Jak obliczyć iloczyn skalarny modułów wektorów. Iloczyn skalarny wektorów. Długość wektora. Iloczyn skalarny we współrzędnych

Wykład: Współrzędne wektora; iloczyn skalarny wektorów; kąt między wektorami

Współrzędne wektora

Tak więc, jak wspomniano wcześniej, wektory są segmentem kierunkowym, który ma swój własny początek i koniec. Jeśli początek i koniec są reprezentowane przez niektóre punkty, to mają one własne współrzędne na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Jeśli każdy punkt ma swoje własne współrzędne, możemy uzyskać współrzędne całego wektora.

Załóżmy, że mamy wektor, którego początek i koniec wektora mają następujące oznaczenia i współrzędne: A (A x; Ay) i B (B x; By)

Aby uzyskać współrzędne tego wektora, należy odjąć odpowiednie współrzędne początku od współrzędnych końca wektora:

Aby określić współrzędne wektora w przestrzeni, użyj następującego wzoru:

Iloczyn skalarny wektorów

Istnieją dwa sposoby zdefiniowania iloczynu skalarnego:

• Sposób geometryczny. Według niego iloczyn skalarny jest równy iloczynowi wartości tych modułów przez cosinus kąta między nimi.

• Znaczenie algebraiczne. Z punktu widzenia algebry iloczyn skalarny dwóch wektorów jest pewną wielkością, która jest otrzymywana jako wynik sumy iloczynów odpowiednich wektorów.

Jeśli wektory są podane w przestrzeni, należy zastosować podobny wzór:

Nieruchomości:

• Jeśli pomnożymy skalarnie dwa identyczne wektory, ich iloczyn skalarny nie będzie ujemny:

• Jeśli iloczyn skalarny dwóch identycznych wektorów okazał się równy zero, to te wektory uważa się za zerowe:

• Jeśli wektor zostanie pomnożony przez siebie, to iloczyn skalarny będzie równy kwadratowi jego modułu:

• Iloczyn skalarny ma właściwość komunikacyjną, to znaczy iloczyn skalarny nie zmieni się w wyniku permutacji wektorów:

• Iloczyn skalarny wektorów niezerowych może wynosić zero tylko wtedy, gdy wektory są do siebie prostopadłe:

• Dla iloczynu skalarnego wektorów prawo przemieszczeń obowiązuje w przypadku pomnożenia jednego z wektorów przez liczbę:

• W przypadku iloczynu skalarnego możesz również użyć rozdzielczej właściwości mnożenia:

Kąt między wektorami

W przypadku problemu płaskiego iloczyn skalarny wektorów a \u003d (a x; a y) i b \u003d (b x; b y) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

a b \u003d a x b x + a y b y

Wzór na iloczyn skalarny wektorowej dla problemów przestrzennych

W przypadku problemu przestrzennego iloczyn skalarny wektorów a \u003d (a x; a y; a z) i b \u003d (b x; b y; b z) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

Formuła iloczynu kropkowego wektorów n-wymiarowych

W przypadku przestrzeni n-wymiarowej iloczyn skalarny wektorów a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) i b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Właściwości iloczynu kropkowego wektorów

1. Iloczyn skalarny samego wektora jest zawsze większy lub równy zero:

2. Iloczyn skalarny samego wektora jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest równy wektorowi zerowemu:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Iloczyn skalarny samego wektora jest równy kwadratowi jego modułu:

4. Działanie mnożenia przez skalar jest komunikatywne:

5. Jeśli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zero, to te wektory są ortogonalne:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. Operacja mnożenia przez skalar jest rozdzielcza:

(a + b) c \u003d a c + b c

Przykłady problemów obliczania iloczynu skalarnego wektorów

Przykłady obliczania iloczynu skalarnego wektorów dla zagadnień płaskich

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a \u003d (1; 2) ib \u003d (4; 8).

Decyzja: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a i b, jeśli ich długości | a | \u003d 3, | b | \u003d 6, a kąt między wektorami wynosi 60˚.

Decyzja: a b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów p \u003d a + 3b i q \u003d 5a - 3 b, jeśli ich długości | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, a kąt między wektorami a i b wynosi 60˚.

Decyzja:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | a | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 + 36-36 \u003d 45.

Przykład obliczenia iloczynu skalarnego wektorów dla zagadnień przestrzennych

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a \u003d (1; 2; -5) ib \u003d (4; 8; 1).

