Równania według twierdzenia Pitagorasa. Metody dowodzenia twierdzenia Pitagorasa. Podobne kształty geometryczne z trzech stron

Upewnij się, że podany trójkąt jest prostokątny, ponieważ twierdzenie Pitagorasa ma zastosowanie tylko do trójkątów prostokątnych. W trójkątach prostokątnych jeden z trzech kątów ma zawsze 90 stopni.

• Kąt prosty w trójkącie prostokątnym jest oznaczony ikoną kwadratu, a nie krzywą, która jest kątem ukośnym.

Dodaj zarysy boków trójkąta. Oznacz nogi jako „a” i „b” (nogi - boki przecinające się pod kątem prostym), a przeciwprostokątną jako „c” (przeciwprostokątna - największa strona trójkąt prostokątnyleży naprzeciwko prosty kąt).

Określ, którą stronę trójkąta chcesz znaleźć. Twierdzenie Pitagorasa pozwala znaleźć dowolny bok trójkąta prostokątnego (jeśli pozostałe dwa boki są znane). Określ, którą stronę (a, b, c) musisz znaleźć.

• Na przykład, biorąc pod uwagę przeciwprostokątną równą 5 i nogę równą 3. W tym przypadku znajdź drugą nogę. Wrócimy do tego przykładu później.
• Jeśli pozostałe dwa boki są nieznane, konieczne jest znalezienie długości jednego z nieznanych boków, aby móc zastosować twierdzenie Pitagorasa. Aby to zrobić, użyj podstawowego funkcje trygonometryczne (jeśli podana jest wartość jednego z kątów ukośnych).

Zastąp we wzorze a 2 + b 2 \u003d c 2 podane wartości (lub znalezione wartości). Pamiętaj, że a i b to nogi, a c to przeciwprostokątna.

• W naszym przykładzie napisz: 3² + b² \u003d 5².

Wyrównaj każdą stronę, którą znasz. Lub zostaw stopnie - możesz później wyrównać liczby.

• W naszym przykładzie napisz: 9 + b² \u003d 25.

Wyizoluj nieznaną stronę po jednej stronie równania. Aby to zrobić, przenieś znane wartości na drugą stronę równania. Jeśli znajdziesz przeciwprostokątną, to w twierdzeniu Pitagorasa jest już izolowana po jednej stronie równania (więc nic nie trzeba robić).

• W naszym przykładzie przesuń 9 na prawą stronę równania, aby wyodrębnić nieznane b². Otrzymasz b² \u003d 16.

Wyciąg pierwiastek kwadratowy z obu stron równania. Na tym etapie po jednej stronie równania znajduje się niewiadoma (do kwadratu), a po drugiej człon swobodny (liczba).

• W naszym przykładzie b² \u003d 16. Weź pierwiastek kwadratowy z obu stron równania i otrzymaj b \u003d 4. Zatem druga noga to 4 .

Korzystaj z twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym, ponieważ można je zastosować w wielu różnych praktycznych sytuacjach. Aby to zrobić, naucz się rozpoznawać trójkąty prostokątne w życiu codziennym - w każdej sytuacji, w której dwa obiekty (lub linie) przecinają się pod kątem prostym, a trzeci obiekt (lub linia) łączy (ukośnie) wierzchołki pierwszych dwóch obiektów (lub linii), możesz użyj twierdzenia Pitagorasa, aby znaleźć nieznaną stronę (jeśli pozostałe dwie strony są znane).

• Przykład: biorąc pod uwagę klatkę schodową opartą o budynek. Dno schodów znajduje się 5 metrów od podstawy ściany. Szczyt schodów znajduje się 20 metrów nad ziemią (w górę po ścianie). Jak długie są schody?
  • „5 metrów od podstawy ściany” oznacza, że \u200b\u200ba \u003d 5; „Znajduje się 20 metrów od ziemi” oznacza, że \u200b\u200bb \u003d 20 (czyli masz dwie odnogi trójkąta prostokątnego, ponieważ ściana budynku i powierzchnia Ziemi przecinają się pod kątem prostym). Długość drabiny to długość przeciwprostokątnej, która nie jest znana.
    • a² + b² \u003d c²
    • (5) ² + (20) ² \u003d c²
    • 25 + 400 \u003d c²
    • 425 \u003d c²
    • c \u003d √425
    • c \u003d 20,6. Więc przybliżona długość drabiny to 20,6 metra.

