wynoszącego 150?

Rozwiązanie.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy dowiedzieć się, czy liczba 150 jest wspólną wielokrotnością mianowników 3, 6 i 12. W tym celu sprawdźmy, czy 150 jest podzielne przez każdą z tych liczb (w razie potrzeby zapoznaj się z zasadami i przykładami dzielenia liczb naturalnych oraz regułami i przykładami dzielenia liczb naturalnych z resztą): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (pozostałe 6) .

Więc, Liczba 150 nie dzieli się równomiernie przez 12, zatem 150 nie jest wspólną wielokrotnością liczby 3, 6 i 12. Dlatego liczba 150 nie może być wspólnym mianownikiem pierwotnych ułamków.

Odpowiedź:

To jest zabronione.

Najniższy wspólny mianownik, jak go znaleźć?

W zbiorze liczb będących wspólnymi mianownikami danych ułamków znajduje się najmniejsza liczba naturalna, którą nazywamy najmniejszym wspólnym mianownikiem. Sformułujmy definicję najniższego wspólnego mianownika tych ułamków.

Definicja.

Najniższy wspólny mianownik jest najmniejszą liczbą wszystkich wspólnych mianowników tych ułamków.

Pozostaje jeszcze odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć najmniejszy wspólny dzielnik.

Ponieważ jest to najmniej dodatni wspólny dzielnik danego zbioru liczb, LCM mianowników danych ułamków reprezentuje najmniejszy wspólny mianownik danych ułamków.

Zatem znalezienie najniższego wspólnego mianownika ułamków sprowadza się do mianowników tych ułamków. Spójrzmy na rozwiązanie przykładu.

Przykład.

Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków 3/10 i 277/28.

Rozwiązanie.

Mianowniki tych ułamków to 10 i 28. Pożądany najniższy wspólny mianownik można znaleźć jako LCM liczb 10 i 28. W naszym przypadku jest to proste: skoro 10=2,5, a 28=2,2,7, to LCM(15, 28)=2,2,5,7=140.

Odpowiedź:

140 .

Jak sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika? Reguła, przykłady, rozwiązania

Ułamki zwykłe zwykle dają najniższy wspólny mianownik. Zapiszemy teraz regułę wyjaśniającą, jak sprowadzać ułamki do najniższego wspólnego mianownika.

Zasada sprowadzania ułamków do najmniejszego wspólnego mianownika składa się z trzech kroków:

• Najpierw znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.
• Po drugie, dla każdego ułamka obliczany jest dodatkowy współczynnik poprzez podzielenie najniższego wspólnego mianownika przez mianownik każdego ułamka.
• Po trzecie, licznik i mianownik każdego ułamka są mnożone przez jego dodatkowy współczynnik.

Zastosujmy podaną regułę do rozwiązania następującego przykładu.

Przykład.

Skróć ułamki 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika.

Rozwiązanie.

Wykonajmy wszystkie kroki algorytmu redukcji ułamków do najniższego wspólnego mianownika.

Najpierw znajdujemy najmniejszy wspólny mianownik, który jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 14 i 18. Ponieważ 14=2,7 i 18=2,3,3, to LCM(14, 18)=2,3,3,7=126.

Teraz obliczamy dodatkowe współczynniki, za pomocą których ułamki 5/14 i 7/18 zostaną zredukowane do mianownika 126. Dla ułamka 5/14 dodatkowy współczynnik wynosi 126:14=9, a dla ułamka 7/18 dodatkowy współczynnik wynosi 126:18=7.

Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków 5/14 i 7/18 przez dodatkowe współczynniki odpowiednio 9 i 7. Mamy i .

Zatem redukcja ułamków 5/14 i 7/18 do najniższego wspólnego mianownika została zakończona. Otrzymane frakcje wynosiły 45/126 i 49/126.

Pierwotnie chciałem uwzględnić techniki wspólnego mianownika w sekcji Dodawanie i odejmowanie ułamków. Okazało się jednak, że informacji jest tak dużo, a ich znaczenie jest tak duże (w końcu nie tylko ułamki liczbowe mają wspólny mianownik), że lepiej przestudiować to zagadnienie osobno.