Decyzja: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

Przykład obliczenia iloczynu skalarnego dla wektorów n-wymiarowych

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a \u003d (1; 2; -5; 2) ib \u003d (4; 8; 1; -2).

Decyzja: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16-5-4 \u003d 11.

13. Iloczyn wektorowy wektorów i wektorów nazywamy trzeci wektor zdefiniowane w następujący sposób:

2) prostopadle, prostopadle. (1 "")

3) wektory są zorientowane tak samo, jak podstawa całej przestrzeni (dodatnio lub ujemnie).

Wyznaczyć:.

Fizyczne znaczenie produktu wektorowego

- moment siły względem punktu O; - promień jest zatem wektorem punktu przyłożenia siły

ponadto, jeśli zostanie przeniesiony do punktu O, wówczas tryplet musi być zorientowany jako wektor bazowy.

Definicja 1

Iloczyn skalarny wektorów jest liczbą równą iloczynowi dyn tych wektorów i cosinusa kąta między nimi.

Zapis iloczynu wektorów a → ib → ma postać a →, b →. Przejdźmy do wzoru:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → i b → oznaczają długości wektorów, a →, b → ^ oznaczają kąt między podanymi wektorami. Jeśli co najmniej jeden wektor jest zerowy, to znaczy ma wartość 0, to wynikiem będzie zero, a →, b → \u003d 0

Mnożąc sam wektor, otrzymujemy kwadrat jego długości:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Definicja 2

Mnożenie przez skalar samego wektora nazywa się skalarnym kwadratem.

Obliczone według wzoru:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

Notacja a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → pokazuje, że npb → a → jest liczbowym rzutem a → on b →, npa → a → jest odpowiednio rzutem b → na a →.

Sformułujmy definicję iloczynu dla dwóch wektorów:

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a → przez b → nazywamy iloczynem długości wektora a → przez rzut b → odpowiednio przez kierunek a → lub iloczyn długości b → przez rzut a →.

Iloczyn skalarny we współrzędnych

Iloczyn skalarny można obliczyć ze współrzędnych wektorów na danej płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów na płaszczyźnie, w przestrzeni trójwymiarowej, nazywamy sumą współrzędnych danych wektorów a → i b →.

Przy obliczaniu iloczynu skalarnego danych wektorów a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) w układzie kartezjańskim należy użyć:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

w przypadku przestrzeni trójwymiarowej stosuje się następujące wyrażenie:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

W rzeczywistości jest to trzecia definicja iloczynu skalarnego.

Udowodnijmy to.

Dowód 1

Jako dowód użyj a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by dla wektorów a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) on Układ kartezjański.

Wektory należy odłożyć

O A → \u003d a → \u003d a x, a y i O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Wtedy długość wektora A B → będzie równa A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Rozważmy trójkąt O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) jest prawdziwe na podstawie twierdzenia cosinus.

Z warunku widać, że O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, stąd formuła na znalezienie kąta między wektorami jest zapisana inaczej

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Z pierwszej definicji wynika więc, że b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), stąd (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Stosując wzór do obliczenia długości wektorów, otrzymujemy:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + przy 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

Udowodnijmy równości:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- odpowiednio dla wektorów przestrzeni trójwymiarowej.

Iloczyn skalarny wektorów o współrzędnych mówi, że kwadrat skalarny wektora jest równy sumie kwadratów jego współrzędnych w przestrzeni i na płaszczyźnie. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) i (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Iloczyn kropkowy i jego właściwości

Istnieją właściwości iloczynu skalarnego, które mają zastosowanie do a →, b → i c →:

1. przemienność (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. dystrybucja (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. właściwość łącząca (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ jest dowolną liczbą;
4. kwadrat skalarny jest zawsze większy od zera (a →, a →) ≥ 0, gdzie (a →, a →) \u003d 0 w przypadku, gdy a → wynosi zero.