Twierdzenie Pitagorasa stwierdza:

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:

a 2 + b 2 \u003d c 2,

• za i b - nogi tworzące kąt prosty.
• z - przeciwprostokątna trójkąta.

Formuły twierdzenia Pitagorasa

• a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Dowód twierdzenia Pitagorasa

Pole trójkąta prostokątnego oblicza się według wzoru:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Aby obliczyć pole dowolnego trójkąta, wzór powierzchni jest następujący:

• p - półobwód. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
• r Jest promieniem wpisanego koła. Dla prostokąta r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Następnie zrównujemy prawe boki obu formuł na pole trójkąta:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ left ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ right)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa:

Jeśli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków, to trójkąt jest prostokątny. To znaczy dla dowolnej potrójnej liczby dodatniej a, b i dotakie że

a 2 + b 2 \u003d c 2,

jest trójkąt prostokątny z nogami za i b i przeciwprostokątna do.

twierdzenie Pitagorasa - jedno z fundamentalnych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające związek między bokami trójkąta prostokątnego. Udowodnił to naukowiec matematyk i filozof Pitagoras.

Znaczenie twierdzenia ponieważ może być używany do dowodzenia innych twierdzeń i rozwiązywania problemów.

Dodatkowy materiał:

twierdzenie Pitagorasa: Suma powierzchni kwadratów spoczywających na nogach ( za i b), jest równa powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej ( do).

Sformułowanie geometryczne:

Początkowo twierdzenie zostało sformułowane w następujący sposób:

Sformułowanie algebraiczne:

To znaczy, oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta przez do i długości nóg za i b :

za 2 + b 2 = do 2

Oba zdania twierdzenia są równoważne, ale drugie zdanie jest bardziej elementarne, nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można sprawdzić, nie wiedząc nic o obszarze i mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa:

Dowód

W chwili obecnej w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Twierdzenie Pitagorasa jest prawdopodobnie jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Różnorodność tę można wytłumaczyć jedynie podstawowym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.

Oczywiście koncepcyjnie wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejsze z nich: dowody metodą obszarową, dowody aksjomatyczne i egzotyczne (np. Za pomocą równań różniczkowych).

Przez podobne trójkąty

Poniższy dowód wyrażenia algebraicznego jest najprostszym dowodem zbudowanym bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie posługuje się pojęciem obszaru figury.

Zostawiać ABC jest trójkąt prostokątny do... Narysujmy wysokość z do i oznacz jego podstawę przez H.... Trójkąt ACH jak trójkąt ABC w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH jest podobny ABC... Wprowadzenie do notacji

dostajemy

Co jest równoważne

Dodając, otrzymujemy

Obszary dowód

Dowody podane poniżej, pomimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszystkie wykorzystują własności pola powierzchni, których dowód jest trudniejszy niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

Dowód równej komplementarności

1. Ułóż cztery równe trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku 1.
2. Czworokąt z bokami do jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90 °, a kąt rozwinięcia wynosi 180 °.
3. Pole całej figury to z jednej strony pole kwadratu o bokach (a + b), z drugiej zaś suma pól czterech trójkątów i dwóch kwadratów wewnętrznych.

co było do okazania

Dowody dzięki skalowaniu

Elegancki dowód przez permutację

Przykład jednego z takich dowodów pokazano na rysunku po prawej, na którym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej przekształca się przez permutację w dwa kwadraty zbudowane na nogach.

Dowód Euclida

Rysowanie dla dowodu Euklidesa

Ilustracja do dowodu Euklidesa

Idea dowodu Euklidesa jest następująca: spróbujmy udowodnić, że połowa powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie połówek pól kwadratów zbudowanych na nogach, a wtedy pola dużego i dwóch małych kwadratów są równe.