Załóżmy, że mamy dwa ułamki o różnych mianownikach. I chcemy mieć pewność, że mianowniki staną się takie same. Na ratunek przychodzi podstawowa własność ułamka, która, przypominam, brzmi tak:

Ułamek nie zmieni się, jeśli jego licznik i mianownik zostaną pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera.

Zatem, jeśli prawidłowo wybierzesz czynniki, mianowniki ułamków staną się równe - proces ten nazywa się redukcją do wspólnego mianownika. A wymagane liczby „wyrównujące” mianowniki nazywane są dodatkowymi czynnikami.

Dlaczego musimy sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika? Oto tylko kilka powodów:

1. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu wykonania tej operacji;
2. Porównywanie ułamków. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
3. Rozwiązywanie problemów z ułamkami zwykłymi i procentami. Procenty to zasadniczo zwykłe wyrażenia zawierające ułamki zwykłe.

Istnieje wiele sposobów znajdowania liczb, które po pomnożeniu przez nie sprawią, że mianowniki ułamków będą równe. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, skuteczności.

Mnożenie krzyżowe

Najprostsza i najbardziej niezawodna metoda, która gwarantuje wyrównanie mianowników. Będziemy działać „na oślep”: mnożymy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe iloczynowi pierwotnych mianowników. Spójrz:

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób zabezpieczysz się przed wieloma błędami i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, ponieważ mianowniki są mnożone „do końca”, a wynikiem mogą być bardzo duże liczby. To cena, jaką trzeba zapłacić za niezawodność.

Metoda wspólnego dzielnika

Technika ta pomaga znacznie ograniczyć obliczenia, ale niestety jest stosowana dość rzadko. Metoda jest następująca:

1. Zanim pójdziesz na wprost (tj. metodą krzyżową), spójrz na mianowniki. Być może jeden z nich (ten większy) dzieli się na drugi.
2. Liczba wynikająca z tego dzielenia będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
3. W tym przypadku ułamka o dużym mianowniku w ogóle nie trzeba przez nic mnożyć - tu leżą oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:

Zauważ, że 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest dzielony bez reszty przez drugi, stosujemy metodę wspólnych czynników. Mamy:

Zauważ, że drugi ułamek w ogóle nie został pomnożony przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Nawiasem mówiąc, nie przypadkowo wziąłem ułamki w tym przykładzie. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj policzyć je metodą krzyżową. Po redukcji odpowiedzi będą takie same, ale pracy będzie dużo więcej.

To jest siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można jej użyć tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest podzielny przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Najmniej popularna metoda wielokrotna

Kiedy sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo staramy się znaleźć liczbę, która jest podzielna przez każdy z mianowników. Następnie doprowadzamy mianowniki obu ułamków do tej liczby.

Takich liczb jest wiele i najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa iloczynowi bezpośredniemu mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Liczba ta jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 · 12 = 96.

Najmniejszą liczbę podzielną przez każdy z mianowników nazywa się ich najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM).

Notacja: Najmniejszą wspólną wielokrotność aib oznaczamy przez LCM(a; b). Na przykład LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:

Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych czynników innych niż 1), a czynnik 117 jest wspólny. Dlatego LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest wspólny. Dlatego LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:

Zwróć uwagę, jak przydatne było rozłożenie pierwotnych mianowników na czynniki:

1. Po odkryciu identycznych czynników od razu dotarliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest problemem nietrywialnym;
2. Z powstałego rozwinięcia można dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” w każdym ułamku. Na przykład 234 · 3 = 702, dlatego dla pierwszego ułamka dodatkowy współczynnik wynosi 3.

Aby docenić różnicę, jaką powoduje najmniej popularna metoda wielokrotna, spróbuj obliczyć te same przykłady, stosując metodę krzyżową. Oczywiście bez kalkulatora. Myślę, że po tym komentarz będzie zbędny.

Nie myśl, że w rzeczywistych przykładach nie będzie tak skomplikowanych ułamków. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

Jedynym problemem jest to, jak znaleźć ten właśnie NOC. Czasami wszystko można znaleźć w ciągu kilku sekund, dosłownie „na oko”, ale ogólnie jest to złożone zadanie obliczeniowe, które wymaga osobnego rozważenia. Nie będziemy tego tutaj dotykać.

• Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
• Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
• Koncepcja NOC
• Sprowadzanie ułamków do tego samego mianownika
• Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

1 Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki, ale pozostawić mianownik bez zmian, na przykład:

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian, na przykład:

Aby dodać ułamki mieszane, należy osobno dodać ich całe części, a następnie dodać ich części ułamkowe i wynik zapisać jako ułamek mieszany,

Przykład 1:

Przykład 2:

Jeśli podczas dodawania części ułamkowych otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz z niego całą część i dodaj ją do całej części, na przykład:

2 Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Aby dodawać lub odejmować ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie postępować zgodnie ze wskazówkami na początku tego artykułu. Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność). Dla licznika każdego ułamka dodatkowe czynniki znajdują się poprzez podzielenie LCM przez mianownik tego ułamka. Przyjrzymy się przykładowi później, gdy zrozumiemy, czym jest NOC.

3 Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb (LCM) to najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się przez obie liczby bez pozostawiania reszty. Czasami LCM można znaleźć ustnie, ale częściej, szczególnie podczas pracy z dużymi liczbami, trzeba znaleźć LCM na piśmie, stosując następujący algorytm:

Aby znaleźć LCM kilku liczb, potrzebujesz:

1. Rozłóż te liczby na czynniki pierwsze
2. Weź największe rozwinięcie i zapisz te liczby jako iloczyn
3. W pozostałych rozkładach wybierz liczby, które nie pojawiają się w największym rozkładzie (lub występują w nim mniej razy) i dodaj je do iloczynu.
4. Pomnóż wszystkie liczby w iloczynie, będzie to LCM.

Na przykład znajdźmy LCM liczb 28 i 21:

4 Sprowadzanie ułamków do tego samego mianownika

Wróćmy do dodawania ułamków o różnych mianownikach.

Kiedy redukujemy ułamki do tego samego mianownika, równego LCM obu mianowników, musimy pomnożyć liczniki tych ułamków przez dodatkowe mnożniki. Można je znaleźć, dzieląc LCM przez mianownik odpowiedniego ułamka, na przykład:

Zatem, aby sprowadzić ułamki do tego samego wykładnika, należy najpierw znaleźć LCM (czyli najmniejszą liczbę podzielną przez oba mianowniki) mianowników tych ułamków, a następnie do liczników ułamków dodać dodatkowe współczynniki. Można je znaleźć, dzieląc wspólny mianownik (CLD) przez mianownik odpowiedniego ułamka. Następnie musisz pomnożyć licznik każdego ułamka przez dodatkowy współczynnik i umieścić LCM jako mianownik.

5 Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

Aby dodać liczbę całkowitą i ułamek, wystarczy dodać tę liczbę przed ułamkiem, aby utworzyć ułamek mieszany, na przykład:

Jeśli dodamy liczbę całkowitą i ułamek mieszany, dodajemy tę liczbę do całkowitej części ułamka, na przykład:

Trener 1

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach.

Limit czasu: 0

Nawigacja (tylko numery zadań)

0 z 20 zadań zostało ukończonych

Informacja

Ten test sprawdza Twoją umiejętność dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. W takim przypadku należy przestrzegać dwóch zasad:

• Jeśli wynikiem jest ułamek niewłaściwy, należy go zamienić na liczbę mieszaną.
• Jeśli ułamek można skrócić, pamiętaj o jego skróceniu, w przeciwnym razie błędna odpowiedź zostanie policzona.

Już wcześniej przystąpiłeś do testu. Nie możesz zacząć tego od nowa.

Ładowanie testowe...

Aby rozpocząć test, musisz się zalogować lub zarejestrować.

Aby rozpocząć ten, musisz ukończyć następujące testy:

wyniki

Prawidłowe odpowiedzi: 0 na 20

Twój czas:

Czas się skończył

Zdobyłeś 0 z 0 punktów (0)

1. Z odpowiedzią
2. Ze znakiem widokowym