Przykład 1

Właściwości można wytłumaczyć z powodu definicji iloczynu skalarnego na płaszczyźnie oraz właściwości dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

Udowodnić właściwość przemienności (a →, b →) \u003d (b →, a →). Z definicji mamy, że (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y oraz (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

Zgodnie z właściwością przemienności równości a x b x \u003d b x a x i a y b y \u003d b y a y są prawdziwe, więc a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Wynika z tego, że (a →, b →) \u003d (b →, a →). co było do okazania

Dystrybucja obowiązuje dla wszystkich liczb:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

i (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

stąd mamy

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Produkt kropkowy z przykładami i rozwiązaniami

Każdy problem takiego planu można rozwiązać za pomocą właściwości i wzorów związanych z iloczynem skalarnym:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y lub (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Rozważmy kilka przykładów rozwiązań.

Przykład 2

Długość a → to 3, długość b → to 7. Znajdź iloczyn skalarny, jeśli kąt wynosi 60 stopni.

Decyzja

Według warunku mamy wszystkie dane, więc obliczamy według wzoru:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Odpowiedź: (a →, b →) \u003d 21 2.

Przykład 3

Dane wektory a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Co to jest iloczyn skalarny.

Decyzja

W tym przykładzie brana jest pod uwagę formuła obliczania za pomocą współrzędnych, ponieważ są one określone w opisie problemu:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Odpowiedź: (a →, b →) \u003d - 9

Przykład 4

Znajdź iloczyn skalarny A B → i A C →. Punkty A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) są podane na płaszczyźnie współrzędnych.

Decyzja

Na początek obliczane są współrzędne wektorów, ponieważ współrzędne punktów są podane przez warunek:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Podstawiając do wzoru za pomocą współrzędnych, otrzymujemy:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Odpowiedź: (A B →, A C →) \u003d 28.

Przykład 5

Dla danych wektorów a → \u003d 7 m → + 3 n → ib → \u003d 5 m → + 8 n →, znajdź ich iloczyn. m → równa się 3 in → równa się 2 jednostkom, są prostopadłe.

Decyzja

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Stosując właściwość rozdzielczą otrzymujemy:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Wyciągamy współczynnik dla znaku iloczynu i otrzymujemy:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Poprzez właściwość przemienności przekształcamy:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

W efekcie otrzymujemy:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Teraz zastosujmy wzór na iloczyn skalarny z kątem określonym przez warunek:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Odpowiedź: (a →, b →) \u003d 411

Jeśli jest projekcja liczbowa.

Przykład 6

Znajdź iloczyn skalarny a → i b →. Wektor a → ma współrzędne a → \u003d (9, 3, - 3), rzut b → o współrzędnych (- 3, - 1, 1).

Decyzja

Zgodnie z hipotezą, wektory a → i rzut b → są skierowane przeciwnie, ponieważ a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, więc rzut b → odpowiada długości n p a → b → → i ze znakiem „-”:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Zastępując formułę, otrzymujemy wyrażenie:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Odpowiedź: (a →, b →) \u003d - 33.

Problemy ze znanym iloczynem skalarnym, gdzie konieczne jest znalezienie długości wektora lub rzutu numerycznego.

Przykład 7

Jaką wartość powinno przyjąć λ dla danego iloczynu skalarnego a → \u003d (1, 0, λ + 1) i b → \u003d (λ, 1, λ) będzie równe -1.

Decyzja

Wzór pokazuje, że konieczne jest znalezienie sumy iloczynów współrzędnych:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Biorąc pod uwagę, że mamy (a →, b →) \u003d - 1.

Aby znaleźć λ, obliczamy równanie:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, stąd λ \u003d - 1.

Odpowiedź: λ \u003d - 1.

Fizyczne znaczenie iloczynu skalarnego

Mechanika rozważa zastosowanie iloczynu skalarnego.

Pracując A ze stałą siłą F → ciało przesunięte z punktu M do N, można znaleźć iloczyn długości wektorów F → i M N → z cosinusem kąta między nimi, co oznacza, że \u200b\u200bpraca jest równa iloczynowi wektorów siły i przemieszczenia:

A \u003d (F →, M N →).

Przykład 8

Ruch punktu materialnego o 3 metry pod wpływem siły równej 5 ntonów jest kierowany pod kątem 45 stopni w stosunku do osi. Znajdź.

Decyzja

Ponieważ praca jest iloczynem wektora siły i przemieszczenia, to na podstawie warunku F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, otrzymujemy A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Odpowiedź: A \u003d 15 2 2.

Przykład 9

Punkt materialny, przemieszczając się od M (2, - 1, - 3) do N (5, 3 λ - 2, 4) pod wpływem siły F → \u003d (3, 1, 2), wykonał pracę równą 13 J. Obliczyć długość ruchu.