Rozważ rysunek po lewej stronie. Na nim zbudowaliśmy kwadraty po bokach trójkąta prostokątnego i narysowany z wierzchołka kąta prostego C promień s prostopadły do \u200b\u200bprzeciwprostokątnej AB, przecina kwadrat ABIK zbudowany na przeciwprostokątnej na dwa prostokąty - odpowiednio BHJI i HAKJ. Okazuje się, że obszary tych prostokątów są dokładnie równe obszarom kwadratów zbudowanych na odpowiednich nogach.

Spróbujmy udowodnić, że pole kwadratu DECA jest równe powierzchni prostokąta AHJK. Aby to zrobić, posłużmy się obserwacją pomocniczą: Pole trójkąta o takiej samej wysokości i podstawie jak ten prostokąt jest równe połowie pola podanego prostokąta. Jest to konsekwencja zdefiniowania obszaru trójkąta jako połowy iloczynu podstawy i wysokości. Z obserwacji tej wynika, że \u200b\u200bpole trójkąta ACK jest równe powierzchni trójkąta AHK (niepokazanego na rysunku), co z kolei jest równe połowie pola prostokąta AHJK.

Udowodnijmy teraz, że pole trójkąta ACK jest równe połowie pola kwadratu DECA. Jedyne, co należy w tym celu zrobić, to udowodnić, że trójkąty ACK i BDA są równe (ponieważ pole trójkąta BDA jest równe połowie powierzchni kwadratu zgodnie z powyższą własnością). Równość jest oczywista, trójkąty są równe z dwóch stron i kąt między nimi. Mianowicie - AB \u003d AK, AD \u003d AC - równość kątów CAK i BAD jest łatwa do udowodnienia metodą ruchu: obrócimy trójkąt CAK o 90 ° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wtedy jest oczywiste, że odpowiednie boki dwóch rozważanych trójkątów będą się pokrywać (ponieważ kąt na wierzchołku kwadratu jest 90 °).

Rozumowanie dotyczące równości pól kwadratu BCFG i prostokąta BHJI jest całkowicie analogiczne.

W ten sposób udowodniliśmy, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest sumą powierzchni kwadratów zbudowanych na nogach. Idea tego dowodu jest dalej zilustrowana na powyższej animacji.

Dowód Leonarda da Vinci

Dowód Leonarda da Vinci

Głównymi elementami dowodu są symetria i ruch.

Rozważ rysunek, widziany z symetrii, segment doja przecina kwadrat ZAbH.jot na dwie identyczne części (ponieważ trójkąty ZAbdo i jotH.ja są równe pod względem konstrukcji). Obracając o 90 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, widzimy, że zacienione kształty są równe doZAjotja i solreZAb ... Teraz jest jasne, że obszar zacieniowanej figury jest równy sumie połówek powierzchni kwadratów zbudowanych na nogach i powierzchni oryginalnego trójkąta. Z drugiej strony jest równa połowie powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej plus powierzchnia oryginalnego trójkąta. Ostatni krok dowodu pozostawiamy czytelnikowi.

Dowód metodą nieskończenie małego

Poniższy dowód wykorzystujący równania różniczkowe jest często przypisywany słynnemu angielskiemu matematykowi Hardy'emu, który żył w pierwszej połowie XX wieku.

Patrząc na rysunek pokazany na rysunku i obserwując zmianę boku za, możemy zapisać następujący współczynnik dla nieskończenie małych przyrostów boków z i za (używając podobieństwa do trójkątów):

Dowód metodą nieskończenie małego

Korzystając z metody oddzielania zmiennych, znajdujemy

Bardziej ogólne wyrażenie na zmianę przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów obu nóg

Całkując to równanie i używając warunki początkowe, mamy

do 2 = za 2 + b 2 + stała.

W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi

do 2 = za 2 + b 2 .

Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze wynika z liniowej proporcjonalności między bokami trójkąta a przyrostami, podczas gdy suma jest związana z niezależnymi wkładami z przyrostów różnych odnóg.

Prostszy dowód można uzyskać, zakładając, że na jednej z nóg nie występuje przyrost (w tym przypadku noga b ). Następnie dla stałej całkowania otrzymujemy

Wariacje i uogólnienia

• Jeśli zamiast kwadratów skonstruujemy inne podobne figury na nogach, to prawdziwe uogólnienie twierdzenia Pitagorasa jest prawdziwe: W trójkącie prostokątnym suma obszarów podobnych figur zbudowanych na nogach jest równa powierzchni figury zbudowanej na przeciwprostokątnej. W szczególności:
  • Suma powierzchni trójkątów regularnych zbudowanych na nogach jest równa powierzchni trójkąta regularnego zbudowanego na przeciwprostokątnej.
  • Suma obszarów półkoli zbudowanych na nogach (jak w średnicy) jest równa powierzchni półkola zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ten przykład służy do udowodnienia właściwości figur ograniczonych łukami dwóch okręgów i noszących nazwę hipokratycznych lun.

Historia

Chu-pei 500-200 pne. Lewy napis: suma kwadratów długości wysokości i podstawy jest kwadratem długości przeciwprostokątnej.

Starożytna chińska książka Chu-Pei mówi o pitagorejskim trójkącie o bokach 3, 4 i 5: W tej samej książce zaproponowano rysunek, który pokrywa się z jednym z rysunków hinduskiej geometrii Bashary.

Cantor (największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że \u200b\u200brówność 3 ² + 4 ² \u003d 5 ² była znana Egipcjanom już około 2300 roku pne. e. za czasów króla Amenemhata I (według papirusu 6619 Muzeum Berlińskiego). Według Cantora harpedonapy, czyli „liny ciągnące”, budowały kąty proste za pomocą trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5.

Bardzo łatwo jest odtworzyć ich sposób budowania. Weź linę o długości 12 m i przywiąż ją do niej wzdłuż kolorowego paska w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego. Kąt prosty zostanie zamknięty między bokami o długości 3 i 4 metrów. Harpedonaptowie mogą argumentować, że ich sposób budowania stałby się zbyteczny, gdybyś użył na przykład drewnianego kwadratu używanego przez wszystkich stolarzy. Rzeczywiście, znane są rysunki egipskie, w których znajduje się takie narzędzie, na przykład rysunki przedstawiające warsztat stolarski.

Nieco więcej wiadomo o babilońskim twierdzeniu Pitagorasa. W jednym tekście z czasów Hammurabiego, czyli z 2000 roku pne. BC, podano przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Z tego możemy wywnioskować, że w Mezopotamii wiedzieli, jak wykonywać obliczenia z trójkątami prostokątnymi, przynajmniej w niektórych przypadkach. Opierając się z jednej strony na aktualnym stanie wiedzy o matematyce egipskiej i babilońskiej, az drugiej na krytycznej analizie źródeł greckich, Van der Waerden (matematyk holenderski) doszedł do następującego wniosku:

Literatura

Po rosyjsku

• Skopets Z.A. Miniatury geometryczne. M., 1990
• Yelensky Sch. Śladami Pitagorasa. M., 1961
• Van der Waerden B.L. Przebudzenie nauki. Matematyka starożytnego Egiptu, Babilonu i Grecji. M., 1959
• Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. M., 1982
• V. Litzman, "The Pythagorean Theorem" M., 1960.
  • Strona o twierdzeniu Pitagorasa z dużą liczbą dowodów, materiał zaczerpnięty z książki V. Litzmana, duża liczba rysunków jest prezentowana w postaci oddzielnych plików graficznych.
• Twierdzenie Pitagorasa i trojaczki Pitagorasa to rozdział z książki DV Anosova „A Look at Mathematics and Something from It”
• O twierdzeniu Pitagorasa i metodach jego dowodu G.Glazer, akademik Rosyjskiej Akademii Edukacji, Moskwa

Po angielsku

• Twierdzenie Pitagorasa w WolframMathWorld (eng.)
• Cut-The-Knot, sekcja dotycząca twierdzenia Pitagorasa, około 70 dowodów i wiele dodatkowych informacji

Fundacja Wikimedia. 2010.

twierdzenie Pitagorasa Jest jednym z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustanawiającym zależność

między bokami trójkąta prostokątnego.

Uważa się, że zostało to udowodnione przez greckiego matematyka Pitagorasa, od którego pochodzi nazwa.

Sformułowanie geometryczne twierdzenia Pitagorasa.

Początkowo twierdzenie zostało sformułowane w następujący sposób:

W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie powierzchni kwadratów,

zbudowany na nogach.

Algebraiczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg.

To znaczy, oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta przez doi długości nóg za i b:

Oba preparaty twierdzenia Pitagorasasą równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, tak nie jest

wymaga pojęcia obszaru. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można sprawdzić, nie wiedząc nic o obszarze i

mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.

Odwrotne twierdzenie Pitagorasa.

Jeśli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków, to

prostokątny trójkąt.

Lub innymi słowy:

Dla dowolnej trójki liczb dodatnich za, b i dotakie że

jest trójkąt prostokątny z nogami za i bi przeciwprostokątna do.

Twierdzenie Pitagorasa o trójkącie równoramiennym.

Twierdzenie Pitagorasa o trójkącie równobocznym.

Dowody twierdzenia Pitagorasa.

W chwili obecnej w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie

Pitagoras to jedyne twierdzenie z tak imponującą liczbą dowodów. Taka różnorodność

można wytłumaczyć jedynie podstawowym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.

Oczywiście koncepcyjnie wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejszy z nich:

dowód metoda powierzchniowa, aksjomatyczny i egzotyczne dowody (na przykład,

przez równania różniczkowe).

1. Dowód twierdzenia Pitagorasa za pomocą podobnych trójkątów.

Poniższy dowód wyrażenia algebraicznego jest najprostszym z konstruowanych dowodów

bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie posługuje się pojęciem pola figury.

Zostawiać ABC jest trójkąt prostokątny do... Narysujmy wysokość z do i oznacz

jego fundament poprzez H..

Trójkąt ACH jak trójkąt ABC w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH jest podobny ABC.

Wprowadzenie do notacji:

otrzymujemy:

,

co odpowiada -

Poprzez dodanie za 2 i b 2, otrzymujemy:

lub, jeśli jest to wymagane do udowodnienia.

2. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą powierzchniową.

Dowody podane poniżej, pomimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszyscy

wykorzystać właściwości obszaru, którego dowód jest trudniejszy niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

• Dowód poprzez równą komplementarność.

Ułóż cztery równe prostokątne

trójkąt, jak pokazano na rysunku

po prawej.

Czworokąt z bokami do - plac,

ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90 ° i

rozszerzony kąt - 180 °.

Obszar całej figury to z jednej strony

pole kwadratu o boku ( a + b), a z drugiej strony, suma powierzchni czterech trójkątów i

co było do okazania

3. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą nieskończenie małych.

​

Biorąc pod uwagę rysunek pokazany na rysunku, i

obserwowanie zmiany stronyza, możemy

zapisz następującą relację w nieskończoność

mały przyrosty bocznez i za (używając podobieństwa

trójkąty):

Stosując metodę separacji zmiennych, znajdujemy:

Bardziej ogólne wyrażenie dotyczące zmiany przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów obu nóg:

Całkując to równanie i korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy:

W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi:

Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze wynika z liniowości

proporcjonalność między bokami trójkąta i przyrostami, podczas gdy suma jest związana z niezależnymi

składki z przyrostu różnych nóg.