Decyzja

Dla podanych współrzędnych wektora M N → mamy M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

Ze wzoru na znalezienie pracy z wektorami F → \u003d (3, 1, 2) i MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7), otrzymujemy A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

Przyjmuje się hipotezę, że A \u003d 13 J, co oznacza 22 + 3 λ \u003d 13. Stąd λ \u003d - 3, stąd M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Aby znaleźć długość przemieszczenia M N →, zastosuj wzór i podstaw wartości:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Odpowiedź: 158.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Kąt między wektorami

Rozważmy dwa podane wektory $ \\ overrightarrow (a) $ i $ \\ overrightarrow (b) $. Odłóżmy na bok wektory $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ i $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ z dowolnie wybranego punktu $ O $, wtedy kąt $ AOB $ nazywamy kątem pomiędzy wektorami $ \\ overrightarrow ( a) $ i $ \\ overrightarrow (b) $ (rys.1).

Obrazek 1.

Zauważ tutaj, że jeśli wektory $ \\ overrightarrow (a) $ i $ \\ overrightarrow (b) $ są współkierunkowe lub jeden z nich jest wektorem zerowym, to kąt między wektorami wynosi $ 0 ^ 0 $.

Oznaczenie: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Iloczyn skalarny wektorów

Matematycznie tę definicję można zapisać w następujący sposób:

Iloczyn skalarny może wynosić zero w dwóch przypadkach:

Jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym (od tego czasu jego długość wynosi zero).

Jeśli wektory są wzajemnie prostopadłe (tj. $ Cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Zauważ również, że iloczyn skalarny jest większy od zera, jeśli kąt między tymi wektorami jest ostry (ponieważ $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $), a mniej niż zero, jeśli kąt między tymi wektorami jest rozwarty (ponieważ $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

Pojęcie kwadratu skalarnego wiąże się z pojęciem iloczynu skalarnego.

Definicja 2

Kwadrat skalarny wektora $ \\ overrightarrow (a) $ jest samym iloczynem skalarnym tego wektora.

Otrzymujemy, że kwadrat skalarny to

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d (\\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right |) ^ 2 \\]

Obliczanie iloczynu skalarnego ze współrzędnych wektorów

Oprócz standardowego sposobu znajdowania wartości iloczynu skalarnego, który wynika z definicji, istnieje inny sposób.

Rozważmy to.

Niech wektory $ \\ overrightarrow (a) $ i $ \\ overrightarrow (b) $ mają odpowiednio współrzędne $ \\ left (a_1, b_1 \\ right) $ i $ \\ left (a_2, b_2 \\ right) $.

Twierdzenie 1

Iloczyn skalarny wektorów $ \\ overrightarrow (a) $ i $ \\ overrightarrow (b) $ jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Dowód.

Twierdzenie zostało udowodnione.

To twierdzenie ma kilka konsekwencji:

Wniosek 1: Wektory $ \\ overrightarrow (a) $ i $ \\ overrightarrow (b) $ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

Wniosek 2: Cosinus kąta między wektorami to $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Właściwości iloczynu kropkowego wektorów

Dla dowolnych trzech wektorów i liczby rzeczywistej $ k $ to prawda:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Ta właściwość wynika z definicji kwadratu skalarnego (definicja 2).

Prawo turystyczne: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Ta właściwość wynika z definicji iloczynu skalarnego (Definicja 1).

Prawo dystrybucji:

$ \\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. \\ end (wyliczać)

Zgodnie z Twierdzeniem 1 mamy:

\\ [\\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ left (a_1 + a_2 \\ right) a_3 + \\ left (b_1 + b_2 \\ right) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

Prawo kombinowane: $ \\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ end (wyliczać)

Zgodnie z Twierdzeniem 1 mamy:

\\ [\\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ left (a_1a_2 + b_1b_2 \\ right) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

Przykład problemu z obliczaniem iloczynu skalarnego wektorów

Przykład 1

Znajdź iloczyn skalarny wektorów $ \\ overrightarrow (a) $ i $ \\ overrightarrow (b) $ if $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ i $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $, a kąt między nimi to $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Decyzja.

Korzystając z definicji 1, otrzymujemy

Dla $ (30) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

Dla $ (45) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

Dla $ (90) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

Dla $ (135) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Podobne artykuły