Prostszy dowód można uzyskać, zakładając, że na jednej z nóg nie następuje przyrost

(w tym przypadku noga b). Wówczas dla stałej integracji otrzymujemy:

Los innych twierdzeń i problemów jest osobliwy ... Jak wytłumaczyć na przykład tak wyjątkową uwagę matematyków i amatorów matematyki twierdzeniu Pitagorasa? Dlaczego wielu z nich nie zadowalało się już znanymi dowodami, ale znalazło własne, zwiększając liczbę dowodów do kilkuset w ciągu dwudziestu pięciu stosunkowo przewidywalnych stuleci?
Jeśli chodzi o twierdzenie Pitagorasa, niezwykłość zaczyna się od jego nazwy. Uważa się, że Pitagoras nie był pierwszym, który to sformułował. Uważa się również za wątpliwe, aby dał jej dowód. Jeśli Pitagoras jest prawdziwą osobą (niektórzy nawet w to wątpią!), Wtedy żył najprawdopodobniej w VI-V wieku. pne mi. On sam nic nie napisał, nazwał siebie filozofem, co w jego rozumieniu oznaczało „dążenie do mądrości”, założył Związek Pitagorasa, którego członkowie zajmowali się muzyką, gimnastyką, matematyką, fizyką i astronomią. Podobno był też znakomitym mówcą, o czym świadczy legenda związana z jego pobytem w mieście Crotone: „Pierwsze pojawienie się Pitagorasa przed mieszkańcami Crotone rozpoczęło się przemówieniem do młodych ludzi, w którym był tak surowy, ale jednocześnie fascynujący. nakreślił obowiązki młodych mężczyzn, których starsi w mieście prosili, aby ich nie zostawiać bez instrukcji. W tym drugim przemówieniu wskazał na legalność i czystość moralności jako podstawy rodziny; w następnych dwóch zwrócił się do dzieci i kobiet. Konsekwencja ostatnie przemówienie, w którym szczególnie potępiał luksus, polegał na tym, że do świątyni Hery dostarczono tysiące drogocennych strojów, ponieważ żadna kobieta nie odważyła się już pokazywać się w nich na ulicy ... ”Niemniej jednak, nawet w II wieku naszej ery, to znaczy Po 700 latach żyli i pracowali całkiem prawdziwi ludzie, wybitni naukowcy, którzy byli wyraźnie pod wpływem związku pitagorejskiego i którzy mieli wielki szacunek dla tego, co według legendy stworzył Pitagoras.
Niewątpliwie zainteresowanie twierdzeniem wynika także z faktu, że zajmuje ono jedno z centralnych miejsc w matematyce oraz z satysfakcji autorów dowodów, którzy pokonali trudności, o których dobrze wypowiedział się rzymski poeta Kwintus Horace Flaccus, żyjący przed naszą erą: „Trudno jest wyrazić dobrze znane fakty”. ...
Początkowo twierdzenie ustanowiło związek między polami kwadratów zbudowanych na przeciwprostokątnej a nogami trójkąta prostokątnego:
.
Sformułowanie algebraiczne:
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg.
To znaczy, oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta do c oraz długości nóg przez a i b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Oba zdania twierdzenia są równoważne, ale drugie zdanie jest bardziej elementarne, nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można sprawdzić, nie wiedząc nic o obszarze i mierząc tylko długości boków trójkąta prostokątnego.
Odwrotne twierdzenie Pitagorasa. Dla dowolnej trójki liczb dodatnich a, b i c, takich jak
a 2 + b 2 \u003d c 2, mamy trójkąt prostokątny z nogami aib i przeciwprostokątną c.

Dowód

W chwili obecnej w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Twierdzenie Pitagorasa jest prawdopodobnie jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Różnorodność tę można wytłumaczyć jedynie podstawowym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.
Oczywiście koncepcyjnie wszystkie z nich można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejsze z nich: dowody metodą obszarową, dowody aksjomatyczne i egzotyczne (np. Za pomocą równań różniczkowych).

Przez podobne trójkąty

Poniższy dowód wyrażenia algebraicznego jest najprostszym dowodem zbudowanym bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie posługuje się pojęciem pola figury.
Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym o kącie prostym C. Narysuj wysokość z C i oznacz jego podstawę przez H. Trójkąt ACH jest podobny do trójkąta ABC pod dwoma kątami.
Podobnie trójkąt CBH jest podobny do ABC. Wprowadzenie do notacji

dostajemy

Co jest równoważne

Dodając, otrzymujemy

lub

Obszary dowód

Dowody podane poniżej, pomimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszystkie wykorzystują własności pola powierzchni, których dowód jest trudniejszy niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.

Dowód równej komplementarności

1. Umieść cztery równe trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku.
2. Czworokąt o bokach c jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90 °, a kąt rozciągnięcia 180 °.
3. Pole całej figury to z jednej strony pole kwadratu o bokach (a + b), z drugiej zaś suma pól czterech trójkątów i kwadratu wewnętrznego.



co było do okazania

Dowody dzięki skalowaniu

Przykład jednego z takich dowodów pokazano na rysunku po prawej, na którym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej przekształca się przez permutację w dwa kwadraty zbudowane na nogach.

Dowód Euclida

Idea dowodu Euklidesa jest następująca: spróbujmy udowodnić, że połowa powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie połowy pól kwadratów zbudowanych na nogach, a wtedy pola dużego i dwóch małych kwadratów są równe. Rozważ rysunek po lewej stronie. Na nim zbudowaliśmy kwadraty po bokach trójkąta prostokątnego i narysowaliśmy promień s z wierzchołka kąta prostego C prostopadle do przeciwprostokątnej AB, przecina kwadrat ABIK, zbudowany na przeciwprostokątnej, na dwa prostokąty - odpowiednio BHJI i HAKJ. Okazuje się, że obszary tych prostokątów są dokładnie równe obszarom kwadratów zbudowanych na odpowiednich nogach. Spróbujmy udowodnić, że pole kwadratu DECA jest równe powierzchni prostokąta AHJK. W tym celu posłużymy się obserwacją pomocniczą: Pole trójkąta o takiej samej wysokości i podstawie jak ten prostokąt jest równe połowie pola podanego prostokąta. Jest to konsekwencja określenia obszaru trójkąta jako połowy iloczynu podstawy i wysokości. Z obserwacji tej wynika, że \u200b\u200bpole trójkąta ACK jest równe powierzchni trójkąta AHK (niepokazanego na rysunku), co z kolei jest równe połowie pola prostokąta AHJK. Udowodnijmy teraz, że pole trójkąta ACK jest równe połowie pola kwadratu DECA. Jedyne, co trzeba w tym celu zrobić, to udowodnić równość trójkątów ACK i BDA (ponieważ pole trójkąta BDA jest równe połowie pola kwadratu zgodnie z powyższą własnością). Równość jest oczywista, trójkąty są równe z dwóch stron i kąt między nimi. Mianowicie - AB \u003d AK, AD \u003d AC - równość kątów CAK i BAD jest łatwa do udowodnienia metodą ruchu: obracamy trójkąt CAK o 90 ° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wtedy jest oczywiste, że odpowiadające sobie boki dwóch rozważanych trójkątów będą się pokrywać (ponieważ kąt na wierzchołku kwadratu jest 90 °). Rozumowanie dotyczące równości pól kwadratu BCFG i prostokąta BHJI jest całkowicie analogiczne. W ten sposób udowodniliśmy, że powierzchnia kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest sumą powierzchni kwadratów zbudowanych na nogach.

Dowód Leonarda da Vinci

Głównymi elementami dowodu są symetria i ruch.

Rozważ rysunek, jak widać z symetrii, odcinek CI przecina kwadrat ABHJ na dwie identyczne części (ponieważ trójkąty ABC i JHI są równe w budowie). Obracając o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, widzimy równość zacieniowanych liczb CAJI i GDAB. Teraz jest jasne, że obszar zacieniowanej figury jest równy sumie połówek pól kwadratów zbudowanych na nogach i powierzchni oryginalnego trójkąta. Z drugiej strony jest równa połowie powierzchni kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej plus powierzchnia oryginalnego trójkąta. Ostatni krok dowodu pozostawiamy czytelnikowi.